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Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

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Mécanlque pour IngénieursVolume 1: StatiqueFerdinand P. Beer

Traduchon de Vector Mech81lics for Engineers: Statfes. © 1998.1988. 1964, 19n. 1972. 1962 McGraw-Hili Ryers.onLimltOO. a Subsidiary of the McGraw·Hili comcames.(ISBN 0-07-560076-5) e 1996.1988,1984,1977,1972,1962 McGraw-Hill, Inc.

~ 2004 Les Ëditions de la Chenelière IOC.

Éditeur: Michel PoulinCoordination: Monique PratteRévision lingufstique: Julie BeauheuCorrection d'épreuves: NIcole DemersInfographfe : Intoscan ColletteCouverture: Michel Bérard

Maquette intérieure: Merril HaberIlfustrallons: FineLine Illustrations, Inc.

CataJogage avant publicationde la Bibliothèque nationale du Canada

Beer. Ferdinand p,. 1915'

Mécanique pour IngénieursTraduction de la 3· édition de: Vector MechanicS for Englneers.

Third SI Metric êdmon.Comprend des index.Sommaire: (1) Statique - [2] Dynamique.ISBN 2-7651-0157·4 (v. 1)ISBN 2-7651-0158-2 (v. 2)1. Mécanique appliquée. 2. Analyse vectorielle. 3. Statique.

4. Dynamique. 5. Mécanique appliquée - Problèmes etexercices. 1. Johnston, E. Russell (Elwood Russell), 1925- .II. Eisenberg, Elliot R. III. Benedetti, Claudlo,l949-. IV. Youssef.Youssef AMou, V. Tltre.TA350.B37142003 620.1 '0 C2003-941232-6

ChenellèrelMcGraw-H1I17001, bout. Salnl·LaurentMontréal (QuébeC)Canada H2S 3E3Téléphone: (514) 273-1066Télécopieur: (514) 276·0324chen&@dlcmcgrawhlll.ca

Tous droits réservés.

Toute reproduction, en tout ou en partie, sous quelque rorme et parquelque procédé que ce soit, est InterdIte sans l'autorisation écrrt9préalable de l'Ëdlteur.

ISBN 2-1651-0157-4

Dépôt légal: 1er trimestre 2004Bibliothèque nationale du OuébecBibliothèque nationale du Canada

Imprimé au Canada

3 4 5 ITIB 11 10 09 08

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TUE LE LIVRE

Page 3: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Table des matières

Avant-propos III

1INTRODUCTION

1

1.1 Qu'est-ce que la mécanique? 21.2 Concepts et principes fondamentaux. 21.3 Systèmes d'unités 51.4 Méthode de résolution de problèmes 81.5 Précision des yaleurs 9

2LA STATIQUE DES PARTICULES

1.1

2.1 Introduction 12

Forces coplanaires 122.2 Résultante de deux forces agissant sur la même patlicule 122.3 Vecteurs 132.4 Addition vectorielle 132.5 Résultante de forces concourantes 152.6 Déoomposition d'un vecteur force 162.7 Composantes rectangulaires d'une force et vecteurs unitaires 222.8 Somme des forces par la méthode des composantes 242.9 Équilibre d'une particule 302.1 0 Première loi de Newton 312.11 Problèmes sur l'équilibre d'une particule: diagrammes des forces 31

Fort;es dans l'espace (30) 39Composantes rectangulaires dans "espace2.12 39

2.13 Force définie par sa grandeur et deux points

2.14sur sa ligne d'action 42Addition de forces concourantes dans l'espace 43

2.15 Équilibre d'une particule dans "espace (3D) 51

Résumé 58Problèmes supplémentaires 61 v

Page 4: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

aCORPS RIGIDES - SYSTÈMES DE FORCES ÉaUIVALENTS

.6.5

3.1 Introduclion 6632 Forces Internes el forces externes 663.3 Principes d:e transmissibilité - Forces équivalentes 673.4 Produit vectoriel de deux vecteurs 683.5 Composantes rectangulajres des produits vectoriels 703.6 Moment d'une torce par rapport à un point 713.7 Théorème de Varignon 733.8 Composantes rectangulaires d'un moment de force 733.9 produit scalaire de deux vecteurs 833 1Q produit mixte de Icolsvecteurs 853.11 Moment d'une force par rapport à un axe 863.12 Moment d'un couple 973.13 Couples équivalents 983.14 Addition des couples 1003.15 Représentation vectorielle des oouples 1003.16 Décomposition d'une force en une force et un couple 1013.17 Réduction d'un système de forces à une force

et un couple 1123.18 Systèmes de forces équivalents 1133.19 Systèmes équipollents de vecteurs 1143.20 Réduction supplémentaire d'un système de forces 114

·3.21 Réduction d'un système de forces a un torseur 117

Resume 136Problèmes supplémentaires 141

4EQUILIBRE DES CORPS RIGIDES

145

4.1 Introduction 1464.2 Diagramme du corps libre 146

Equilibre dans un plan 147Réactions des appuis et des üalsonsde structures planes (bidimensionnelles) 147Ëquilibre d'un corps rigide bidimensionnel 148Réactions statiquement indéterminées - Liaisons partielles

4.3

4.44.5 1504.64,7

Équilibre d'un corps soumis à deux forces 166,Equilibre d'un corps soumis à trois forces 167

4.84.9

.Equilibre dans un espace tridimensionnelÉquilibre d'un corps rigide en trois dimensionsRéactions d'appui et de liaison dans l'espace

173173

174

Résyme 190Problemes supplementaires 192

5FORCES RÉPARTIES: CENTROïoES ET CENTRE DE GRAVITÉ

197

5.1 1ntroduction 198

Surfaces et courbes 1~.R5.2 Centre de gravité d'un corps plan 1985.3 Centroides des surfaces et des courbes 1995.4 Moments statiques des surfaces el des courbes 200

Page 5: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

5.5 Figures composées 203 Tab4e dos maueres VII5.6 Détermination des centroides par intégration 2135.7 Théorèmes de Pappus-Guldlnus 214

'5.8 Charges réparties sur des poutres 224'5.9 Forces sur des surfaces hydrost.atiques 225

volymes 2345.10 Centre de gravité d'un solide - CentroYde d'un volume 2345.11 Sotides composés 2355.12 Détermination du cenlroïde d'un volume par intégration 237

Résumé 248Problèmes sup,plémentarre.s 252

6a'UDE DES STRUCTURES

a56.6.1 Introduction 257

Les trelllis 258Définitiond'un treillis 2586.2TreIllis simples 2596.3

6.4 Analyse d'un treillis par la méthode des nœuds 260"6.5 Nœuds sous conditions particulières de charges 262"6.6 Treillis tridimensionnels (Triangulation spatiale) 2636.7 Analysa d'un treiHis par la méthode des sections 274

"6.8 Treillis composés 275

Charpentes et mécanismes 2856.9 Structures comportant des membres à ettort multiple 2856.10 Analysa des structures 2856.11 Charpentes hyporigides (non rigides) 2866.12 Mécanismes 300

Résumé 313Problèmes supplémentaires 316

1LES POUTRES ET LE.S CÂBLES

~

"7.1 Introduction 322*7.2 Forces Internes dans un élément de struclure 322

les poutres 329*7.3 Types de charges et d'appuis 329*7.4 Effort tranchant et moment 1Iêchlssant 330*7.5 Diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant 332'7.6 Charge, effort tranchant et moment fléchissant 340

Les câbles 351"7.7 Câbles avec charges concentrées 351~7.8 Câbles avec charges réparties 352'7.9 Câble parabolique 353*].10 CharnelleS 362

Résumé 370Problèmes supplémentaires 373

Page 6: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

VIII Table des matières 8EROTIEM'ENI

376

8.1 Introduction a778.2 Lois et coefficients du frottement sec 3778.3 Angles de frottement 3798.4 Problèmes impliquant le frottement sec 3808.5 Coins 3958.6 Vis à filetage carré 395

•·S.8 Butées 405""8.9'8.10

Roues et résistance au roulementCourroies 413

406

Résumé 423Problèmes supplémentaires 426

9FORces RÉPARTIES; MOMENTS D"INERTIE

Ul9.1 Introduction 432

9.2Moments d'Inertie des surfaces 432Deuxième moment 011 moment d'inertie d'une surface 432

9.39.49.59.6

Détermination du moment d'Inertie d'une surface par IntégrationMoment d'inertie polaire 435Rayon de giration de surfaces 435Théorème des axes parallèles 442

434

9.7 Moments d'inertie des surfaces composées 444'9.8 Prodllitd'jnertie 456"9.9 Axes principaux el moments principaux d'inertie 456"9.10 Cercle de Mohr 465

Moments d'Inertie des maSSes 4719.11 Moment d'inertie d'Ilne masse 4719.12 Théorème des ax&s parallèles 4729.13 Moments d'inertie de plaques minces 4739.14 Détermlnation du moment d'Inertie d'un solide paf' Intégration 4759.15 Moments d'jnert~ des solides composés 475

·9.16 Moments d'inertie d'un solide par rapport à un axe passant par I"origine.Produit d'inertie d'une masse 490

*9.17 Ellipsoïde d'InertIe. Axes principaux d'inertie 491·9.18 Axes princlpaux 'et moments principaux d'inertie d'un solide

de forme quelconque 492

Résumé 504Problèmessupplémentaires 510

Page 7: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

10MÉTHODE DU TRAVAIL VIRTUEL

515

Table des materes IX

·10.1 Introduction 516·10.2 Travail produit par une force 516·10.3 Principe du travail virtuel 518'10.4 Application du principe du travail virtueJ 519·10.5 Machines et rendement mécanique 521·10.6 Travail d'une force lors d'un déplacement fini 533., 0.7 Énergie potentielle 534·10.8 Énergie potentielle et équilibre 535*10,9 Ëtats d'équilibre 536

Résumé 546Probl~es supplémentaire. 549

Annexe553

A.l Systèmede mesures Impérlales 553A,2 Conversion des poidS el mesures 554A.3 Propriétés des profilés à charpente en acier laminé 556

Uete des 8ymbole. 557Tableaux et figures utJles 559lexique anglale-françal8 562Index 565Source. de. photos 570Réponses aux problfjmes 571

• c

Page 8: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

1ntrod ucti on

t:lngé"ne moderne repose en grando parUe sur les lois fondamentales dola mécanique. énoncées par Sil Isaac Newton à la tin du dix-septième siècle.

C P

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1.1 QU'EST-CE QUE LA MÉCANIQUE?

La mécanique est la science quj étudie les états de repos et de mouvementdes corps soumis à l'action de forces; elle décrit ces états et les prédit. EUese divise en trois branches principales: la mécanique des corps rigides, lamécanique des corps (léfor/Tuibles et la mécanj(lue desfluides.

La mécanique des corps rigides comprend la statique, qui traite des corpsau repos, et la dqnanüque, qu.i considère tes corps en mouvement Dans lesdeux cas, elle fait l'hypothèse que les corps sont parfaitement rigides. Cepen-dant. les structures et les machines réelles ne sont jamais tout à fait rigides :elles se déforment sous les charges appliquées. Ces déformations, plutôtfaibles, ont habituellement peu d'incidence sur l'équilibre ou le mouvementd'une structure. EUes prennent cependant toute leur importance lorsquevient le temps d'analyser la résistance à la rupture. Elles entrent en ligne decompte dans l'étude des matériaux, qui constitue une division de la méca-nique des corps déformables, La troisième branche de la mécanique est lamécanique des fluides, qui aborde l'étude des fluides compressibles et desfluides incompressibles. 'LhYllr{Juliquc, science flui étudié l'écoulement del'eau l, occupe une place privilégiée dans l'analyse des fluides tnccmpressibles,

La mécanique est UDebranche de la physique puisqu 'elle traite de phéno-mènes physiques. Cependant, on l'associe parfuis davantage à l'ingénierie ouaux mathématiques, et œs points de vue se défendent. En effet, la mécaniques'avère un préalable tndispeusable à J'étude de l'ingénierie, qui repose engrande partie sur elle. La mécanique n'a cependant pas le caractère empiriquede l'ingénierie, c'est-à-dire que ses théories ne s'appuient pas uniquement surl'expérimentation ou l'observation. En ce sens, elle ressemble davantage auxmathématiques par sa ri&rueuret par l'Importance accordée au raisonnementdéductif. On ne peut cependant pas non plus la classer comme une scienceabstraite Di comme une science pllre. La mécanique est en réalité une scienceappliquée: elle il pour but d'expliquer des phénomènes physiques et de lesprédire, et elle établit, par le fait même, tes bases de l'ingénierie.

1.2 CONCEPTS ET PRINCIPES FONDAMENTAUX

Bien que les débuts de la mécanique remontent à une époque fortlointaine, avec les travaux d'Aristote (384-322 av. J.•C.) et d'Archimède(287-212 av. J.-C.). il a fallu attendre les trav-aux de Newton (l642-1727)pour en énoncer clairement les principes de base, Ces derniers seront plustard reformulés par d'Alembert, Lagrange et Hamilton, mais leur validiténe sera remise en cause qu'au vingtième siècle. avec l'arrivée de la théoriede la re1ativiti d'Etnstein (1905). Les limite.') de la mécanique newtoniennesont aujourd'hui bien connues, mais l'ingénierie moderne repose toujoursSur ses principes fondatnentaux, énoncés ilya plus de trois siècles,

La mécanique s'appuie sur les concepts fondamentaux d'espace. detemps, de masse et de force, que l'on ne peut pas véritablement définir,Lexpénenœ personnelle et l'intuition en donnent une compréhension quiservira de cadre de référence à notre étude.

On associe le concept ,l'espace à la position d'un point P. Cette positionest définie par trois longueurs mesurées dans trois directions différentes, àpartir d'un même point de référence appelé origine. Ces trois longueursportent le nom de coordonnées ÙU point P.

Pour décrire un événement, il ne suffit pas d'en donner la position; ilfaut ëgslement prendre en compte la notion de temps,

Le concept de masse caractérise les corps et permet de comparer leurcomportement dans certaines expériences fondamentales. Par exemple, deux

1. t:bydmuliquc trnite des liquides on g~nérnl: pour des raisons évidentes, l'eau rep~lIie le Cl1Sle plus répafldu. (NdT)

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corps de même nH1SS~sont également attirés par la terre; ils offrent aussila même résistance au changement dans un mouvement de translation.

Une force représente l'action d'un corps sur un autre çorps. Elle s'exerceà leur contact ou encore à distance comme dans le cas de la gravitation et desforces magnétiques. On caractérise une force par son point d'application, sagrandeur et sa dtreaton, et 00 la représente par un cecteur (section 2.3).

En mécanique newtonienne, l'espace, le temps et la masse sont desconcepts absolus, indépendants les uns des autres. (La situation diffère enmécanique relattoiste . Je ten ..ps associé à un événement dépend alors de saposition et la masse d'un corps est fonction de sa vïresse.J Par contre. leconcept de force est dépendant des trois autres; en effet, l'un des principesfondamentaux de la mécanique newtonienne statue que la force résultanteagissant sur un corps dépend de sa masse el de son accélération, c'est-à-dire de la façon dont sa vitesse varie dans le temps.

Ce livre porte sur les états de mouvement et dc repos de particules et(le corps ri!,l'iùes. en fonction des lfuatre concepts introduits précédemment.Une particule correspond à une très petite quantité de matière qui occu-perait un seul point dans l'espace. Un corps rigide résulte <le lu combinaisond'un grand n0I111>r(>de particules en positions fixes les unes par rapport auxautres. L'étude des particules est cn conséquence préalable à celle des corpsrigides. De plus, on peut souvent utiliser les résultats obtenus avec uneparticule pour traiter de problèmes relatifs à l'état de mouvement ou derepos d'un corps réel.

L'étude de la mécanique repose sur six principes fondamentaux établisexpérimentalement.

1,2 Concepl.!l el pnllClpes londamentaux 3

L'{/l/flitlt:,f{ de« [orcr Inr/hl)C/t' (Ill 1>0rnl'f;/o!!,rfl 111I1U' Deux foreesagissant sur une particule peuvent être remplacées par une force uniqueéquivalente appelée résultante, obtenue en dessinant la diagonale du paral-lélogramme dont le côtés correspondent aux forces de départ (section 2.2).

Le principe {Ir Ir(/nçnlÏ\sibi/ité. Léquilibre ou le mouvement d'un corpsrigide n'est pas rnodiûé si l'on remplace une force agissant sur un pointdonné du corps par une autre force de même grandeur et de même direc-tion appliquée à 'ln autre point du corps, à condition que les forces soientsituées sur la même ligne d'action (section 3.3).

Les 1rot« fois de 1\'('((:1011. Énoncées pa.r Sir Isaac Newton vers la An dudix-septième siëclc, ces lois sc résument ainsi:

Première 101. Lorsque la force résultante agissant sur une particule estnulle, cette particule reste au repos si elle était initialement au repos, alorsqu'elle poursuivra son mouvement à vitesse constante suivant une lignedroite si eUe était initialement en mouvement (section 2.10).

Deuxiéme 101. Lorsque la force résultante agissant sur une particulen'est pas nulle, cette particule subira une accélération proportionnelle à lagrandeur de la force et selon la même direction qu'elle. Cette loi peuts'écrire (section 12.2):

F=ma (1.1)

où F, '11 et a représentent respectivement la force résultante agissant sur laparticule. la masse de la particule et son accélération, exprimées dans unsystème d'unités eohérenr.

Troisième 101.Les forces d'action et de réaction agissallt sur deux corpstJui se touchent sont de même grandeur mais de sens opposé; de plus. ellesagissent selon la même ligne d'action (section 6.1).

c

Page 11: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

4 lotfoduc:tion

!IfFIgure 1.1

LA loi lU' la grfll'iil: u/lirers~llt) (le NC,v1()n. Deux particules de massesrespectives ,\1 et III s'attirent mutuellement s "Ion des [orees égales J'naisopposées, notées F et - F (ligure 1.1), dont la gl'ancJeur F ("st donnée parla relation

111 (1.2)

où r correspond à la distance qui sépare les particules et G est la constantegrovitntinn nelle.

La loi de la zravité universelle introduit l'Idée d'action à distance: plie élargitégalement le domaine d'application de la troisième loi de Newton: l'action Fet la réaction -F de la figure 1.1 sont égales et ClPP<> ées, et elles ont lamême ligne cl'action.

L'attraction exercée par la terre sur les particules localisées à. sa urfacedécrit Url cas particulier mais j mportant de la lot de la gravité universelle. Laforce F exercée par la terre sur La particule d6fmit le poids W de la particule.Si wl correspond à lainasse de la terre, r est égale au rayon terrestre R. el sinous posons

CAlIl, = R2

la grHndeuf \\; (Ill poids d'une particule de masse ,n s'écrit2

( 1.,1)

(1.4)

La valeur exacte de R dans l'équation 1.3 dépend de l'altitude du pointconsidéré, Je même QUf1 de sa latitude, puisque la terre n'est ras parfaite-ment sphérique, Ainsi, la valeur de g varie légèrement selon le lieu où nousnous trouvons. Cependant. les applications courantes sur l'ensemble de lasurface (lu globe ue requièrent L'lasune telle précision et IIOUS utilisons leplus souvent g :; 9, I rn/s2 {valeur exacte: (!, :; 9, 0665 mI~).

Nous introduirons les principes énoncés précédemment à 1l1eSLIre qu'ilsseront nécessaires à la compréhension de notre étude. Ainsi, le chapitre 2.aborde la statique ries particules en s'appuyant sur l'additivité des forces etsur la première loi d(~Newton. LRchapitre 3 applique le principe de la trans-missibilité il la statique des COlpS rigides, ct le chapitre 6 fail appel à latroisième loi de Newton dans l'analyse des forces qu'exercent l'un sur l'autreles éléments d'une même sI ructure. La (lE'luièrne loi de Newton et la lui dela gravitation universelle entrent en jeu dans l'érud de la dynamique, II seraalors démontré llue la preuiière loi {If>Newton correspond à LIll C"<lS particu-lier de la deuxième loi (section 12.2) pt (IHf' le principe de transrnisslbilitédécoule des autres prtncipes . en conséquence, il lié sera plus nécessaire dele conserver (section 16..5). Entre-temps, la première et la troisième lois deNewton, l'additivité <les foreùs et If>prinCipf' (Je transmissibilité, sllffisent àcouvrir tout le domaine de la statique incluant les particules, les corpsrigides et les systèmes de corp rigides.

Ainsi qu'il il été indiqué précédemment, les six principes fondamentauxsont établis sur (les bases expérimentales. À l'exceptton cie la première loi deNewton et du principe de transmissibilité, ÛS sont indépendants, c'est-à-direque nO~IS ne pouvons les déduire mathématiquement les uns des autres. ni àpartir d'autres principes physiques élémentaires. L'ensemble de la mécaniquenewtonlenne repose Sur L"eS six principes. Depuis plus de trois siècles. leurapplication a pf>nnis de résoudre un nombre impressionnant de pl"().blèmes relatif s à j'état dl:' fPP0:-: ou <le mouvement des ooll)S rigides. des

2.. UIIf' déf1nitiou plus rré('L~edt: \V dc.",·rnittenir compte du mouvemen; de rotarien .Ie la terre.

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corps déformables et des fluides. Bon nombre des solutions ohtenuex ont puêtre vérifiée exprérimcntnlcment. cc qui a confirmé la validité des prin-cipes utilisés.

Au vingtiènlc siècle. 01\ a dû faire appel;) la tltéorit' (le là relutivité pOli rexpliquer le mouvements 1\ l'échelle atornique et If>mouvement cl(_' C(Jrt.ÙIlPSplanètes, rcmcnont ainsi en cause l'universalité de la mécanique newtonienne.Il reste cependant <jll'Ù l'échelle humaine et à celle des réalisations d'illg~-nierie, 011les vitesse demeurent relativement faibles par rapport à la vitessecie la lumière, la mécanique newtonienne n'a encore jalllai~ tst(~contre-dite.

1.3 SYSTÈMES O'UNITÉS

On associe les quatre concepts fondamentaux pré entés il la s(:ct ionprécédente à des "'lif(~ç cluétlqur«, soit les unités dt" fOIlf!.III'/lr, dt' temp», d(,litasse el dc force. Ces unités doivent appartenir il un système cohérent afinque l'équation 1.1 soit valide. On définit arbitrairement trois d'entre elles cton les nomme unlf(("follclfll/U'lllfllt,.'i. I.:é(luatioll 1.1 détt'rlllin(~ la qnatrièm«.qui est appelée IInilé dëricëc. Les unités cinétiques ain i étahlic Iorment un.s1j~1&l1lecohërent (]'""llé",.

u' Sy\t.·'UII· 1II/"/'I!nlit1Ila{ (l'ltllit(:~ 1 Uniil:" SIl. Dans cc système, lalungut'lIr, la musse et le temps donnent les unités fOlltlallu'lll.ù(,:" soitrespectivement le mètre (n'\), 1(1kilo{!,rolUl1le (kg) t la seconde (s), déflnlesarbitrairement. La durée de la seconde a été ûxée initiulcmcnt î la rmction118ô 400 d'lin jour solaire moyen: on la décrit aujourd'hui plus précisémentcomme étant ln durée de 9 192631 770 périodes d'une radiation émise parl'atome de césium 133, qui corre pond à la transition entre les deux niveauxhyperfin de son état fondamental.

On Il d'abord défini le mètre COn)J11C le dix millionième de la distuneeéparant l'équateur de l'un des pôles; plus précisément, il correspond il la

longueur du trajet I)urc()unl par la lumière dans le vide, dans lin iutr-rvulh-de temps de 11299 792458 de seconde. Le kilogramme, pratiquement ('~tllà la masse de 0,00 1 n,3 (l'eau, est maintenant défhli pnr la 111tlSSP d'un étulonen platine iridié, slligrH'llSf"111t'ut conservé au Bureau internutional dc>spoidsel mesures, il Sèvres. près de Paris, en France.

L'unité de foree. dérivée des trois autres. s'appelle 1(.'newton (N):J newton correspond l'lIa foree qui dorme une accélérutiou lll' 1 lit/52 Ù lin!'masse de 1 kg (figure J .2). L:(\'luation 1.] pemlct d'écrue;

1N = (1 kg)(l nt/s2) = 1kg'ln/s2 (].5)

Les unités SI constituent un système absolu d'unités. c'est-à-dire 'llIC lestrois unités fondamentales restent indépendantes du lieu Olt les mesuressont prises. Autrement (lit, le 111ètTe. le kilogramme et la seconde ont lamême signiflcatioll t't la même ~ralldeur partout sur la tPITt> ou mêuu- 'IIrune au tre planète.

Le potd« d'un corps, ou lnforee gracilatiollllelle exercée sur lui, s'exprimeen newtons comme toute le autres forces. Nous nuus !>enons d", l'équu-tion 1.4 polir calculer If' poids d'un corps: pour une masse de 1 kg (figure 1.:3),nous obtenons

\V = '"g= (1 kg)(9. 1 Il)/52)

= 9. IN

Nous emplo 'uns aussi des multiples et des sous-multiples des unitésSI. nommés à l'aide des préfixes listés dans le tableau 1.1. En in~~-nierie. nous utilisons couramment le kilomètre (km) el" le IIlillilllèlrc> (mm]pour la longueur: le gr(/111IJIl' (g), le kilogrlll1lnlc (kg) et la tonne métrique

.1.lll'~--"'_lkg ....- .. F~I~

FIgure 1.2

FIgure 1.3

",.Jkg

w " 9.81 N

c

Page 13: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

pOlIr la masse; et le kilCl'netQtol~ (kN) pour la foree. Le t·.ilileau, 1.1 donne leséqlwlliences Slûvantes:

l km = 1000 ml kg = lOOOgl b\l <= 1000 N

l mm = 0,001 ftl1 g ~ 0,001 kg

Nous COfl\'êttiSSO'!lS ces l1rutés en mètres, eu kilogrammes ou en newtonsselon le CMt SÏDlpiement en déplaçant: la virgule décinlaie de trois places versla gtluche ou vers la droite. Par œempl.e. '110US convertis ..sons 3,8:2 km eu mètresen dépluçaat la virgule \rers Ia droite. '. OUS obeenons.

3. .2 km = 3820 0'1

À }'i:Dverse.pour exprimer en mètres la mesure de 47~ mu'}, l'lOUS. déplaçcnsla wg_lùe vers la g~\llche. Ainsi,

·47..21nm =- 0.0472 rn

La rlôt'.fltion scientifique permet également d'éc.rlre:

3,82 km = 3.8.2 X l()i3lfl47,2 n11l1 ::% 47,2 X 10-311}

Tableau 1.1 Prêftxe$ SI

1 000 000 000 000 = 1011\1 000 000 000 = 1(}9

1 000 000 = l()fi1000= 1()3

100== l~10 = 101

0.1 ;;;;10-1

0,0110 lO-~0,001 t:!I IO-"

0.000 001 "" 10,-60,000 000 001 = lO-~

O.(lOO000 000 001 c:> 10-1:

0,000 00000.0000 001 = 10-11>0,000000 000 000 000 001 = IO-ta

Préti)OOt SymbOle

téta Tgigot} GIlléga )\,f

kilo khoclr>t Il(lécat dadkii dœntit emilli m

,1ll1Cl'O P.lHU!O Tlpioo ffelntoatt'Q il

1é\~r oeli preftws ~uJ !)GUI les meseres d'mm cl de '\clUIl~ ou CIlOOl"e pour l'usage !lantech!\[cflJ# <les olilfltimètrœ, ,,"lises pi" w,'elnple pour ffteSUIW les paru "!il du ~ 01].d'llU vêœmelrt.

Ltuùté SI du temps est la seconde (s); flOUS en espnmens les multipleset les sous-multiples à )'aide de . pr 'fixes donnés dtUlS fe tabl.G1lU1.1. t:usagede la minuta (min), de l'heure (11), du jour (j) et de J'année (a) est égale-ment accepté.

Les angles plats. se mesurent en radians (md) et. encore tlll:ê fois~les préûxes du tableau 1.1 s'nppliquet\t pour les tnw.ttples et 168 5OU$-

multtples, Lusage du degré (0), de la tninute ('). de la seœade (") et de larévolution3 {r} est ét-,raJement accepté,

L'enlploi npproprié des multiples et des sOW>&iÏlultiples pennet d'éviterd'éertre des nombres réOllfb-.:ttUs {tl"ès f,t;l1lJ\ds ou très petits"). Par exemple,flOUS choisirons d'écrite 427.2 km Rtl Ueu de 427 2{)Om, ou encore 2,16 mmou 2..16 x 10'~m plutêt que 0.002 16 m.

3. La nl01 toUT (tr) eiW tI.uS,fl t:!anployé.

4. I..ot!:qu·un nombre œcprimant une qUfi.lllité SI (.'(lnlpre1ld IJIu.sde quatre ehlffres d'uu c6t6 {lud:et'atrtl'e de la virgula dédm'iJe. un ~Xtœ ~p.'lre des gtOUJ?(tsde b,(lis clùlfn."lI; noult 6criwns. parCltcl'lt[lle. (27 000 tn ct o,oœ 16 ni.

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Page 14: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

LRs tlnité d'aire et de coùnne. U!S aires se mesurent enlllPtre\ ('(Irrt~ (1112),dont l'unité correspond ik J'aire d'un carré de l III de côté. Les volumess'expriment eu mètres tubes (rn''), dont l'unité équivaut au volume d'un cubede l ln Je côté, Afin d'éviter l'usage excessif de petites \'a]CIII"S, nous utili-sons les sous-multiples du mètre, soit le décimètre (dm), Je centimètre (cm)et le milltmèt re (mm). Par définition, nous avons

1 dm t = 0.1 ln == 10-1 111

1cm = 0.01m = 10-2 ml mm = 0,001 III = 10-3 rn

Les unités (le surface deviennent alors:

1 3. Systèmes d·unl1é& 7

1ÙI1l2t = (1 dJlI)2 = (.10-1 111)2 == 10-2 1112

l CII12 == (1 cnl)Z = (10-2 In)Z = lO-~1l1Z

1 mm!! = (J 111111)2= (10-3 In)2 = 10-6 ln..!

et les unités de volume s'écrivent:

J dm" = (1 dm)" = (10 1 ru)" = 10 :1 rn"1cm" = (l (111)3 = (10-2In)3 = lO-4'lTl3

1 Innl!! = (1 n1Tl1)!!= (10-3 m)3 ;;;;;:10-U Il,3

Par ailleurs. le volume d'un Liquide s'exprime souvent en litre (L). autrenon) donné au décimètre cube (1 L = 1 d013 = 10:lcn\' = 10-·1n):'I),

Tableau 1.2 Principales unités SI utilisées en mécanique

Quantité Détail de l'unitéNom de l'unité Symbole

AccélérationAngleAecéléraëon tlnglliairt'Vitesse angulaireAireDensitéÉnergieForceFréquenceImpulsionLongueurMasseMoment de foreePu i.ss3J1Cl'

PressionContrainteTempsVitesseVolume, solides

liquidesTmvail

mètre par seconde carréeradianradian par seconde carréeradian par secondemètre carrékilogrol)\JllC par mètre Cilbrjoule11(.>\\1onhl'rty.newton -sccoudemètrekilogralllll1enewton-mètre\\'utlpascalpascall>l'C'()lIdl'

mètre par secondemètre cubelitre-jouir

... lu/s2lr.ldfsl

radis.,nl-kgfn)"lN'III

k~'Ill/S.!S 1

k~'""~

**N'lnJf.N",,::N/IlI:::

*""<;111'110 1111)

• III

rad

...

...

...III

kg.,.wJ'aPaS

...LJ

t Trà rarement uuhsëe,:t Ul1ltjSd(lrh'jS.- (1 r(:\olillion = 21T rad = J60·).* Unité de base,

Nous employons des unité dérivées pour les moments de force. It>travail et plusie-urs autres quantités physiques: les principales sont indiquéesau tableau 1.2, Nous introduirons ces unités au moment opportun dons leschapitres subséquents, mais précisons dès 11présent une règle lmportante :lorsqu'on obtient une unité dérivée en divisant une unité fondamentale parune autre, le nu mérnteur peut contenir lUI préfixe mais pas le dénomtnatcur.

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Par exemple. la constante k d'un ressort qui s'allonge de 20 mm SOllS unecharge d-e 100 s'esprlme comme suit:

lOON 100 .k = î'-O == 0 O· 0 = 5000 N!ru... rnm .• 2 fil

ou k = 5 k lm

1.4 MéTHODE DE RÉSOLUTION DE PROSl:ÈMESOtJS aborderons les problèmes de méeanlque comme si t10115 étions

devant (les Situatiol'lS réelles. En faisant appel à l'expërtence personnelle età 1'111tuition, il sem plus facile de comprendre le problème et de le posercorreetement, Une fOls les données clairement esposées, il n'y ti cepelldantplus de place l)Ollr la ftmtrusie personnelle dans l'élaboration de la solutton,Celle·cl doit 8'appuye-r .tU.1" la sb: lJrincipa ftm(loment(JllX tmonc,"(!s à Ùlsecuo« 1.2 ou encor« sur de$ théfJl'èTMS qltî en tlkouJ.ent. Ces principesdoivent justifier chaque étape de la, solution, qUE! nous obtenons de façonquasi automattque en suivant des règles strictes, sans référence à uneapproclie intuitive ou personnelle. Une fois 1'1réponse trouvée, ilest essen-tie] de la vérillêt> ft cette éblpe. nous pouvons (le nouveau fnlre appel aubons SCtU ou à l'expérience. Si te résultat n'est pas satisfnisaût, OO~lSdevonsnous assurer que fe problème a été pesé eOllforn1émellt aux données dedépart, que les méthodes ertlployées sont V'.al.ideset q\JI.eles calculs sont exaets,

J:ltrp()$é d'un problème doit être cla.u· et précis: nOuS devons y mea-tJoïltl.e)' eoutes les données et rua s les autres t'ensmgncD1entç nécessaires àla résolution. Nous accotnpagnou' d'un Scll(~rrllî cmtlplet illusb"m..t lasttuatîôn d'ensemble, sur lequel nous inscrivons routes les deaaées. Nou$traçons ensuite un magrnmIl1e séparé pOtlf chacun des corps impliq\lés.qui regroupe les forces auxquelle le .corps est $()UITÛS. Les sections 2.11et 4.2 donnent une desertption détaillée de ce type de dJagrarnrnes. apllel~diagl'lJul1ne des forces ou diagmmlne du corps libre (DCL).

Une fois les diagraxnmes. complétés, flOl18 uUliSD/l.'1les prlnci1}0;S j01ldll-rnenJ;aux décrits il III section 1.2 pOt/f' gcrlre les éqttfJ:.ti/)r~ correspeadaat àl'état de repos ou de mouvement des corps considérés. chaque équationétant associée à J'un des diagrammes <les forees. Nous réSOl"'OD5 em.'tlrte leproblème en suivant strictement les règles usuelles de l'algèbre et en ms-erivant ehaeune des ~t.atJeS61ll1cbies .

.ou.'; vérifions attentivement la réponse obtenue. Nous pouvons ~{)U-

vent détecter les errot'-rs de '(a,/..s.'Onnentel'l-t stmplement en anal)'$!:t.Ilt leslmil'és. Par exemple, pour déterminer Temoment d'une force de 50 lN il unpoint situé il0,60 m de la ligne d'llctiC)U. nom aurions écrit (section 3.12):

~[ """ Fd = (50 )(0,60 m) = 30 N . m

L'unité N· m r~sultaut de la ,nulli.plication des newtons par les mètreseorrespond bien à. l'unité d'un moment de foree t si nQUSavions obtC11Uuneunité différ-ente, nOlIS aurions su ÎDlnléd:iatement que la solndon cornptir·t.Qit une erreur,

Nous trouvons facilement une erretif' de clilc~J.len substituant les vrueUJ."Snumériques obtenues clans une équation q1:.1i 0'9 pas été utilisée J?O'llf $olu·tionner le problème. Les valeurs <ÎeVl'aiellt normalement vérifier f'équat.iOt'l.Nous n'insisterons jamais asses sur l'impor'mo.ce de l'exaetaude des résultatspOUT un ingénieur.

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•1.5 PRECISION OES VAL'EURS

L9 précision dt' ln réponse à un probl me dépend li ln fois dp la précisiondes données de dépr rt ct de celle (les calculs effectués. La réponse ne peutêtre plus précise cluC le moins précis de ces deux facteur. Considérons parexemple If' C3 d'un 110nt qui supporte une charge de 40 000 kg. déterminéeft 50 kg près: l'erreur relative indi(lue 1:1précision de cette donnée.

50 kg-_....!..:..._ ".,0,00 125 = 0.1,).5 pour cent.j0 000 kg

Si nou caleulons Ifi réaction d'appui de l'un des pilier: du pont, il devientincohérent d'iuscrtre 253,42 k J car une telle précision ne peut être g'arantie.La précision ùe la sclution ne peut dépasser celle de la donnée de départ.soit O.]25 %. quel tjll(' soit le nombre de décimales obtenues par calcul. Enréalité, l'erreur pt: \ II, (>lre aussi grande que (0,125/100)(253.42 k ) =0,10 kN.La rëpon 'e Jevriut donc être inscrite comme suit: (2-53,4 ~ 0,3) kl ,

L'ingélljE'ur (1~spo.."erarement (le données de précision supérieure à0,2 pour cent. En eonséquenee. nous devnons noter les réponses alt.Mpro.blêmes avec une l)n~(:isi(Jnsi111ilaire. Pour simpliûer, OOI1S conservons engén6ral quatre chilfJ1AS dans l'écriture des nombres commençant par ,( 1. », ettrois chiffres dans tous les autres cas. Par ailleurs, à moins d'indlenrioucontraire. nous altribuons la même préci ion aux donnée de départ d'unproblème. Pur exemple, 'Jl procédant comme précédemment, tille forcede 40 l s'écrirait 4-0.(1 i et une force de 15 N deviendrait 15,00 .

Les illg61,if'ur:. (,t les étudiants utilisent aujourd'hui couramment lescalculettes. La \ itesse d'cxécutfon el 1:' précision des calculettes facililèollnrésolution numérique (le bon nombre de problèmes. Cependant. les utilisa-teurs ne doivent pa.. retenir tous les chiffres affichés mais plutôt choisir lenombre app ..oprié df' chiffre sig,uAcatifs. Ainsi qu'il a (léjà été indiqué, uneprécision supérieure à 0,2 pour cent est rarement nécessaire ni mêmesignificative dans les problèmes pratiques rencontrés en ingénierie.

