Mécanique Pour Ingénieurs Vol2

Mcanlque pour IngnieursVolwne 2: DynamJqueFerdinand P. Beer

Traduction de VectorMechanics for EngineeIS.' Dynamics.C 1999, 1990, t981 McGraw-Hili Ryersoo Umited, a Subsldiaryof the McGraw-Htil Companles. (ISBN 0-07-5604.21-3) le> 1996,1938, 1984, 19n, 1972,1962 McGraw-HiIl. Ine.

102005 Les ~ditl-ons de la Chenelire inc.

diteur.' Michel PounnCootdinatfon,' FrOrique GrambI'IRvision IIngustique,' June BeaulieuCorrecffon dpreuves.' Nicole DernersInfographfe: Intoscan ColletteCouverture,' Michel Brard

M8quette intrieure: Merril Haber

CataloQage avant publicationde Bibliothque et Archives Canada

Beer, Ferdinand P., 1915-

Mcanique PQur ingnieurs

Comprend des index.Traducllon de la 3- d. de: Vectcr mechanics for englneersSommaire: (1) Statique - [2J Dynamique.

ISBN 2-7651-0151-4 Cv. 1)ISBN 2-7651-0158-2 Cv. 2)t. Mcanique appliquo. 2. Analyse vectorielle. 3. Statique.

4. Dynamique, 5. Mcanique applique - Problmes et exercices.1. JOhnston, E. Russell (EI\vood Russell), 1925- IL Bsenberg, Eniot A.J Il.Titre.

TA350,B3714 620.,'052003 C2003-941 232~6

F" Chenelire1-.. McGraw-HillCHENEU~A.E OUCATION

7001. boul. Saint-LaurentMontral (Qubec)Canada H2S 3E3Tlphone: (514) 273-1066Tlcopieur: (514) [email protected]

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ISBN 2-7651'()158-2

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Chapnre Il : [onarhnn Nourouk/Photc EditChapitre 12: Phyllis Picc.trdllPlcturL>CubeChnpttre 13: TOlO ~tcCarthylViChJrC CubeChapitre 14 : ~ASAChapitre 15! ra-Faltnpr/Stock MarketChnpltre 16: Halle" E, Di)t'rnlnnchrrouy toueChaflll re 17: Dflvicl ~ladiwnChapitre 1S; Caterpillar Eogtlle DhlsionChapitre 19: Ct.orge \Vhitc Locution Photogfl1phy

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TUE LE liVRE

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Table des matires

Prface IIIAvant-propos V-VI

11CINMATIQUE DES PARTICULES

583

11.1 Introduction la dynamique 584

Mouvement rectiligne de particules 585, 1.2 Position. vitesse et acclration 58511.3 Dtermination du mouvement d'une particule 58811.4 Mouvement rectiligne uniforme 59711.5 Mouvement rectiligne uniformment acclr 59811.6 Mouvement de plusieurs partioules 59911.7 Rsolution graphique des problmes sur

le mouvement rectiligne 61011.8 Autres mthodes graphiques 611

Mouvement curvlne de particules 621Vecteurs position, vitesse et acclration 621Drl\!es des fonctions \!eCIOrielles 623

11.911.1011.11 Composantes rectangulair9s des vecteurs vitesse et acclration 625

Mouvement par rapport un repre en translation 62611.1211.1311.14

Composantes tangentielle et normale 642Composantes radiale et transversale 645

Rsume 658Problemes supplmentaires 662

12CINTIQUE DES PARTICULES; DEUXIME LOI DE NEWTON

667

12.' Introduclion 66812.2 Deuxime loi de Newton 66812.3 Quantit de mouvement d'une particule.

Taux de variation de la quantit de mouvement 67012.4 Systmes d'units 67012.5 quations du mouvement 67112.6 qullibre dynamique 67312.7 Moment clntfque d'une particule.

Taux de variation du moment cintique 692

viii '3010 ces "'atll,l!es 12.8 quations du mouvement en fonctiondes composantes radiale et transversale 693

12.9 Mouvement sous l'action d'une force centrale.Conservation du moment cintique 694

12.10 Loi de la gravitation de Newton 69512.11 Trajectoire d'une particule soumise une torce centrale 703"12.12 Aeplication la mcanique spatiale 704"12.13 Lois de Kepler du mouvement plantaire 707

Rsum 717Problmes supplmentaires 721

13CINETIQUE DES PARTICULES;

MTHOPES DE L'NERGIE ET DE LA QUANTIT DE MOUVEMENT725

13.1 IntrodlJcllon 72613,2 Travail d'une force 726

nergie cintique d'une particule.

13.