1.5 Précision des wJl!lXS 9

••

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La statique des particules

On peut résoudre bon nombra de .problèmes concrets en coNidéranll'équilibre CSesIol'Cft en un poInl d'une stNCIut8 que 1'0f'I ASSimile à une..plltloule .., La phoCo monlte le chargement d'lM COf'Itenoorsur un navire.1:analyse· de l'équilibre fll'emplacemenl du C1OChe1 qui retlén' les cAbléssutlit pour obtenir une relation mathématique entre les tenslOf'ls CSetousIe$ cAbI. utiliSés.

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2.1 INTRODUCT10N

Ce chapitre traite de l'effet prodoü par (les forces exercées sur des parti-cules. D'abord, nous apprendrons à remplacer un. ensemble de d.eu.'tou plu-sieurs forces appliquées fi une particule par une force unique équi~./3jellte.appelée résul.tlU~te. Puis, nous dériverons les espressions lllath"éu'lutiqll€Sreliant les forces agissant !lItt une partlcule en &pt/libre; nous les utiliseronspar la ~'11Îtepour détenniner quelques-unes des forces en cause.

Bien qu'il soit quesdon de «particuJe 1>. notre éttl(ie '0,ese Jjnrite pas euxcorpuscules ou aux trës petits objets, Simplement, elle examine des cas obla :t:3illeet 1n forme des corps tl'influencent pM les résultats et où les forcess'a:ppliqu.ent ilun même point. On rencontre ces ronditiOflS dans hon nombrede sjtuations concrètes. La madère œntenue dans ce chapitre permettra doncde résoudre de réels problèmes, <)1ngétûerie.

En première partie, nous analys.erorn des cas où toutes les forœs sesituent dans U11 même plan, la secoede partie portera sur des ensembles deforces aglssru1t dans IUl ~œ triflirnensl(lnneJ.

FORCES COPlANA1RES

2.2 RItsULTANTE De caux FOA;CESAGlSSANTSUR LA MI!Me PARTICULE

Une force rei?:~'ënte l'a;ction .d'l.Ul oorp~ "" un autre corps et est gén~e-ment caractérisée par 80.0 po-mt d'appllmtloo. sa grandeur et sa direct1on.Cepenclant, les. forces ~lgissant 'ur url€: fllirtieule dOlluée ont le même lXJintd'application. soit la particule elle-même. Ce chulJitre ét."Ult consacré amparticules, nOlISdéfulirons complètement les forces en donnant leur grandeuret leur direction.

La grandeur d'une farce s'exprim.e à !'a}(le d'un nombre et de ses lJnités.

Nous avons vu au premier clllipitre ç}tteles ingénieurs clnll1oiOOlt les unités SI,It.. mesurent cloue les forces en newtons (N) ou en kilone\.vtons (kN), lmldloncVY1:on étant égal à 1000 .. Pour compléter la description de ta force.on denue sa clirectioll en indiquant sa.lig'le d'uction et le Sfm8 d'appJiœtion.La li{,rned' action correspond à ia Ugne droite tnftnie le Jong de laquelle laforee agit: on la caractérise à: l'aide de t'angle qu'clle forme avec u:n axepréaJablement déterminé (figure 2.1). On desstne un segment de cette droiteporur représenter ta force; la longueur du segrnent, fol:letion de l'éche:llechoisle,. correspond à lagrandeur de ln force. Finalement, une flèc.he indiquele sens d'application (011 orientation), précision essentielle dUXlS l.a des-(..'tiptiOJl d'W1C force. En rénltté, deux forces de même grandeur exercëes surla même ligne d'accon, m.ais (le sens opposé (figures 2.la et 2.lb). ont uneffet contraire sur la perdeule.

(6) (1))Agure 2.1

L'expérience dt:mol~ qtl.ê nous pouvons remplacer deux forces f et QagL..sant sur une particule A (Bgur:e 2.2<1) par u:tI,eforce uelqne B produisantle même effet (figure 2.2c). On nomme cette ferce éqW\'tlLente r&ultttJf.tedes forees P et Q. NOliS pO'uvons déténniner ft en construisant un parellë-IQgramme dont les côtés oojnœnt:s correspondent à P et Q (figure 2.2b). I.,[J

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Page 19: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

(liogollll!e (III IJ(lrallfl(){!.rnlll1lll' qui passe par le lJO;/l1 A représente la rësul-tante. Cc procédé décrit l'application de la rè{!.le du p(/ralle1()gr1l1n11lIJ àl'addition de deux forces. Fondée sur des résultats expérimentaux. cette règlene peut f>tre IIi prouvée ni d~ri\'ée mathématiquement.

2.3 VECTEURS

L'addition géométrique de la figure 2.2 indique clairement <lue les forcesIl'olJéi sent pas aux règles d'addition de l'arithmétique ou de l'algèbreordinaire. Par exemple, dt>s force de 4 1 et 3 • faisant un angle droit entreelles donnent une résultante clt' 5 :X, et lIon pas de ï 1 • L'application de larègle du parallélogramme ne C limit . pas aux forces; elle permet d'addi-tionner d'autres quantités physiques. également caractérisées par une gran-deur et une direction, tel, les déplacements. le citesse . les accélérations etles moments (leforce. On représente toutes ces quantités pur des cecteurs. Parailleurs, nous appelons scalaires Ics quantités sans direction, parfaitementJ~flnies par 1111 nombre et ses unités, tels le colume, la masse ou l'énergie.

011 dl'finit los vecteurs comme des expressions IIlllthé,I1(JfiqllCS caracté-risées lJ(lr ""e grall(/clI,. ct une direction, qui s'oddiuonneut en Ilppliqllll"t IIIrègle (III lJflr,II'It/ogrll,nlllt'. Sur 1111 schéma, on repré-sente un vecteur par UDe

flèche ct, dans le texte. on les distingue des scalaires en utilisant les caractèresgras (P). O.U1S l'écriture manuscrite, on identifie génél''éll~nlcnt un vecteuren traçant une (>élit(, f1('c...he au-dessus <)(' son symbole (P) ou en le souli-gnant (f). Cette demièr ' notation est sans doute préférable car on peut lareproduire plus facilement sur une machine à écrire ou un ordinateur. Lagrandeur d'un vecteur détermine la 10llgueur de la nèchf> qui le repré ente.Dans ce texte, on exprime cette grandeur en utilisant un caractèr .."> italique;ainsi. P repré cnte la grandeur du vecteur P.

Le point d'application d'une force agissant sur une particule est la par-ticule elle-même. Nous parlons alors d'un vecteur lié que nou ne pouvonsdéplacer san modifier les conditions du problème. Par contre, nous pou·vons déplacer librement dans l'espace les vecteurs de certaines quantitésphysiques, les couples (chapitre 3) par exernple : nous parlons alors devecteurs libre ,Dan d'autres cas, comme les forces agissant sur un corpsrigide (chapitre 3), nous pouvons glisser les vecteurs le long de leur Ligned'uction : nous les uonuuons vecteurs {!.ii.'iSIII.fs'.

Deux vecteurs sont équtpollent« s'Us ont la même grandeur et la mêmedirection, quel (lue soit leur point J'application (fi 'ure 2.4). On peut iden-tifier des vecteurs équipollents par le même symbole.

Le cecteur n]J]José à p. noté - P, a la même grandeur (lUf' P mais il estJe sens opposé (fig" re 2.5). Nous disons alors 'llle les vecteurs P ct - P sontopposés. Leur S0l11meest nulle:

P + (-P) = 0

2.4 ADDITION VECTORIELLE

Dans la section précédente, nous avons Vl.I que. par définition, la règledu llarallélogranlllle s'applique polir additionner les vecteurs: nous obtenonsla S0I111ne dt' vecteur P et Q en joignant leur origine à un point i\ et enconstruisant tin parallélogramme dont les vecteurs constituent d ux descôtés (figure 2.6). La dingonelc passant par le point A détermine ln sommedes vecteurs P et Q, notée P + Q. L'utilisation {lu signt' + à la fois pour les

1. Cert.ùut'!. '1lllllllUés '(,':\pnllll'Ill tlr,dûe d'une grllutl :ur et d'une din."t.1ion Slins loutt.'fois s',Kkli·tiullilcr ~t'Iulllij ri'Jtll' du 1)'IJ1JJ~lo~I'UlI11IlC. ~OWi utilisous aussi des OècJIC'SpoliT les représenterIIUIIs (!C$ quantités ne ~O,,111(1·~des vecteurs.

Le) rocatlo,,~Illlit'~d'un l'lHl1~ n~dc IIlUbtrClIt ce gt'tll'C de COLS.À titre d'e·",..,IIJJlt·. plueez Ull

livre fcnl1~sur une' tahle' dr'v\lnt vous, <lans III positionldJîhJell e, à l'('nclr!li~,I(·hord n'Iip du c;()t~

2.4 Addlion ~rc·rle'IB 13

i\

(a)

A

""""H """Q

(hl

A(cl

Figure 2.2

Figure 2..4

-pAgure 2.5

_-- 11

11

11

l' -o Il/

QFigure 2.6

Page 20: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

14 La SlllliQuc dus plI! tlCU:C$ scalaires et les vecteurs ne pose pas de problème à condition de distinguerclairement J'écriture des vecteurs de celle des scalaires. Il est à noter que lagrandeur du vecteur P + Q Ile correspond généraJement pas à la sommedes grandeurs des vecteurs individuels P + Q.

Le purallélogramme construit à partir des vecteurs P et Q reste lemême si nous plaçons les vecteurs dans J'ordre inverse. L'addition de deuxvecteurs est dune rommutatioe et f101lS pouvons écrire

P+Q=Q+P (2.1)

A

Q

La règle du parallélogramme permet de dériver une autre façon d'addi-tionner deux vecteurs, que nous appelons la 11t1!thodedu triangle. La figure 2.6montre la somme des vecteurs P et Q obtenue par la règle du parallélo-graolrnc. Considérant la symétrie de la figure. les côtés opposés étant égauxet parallèles, il suffit de dessiner la moitié du parallélogramme (Bgure 2.7a)l)our trouver la somme : Orl place bout à bout les oecteurs P et Q, l'originede Qjointe à l'earëmuë de P; on trace ensuite la résultante en reliant ['originede P il l'extrémité (le Q. La flgure 2.7b illustre la même addition en consi-(térant l'autre moitié du parallélogramme. On obtient la même résultante,ce qui confirme la commutativité de l'addition vectorielle.

La soustraction (l'UII vecteur équivaut à l'addition de son vecteur opposé.Ainsi, nous obtenons P - Q. la différence entre les vecteurs P et Q, en addi-tionnant P et -Q (figure 2.8). Nous écrivons

P - Q = P + (-Q) (2.2)

(0 )

(b)

lei encore, il f'lut éviter toute confusion entre les soustractions scalaires etvectorielles en distinguant clairement récriture des vecteurs de celle desscalaires.

Considérons maintenant l'addition de trois vecteurs ou pius, Par défini-tion, nous obtenons la somme de P, Q et S en additionnant d'abord lesvecteurs P et Q, el en ajoutant ensuite S au vecteur P + Q. Nous écrivons

A

Figure 2.7

..Q2

P + Q + S ~ (P + Q) + S (2,3)

L'addition de quatre vecteurs se fait de même, c'est-à-dire en ajoutant lequatrième vecteur à lu somme des trois premiers. Ils'ensuit que la somme

(0)Apre 2.8

(b)gIlucb{!.Tournez-le de IbO" autour d'un axe panillèlc au bord rellé (Agurc 2.30); 011 représenteeeue "lt.\tll)H 1)lU' une fift:ht' dl.' IOllg\lellr ~lUI\".t1clllei'l LOO umtés ct orieutëo œmme sur lalignw, PrPIIf>ZInrulltpnalllip livre dans ct>Ut>position et tcuruez-le dt' L8O",eeue foh autour d'Urlru:e horiZlOlllml1Prpendiculnire au bord ",titi (ligUA> 2.3/1): 'LfW nk!lu' de 180 HOUés dJrlgéu \'erS

la droite désigne cette seconde rotation. Or. le Livreauralt pu lJa.S.krde la position de départ à IIIposilloli Ii""lc-en un.' <;eul" rutlll10n dt- It-IO" OIlillIlIr d'un LW:\~rhall (îlgUTC 2,3c). Nous »OU\'Ol15Cil dtduirl" que la somme Je·s rlc'ux r<Mation$symbcltsëes {>llrle flèches orientées le long des ~>$

;; et x correspoud il. une rotlltiO(l de l O~autour de l'aw des y {tlgure 2.3d). La ~Ie du pamllé.logmnllne ne ll':lpplique ptl.S Ici. eu eouséqeeuce. nous ne pouoons représenter la rotation d'unC()rp~rigide par un vecteur,

--

(n)

FIgure 2.3 Botauons finies d'un corps rigide(]J)

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Page 21: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

d'un nombre donné de vecteurs s'obtient en appliquant la règle du purallé-logramme il répétition, ajoutant un vecteur chaque fois, jllS'1I1'~1ce (Ju'un seulvecteur remplace l'ensemble des vecteurs à additionner.

Si les vecteurs sont coplonaires, c'e t-à-dire s'ils se situent tous dans lemême plan, on trouve facilement leur somme par une méthode gr.1pltiquc.La méthode du triangle 'avère alors plus imple d'utilisation lJUC la règledu parallélogramme. La fibrure 2,9 illustre l'addition de' vecteurs P, Q et SpRr la méthode clu triangle. Il suffit d'additionner les vecteurs P pt Q enpremière étape, C't de répéter la méthode pOllf les vecteurs P + Q et S.L'examen de la figure 2,10 révèle qu'il n'est cependant pas nécessaire dedéterminer le vecteur P + Q po11robtenir le résultat fînnl. Tlsuffit de placerles vecteurs bout à bout. joignant l'origine du deuxième à l'extrémité dupremier et ainsi de suite, el de tracer la résultante en reliant l'o0l-,titl(-'dupremier vecteur à l'extrémité du dernier: c'e t la méthode dit J)O/Yf!.Olll'. Lerésultat re te le même -i nous changeons l'ordre des vecteurs, tel qllemontré sur la figllre 2.11, oi) les vecteurs Q et S ont {-té rf>lllplactSs par leursomme Q + S, NOLIS pouvons donc écrire

2.5 Rést..ltanll? de '·:lrces conc;owant.M 15

AFigure 2.9

1\

Figure 2.10

P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S) (2,4)

Cette équation montre que l'addition vectorielle est a ociaticc, CI): plus d'êtrecommutative comme IIOIIS l'avons vu précédemme-nt. l'\ous avons

P + Q + S = (P + Q) + S = S + (P + Q)= S + (Q + P) = S + Q + P (2,5)

Cette expression et les relations équivalentes que nous po\l\-ons déduire dela même manière montrent tfllE> l'ordre d'addition des veete Il rs est sansimportance (figure 2.12),

Produit d'fIn scalaire e! d'utl recteur. Pour simplifier la notation,nous écrivons souvent 2P pour repré enter la somme P + P. ou 3P au lieude p + P + P, En fait, nous remplaçons g~n~ralellient la SOIIlIlI(;' de nvecteurs P égaux par 1(>produit "P, où Il est lin entier positif. U" vecteur Il Pest de grondeur PlP et orienté dans )0 même direction Clue P. 'ous l)ouvonsélargir cette défi nition L'a tous les scaluire-s et, reprenant lu notion de vecteuropposé vue il la section 2.3. le produit kP d'un scalaire k ct d'un vecteur Pdonne un vecteur de même direction que P si k est p()Sitif, t"t un vecteur desens opposé CI.P si k est n6gatif. La grandeur du vecteur kP correspond nuproduit de P par la valeur absolue d k (figure 2.1.3),

AAgu,. 2.11

,,\

Agure 2.12

2.5 RÉSULTANTE DE FORCES CONCOURANTESConsidérons une particule A . oumise à plusieurs forces coplannin-s, c'("st-à-dire situées dans un même plan (figure 2,1-10), Étant donné que toutesces forces passent par le point A. nou dirons qu'elles sont concourantes.Nous les addition nons ('11 utilisant la méthode du r()ly~()nt> (flg1lrf' 2,1":1/). Agure 2.13

--

!II

--1S0. l' 1

1

(,. ) tri)

Page 22: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

16 La slallQuo dos palUeu es

s

(h)A

(II)

Flgur. 2.14

AFigure 2.16

\()

... ....... ........ ' ..............

Figure 2.17

équivalente à des applications successives de la règle du parallélogramme.La résultante R des forces concourantes produit le même effet sur la par-ticule A que l'ensemble des forces concourantes appliquées. Rappelons quel'ordre d'addition des vecteurs P. Q et S est sans importance.

p

;';'

;';'

;';'

;';'

ln) rb'

1 (')

'\'\\\'\\\'\,

FIgure 2.15

2.6 DÉCOMPOSITION D'UN VECTEUR FORC'E

ous avons vu qu'il est possible de remplacer deux ou plusieurs forcesagissant sur une particule par leur résultante, une force unique produisantJe même effet qlle l'ensemble. À l'inverse, 11011S P(}\lVO)l$ remplacer uneforce F appliquée à une particule 1lar deux ou plusieurs forces dont l'actionglobale produira le même effet que F sur la particule. ous parlons alors descomposantes de tél force initiale F et nous les obtenons en (lt!co,n1JOSn"t levecteur F.

Un vecteur F donné peut être> décomposé de mille pt une façons. En pra-tique. les ensembles (le deux composantes P (.1. Q sont les plus intéressantsmais Je nombre de possibilités reste illinlité (flgtu'f' 2.J 5). NOliS retiendronsici deux cas intéressants ;

1. L'une des composantes, P, est COll 1111('. NOliS devons déterminer laseconde c"Olnpo '<lnte, Q. en appliquant la méthode {lu triangle,c'est-il-dire en plaçant l'origille du vecteur P sur celle du vecteur F(figure 2.16); nous obtenons alors la grandeur ct la direction duvecteur Q ell les mesurant sur le schéma dessiné à j'échelle ou enutilisant la trigonométrie. J ous pouvons ensuite déplacer la cumpo~sante Q pour illustrer que les vecteurs Pet Q s'appliquent tous deuxà la particule A.

2. La ligne d'action de chacune des composantes est conftue. La règle(lu parallélogramme dOUI\l' la grandeur et le sens des composantes j

il s'agit de projeter l'extrémité du vecteur F en abaissant desdroites parallèles aux librnesd'action {figure 2..J ï), délimitant ainsi Jeparallélogramme, Il suffit ensuite de définir les composantes P ct Qen les mesurant sur le graphique ou en appliquant la loi des sinus(tngonom étric).

En pratique, nous rencontrons toutes sortes de situations; par exemple,nous connaissons la direction de l'une des composantes E"t IlOUS cherchonsune seconde composante aUS3i petite que possible (problème résolu PR-2.2).Dans tous les cas. nous traçons le triangle ou le parallélogramme qui satisfaitles conditions données.

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Page 23: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

PROBLÈME RÉS'OLU 2.1

Calculez la résultante des forces P et Q appliquées au boulon A,

SOLUTION

Solution graphique, On choisit une échelle de forces et 011 ooastruit le paral-JI lélogralllnle qui a P et Q comme côtés. La grandeur et l'onentation de la résultante

1{ sont mesurées li l'échelle sur le tracé; on trouve

A

A

La ri-gle du tri~mgl€'peut aussi être utilisée: on place alors les vecteurs P et Qbout 11bout et on mesure sur le dessin la grandeur et l'orientation de la résultante R.

a= 3,50

Solutîon trigOtll)lnél.'i(!\.le. La règle dl! triangle est utilisée: dans ce triangle.on connan les deux côté cl l'angle qu'ils déterminent. On applique la loi des cosinusloi on oLt ien t

R2 :;;:;p2 + Q2 - 2PQ cos BR"J. :: (40 N)z + (60 N)2 - 2(40 N)(60 N) cos 1550

Il = 97,73 N

En utilisant la loi du inus. 011 peul maintenant écrire

in A sin B sin A sin 155°-Q R 60N 97,73N

(\ll(:'u];llri< C' (·Ic·tlrnllÎqlll' Si on résout l'équation l en fonction du sin A. on trouve

. (60 N) sin 155°sUlA = 9773 N,

(1)

En calculant d'abord le quotient du membre de droite et ensuite SOD arcsin,on obtient

Rt(!le- li ('ak'lll En posant sin 1550 = sin 25" et en ajustant la règle suivantle schéma ci-contre, on peut lire A :;; 150,0 ct obtenir les mêmes réponses queprécédemment.

R = !Ji i J\ d,)5,O -4

,\lItl'(' \"luNon. On construit le triangle rectangle BCD ct on a

CD = (60 N) sin 25° "" 25,36 NBD = (60 N) cos 250 = 54,38 N

)\Ior:o, par It' lri(lnglc' I\CD, QI) obtient

25.36 Ntan A ::: 9-1.38 N

R = 25,36sin 1\

R ." 97,73 N

f~= Hi,ï N .~.'}5.(I°

17

Page 24: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

18

~. IIIJ 8 ~...........,._.......""""""~i'!

fj

\.\.

"'1:-"-... \.30· ;,CI(lO , \.

1

5llOO t\

n-" :! t- \ 1',II ""l'

, ~I ")()OO :-. ".."\ .,1 l , /" '"1 \ , /1 - >, /""1 \ , /

1 \ '-<._/1 \ »" ,1 ):/, '" \/

l '"4/1 / 1

,-,\.,-

"•

,'jIMM) N

PROBLÈME RÉSOLU 2.2

Un chaland est tiré par deux remorqueurs. Si la résultante des deux forces exercéespar les remorqueurs est de 5000 N et d[l;gée parallèlement à l'axe du chaland,déterrninez :

Il J la tension dans chaque câble pour cr = 4,50 ;/,' Lnvaleur de cr pour laquelle la tension dans le câble 2 est minimale.

SOLUTION

a' Ten ...ion pOUl o = ..:; , "10/111;(" :!rflj)],itl"f _ Si on utilise la règle duparall~logrtlllllll(" la diagonale (résultante) doit l!lrf' égale li 5000 N ct dirigée versla droite (voir lu figure ci-contre). Les côtés sont tracés parallèlement au.x câbles. Sile dcsstn CS! rait à l'échelle, on trouve

Il 37!HI ~

"'0/111101 Il'f{oIlOlllcr'I'I"f. En utilisant la méthode du triangle, on reDlarqueque celui-ci représente la molné du paraIl6Iogmm'TI(' précédent (voir la figure ci-contre). Par tngonométrie, on a

T..- 5000Nsin 105°sin 45°

fi 1111 ( t

,,' \ Ill'UI- rI(· H pour 1 HIlll'II(' 1. ,·,t JIIIIIII Hile. La méthode du tria.ngle estutilisée pour calculer la valeur de cr. Le schéma ci-contre rnontre que la droite 1-1'correspond à la direction connue de TI' De.s directions possibles dl' T2 sont indiquéespar les droites 2-2'. On remarque que T~a une valeur mialmale lorsqu'elle estperpendlculaire 1'1 TI, On a alors

Tz = (5000 N) sin 30° = 2500 N

Les valeurs correspondantes de TI et cr sont:

TI = (5000 N) COS 30° = 4330 Ncr = 90° - 30"

Page 25: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

,

RECAPITULATION"SECTIONS 2.1 A 2.6

Nous avons étudié aux sections précédentes la règle du parallélogramme appliquéeà l'addition de vecteurs. Pour cela, deux problèmes résolus ont été présentés: PR-2.1et PR-2.2. Le premier traitait la manière de calculer la résultante R de deux forcesconnues en direction et en magnitude. Le deuxième traitait la façon de décomposer uneforce F en deux composantes selon des directions désirées,

Nous allons maintenant résoudre des problèmes ayant comme point commun l'appllcationdirecte de la règle du parallélogramme.

Nous suivrons les étapes suivantes:

L, Identifier 1('1f[ore ('II 1II','litIUé(' ....el 1" "t'IIII/Iall/( 11 est souvent utile d'écrirel'équation vectorielle identifiant la relation entre les forces. Ainsi, au problème résoluPR-2.1, nous avions

R=P+Qn est important de garder cette relation à l'esprit lors de la formulation de la deuxièmepartie de la solution.

2, TTUC('r un l'Clrallrlflj!rt'/III1I(' U!/U/I' ("'/1111/(' ('(lII'N (1(1'(1('('/1''1 1(· f Ire C',. (11",//(1""('"el (raCCT la ,.('""lllllll( (/1 (/U/!.!/IIIIIIC' ({r!!.""(' :? :?J. En utilisant la méthode du triangle,nous pouvons tracer bout à bout les deux forces appliquées, Nous pouvons ensuite tracerla résultante en reliant l'origine de la première force et l'extrémité de la dernière forceappliquée (figure 2,7).

3, ',I,lill,tllr 1"'IIHI',II/,I" (les J'l' ,.OUI(o/ ",'H, Si 'nous utilisons un des triangles du paral-JélogramJne ou encore le triangle tracé selon la méthode du triangle. 110US devons indiquertoutes les dimensions connues, incluant les côtés et les angles. Ensuite, nous devonsdéterminer les valeurs manquantes, soit la grandeur et la direction de chaque force, par laméthode graphique ou par trigonométrie. Si nous utilisons la trigonométrie et que nousconnaissons deux côtés adjacents et l'angle compris entre ces deux côtés, nous devonsd'abord appliquer la loi des cosinus (PR-2.1). Par contre, si nous connaissons tous les anglesdu triangle et W1 seul côté, nous appliquons alors la loi des sinus (PR-2.2).

Certaines personnes ayant déjà été introduites à des notions de mécanique préférerontignorer les techniques de résolution présentées dans cette section au profit d'une approcheutilisant la décomposition rectangulai:re des forces. Bien que cette dernière approche soitimportante et qu'elle sera présentée à la prochaine section, il est important à ce stade del'étude de bien maîtriser la règle du parallélogramme, car eUe simplifie la solution d'ungrand nombre de problèmes.

19

Page 26: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Figure P2.1

B

2kN

Ql'

Rgure P2.2 - P2.3 et P2.10

8

2.1 D eux forces sont apphquées HU point 8 de la poutre AB ci-contre.(1) En utilisant la règle du parallélogramme. déterminez la grandeur

clin direction de leur résultante.IJ} Déterminez les mêmes paramètres (grandf'llf et direction) en utili-

sarlt la méthode du triùngl(".

2.2 Dcuxforces (P ct Q) sont appliquées au point 11du crochet ci-contre.Sachant que P = 75 N f>t Q = 12,5N. déterminez graphiquement la grandeuret la direction de leur résultante en utili 'ont u) la règle du parallélogrammect b) la méthode du triangle,

2.3 Deux forees (P et Q) sont Uilplicfllée,~ail point A du crochet ci-contre.Sachant que P = 60:'l et Q = 25 N, déterminez graphiquement la grandeuralla direction de leur résultante en utili ant a) hl règle du parallélogrammeet b) la méthode du triangle.

2.4 Les câbles L\B et Jill soutiennent la poutre ,le'. Sachant que lestensions dans les câbles sont respectivement Je 1200 N pour AB et Je ·400 Npour AD, dérenninez graphicl'lenlent la gt:'dndt"lIr et la direction de leurrésultante au point L\, en utilisant a) la l"èglc du parallélogramme el b) laméthode du triurlgle.

,/

a10111

2,jl0N

1t-.--8In---f--ôm-.lAgure P2.4

20

fi'

Figure P2.S - P2.6

2.5 On veut décomposer une force de 200 N en deux composantesayant les directions déâIlie!> a-a' et /1-/1'. a} CalCIlIe7. par trigonométrtcl'angle Q, sachant {ille la (;(>Iuposante selon l'axe a-a' est de 150 N, b) QuelleSerait lu valeur correspondante se-lon l'axo 1)-1-,' r

2.6 011veut décomposer une fore de Z<)O N Cil Jeux composanteayant les directions définies a-a' et b-b', a) Calculez par trigonométriel'angle a, sachant que la composante selon l'axe b-b' est de 120 N, b) Quelleserait la valeur correspondante selon l'axe (1-0' ?

Page 27: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

2.7 Un câble téléphonique e -t attaché au point A du poteau AB.Sachant que la l msion au côté gauche du câble est (J~Tl = 00 N, déter-minez par tngouométrtc.

CI) la tension T2 requise au t'Ôté droit si la résultante R des f()rct'~exercées sur le <.:âblt'UII poillt A doit être verticale:

Il) ln grandeur co rrespondante de R. ....t...... ."..-.-.-TI

2.8 n câble téléphonique est attaché au poinl ,\ du poteau ,\B.Sachant que la tension au côté droit du câble est d T2 = 1(>00 :'\1. déterminezpar trigollolnélril';

a) la tension TI requi ..(' (1\1 côté gauche si la résultante R <les force ...exercées sur le câble au point ,\ doit être verticale:

1,) la grandeur correspondante <le R.

2.9 On Ilppli(lllC' sur un crochet deux forces distinctes, Sachant (lue lagrandeur de la force P 'st de 3.51\, déterminez par tngono III étrie :

a) la valeur de l'angle cr si la résultante R des deux forces doit êtrehorizontale:

b} la wallc!(:'lIr eorresponrlante de R.

Problèmes 21

T.-

Figure P2.7 - P2.8

50N

p

Figure P2.9

2.10 En' ous référant à la situation décrite au problème 2.2 ('1 sachantque la force P exercée pst de ï5 ~, déterminez par tri~nnom(>trif':

a] la gr.llldt'ur de la forCi:> Q l)i la résultante R Ùf>S deux foreesal)pIiCJ11~t>Sau point A doit être verticale:

b) la grandeur correspondante de R.

2.11 On dtssire déposer un ré .ervoir en acier dtU1S un fossé. SachantquI" a = zoo, calculez par trigollonlétric:

a) la gJ"lInUl'l1r (1(·la force Pila résultante R de deux forces appli-quées au point A doit être verticale :

1,) la grandeur correspondante de R.

2.12 On c.l~~ir(>déposer III) réservoir ("Il acier dans un [ossP. Sachant(]lIe la Iorce P (·~tdt:>5()() 1 • calculez paf tngonométrie :

a) la valeur de l'angle a si la résultante R de deux forces appliquéesau poi nt i\ doit être \ crticale :

b) la grancl(~lIr correspondante dt' R. Figure P2.11 - P2.13

p

2.13 On désire déposer un réservoir en acier (lans un rossé. Calculezpar lrigonolnétrie:

(1) la grandeur et la direction de la force P minimale !>our laquellela rë ultante R dt·~ deux forces applrquëes au point .-\ l' l \ erticule :

,)) la gr~ul(l(!lIr correspondante de R.

2.14 En vous rrf('ranl :lILX donnée du problème 2.9, évaluez partrigonométrie:

a) la grandeur ct la direction de la force P rninlrnalc I)our laquellela résultuntc R des deux forces appliquées sur le crochet est horizon laie ;

h) la ~raJlt1ellr correspondante de R.

2.15 R6solvC'z trigonolnétri(luCTllent le problème 2.3,

Page 28: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

22 La statique des particutes

40" - ;" .20',1111

Agur. P2.19 - P2.20

----------

r01Figure 2.18

F1

IJ

.,' ~GI";mdeUr ~ 1

1 .r

Flgu,", 2.20

2.16 Résolvez trigonométriquement Je problème 2.4.

2.17 En vous référant à la situation décrite au problème 2.9 et sachant(lue P = 15 N et a ;:;5OD

, évaluez par trigonométrie la &rrandeur et la direc-tion de la résultante des deux forces appliquées sur le crochet.

2.18 Résolvez trigouométriquerncnt le problème 2.1.

2.19 Les barre' A et B d'uné structure métallique sont boulonnées augousset tel qu'illustré. Sachant qu'elles sont soumlses à des forces eneornpresslon de 15 kN l)Our la barre A ct de 10 lu,," pour la barre B. calculezpar trigono,nétrle la grandeur et la direction de Larésultante B des forœsappliquées sur le gousset.

2.20 Les barres /\ et B d'une structure métallique sont boulonnée.') au~ouSSPl tPI qu'illustré. Sachant qu'elles sont soumises à des forces encompression df' 10 kN (XUlr la barre A et lie 15 k pour la barre B, calculezpar trigonométrte la grandeur et la direction de la résultante R des forcesappliquées sur le gousset.

2.7 COMPOSANTES RECTANGULAIRES D'UNE FORCEET VECTEURS UNJTAIRES2

Là résolution (le plusieurs problèmes est hahltuellement simplifiée si ondécompose les forces en deux composantes perpendiculaires entre elles, Langure 2.18 montre la décomposition d'un vecteur F en ses composantes Fx.le Joug de l'axe clet;x, el' FIl' orientée selon l'axe des y. Le parallélogrammedevient alors un rectangle et les composantes F.\' et F!I sont appeléescomposantes recfangulaires,

'J _--__ -_-_-,,

\\~

.FyF,

0\Figure 2.19

LQ.'I':edes x correspond généralement à une direction horizontale, et l'axecJe~.. y à une direction verticale (Agure 2.18), mais il est aussi possible dechoisir des directions perpendiculaires quelconques (figure 2.19). Pourdéterminer tes composantes rectangulaires d'une force (figures 2.18 et 2.J.9),il s'avère plus prudent do I)enscl' à tracer des lîgne.s parallèle» aux axes x et Ijplutôt ljUt" de songer à abaisser des 7)I;U7JelLdi"111(Jires à ces axes. Les risquesd'erreurs sont ainsl diminués lorsque vient le temps de définir des compo-santes obliques, te] (lue nous l'avons vu 3 la section 2.6.

Considérons maintenant dCLLx vecteurs de grandeur unitaire dirigés res-pectivement selon le sens des x et des Ij positifs. Ces vecteurs sont appelésoecteurs unitaires et représentés par les symboles i et j (figure 2..20). Euutilisant ln définition du produit (l'un scalaire par un vecteur (section 2.4), nous

2 L:l dp!1llltion c1~ oomposaares rf'tt.llîgl d3il'('~ donnée pOlit les Iorees ,lUXsections 2.7 ct 2.8s'applique é~~Cluëntà toute autre quantité vectorielle,

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Page 29: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

pouvons écrire les composantes rectangulaires F.\ et Fy d'une force F en mul-tipliant les vecteurs unitaires i et j par les scalaires appropriés {figure 2.21).Nous avons

F = Fir T (2.6)

et

(2.7)

Les scalaires Fr et F" sont positifs ou négatifs scion le sens de Fx et Fy; leurvaleur absolue correspond à la grande1lr des composantes. F, et Fy sont lescomposantes scalaires de la force F alors que F;.: et Fy en sont les CO'l~po-

santes vectorielles. Lorsqu'il n')' a aucun risque de confusion. les cornpo-santes du vecteur F désignent les unes 011 les autres. Il est il noter que lacomposante scalaire FIC est positive lorsque Ft est dans le même sens que levecteur unitaire i (sens des x positifs) et qu'elle prend une valeur négativelorsque FK va dans le sens opposé à i. De même, le ~ignc de F; dépend dusens de Fy par rapport au vecteur unitaire j.

Si nous connaissons la grandeur de la foret' F et l'angle 0 (lU 'elle formeavec "axe des x positifs, mesuré dans le sens antihoraire (figure 2.21), nouspouvons expritner les COlll[X>srultes scalaires de F comme suit:

P =Fcos8li: (2.8)

Ces relations, valables pOlir tout angle 0 compris entre 0° et 360°, défi-nissent à la fois le signe et la valeur absolue des composantes Fr et F'J'

Exemple 1. Une foree de 800 N est appliquée à un boulon A tel qu'Illustréà la figure 2.220. Nou... devons déterminer les composantes horizontale et verticalede la force.

Pour attribuer le bon signé" ,111.'( composantes F, f't F 'J~nous pouvons utiliser(J.= 1800

- 3.'5°"" 145<>dans les équations 2.8. Nous pouvons aussi détermmer lessignes de Fr et F!Jen regardant le schéma (figure 2.22b) et appliquer simplement lesfonctions trigonométriques à l'angle (1 = 35°. Nous avons

E,= -F cos ct = -(800 N) cos 35° = -655 i\F'I .,. +F sin cr = +(800 N) sin 35D = +459 N

Les composantes de F donnent alors

For= -(655 N)i Fy = +(459 N}j

ct nous pouvons écrireF::; -(655 ~)i+ (459 N)j

Exemple 2. Une personne tire sur une corde attachée ail mur d'un édificeavec une force de 300 N (figure 2.23c,). OIIS devons déterminer les composanteshorizontale et verticale de la force exercée par lu corde au point A.

La figure 2.23b montre que

PI( = +(300 N) cos cr Fy =' -(300 N) sin cr

Sachant que t\B = 10111 ct en référant à la flgllft_' 2.230. IIOtiS trTU!\'Ul1S

8 m 1) Il'1•SnI cr = =AB 5

38mcos Cl = B

Il

Nous obtenons alors

FIC = +(300 ~)~ "" +240 N

--=-10111 -D

Fy - -(300 ~)i= -180 N

('t nous écrivons

F "'" (2-tO ~)i- (180 N)j

~ 7 Cornposantèa rocl<lflgJlillISS 23[,l'unI' fon:p el >teçteur~unl1alres

Ij

J

---------

F = /: 1! •

Figure 2.21

(n)

!J

a =350

F 1 A(b)

Flgure 2.22

1----8m----I

6 rll

l(n)

(b)Rgure 2.23

JI

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Page 30: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Une force F définie par ses composantes rectangulaires Fr et FIj(fîgure 2.21) a pour direction l'angle (J dont la valeur est donnée par

l'tan 9 = .:J_ (2.9)

F,.

Nous trouvons la grandeur F de la force en appliquant le théorème dePythagore; l1()US avons

F = VF: + FZ (2.10)~ '.J

Nous pouvons aussi isoler F de rune des équations 2.8.

Exemple 3. Une force F = (700 N)i + (1500 N)j est appliquée sur unboulon A. Nous devons déterminer la grandeur de la foree et indiquer sa directionen donnant l'angle 0 qu'elle forme avec l'horizontale.

Dessinons d'abord un schéma pour illustrer les composantes rectangulaires etl'angle 0 (flgllre 2.24), t:tcllIùlioll (2.9) donllC

.=: F'I..::I 1500 Ntan e Px ïOO 1

À l'airlr d'une calcu lat ricc-3•il nous reste à diviser 1500 N par 700 N; l'arctangf'nte clu quotient donne 0 = 65,0°. En isolantF de la seconde équation 2.8, nousobtenons

F, = t 700 l") i :r

Agure 2.24F = Fy "'" 1500 N "'"1655 N

sin 0 sin 65,0°

Nous pouvons fü('iliter la dl..rnlère étape de calcul en plaçant la valeur de Fy comémoire sur la calculatrice la première fois que nous l'utilisons ; il suffit ensuite defaire un rappel de mémoire et de diviser la valeur par sin O.

2.8 SOMME DES FORCES PAR LA MÉTHODE DES COMPOSAN 1ES

Nous avons vu que les forces s'additionnent selon la règle du parallélo-gramnlt? (section 2.2). Nous avons dérivé de cette règle deux autres méthodesplus pratiques pour la résolution {!.raphiqup des problèmes: la méthodedu triangle pour l'addition de deux forces et la méthode du polygonepour l'addition cie trois forces ou plus (sections 2,4 et 2.5), Le triangle déter-rninan t la résultante de deux forces permettait aussi une solutiont lig0710'IIéf'rÎ(I"i'.

Par contre, le polygone obtenu avec trois forces ou plus ne donne pas desolution trigonnrrJébique simple. NOLIS pouvons toutefois trouver une solutionanalytique en utilisant les composantes rectangulaires des forces. Considé-rons, par exemple, les trois forces p. Q et S <tgisSatlt sur une particule A(figure 2.25(1). La résultante R s'écrit

R=P+Q+S (2.11)

3. La mJt:ulillrict: llolt pUUVCIIJ'effectuer les fOlll..1iol1StrigonouuStriques de base cl lenr inverse.(".('t1Jù.nesc:lI(""l~llrk'{'.sc,_'CI')\'t:rt~l1t(11""'~lerH~lll1~scoordoueées rm:tangulaires en coordonnéespolaires, ('1 vi~ \'l'~I: $i c'est 1("cas, il Il '(',~tpltlS uëœssaire de passer par la trigolloulétrie (.'OO'IIl'1ClionS le fru.s(lll~tldllS les exemples 1. 2, 3 et dans 1(.'5problèmes du même gpnr('_

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Page 31: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

En décomposant les [otees, nous avons

Rlii + Ryj = Pxi + Pyj + Qxj + Qyj + S~j + S!lj= (Px + Q'f + S,,)i + (Py + Qy + Sy)j

II s'ensuit que

(2.12)

I~lus simplement,

(2.13)

Nous pouvons en déduire que le calcul des composantes scalaires R",et R!!dela rësultoot» R d'un ensemble (le[orees agiss({ltf S1t1' l/ue même particule 1)(!1I1

être effectué eu acùJitioflnar&t algébriqll€Iu('!llt les COlljl,oS/alltes scalaires desforces eu cllu.~e4.

Nous obtenons la résultante en SUÎVaIlt les trois étapes montrées à lafigure 2.25. Nous commençons par décomposer les forces selon les axes r et '1(figtlres 2.25a et b). Ensuite, nous additionnons les composantes pour obte-nir celles de la résultante R (flgure 2.25c). Finillenlent, nous appliquons larègle du paraUélograrnnle au vecteur R = ~i+ RJ (flgu(@ 2.25d). Pourfaciliter ces étapes, nous pouvons inscrire tous les résultats dans un tableau(problème résolu PR-2.3). La méthode analytique, pratique pot.lr uddi-tionner trois vecteurs ou plus. est égalernent souvent préférée il la méthodetrigononlétrique pour faire la somme de deux vecteurs.

(II)

P'yJ

r i..

4. Cette C<Hl<.')usious'Ilpp}iljue égl:t1elllt'llt .\ d'nultes tJlillnlllk \·eccori"l1,....Ipl~ I~vitf'~~~.les:locélémtfoil~ OU les moments de force.

2,8 Somme des torces par 25la memooe des cOlT'posan:es

Il

(d)Figure 2.25

Copynghted matenal

Page 32: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

y

F~.. lIlON

----------:;;'1JJ11

(FI ("Q!Ç3rfli 1

.......,_ ~ (F..<'O.15")1

"-(Fi sln J5"'j

26

PROBLÈME RÉSOLU 2.3

Calculez la résultante des quatre forces appliquées au boulon de la figure illustréeci-contre.

SOLUTION

Les composantes x et Ij de chaque force sont obtenues par projection sur lesaxes choisis et leurs valeurs sont eooslgn Ses dans le tableau cl-dessous, D'après laconvention adoptée à la section 2,7, seront positives les composantes orientées versla droite et les composantes orientées vers le haut .

Force Grandeur N Composante x N Composa nIe y N- -

FI 150 + 129.9 +75;0F .. 80 -274 +75.2- •F3 110 0 -110.0F.. 100 +96,6 -259,

R.r'" + 199.1 ll..J ::0 +14,3

La résultante R est donc

'i

On peut maintenant calculer la grandeur et l'orientation de la résultante. Dutriangle ci-contre, on peut tirer

tan a == !!u.:I 14,3 NRx 199,1 N

14,3 N = 199',6 NS1n a

1 1It

Le dernier calcul peut être simplifié si la valeur de Ry est D1ÎSeen mémoireau commencement des calculs; elle sera rappelée pour être divisée par sin a (voirnote 4. P: 25),

Page 33: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

,RECAPITULATION

SECTIONS 2.7 ET 2.8

Nous avons vu aux sections précédentes que la résultante de deux forces peut êtredéterminée soit graphiquement. soit par la trigonométrie d'un triangle oblique. De plus:

\) 1 (In'/"C' troi« [orcc« I)~I /"" ... UU, j1l'I,/i,/II('( ~ leur résultante R sera trouvée plusfacilement en décomposant chaque force en composantes rectangulaires. Deux situationspeuvent alors se présenter:

Cu« 1. ,,(, [ore» l' e 1 tle[tll" l' Ir !;(I t!rttll,[t, , " 1

l'l« rr-nutul«, Les composantes Fr et Fy de la force (exemple 1) sont obtenues enmultipliant la grandeur F de la force par oos a et sin a, respectivement.

(:tlN;1, lAI [uree Jo' ('S' tlr[rIl;('IJtlr rç(l ~r(lllf/('lIï,: : Il " '" ,/. ,1""l'O;ulN \ et Il NI,r 1In li#.lIl' (1'(11'1;"" (fi!!.lIrc :2 2:~). Langle a formé par F et l'axe x estévalué par trigonométrie. Néanmoins, les composantes de F peuvent aussi être évaluéesdirectement en proportionnant les différentes dimensions présentes, sans avoir recours aucalcul de a (exemple 2).

/11 (( n'I'(I untc« T( ('lttut!"/',;rc de 1" ,.(,,,,,1 ( 11 Les composantes RIC et Ry de larésultante peuvent être obtenues par la somme algébrique des composantesrectangulaires de toutes les forces impliquées (PR-2,3)

La résuJtante peut être exprimée sous [orme oectortelle en utilisant les vecteurs unitairesi et j, orientés selon les axes des l'et des y. d'où

R=Rri+RJ

Finalement, la grandeur et la direction de la résultante R peuvent être obtenues enrésolvant le triangle rectangle dont les côtés sont RIC et Rv' la grandeur de R étant déter-minée par la longueur de l'hypoténuse et sa direction par l'angle formé entre l'hypoténuseet l'axe horizontal.

27

Page 34: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

2.21 et 2.22 Détenuincz lits composantes .I et !J de chacune des forcesprésentes,

y

Ij

611 N

x

51' NFIgure P2.21 Figure P2.22

2.23 et 2.24 Déterminez les composantes x ct !J de chacune des foreesprésente ..

'J

'J 35

Dimensionsr-n mm

2~ 2B

'1\

·i5

1°t 11

30;' _L

~40 Danensioasen 111111

Figure P2.23

\

CJ

o

\,lI2,.;

1-60Figure P2.24 Figure P2.25

B 2.25 Lélément CB d'un étau exerce une foree P en compression SUT le billot B,dirigé(' ~il-.lolll'axe CV (Rgure 'P'2.25). Sachant que P doit avoir une composantehorizontale de 1200 !,\, déterminez:

IlJ la grandeur cie ln foret' P;b] sa colnposanlc~ \ t'rtic':lJe.

Agure P2.262.26 Un cylindre "rdmuliqllC' f'\('rC(' IJr l'élément i\B une force P selon

l'axe BC. Sachant que' P doit avoir uue composante de 600 N perpendiculaire i\l'él(ll11cnl AB. dl'tf.'nllillcz:

a) lu t.lilJt' de la force P;h} sn composante selon l'axf' AB.

28

C P

Page 35: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

2.27 Considérez la structure cie' la figtH'<' P2,2ï, L'élélnelll BD exerce surl'élément ABC 11t1f' force P diligée selon J'axe' BD, Sachant qlle P doit avoir unecomposante hori'l,outa)<' de :300 N, dC-If'rn'1tlC'?':

a) la grandeur de la force P;b] sa composante verticale.

1\ q=:::::::::.J

Flgure P2.27

2.28 Considérez la structure d(' lu flgurr' P2.M. L'(>IC:nlr'nt BD CX{'!'Cf' surl'élémcut ,\B(; 1111!.: f()f(..'(' P (Iirig(oc 5,,101' ru.'((" IJD. Sachant <tUI:! P doit avoir unecomposante verticale' nf' dépassant pas 240 N, détenuinez.:

tt) Iii foree Ina.'(hlluIII dt, P;b] sa composante horizontale.

2.29 Le câble 80 applique sur le poteau de tél~pltolle ..-\C 1111(' force enétirement P selon l'axe BD. Sachant qlle P doit avoir une ()otllposante perpendlcu-lalr<, Ou poteau t\C de" l20 N, J~t('rlllillll'l.:

(1) la talll l' dl' 1u Iorce P:b) sa colnpos:ulte orientée selon l'axe ..\C.

2.30 Le câble BD applique sur le poteau cie téléphone t\C une force P selonl'axe BD. Sachant que P a une composante orientée scion l'axe AC de 180 N,déterminez :

a) la taille dt.' ln lorce P:b! sa composante orientée selon l'axe perpendiculaire à AC.

2.31 Déterminez la résultante des trois forces du problèrue 2.2.1.

2.32 Déterminez la résultante des trois forces du problème 2..21.

2.33 Déterminez la résultante des trois fort:(?sdu problème 2.22,

2.34 Déterminez la résultuntc des trois fOTCt'S du problème 2.2.'3.

2.35 En VOH,Çrér~l(lntEt la ftgurr' P2.35 <>( sachant fJlIr' Il :::: :!5°, rI~tf'nllinf"/la résultante des trois forces illllsl rées.

2.36 En \'OuSr(of~r;\nt à la fj~Uri' P2.36 C't SAchant <fll(" la tr-nslon $111' k· eâhlo Bee.st de 725 N. drICJ1llillt"~ lu réSlIlttlllt(, des trols IOrt-'l.·s(lpplif!uÛPS au pOUll B de lapoutre J\8.

IHO t\

Figure P2.35

Prot;lonlOS 29

D

Q

A 8

Figure P2.28

c

,\

Flgure P2.29 • P2,3.0

-- S1() ""11--

L = 1100 lU III

lion Il 1111

A

'j(ltl NFIgure P2.36

C P 1

Page 36: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

a

Figure P2.37 • P2.38

Figure P2.41

100 "

IOO~FIgure 2.26

FlgunI 2.27

2.37 En V()\IS r~"f(~rJlIllIla flgur't' P2.3ï - P2.38 (" sachant qUI' ex"'"40°, déter-IlIill("l. hl r('slIltnnt<, cll's trois forces ilh I~tr(i('s.

2.38 En vous référant à la figure P'2.3ï - P2.38 el sachant que ex= i5°. déter-minez la résultante des trois forces illustrées.

2.39 En VOliS référant ;, la figure P2.35, détenrrinez .a) l'angle a pt)ur lequel la resultante des trois forces est verticule;J,) lu groHclt'l1r correspondante d" la résultante.

2.40 En vous référant à la figure P2.36. déterminez:a) la tension dans le câble BC pour laquelle la résultante des troll) [orees

:.ppJjquées au point B est verticale:b) la grandeur dl' cette résultante.

2.41 En vous rérér<lllt à la figurt" 1"'2.-4l , sachant que III résultante des troisforces appliquées au point C de la poutre BC doit être orientée selon l'axe BC.déterminez :

a} la tension r('(luise dans k· câble AC.h' ln gnlndeuf de cette résu Itnllt€.'.

2.42 En vous référant à la flgllre 1'2.37 - 1'2,38, détcrmlnez :lI,I l'angle ex pour [l'quel la résultante des trois forces est parallèle 11

l'inclinaison;h) la grandeur correspondante dl' la résultante.

2.9 ÉQUIUBRE D'UNE PAR I.CULE

Nous savons maintenant comment déterminer la résultante d'un ensemble(le forces agissant sur une particule. Bien que nous n'ayons pas encorerencontré Cecas, il peut arriver (lue la résultante soit nulle. I.:effet global desforces en présence est alors nul et nous disons (lue la particule est en équi-libre. Une particule est en équilibre lorsque l'ensemble (lesforces agissant surelle donne une résultante nulle.

Ainsi, une particule soumise à deux forces sera en équilibre si les deuxforces ont la même ligne d'action, sont de même grandeur mais de sensopposé. La résultante des deux forees est alors nulle (figure 2.26).

La Hgure 2.27 illustre un autre cas d'~quilibre, où la particule A estsoumise il l'action de quatre forces. Pour appliquer la méthode du polygone(figure 2.28), nous devons placer l'origine de FJ au point 0 et aligner lesautres forces bout à bout; nous pouvons alors constater que l'extrémité de F 4

coïncide exactement avec le point de départ O. La résultante est donc nulleet la particule ost Cil équilibre.

Le polygone fermé (le la fi 'ure 2.28 donne une représentation grnphù/,.tede l'équilibre de la particule A, D'un point de vue nlgébrique, les conditionsd'équilibre s'expriment à l'aide de "équation

R=IF=O (2.14)

La décomposluon rectàIlglllaire des forces permet d'écrire

I{F..i + Fyj) = 0 ou (~Fx}i+ (IFy)j = 0

1\(lUS pouvons en dédui re les conditions nécessaires et sulllsantcs à l'équilibred'une particule. soit

~X'=o IF -0y- (2.15)

Copynghted matenal

Page 37: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Reprenons la particule de 1" figuIe 2.2; et vérifions si les conditionsd'équilibre sont bien respectées. Nous a\'OJlS

lFr = 300 N - (200 N) sin :30° - (400 N) sin 30°= 300 N - 100 N - 20() N = 0

!.Fy = -lï3,2 N - (200 N) cos 30° + (400 N) ~)S 3()O",. -173.2 N - 173,2 N + 346,4 N = ()

2.10 PREMIÈRE LOI DE NEWTONLa science de la mécanique repose sur les trois lois fondamentales énoncéespar Sir Isaac Newton vers la fin du dix-septième siècle. La première de ceslois peut être formulée COITIlnC suit:

Lorsqur la force r!s,,11"flnfefllYJJlicflll:e li UIIC particule est nulle, {(I parti-cule demeure au repos si elle érail initialement immoblle ; }Jllr coutre, ellepoursuivra son mouvement à vitesse constante cf CIl liglle droite sl elle étaitînitinlemeni (;1'11 moueement.

ri découle dt' cette loi et de la tléflnilion tl'é4uilil}ré vue à lu section 2.9qu'une particule CD équilibre est soit au repos, soit en mouvement "Il lignedroite et ù vitesse constante. 'La section suivante présente des problèmesdivers relatifs à l'équilibre d'une particule.

2,.11 PROBLÈMES SUR L'ÉQUILIBRE D'UNE PARTICULE;DIAGRAMMES DES FORCES

En pratique, les problèmes d~ mécanique appliqupt> s'inspirent <lesituationsréelles. dont le' conditions physiques sont représentées en détail sur unschéma d'ensemble.

Les méthodes d'analyse élaborées dans les sections précédentes s'appli-quent il des systè,nes cie forces agissant sur nue particule. BOil nombre deproblèmes mettant eo cause (les structures réelles peuvent être ramenés àl'équilibre d'une particule localisée en un point de la structure, Nous devonschoisir un point stratégique et. sur un schéma séparé, illustrer la particulecorrespondante avec l'ensemble des f()r(.:esimpliquées. Nous obtenons ainsiun difil!.rfllltiiU' du l'(J17).~'liure (DC L), appelé aussi schéma (lu corps libre.

À titre d'exemple, considérons la caisse de 4.5 kg illustrée à ta ûgurc 2,290,Initialement posée sur le sol entre deux édifices, cette caisse est soulevée etchargée sur un camion pour être transportée, POlLf l'opérnuon. uu câblevertical supporte la caisse. Le point A est attaché tl deux cordes passées dansdes poulies fixées (le part et (l'autre, aUI( points B et C des édifices. NOLISvoulons connaître la tension dans les cordes AB et j-\C.

Pour résoudre ce problème, nous devons d'abord tracer un diagrarnrncdu corps libre (DeL) appliqué à une particule en équilibre. Le diagrammedon inclure au motus l'une des tensions cherchées et, idéulement, les deux.Le point A. assimilé à une particule. s'avère ici un bon choix. La figure 2,29bmontre le DeL des forces exercées sur ce point; nous )' vo)rons les forcesappliquées par le câble vertieul et l'lar les deux cordes, Le câble produit uneforce vers le bas. de grandeur égale au poids '" de la caisse, L'équation 1.4permet d'écrire

\'V - "LI!. - (75 kg)(9,Bl ulis:!!) = 736 N

Nous inscrivons cette valeur sur le DeL. Les deux autres forCt::sSontinconnues 111..IIS nous savons qu'elles ccrrespondent aux tensions dansles cordes .l''\.B C't AC; nous les nommons (JOIlC Tr\JI ct TAC ct les traçons àpartir du p0Ï11t il dans les directions illustrées sur le schéma d'ensemble(figure 2.290), Le DeL ne contient pas d'autre détail.

Puisque I(~point A est t!11 équilllrre, les vecteurs des force$ placésbout à bout doivent dessiner un triangle fermé, appelé 1ricillgle des forces(figure 2.29c). NOLIS pouvons déterminer grHphiquenlcnllcs grandeurs TA/j

2 11 Ptob.ém!Hi sur rèqull bre 31o une parhcvhl, UliJgtamrn"s dOi:' t..,rcas

(b) 11i"gt:'1 ru Il If' clu ('(ll'PS lihre

ï:15N

Agure 2.29

C P 1

Page 38: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

et 'l~,csi le dessin est 11 l'échelle ou encore .t'aire appel à la trigonomé'trie etudlfser ln loi des sinus: nous avons alors

1',Ul J'AC 736 N_=_ == = ---sin 60° sin. 40° sin. 80"

1~\lJ= 64i N TJ.\c= 480 N

Lorsqu'une particule en dqullibre est SOll(ln/se Il, t1'tH8f()r:~. flOUS potl.vons résoudre le problème graphiquement eu dessmant un. triangle desforces. Lorsque plus Je trO'Î$ force» sont en présence, '(JOlIS devons tracer 'unpolyg.one des forces. Pour obtenir une solution aualytique. MUS paU'\tOfiStracer le' éqt:t.ati{J(1S d'éqttf/{bro données à la section 2.9.

(2.15)

Ces équations peuvetlt être résolues si elles ne conttennent pas p1us{I(~cieuxitlC()r~nues.Il en va de même pour Le triangle des forees repres'0otant tlll

équiifbre entre trois forces; 18 solution existe licondiëon (lu'i1o'y ait pa" plus(le deux U1C01IDU,e5.

Dans les problèmes courants, les deux lnconnues sont le plus souvent(1) les deux <x)lnpo..~nte.s(ou la grandeur et la db'acHatl) d'une même forceou encore (i} la grandeur de deux forces dont la direction est connue. Dansd'autres cas, 110US devons chercher la grandeur de la force minimd" oumaximale applicable ft la situation (problèmes 2.57 à 2,61).

Copyrighted material

Page 39: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

If

1 -; I..\.

li ~\

1ri J r)

.,.-Till

L2c)"

-....;;J"

IS·

-,Fl'

l5"

~. \. 1

1Il'

1

PROBLÈME RÉSOLU 2.4

Lors dl! c!pchargenlent d'lin cargo, on soulève une automobile de 1530 kg à l'aided'un càble 'Ile corde. attachée au potnt 1\, est tirée dc' ra~otlil centrer la voltursur un point précis, L:iluglC'entre le câble et la verticale est de 2", tandis Gue celuiformé par la corde (>1la lignf' horizontale est dl" 3Of', Déterminez l'effort de tensiondans la corde,

SOLUTION

Lnutomobile ;t un polds dr- 1530 kg X 9,8 L :-Jlkg = 15 kN,

1Jial!I'tlI11111\. du t'o'1" libre ~DCL), On commence par isoler II" point A.puis QI) traec- k- ,\('/l/inUlt/rl 1)(;14: 1~A" $t'rlt la t('IISIOrl d!:u,~ 1(· c.lbl(· 1\8, c·t TAt: 1"tension dall~ lAcorde :\e,

C nnditic," d', c!uilihrl' Puisqu'ou n'a qlle' trois forces Hppliqllé(,'$ en ,\, 011doittracer Il' tri;lnglc de forees pour exprimer son équilibre, UI loi du sinus donne alors

15kNsin 58°

I\\C'C une calculatrice. on calcule h· dernier quonent et on l'e-nvok- en In~1I10il'C,En multipliant SUL"l't'SSÎ\ol?JlIClIt ct' quotient par sin 1200 et SUl 2°, ou obtient

1'IR = 15,3 k;\l 1 \C = f,17 \1 ~

PROBLÈME RÉSOLU 2.5

Calculez là ~ndtLur ,·t la direcuou de lu plus 1)('liLI' rOrèt· F (lui [lc)llrnc lIiainh'lIlr

1ri CHi sse 11111 1r~~'('Î-C'Ol\tre ("1 éq U ilib1'<.' ( la réaction des rou lcaux est perpcndiculai (<-:.111 plun iucllué).

SOLU'nON1

Il, t~I,lIn'IlC du c'n'11' libre (DC:l), On cloil considérer la CHissr comme un

point IH:"rri('II" 1racr-r Il' I)CI~.( IIltl,liulI cl '·lluilihl't·. On peut imrnédiaternent tracer le triangle de forces

qui traduit léquilibre de la caisse. La droite 1-11 représente la direction connue dt:"P( 'li grUlld('lIF ('SI illCOIlIII'IC), Si on \(~1I1obtenir la plus pcUtt> valeur 0(' F, S;I ligned'nctiou doit être perpendtculaire à P. Ensuite, on obtient du trinnt!;le de forces

F; (29" N) sin 15D::. 76.1 N a = 1500

1;= 76..1 '~15° ~

33

Page 40: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Cournnl

T,IC

,8= 20.56"

''',u:- = (11)(1 N

!J

t-1lr<lN1 .'U.\ r.o2l;" J

6O.26°·--r"......,__.,

T 1.... (·(0102O,:;t;0 J.,./.,.'L-lH- 2tI,SC;.

-(400 Ni ~'" 6(1ffi" i A.

-tflll() ,\1J

fa = 196,6 N

13= 20,;56"

34

• •PROBLEME RESOLU 2.6

L'équipe responsable de ~'lconception d'un nouveau type de voilier veut connaîtrela force cie traînée à une certaine vitesse, Pour cela, WI prototype de la coqueproposée est placé dans un bassin, L'équipe simule la situation en urihsant troiscâbles pour stabiliser le bateau au centre <.111 bassin , De' dynamomètres indiquentIl une certaine vitesse Ics lectures suïvantes: câble AB, 400 N; câble AE, 600 N,Déterminez la force de tnûnéc appllquée sur la coque et la tension dans le câble AC,

SOLUTlON

l " hu.1 Cil. tI ., lC1114h·", 00 doit commencer pa.r déterminer les angles exet Aqui indiquent les directions des câbles AB et AC, respectivement. On peut écrire

-l mtan ex::::; = l ';5

411) ,

donc ex=< 60,26°

tan fJ = l.5 ID = 0 3754m '

donc fJ = 20,56°

li IL:' 1111111(' du C.:HI p" lilu ( 1Dt' LI. On doit d'abord choisir la coque commepoint d'équilibre et tracer le diagranune des forces te) qu'illustré. On doit ensuitey inscrire les forces appliquées par les trois câbles ainsi que la force de traînée Fvexercée par l'eau,

« l ,,,"Ijull tl"'lullilu c' Léquation suivante exprime la condition d'équilibrede la coque du navire:

R = T....s + T,le + T.-\t:+ FD = 0 (1)

Étant donné qu'il y a plus de trois forces en présence, on doit les décomposer selonleu rs (..'oOrdOT) I\N:S x ct '1:

T,Ill = -(400 N) sin 6O.2.60j + (400 N) cos 60,26°j-= -(347,3 N)i + (198,4 N)j

TAC == TAC sin 20.56°j + TAC cos 20,56°j= O.3512T ACi + O,9363T,\c;j

TAt; == -(600 N)jFp = F,:)i

En snbstituant ces expressions dans l'équation 1 et en mettant en facteur les vecteursunüarres i el j, on aura

(-347,3 N + O.3512TAc + Fo)i + (198,4 N + O,9363T"c - 600 N)j ::::;0

Cette équation sera satisfaite si, et seulement si, les coefficients des vecteurs i et jsont nuls, On a donc deux conditions d'équilibre exprimées chacune par une équa-tion (une pour chaque axe, x el y), La condition d'équilibre exige que les deuxcomposantes soient nulles,

(1FT = 0:) -34;,3 N + O.3512T"c + F0 == 0(IF!! = 0:) 198,~ N + O.9363T ....c - 600 N = 0La solution de l'équation 3 donne

(2)(3)

t \f = +-t2!J ~ 04

En substituant cette valeur dans l'équation 2, on aura /'0 - + 1tlii fi ~ ..

En traçant le diagraulfYlt:: des forces, on a attribué arbitrairement une direction pourchacune des forces recherchées, Une valeur positive dans la réponse indique quele sens est correct selon l'hypothè,se de départ. Le traç...age du polygone des forcespresentes permettra de valider les résultats,

Page 41: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

,RECAPITULATION

"SECTIONS 2.9 A 2.11

Quand une particule est en équilibre, la résultante des forces qui lui sont appliquées estnulle. Si nous appliquons ce principe dans le cas de forces coplanaires. deux équationsexprimeront les relations entre ces forces. Tel que présenté dans les problèmes résolusprécédents, nous pouvons alors déterminer soit la grandeur et la direction d'une force, soitla grandeur de deux forces. Nous pouvons suivre la démarche suivante pour solutionnerce type de problème.

I.H: •ff f Ce diagramme représente la particuleainsi que l'ensemble des forces auxquelles eUe est soumise. NOlIS devons y indiquer lagrandeur des forces connues en prenant soin d'identifier tout angle ou toute dimensionpermettant de déduire la direction d'une force. Les grandeurs et les angles inconnus sontindiqués par des symboles appropriés. Aucune autre information n'apparaît dans lediagramme du corps libre. Un diagramme du corps libre clair et précis est de grandeimportance pour la solution de ce type de problème: son omission conduit directement àdes conclusions erronées.

( Il.'< : dans le diagramme du corps libre, la meilleuresolution au problème consiste à tracer les forces bout à bout pour former un triangle desforces. Ce triangle peut être solutionné graphiquement ou trigonométriquement lorsqu'iln'y a pas plus de deux inconnues. tel que présenté auxproblèmes résolus PR-2.4 et PR-2.5.

1 1 la solution analytique est préconisée.Les forces sont exprimées selon leurs composantes (axes des x et des !I)' Nous obtiendronsalors deux équations, une pour chaque axe. La somme algébrique des composantes doitêtre égal.e à zéro en situation {l'équilibre. On peut solutionner les deux équations lorsqu'iln'y a pas plus de deux inconnues (problème résolu PR.2.6).

Il est fortement recommandé de suivre la démarche préconisée par les équations 2 et 3telles qu'elles sont appliquées au problème PR-2.6. Toute autre approche, bien quemathématiquement valable, peut nous induire en erreur lors de l'interprétation de ladirection des forces.

Concluons que, dans le cas de corps en équilibre dans un plan, les solutions présentéesjusqu'à maintenant concernaient des problèmes à deux inconnues. Si nous sommes enprésence de plus de clULL'\: ineonuues, nous devons trouver au mein ...une autre équationdécrivant la situation poUT pouvoir trouver la solution.

35

C P

Page 42: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

i\2.43 Deux câbles sont reliés l'un à l'autre tcl qu'illustré à la 6gure P'2.43.

Déterminez;a) la tension dan" le câble AC;b] la tension dans le câble BC.

2.44 DeLL\ cibles sont reliés l'un à l'autre tel qu'illustré à la figure F-2.44.Sachant que ct =20°, dérerminez :

0) la tension dans lé câble /\(:;b) Lntension dans le câble BC.

c

2.45 En YOUS référant à la figure P2.45 et sachant que cr = 20°, détermlnez :il) la tension dans le câble AC,')) la tension dans la corde BC.

8

Figure P2.A3

B

Figure P2.45

2.46 En vous référant 11. la figure P2 ..t6 et sachant que ct = 55° et que lapoutre AC applique sur la cheville C une foree orientée selon l'axe AC, déterminez:

a) la grandeur de celte force:1,) 1:1 tpnsÎon flarl5 le câble- Be

200 kgFigure P2.44 2.47 Un télési~ge a été arrêté nia position illustrée li la figure P2.47 - P2.48.

Sachant qU(' chuque ~ii\gc du télC-siègr pese 2.50 N ct (lue k. personne assise dansle siêge E pèse 765 N. déterminez lé poids de la personne assise dans le siège F.

2.48 En \1'()US référant à la ngtlre P2.4ï - P2.48. sachant qUi' chaque siègepèse 250 N et que la pel'sonnf' assise dans le si~g F pèse 926 r, déterminez 1poids <1('la personne assise dan. le i~c E-

1--- 1'"1 --)---- :1~III ---fi III

b..1S ni

20"

III fil

if D-<:

Agure P2.46

11 If) III

36Figure P2.47 - P2.4a

Page 43: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

2.49 Deux fore 'S de valeur FA = 8 kN et Fa = 16 kN sont appliqoées augousset d'assemblage soudé tel qu'ilIustré li Lafigure 1'"2.-19- P2.50. Sachant quel'assemblage est en état d'équilibre, évaluez la valeur des deux autres forces BII

présence.

2.50 Deux forces de valeur F" = 5 kN et F'D = 6 kN sont :lppliqllffLS ailgousset d'assemblage SOli dé tel que présenté à 1" figure P2.49 - P2.50. Stl("~ltlJltque:l'assemblage est en état d'équlhbre, évaluez les deux autres forces en présence.

Fil

c

Figure P2,49 • P2.SO

2.51 Les forces P et Q sont appliquées au gousset d'assemblage d'un aéroneftel (lU 'illustré à la Agure P2.51 • P2.52. Sachant que l'assemblnge est eu état d'équi-libre et C)11e P = 500 N et Q = 650 ~. calculez la grandeur des for'Çc's appliquéessur les barres A et B.

2.52 Les forces P et Q salit appllquées eu gousset d'u,,ssclllblagc J'lIII aéroneftel que présenté il la figure PZ.51 - P2.52. Sachant qu(' l'assrmblagr est l'ft (Slnlo'cXtuilibre Cl que les forces apphquées Sur le barres ,\ C't B sont respcetivemcrnde FI. "" 750 N et de Fa = 400 N. évaluez la gnuldeur des forces P et Q.

2.53 Un téléphérique est supporté par le câble-porteur ACB ct est n16 à unevitesse constante par 1<-câble-tracteur DE tt·1 C]lIïllllsln'" à lu Ogun.' 1'2.53 - P2.S....Sachant que le poids cl la cabtne. passagers ct mécani II)~ inclus. est dt' 22,5 kN,que a"" 45° ct t3.", 40°. (.'1 en 1I"Upposant qllc 1.. tension dans le câble DFestnégJigeable, déterminez :

0) ln tension dans le câble-porteur r\CB ;ù) ln force d~ traction du câble-tracteur DE,

2-54 Un téléphérique est supporte< par II' câble-porteur ACB et ('-sl n1(1 à unevitesse constante par le câble-tracteur DE tel qu 'illustré t~la figure P2.53 - P2.54.Sachant que la tension dans Je câble-tracteur DE est de 18 k~, qlJC 0: = 48D elt3 "'" 38°, ct en supposant quo 1.. tension dans 1('câble J)F est nt_'l.gligcable,détcrmlncz :

Il) le poids de la cabine, passagers et mécanisme inclus :b} la tension appliquée dans le câble-porteur ACB.

2.55 Deux câbles sont reliés ensemble un point C tel quïllllstr~ il la figurePZ.55 - P2.56. Sachant que Q = 60 N. calculcz ;

Il) la tension dans le câble AC;J.I) ln tension dans le câble BC.

2.56 Deux câbles sont reliés ensemble au point C tel qu'illustré à la figureP2.55 - P2.56. Évaluez l'étendue des valeurs possibles nC' la force Q afln que latension appliquée sur chacun des câbles AC et BC Ile dépasse pas 60 ~.

2.57 Deux câbles sont reliés ensemble au point C tel qu'illustré à la figureP2.57 - .PZ.58. Sachant que la tenston rlHl'\:inlaJc sdmtssiblc duos chaClln dos clbl(>sAC et BC nt:' doit pas dépasser 800 N. détcrnuucz:

(1) la gr.mdeur maximale de la force P à appliquer au point C;IJ) la valeur de l'angle a correspondant.

ProOlemes 37

QB

p

Figure P2.S1 - P2.5.2

i\

Figure P2.53 • P2.54

A

B

QFigure P2,55 - P2.56

C p n

Page 44: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

38 La sIal-que etes par1lcules

FIgure P2.57 • P2.58

f---x

2.58 Deux câbles sont reliés ensemble au point C t....l qu'Illustré à hl AgHreP2,57 - P2.58. Sachant que la tension maximale admissible dans le cûble AC est de1.200 N et celle admisslble dans le' câble BC est de 600 N, détenninez:

CI) la force P à appliquer au point C;b) ta valeur de l'angle a correspondant.

2.59 En VOllS référant à la situation décrite au problème 2.46. détërminez:a) la valeur que doit avoir l'angle a pour que la tension appliquée SUT le

câble BC soit minimale ;l,,, la valeur dt' celte tension.

2.60 En VOliS ref~ranl à la situation décrite au problème 2.45, déterminez:a} la valeur que doit avoir l'angle a pour que la tension appliquée sur la

corde BC soit minimale ;Il) ta valeur de cette tension.

2.61 En \QIIS œl~rnnl à la situation décrite au problème 2.44. déterminez:a) la valeur qllc don avoir l'angle â polir 'Ille la tf>llSion dans If' câble BC

soit minirnale ;b) ln v-aleur dt> celte tension.

2.62 Une force de 1200 N est appliquée au point C exactement au centre ducâble I\C8 (figUf<' P"2.62). Déterminez la longueur minimale du câble, sachant quela force uiadmale <lppLiqll(':(' sur chaqu portion du câble ne doit p!L~dépasser 870 N,

c

400 mm

J\

FIgure P2.63 - P2.64

160 kgFigure P2.5S • P2.66

Figure P2.62

2.63 Le manchon A, glissant sur une tige horizontale tel qu'illustré à la figureP2,6J - P2.64, est relié 11une charge de 25 kg. Évaluez la force P nécessaire pourgarder le montage Cil équilibre si:

0) on désire une distance s = 00 mm ;I" 00 désire une distance x = 300 11H11.

2.64 Le' manchon .1\, glissant sur une tige horizontale tel qu'illustré à la 6gureP2,63 - P2.6-J, ("si ff'lif à une charge de 25 kg. Si P ;; 200 N, évaluez la distance xp(:~rlllt'ttsnt dt, garder 1(' !llOnlage en équilibre.

2.65 C0l1sid61"C'Z le montage Illustré à la n.~,lIrc P2.65 - P2.66. constitué d'unS}~1ème de poulies et de rordage-s. Déterminez la grnndeur de la force P et l'angle a,sachant que f3 = 20" et que le montage en situation d'équilibre supporte une chargede 160 kg. (Suggestion: pour cette situation, supposez que la tension dans la cordeest la même de chaque côté de la poulie, comme on If>verra au chapitre 4.)

2.66 Considérez le montage illustré à 1a agure P2.65 - P2.56" constitué d'unsystème de poulies ct dt' cordages. SlichAnt que (l "" 400 ct que le montage en situa-tion d'équillbre supporte une t:lLargede 160 kg, déterminez:

a) l'anglE"f3 (suggestion; pOllr cette situation, supposez que la tension dansla corde est la même de chaque côté de ta poulie, comme on le verra au chapitre 4) ;

J)) la grondeur de la force P.

2.67 Une caisse de 61.2 kg doit être soulevée, Divers mootnges sont sug~gl'rés tel qu'illustré ;1 la f1!(UreP2.67. Déterminez la tension Tpour chacune de ces

Copynghted ma nal

Page 45: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Nous pouvons ensuite décomposer F,. en deux composantes rectangulairesFK et F= dans le plan x;;. dirigées respectivement selon les axes x et z(figure 2.3Oc}. Nous obtenons jF.

(

l' T T'r

-.= )

(li ~Figure P2.67

(il) (t') {dl

configurations (0 à c). (Suggestion; pour cette situation. supposez que la tension dansla corde est la même de chaque côté de la poulie. comme on 1(' \'t'mt Ilu chapnre .J.)

2.66 Trouvez la solution pour I~ IHuutugl:S b cl </ du problème 2.67, ensupposant que l'extrémité libre de la corde est attachée à la caisse.

2.69 Constdérez ln figure P2.69 - P2.iO. La poulie C, se déplaçant sur lecâble ,1GB. supporte une charge Q. Un second câble CAO, pa sant p.1r la poulie A,tient en position la poulie C. Une eharge P de ï50 N est appliquée à l'extrémité D.Calculez !

a) Latension appliquée sur le <.:;lble AClJ ;h} la valeur de la charge Q.

2.70 Considérez ln Ilgure P2.G9 - P2.ïO. La poulie C, se d6phlÇO'iltl sur le01h10 AC8, supporte "11(: charg(' Q de 1800 r\. Un second cûll'e CAO, passant pttrla poulie A. tient en position la poulie C.· ne charge P est appliqué • à l'cxtréuiité D.Déterrnlnez ,

(1) la tension dans le câble ,.\C B ;lr) la valeur de la charge P.

FORCES DANS L:ESPACE (30)

2.12 COMPOSANTES RECTANGULAIRES DANS L:ESPACE

Tous les cas étudiés jUStju'iCi se résolvaient dtULS un plan faisant appel à deuxdimensions seulement. NOliS abordons maintenant des problèmes situésdans un e.''-pace tridirnensionnel (3D).

Considérons UJ1C force F appliquée à l'origine a d'un système de coor-données rectangulaires x,!Jt z. Pour définir sa direction. nous traçons un planvertical OB/I.e contenant le vecteur F (figure 2.30a). Ce plan passe par l'axevertical If et son orientation est donnée par l'angle lb qu'il forme avec leplan xy. Langle O!!, situé entre F et l'axe des y. définit la direction de F clansce plan. Si nous décomposons la force F en une composante verticale F!Iet une composante horizontale Fil (nh'tITe 2.30b), nous travaillons dans leplan OBAC selon les règles établies pour les forces coplanaires en premtërepartie (lu chapitre. Les composentes scalaires correspondantes s'écrivent

(2.16)

F", = Fil cos lb = F sin 0!l (;OS ri>F:. = FI, Si11 ch = F sin (}!I sitl <1>

(2.17)

2.12 COll'poc.an·o'1 rectanqulùlrf!S dans re:;.paœ 39

A

D

pQ

Figure P2.69 - P2.70

y

8

o;r

--(a)

y

A

(b)

8

l''1

D x

c--Figure 2.30

Copynghted ma nal

Page 46: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

'1

Nous avons donc trois composantes vectorielles rectangulaires Fx , Fy, F::.dirigées selon les trois axes du système de coordonnées.

En appliquant le théorème de Pythagore aux triangles OAB et OCD de1.1 6gure 2.30, nous trouvons

FZ = (OA)2 = (OB}2 + (Bi\)2 = F~+ FlF?t '"" (OC)2 = (ODr~ + (DC)2 = F.~+ F~

En éliminant Fr. de ces équations et en isolant F, nous obtenons uneexpression de la grandeur du vecteur F en fonction de la grandeur descomposantes rectangulaires.

40 La stauquo d· s parncu 015

(2.18)

c Nous visualisons plus facilement la relation entre la force F et sescomposantes en représentant une boite dont les côtés correspondent à FX>

F'I et F;: (flg1lre 2.~31).Le vecte-ur F devient alors la (liagonale OA de cetteb()Îtf>.La fj~'t1rc2.31b montre le triangle rectangle Or1B ayant servi lidériverla première des équations (2.16), soit Fy =F cos 9v' Sur les figures 2.3la et c,les triangles 01\0 ct Oi\E occupent des positions comparables à celle dutriangle OAB. Si nous notons el et 8: les angles formés par F avec les axesx et ;; respectivement, nous l)O·I1VOI1S dériver des expressions similaires àF" =F cos 9" pour les autres directions. Nous obtenons

(ri ~

(2.19)

c Les trois angles 0x, 8y el 8=.définissent la direction de la force F: nous lesutilisons plus couramment que les angles O!J et c/J définis au début de cettesection. Les cosinus des angles OT' 8y ct 8; sont les cosinus dlrecüonnels dela force F.

Avec l'utilisation des vecteurs unitaires i,j et le orientés respectivementselon les axes x.y et z {figure 2.32). le vecteur F peut s'écrire:

Ibl

(2.20)

-w

oü les composantes scalaires F~, F!fet F:.sont données par les équations 2.19.

Exetnple 1 Une force dl' 500 N forme d(~ angl s do 60'>,45° ct )20° avec lesaxes x. y ct .;;resrpectivemcnt. Déterminons les <''ôlllposanles l'x. l'y ct P; de la force,

En substituant les valeurs f' = 500 N. 9x = 00°. (JI) = 45°. 9.. = 1200 dans leséquations 2.19, nous trouvonsFigure 2.31

j

Ft = (500 N) cos 60° = +250 ['\Fu '" (500 N) (,'OS 45° ~ +3.54 ~F= = (500 N) L'OS 120° = -250 N

En insérant ces valeurs clans l'équation 2.20, l'expression de F devient

F ~ {250t\')i + (354 N)j-(250 ')k

La convention de signes reste la même que pour les problèmes en deux dimensions :It!.sig1ll' positif défiuit une composante orientée dans III sens pôsitif de l'axe et le signenégatif indique le sens inverse.

Il

xNous mesurons l'angle entre la force F et chacun des axes à partir du

côté positif de l'axe et la valeur sc situe toujours entre 0° ct 180°. Un a.ngle ex;inférieur à 90° (aigu) signil!e [l'le F, appliquée à J'origine O. se trouve dumême côté du plan. yz que l'axe des x positifs; cos 8r et Fr sont alors positifs.Par contre, ~il'angle 8x est supérieur à 90° (O}>tlIS). F est {le l'autre côté du

1

/--FIg.ure 2.32

Copynghted ma nal

Page 47: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

plan yz; OOS (}l. el Fl. sont alors négatils. Dans t'exemple 1, 08 et 0,:/ ont aigus 212 Composantes 'ectBflgu:9ire~clans rescaea 41alors que e% est obtus; en couséqnenee, Fx et Fy sont positifs et F:. est négatif.

En substituant dans l'équanon 2.20 les expressions de Fll' F" ct F:obtenues en 2.19, nous trouvons

(2.21)

1\ous en déduisons qUf' la force F œrrëspond au prorlu_ït du scalaire F p:lrle vècteur suivant:

(2.22)

Le veeteu r A est de btrulldcur égale à l'unité. il est orienté clans la directionde F (figure 2.33}. Le vecteur A ttst donc le vecteur u~ttl(lf.roori mté selon laligne d'action d . F, 1: 'C)ufltion 2.22 indique que les composantes du vecteurunitaire A correspondent aux cosinus directeurs cie la ligne d'action cio F, soit

g

À.. = cos (J~w _ (2,23) ,tt""'J''1

Il est à. rClnarquer que les valeurs des angl~sBr, 8y 1!!t 8= ne sont pas indé-pendantes. En nous rappelant que la. emme des carrés des composantesd'un vecteur ('tgal€:!Il' carré <le sa grruldeu,r, llOUS pollVOl1S écrire

A; + A; + À~= 1

En mbstituant le valeur' obtenue plus haut pour À....Ày et À:;, nous trouvons

:t1 F.i,

(2.24)

F.k ,"'-- _'

/-~Figure 2.33

Revenons au cas de l'exemple 1: une fois que les valeurs ex = 600 ctDy = 45° 0111 rlXé • l'rulgtf' 0: doit absolument être égnI à 60° Ou il l20°pour satisfaire à l'équation 2.24.

Lorsque les composante F!I.' FI) et Fz. de la force F'scnt connues.I'ëque-tion 2.] détermine P, 1;1 grandeur du vecteu~. ' eus commençons parcalculer .lt"S cosinus clirectioonels à l'aide des équations 2.19.

Fucos e =---

lJ F (2,25)

Nous trouvons ensuite Ic~ f1.llg)<: OK' @y et 9:;, quI caractérisent la dÜ"ElCliC>l\de F.

Exemplfl 2 Unr- 'oret: F fi pour composantes [t~c 20 ',FI) c::: -30 1 etF::r. ... 60 N. OuS voulons déterminer sa gmtldew' F ainsi que tes angles 0... 0" et 8=qu'elle forme uvee les a.1C.CS du système de coordonnées.

eus ntlltsons d'nbolYl )'c{CilllltiQn 2. J ' G:

F = VF2 + Fi + F2• - tj %

= V(20 N)~+ {-30 N}!.: + (00 X}!

- V4900 X ... 70 ~

En insérunt 1 ·S vaJ('II......"('~ composantes et dt' la graJ)(léur dp ln fore- dall) les .équ ulons 2.2.5, nOH!) lrouvonli

L) =<!,p, = -30 Nco v" P 10 1

1=~=_60_cos l,;; li' 70 N

5. Si vous 111'11»<:11une (;LlclIl.llriœ prog1tunrn':e pour convertir directement les coordcn-liées 'OOI(lIl~lllrtll ':,> Cil (;,Kln]O'(I,nées polaires. IlOUS vous ~'rons de procéder comme Mult;dél~rml!l(,v. d'al)(lId 1~ Il prt11ir ,Ii' If, et F. (flt,.'lll'e 2..3Ot'). tro~ 8nwite F' i\ (lart1v de P",l't F!t(figllre 2.3(lb). Nolt~~fille l'VIdre d'entrée de F.., Ffi et F. est SIW$ hnpo.rtanoe.

a Ibid.

Copynghted malena

Page 48: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

42 La statique d8$ particules NOliS calculons les quotients et nous appliquons ensuite la fonction ure cosinus pourobtenir les angles:

La calculstrice perlnet d'effectuer facilement ces opérations,

2.13 FORCE DÉFINIE PAR SA GRANDEUR ET DEUX POINTSSUR SA UGNE D'ACTION

Dans bien des applications. la direction d'une force F est définie par les coor-données de deux points situés sur sa ligrle d'action, nommés i\t[(XI, '11, :;1) etl-J(Xl? 'ln. Z2). tel que montré à la flgure 2,34. Considérons le vecteur !YIN

y

x

•..Agure 2.34

joignant M et N, dans le même sens que F, dont les composantes scalairessont notées d,,!:,dy et d.; Nous pouvons écrire

AIN = d~i+ dyj + d:k (2.26)Nous déterminons le vecteur unitaire À, orienté selon la ligne d'actioncommune à F et l\.1N, en divisant le vecteur l',.IN par sa gra.ndeur i\IN.Sachant que MN correspond à la distance d qui sépare Nl et N, nous rem-plaçons l-ifN par l'expression de l'équation 2.26 et nous obtenons

(2.27)

F étant égal au produit de F et À, nous avons

(2.28)

Les composantes scalaires de F s'écrivent alors

(2.29)

Les équations 2.29 simplifient beaucoup le calcul des composantesd'une force F lorsque sa lib>'nc J'àcti.on est défl.nie par deux points M et N,

Nous obtenons les composantes du vecteur AIN en soustrayant les coordon-nées de hl de celles de N et nous trouvons ensuite d, [a distance qui sépareces deux points :

li,...= X2 - Xl lly = 1.12 - !Jl li -- _-~ - ,N-:) -1- .

Copynghted matenal

Page 49: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

En substituant ensuite F. (lx. dy• d;:. et d dans les équations 2.29. n011S

pouvons déterminer facilement les composantes F,;. Fy, el F~de la force.Les équations 2.25 donnent les angles 8:n9y et 8~formés par le vecteur F

avec les axes du système. En comparant les équations 2.22 ct 2.2ï, nouspou~vons également écrire

2.14 Addiuon de forces concourante. 43clans fe.paoe

d.JI(.'0.. 9 =-

d (2.30)

et déterminer les angles 6.x.8y et 8: directement à partir des cornposantcs duvecteur Ml\' et de sa grande1lr 'ft"fll/.

2.14 AODmON DE FORCES CONCOURANIES DANS l'ESPACE

Nous obtenons la résultante R de deux ou plusieurs forces dans l'espace cnadditionnant leurs composante.') rectangulaires. Les métlloc!é"$ gruphifllle:; ettrigonométriques s'avèrent peu pratiques en trois dimensions,

Pour additionner les forces, nous procédons cornille il est indiqué li lasection 2.8, c'est-à-dire avec les forces coplanaires. Nous avons

R=IF

En décomposant les forces en composantes rectanzulaires, 110llS avon .

R:ri + Ryj + ~k = !(F.ri + Fyj + F~k)= (!F.r}i + (!Fy)j + (IF:)k

Il s'ensuit que

(2.31)

Nous déterminons la grandeur de la résultante et les angles Or, 8y ct 0;qu'elle forme avec les axes en procédant comme à la section 2.12. NOliSécrivons

R = v'R~ -1 R~+ R~

cos 0y =& cos O. = R~R • R

(2.32)

(2.33)R,

ces 8 =-'"U. 1 R

c

Page 50: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

8C)IJI

z

44

PROBLÈME RÉSOLU 2.7

Un hauban d'une tour est ancré au point A. La tension dans le hauban a étéévaluée à 2500 N. Calculez:

Il J les composantes FA' F)' et Fz de la force transmise IIU boulon d'ancrage;b" les Wlgles (J/t, 9yet 8~qui définissent la direction de cette force.

SOlunON

u) <:ulnp() ...antes de la force. La ligne d'action do la foret' trunsmise auboulon d'ancrage passe par les points A et B et la force est orientée de A vers B.-Les composantes du vecteur AB ont ln même direction que la force, Elles sont donc:

d.,,= -40 ru

La distance entre A ct B est

AB = d = Vrl~+ d1 + di = 94,3 m

dr; = +80 m d, = +30 ln

Oln -.En e-Xprimant le vecteur AB à l'aide des vecteurs unitaires i, j et le, on a

---.AB = -(40 In)j + (80 In)j + (30In)k

_,.x En introduisant le vecteur unitaire A = AB/AB, on écrit

----tAB 2500N-

F = FA = F = ABAB 94,3 III

'J

-En substituant l'expression du vecteur AB, on obtient

2500 NF = 1\.4 (-(40 ut)i + (80 l)))J + (30 nl)l<]

::1"2,3 mF = -(1060 N)i + (2120 N)j + (795 N)k

d'où les ccmpcsantes de la force F:

,,'t--Jo(14)~ 1;,,-..L212(1N J_-+79Si\ ....

b) Direction de la force. En résolvant les cqueuoos 2.25 par rapport 3U,,'(

cosinus dlreeteurs de là droite AB, 01) obtient

F6 -1060 NCO!) 8 = - = ----

• F 2500NFr; +2120 N

cos O!' = F;;:; 2500 N

F. +795 Ncos 8:, ;;: -; = 2500 r\

x d'où0, = 115,'~

(}·'!ote. Ce résultat aurait aussi bien pu être obtenu à l'aide des composantes et de lagrandeur de la force F.)

Page 51: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

~(_

2ÎUl J~ III

,)-

Il

('

PROBLÈME RÉSOLU 2.8

Une section de IHUT est temporairement retenue par des câbles, tel qu'illustré li lnAgure ci-contre. Sachant que ln tension dans le câble r\B est de 8,4 kN et celle dansIf'câble' AC de 12 kt'\, calculez IIIgrandeur et la direction de la résultante des forcesau piquet situé au point A.

SOLUTlON

I_(·~ Ciull!l(),unl(·" de .. foreev. La force' 3j)pIÎ'l1l~c par chaque cable' sur lepiquet i\ peul (lue décomposée en ses cOluposantcs selon les axes des .T,y et .:.-- --Ou commence par calculer les composantes et les valeurs des vecteurs AB et AC.en les mesurant du piquet A vers la section du mur, En utilisant les vecteursunitaire. i j et k, OH a

-.rVJ = -( l6 Dl)i + (8 m)j + (11 rnlk-AC = -(16 [n)i + (81n)j - (1611I)k

AB = 21 rur\C = 24 m

En idennfiant 1" vecteur unitnirc selon AB par lo symbole Â,IH. alors__,

.. AB 8,4kN _.T.-\8 = 1,w.\'\8 = TAB AB = 21 m ;\8

!J

-+En substituant dans l'équation l'expression du vecteur i\B, on obtient

Till: = (12 Il:'\'' "AI' 8 1 kN,._ T.\8 = ." 1 1-(16lîl)i + (8 rn)j + (II m)k]

21 III

T.~B= -(6.4 kN)i + (3.2k.\i)j + (",4 kN)k).u .//' 110 III

./ ,/\-y

11 III

.r

'Oc la Ill(lll)~fl\ç-on,en Identifiant par leon obtiellt

)'lobofc Â.\C le vecteur unitaire selon AC.

-t\C 12 kN ---+T,\(' = 7':\c.\,,(' ;:; TAC AC = 24 111 AC

T \(' :::a -CR kN)i + {4 kN)j - (8 kN)k

la ré ..ultante des fOI'CC". [...1résultante R des forees exercées par les deuxcâbles t' t

R = TAS + T,,(' = -( 14,4 kN)i + (7,2 kN)j - {3.6 k.\i)k

On calcule ensuite la gr.\ndeul' ct la direction de la résultante;

R =:: V R~ + Re + R~ "" V( -l4,4}Z + (7,2)Œ + (-3.6)lÎ/~ 16.5 I.N ~

1\ partir des équations 2.33. on obtient

R. - 14,4 k1'\cos O;c == fi = 16.5 kN

_.& _ +7,2 kNcos 0'1 - n - 16.5 kN

R.. -36 kNcos (J~:;;;;...:. .. -~. --• R 16.5 kN

d'où

0, = l50.~ n,,=6LlO (J. = J 0:2.6"•

45

Page 52: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

,RECAPITULATION

...SECTIONS 2.12 A 2.14

Dans ces sections, nous avons vu que les forces dans l'espace peuvent être déflnles soit parleur grru1deur et leur direction, soit par leurs composantes rectangulaires Fll' Fr et F7,.'

..\) Q'itlllll ,,,.(' !ur',·t! elll (/ifillic l'tir Hil g"(lu(lC'ur o lUI (1;,,('('/;011. ses composantesrectangulaires peuvent être déterminées de trois façons différentes, dëpendamment desdonnées dont nous disposons:

C:tlH 1. Si la direction d'une force est déterminée selon les angles Byet q, (figure 2.30),nous la décomposons à l'aide des équations 2.17. Ainsl, nous commençons par décom-poser la force F sur le plan verticallj (F!I) et sur le plan horizontal (F,,). Ensuite, nousdécomposons Fil en ses composantes F%et F: (figure 2.3Oc).

(:01( 2. Si la direction de la foree F est définie par les angles Bn 8!1et B:, la grandeurdes composantes selon les trois axes est obtenue par la multiplication de la grandeur dela force F par le COSU1US de l'angle correspondant (exemple 1):

(;01( J. Si la direction de la foree F est définie par deux points dans l'espace (M et lt.')situés dans sa ligne d'action (figuré 2.34), nous devons d'abord exprimer le vecteur MNpar ses composantes dx• dy, d; et par les vecteurs unitaires i, j et k, d'où

~fN=dri + dyj + ~k

ous devons ensuite déterminer un vecteur unitaire A orienté selon la ligne d'action de F.Ceci se fait en divisant le vecteur MN par sa gr'cirl<!ellr ~[N. En multipliant À par lagrandeur de la force F, nous obtenons F exprimée selon ses composantes rectangulaires(problème résolu PR-2.7).

Il est important d'utiliser un système d'annotation cohérent et significatif quand vient Jetemps (le décomposer une force selon ses coordonnées rectangulai res. La méthodepréconisée dans ce livre est illustrée uu problème résolu PR-2.8 où, à titre d'exemple, TABagit du piquet A vers le point B. Il est à noter que l'ordre des lettres indique la directionde ln force. Il est recommandé d'utillser cette notation, puisqu'elle permettra de dis-tinguer clairement le point l, identifié par le premier indice et représentant l'origine de laforce, et le point 2. identifié par le second indice et représentant l'extrémité de la force.Finalement, rappelons l'importance d'utiliser les bons signes pour indiquer la direction dechacune des composantes d'une force.

46

Page 53: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

H} Q"/uul",'H.' fort'e e.ïBI t:léflRie 8ëron ses compmttmle8 f'ectangulaif"efl F1!l)Ft! el F$'la grandeur de la forœ F est obtenue comme suit:

Il ;;;v'F~+ F!+ F!Les cosinus directe\ll'S de la ligne d'action de F s'obbennent par les tn:presslol1Smathématiques suivantes:

F.il. :t.cos V, ::1_~ fiFcos 9. =....!Ly Ir

F.,,""'., tJ _ '"~~--'~ F

(') Pflflr !/(Ît('rJJliuer Itt riilit,llante de deux fo1!"C"eS0" pltlS dans 1't!-spAoo,[lOUSrlevonsd'aoon) découlposer les forees selon leurs composantes J:ectangulaires. En additionnantaIgébriquenlent ces composaates selon chaque ase, nom oJ.,tiendrons les œmposantesRu Ry et.~ de la force résultante. La gnmJeur et la directioo de ltïrésU.hûote ~ont cal.culéescomme expliqué précédemment (problème résolu PR·2.8).

Copynghted matenal

Page 54: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

1)GOON

s

2.71a)b)

En vous référant à la flgtlf P2.ïl - P2_Î2. dérernunez .les composantes selon les axes x. y et .; cl, la fore' de 600 N;les angles Or, 0" et 0;; que cette foree Ionne avec les axes des x, y at .;.

--Rgure P2.71 - P2.72

2.72a)b)

En vous référant à la flgt,n~ P2_ïl - P2_72, déterminez:les composaotcs S('IOll les nxes x, y et ~ OC la force dt:' 450 N;les angles 0%, 0" et 0;; que cette foree forme avec les axes des x. y et z.

v2.73 L'('l\tréfllil~ du câble cO<l\.iaf r\E est attachée au bout du poteau AB,

lequel est soutenu par les haubans AC et AD. Sachant (lue le hauban AC supporteune tension dl' 120 N. évuluez :

1.1) les composantes de la force exercée par le hauban AC sur le poteau;b) les angles (J~,0'1et 8~que cette force forme avec les axes des x, y et z.

36"

B

2.74 L'c:xtrénlil': du cflblt· coa~irtlI\E est attachée au bout du poteau AB.lequel est soutenu par les haubans AC et 1\D. Sachant que le hauban AD supporteune tension cl!' 85 :\, évaluez:

a) les annposantes de la force exercée par te hauban AD sur le poteau;b) les angles Or. 8" et 0;; que cette force forme avec les AXesdes .1:, 'J ct z.

:r

2.75 Ua disque C,!Sl suspendu au support D pnr les trois cibles AD. 80 et CD.Langle que ces trois câbles forment U\'C,!C III verticale ((lXC des Ij) est do 300. Sachantgne la.composante selon l'axe des x de la foree exercée par le câble AD sur le disqueest dt' 110.3 r'\. détenllillez:

a) la tension dans le câble rill;b} les angles (l~.0'1et 0: qUE' la force appliquée uu point i\ forme avec J JS

trots axes,

Figure P2.73 - P2.74

2.76 Un disque est suspendu au support D par les trois câbles AD, BD et CD_T__;angl('quI" ces trois câbles forment avec la verticale (axe des !J) est de 300_Sachantque la composante selon l'sxe des z dl' la force CXCrC(lc par 1\ câble BD ur le disquest cl • - 32,1-4 N. d(~t('n1Iitl 'Z:

li) la tension dans le câble 1~/J;b) les ungl('s Oc. Oy ct O~<.jue la lorce appliquée al! point B [orme avec les

trois IL'(C •

2.77 Un disque est suspendu au support D par les trois câbles AD, BD et CD_Langle que ces trois câbles forment uvee Laverticale (axe de-s y) est de 300. Sachantflue la tension dans If' eâhle CD pst de 60 N, déterrninez:

a} les composantes de Laforce exercée par ce câble sur le disque;b) les angles 0,-<.0y et 0= que Laforce forme avec les trois axes.

FIgure P2.75 • P2.78 2.78 Un disque est suspendu au support D pnr les trois câbles AD, BD etCD_ L'angle que ces trots câbles forment avec la verticale' (axe des y) est de 300.Sachant (lllC' la cornpo. antr- scion l'Axedes x dr la rorœ ('xcrc(i(' par le câble Cl) surle disque est de -20,0 N. détermmez:

il) la t{'usioll dllllS If' ciiltl(· Cl);b] les angles 8•. 0'1 el 0,,-que la force appliquée au point C fonne avec les

trois axes.48

Page 55: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

2.79 Déterminez la grandeur et la direction de la force

F = (260 ~)i- (320 N)j + (800 N)k.

2.80 Déterminez la gnuldcur et la direction de la force

F = (320 l\')i + (400 N)j - (250. )It.

2.81 Une force agit à partir des origines d'un système de coordonnées (x, IJ. z)et selon IIn(' direction d~finic pllr le angles Olt "" 69.3° et 0: = 57,9°, Sachant quela composante 'J dt· cette force est de -174.0 ~. évaluez:

a] l'angle 0,,:b) les autres composante cl ln grondeur de la force.

2.82 VII(' force agit à partir des origines d'un système de coordonnées (x. 'J. z)et selon une direction définie par les angles 0, := 70,9" ('1 0" .. 144.9". SUCh(Ult quela colnpo.sallt(':. de c('ttf' forcf' est de -52,0 N. évaluez:

(1) l'anglr 8~;b} I('~ deux autres eomposautes et la valeur de la force.

2.83 Une force F de' 230 N agil aux origines d'un système de coordonnées(x. 'J, z). Sachant "lue O. - 32.5°, Fy = -60 N cl F; > O. déterminez:

a) les composantes F. et F!;/,) l 's angles 011 t'I 0;.

2.84 Um- (01'(;(.' F de 210 N (lgit aux origines d'un système de coordonnées(x.y • z), Sachant que J:. = 80 N. O~ = 151,2" et F!J < O. déterminez:

a) les composantes F'I et F:.;1)) les angles O. et 8y.

2.85 Un plateau rectangulaire est supporté par trois câbles II"I qu'illl'str~ h 18figure P2.85 - P2..86. achant que la tension dans le câble 1\.8 est de 408 N. déter-minez les composantes di;' cette force uu point B.

2.86 Un plateau fl'ctanguhllre est supporté par trois câbles II'I qu'Illustré à lafigure P2.85 - P2.86, Sachant que la tension dans le câble I\D est de 429 N. déter-minez les composnntes <Ir c('ttc~ Iorce IlU point D.

2.87 Une tour d(" trunsmission est tenue par trois haubans ancrés à l'rude desboulons B, C et D, Sachant f]1If" la tension dans 1~csbt . AB est de 2100 t\, évaluezles composantes (jUP cc>tte force applique (Ill point d'ancrage B,

2.88 Une tour de transrnissiou est tenue par trois haubans ancrés à l'aide desboulons 8. C et D. Sachant que la tension dans le cible AD est dc' 1260 N. évalu Z

les composantes quI' cette force applique 811 point d'ancrage D.

Ij

20111

~ Figure P2.87 - P2.88

P,oblèmos 49

'1

...../"3GO

Dtmenstons en mmFigure P2.85 • P2.86

Page 56: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

50 LI alatiqu. ~ panICuleS

!JlJilllf'11sions

&:11 111111

8

/•~

D

4()(1

C'/'

/""Figure P2.93 • P2.94

2.89 Larmature ABC est supportée par le cable DBE tel qu'illustré à laIlgllrr P2.89. 1.....cable DBE pa.~sedans l'anneau B. dans lequel on suppose une forcedl' rriction tlulle. Sacharu que' la tension dans le câble est de 385 N. déterminez lescomposantes dl! la force' exereéc prir 1('câble sur le point D.

IJ

•-

510 mm

600 mm

FIgure P2.39

2.90 l'our lu situation décrite au problème 2.89. déterrninez les composantesde lu force exercée par 1('câble sur le point E.

2.91 Évaluez la grtmdeur et la direction de la résultante des deus forces illus-trées l't la figure P2.91 - P2.92, sachant que P = 300 N et que Q = 400 N.

!J

Q

Je

•. Figura P2.91 • P2.92

.r

2.92 É\I",ùucz la grllolk'ur Cl la direetlo« de IIIrésultante des deux forces illus-trées à Laligure P2.SJ] - P2.92. sachant que P = 400 N et que Q = 300 f',1.

2.93 Sachant que la tension est de 425 N dans le câble AB et de 510 l dansle cable AC. déterminez la grandeur et la direction de leur résultante au point A.

2.94 Sachant tlue lu tension est de 510 N dans le câble AB et de 425 N dansle câble AC. déterminez la grandeur et la direction de leur résultante au point A.

2.95 En vous référant aux données du problème 2.89 et sachant que la tensiondans le câble est dt> 385 N, déterminez la grandeur el la direction de la résultanted\"s forees exercées par 1('câble sur Je point B.

C p n

Page 57: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

2.96 L'extrémité du câble coaxial AE est attachée au bout du poteau r'\B.lequel est soutenu par les deux haubans AC et AD_ Sachant que le hauban ACsupporte une t<>nsiondt" 1500 N et que la résultante des forces appliquées au point Apar les câbles AC et AD doit se situer dans Je plan xy, évaluez:

a) la tension dans le câble AD;b) la grandeur ct la direction cie la résultante des deux forces.

2. , 5 Êquitbre d'une parUcl,lle 51danr.I'npace (30)

2.97 I-,-e;<I-~fllité du câble coaxial AE est attachée au bout du poteau AB.lequel est soutenu par les deux hall bans AC cl 1\0. Sachant que 1(;'hauban ADsupporte une tension de 1250 ~ et que la résultante des forces appliquées au point Apar les câble AC cl .-\0 doit sc situer dans le plan xy. évaluez:

Cl) la tension dans le câble AC;b) la grandeur ct la direction de la résultante des deux forces,

IJ

A

Figure P2.96 - P2_97

2.98 En VOLIS référant aux données du problème 2.85. évaluez Les tensionsdans les câbles r'lB et AD sachant que' la tension dans le câble AC es!' de 54 N et quela résultante des forces nppüttuées par les trois câbles au poiut A doit être verticale.

2.15 É.QUILIBRE O'UNE PARTICULE DANS l'ESPACE (3D)

NO'lS avons vu à la section 2.9 qu'une particule A est en équilibre si la résul-tante de toutes les forc.:es agissant sur elle est nulle. Or, les relations 2.31définissent les composantes R'I(,Ry et R; de la résultante; en les annulant.nous pouvons écrire

(2.34)

Ces équations expriment les conditions nécessaires et suffisantes à l'équi-libre d'une particule dans l'espace. Elles permettent de résoudre les situa-tions d'équilibre d'une particule lorsqu'il n'y a pas plus de trois inconnuesen cause.

NOliS procédons en traçant d'abord le diagramme du corps libre. surlequel ngu l'en1 la particule en équllihr • î},11I81 que toutes les forces auxquell ,-.elle est soumise, Nous écrivons ensuite les équations d'équilibre 2_34 et nousles solutionnons, déterminant ainsi les trois inconnues. Dans la plupart descas. ces inconnues correspondent (1.) aux trois composantes d'une forceunique ou (2) à la grandeur de trois forces dont l'orientation est déjà connue.

Copynght d ma nal

Page 58: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

/"1lOm C

P 20]

/llO ln C

1.2 m

8m

Bt'::--f T .l ,\If Il

\V

..

-•

52

PROBLÈME RÉSOLU 2..9

Un cylindre de 200 kg est soutenu par dE'lLX câbles AB et AC attachés à la partiesupérieure d'un mur vertical, Sous l'action d'une force horizontale P perpen-diculaire Su mur, le cylindre prend lu position indiqllk'. C.ttlculC"'tlu vulrllr de P Cl1fttension dans chaque câble.

SOlunON

Di(lgs'(I'u"" du (IIrp~ Iihr« (1)( 1 ) (le" forl f\. En choisissant le point j\comme point d'équilibre, on note qu'il est soumis li quatre forces. dont trois sont dégrandeur inconnue, En utilisant J'approche vectorielle, avec les vecteurs unitairesi,j et le, on décompose chacune des forces selon ses composantes rechmg111ai.res, d'où

P = Pi\V;;;; -mgj = -(200 kg)(Q,81 mls2)j = -(1962 N}j ( 1)

:rDans le cas des forces TAB cd TAc. on dérenniuo les C()lnpOS311ICS et les grandeurs

-, -des vecteurs .4..8 et I\C, En identifiant par À;4.8 lé vecteur unnaire selo .. le sens AB,on peut écrire-AB .... -(1,2 m)j + (10 m)j + (8 nl)1< AB = 12,862 m_.

À'l8 ;;;; :: = -0,0933Oi + 0,7775j + 0.62201<12, 2m

TAO == TII.8ÀA8 = -0,0933OT,lIli + O,7775TAn.Î + O,G220T"nk (2)

On procède de la même manière pour À,\C, le vecteur unitaire selon le sens AC,d'où -AC'= -(1.2 111)i + (10 tn)j - {LO01)1< .AC:: 14,l93 ln-.

ÀAC = l ~~ == -O,0845.'5j + O,-046j - 0,7046k4, m

Tj\c; "" T"CÀf\C = -O.08455TAcl .; O.7046T,\cj O,7046TACk (3)

('olldil;OIl cl'l·ljuilnllt. Étant donné Cjue1'\ est en équilibre, alors

IF = 0; T..\IJ + T....c + P + W = 0

En remplaçant les expressions des forces par les équations I, 2 et 3 et on mettant onfacteurs les vecteurs unltaires l. j et k:

(-O.09330TAB - O,084S51'Ac + P)i+ (O.77751~\B + O.704.6T,\c - 1962 N)j

+ (O,62.20TAB - O.70.l6T,\c)k = 0

En flxant les coefûctents de i,j et k à zéro, on écrit les équatlons scalaires suivantes,qui exprtment que la somme des composantes selon les trois axes des l', !I et =- desforces sont nulles :

(kF~=O:)(IF" = 0:)(!F: = 0:)

-O,00330TAll - O,08455T,\C + P = 0+O,7775TAB + O,7046T,lc - 1962.''1/ = 0+0.62.201:\B - O.7046TAC = 0

'1 le - 12'3) ~1 \ 1

Page 59: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Nous avons vu dans le cas des forces coplanaires (lue la résultante des forces agissant surune particule en équilibre doit nécessairement être égale à zéro. En appliquant ceprincipe d'équilibre dans le cas d'une particule dans lin espace tridimensionnel, nous nousretrouvons devant trois relation.s exprimées à l'équation 2.34.

Nous procédons alors selon les étapes suivantes.

1. Tracer tlU diagranune du C(J'1)H llhre (1)(:1.'. Ce diagramme illustre toutes lesforces agissant sur la particule en équilibre. Nous devons indiquer sur le diagramme lagrandeur et la direction des forces connues ainsi que tout angle et toute dimensionpermettant de les déduire. Les forces inconnues (soit en grandeur et/ou en direction) sontidentifiées à l'aide de symboles appropriés. Aucune autre information ne doit apparaîtresur le DeL.

2. Dëcompoeer ICHJorc(·,. en romposante« '·(·(·ltllll!lIl"irt·s. POlIr chacune des forcesen présence F. nous devons identifier le vecteur unitaire A définissant la direction de laforce et exprimer cette force comme le produit de sa grandeur F par Je vecteur unitaire A:

F = FA = ; (dJ + clyj + (}.:k)

où d, dx. dy et cl:. sont obtenus par le <liagramme du corps lihre.

3. Fixer 10 réHt,lll,n/e tle« JO 1'<.'('."1 ct ;:..(:,.(). En fixant la somme des forces appliquéesà une particule à zéro, nous obtenons une équation vectorielle définie en fonction desvecteurs unitaires i.j ou k. Pour satisfaire la condition d'équilibre, le coefficient de chaquevecteur unitaire doit être nul. Nous nous trouvons donc devant un système à troiséquations. qui pourm être résolu s'il ne contient pas plus de trois inconnues (problèmerésolu PR-2.9).

53

C p n

Page 60: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

y

2.99 On utilise trois câbles pOlir ancrer lin ballon 311 sol Ici qu'illustré à lafigure P2.99 - P2.102. Déterminez la force verticale P Cl(~rcét) par le ballcn (lupoint A, sachant que la tension dans I~ câble AB est de 259 N.

2.100 On utilise trois câbles pour ancrer tin ballon au sol tel qu'rllustré à lafigure 1"2.99 - P'2.I02. Détcrmtncz h. forcf' \lC?rtiC1lI.~ P e~('rc~(" par 1(' hallon aupoint A. sacl.llUll que ln tenslon dans te câble ,\C est de -141 .

2.101 On utilise trois câbles pour ancrer 1Jn ballon ail sol tel qu'illustré à lafigure P2.99 - 1"2.102. 1)~t('nnin("1, la forCt' verticale P exercée par le' ballon aupoint A, sachant Clue la tension dans If:'câble AD est de 481 N.

5.60 III

2.102 On utilise trois cibles pour ancrer un ballon au sol tel qu'illustré à lnfigure P2.99 • P2.102. Sachant que la force verticale P exercée par le ballon aupoint A est de 800 N, déterminez Latension dans chaque câble de rétention.

2.103 Une caisse est supportée par trois câbles tel qu'illustré à la 6gure 1>'2.103·P2.106. Déterminez le poids de la. caisse, sachant que la tension clans le cable ABest de 750 .

Agure P2.99 • P2.102

1)1f 1.1t"ll.~Cln~

fOU ".".

vB ....._ .......

....

320

r./•/,,-u.-' _1

x

Figure P2.103 - P2.106

2.104 Une caisse est supportée par trois câbles te>l(III'ilIustré Ala OgllfC P2.103-P2.106. Déterminez le poids de la caisse. suchant que III tension dans le câble ADest de 616 N.

2.105 Une caisse t'st supportée par tn)is clil,lt's ('1 qu'illustré à la Bgure 1~2.103-P2.106. Déterminez le poids de la caisse. sachant que la tension clans le câble ACest de 54-4 N.

54

2.106 Unc caisse de 163 kg est supportée pnr trois câbles tel qu'illustré à lnflgur P2.103 -1)2.106. Déterminez la tension dans chacun des câbles.

Page 61: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

2.107 Trois câbles SOIlI 1'(·li\~sli·1 C'l'lïllllstrf à la f1~lrf'P2.IOï - PZ.lOB. Lesforces P et Q sont appliquées ail point .4. Si Q = O. déterminez P sechant qlle latension clans le câble AD est de 305 N.

2.108 Trois câbles sont reliés tpl CJII'iJJlL~tréà la figure P2.107 - P2.10S. Lesforces P et Q sont appliquées au point A. Si P = 1200 N, estimez l'étcndur- desvaleurs possibles do Q sachant CJIIC If' câhle f\D est sous tension.

2.109 Une plaque rectangulaire est supportée par trois câbles tel C)IJ 'lllustréà la Ilg1lrf' P2.1 09 - P2.110. Sachant que la tension dans le câble 1"\(; est tic' fi() •évaluez le poids de lu pleque.

2.110 Une plaque rectangulalrc est Stlpportèe' p'\r trois câbles tel qu'illustréà Lafigure PZ.log - P2.110. Sachant que la tension dans 1(·('fible ,\1) ('sl de' 520 N.évalnf"z le poids de la plaque.

l)illll'r.~iOIlSl'n n'IllFigure P2.109 - P2,110

2.111 Une tour de transmission est tenue par trois haubans au point A ct estancrée aux points B. C et D à l'aide de boulons. Sachant qlle la tension dans I~câblei\B est de 840 N, déterminez kt lorce verticale P appliquée par la tour au point A.

2.112 Une tour de transmission est tenue par trois haubans (III point A ct estancré!' aux points H, C et D à raide de boulons. Sachant que la tension dans le câbleAC ost de 590 N, déterminez la force verticale P appliqué ' p~u' la tour au point t\.

i\

20 ln

--x

Figure P2.111 - P2.113

2.113 Une tour de transmission est ltlllllr par trots haubans ail point A. Elleest ancrée aIL'\: points B, C et D ;1 l'aide de boulons. Sachant (111(' la tour al}pliqul'UIIl' force P verticale vers le haut au point r'\ de I800 " déterminez la tension danschacun des câbles,

'1220 111111

Prob ('meO 55

320 111111

960 mm1

. \

\\

CyQ

OC)!) mm

Figure P2.107 - P2.108

Copynghted ma rial

Page 62: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

56 la statlquo des panlcu-es 2.114 Un disque horizontal dont le poids est de 6()(} N est suspendu au point Dà l'aide' de tmis câbles (n(!llf'f' P2.114). Chaque eâhle form(' avec l'axe vcrncal y linangle de 31.r. Évaluez la tcuslou dans chaque câble.

y

Figure P2.114

2.115 F:n "OI1S rt:r~rlll1l ft la plaque rc·ctangulairY' des problèmes 2.109 et2.1141,~vf,tllll'/ la tension cie' C'hIl(jIJ(' ('ilhll!, sachant '111e' la plaque pè'Sf' 792 i .

2.116 Pour le sysl<'nlf' dl' câbles des problèmes 2.107 el 2.108, évaluez lutension dan (·haqllC' câble, sacharu que P :; 2880 N et Q ;: O.

2.117 Pour Il' Sy'tl'Illl' de (..'âbl(·sdes problèmes 2.10ï et 2.108. évaluez latension dans c.:t.<Itplt' câble, sachant q1le P = 2880 r\ et Q = 576 N.

2.118 Pour lr- sysl01llC de ('i1hlcs des prohlèmr-s 2.107 et 2.108, évaluez latension d~U1Schaque cûble, sachant que P = 2880 N et Q = -576 N (Q orientée\ ers If' bas).

2.119 raidI" d'lin C'\lllVO_Vf'1I1' C'I cil' deux câble-s, deux opérateurs procèdentau déciJ.argclIl,'nt d·U.lIL· pivt.'(.· t'II fVIIW de ~ l,5 kg (ngu,'1:' P2_ L19). Dëternunez lal('UStOIl dans chaque câble. sachant que.': à ce moment précis I~pièce est en équilibre;les peints 1\, B ct C; sont respectivement aux coordonnées (0; -0.5 rn , J m) pour A,(-1 III ; 1,25 m : 0) pou,' 8, (1.125 rn; 1 1.1'1; 0) pour C; et que les forces dues nufrottf'n1t'nt sont nulles. (S"gg",stion: pour ('Ptt(' slruation, SllpposFl!]ur la force ap[lli-quéc par Il' CUI1\oy('ur sur lu pièce est perpendiculnlre IlU convoyeur.)

2 III

Flgur'e P2.119

C p n

Page 63: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

2.120 Résolvez le problème 2.11 9 en supposant qu'un troisiême opérateurapplique une foree P = -(160 N)i sur là pièce.

2.121 Considérez la figure 1'2.121. Le conteneur pèse \" "" 1000~. 1,(' câbleAC est attaché au plafond au point C et au conteneur par l',U11I(.\I\I A. Le eâhle i\Eest attaché au plufnnd .111 point E t'I pusse p:tr l'anneau A. Un troisième câble ADest attaché au plafond au point D; il passe aussi par l'anneau A. ensuite par lapoulie B et une force P lui (' t appliquée ail point F. Déterminez la grandeur dt:' P.(SlIggestion: pour cette situation. supposez que la tension dans chaque l'clion ducâble FBf\D est la mêrne.)

0,-10 rn

•- 0.-10 rn1.(",0 III

'"Figure P2.121

2.122 En vous référant à la situation décrite au problème 2.12J. ~iln h..nsionau câble AC est Je- l50 N. évaluez:

(1) la grandeur de la force P;b) le poids \V du conteneur.

2.123 Un conteneur est suspendu par l'anneau !\ tel qu'lllustré il la IIgun.'P2.123. Il est soutenu par 1(' câble BAC, passant par l'anneau A ct ancré aux poilltl>B et C. Dellx forees P = J'j ct Q = Qk sont appliqué€'$ pour garÔf'r 1(' conteneurdans sn position. Si J(' poids du conteneur est \V = 270 N. détenuinez P t't Q.(Sllggl;~tjOll: pour cette situation, supposez que la tension est identique d.IIIS lesdClL'I; sections du câble BAC.)

2.124 En "OIlS r~r~r.mtà la situation décrite au problème 2.123, dérer-minez \v ct r. sachant que Q = 36 N.

2.125 Les deux manchons t\ et B sont reliés À un Ill métallique d'une longueurde 52.5 mm Les deux manchons gliS5l'lIt librement tt·1qUt· pn~,l'Illt~ à la figure P'2.125.Si IIllE' force P = (34 1 N)j est appliquée sur le manchon /\. ('V::tllll~(:

a) la tension sur le fil si 'J = 155 0101;

b) la grandeur de la force Q II~S ajl'(' polir gardC'r 1('système en t~qllilibre.

2.126 SollitiollJ)("'1.1(' problèrne 2.19.5 en supposant Ij = 275 mm.

Problèmes 57

720Dlmen ,101\\

('11 nuu

Figure P2.123

Ij

Figure P2.125

c

Page 64: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

Résullante de deux rorces

FIgure 2.35 A

\ Composantes d'une force

.... ..... ..... .................... ....

Figure 2.36

Composantes rectangulairesVecteurs unitaires

'1

j

xi F =J' i1 1

Figure 2.37

Résultante de plusieurs forces coplanaires

58

DWkS (:(.. chapitre, nous U\'OIl~ c!hllHé t'.-flet dl: f()rt.'t'sappliqnl~l-s il (les parti-cules. c'est-à-dire il des (.'{)rps dont la [onJ1C pt la laille Sf' raPI)l1lCh('1I1 ciecelles d'une particule , les forces agiss.al1t sur ces <:orp'i peuv eut donc €-Ireconsidérées comme avant le même point d'application.

LA's forces SOIlI des (lili/III ite.. crctnrielle«; E"1I...s se ('ari1ctél;s~l1t par linIJo/t!'1 (/'(I}JJJJiclifirltl, une ~rlH,dtur ct une dtrectlou. Ell!!., s aùd.itiOlllll'lItselon la "èg/t' lJ~1paralll..tiogra,unu' (l1gurL 2.3.3), Lu grlllldL'llr ct la directionÙl' ln résultante Il dr- dt'IIX forces P et Q appliquees à une particule PCII"Clltêtre déterminées Wdpluljucllu.'l.lt ou par trig()1I01l1étri(!. avec l'utilisation SUL'-

eessive {I~fa Ini dl.......inus et dt' la Ini df''i cosinus (problème résolu PR-2.1).

Touffe!r('r<'~.11'pli'luée à 1111,..particule lipnt (ltrf' dé('~lIJIP()sét' selon dt'll\

CtnU})().4!flntl·.'/ 011 plus. c'est-à-duc ([llj ~1It' peut (\t'rl' rt'fuplul'C'(" par (Iellxlorcr-s 011 pl us aytlnt If' 1nême eflet sur III purüculc Nous PUU\OIUi repré-seuter 1I1l{' force F pur Ùf->ILX composantes P et Q en traçant lin parallëlo-$<1111m(:>t1~71llt ....' cnrnnu- ôlagol1<lle; les composantes P cl Q correspond. 'nLaux deux côlé~ tldj.tl'f'lIts ttu par.illplograullllt' ((à~ure 2. 3n) (,t pt'lI\ t'nt êtredéterminées grnplllqU('nlC'flt Olt par trigonometrie ( cclion 2,(j),

Une force F peut être décomposée eu deux co/uPos(/u(es "f!ctatlf!.tJlnlr!!.S F,f" F" st-Ion les axev des coordonnées perpendiculuircs (figure 2.3ï) Enintrcdulsant les cccteurs rltlfl";'l~ i el j selon les axesx (.'t Y le:o.r,~){·li\lment,nous ~t'ri\OTl" (sf'{.·lion 2.ï)

Ft = l:~i F" }'"j (;2,6)

et F = F~j+ F"j (2,ï)où F;( et FI) sout les (·OIlI/J().\(/lfte.\ sculaùv« de F. Ces cruuposanres,

poSiti\ es ou négati' es. sont déllnics par 1('5 relations

F'1 = F sin (J (2 ~)

Si nous t'OWIai.SS(lIl~ IlS t'()UlpOS:lnt{.~ rt'ctangl1lair("s ''", l't ""( d'uneforer- F IIUII<:obtenons l'un~IL' 0 qui cll'fillit sa direcliuJl Cil écrivant

fo'tan 1:) = :....!L (2.9)

F,

1-:1grandeur (le la UJI't.'l'F s'obtient t.'1L isolant F dan.s "UIH' des équntirms :2.5ou ( Il appliquant le théorè"lllt .. (It> P)'thagort:'

/: = \. ~ + F' (2, l (), Il

Quand trots force.'! coplanaires 011 'Ji!J' a~s'S(.'nt sur une particule, nousol)lt 'rlon' Ips coruposaute-s rt>('hkllJ..fl.llaifl.'S de leur résultante R l'fi addition-nant algébriquement leurs composante-s r{·t.:lwl~lIl:li.n-, corresporuluntes(section 2,h) d ou

R - ,. Lt - _rI 12.]3)

C P 1

Page 65: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

La grandeur ct la direction de ln résultante R }lt'u\.cnl ensuite être déter-minées à l'aide de relations shnllmres aux éfjuatlous 29 (;>t 2.JO tpreblèmorésolu 1'1,-2,:3),

Une force F <\gis..,ant clans l'espaCi. t,-id,.II,ru,I,/vlltud peut 8Utl cLécoU1PO..,î!CSf>lOI) ~I~"CUnlp!lS;1l1tf'1i Tt'Chu)~lIlairl""Joi Il' • F'I et F (!)c<-tion 2_121. Eu i(lellti-Î1nut par 0,. o., f'r 0;; les all~lc>s f()l"ll1('!i pHf F <1"('(' )ps trnis ;1\+'S dE'~coor-donnée .. x, y et z 1flgll re 2.3K), llOUS UVOllS

F,t - Ji' cos 0, F~::::F (..'1JS Or. ~2.1~)}1~= Fcos ().'1 Y

y 'l

l'V

•• --Figure 2,38 (a)

Les ooslnus dl' f4:. OU('J O~SOfÜ arl)cl~ It>....rfl~~/I'/~tliTt:('t4"I"'> (1(, la J(,((,("' l'.Eu iutroduisuut les ,('ewur.:. Huit~ùrt"s Î_ j e-t k "t']{}Jl Jt>s uxes (1f'('fxJrcluIlllét"\_

, ,nous eenvnns

ou

F=Fi+FJ'+Pk\ '1 ..<

.fi' = p(<.,'()s 8ti T cos O"j + cos e.k)

l2.2UI

1221)

Ct'tte denUPTI.:: ~41latioll dpJllolltre ({J~ln'e2.:1~)}(11l~F eorrespond HUprrxluttde sa grtIlldf'tlf F par Il' 't'Ct4JILt unitaire

Puisque la gnu.Hlclu· dt-' À est (·~.tll' 11l'unité. I\"l)ress\(lu tligolullnphitlllCsuivante doit Ctrt' rcsp~'ClA~t':

"'Il "Il. "l ll'OS~ Il, 1- l'tJS- u"

- èOS- t,. =

$i nou-, COl1lltUSS()rlS lt'"s N)lll!)()!';LlIll'"'i Il'('litl\)..'1Ùttin-" F; J", ct i'~<)'1I"lleForee F. la gnu):d,cur F dt, J,. lorce ]lt'ut f.lrt.' eulrulée l)'U'

J' '\ 'F" + F" + F"-1 = ~- ,,- .......t IJ - (2,18)

<;>t ltss (.'u:;inu.s (liJ'~(.t""f1ITh<If' F :-.nut ohtf'on, P,lI" les ('(11Jatioo" 2.19.avous donc

\OllS

(-·tls IJF,

=-Il

r.C{lS {J --

FQuaud une lorce 10"a~bsant duns }'CS-P,lCC trtdtmr-usionnel est

(lé6'1,1t· J')urSol gr.llIÙt'llr Ii' ~·tr)ar Ùl'Il.\ puitll'i 1.1 l't .\' \llf "~I li~lH'd ,u't1{lrl

(section 2,13), 1)0US obtenons '''''\ l'CJU1!X)SHUll'<; 1'("Ct~ul~llJtlilC\ (;OUHue suit.- ,NOIl" e Trilnoll~ (l'ftl)of(llc~vecteur JI,\' .iOi~Uitlltles llohlt-. .\1 et .\ plO' "escomposantes (l ... d!! ,t (1_ 1 fig11TC 2.-10). ù'où

-..,"rlo\' = (J\i + (1!Jj + (,-,k (2,26)

Rés.umé • Chapitre 2 59

Forces dans l'espace

x l~1

c

•-rcl

Cosinus directeurs

'J

ï--Figure 2.39

y

o

--Figure 2.40

Copyng ted n atenal

Page 66: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

60 la s[aull·HJ (lu l'il.! 1 \J '

Resultante de lorces dans l'espace

Equtbore c:fune parùcule

D aoramn Il;.! du COI ps fibre

Équilibre dans 1espace

~OI1S c}étt'nninolls ensuite le \t·t'tt'lIr unitain- A selon 1<1ligJll' (l'action cie Fen ùh isant .\1.\' raI' \u grall(lt'ur J/,\' = d..

.\1.\' 1À = = -, (tIti + (/11j + (I.k) ~2.2ï)

.\[l\ t

Sachant (Pit' F est fgalt' au pf()(lliit (lt' f: par À nous avonsF

F = [,'A = -(cl i Î ,1 J' + ri k 1d "" l' (2.28)

11 "'1:11SlIÎI '(lit> (prohlèuie-s rc~,,()llIsscalair ..: de F sont, rcspccüveuu-nt,

1<' = F'(/T F..::; F',/y\ (1 '/ cl

PI{.2, -;- pt PIl-2,~) les composantes

F(l_F.. = (1·

Quand (leux [oree» 011 plll\ agis~L'nl sur une particule dans l't'Spacf'trltlilll('/I-<iiollrll·l, nous obtenons les vomposantes rectanaulaires cie leur résul-tante R en ndditiounant aJg:ébriclut -uu-nt It" Ils t'(}UII>oSftlttt·\ CUITt'~I>()Il(LU"Ites(section 2.14), d'où

R - "L.'f - _r). R -'\F'- - .... -- - l2.31)

La ,~TaIlJI'\lrpt hl direction df' R sont ensuite !lhtt·nlH:·S par tirs équationssemblables aux ~4Ilati()n~2,) ') et :2,:15 ipl''f)hl~rllt' résolu P R-2.A),

Une particule pst en (:(l'liliIJre quand ln résultante dt' toutes les forcesa~sant sur elle est nulle (section 2,8) Dans Cl' cas, la l)artieule Jt'IIl('urt' auTt'P()\ SI e-Ile fta,t inltialerueut au repos ou "l~déplace à vitesse constante elen li~lIt'droite 11; elle ptait lnltialeuu-nt e-n mouvement tsecticn 2,)0),

Pour résoudre un l)[oblèulc iinpliquunt une particule t'ri équilibre,nous commençons toujon ,....par tracer le (liflf!_rflOlllu (Ir, corps llbrc pour laparticule en incluanl toutf'S les for('t's a~jss<lnt ..ur elle (section 2.1l), SiSt'U/CtH.l'1I1 t rois force!> coplanaire» a~issl'Ilt sur lu particule, nous P()ll\'UTL~trace-r 1111 triflllglc (11'<;fi)rrl"~ pour exprimer 1"'~cII1Jhbr{'dl." la particule Ct'triangle peut être résolu par la méthode gr"d.rhiqlJ~ ()11par triJ!;Clnornétrie.en autant qu'il n')' ait pas plus dL'deux inC'()I1HUeS lproblèrllt' rés(111I PR-2.4),Si ),Ius d,' t,.Ol.\ forr," cOJl/nlltlirl"\ sont l'li l)ré~t"II('1• rmus IItiiisons les (.\(111<1-

lions d'équilfbre1.1-' = ()\ (215)

Ct'S ~(IIl:.tLions Pf'lI'·f"ut êtn- ré 0;01Iles IlOllr clf'll" tnconnues ou 1110ins(problème résolu PR-2,6,1

Pour une particule t'Il éq« iltbrc (/(111\ 1'(!\JlrlCC t ric!il1lellsiollTlE'l(section .2,15l, nous nli,!J'\()lIs It's l'Cltl:ltic)ns d'équilibre suivantes

"1_ 'y - 0 (2,34)

(J'lt~ l'on pelll résoudre il condition d'avoir trois inconnues ou J110ins(problème résolu PR-2J)),

MOTS CLÉSCompO"lIl1té n.'t.:bul~ul..ireCUlld.l1Ull d'equrhbrcl)iu~allllne ou schéma

du corps libre DeL)Dia~ranllni' 011setH"nra, de point isoléEquation vectorh-lh-

Forces concourantesForet-s coplannm-sForces spatiale-sLois de Newton~",tlllldl' du poIYl!ulI('Méthode d .. 1riall~I[,,I{è'gll' llil pilr.Jh;l~~r"IHII!l'

RésultanteTrinnzle d" forc'('s\ ('l'tl'lIrs t-qlupoUonts\ vct 'UN opposésVecteurs unitaires

Page 67: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

...PROBLEMES

,SUPPLEMENTAIRES

2.127 Deux câbles sont liés ail point C. où une chaJ"~f' Q de>480 N ('st a11pll-quée. Sachant 'lu~ P = 360 N Il ce point, d~l('rlnin.'7.:

a) la tension da.lls lr- l'âbll' ,\e ;l,) la tension dans le câble Be.

2.128 Deux câbles sont li~s nu poillt (:, Il,1 cJoïllllslr(o à lu figllr(' 1'2.127 -P2.12.8, oit une charge Q cl!" 480 N est appliquée. Déterminez l'étendue des valeursde P afln dl' tenir les deux câbles sous tC'J)!liCII1.

li'Figure P2.129

2.129 Cousidérez la llgurt' P2.121J. Sachant {Ill{' l'tulgle entre les deux Iorcesde 75 N est toujours rlf· 50" mais qllt" l':luglr a pp"t varier, déterminez IR ",,1(,111'decr pour laquelle IH résl11tautl' dl' l'euscruble des forees agissallt sur J\ l'si orientéehorizontalement vers la gallchf'.

2.130 Une force est appliquée à l'origine d'un Systèllll' de coordonnées (x.!J.;;;)dans tille di!1.'(."l:{on correspondant auv tlnglC's ~'1= 551) ('1 (J. = 15". nchnnt que lncomposante selon l'axe des x de la force est de! -5()() N, déterminez :

tI J les autres composantes et 1.1 grandeur df' lu force;b) la \'lIll'lI r dr fl~.

2.131 Un conteneur de poids \\' = Ll65 ~ est soutenu par trois câbles telqu'Illustré à la flgurl" P2.l31. Déterminez la tr-nsion (Lans chaque clihl('.

y

(,OU 111111

Figure P2.131

2.132 011 extrait un pieu ('llfoll('t~ dans k· svl il I\tid.· dl' clc'"x conk-s 1('1qu'illustré Il la fj~lIre P2.132. Disposant des informations sur rune des forces. évaluezla gralldeur et la direction que dcvmit avoir ln Iorce r pour qU(' la résultante desdeux forees soit de 160 N verticalement vers le haut.

...,---- 600 111111 ----1-1

Figure P2.127 - P2.128

Figure P2.132

C P 1

c ·1

8

Q 480 N

61

Page 68: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

62 L~ stet que nes rlln cules

'.1

l1.201

Figure P2. 133

l'llli.K

8 III

Figure P2.135

!J

400 IIIIU

-- rFigure P2. 137 - P2.138

2.133 En VOliS réfC:rëlnl .) ln I1glltl' P2:.133 ('1 sachant que le câble 1\8 li uneIOllgu('"r dc' 13 ru R\('(: 1111(' lC'llsÎolI dl' 3900 • dt"'lC'rnliu("/':

a) les composantes selon x.!J et z de la lorce exercée par If' cible au potntd'ancrage B;

b) la direchou cil' ('('Ut· [Of('(' exprimée par les aIl~les (J'Z. Og et Oz'

2.134 Deus câbles sont attachés au point C où une charge de 396 'N estappliquée. Déterminez :

Cl) la tension dans le câble .-\(;;b} ln renslon dans Ir çâblc~ BC.

.\ 8

l9 Ul~.5III c

5 III

1- 121n --+- t..')n1-l.t FIgure P2.134

2.135 011 veut d~pJat'(_'r1111camion accidenté tel qu 'illustré il la figure P2.135.Deux carnlons à R'1110rqUC (8 et C) sont mis à l'épreuve. achant que les tensionsappliquées sont respecttvernr-nt nf' 10 kN dans Il' Cljbl(> AB C'l (1(' 7,5 kl\ dans 1(,·('!iblc· I\r.. dc~t('nl1illcv, hl ~rulldl'lJr ('1 lu din'ctiOll do la résultante des fOrL'8Sappliquées sur Il' camion (t'Il.\)

!J

l

;5 ~

Figure P2.136

2.136 En V()II~n:ft"rant à la f1gllrl' P2.136. déterminez les composantes x et Ijch' (·lIat'III1(· clc'~ rorc('~"~IIprésence.

2.137 Les deux manchons J\ ('1 B sont 1'('1i~~pa r un CHIII~talliyut> d'une lon-guellr de 500 mm. Les dC'lI.A1I1nnc!tOJlSgli.:.St'lIl llbrcrucnt tel que présenté à la figureP2.137 - P2.13R. Si une forœ Q dl' 60 est appliquée sur le manchon B. évaluez:

Il) lM h.·USIOII sur le III si x = 180 mm ;I,) la grnndeur de lu force P nN.'t"'ssnirr pour Knrtl('r Il' système en équilibre.

2.138 Les d('ll\ 11I1In('hol1~ ,\ (·t B sont reliés par tITI fil IllélaJliquf' d'IU'lClongllC'lIr cI(, SOUnun, Les deux manchons ~lissf'nt librement tel 'lue: présenté à laf1gul'(' f12.137 - 1"2.138. Si P = 120:-J et Q = 60 N. d('lc'nlIÎllcz les distances x et znft.'CsslIirc·$ pour conserver l'équilibre dl! ,,)'~tènlC.

Page 69: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

L'~ plohlj'"I1'~ SIlÎ\.lIlt~ \0111VOIl\II\ pOliT fotn' ,()llltllllllll;~ il 1·:1td,·cil' l'nnlinuk-ur1111 d'lllll (',l)('ulatnl'\' pr()~rdllllll.lhlr'

2,C1 Concevez lin pmgranlnl(, pouvanl calculer la gr:lndC'ur et la directionde la résultante de n forees coplanalre appllquéos au poiut A. Appliquez I:'ns111[",CC programrne pour résoudre les problèmes 2.32, 2.33, 2.,3.') et 2,38.

Prob'èmes sJpplllmen~3.lIl<; 63

c'} la valeur dé ln tension corresponduntc F"

2.C2 Une charg~ ,) est soutenu!' par d~'IL~clhl("S lei «llïllustré à la ft~lrl' 1)2.02.Concevez un programnle pouvant calculer la tension dans chaque (:âhlé pourdilTérC'llteJ;\'UIl'l1fS dl? P et dl' 0, l'anglp 0 variant entre 01 = /3 - 00° et 8il = 90" - a.avec des incréments dl" ûO. Utilisf'z Cf' progmllllllf' pour évaluer, clans les cas (1), (2)et (3):

(1) la tension dans chaque ~Îhl(.' pour des valeurs dt> 0 variant de 01 à O~;ls) ln valeur f}IlP doir avoir 8 pour qllf' la tension dans chaque câble soit

rninhualc ;

( 1) a ::;:).1)0. f3 = 75°. P ::; 400 N, ~ (J ;:: 5°(2) a .. 50°. f3 .. :3()o. f' = (100 N. ~ fi - J 0"(3) â'" 40", {3 ,.. 60°, f ""250 N. 110 = 50

Figure P2.Cl

i\ B

I~

pFigure P2.C2

2.C3 'rel qu'illustré ~lla figure 1l2.C3. un fun::utlblllE.' marche sur une corderaide d'une longucur L = 20,1 ln, laquelle est attachée aux points A et B distantscie 20,0 rn. LA' poids dt> l'acrobate incluant sa perche est dt>1)00 1. En négligl';;uil1(.'poids di' lu cord" (·t tou((' clf.fonllnl ion ctl,Il>licjllr. C'I)lll'C'V(':t, 1111 prIJgnHlIlI1('permettant <1(' calculer la défonnaüon 'J el la tcnslou duns les Sl:('UCJlIl> AC l't Be de1~ corde, cl CC. ponr tirs valeurs dt' x de' 0,5 III li 10,0 III \'l1rhllll par Inluc:h,:sincrëmentielles de 0,5 Ill. À partir des valeurs OÙICIiUE.'!), détermincz :

(1) la déformation (la Ilêche) maximale de la corde;LJ) ln rcnston maximale dans la eorde :c) les valeurs mintmules de tCI1sl01l dans Il'Ssectlons :\C c'l Be dl' la corde.

('

A

f---X~

Agure P2.C3

Copynght d ma nal

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Page 73: Mécanique Pour Ingénieurs Vol1

montre les [orees externes appliquées au camion. Considérons tout d';ll,of{1le poids du camion; bien qu'il englobe l'attraction exercée par la terre surtoutes les parties (111 véhicule, on 1(>représente par une ["l'Col' unique W. dontle point d'applicanon, celui où la foree agit, est le centre lie graL'ilé du camion.

IOUS verrons au chapitre 5 comment procéder pOUl' situer le centre de!:.'T<1vitéd'un corps. U> pouls W tire If' carnkm vers le 11<1-s et il entraînerait sachute verticale si le sol ne le retenait I)as en exerçant tes forees c]E> réactionRI et B2 sur les points ùe contact. Ces forces, appliquées }Iar Il:' sol sur Jecamion, font partie dcs [orees externes agissant SW' le véhicule.

En tirant sur le cable, les hommes produisent une {oree {le traction Fsur le pare-chocs, qui tend ~ldéplacer le camion en lign(" droite vers l'avant,Le véhicule sc met effectivement CH nlOUVCI111?lll puisque aucune foret:externe ne S')' oppose. (Pour simpli Her, nous lléglig~oll~ iCi les force derésistance au roulcment.) On appelle' ranslotto» le InOUVC1H'nt vers l'avant.ail cours duquel toutes les parties ÙU camion restent parallèles à leur positionde départ, le plancher demeurant horizontal ct les parois verticales. D'autresforces p(">lIventtransformer le mouvement: par exemple, la force exercée parun cric placé sous l'essieu avant ferait pivoter le ean11011 autour de l'essieuarrière. entraînant ainsi 1I1lt' rotation. Ainsi, chaque force externe agissantsur 1'" ('()'7)S rigiri(' peut, si elle n'e 't pas contrée, prO<:III'(>r au ('0'1)S unetranslation. une rotation ou une cernbinaison de ces deux mouvements.

, .3.3 PRINCIPE DE TRANSMISSIBILITE - FORCES EQUIVALENTESConlorrnérnent <lnprillcil?r (If' frn'ISIIIÏ,<;sibilité, l'équilibre ou le mouvementd'un corps ngiÙf' œste incllulIgé lorsqu'on remplace OUf:'fl)rc:(- F. a~issalltsur un point donné du corps, (}at une force Ft de même grandeur ct demême direction, mai' appliquée à tin antre point du corps. n condition queles (/(fIL\' forces aient la même llglle (l'action (figtuE.> 3.3), Les forces F et F'sont dites equtoalonte« parce (lU 'elles produisent Je même effet sur Je corpsrigide, Ce principe. selon lequel une force peut être transmise sur sa ligned'action, repose sur des preuves expérimentale -. On Ile peut le démontrer ilpartir des propriétés établies jU$tl.ll 'ici rlaus ce texte et, 1'11 conséquence, onl'accepte comme une loi empirique. Nous verrons cependant à la section 16.5.lorsque nous aborderons la dynamique des <,:u'l)$ rigi(I~., cplP l'on pt'Iltdéduire le principe de transmissibilité en faisant appel à (les notions ilvenir,incluant les deuxième pt troisième lois de Newton. Pour l'instant. notreétude dl" la t:lli(llIe des 0011')$ligides sappuiera sur les trois principes établisjusqu'ici, soit la loi d'additivité des forces (règle du parallélogramme). lapremière loi de Newton et le principe de transrni sibilité.

Au chapitre 2, nous avons représenté par ùt>s vecteurs It"'s lèu'(.:es tlgtSSUlit

511J·LIlle particule. Le peint d'upplicatiou, la particule elle-même, restantfixe, les vecteurs sont liés. Dans I~cas de' corps rigides. ()11 pf'ut déplacer lalorce sur sa ligne (J'action, sans conséquence sur t'effet produit. On il dontaffaire à des cecteurs (!,[iSSO'lls, différents des vecteurs lié . 11est à noter Clue lespropriétés dérivées dans les prochaines sections 1)011)" les fortes exercées surles corps rigides 'ont valables pour t-oul systèrue de \'fActeurs gljs~ants. Afinde conserver le caractère intuitif de cette P" êsentaticn, nOLIspréférons (.'CIJPn-

dant traiter le sujet dès le départ dans Il' contexte physique des forces plutôtque d'adopter d'abord le point de vue mathéiuattque des vecteurs gli'isants,

Revenons il l'exemple du camion: ln ligne d'action horizontale (le laforce F passe par les rleux pure-chocs (ngll re 3.4). T-Jf'principe de trunsrrussibilité permet de remplacer F parune force ëqutoalente F' appliquée nu pare-chocs arrière{lu véhicule. Autrement dit, le mouvement reste I~mêmeet les autres forees externes ("V, B,. R2) de Illeure Iltinchangées. que les hommes poussent sur Je pare-chocsarrière ou (lU 'ils lirent su r le pare-chocs avant.

\\'

Figura 3.4

3.3 Prll'lC1Jle de Inmsnussibillé - 67Forces équivalentes

Figure 3.1

Figure 3.2

11

11

F 1

11

11

1

--

11

11

11

11

1

Figure 3.3

F F'.. -- ..R,-

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72 Corps rig!Ôes - Sy-!>tèmesda torees équi\rdJen1S variante de la règle de la main droite: on ferme la main droite en enroulantles doigts dans le sens de rotation qlle F imprimerait au t.'Orps rigide parrapport à un axe fixe orienté selon la libtne<l'action de Mo; le pouce indiquealors le seL1S(lu moment ~Io (figure 3,l2b),

Finalement, en nommant e J'angle formé par les lignes d'action de r ct F,la grandeur du moment de F par rapport li 0 s'écrit:

Mo=,.-FSÎJn9=Fd (3.12)

Où d représente lü distance qui relie 0 perpendiculairement à la ligued'action de F, Sachant qlle la tendance d'une force F à faire tourner unC()'1)S ngrde par rappurt à un axe qui lui est perpendiculaire est fouctlon desa gntncleur F ct de la distance qui sépare F de cet axe, on })eul dire flue lagrandeur de Mo me~~{jre 10 tendance de laforce F à entraîner la rotation (Ill

C()l7)~' ri{!.j(le})or rapport à UTI fixe fi·xl' daos ln diret'tiau lie 1\10,Dans le système métrique. où III force se mesure en newtons (N) et la rus-

tance en mètres (III), le moment de foree s'exprime en newtons-mètres (N, m).Bien yuc le moment ~10d'une force par rapport à un point dépende à

la fois de la grandeur. du sens de la force et de sa ligne d'action. il resteindépetulanr du point d'application de la forte le long de sa ligne d'action,Réciproquement. le moment ~fo d'une foree F ne détermine pas la position(lu point d'application de F,

Par contre, le moment ~10d'une force F de gratldcur et directiondonnées (Iéjlll!f complètement la Ligne d'action (le F. En fait. la ligne d'actionde 1"doit se trouver dans un plan l),L'isallt pHr 0 et perpendiculaire à ~fo; ladistance (1 qui sépare cette lib'Tledu point 0 correspond au quotient entreles grandeurs de ~1() et F, soit ~1(}/Fi ûnalement. le sens de M() déterminede quel tâté de 0 se situe la ligne d'action de F.

Selon le principe de transmissibilité (section 3.3), deux forces F et F'sontéquivalentes, c'est-il-dire qu'elles produisent le même effet sur un (.'()tpsrigide. si elles ont la même grandeur. la même direction el la même ligne,d'action, A lu lumière de ct>(lue nous Vt'lIOIIS de voir, on peut reformuler ceprincipe comme suit: lieux forces F ct F' sont ëquioalentes si, el seulement,~i,elles sont éqttlJ)olletlte... (même grandeur et même direction) et ont lemëme ,n0I1I('11l par: rapport (t un point 0 (1011né. Les conditions nécessaireset suffisantes il l'équivulence entre df'ILX forces F et F' s'écrivent alors

(3.13)

On ("0 dé<hrit que. si les l"(3](ttiOllS :).j.'} s'appliquent pour un point 0 donné.elles sont égalcnlent valables pour tout autre point.

Problèmes à résoudre en deux dimensions. Plusieurs applicationsse traitent [acilemeut clans un plan , I>r'cnons le cas des structures définiespar une longueur et une largeur, mais dont J'épaisseur est négligeable, ctSUpPOs.uus que les forces s'exercent (laus le plan Je la structure. On repré-sente facilement ces situations sur une page ou sur un tableau. Leur analyses'avère beaucoup plus sitrlple que celle des problèmes impliquant troisdimensions.

Considérons pur exemple une plaque ligide SOUIll1.Se à une force F(figure 3.13). Le moment dt! F p.tr rapport à 111.1 point 0 situé dans Je plande ta figure correspond au vecteur ~10,de grandeur Fd et (wrpen(liclllaire àce plan. Sur la figure 3,l3a, le vecteur 1\10 ~'f),1(If" la page et la force F tend àfaire tourner la plaque dans le sens antihoraire ; à l'inverse. sur la figure 3.13b,1(;>ve-cteur (1/1t1'(' dans la page et la lorce tend à engendrer une rotation dansle sens horaire, U devient donc naturel cle préciser le sens du moment de Fpu.r rapport ft 0 en utilisant les termes anrihorairc ~ dans le premier cas(figure 3.130) et horaire J dans le second (figure 3.131)).

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76

IhO ulm

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~ .!OC1111111 - ...

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:!uc:_ 1

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PROBLÈME RÉSOLU PR·3.2

lIll€' [orco dc800N a~l sur le support tri qu'illustré Calculez le 1I10111cntdt" ln forcep.lr rapport au point B,

SOLUTION

lA' '!lOHII'nt ~ftlclc' la forci" F au pOllit B est ~\!,\III~p.ar

Mo= 1'.\18 xF

où r vH r~l )(' \C<,If'Uf 1racé clC' B à i\. En décomposant r VII f't F en composantesrt't'taliguldirL'~. 011a

rA 'LI = -(0,2n1 i+ (O,16111)jfi = ROO~}('OSCXl"i (~OO Xl sin 60Dj

- (400 'li 1 13~:3N Jj

Ch i\ part il d~<;prcxll1its vectortels cI~~vecteurs unitaires présentés UI~équations 3,7dl' t, ~{'lbou 3.5. 011obtil'1I1

~tR rA Ji xl' r IO.2rll1i (O,I(jIIl)j) X 11400Nli (693i'.)j]- -(1:38.6:\ . III ... - (j.l,O~°lll}k

t202.6:\ ° III k ' 1 ....' 1 " ".

Le moment ~11lest un \ ecteur pf'rpl"ndiculaire ail plan Ù~la figure et 11~ntr!! dans1;1 PH~('

PROBLÈME RÉSOLU PR-3.3

l 'nf> 101Y't' (~t'30:\ agi1 à l'extrémité d'un levier ayant une longueur dl" 1,5 m tel'J1l·illu:.lll~° E\ aluez 1(' moment dt' hl force pfll' r3pport au point O.

SOLUTION

()n décompose la lorce dt" 30 X en deux (_'(nnpruantes, P suivant l'axe OA et Q per-()('lItliclIlairc à 0,-\, Etant donné Qllt· Ir point 0 ~f' trouve sur la li~e d'actionciE" liil forC'IJP, 1.. moment dt, P par rapport li. 0 est nul. el le moment de la forceÙl' 30 l\ ~l' réduit nu utomeut de Q. qui l':,t orienté Cil SCIl~ horaire lot donc n~gati[en représcntauon scalaire.

Q-(30Nl:o,III2.0° IO,26N\I()- Q 1,,)11))- (1026~)(I,5111)= -15,4N'l1J

1o':t:101doun ..• '111(' I~ r(,sultul :>C'ruair('I\I() l'~1 nl~g,atJf, ho moment ~10 entre dans laP,It!l' pl s'(>crit

\1

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('

3.7 Une caisse ayant une suasse de 80 kg est tenue eu équilibre tel qu'illustré.Évaluez :

(I) le moment crér- par 1" poids \l' pnr rapport au point E:Il) la force mlnlmale à appliquer ~I" point 8 qui crëera UTl moment de la

même grandf'tir mais dans le sens opposé par rdpport au point E,

80 Corp& r!g1CH!S - S~Ii'emes né tcrc~ eqwva ems

Il il 111 - - - Il Il III

11

Cl !i 111 3.8 Une caisse ayant une masse de 0 kg est tenue en éqtliljb~, tel (~u11111str~.Évaluez :

fi) le moment créé par le poids \V par rapport au point E:/1) la force minlrnale à appliquer au point A qui créera lin moment de la

111élll(' ~"'llr1('ur mats dans If' sens opposé par rapport au point E.c) lu grandeur, la direction et Il' point d'applicatiou au bas dl: la caisse de la

plll$ petite foret" verticale nécessaire pour créer un moment de la même b'TaDdeurIllflls en S(,I1.~opposé par rapport à E.

3.9 et 3.10 U" haillon arrière .t\B d'une auto est supporté par un levierhydraulique Be. Si Je levier créé II1It' force de 125 N selon Sou axe Sur la chanuëre 8,déternunez le moment de cette lorce par rapport à la charnière 1\.

Figure P3,7 - P3.8

3.11 U" tr('lliIIIUtIlLIC'I,\13 rst uülisé pour redresser If' plquet d'une clôturetel qu'illustré à la f1~re P3.11 - P3.13, Sachant que la tension dans le cable BC csrde lWO ~ et que li = 1,90 ni, déterminez:

(1) 1(' 1I10111f'nL par rapport à 0 de Lnforce apphquée au point C. et ce. pardéccurposition de 1<"1 force St'IOII de 8,X(':. hori'l.olltal ct vertical au point C:

Il) le moment p<Lfrapport à 0 de la force appliquée al! point C, et ce. pardécomposition de lu force selon des axes horizontal et vertical au point E,

Il''lII IL,I.)n~l'U IIIItI 3.12 011 vous infonne 411'UlIl' force créant un 1110111enlde 9f)() N'm par

rap!>ort ù D est suffisante pour redresser le piquet CD. Si cl = 2,80 01, détermineela tension nécessaire dans le câble' ABC,

;2·111

Figure P3.9

,IIU 313 0., vous informe qu'une force créant un moment de 960 Nom parrapport à 0 est suffisante pour redresser le piquet CD, Sachant que la capacité du1(l'"il,\B t'sI dt" 2400 N, déterminez lu distance mlnlmale d nécessaire pour créerIl' H10II)('llt dé iré par rapport à D.

1 3,14 Un mécanicien utilise lin hollt de tuyau AB en guise de levier pour serrer1.. oourrolc d'un altcruateur, Eu ~Ippuyalttsur le lll). li nu point A vers le bas, il créeIIDt-' [Of(.'C dl' ·185:\ sur l'alternateur au point B. SI hl ligue d'uttiorl de cette forcepasse par O. évaluez le maillent créé p'Lr rapport au boulon C,

1)11111Il,ions

3,15 Formez If'S pr()(juils \'('Ctoripls B X C pt B' xe. O"B::;:: B' f't IJtilisczlcsrésultats pour prouver l'équation

sin œcos J3 = 1sin (0'+,9) + ~sin (a - (3).Figure Pl.10

3 16 UnE' droite passe par les points (20 Ill, 16 rn] et (-1 ln, -4 m). Déter-minez ln distance perpendiculaire cl entre la droite el l'ortgtne 0 du système decoordonnées,

120 111m

O,bj,') "1 90 mJT1

72 UJJlJ

o.~IIIA 65 mlll

Figure P3,11 - P3.13 FIgure P3.14

C P 1

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84 Corps <I(jiu~$- S,':>lflm('<,do tvlC.1i ~q'.V;tll!tlt~ Puisque Q est la somme de QI et Q!1.. sa composante en !I doit correspondreà la somme <les OOfnpo ...antes elllj Je Q, et Qz. En conséquence, les e.:<pres-sions 3,27 ct 3.28 sont égales. et la relation 3.26 est démontrée.

Par ailleurs, l'associativité Ile s'applique en aucun ca.') aux produitsscalaires. En fait, (P' Q)' S n'a ~"à~dt.. signill(:al10n r(~f'lIeétant donné queP'Q représente un scalaire ,t non pas un vecteur.

On peut aussi exprimer le produit scalaire des vecteurs P et Q cufonction <le leurs c.\)lnposantes rectanzulalres. On décompose d'abord lesvecteurs; on a

P'Q = (P,i + Pyj + f';;k) '(QyÎ + Qyj + Q;;k)

La distrlbutlvité permet d'écrire p. Q comme une somme de produitsscalaires. tels cJue P,..i·Q,i cl P~i' Qyj, Or. le produit scalaire de deuxvecteurs unitaires dorme t(llljnllrs 'l-Grt, 011lin. conséquence directe {le ladéfinition (lu produit scalaire.

" 1J '1=., 0J'J =

j'j = 1j'k=O

k'k= Jk'i =0 (3.29)

L'expression de P'Q~t' réduit alors à

(3,30)

Dans le eus particulier 011 P el Q sont égnu....:.011 obtient

P: P == P; + Pj + P; = pZ (3.31)

Applications

1. Angle entre deux vecteurs donnés.foucriou dt-' 1t'111"S('()I nposantes.

,Ecrivons deux vecteurs en

P = Pzi + Pyj + f.:kQ = Q,.i + Q!Jj + Q~k

!J

On détermine J'angle entre tes deux vecteurs en égalisant les expres-sions du produit scalaire 3.24 et 3.30, On a

PQc.'ù O=I)t:Q. t-PyQy+P=Q=En isolant co (),on trouve

PxQx + Pl/Q,' .....P:Q;PQ

cos 8= (3.32)

Figure 3.21

2. Projection d'un vecteur sur un axe. .onstdérons un vecteur Pformant un angle 8 avec un axe, ou ügne directrice, OL (flguf'e 3.21).On définit la projection de P sur l'axe OL par le scalaire

POL = Peas 0 (3.33)

p

La projection POl- est égale, <;>11 valeur absolue, à la longueur dusegnlent O.r\; elle prend une valeur positive si OJ\ va dans le mêmesens tlue l'axe OL. c'est-à-dire si fJ est aigu. et une valeur négativesi ()est obtus. Si P et OL forment 1111 auglp droit, la projection de Pl'tir OT~est égale i\ zéro.

Cotlsiclpl'OIlS maintenant 1111 vecteur Q (lingé le long de OL etdans le même sens qut>cet ax« (fi).{url> 3.22), Le produit scalaire deP et Q s'écrit

f.l/L

Agura 3.22 P'Q = PQcos8= P01.Q (3.34)

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·88 CorpariWd!;la - 5ystitrr.œ dB loIœa~en1s oi) A",. Ày et ~ sont les cosinus directeurs de t'axe HL;XA/8 ~ :1:;\ - ro YIVlJ = '1/\ - YB ZNiJ ""' ZA - ZlJ

et F.'hFv etF:representent les composantes de la force F.

li est à note!!' que Terésultat eî:'t indéllendant de la posftion du pOitlt 13chaisisur l'axe donné. De fait, si on écrit lcL pour wl130int C différer.lt de 8, oaobtient

AlcL -- À' [(l'A - rc) x F],..,A '[(l'A - r8) X F] + A, [(r8 - rel x Fl

Or, puisque les vecteurs A et rD - l'c se trouvent sur 1'1même ligne. levolume du parallélépipède dont les côtés correspondent à A. fs - l'C et F estnul; et le produit mixte de ces trois vecteurs est aussi nul (SectiOTI 3.10)'.Lexpression de Mel. se reduit alors à son premter terme et l'équaticudevient identique à: celle qui définit "'191•• De plus. tel que vu il, la section 3.6,lorsqu' on calcule le moment de F par rapport à un axe, A peut (..orrespondrert n'importe quel potnt te long de la ligne d'actio'n de Il.

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3.35 Soit les vc'(.1t~nrs " c& -Ij '" :3j - 2k, Q'" -i,.. -lj - 5k, et S = i+ 4j + 3k,calculez les produits scalai res p.Q, p. S. et Q' s.

3.36 Formez les produits scalaires B'C et B'<C, Olt B=B' cl utilisez lesr(oslIlIats obtenus pOUf prouver l'Identité

8 (.'OS œcos f3 = 1cos(a + f3) + le05 (a - f3).

3 37 Considérez le filet de volley-bali de la figure P.3.37 • P3.38, Déterminezl'angle fOfll1épllr I(Os haubans .t\B el r\e.

B'Figure P3,36

'J,

2,4 rn F

Figure P3.37 • PS.38

'J

lE1111111

--Figure PS.39 • P3.40

3.38 Con.~icl~n·I..I(,nl(·1 lh- voile-v-hall de la Iî~ul'(, P3.3ï - P3.38. Déterminez•

l'llnglt· rorlll(' par k-s hUllhtllls r\C ('. :\D.

3.39 La section .·\B d'un oléoduc se trouve dans le plan '.JZ et forme un angled" :370 avec l'axe ::. rRS sections CD el EF sont connectées 11AB 1,,1qu'illustré.Détvrmlncz r{llIgl ' forInt pllr I('~ lll)'llll't ,\8 l·t (;D.

92

3.40 La section ,\B d'un oléod uo s" trouve dans le>plan IJ= et forme lin anglt'do 37" avec l'nxo :;. LRs sections CD et EF' sont connectées à A8 1('1qu'illustré.1)('tC'fII\ÏI""", l'angle ronn~ pi,lt h'$ tuyaux r\B (" EF.

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Les é<IIUltiOIlS suivantes décrivent le système [oree-couple équivalent :

(3.52)M~=IMo=I(rxF)R=IF

On obtient donc la force R en additionnant toutes Ips forces du 'i\'StpI11E'. Le•moment du vecteur-couple ré ultant ~f~,appelé 111011IC'11 rësultant dusystème, est obtenu en additionnant les moments par rapport à °cie tontesles forces du système.

Après avoir réduit lin système de forces à une force et un couple aupoint 0, on peut facilement le remplacer par une force et un coupleappliqués à un autre point 0'. Lu résultante R demeur inchangée alors quele nouveau moment résultant ~1~ est égal à la somme de ~f~cl du momentptlr rapport ù 0' de la force R appliquée à 0 (figure 3.42). On a

(3.53)

En pratique, on passe par les composantes pour réduire un système deforees à sa ré ultante R au point 0 et au vecteur-couple ~{~. Les l.'Otnpo-santes rectangulaire de vecteurs po ition r et des forces F du système., .s ëcnvent

r =xi + yj + .:kF= F{i + FJ+ F~k

(3.S.j)(3.55)

Après avoir introduit ces expressions de r et F dans l'équation 3.52. on meten facteur les vecteurs unitaires i,j et le. pt on obtie-nt, p<)ur R et ~,(~:

Les composantes R\, fi!! el R~ représentent respectivement la somme clcscomposantes en x, y el z des forces données; elles mesurent la tendance dusystêrne à transmettre au corps rigi(le un mouvement (le translation selon x, IJou z. De même, les composantes !\·1:. j"f~i.et ~f~correspondent respective-ment r. hl somme des moments des forces données par rapport aux axes x, Ijet z, el elles expriment ta tendance du système à procurer au corps rigide unmouvement de rotation autour des axes x, Ij ou .:.

Pour connaître la grandeur et la direction de la force R Il partir descomposantes R\. R./ ct R;. on utilise les équations 2.1 cl 2.19 vues à lusection 2.12: on calcule de la même façon la grandeur et la direction duvecteur-couple ~f~.

3.18 SYSTÈMES DE FORCES ÉaUIVALENTS

Nous avons \'\1 à la section précédente que l'on peut réduire tout systèmede forees agis ant sur 1111 corps rigide il un système force-couple uppllquéà un point donné 0, qui rend parfaitement compte dt' l'effet des forcessur le corps. Deux systpl11e,fI de forces sont donc équivalellts s'ils peuvent êtrert'dutt« nu 11111111' systènll' [oree-couple 0IJpliqué il lin point O. Sachant 'lue leSystl>II1P [oree-couple au point 0 est défini par les équations 3.52. on peutdire que deux Systèl1lR· rieforces, FI. F2• F31 .... et F{. Fif, Fa ..... (11'l,llqu,Js(JII 'UPI/U: c0'7)s rif!./l/e sont ëqutoalents si, et seulement si. les SOIUHU!Sdesforces el les sommes des 11l0tllents des force. par rapport à un point 0sont r('SI)('rtil;(~111(,11'r{!,fll(·s pOlir lrs fJ(·UX .~yStèI71(~".Mathématiquement,

3.18 Systèmes de forces équivalents 113

R

--

FIgure 3.42

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Ces expressions indiquent que les J110J11enls de R par l'3Pfort cUL'\:axesr et z doivent correspondre respectivement à 1I1~{et ,~fe :

·3.21 RÉDUCTION D'UNI SYSTÈME DE FORCES À UN TORSEUR

La majorité des systèmes de forces dans l'espace donnent lin systèmefor('e-('ou~le équivalent au }X>intO. composé (l'une force R et d'un vecteur-couple Mo non nuls et non perpendiculaires entre eux (figure 3,~(0), On nepeut pas alors ramener le système à une force unique ou à un couple eul.On peut toutefois remplacer le vecteur-couple par deux autres vecteurs-couples obtenus en décomposant l\1~:les composantes ~Il'orientée selon R.et M2• située dans un plan perpendiculaire à ft (figure 3.4ô1J). On remplacealors le vecteur couple J\>12 pt la force R par une force unique R flrpli((l1~eselon une nouvelle ligne d'action. Le système d'origine se transforme nin ien une force .R et un vecteur-couple ~fl(figure 3.4&). c'est-à-dire en uneforce R et lin couple agissant dans Je plan perpendiculaire à R. On appelletorseur cc système force-couple particulier pan.:c que la eombluaison résul-tante de:" poussée et de rotation correspond à une torsion. La ligne <l'actionde R devient alors l'axe du torseur et le l'3PI)()rt l'= )\11IR repr+S('ntf> le l'(/Sdu torseur. Un torseur se COlllpose donc de deux vecteurs colinéaires. soitune force R et un vecteur-couple que l'on écrit

(3,61)

o -

(II )Figure 3,46

lb)

Or, l'équation 3.35 de la S(>CtiOIl 3.9 permet de projt'ter un vecteur sur laligne d'action d'un autre vecteur. La projection de l\f~sur la ligll(> d'actionde R donne

Le pas dt! torseur s'exprime alors comme suit":

(3.62)

5. Les expressions obtenues en projetant le vecteur ....-ouple sur la ligne I1·Q(.1ioodl: R l1 pour le:p.udu torseur sont ind(!pend.mte5 (lu point 0 choisi. La relation 3.53 dl' la scctioo 3.17 permetd'ëcnn- p<)lIr 1111point 0' dl(f(l"'nt de 0, Il' 1IL1II1(onÙ('ur de "ffIIUl!iutI 3.62 c,,,nnll' sult :

R'l\ll!, =R·([\(g+s x R)=R'l\(~+R'(li xll)

IR prod IIlt luildl' H· (s X K) est ~1l1 A1"-;rol'~ l'on a

R·M~.=R·l\(~

L'ég;dité prou,'_' (lue le produu 5<.'\IIlÛn:R' ~~ l~ IIl~pcndallldu ('''(}L~du poiltt 0

:l2' R!!o!lUdlOl1 (j'un systeme de torees 117a un torseur

() ~

(r~

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Ij• F

PROBLEME RESOLU PR-3.10

HM} mrn

1...L_~~-

~----/\100 ""11 1

1

~

E( 150 rnrn, -50 ITIro. 100 mm)

Trois câbles sont unacbës à une cornière tel qu'illustré. l\enlphlcC'L lesforces des cÎthlt"s par un systè,ne force-couple équivalent ou point A.

SOLUT10N

On commence par déterminer les vecteurs position trucés du point A vers les pointsd'application des différentes feroes. On clrcon1posr ensuite ces [orees scion 1('1111'composautos f('ctanglliairl's. Ayant noté lJuc' F 8 = (700 1'\).\81:.011

_ Bè "";5i-150j +SOkAIJ~- BE li5

on :1. en mètres ('l en newtons,-f/Jl,\ =AB =0,075i + O,050k-fCI:\ = t\C: = O,O,Si - 0,0501.-rL'IA - ,\V ""-O.lOOi - O.lOOj

Fil = 300i - OOOj+ 20nkF (' = ,Oïi - 707kF,) = 600i + l039j

Le s)'slènlf' force-couple au point A, éq1livalent Ù l'ensemble des fOfC('S, estconsntué de la force R = îF ('1 du couple ~f~~:::!(r X F). La force 1\ est obteuu« ('II

<\d(~li()llnant les (.'()1I1 pesantes x.1) et c des forees en présence:

R ~ F' - • J ('1( 17\ i~1-4'1< J \; lj 1.}II- ~ k ~

Le calcul de ~l~ 5f'1"'''facilité si l'on pxprinll' 1('5 moments des forces SOIISfarole' dl'déterrntnnnts [section 3_8) :

!II(1;.6'> N '1(1) j t",

(43!l ~)j -(5u....~)J..

tIJJol,~ N'II,I k

RJ • • • k(:10 "111) i1 Jru", X FI!- O.Oï5 0 O,C).50 =30i

300 -600 200

• • k1 JrC/11 X Fe = (l.Oi5 () -().O50 - IT.6Bj-

T07 () -707, , k, J

rD!.\ X 1;0= 0.100 -0,100 0600 1039 0

-.j5k

/ l63,9k--

La S0111111e' dt" ces e 'Pre' sions donne' alor

~ rX F III \ •III 1 1 ) "i l) ~ • rn k

Les COlTIIX)Slult('Srectangulaires de 13 foree R et du t'Ouple I\f!: sont Illustrées 311croquis ci-contre,

121

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déplaçant Il de sorte que son moment IJH rapport au poil1t A soit égal à ~I~ (voir lasection précédente). On peut ceaclure que le vecteur postnon 1\ tracé du po:i~'1t.1\ li unpoint qùe}oonque situé sur la ligne d'action de la force umque Il, doit satisfaire l·équ.at1t>u

rXR=M~

Ce prin.ctf1e a été al>PUquéaux problèmes résolus PR..J.", PIl-J.9 et PR-3.11.

i j'ou se tro'uve de~ul't une sitLJati()noù les forces en présence. ne sont ni concourantes, ni coplaaatees, ni parallèles, 10 il)'5:tèmeforce-couple équivalent au point 1\ eonstste en urne force R et un vecteur-couple M~qui, 00 génêrnI~ ne sont 110S perpendiculaires entre eux. (POlU" vérifier ln perp.endicularltéentre Il. et ~t~.ou calcule leur produit scalaire: si cehn-cï est ,égal' à zéro, ils sontpelpeildicuJai'res; si tel n'est pas le cas, R et ~1~ ne sont pas perpendiClÙaires,) Ell.cas dellon-perpendicularit0 enb:e Il et. M~t le s)'Sfème foree-couple (-etdonc J • SYJiotèOlf) de foreesinitial.) f:l8pourr» pas être redutt fl tUle force uniqtJe. Cependant, on pourrait le l'édu.ire àun torseur, c'est-à-dire à Jo. combtnaïson d'une force R et d'un vecteur-couple 1\-11• dirigéstrelon une t:igned'action eommune appelée l'axe du torseur (figure 3.47). Le pas du torseurse ealcuie par p .sAI lm.POlIr réduire un systènle de forces à un torseur, Ot1suit les étapes su1:\lanl'es;

Réduire le syst'ême de forces il un système force-couple éqUi'V'.d.ell.t (Ut~)àl'origine O.

Déterminer le pas du torseur p il l'aide de !'éqlUltiorl 3.62

Ml _ R'~I~p= - aR R

(3,62)

&primer 10. reiedon entre le moment du torseur par rapport 3;1..1 point 0 et lel'nOll'U:!'ntré!.--ultaot~t:~du système force-couple au point 0 par

(3,63)

Cette relation petinet d'id.èntiRer le point o.ù la Ug'li\ed'action du torseur crolse un l'Jaodonné, puisque le vecteur IX)SÎtionr est orienté de 0 vers ce point.

Ces étapes sont déedtes au problème résolu PR-3.12. Bien que J'identification d'untorseur et dl) point où son axe croise un pbll) puisse pnraitl"c difficile. li}proeédere ceasisteli appliqu-er piusieurs principes et teclutiques présentés tout au lQr~gde ce chapitre. Il esttmportant de bicll vtsualtser et d'assimiler le principe du torseur pour une parfaitecomprëheoston du chapitre 3.

125

Copynghted matenal

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'3.133 Une feullle de tôle pliée est soumise à trois lorces. te t qu 'illustré.Sachunt clllc' Ic's 1l'ni... fè,r()t'~ uni la 111/'111('gnulCtc'nr P, r(·"lpl.ll'('I.-tC·~ p,lr 1111tur't'uréquivalcut ri détcrmincz :

1) la gTtmdellr el la direction de Laforce résultante R.1,' le pa.\ du torseur:(" l'axe- cllI 1C)r,.('lIr.

!J

...1H

A

( ...~(/

J/-- 1- n '.À._.- ...

"

l .../1' ,Il-Figure P3,133

'/

1, 'l_n

p

Figure P3.134

'3 134 Troi. forces dt' ~rand(,lIr p sont appliquées IIr 1111bloc d'ahunimumtel qu'illustré. nl'lIlplu<:(.'L-I,· par lIlI torseur équivalent et détennme>:

CI J la grJJldt.·ur et la direction de ta foree résultante R:,) le pas du torseur:1) l'axe du torseur.

'1

Il ~'III

(J~),o

--Agur. P3.135

12u~

rIIIU 11H11

Agure P3.136

'3.135 et 3.136 UnI" ft'uillfi' df' métal est nx~('il lin bloc dl~bols à l'aicJ(' dc'dru vis [('1 fju'lIll1strr. H~clllis(~1. les lor('(~~l'I Il'li couple-s C'II pr(osc·tlc·l' ÎI Iifi IOJ':\c'uréqulvalent l't caleulcz :

II J ln force résultante R:'I) 1(' prL'l clu torseur:,'J Ic' [l<Jilll oil ]'IIX(' du torsr-ur (!r()i.~t·((J plan .l'=.

Problerr 133

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. lU :-;10 Ï\

60·1---120 n1n1--,",

~I ~) mrn /•-.J'i N

FIGure P3.156

Figure P3.157

3.158 UnE' dalle hf:>xagonale en hétc)ll de 12 m dt> ('{)tt' supporte six colounes,tel qu'ijlustré, Détenuinez la gl'üodc,u' des churgc·s sllppl('III(·flIILirt·~ il llpplicl'u'ren 8 et en F si la résultante de l'ensemble des charges doit passl"t"par If' centre dela dalle.

3.C1 La poutre AB est soumise il. plusieurs forces verticales tt"1 '1111111151((\,Concevez lin programrlle permettant de calculer ln grandr-iu dr la 1'1.; "hante:' desforces et la distance x; du point C, oit 1;1lih"l1f' c1'actioll cI(· ln fort-" r(-sultllllh' croisvla droite t-\B. Utilisez ensuite ce programme pour résoudre:Il' le problème Pll-3.&;

Il J le problème 3.1()6a. IJ

rIO

f'1•

~.fl~ FI F-C

A •

r

--FIgure P3.C1 Figure P3.C2

3.C2 Concevez lin pr'Dgfüllllne permettant de déterminer Il' grand,'ur l'tIf' point d'application dt" 1.. résultante df's forcf's verticak-s PI, P2.... , Pli agisslllltnllX points AI. 1\2•... , Ali silH(oS sur 1(·plall sz, tilisez ensuite ce programme polIrrésoudre

(1)1) )c)

If' problërne PR-3.l] :1(:'problè Ille 3.12i ;Il' problème 3.129.

3.C3 Un ami "''OIIS demande dl' l'aider à COIlCt·\ oit dr-s potx dt· rlt'lIf:' dl'différentes formes, ayant 4~ 5. 6 011 S eôtés, Les (,lôl(ts cloh'l'I'l c"lri' int·li"é:. pllr

rapport ~ll'uxE' vertical df' 10°, 20° ou 30°. Ét'ovez un prognlllllne permettant dl>calculer l'angle a du biseau pOUf chacun de." douze IJl()(]c'If's pos~iblc'!> cl" pol cil'Ileurs. (Sllgg(\~tion: SlIppoSf'7. qll<" l'onglc- du biseau cI(· l'h,llIUl' planche du pot ('!il

ég,ù à la moitié de l'angle formé entre les droites normales il deux côtés adjacents).

Proolnmes supplernen laTes 143

1501llni

,.....,(_.....,i....-l_

15 k:-.

y !20 tx1

Ir,k~~Ik

ro (

1

!) \

~IC 12 rn

Figure P3.158

Figure P3.C3

C p n

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PROBLÈME RÉSOLU PR..4.1

'"--1---'111,---1

On utilise une gnle stationnaire ayant une 1I1~~' Je l()OO k~ IJOII1'soulever 11111.'

caisse oc' 240(lkg. I~Igril€' (''Ii t('IIIIf' en sililatioll (r~qllilihn' par 1111t' rotule lIU point Aet un appui il hnscul€' au point B. Son (!enITC cie gra\ ile' est situé au point C. Déter-minez I\;'s('('1I1pI)Santes des réuctions aux points 1\ l'l B.

•2400 kg "--

SOLUTION

......O ..... 1iB 9,8] k."\

2 111-1- -1 [n---I

IJillt{ranlllll' <lu l'ilrl" lihr«'. On trace d'abord 1(' diagrallllllP du corps libre.On calcule ('I\Sllit~· 1(,poids d,'I;\ gnu' ('1 cvltli c11' hl cais:-v ('1"1IHlIltipliallt IC'lIr 111:1.S$('rcspecnvc par la constante gnl\ilaliwnl1t'Ilt'. g = ~.81 1l1ls-1,Ainsi. 011 ohlil'utl:.lISIO :\ou 9,81 kx pour la ~rll('. et ~3500 N 0112.3,5k~ p01l1' la caisse.

La réaction il la rotule A ('st 'UlP force cie>dirpction incunnue, n'pfi~~('ntC:l~ parse' composantes AI et Av. La réaction il l'appui ~,bascule B est perpendiculaire ~llusurface de COlitact, donc horizontale. On supposc' qlle' l\.,-, 1\'1 et B a~ssellt dans lesdirections illustrées li. In n~II(1'ci-conlrt-.

( alcul de.' li. Léquilibre exige que la souune des moments dos fortes externesau point A soit nulle. Léquation np contient ni _\r ni. '9' puisque les 111011101115de Al('1 Au par rnp[lort ;111f)I)inL •\ ~nlll nuls. En multipliant la gralldc'lIr d.· ('II:I(.'IIIll' d.,sautres fOrli'S par IC'Hr distance ail point /\. on (-crit

T~~l\/t\= 0: -s: 1.5 Ill) - {{l,BI ki'\)(2 IId - (23.5 kN)(6 Ill} = 0B -- + JOi,J I-N u - 1(1-11..'\ ....

Éhllll douué q1l(' 1(, résultat ('.-;1 poS'itif. l'Ia)l)utll(\~e de l'orir-ntation dl' la foree aupoillt B est valide,

C'ulcu] (It· \,. La grandl"lIr de la eorllposnntp A, est calculée en exprimaut CJUI'la som 111<>des con"ros~uli es honzom ales (11'l> fc)ret'S t'"\ l"nlf'), ('~t111111(,.

~!.F. = (); .4., + B "" (),\ ... ..l.. 107.1 kN = 1)A, = -107.1 k:\ "\, 111--;- Il'\ - ...

,Etant clan né CJlle le résultnt est !u'gatif, l'hypolhi'ç(· de l'orientation de 1:1composante A, n'est pas validc : celle-ci t"~tdl' l>1·lllo fJppOM" (\('~ la ~.ll1C'lh·).

C:Hl...ul fil: .\", EII suivun! le même ruisonnement ti"E' précédemment, 011 saitqUE.'la sonuue des l'oluposanlt"s verticales est III Ille.

A" - ~),S1 kN - 23,5 k . = 0~\I= -r33,3 k_\l \

lOi 1 ix

En addlnonnant 1(>5 vecteurs A, et ~I" 011 trouv (' 'IUf' la réaction i\ l'appui .4 ('si112.2kN ~1 ï.3Q

• •

10i,1 k;X

\'(·riflt·utiolt. On l't'III \'i1li<Jpr Ir;'! r~a('lioli~obtt'IlIl('S ,'II sr- ruppolnnt lJ1l1' la50111,1)(:' des moments des forces externes (l'htu'~(Js et réactions par rapport tl lUI

point donné est nécessairement nulle. Ains], si l'on utillsc le point B, on écrit

+1l:.1\18 == -tU,SI kN)(2111) - (2:J,5 k~)(6 ln) + (IOï,l k:\)( 1,.511\) = 0

153

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4.8 Résolvez le problème 4.7 si a = 400•

4.9 La poutre 1\8. ayaJlt une lungueur de 10 111. est déposée sur deux sup-ports C et D. En négJigc>ant I~ poids dl" la p<)lItre, déterminez l'étendue des valeurspossibles de la force P nécessaire pOUf garder l'ensemble Cil équilibre.

4.10 La valeur maximale adrnlssible pour chacune des rëacuons ('st de 50 kNortentëe vers If' haut. En n('gligc8111 Ir poids d.. la p01ltre', cl~l('nlül'('i'. l'étendue desvaleurs possibles de." la force P néecsssjrc pour garc!t'r la poutre en sltullUut'lsécuritaire (sans basculer).

4.11 POlir la situation décrite an pmhlf>1l1f' réosolll Pl'-4.2, détermiaezl'étendue des valeurs possibles de la fOI"(;~P pou r que la poutre soit en situationsécuritaire, sachant que la valeur maximale permise pu ur chacune des réaction. s estde 30 kl:\ et que la reaction au point 1"\ est orientée vers le haut.

4.12 En vous référant au levier de la figure P4.12, déterminez l'étendue desvaleurs possibles de la distance a pour que la réaction d'appui au point B ne dépassepas 100 N dirigée vers le bas ou 200 N dirigée vers le haut.

III -,1OC1 '\ JINI "r-a --I-Il rt1rn- ~

,\t:====~~~.~~~==========~~81- fJ l' c 50 N ~

I---S "un -_. ~·__ .....I·--I2. 111111_J.. mm

PIobIBmes 159

2 ln 3 III 3 III 2 IIIFtg\lre P4.9 - P4.10

1110 x 1.)11 N

1----450 mm -~-4.')() mm ---tFigure P4.13Figure P4.12

4.13 En ,"OIL'\'référant à la figure P-!_13, c1~t('rlnin("'L. l'étendue des \'all"llrSpossihlps dt' 10dish\n~f' fi pOlir quI" la poul no soit ('11 ('lai sécuritnire, sachant tille hlvaleur maximal .. udmtssible dt· chacune des réactions est dt, 180 N ('1 que le poidsde la poutre est négligeable.

4.14 Résolvez le problème ....13 en remplaçant la charge de 50 N par uneautre de 80 N.

4 15 Le levier BCD est fixé à un rible en B et pivote au point C. En appliquantles charges tel qu'illustré, calculez :

CI) la tension dans le câble AB ;IJ la reaction au pivot C.

tIl =0.l8111L A

~ 1.-0., m-+-O.4 m--I0,24 111

Figure P4.15

4.16 Résolvez le problème 4.15, sachant que a = 0,32 111.

4.17 Sachant que ln teusion dans le câble I\B est mainteuuc à 2(lO N, calculcz .t/ J la foree verticale P à appliquer sur la pédale:1)1 la valeur de la réaction correspondant au point C.

B

IJ 1------).:;0 In'lI---~ •..j1

4 18 Déterminez la tension maximale applicahle au câble .-\B si la valeur de t\lu réaction maximule admlsslbh- Ou point C est de· 250 r\. Figure P4.17 • P4.18

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-lU mm ..JO 111111

4.36 Résolvez 1<>problème ".37, sachant que le câble BE est pnrallële auxdeux tig('~(Ir.: 3()D).

"Jq U Ile console est tenue au repos par un câble rL\~au point E el par lesrouleaux san frottement A. B. Cet D. La largeur de la tringle Fe eçt I~gèrenlf'ntinférieure li la distance séparant les rouleaux, Evaluez là foree qu'applique clla(ju"rouleau sur le montant, sachant que a = 20°.

,1,)(""11'-- IOOmm

F·~a«t:

:1011 ,

(;

Figure P4.39l' [)...

Figure P4.41

4,40 t1(t~()h('1 1('probll'I)l(' 4.39, achant que o = 3()~.

" 41 Une console est tenue pM des chevilles placées aux points A et 8. achantqllf' If' coefficient de rnenon entre les chevilles et les rainures est nul et qllt> P = 15 1'\.calculcz :

III la force exercée par chacune des chevilles sur la plaque:l,) la réaction d'appui ail point F.

4 2 En se référunt tl la plaque du problème 4.41. on souhaite que la réactionmaximale ail point F soit dt' 20 N pt orientée vers le bas. En nrgligC'anl 1(' Ïmtternentaux chevilles. déterminez l'étendue des valeurs po. stbles dt· P.

.. 43 Une masse de 8 kg pellt être supportée de trois façons différentes. telqu'illustré Î\ lu ngur'" P4.-l3. Sachant (Jue Ir l'ayon dl' ln poulie B t'st de' 100 mm,c!(th'nllitl("l.lu rénetiou nu poinl J\ pour chacnnr- d 5 sitUilliolls prcts,·nt('('s.

1 • '"'1,--1,6 'n----II,h 'n----I 1--1.1l nl----I

fn 1Figure P4.43

Ir)

4,5ln

163

iO mm 20 mm

30 '"1"t

,n

il

1-1.5ln~Agure P4.44

30 III m 301nln--j

• Cr18 Il

I~

L • •j~

.\ B

Ir., \

. 4 UII pou-au dr 1;5 kg 501llil'Ill rt SOI1l~~lrtJ),itt' C lin fil (l1C'Clriqllf'. Ln 1111

tension dans le fil est de 600 N et celui-ci forme au point C un an~lt' de 15° avecl'horizontale. Déterminez les tensions maximale et minimale perrnlses duns lE'hauban BD si ln gl':lnot"lIr du couple en 1\ Ile peut dépasser 500 ~ . Ill.

4 45 UII(' tension t'OILSI1UltE" de 5 N est malotenue sur un nib ail mu..~nétilluf:'passant par deux poulies, A et B. tel qu'illustré, Sachant que chaque poulie a un rayondo ..j mm, dl-ll'rlllillcL hl réuetlcn d'appui 1111 point C. Figure P4.45

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4.71 En vous référant à la barre illustrée à la IIgllr<' P4.; t, d~t('nl1jn(,7.:fi} la tension dans la corde BD;b) la réaction au point C.

PrOb€rTJBS 171

4.72 Une caisse de 50 kg est attachée à la poutre. tel qu'illustré. Sachant quea ... 1,5 Ill, déterminez :

CI' la tension dans le câble CD:b J la réaction au point 8.

1\,--0.3 III

U.& lnB

O.b III

4.73 Résolvez le problème 4.72 avec a = 3 m.

4.74 En vous référant à la ûgure P4.74 - P-I.75, évaluez Ics réactions ~l11X

points A et B, sachant que fj = 50".

0.4 III

Agure P4.71

l1.4 111

,,-0....)

\1' 11:-· -tl-"'I

V5() mm

Figure P4.74 • P4.75 Agure P4.72

4.75 En vous référant il la figure P4.74 - P4.75, évaluez les réactions auxpoints A et B, sachant que f3 ;;;; 800. ~

4.76 Une roulette de 4,1 kg, ayant un diamètre de 200 mm, est au repos entredeux tuiles d'un plancher, tel qu'illustré à la fi~lre P4.Î6. Sachant. que l'épaisseurdes tuiles est de 7.5 Il111'. évaluez la foree P nécessaire pOllf plaCf"r la roulette surles tuiles si

n la roulette est poussée vers la gauche;b, la roulette est tirée vers la droite. FIgure P4.76

4.77 et 4.78 La barre ABC est supportée par un pivot en B l·t par 1I11e:.: cordetnextensible fixée en A et en C et passant par la poulie sans frottement D. Ensupposant que la tension est la même dans les ceuons AD et Cf) de la corde el ennégligeant le diamètre de la poulie, déterminez la tension dans la corde et la réactiond'appui au point B.

V ,160 IIAnl -1C

fa L10 111111

-

2.5f) III ft 1

R

iO rnrn

A

1-0 = 120 mm1-----2AO Ulm ------1

-- .., J .'

Figure P4.nFigure P4.78

4.79 Solutionnez le problème 4,22 en utilisant I~(méthode de 11<\ SI.:ctiO,1 4, i,

4.80 Solutionnez le problème 4.2; en utilisant la méthode de la section ·1.i.

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184 Equ lore des eoros ngu:Jos

!J

--

250 ,.1111 11

50 111111

Figure P4.113

'l

0.6 III ...n--, 0.9 111-__

"O,!) III

Figure P4.114

4. ~10 Résolvez le problème .t.l09. si li = 1,5 Ill.

4.111 Vue hampe dl' 9ô() mm cie long est retenue pttr une rotule en C ct pardeux câbles, DF et DM. Le câble V,\E passe par une poulie sans frottement fixéeà l'extrémité A. Une charge de 1280 N est appliquée au point B. Évaluez la tension,L'lOS chaque câble et la réaction en C.

li400

DIIlIt'IlSIOtl,en mil)

x

FigUTe P4.111

4.112 RC:$OI\'l'~Il' problème ..t. III si la churge dl" 12 0 N est déplacée aupoiut A.

4.113 La barn' dt' llu"lal.ABEF ('1'1soutenu€' pat Ics palipf. C et D et par un<..able I\JI. Ln section IVJ de la barre mesure 250 mm. Une charge de 400 N agit aupoint P. ELl supposant que le palier 0 Il'exerc . aucune poussée axiale, calculez:

tJ) 1:1 tension tians le câble ,\11 ;/,) les réactions aux points C ('t D.

4.114 Le panneau clune ouverture de toit de 20 kg pivote sur deux charnièrest\ el B. Ln pente (lu toit est de 30° par rapport à l'horizontale. Le couvercle estmaintenu en position horœontale à l'aide de la barre CE. En supposant que la char-nière .\ n'exerce aucune poussée axiale. évaluez:

tl) la gr:llld('u r de' lu roree upplïq uée par la barre:Il) les réacnons aux charnières.

4.115 U"'" pl:HIIIC' n'<.'tHllglilalrl· dl' :100:-" Ilxée aux chumières 1\ et 8 estIII:li"(('IIII(' C'tI po),itioll pur .111(·âhh· t!,r'. En .supposant CIU(' la charnlèr . B n'exerce11lll'1I1IC'poll,~fi(l(" nxlale, l'i.VBIII(·~:

fi) la tensiou d.uIl> le cûble :Il) les réactions aux points A et /J.

y

Di mcnslonsPli mil'

r< 11

120..

1;.".-

/'-

Figure P4.1 15

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188 équlI.tlre <tes cocps tlgodes 4.133 Une trappe de 50 kg el de densité unifonne est supportée par deuxcharnières sur SOI) côté ,\8 el par nn câble CE. Déterminez la tension clans le câble.

y

2>111 IUIlI

2.:l0 1l1n1

~

"'00 IIIUI i\

Dr:' ~A:: 200 IlltnL<'-<,

·IKtl mm ' ....y.Nnnlx

Figure P4.133

4.134 R~:s()lvt'zIl· pmbli'IIH" 4.133 r-n remplaçant le câble CE par un câblereliant les points D et E.

4.135 Une barre de métal ABDE est soutenue par deux joints à rotule en Act E. cl par Ir câble DF. Si la barre est sollicitée par IUle charge de 600 N nu point C.évaluez la tension dans le t'âble.

4.136 Résolvez le problème 4.135 ("TI remplaçant Je câble OF pnr un câblareliant les points B <.>1F.

DimensionsCil 1""1 SON

1

! 80 111111

Figure P4.135 Figure P4.137

4.137 Deux plaques recrangulntrcs sont soudées ensemble, le] qu'illustré il lnligure P·lI37. Ll' montage est supporté aux points B ct D par de.s rotules cl appuyéau point C sur une bille dëposëc sur une surface: horizontale. Calculez la réactiond'appui au potnt C. sachant qu'une force de 80 N est appliqué ail point A,

C p n

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198 Foreos rëparlWS conuoioesel centres da gral/llê

5.1 INTRODUCTION

Nous avons supposé jusqu'ici que l'attraction terrestre exercée sur un corpsrigide correspondait à une force unique W. appelée force ciegnlvité ou poids.NOLIsaVOIl$ appliqué cette force' <1\1 rentre (If! grfll;;tf {ln corps (section 3.2).En réalité, la terre attire séparément chaque particule du corps; son actioncorrespond donc à un très ~rand n011lhre de petites forces réparties surl'en crnblc du oorps rigide. Nous verrons toutefois dans ce chnpitre qu'uneforce unique équivalente \V peut effectivement remplacer la multitude depetites forces. et qu'elle s'applique au centre de gravité du corps. Nousupprendrons à situer ce centre pour <les COlpS de fOlll1eSdiverses.

En première partie. nous ft1.ldit>rons les objets plans tels les plaques etles fils dunt le parcours se siluc dans un plan, Afin de localiser le centre degravité (le ces <''OTpS, nCJU$ ferons appel à deux nouvelles notions : It' centroïded'une aire ou d'une courbe ct le ,nOluent statique (aussi appelé le premiermoment ou tout simplement Je 111011lcr,t) d'une aire ou d'une courbe parrapport à un axe donné.

Nous verrons ens ulte que le Ca.)ClÙ de l'aire d'une surface de révolutionou celui du volume d'un solide dc révolution dépend direct nnent decentroïdc de la courbe ou de l'aire qui engendre kt surface ou le solide derévolution (théorèmes dt' Pappus-Culdinns). Déterminer le centroïde d'unesurface slrnplifiera J'etude des poutres S()1I111isesà <lescharges réparties et lecalcul des forces exercées sur une SUJfuc.'C rectangulaire submergée commecelles des vannes hydrauliques OLI <les barrages (sections 5,8 et 5.9).

Pour compléter ce chapitre. nous apprendrons comment trouver lecentre de gravité d'un (.)()rpstridimensionnel et le centroïde d'un volume,ainsi yue les moments statiques de ce volume par rapport aux plans duS\ stèrne cie coordonnées.

J

SURFAC.ES ET COURBES

5.2 CENTRE DE GRAVITÉ D'UN CORPS PLAN

Considérons d'abord une plaque horizontale (figure 5,1) que l'on divise en11 l)(."tlL~élérneuts. On attribue L·· coordonnées XI cl yl IlUpremier élément •.r!! et y'J. au deuxième. etc .. et On nomme â\V[. â\\1Z, .... âW,. lps forcescorrespondantes exercées par Laterre SUT (''CS éléments. Ces forces. ou poids.convergent vers le centre de la terre : cependant, pour des raisons pratiques.un peut considérer qu'elles sont parallèles, Leur résultante devient doueune force unique clans la même direction qu'elles, dont la grandeur "'1correspond à la somme des gr,lndcuTs des poids des éléments.

\\'= ~'VI + ~\,f"+ ... + a\v- ri

•w ••

\V /, /--

X l

~;\/~ 1 X \~' "'!f 6 \.1'

!:lI, !i \\' ~Iy il\1'Figure 5.1 Contre cie gravJte d'une ptaque

Copynghted ma nal

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210 Forces r6parlJOS: cenHoidesIII contres de grav10

5.10 à 5.16 Situez 1(>oenmiîd<> des sIIrfi-tC'es planes iIlIJSlr'{oCS.

!I !J

1 /..........----'1 ~/7

60mm / r

\....

47 mm&) III n, 6<) fil n 1

Demi-ellipse

lC

riOrnm

L

1

90 rU11l

Figure PS.l0 Figure P5.11 Figure P5.12

y !I

,) = 4 III 6n Ullll r- IL •

20 111111 20 11H11\ kllZ lT' I-r5nun~ 1-- :}O IIIm

xa = Sn) 30Figure P5.13 Figure PS.14 Figure P5.15 Figure P5.16

!I =kx3

Somme!

li

r~60 mm

'1Parabole

5.17 Déterminez l'ordonnée du oentroïde de la surface onlbragée en fonctionde r" r~pt a.

Il

'1

n, "

Figure P5.11 • P5.18 Figure P5.19

5.18 Prouvez qllP si rI rend vers r2, ln position du centroïde tend vers celledu oentroïde d'un arc de cercle de rayon (rI + r2Jl2.

5.19 Dét<·fIlÜnc.'Z l'ordonnée dt! ecntroïdc du trapèze ci-dessus Cu fonctionde b r- b2 et Il.

5.20 En \"OI1S rapportant à la figure P5.10, déterminez Je rapport rz!r •. desorte que Ii = 3,../4.

C P 1

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214 Forces reoorues: ceonotoes01001111&5cl" glrrv,l~

Une fois l'aire calculée ct après avoir évalué les intégrales 5.9. la résolution(les équations donne les coordonnées E et y du centrnïde df" l'aire.

P{:....!I)'1 IJ

('lt !J)

rly1

o

T '1 11 1l{rl l 1~ •

de () - ·1 r () x,,-l l':Cn

a- Il..,.:C 9,.:t,,= T .r,1 = :1 l'lie!> /)

- >1)1'v, =!I 'i;Il = 7f ~IIIIl

dA = (0 -xldy d.-\=! r~dO-(Il) (cl

-x,/=:t

dA=ydx

(CI)Figure 5.128 Cerrtroido et airs des olémonts dltferenucls

Lorsqu'une courbe LI Hile forme déflnje par une ~'1"ation HI~éh1"ifl"e. ondétermin son eentroïdc en évaluant les intégrales 5." de la section 5.3:

ti.= J x (IL yL == J y dl: (5.4)

00 remplace l'élément de longueur {IL par l'UJ1C des expressions suivantes,choisie selon la variable indépendante, x. y ou 8. utilisée dans l'équation quidéfinit hl courbe (on clélive ces relations à l'aide du théorème de Pythagore):

dL - JI + (J;)' dx dL - 1+ (~~)' dy

(IL = \1r2+ (~~)2rlfl

1\près avoir utilisé l'équation de lu courbe pour écrire "une (les coonlouuéesen [onction de l'autre. on procède à l'intégration: finalement, la résolutiondes équations 5.4 donne les coordonnées x et y du centroïde de la courbe.

5.7 THÉORÈMES DE PAPPUS·GUlDINUS

Ces théorèmes concernant les surface et les volumes de révolutiou ont étéformulés pour la première fo1.(ôau troisième siècle êlp. J.-C. p_tT If' gpomèh-egTe<:Pappus, et énoncés de nouveau plusieurs siècles plus Lard plU le mathé-maticien suisse GuJdinus, ou Culdin (1.577-1643).

Une ~lIrface (le r(J~)ll1ti(}n est 1l11f' surface f;'ngendrée- par la rotationd'une courbe plane autour d'un axe>flX('. Par exemple, on obtient la surfaced'une sphère en faisant tourner l'arc semi-elrculalre i\BC de la figure 5.13

B oSpht·rt'

Figure 5.13Cône

C P

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5.141 Dkillis('/. par int{'&'l'alie'l1 dirN.'l(' la position du cc-ntroïde dl' la nloiti~crune coquille 11IiJl(.'Vhémisphérique unifonue dl' nl)'OIl /{.

Problèmes 247

Figure P5,141 FIgure P5.142

5.142 I_.('~({Il(-~ l" la h~(, (l'un 1.0111 plnlt'h 0111 1111(' ('pui~'\'lIr ttllifonllt" "Si , « R (.'1Il = 250 111111.~ilUl~LIL' ('(·"ln.' dl' grnvité:

Il' du bol;b] du punch.

5.143 Un entrr-pn-neur f'l! construction place quatre> pieux ro"r déltrnlter lesfoudatious cl 'II Il l' IIllIi-;OIl, Pour solidlflcr et mettre à niveau Il' sul. il a déposé uneépaisseur vnrinble dt>$.,'l'n\;C'rd'lin minimum de 60 mm pt d'lin Inl\.\;11111111 clf' 160111111sur toute la surface. Déterminez 1(,volume de gravit'r néeessain- ('1 la eoonlonnéc.de son centrorde. (SIII!J!.t·'111oll: SUPPOS('Z (jllf' 1" IÇr:lVÎC'rrt'poSf' sur 1111plnu ohliqm-décrit par l'équnüon 'J - (1 + bx + c:..)

y'1

IlI.,1l III

Figure P5.143 Figure PS.l44

5.144 Loculisez pur inl{>~rlllioll directe le ocntroldc du volume comprisentre le plan x:: el la partie illustrée de la surface déflnie p:tr 1'(~(ll1UUOll

Ij - 16II(nx - x2)(/I:' - :.2)la2Iil•

5.145 Localisez lc ccntroïde de la section illustrée. coupée à partir d'un tuyaucirculaire mince par deux plans obliques, 'J

Ij

!" 13.1

Ftgure P5.145 Figure PS.146

.5.146 Localisez Il' eentroïde tilt volume illnstré. coupé à partir d'un (.·ylitldrt,clljpti(1' 1(' paJ' un plan ohlkJlIP

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1000 ;-.J/ui ')0 k\0.3 IlIII

t ,

l,h rn

B,-\12(MJ \l III Il 1

Figure P5.153Figure P5.154

5.154 La poutre ,\8 supporte deux charges concentrées. Le sol appltqne surLa poutre une charge verticale répartie linéairement el orientée ~'C"S If' haut.Déterminez :

«) lu Ùi:s-tUllll(' (1 polir lacl"l'llt' 1(' = 20 kN/I1I;l,) la valeur correspondante cie IV n,

5,155 Situez lu coort!UIIII('C' ;: du centre de gra\'ité Je l'élément de IIlacllilll'

il1u$tr(l.

'1

2(1

'140.j(l ,l', .~

,t.' ...:c

1)illlf' n~i()II~

t'II 111111

1525" 111111

4U

FIgura PS.1 S5 Figure P5.156

5.156 Sunez If' centre de grl1\'it~ de la piè't'C' en lôk· iI1I1StT~("

5.157 Lot'alistrL Il' centroïde du volume obtenu pdT lu rotation de lu Sl1rf'al'(.·

ombragée autour dl." l'axe des x.

y

(1

1,f----/I---

FIgure P5.157 Figure P5.158

5.156 La porte" <''U1Tér'AB à bascule est soutenue par des charnières le lougdu côté supérieur l\ ct par \111(' cheville (le cisalllcrucnt 0111 point B. i la hauteur dl'l'eau retenue à gauche est 1/ = 3.5 m. calculez la force de retenue exercée sur laporte par lu cheville.

l..è"llIlIlllt'IlH·:'\ '111\:1111' '11111 ('tIlIl,lIS jlollr l'In '1III(tl(lIlH'~" :11',11<11 d,·llIrclill,tll'llf 4111

"tlIH' l ,d'II),lllIll' pll"!I.llIllll .1111'

5.C1 UUe' poutre doit '_;tJ'l' capable' cie supporter des char~,·s rt.1partie'suniformes ct des f'hargC's réparties (lui \"anC'ot lin~ai"l·nl('nl. 1('1 qu'illustré :1 la

Agun! P5.Cla, En vous inspirnnt du problème résolu PI{-.5J). dé(''UlILPOStVL la slIrfllt't'

hH IIIIU

.1~... 150111111

~

..x

c p

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6,1 INTRODUCTION

Dans les chapitres précédents, nous avons étudié l'équlllbre de corps rigidessimples, soumis à des forces externes seulement. ~OIlS allons maintenantexaminer (les structures comprenant plusieurs éléments. qui subissent à lafois des forces externes agissant sur l'ensemble, et des forces internes, c'est-à-dire des forces que les divers éléments exercent les uns sur les autres etqui assurent la eohé ion de la structure.

Prenons par exemple la potence illustrée à la figure 6.10, qui supporteune charge \v. Elle est constituée de trois éléments. ou membres. AD. CFf't BE. assemhlés à l'aide (le chevilles 011 de rivets san frorternent. Lastructure e l flxée à un pivot (\11 point A et maintenue en place au moyen ducâble DG. Le <uagranulIf' du corps libre (DeL) de la potence (figllre 6.1u)montre les force. externes, incluant le poids W. les composantes At et Ay dela réaction en ...\. ainsi (111t' la tension T pxercée par le câble au point D. Lesforces internes (lui retiennent ensemble les pièces de la potence ne sont pasreprésentées. Cependant, si l'on décompose la structure et que l'on traceUII DeL p<>urchacune de se parties constituantes. les forces qui s'exercententre les trois membres devront figurer sur les diagrammes car elles agissentextérieurement n chaque partie isolée (ligure 6,le).

0 D

E T E C E- - F 10'1· FC cf?8 8' w B \\'

\l'

.\, ~

.\,\

~

A tA., 1\

A.t(ul (1,) (c)

Figure 6.1

II PS t à note r q IIf' la furc:p exercée t> Il B par la poutre BE su r )' élé Il.(en t ADest ég:lJ~ct opposée à la foree produite au même point par AD sur BE. Demème. la force exercée en E par BE sur CF est égale et opposée à la forcedéveloppée par CF sur BE. Finalement, les composantes de la force exercéecn C par CF sur AD ont égales ct opposées aux composantes produitespar AD sur CF. Ces considérations expriment la troisième loi de Ne vvton,qui stipule 'Ille les [orees tl'nctlon et (le réaction entre (lé.'>(;017)$ qui se tou-chent sont cie même (!,ralldetll~de sens opposé, el ont la même liglle d'acuon.Cette loi empirique fait partie des six principes fondamentaux de lamécanique énoncés àU chapitre t et il t'lit essentiel d'y référer I>OlIrrésoudreles problèmes traitant des corps liés.

Dans ce chapitre. nous anal) eron lrois grandes catégories de structures:

1. us 1retltts, egalement appelés [enlies ou puull1:S f ritJ'l(!,ulé~,conçuspolir soutenir des charges. ont habituellement stationnaires ctcomplètement liés. Ils sont constitués exclusivement de poutres droitesjointes par leurs extrémités. En conséquence.Ia structure se colllposeuniquement de membres bi/oree. • c'est-à-dire soumis n deux forceségales et opposées orientées selon l'axe {J~l'élément considéré.

2. Les charpentes, égaJenlcnt conçues pOIlI supporter des charges.sont elles aussi habituellement stationnaires et complètement liées.Cepeudant. tout comme la potence de lu figure 6.1. les charpentes

6 l Introduct;on 257

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réaction' aux appuis. La t"Onfigun\tioll des membres et des nœuds «('1111treillis simple est tellf' <lu 'il est toujours possible de trouver lUI nœud oùs'exercent seulement deux forces inconnues. On calcule d'abord ces forcesen appliquant les méthodes vues à la section 2.11; on transfère les valeursobtenues aux nœuds adjacents. on les utilise pour déterminer d'autres forceset on poursuit de la même façon jusqu'à ce qu'il ne reste plus d'inconnues.

À titre d'exemple, analysons le treillis de la figure 6.ï. Examinons l'éqni-libre à chacun des nœuds. en commençant par un point où Sc trouvent scu-lernent deux forces inconnues. Dans le cas con idéré, au moins troi forcess'appliquent à chacun des nœuds. Il faut donc d'abord déterminer lesréactions aux appuis en examinant If' curps rigide fonné par l'ensemble <lutreillis. Les équations d'équilibre indiquent (lue la réaction R,\ est verticaleel elles permettent de calculer les grandew'S RA el RIf'

Après celte étape. LIne reste que deux ÏllCOlll1UCS au nœud 1\, lluC' l'ondétermine en considérant l'équilibre à ee point. 1,.;;\réaction RA et lesforces F AG ct F AI). exercées en A par les éléments AC 'lAD. doivent formerun triangle de forces. On trace d'abord R.-\ (figure 6.8); sachant que Fi\(:et F AD sont orientées respectivement le long de AC el/\D, on complète letri~u1glepOil r déteruuner ensuite la gr.uldeur et le sens Je F,\{' el FAI), Lesgrandeurs FJ\(: et f~",)correspondent aux forces internes des membres ACet Al). La foree FAC étant dirigfe vers Je 1)as et vers la gallche. c'est-à-di revers le nœud A, le membre /"\C pousse sur l'articulation 1\ el sc trouv C en,compression. A l'inverse, If' 1l1t'11I})rt>AD tire sur If' nœud A (Il' sorte qu'il esten tension.

6.4 Ar.AI)'se à un lreluls par la mélhode 261ees nœuds

DUll!mJlllnC du corps libre roly~on(.'des rOR.'{'S

Xœud .\

l'

Xœud C

l'

F~ll

Figure 6.8

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!?AJO(} N 1000 N

l-l2In--I--.112 'll-(

6nI 6 UI

12f1OO N

I~---F.\8<jt,~

3 'FAt)

2!)OI) N

PROBLÈME RÉSOLU PR-6.l

En utilisant la méthode des nœuds, déterminez la force interne dans les élémentsdu treillis illustré.

SOLUTION

Diu~rarnme du Ci)rr~libre de l'ensemble du treillis, On trace d'abordtl! Del de l'ensemble du treillis i les forces externes qui agisSt!ntSUT Ia structure sontles deux charges et les réactions Bl,IX points d'appui Cet E. Il en résulte les équationsd'équilibre suivantes:

+~~Alc= 0: (2000 N)(24 Ill) + (JOOON)(12 ln) - &(6 Ill) = 0E = +10000 N E ~ 10000 Ni

Cl' = 0

+i~F~= 0: -2.000 ~ -1000 N + 10000 N + c,= 0Cy = -7000 N Cy ;; iOOON~

Diagramme (lu nœud Iihre ..\., Ce nœud est soumis à deux forces inconnuesappliquées par les membres 1\8 et AD, On trace un triangle des forces pourcalculer FAB et FAD' 00 observe que la barre AB tire sur le nœud , cette barre estdonc SOlL~ tension (elle st en traction). D'autre part. la barre ,ill pousse sur lenœud et se trouve ainsi en compression. Les gnlndellrs do ces deux forces sontobtenues par la relation suivante:

2000 N FAS FIIl)--- "" "'" __;;,;;;;;...435[0' 1/1 ;;: I,()I):-" [ ~f' J"ll =- 2.500 \ (' ~

Uia~r:lnllnl' elu no-ud libre D. Puisque la force appliquée par l'élément ADest connue. il ne reste que deux inconnues dans le diagramme du nœud libre(DNL) D. Encore une (oiS, on trace un triangle dos forces pOlir (."Ult."ulcrIl'~effurtsaux barres ou éléments structurels DB et DE,

FDB = FDI\

FDe = 2{i}F DA

"/lU - 2,')UII:\ T ~l~/I1= 3U(l0 :'\ (: ~

265

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6.9 POlir chaque élément dl" la lel'Tlle cie toiture Howe tllustrée, évaluez laforce interne et indiquez .s'! l'élément est Cil tcnslon ou Cil compression.

Problèmes 269

6ltN

13 kN 3 kN 5 III

B F 11

5 III

A 0 0 0 [1 l

~8 III1Sn118 InJ- ~ln~\·Figure P6.9

6kN 6kN61eND 6kN

oCI

fis Il,--t-S m-+4--& 1111-+11-8Il>--l

Figure P6.10

1)2.3.'3 m

F

oE

oC

6uI_j_

ll~

6.10 Pour chaque élément de la ferme Garnbre] illustrée. calculez la Iorecinterne et précisez si l'élément est en tension 011 en compression.

6.11 Pour chaque élément de la renne Fink illustrée. évaluez ln force interneet indiquez si l'élément est en tension ou en compression.

2.2..5 ni 2.25 III :3 kN1.5 ni 1.5111 1.5111 1.5 III J ,5 ln 1,5 III

3kN 3kN t;;i = "'Do 1.5 k:-; 2 ix ~k."\i.s ~NJ~ F J III 2kN 2k:-;

1 kN E 1 liN

A C 1 fil U F --r- 1) 0 2 IIIC JB 1-,

Li1--3 ln

A0 0(; G3nl -3111

FIgure P6.11 Fi9ure P6.12

6.12 POLIrchaque élément ou tr:f'illis lllusrré, évaluez lu force interne et pré-cisez si 1'l'lc"lîlC'nl ost en tension OH {'il compression.

6.13 Pour chaque élément du treillis illustré. évaluez la force interne et spé-cillez si l'clément est en tcn ion ou en eomprcssion.

o

(.;,'1.1-9 ITI---I· ....._-!l rn ~

Flgure P6,13

6 LU-+--- 6 III--t-- 6 n1-1

1210tN

lFo:"""'-r

7'.6 fil

J

4 III ·l III 3n1 3 Hl

1 -- L:r\• r.")

:! kN1,5 kN

2kN F1k~ D 0,75 kN

lioC 1'1"

2.4k~

2.4 kND

Il

0-C

oe~ 6 111--+-0- 6 111---1-<-6 !l1-

Fi9ure P6.14

6.14 Pour chaque élément du treiJlis à pt'ntf' double illllst~, détermlnez laforce intente et indlquez si l'élément est co tension ou t'1) compression.

Copynght d ma nal

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Ij Probèmelt 273

1lU m

-•

Figure P6.37

·6.37 Un tl"('illi~est constltué de sb: éléments. LIest supporté par 1I11t· barrearticulée en J\. par dl'lI>: hurn:~.lrti('lIll'I·S ('11 8 l'I p:lr 1111" rultllt' ail point D. Le'treillis étant soumis Il lu chargt' Illustrée. déterminez la fort,(' dau!I Ch:lqIU: 1I1t'lnhr('cie l'armature.

-6.38 Un Irt'illis est constüué de neuf éléments, Il pst supporté par une rotuleau point A. par deux barres artl(,\ll(o{'l> Cil B ct par une harre nr1i('III(o(' HII point C.I,A' trelllis étant soumis Ù la charge illustrée, déterminez la force Ù.IlI~chaquemembre de l'armaturr-,

y

p

(l,fi

., III

'llil

x

Figure P6.38 Figure P6.39

*6.39 Un treillis est constitué de' neuf éléments. 11e t supporté par 1111(' rotuleail point B. par c!C"IIX narres articulées en D et par une barre articulée au polut C.

(1) \'(-riO,,/. ~i1(, tretllis est de t)1'f' simple. s'il est isostatique et si lesréactions aux appuis sont complète .

,) 'acltallt (Iu<' P = (-1200 !'\)j el Q = 0, déterminez la force dans chaquemembre dt' l'armature.

'1

·6.40 ollliionnt'I'. It" problème 6.39. sachant que P = 0 et Q = (-900 N1k

9f)() x 1 k(11lXl '\ 1 i /'

·6.41 Un treillis ('st constitué de lb éléments. II est supporté par 1I11(' rotule-au point r\, par deux barres articulées en B et P.'lf une h.ITTl· urticnlée ail point C.

a J Vénûez si 1(' trcilhs est de I)pt' simple, s'il est isostatlque (~tatJ(llI(\IIlI'1I1déterminé) et si les réactions à Sf'Sappuis sont statiquemeut ùét(.'nllill(·(:~.

h] POlir ln situation indiquée. déterrmnez la force dans chacun des .si'(éléments joints :111 nœud E,

(1)0"'11

·6.42 Un tretllts est constitué de l ' éléments, II c rt supporté par tint' rotnlcail point .1'\, par deux barres articulées <.'11 LJ ·t par une hurre tlrti('ul('t~ "" point C.

fi) VtSlinpz si 1(' treillis est de I)rpe simple. s'il est Isostatique (statiq,lIt'IlH'1I1d('tt'rnliot') ('t si 1(':0;réacttons à 51'S points d'appui sont complètes,

/,) Pour la situutlon illustrée, rt~ll'rlnille7.la fol'C(' dans chacun des sixéléments joints titi 11(1'l1d (;

l

Figure P6.41 - P6.42

Cap

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28k~ 2li kN

111 8 IIIm 8111

28kN 28kN

:;,IIIlJy S,n 8 "' 8 IJI 8 IT'

28kN

lôkN DI"

F

2.'3 kN 33kN

2SkN

161 \

2.1kN

PROBLÈME RÉSOLU PR·6.21 kN

Détorrntnez la [oro- dall~ 1('$~l(>ln('nts EF cl CI de la structure illustrée.

SOLUTION

B, + l6 kN = 0

~ -=~=C::::;;E ,.;;..G::::;;:::;;;!~'=i~K~l fl~kN1 tf'" - Diagrfllnlllt' du oorp" lihre (lu trt'iUi",. On trace le diagramme du corps

10 l'TI libre dl:' l'ensemble cie la srmcrure : les forces externes agissant sur elle sont les deuxB <"harg('sappllquées aux points Cet G, la force de tension au nœud K et tes réactions

.B. D P Il d'appui aux points B et J. Les équation s d'équilibre sont

+1~,\fB= ():-(28 kN)(8 ln) - (28 kl''oi)(24m) - (16 kN)(lO m) +J(32 ru) = 0

J=+33kN J=33kNj

fi '"A~~~C='~E~=/~G~'I~'==~K__16~k~

8" "" -16 kN

+,!~IJ!::: 0:(28 kN)(24 m) + (28 kN)(8 ln) - (16 kN)(lO m) - By(32 rn) = 0

e,""+23 kN Dy "'""2.'3 kN l

Foree dan .. 1·~léllll.'l1t EF. On fait passer la section Ill. à travers le treillis aflnde couper la barn" EF et au plus cieux autres éléments de la structura. En retil1\otles barres sectionnées (EC, 'EF et DF), on considère la partie de gauche du treillisinitial comme corps libre. On observe sur le DeL qu'il )' a trois inconnues. Pouréliminer les deux forces horizontales. on écrit

+23 k~ - 281:cN - FB/~= 0FE.F == -5 kN

Le sens de F E.F a été choisi en supposant que le membre EF était en tension; le signenégatir obtenu indique que EF est en compression,

+jlFy = 0:

F'el 1 K Jou = .5 kN C ~

1.~~=::;9--'IGk~

FUI10 III /

l~~.....I ......oOIfl FU}

I-f> 1.'

Force interne de I'élément (;/. On trace la section mnl à travers le treillisafin de couper la harre CI ct deux antres éléments de la structure. En retirant lesbarres sectiounées {Cl. Ill et 1IJ). 011 considère la portion de droite du treilliscomme L'OrpS libre. On identifie trois ineonnues ; pour éliminer les deux forcespnssant par 1(" nrr-ud H. on écrit

+i~AJII = 0: (3.3 kN)(8In) - (16 kN){lO m) + Fc/(lO ln) = 0Fc/=-lO,4kN J'(;r=IO.-ik C ~

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4. Une ferme de toiture Mansart est soumise aIL" chilr~esillustrées. Calculezl'effort dans les memhres Dr', oc et EG.

6 14 Une Ierme de toiture Mansart est soumise aIL\: charges illustrées. Calculezl'effort dons les barr 'S cr, 111 c:t Hl.

l'Un treillis de pont Warren t'sI soumis aux charges illustrées, Calculezl'effort duns Il'S membres C";. DE c't Dl',

fj,2,ij III

,

K

12,5 III . t 2..5111 l2.:'5 m 12,:') m 12,5 m

fil) ~ '\ ti(1 k:\Figure P6.45 • P6.46

f a Un treillis de pont \V'arren pst soumis aLIX charges illustrées. CalculezJ'cfTort clans k-s barres EC, FC et FR.

,{ ]H Df

.3 IIi

o L

1------4III· "'11 ,1IrI-f-,' nlJ~2.25 IIi 2.25 m

Figure P6.43 • P6.44

r:: ~' L: 1(('lllIs d'ulle' pa.<;St' relie est soumis 3lL'C charges illustrées. Déterminezln force dans les barres CF. EF ct EG. :lk:\ 11..'\ 1 k:\ 3 ~I\ :l k:-' 21.N 1 kN

Ù.8 rn O,oS III O.Sm 0.& rn 0.8 ru a.S.ll1

D, t; C Il' ] L 10

5. q" Lé treillis d'une passerelle est soumis aux charges illusrrées. Déterminezla force>dans les éléments FI, III et [11, fi

{, 44 Une>femle à écharpes Howe est soumise aux charges Illustrées. Déter-minez la force dans les (51~rnf'ntsDF, DG et EC.

1 il k:-'

1 Il 1,:,\ ! 1 (; k:-'

I.n k:\ ~ Fjl.h k'\ ~ Dv .. fi ln

Bo 0 -.. G 0 .1.5 III0 E 1 .. L"\a C K

~,

8111 Snl Bnt SIn 8111 SinFigure P6.49 - P6..50

.}(j Une Ierme HOINe est soumise uux cllargt·s illustrées . .I)~I('nl1int'7..la forcedans los ~~Iélll('ntsCI, IiI et IIJ-

6 c Une ferme de toit supporte des charges, tel qu'Illustré. Calculoz I'cfforrdans 1(:5 membres CE, DE el DF.

5;:;; Une ferme tic toit supporte des charges, tel qu'illustré. calculez l'effortdans les membres EG, Cff ct H].

ol:

oF

o{

Figure P6.47 • P6.48

Figure P6.51 • P6.52281

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Les poutres et les câbles

On a construit des ponts suspendus pour enjamber des lIeuves el desestuaires; leur lBbIier est soutenu par des cAbles. le Vemuano-Narrows.qui relie Staten IsIa!1del Brooklyn. à New Yor1l. esl le pont ayanl la pluslongue portée aux Etats-Unis.

C p

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328 L@!;poutres (lI les câbles

p

B

(a)F1gure P7.22

Figure P7..25

Flgure P7.26

B

7.20 En vous référant 3U,'( données du problème 7.19. détemnnez la gr.lndeuret l'emplacement du moment fléchtssanr maximal dans l'élément Be.

7.21 Une force P est appliquée sur une tige pliée en fonne cie coude. sou-tenue pat un rouleau ct lin pivot. DtltCl'll1Înft7, les forces int mes àl! point] pourchacune des configuratioos illustrées.

p p p

r/J r-n araB

r t r'c c Ca a (J

+- f- +-(1 a, 1\ 1...l-

r'(0) (lo ) (e)

Figure P7.21

7.22 Une force P est appliquée sur uue tige pliée en forme de coude,soutenue par UI'l rouleau et un pivot. Déterminez les forces internes au point J pourchacune des configurations illustrées,

p11--11-

B r

c

r

(hl A

Figure P7.23 - P7.24(c)

7.23 En considérant le Inontage de la figure P7.23 - P1.24. calculez le momentfléchissant au point], sachant que f) = 600

• La tige semi-eirculaire a un poids \V ctune section uniforme,

7.24 En considérant le montage de la figure P7.23 - P7.24. calculez le momentfléchissant au point J. sachant que () = 1500

• La tige semi-circulaire a un poids \'"ct une section uniforme.

7.25 En considérant le montage de la Hgure P7.25. calculez le momentfléchissant <lU point). sachant que (J = 3(}0. La tigt' forme un quart de cercle. Il unpoids \IV pt une section uniforme.

7.26 .En COI1$id';nln·l· J(. IJloutage de la figure P7.26, calculez le momentfléchissant au point J, sachant que (J = 300

• La tig!' forme 'ln quart de cercle, a linpoids \V et une section uniforme.

7.27 En considérant la tigt' du problème ;.26. calculez la gr.mdeur et l'empla-cernent du moment n~chjssullt maximal.

7.28 En considérant la tigt' du problème 7.2,5, calculez ta valeur et l'ernpla-cernent du moment Ilëchlssaet ruœdmal,

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332 Les pouues et 1...., C<il.' &S

1 t: P 1.

-1-2- 2oA

(0)

p

c D Ei\ '. ~. tloL' H

il' 1 l' 'R~:- R",,-. 1 (bl ~• -

A ir----j \''')''l'

r C1)

R~r \..

l'(c) R~ -~-

r\.

(el 1V

P'>

LL x- f'2 _-

2(...)

.IfPL- ---------4

-2(fl

Figure 7.10

'7.5 DIAGRAMMES DE t:EFFORT TRANCHANTET OU MOMENT flÉCHISSANT

Maintenant que nous avons clairement défini la graIldeur et- le sens de l'efforttranchant et du moment Iléchissant, on peut facilement présenter les résultatsobtenus SUT toute la longueur de la poutre en mettant en graphique cesvaleurs en fonction (Je la distance x mesurée à partir (le l'une des extrémitésde la poutre. On appellera diagramme (le ['effo,-t tronc/tant et diagramme d'fimoment fléchissant les graphlclues ainsi élaborés. Considérons, par exemple,une poutre simplement appuyée AB, de portée L, SOUTIÙseà une seule chargeconcentrée P appliquée au point milieu D (figure ï.l Û(l). On détermine lesréactions aux appuis en analysant le diagramme du corps libre de la poutrecomplète (figure 7.10b) ct l'on trouve que ln grandeur de chaque réactionest égale à P/2.

On sectionne ensuite la poutre au point C, entre A et D. et l'on traceles diagralt)lnes <les corps libres t-\C et CB (figure i.tOc). 0" suppose quel'effort tranchant el le InDOlent fléchissO/lt sont positifs, ct on oriente lesforces internes V et V' et les couples internes ,M et 1\-1' dMS le sens indiquéà la figure ï ,9(1.Considérant le corps libre ~\C. 00 égale à zéro LaS0111tlle descomposantes verticales et la somme des moments par rapport à C des forcesagi.'isaotsur le (.'orps,ct l'on trouve V = +Pf2 et AI = + Px/2. Les deux valeurssont positives: on peut le vérifler en observant que la réaction en A tendà cisailler 1:1 poutre et à la plier en C tel qu'illustré aux figures 7.91J et c.On trace ensuite le graphtque des valeurs de V et L\l obtenues entre A et D(figure!' 7.) (W et j); l't>ffort tranchant est constant, \1 = P/2, et le momentIléchissant augmente linéairement de At == 0 pour x == O. à 1\1 = PU4pow· x = UZ.

Coupons maintenant la poutre au point E, entre D et B. et considéronsle corps libre EH (figure 7.10d): la somme des composantes et la somme desmoments par rapport à E des forces appliquées sur le corps libre sonl égalesù zéro. Il en découle (lue " :::0 - P/2 et lI'f = P( L - x)/2. Leffi)rt tranchant estnégatif alors que Je moment fléchissant est positif: on peut le vérifieren observant que la ré..action en 8 plie 1,,1 poutre en Etel qu'illustré à lahhl'ure7.9(' et qu'elle t~J\Jil la cisailler dans le sens contraire à celui qui estmontré à la figure 7.9b. On est maintenant en mesure de compléter lesdiagrammes des figures 7.1Oe et .f; l'effort tranchant est constant entre Det B. soit \' = -P/2, alors qllt> If' mome-nt fléchissant suit une décroissanceLinéaire, évoluant de 1'1 = PU-! à x = U2 vers AI = 0 à x = L.

Lorsqu'une poutre est sournlse uniquement à des charges concentrées,J'effort tranchant est constant entre les charges alors que le moment Iléchis-sant varie linéairement sur le 111ênlC segment. Par contre. lorsqu'une pout.resoutient des charges réparties, l'effort tranchant et le moment fléchissant secomportent très différemment (PR-7.3).

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7.63 Résolvez le problème ï.29 l'II utilisant la méthode présentée à lasection 7.6.

7.64 Résolvez I~ problème 7.30 (~J) utilisant III méthode présentée tl 13section 7.6,

7.65 Résolvez If' problème 7.31 en utilisant la méthode présentée à lasection 7,6,

7.66 Résolvez If' problème 7.32 en utilisant la. méthode présentée à lasection ;,6,

7.67 Résolvez le problème 7.3.3 l'II utilisant la méthode présentée à lasection 7,6,

At--,--_-.----.------"

12 kN/ln

c D

7.68 Résolvez le problème 7.::>4 en utilisant la méthode présentée à lasection 7,6,

E

7.69 Eu considérant la poutre et la t'harge' illu:.tr(-('S li la figuI"C Pi.69,a} tracez le' tliagraJlllues dt· l'errurt tranchant ct du moment lléchissant.J)) déterminez la valeur absolue maximale dt, l'(;'1fo rt tranchant t.'t celle du

moment Iléchlssant,

1----1---1---'1--- l ,S rn ---l0.6 m in

Figure P7.69ln

1)-7 70 En considérant la poutre et la chargE' illustrées à la figure Pï,ïO,

(1 J tracez les diagramlnes de l'effort tranchant et du moment Iléchissnnt :b) détermtnez la valeur ubsolue masimale de l'effort tranchant et celle dn

moment fléchissantc

~ 0.4 UI -'011-0--- 0.8 III ---j

Figure P7.70

7.71 Hc:soh'cz le problème ; ...(1 ('II lItjlis~lllt hl méthode présentée à lasection 7,6,

7. 72 Résolvez le problème 7.-[2 t'II utilisant la méthode présentée ù lasection 1,6.

7.73 Hésolvez le problème 1.39 Cil lItilisant la méthode présentée à lasection i,6.

7.74 R{osolv('z If.' prohlèlllC' ï.-lO t'II Iltili~Jult la III(othodc· pr(> (·t\té(· /\ It,section j,6.

7.75 En considérant Lapoutre et la charge illustrées à la Agllre P1.75,fi J tracez les diagrall'llllf'S ri...l'effort 1ranchant f't du moment Iléchlssant ,1)) détcnninez la valeur absolue maxlmale de "effort tranchant et celle du

moment Iléchissant.

(.' /)

348

A B

1..-51111511115111-1Figure P7.7S

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Les relations ;.5 indiquent que la composante horizontale de Iii tension Test la même PH tout point du câble et c1ue la (_'Olnposallte verticale Je T e-stégale à la grandeur ,v de la charge mesurée à partir du point le plus bas. Leséquations 7,6 montrent que la tension 1'est minimale au point le plus bas etmaximale à l'une des attaches.

"7.9 CÂBLE PARABOUQUE

Supposons maintenant que le câble r\B soit soumis à une charge tl1lifor-,.né,ru'lIt ré})(lrtie selou "axe horiZOl/t,,1 (figure 7.lôa). On peut supposer (l'leles câbles (les ponts suspendus sont sollicités (le cette manière étant donnéqlle le poids des câbles est faible relativement au poids du tablier, La chargepar unité de longueur LV, mesurëa ho ri;:'()111 ale.IU:'I 1, s'exprime en Nzm.On place l'origine du système de coordonnées ail point le plus bas C; lagrandeur \V de la charge totale portée par le segment compris entre C et lepoint D, (le coordonnées x et 1), devient alors \\' = 10X. Les relations 7.6. quidonne la grandeur ct l'orientation de la ten ion en D. deviennent alors

IV.\'tan (J=-t;

De plus. la distance entre D el la ligne (l'action (le la résultante ~f est égaleà la moitit: de la distance horizontale entre Cet D (fi~ure 7.16b). En addi-tionnant les moments par rapport à D, on trouve

x+~IAIn = {): ,....x- - 'foU = 02

(7.7)

On isole !I pOUf obtenir.,

w.r1) == 2To

(7.8)

Il s'agit de l'équation d'une parabole d'axe vertic ..ù dont le creux coïncideavec l'origine du système de coordonnées, Un câble dont la charge est répartieuniformérnent selon l'horizontale aura donc une forme parabolique''.

Si les points d'attache A ct B sont à la même hautcur. la distance L entreces points correspond à la portée du câble, et la distance verticale Il (lui lessépare du point le plus bas s'appelle la jlèch(1 (figur(> 7.] l(l). Si l'on connaîtla portée cl la Dèche d'un câble, ct si la charge LV l')tlt unité de longueurhorizontale est donnée, on. trouve IH tension minimale T« en substituantx = L/2 et y = 11 clans l'équation 7.8. Les relations 7.ï donnent alors latension et la pente en tout point (lu câble. et l'équation 7.8 tlénnit la formedu câble.

Lorsque les attaches sont à des nrvcaux différents, lnposition du point leplus IJtlS du câble reste inconnue (C) et il lillit détermiuer les coordonnéesXA, YA. ct X/1, YII des points d'attache. POUl' cc' faire. on pose que les coor-données de A et H satisfont il. l'équation 7.8 et (fut! X(J - X,.\ = L pt 1)" - '1.'\ =d, ail L et d correspondent respectivement ft la distance horizontale et à ladistance verticale entre les attaches (figures ",l7b cl c).

L'équation suivante donne la longueur du câble entre son point le plusbas C et SOli extrémité B :

(7.9)((II) )"1 + - - dx(Ix

7.9 CAble l1ari\t:.'lIi~lJfIl 353

c

C

T.~~~

x /(

1)-\\' = .. \

(b)Figure 7.16

IJ

L

3. Un cÎlùlt.'tl'lldll sous sou propre 1)C'ltis lit' de slue l'''lI IIrl(' IX,nîoolf> (,If la clHIl~e Il'('SIpas rép;lrtipIIllifonnérllf'nt selon la clirc>ctionhorizontale. Cependant. si le câble est lissez tendu. l'erreur('ngI'11~ en supposant une fonnc parabolique est fiuble. La prochaine: section présente UIlOanalyse détaillée: de Ct: problème Figure 7.17

/(

IV

(a)

C

(a)

x

y

YB -t--cl

Y.~ _l-e -

\,\ tB 1:

ail

y

'lB

Y...

e(c)

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7 120 a 7 123 En vous appuyunt sur la relation établie au problèuie 7.119.solutionof'7. les problèmes indiqués en commençant par résoudre 1(>problème cff'poutre correspondant.

7.120 Problème 7.9-Jn.1.121 Problême 7.97c.7.1 2" Problème 7.991J.7. Î 2... Problème ï.10OJ,.

7.124 f)(-,nCllllrc'l. qlu' la courbe fOTllléc par un c.îblc supportant une chargerépartie lV(X) obéit à l'équation dlITérelllit>llc (r2y/c[xl! =: u.;(x)/l·o, où To est la tensionau point If' plus bas du câble.

7 121:' En uûlisalllin relation (.ttlhlit· au problëme 7,J 24 ...J('tcr"litl~~z la courbeformée [lUT un câble de portée L el de Ilèclie Il, supportant ,une charg' répartieIl' ;;;: tVu C<lS(1ttll...), oil x est mesuré à partit tif' la III t-portée. Etnhlissez ('nSllilt' Ir!;expressions etes valeurs nlfL'-inlalc' et 11Ijni.tIlHIt' dt" ln tension dans 1(>CRoit"

('

FIgure P7.126

'7 126 Si le poids linéaire d'un c-âble 1\8 est tL' = l&tl/<:OS2 O. démontrez (lueln courbe formée par le câble est lin arc dt" cercle. (SII!!J!f'sllotl: uniisez la relalionobtr-nue (\11 problème ï.124.)

*7.10 CHAINETTES

Considérons maintenant un câble AB soumis à une charge répartie unifor.menu-ut le IOIlI!. du câlJI:t:(ft~ure 7.1&). Les câbles tendus sous leur prt)prepoids correspondent à cc cas. La charge par unité de longueur, notée tV etmesurée le long dll cable. s'exprime en N/m. La grandeur \\' de la chargetotale portée par un SE.'glllt"lIt du câble de louguellr.'i, qui s'étend du point leplus bas C il LLO point quelconque D. devient alors ,v = t1..'8. On trouve latension au point D en substituant cette valeur nt' \V clans l'équation 7.6:

'J

C _,

0 l'

X((1 )

Figure 7.18

r

\\ - ft·'

\\'-11\ r,{t'l

Afln de ·inlpliOer les calculs subséquents, on introduit la constante c = 1'ul(l.;.On peut alors écrire

Tt) := tcc \\f = teS (7.11)

I ...l. fibturf' 7.1 Rb montre le diagranln1e du corps libre de ln portion CDdu câble. On ne peul cependant l'utiliser pOlir obtenir directement l'équationde la courbe des -inéf" par le c...âble puisqu'on ignore la distance horizontaleséparant D cl . la ligne J'action Je lu résultnnte \V de la clat~e, Pour obtenircette équation, 011 considère d'abord la projection horizontale dx d.'UD petitélément du câble cie longueur ds, soit dl' = ds L'US o. La figuT't!7.18(.' montre(lue cos 1) = Torr; l'équation 7.ll permet d'écrire

'[0 lt;Cds d.."(Ix = ds cos (J = - (I.~= = -....,...--~~'(' UlVe? + S2 vi + S2/C2

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368 les po!..o1JBSet les câbles

F1gure P7.136

~--IOIlI---t

Figure P7.139 - P7.140

A

b

_____ 8....:1_' .... 1t----a---i.!

Figure P7.143 - P7.144

7.134 Un ni de 90 III ('st suspendu entre deux potnts liÎlué." ail In(3111C niveauet séparés par une distance dt>60 Ill. La tension Il,a:drnale <1'\05 le fil étant de 300 N.calculez :

a)b)

la Ili'eh(· dll 111;la niasse totale du III

7.135 Êvaluez la flèche d'une chaîne de 30 III de longueur attachée à <feuxpoints de même niveau et distants de 20 m.

7.136 Une cord dl' 10 III est attachée à ÙL'UX supports ..\ et B. tel qu'illustré.Calculez:

Cl) la portée de la corde pour laquelle la portée- est égale à la flèche;b) l'angle OB correspondant.

7.137 Un câble de masse linéaire 3 kg/n.. est suspendu ft deux points de mêmeniveau séparés de -lS ln. Déterminez la flèche minhuale permise si la tensionmaximale dans If' câble doit €>tl'f' inférieure à 1800 N.

7.138 Une corde de 50 ni axée:au point A pusse autour d'une poulie en B.En négligeant le frottement, calculez la plus petite des deux valeurs de " de faÇ()nqUf' la corde soit en état d'équilibre, sachant que L ... 20 Ill.

Fïgure P7.138

7.139 Un utilise un moteur !Il pour enrouler doucement un câble. telqu'illustré. Sachant que la masse linéaire du câble est de 0,4 kg/In, évrullf'z la tensionmaximale dans le câble lorsque ft = 5 m.

7.140 011 utilise un moteur Al pour enrouler doucement un câble, telqu'illustré, Sachant que la masse linéaire du câble est de 0.4 kg/nl, évaluez la tensionmaximale clans le câble lorsque. Tt = 3 ln.

,7.141 A gêluclll' du poiut 8, le câble AnDE repose sur une surface rugueuse.

I.tl 1I1;'1$~f>linp:lln' du câble ptaot dl' 2 kg/ol. estimez la grandeur de la force F lorsquea = 3,6 m.

1---0---1Figure P7.141 - P7.142

7.142 À gauche du point B. II!câble ABDE repose sur une surface nlgueIL'ie.Ut rnasse linéaire du câble étant Je 2 kg/ln. déterminez la grandeur de la force Florsque li = 6 111.

7.143 UIl câble unifonue UC ruasse llnéalre 0.306 kg/rn est tenu dans la posi-tion illustrée à l'aide d'une force P appliquée ail point B, Si P = 180 N cl 8....== 60°,déterminez :

a)J,)

la position du point B:la longueur du câble.

7.144 Un càhl(· IInilonl1c (I(~masse linéaire 0.306 kg/m est tenu dans la posi-lion illustrée à 1';1ldt· d'tille force P appliquée au point B. Si P = 150 N et 8,\ = 60°,dc,;tc·nui1Î('z.

a) la position du point B;b) la longueur du câble.

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A.\e X·,'\ Axr )'.)'l.ll'ltPUr - - -

\il" Huuteur II..,;liI~ l, k. - 1'1 k!f -y l'

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Figure 9.13 Proor etes des prof res 3 chlrperre El'l scier l,rHI€s SI)t} [auteur Ol;uninako an millimètre:ç ~tmasse cm kiJOgTalnmes p'lr mètre.

t Haulellr.largcur el f5p:üsseur en nlilli.uèlrE'$.

2. A/tlt!rlc611 St.D,UÜlrrl SIUlpt!lJ,3. A"lerlcoll Standard CJI(IIlIlPl~.

446

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9.59 et ·9.60 Les figures suivantes montrent lin des pannpaux d'une augereiuplle d'eau jusqu'au niveau AA'. Eu vous référant à la section ~.2.évaluez laprofondeur du poinl d'application C!(' la résultante des forees h~rostali('I"('s agissantsur le prullle:lu (centre de pression).

A--r~~~--~~~-,...-A'

li

~ b-I- bFigure P9.59

9.61 Le couvercle du trou d'accès d'un réservoir d't'au a WI diamètre de 0,5 111.

li est fixé au réservoir à l'aide de quatre boulons équidistants. Déterminez la forceadditionnelle du(' à la pression d't'ail sur chaque boulon lorsqu!" le C!':lItrt' du COll-vl:'rclt: ('S( sitllé ù 1.4 HI {'II (It·s~ou· du ilh'C'1I11 d'eau.

Figure P9.61

9.62 11ne trappe tr'1~5.?.oycla le \'CI"1icul" S('r1 dt' SOt'PilPC dl" sO,'el « Elle estganlée eu POSitiOl1 fermée à l'alde de deux ressorts tel qu'illustré. Sachant qut'chaque ressort exerce lm couple de 1470 N· In, déterminez le niveau d'eau ri néces-saire pour qUE' la trappe S·OIl\Tt".

--n---+--II--Jj\ __ "' ~ ~...; I_-.--_A'

1Ilj

Parahole

FIgure P9,60

·9.63 Déterminez la coordonnée x du centroïde du volume illustrp. (Sugf!l'stinns: Figure P9.62a) la hauteur !/ du volume est proportionnelle à la coordonnée x; b) envisagez uneantllogje entre cette hauteur ct la pression d'eau sur une surface subillergée.)

·9.64 Calculez la coordonnée> x du centroïde dit \lO)'H11.,. illtusrré. CC' \'011l111t' il

étt obtenu (.n c.:ollpunt un C)tlindrC' cllipliqllt' pnr url pla" ohliqll(' (r(or('r('z-volls à lûsuggL'stioll du JJToolèlllt· 9.G:3).

'1 ....,.-- Ij

--1 "/ 7

111111

6·. rurn

-- Figure P9.64FIgure· P9.63

"9,65 Démontrez yUl' Il' système Je fO'r<:éShydre tatlques agissant sur unesurface plane' submergée d'aire A peut être réd1lit à la force P appliquée au t'entraide Cde la surface et à deux couples. La foree P est pcrpcndtculatre À la surface' C'Ivaut P -_'Y••\'ijsin O. où y est le poids VOIUH.iqll<.' <1" liquide. Les couples sont~t.r'= (rI;r' sin 0)1. et l\'~.= (yI:r'y' sin O)j. où/x'!!' = f x'y' tlA (section 9.8). Notezque les c(}lI[)IC"s sont ind~p('l)rlanlS c!t' ln (lrofOlldf'llr à laquelle se trouve la surface.

Problèmos 455

--

Figure P9.65!J

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,~ moins qu'il apparaisse évident que l'un des axes correspond à lm.....etl'autre à lmint on mbsntue une valeur de O~II dans I'ëquanon 9.1 pourdéterminer lequel des deux donne le moment d'inertie maximal de lasurface par rapport il. O.

Par ailleurs. ~iune surface possède un axe de symétrie passant par 0(section 9'.8), il :il'agjt forcément d'un axe prtncipal de cette surface par1'81J:pOltil. 0; cependant, un axe lJI'inclpru 'n'est I)US toujours un axe desymétrie,l\vec ou sans ase de symétrie, une surface a toujours deux axes principaux(l'inertie par rapport à un point quelconque 0,

Les propriétés établies valent pour tO~btpoint 0 situé à l'intérieur ou ~..l'extérieur d'une surface donnée. Si le point. 0 coïncide avec le eentroïde dela surface, tout ~1.'Xepassant par ·0 devient un axe central. 011 nomme axescerareux ]Jrin.:ciplfUX «([·in.ertie)de /(1 SlJ..Jj:aœ les dellX axes principaux cie l'aire<1é.6ni par rapport à son centroïde,

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466 f~ rllpartlo::>: rr...t>tmJllti d'ane:tlo

Vi !I

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11----- I,,----i

If-----lt, ---->01

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-o:::t-.-,...--1----_,.~-.::--r-.-~1•• lg-1'1/

-l.-y.

Il

~--------1.. --------~

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que l'angle XCX' (ligure 9.19b) est deux .fois plus grand que xOx'(ligure e.l9a). Pal- ailleurs, le diamètre X'Y' défir.dt les moments IJt" 1!J0' etle produit d'inertîe ir,u' d'une surface donnée pal' rapport aux axes perpen-diculaires Xi et y' fonnant un, angle f} avec les axes x et y. Oô o15tient Jediflll1èb.'e Xi Y' en faisant tourner (l'un angle 2fJ le diamètre 'A'Y, ElSSociéaux moments Ir. l, . et au f>tOO\l:Jt d'inertie l~.La rotation qui ramène lediauilètre cr sur rf/y' (fl9'lï~9.19b) est de même SCJ1Sqlle ("'elfe qui déplaceles axes x et 11 sur x' et y (figure 9.19a).

Le cercle de Mohr n'est [JaS réservé aux solutions gtn{)bique:s. c'es..t-à~dite celles où l'on mesure les paramètres sur des diagrammes précis. Uneébauche du cercle de l'\flohrcornbinée à ]'utilis.ttion judIcieuse dë la trigODO.métrie permet de dériver les relations nécessaires à la solution algébriqued'un problèfite donné {PR·O.e ).

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470 Force-s reparues fY'.omel'fts d nE!ltlfl valeur minimale du moment d'lnertÎt' dl' la surft\Cc'è par rapport à lout axe pa....santpar C est Im.in = 0.300 x lOf; mm", À l'aide du cercle de Mohr; calculez:

(1) le produit d'inertie l'!i dl' III $urfac·(';b) l'orientation ~~ axes prinei palLX;c) la valeur de 1.1\....,.'

9.104 et 9.105 ,\ J'aldo du cercle d," Mohr, déterminez J'orientation des axescentraux principaux et les valeurs correspondantes des moments d'inertie dt' làsection des cornières illustrées ci-dessous. (Les propriétés de la section des cornièressont données à la figure 9.13.)

!II19,05 mm-i t-12,7 tllllfi ft

L27

.~

.,- L 121 x 76 x 12.1-

1 min

•C x

J 44.5 mm

. 112.1 n'Ill

51

11

6, 1. Iii III25.2 111111

~

.:' . _:ar.:- . .:(r •• ]2 ..52 IlllllC

,~ tlIl"l :~I

Li6x51)( 5,4-

...--1 -6.41f1nl

7r. "lin

~761nm--lFigure P9.105

Figure P9.104

·9.106 Les moments et If' produit d'lnerne d'une surface do~ée par rapportli deux axes centraux orthogouuux :r: ('t IJ sont respecûvement 1( ... 1200 mm"et 1'.1 = 300 mm", Sachant qu'après la rotation (1(-'$ axes de 30° (l,,\I)$lc 5('IISulltihoraircautour du centroïde le 11101l1ent d'inertie rek,Uf à J'a.\;t· des r est de 1450 Il)111'', déter-minez à l'aide du cercle de Mohr:

a] l'orientation des R,.Xt'$ princtpaux ,J) J les moments centraux prîncipaux d'inertie.

_ 9.107 On sait 1ue. pour tint' surface donnée. I!I ;;;; 48 X 1Cf mm' etLIlI = -20 x lOU mm , x et !I étant des axes centraux orthogonuux, L'lI.X(' œrres-pondant au produit d'inertie' maximal est obtenu en faisant pivoter l'axe des r autourde C do 67,5° daos le ens antihorurrc. )\ l'aide du cercle de Mohr, déterminez:-a) le moment dlnc>rtil" 1" dt' la :oIlIrfa('(';

,,) les rnornents centraux principaux c!'i,\('r!ic.

9.108 À raide du cercle dl' Mohr, démontrez <4ue pour Lout polygouc roguUcr(telle pentagone):

u) le moment d'inertie est identique par rapport à tout axe passant par leCf:ntroïdc ;

IJ} le produit d'inertie est nul par rapport 11 tOlll s)'strn)<, d'H.:Ct'S orthogonau(x. y) passant par le centroïde.

9.109 À l'aide du ce rel" (1(' Mohr, P"""'CZ qu(' l'exprcsslon l.r,l~/ - 12x''J''où Ir" l'J' et 1.''J' représentent les moments et le produit d'inertie d'une surfacecfonnne par rapport à des axes orthogonaux x' et 'J' centrés sur 0, est indépendanted(' l'oriclItltliOTl des a.~('Sx' et y'. Démorurez ('lIsuitl' {lue cette ospression est ~g31eau carré de lu longueur de la tangt'nte tracée entre l'origine du système do <-'00[-données et lé (,'(;'1"(;1... dt, Mohr,

9.110 En IltilL sant la propriété démontrée ail problème précédent, exprimezle produit d'inertie T,y d'une sllrf~ICI' .rI. par rapport l\ des A.,XCSorthogonaux (x ct y)pa.ssant rar Je point O. en fonction des moment d'lnerlie'. ct rI) de A ct desmoments principaux d'inertie ',nbl et I,n.u dt.' .t\ par nlpport à 0, Finalement,appliquez cette formule pour calculer Je produit d'inertie 1,,&de la section de la cornièrede 76 mm X 51 mm X 6,4 tl1111 illustrée à la figure 9.13, sachant que son momentd'inertie maximal est de 0.52.1 X 1()6 10014•

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par (A.t)h {J\y}. et (A:)l les termes des trots équations av-.mt de les addi-tionner. On obtient

Eu comparant avec 9.46. on \-tQit que le membre de gauche de l'éqtlaü"Onreprésente le moment d'inertie du corps par rapport àl'axe principal associéil KIl; il diclit donc le moment principal cl'inertie eotrespondan,t à cetteracine. Par a.illffilrs. l' équsnon 9.51 permet de str:nplifrer le membre de (troite.qui devient égnl à Kl' 01. Ct)déduit qlte KI est le moment pnnctpsl d'inertië.'En appliqu.ant le même (aisOnl1e~e~~011d>~mol~trefuci1~nlentque ~ et 1<.,sont les deux autres moments pnJlClpatlX cl mertie tltl solide.

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PROBLÈME RÉSOLU PR·10.3J--d--t~\V

~• L ·~II_. ~ __ ~.I

2 !

E.

By

'1

Une table dl." levage- hydraulique' CSI utilisée polir SOIIJ ver descaisses de 1000 kg. Ut lullie est eonstltuée d'une plate-forme etde deux mécanismes identiques, disposés de chaque côt~de laplate-Iorrue. Sur lesquels des vérins hydraullques appliquentdes forees égales (mit' seule moitié de l'ensemble est illustrée).Les membrures EDB et CC mesurent 2n et la membrure ADest articulée au point milieu de EDB. La caisse est placée surla table de sorte que le systèmE' illustré supporte exactementla moitié de son poids. Sachant que e :;: 60°, a = 0,70 m etL :: 3,20 11\, d~t(.'flnilll~lla forte développée par clluquu cylulc.lrepour soulever les crusses. (Ce mécanisme a déjà été traité auproblème résolu PR-6.7.)

SOLUTION

LI" machiuc (.~ttldiéoeest constituée de Iiiplate-forme et du méca-uisme, avec uue force à l'intrant F DU créée par le vérin et uneforce à la sortie égruf' el opposée à !W.

Principe du lra\'uil virtuel. Dans un premier tCl1l1}S, onobserve que les r(oaclions aux points F. t't C 11(; produiS 'nl pas delmvail.

Si 'J -;;; hauteur rtl' la plaie-l'Orme par rapport à la base,s = lougueur Dl! de l'ensemble cylindre-piston.

ou écrit

f>U -"'! 0: (1)

Le déplacement vertical. ôt} de Laplate-forme, exprimé en fonc-tion du déplacement <\nglllrurc 58 de la membrure EDB, est

'J -;;; (EB) sin () = 2n si" ()~ = 211 ('O!> 0 50

Pour exprimer 8.~en fonction de SO, on ulilis(' la loi des cosinus :

SZ == 02 + L2 - ~/L CoS 800 dérive l'éqna.LÎon C't on obtient

2v 86 = -2aL(-sin 0) 50

al: sin 8œ= 59..,En substituant les expressions obtenues pour Sf) et 65dans l'ëqua-tion 1. on écrit

fiL sin 0{-t\V)211 cos ()SO + FVII 80 = 0

li

-----------,_ ....._- ._.,-.;- ~. .

Il

sF Off :::; '{f.- oot fJ

LLiusertion des données ou problème dans ces équations donne

lV = tilg = (1000 kg)(9,81 rn/52) =: 9810 N = 9,81 k ry2 ",. a2 + L2 - 2nL cos (}

:;; (0.;0)2 + (3,2.Q}.2 - 2(0.70)(3,20) cos 60° = 8.49s = 2.91 ln

, 9,91 lnF = \V- t'CIl 0 :::.(9 81 kN) oot 60°

VII L '3,20 mFou = 5.1') kl\: ~

Il

524

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On choisit lm s)'stèlne de référellœ dont on place l'origine en il..Sachantqlle l'allongemerIt du ressort nlesure ft partir de sa position neutre est AB :;;::ta,on écrit

On e.\-prime les coordonnées X8 et Yc eu fonction de 8; on a

X8 :;;: 21sin e !le -l cos 6Vl! = ik(21 sin 0)2 \'g ". "t'{l cos 6)V = V.. + "Il: "" 2k1}! sirli (J + 'W''1' cos e (10.22)

,00 trouve les pas.itions d'équilibre du s~'ième en faisant éf,raler à zéro ladérivée de J'énergie potentielle V. Ou écrit

d\' .l = '1/;::[2 sin 8 cos e - \iVl .'>.Ï.ll 0' "'" 0(,f)

On met en évidenœ 1 sin .()et l'expression devient

av = 1stn O(ti/cl cos (J - '~V)= 0(lf)

Il. Y 1) donc <leux posittons d~équ.iJibre,œrrespondant aux valeurs 0;;;; 0et e = cos"! (W/4kl) respeetrvement''.

~10.9 ÉTATS D·ÉaUIL.JSRE

Considérons les tiges uniformes de longueur 2ft et de poids W illustrées à.lafigu.re 10.14., Les trois tiges sont en équilibre mais Ulla (lifférence importanteles distingue. Dépleçons lëgërement chaque tige de sa position d'éqtlilwIeet relâchons-la ensuite: ta. tige a reviendra à 'a position irutiale, la tige bcontinuera de s'éloigner (lu point d'éq'uÙibrê et la tige c eoaservera sa nou-velle position, On <lira que l'équillhre de la tige (J est mble. que œJ.ui de latige b est instable et que celui de e est neutre.

B

»(lI) Équilihre staWe

Figure 10.14

B

(e) &tuiJIbre neutre

RappelollS que l'énergie potentielle t,rravitatioJUleUeVg est égale à '!VYtoù y représente lu hauteur du point d>application de W, mesurée à l'mird'un nlveau de référence aibitmite (secl'iott 10.7). On en déduit 'Ill'à L':iposi.-don d'équilibre con...idérée l'énergie potentielle de hl tige li, est mirlÎJJlaie,celle de la tig", b est iJlàA:irl1aJe a}<.))'sque celle de la tige e demeure oon.stmlte.Léquilibre sem donc stable, instable ou neutre selonque la...ral:e\u·00 l'éne~potentielle est mÜlimale, maldflilale Ou eonstante (Ggtll"tl 10.15).

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Figu:re Pl 0.69

540

10.59 Solutionnez le problème 10.29 à l'aide de ln méthode présentée à lasection 10.8.

10.60 Solutionner. le problème 10.30 à l'nlde do la méthode présentée à lasection 10.8.

10.61 À l'aide de III flléù)(xle présentée il 13 section 10,8, solutionnez lÉ'problème 10.33.

10.62 À l'aide de la méthode présentée à la section 10.8. solutionnez leproblème 10.34.

10.63 Solutiunnez 1" problème 10,35 à l'aide de la méthode présentée à lusection 10,8,

10.64 Solutionnez le problème 10.36 à l'aide de la méthode pré entée à lasection 10.8,

B10.65 À l'aide de ln méthode présentée à la section 10.8, solutionnez le

problème 10.31.

10.66 À l'aide de la méthode présentée à ln section 10.8, solutionnez leproblème 10.38.

10.67 Démontrez que le mécanisme décrit au problème 10.1 est en ëqut-libre neutre.

10.68 Démontrez que le mécanisme décrit au problème 10.2 est eu équi-tJbre neutre.

10.69 Deux barres uniformes, chseune de masse fil et de longueur l, sont fixéesi\ des poulies reliées par une courroie (6hrlU'(~PIO.69). Aucun glissclncnl ne surviententre la courroie ct les poulies, Détermlnoz les positions d'équilibre du système et,pour chacune de ces positions. établissez l'état d'équilibre (stable. instable ou neutre),

10.70 Deux barres uni ro rm es, chacune de masse III ct de longueur " suntûxées à des engreoages tel qu'Illustré, Pour des angles ()compris entre 00 et 180°,déterminez les positions d'équilibre du s)'stètl1e et. pour chacune de ces positions,dites si l'équilibre est stable, instable ou neutre.

D

FIgure P10,70

C P

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Travail d'une force Dans ln première partit> dt' t't' (·IH'J,itrp.. non-, 0.1\ ons pt~t'I1(( le principe tlutmcatl t irtue ct sex applicauons l>uur résoudre des problèmes d'(o((1uLiurc,~O1l5avons d'abord d~jlIl11(,trnvni! d'unrjorc: Ji' corrcspondau: fi lin clépl(l-c...·,lll"nt in.fiuitésillUll ur (section 10,2) Je sorte que

llU - F' (Ir (10.1i

c'est-à-dire (ln,~ IICI est obn-un l,ur l,.>produit scalalre (le la force F ct dudé-plilt'('HI('nt (Ir (f1Wlrt' t(',16 i\(lIIS avons nlors

litT - F ils cos cr (10.1' J

1\Figure 10.16

011 (/(1 - travail Je ta force F:F - gl .UIÙl'llJ' Lit' la forcl' F,

ils = grandeur du déplacement :ct = angle {uriné l'nt ri: F ('l (Ir.

F,• Alors, au» Cl(lU = IlclU < ()

si Q' < 9()~;sl Cr = SOu;si ct > 90':).

Le tri/t,;aU r/'ull COUplL'(/1.' montent ~1 tlgiS!it1ul sur un corps rigidl' se calcule par

,lU - .\1,10 (] 0.21

oü dO = angle lllfillitt!!iÎlnaJ <1(,rotation du c:orp ...l'\11!illlé en radians,

Déplacement virtuel

Eu cousidérnnl une particule srtuéc an pulut .\ cl qui subit l'l'tli.:l Ul'S

forees F,. F~,....Fil (section 10,3) !lUIIS avons llnag'lnf> (11It' lu pnrncule sedéplaçait au point •\ r ln~tln.'10 17) PUiS<JUl' cc déplacement ne 'il réalisepas réellement. CJn l'appelle (/ëplfICClIll"lt virtuel el OJi 1e, désigne par ôr. tandisqU(' h· trav'llil correspondnut IlIIX Iorce c; est appelé traunil cutuel et d<~sign~p.tr St. (l'oil

Figure 10.17

Principe du travail vlrtuel Princip« rh, trllle/i! t lrtucl : 'îl Ullt' particul« (','if t fi (.1(/,,#1/111 C, le tracall otrtue!lota! 8l} (l('~[orco« flgi.\stluf sur la partlcul« est 11,,1pour tout (lé,,1(/('Cllwlltcirtuc! dt la particule.

Ce principe pellt ...appliquer par t'\it"IISifJl1 aux ('orp rigtde~ et. dt·.;assemblages de COI]>S ri~itll".\.Etant (tonné (lU Il n'Implique <fliC (1~·~[arcesl)n)(,,';~(JtI( 1111 tl'lIrail, il nous pcnnet une solution dt> I"t'('h:lngt" il l'unhsatrontics équations d'équllibrc. Le principe du travail vtrtuel t1st très t,ffit';)(:e In1";(le l'unulvs(.. dt' ,nt>('111I1S1nl''\et dt:' machines ccnstitues d'éléments rigidesreliés entre ('U'. Dans dl ll·l.. ("US. Il' truv a.il llt>~ réuctions tUl' HPl>lIis esl 11111et le travail <Ic<;lorce internes 'UlX liaisons s'annule (SCCÜOtl l O. ~et PR·l 0.1.l'R·I 0,2 el PR-lt).3)

546

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550 Méthode du IntV"dll vir1ust

p

figure P10.l09

Q

Figure Pl0.111 - Pl0.112

10.108 Une tige mince de masse 111 et de longueur lest attachée aumanchon 1\ ('1 s'appui(' s,Ir un c)'lind~~ <1(' l'nY(1) r, En n~lig('anl l'cff('! du Irone-ment, calculee la valeur de l'angle 0 qui correspond à l'équilibre du système, sachantque 1 = 180 mm et r = 120 ium .

..\

Figure Pl0.l08

10.109 Le manchon B illustré gUsst' sans frottement sur 10 barre AC. 1J estattaché ù l'aide d'un pivot à un bloc sc déplaçant dans un guide. Écrivez une formulemathématique pour calculer ln grandeur du couple ~fnécessaire' pour matntenîrr('qllilibrc~.

!I

c

p

t\

l,vFigure Pl0.110

10.110 Deux manchons ....\ et B sont reliés pur un câble ,,'\B. lis se déplacent~lU1Sfrottement sur des barres tel (IU'illllstr(i. La longueur du câble est de 440 mmct Il' potds dll lnancboll/\ est w ...90 '. Calculez 10grandeur de la foree l'néœssakepour assurer l'équilibre (Ill système lorsque:

Cll r"'; 80 IIlIH;

,)) C' = 280 mm.

10.111 La bnrre ./\8. dl' poids lI~glig(·<)bl(.',peut gli ''l'r IibrelH\!llt sur 1~ soll't ltur la surface in('IiIlN'. r)6dlllsf"Z Hill' I"orllllll(' Il'Ialhç.tl1:ltj(jLl~pour calculer lagr.,ndeur de la [oree Q nécessaire pour maintenir l'équilibre.

10.112 La barre IVJ de musse ln = 2,55 kg pE'ut gLisser liurClllellt sur le solct sur la surface inclinée. Sachant que P = ~oN, {J = 500 et 6 = 20", calculez lagrandeur de la force Q nécessaire pour maintenir l'équilibre.

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554 AnnellO Dans Ip système impérial, l'utilisatlon des poid:s en livres force au lieudel>masses el! slugs simplifie l'étude de la statique. Par contre, en dynamique,(Il', on t;'lit aI)LJeI aux forees, aux masses et aux accélérations, on utillserales slllgs pour les l'nasses, et les livres f()rc.-cpour les poids, où \V ~ lu.g(\\rr ~ poids, III :::0 IIla$S(~,et g = accélération terrestre).

Voici d'autres unités de mesure souvent utilisées dans le système impérial:- J(! ruille (ml). qui égale 5280 pieds (I)i):- Je i)Ull(,:e (pu), (!IIi ~gale 1/1:2 de pied (pi):- la tonne (T), qui égale 2000 livres (lb).

On peut imaginer la complexité df's calculs pOlir convertir. I1HI'exemple,une vitesse de 30 JJlilh en pi/s.

A.2 CONVERSION DES POIDS ET MESURES

Pour siruplif 'r les calculs nécessaires au passaue du système métrique ouinternaticual (Sr) au système impérial, nous présentons à ln page suivanteune table de conversion des III esures les plus communes,

EXEMPLES DE CONVERSION

Les exemples ci-des ous illustrent la procédure à adopter pOlir convertir desl' " t'moments ( un S\'SteI11PCl autre .

Exemple 1On veut convertir un moment de 40 N: rn du système métrique (SI) ausj'sti'II)t' impérial.

Solution II f .. (1))( 1 1)1 )~I = -10 N'Ill = (N'Il)) = 29.5 lbf'- pi4,448 N 0,3048 m

Exemple 2011 \'E-'111convertir 1111 moment de 47 lhf': po en svstème international (ST).

SO/t,tÎ07l

~1 = 47 lbf'- po = -t7(4.-141'3N)(25,-t n1111) = ;:>310N '111m = 5.31 N 'ln

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Tatllnaux et ligures u111es

Moments d'Inertie de formesgéométriques courantes

Moments d'inertie (masse) de formesgéométriques courantes

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566 Index

Compression, 68, 322Concourantes, forces. 1.5Constante du ressort. 534Contreventcrnënt, 283Corps

soumis à(Jeux forces, 166-167trois forces. ]67

Corps rigide(s), ;t 66équilibre d'url

clans l'espace, 174dans lin plan, 146-175dtagrammc du corps libre d'un, 1-l6

instables, 151Cosinus directionnel. 4..lCOIlI)le,s, 9R-) 01

additiou de, 100équivalents, 98-100

Courroies, 413-4 J 4Cric, 395-396

Embrayages à disques. 405Encastrements, J48-149, 174, ]7,1)Éner~e potentielle. 536 •.5.17Entrée. 300,Equation d'équilibre

pOUT un corps rigide. 146pour une particule 31·.32, 51

f~qllilihTed'lin corps rigi(lc

JaJ\S l'espace, 174(lans un plan, 146-174

d'une particuledans l'espace, 51dans un plan,,30-:31

éqnarion {t:(Jir Equation d'équilibre)instable, 536-5.17ne utrc. 5,16-5~7stable, ,5.16~')37

Espacc,2

D'Alembert. Jean, 2Décimètre. 1.Décomposition d'une force

dans l'espace. 39.43dans Ill) plan, J 6, 22-9,3cn une torce ct un couple, 101-102

Degrés de liberté, 535, 537Densité, 234Déplacement, 516, .517

virtuel, 518~522Deuxième moment, 432-434Diazrarnmel">

de l'effort tranchant, 332de MèL't\VeU, 262du corps libre, 3L 146

équilibre d'une particule et. 31 =.12(lu 1I101ltf!lIt fléchissant, 332

Direction d'un vecteur, 1.3Distributif, produit scalaire, 83-84Dynamique, défirtition cie la, 2

Ff'n ne, 259Flèche, 354, 36--1Forœ(s),3

concourantes, 15conservative-, .5..15coplanaires. 15dc contraintes. 141érlulvalt'utt's, 61.68externe. 66.68hydrostatiques, 225, 433interne, 66

dans un élément {le structure, 257, 322-323(III membre, 260

réparties, 19Bsur des corps ligidcs, 65-135SUj' une particule

duns l'espace, :19..51d~lJ1Sun plan, 13-2.5

Forme du déterminantpour les produits vectoriels, ï()!>l)llT UII momeut de l'Oree

p<lr rapport à un axe, 86-8ï[lar l'apport ;\ UII point, 73

pour un produit mixte, &5-86Freins à hau(le, 414Frottement. 37ï -414

angle de, :179cinétique, 378

anglE' de, :379(,.,()t'f6Cient riE", 377-319courroie et, 413-4]-l:d'un axe, -tt)3-40,)(le Coulomb, :377cie disque, 405

EITc)rtnul, 263Effort tranchant, 322. 330-342

Jiagnunnle de t 332,Élément à effort multiple (mulülorce), 28.5

ÉJétnt>nts différentielsct centroïdo

d'un volume, 237d'IIIlé surface, 213

pOlIr moments d'inertie(les solides. .. 75des surfaces, 434

Ellipsoïde d'inertie. 491-49.2

,

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Sources des photos

Couverture: Derek Croucher/First Ligllt

Chapitre 1: Bill Sanderson/Science Photo Library/Photo Researcher

Chapitre 2: d'Arazien/Image Bank

Cliapitre 3: John Coletti/Stock, Boston

Chapitre :1:: l', Zimmerrnann/Fl'C

Chapitre 5: Bruce Hands/Stock, Boston

Chapitre 6..: JelT Gna rs/Stock Market

Chapitre 1: Brian Yarvin/Photo Researchers

Chapitre B: Wayne Hoy/Picture Cube

Chapitre 9: Paul Steel/Stock Market

Chapitre 10: \VolfVon Dern Bussche/Image Block

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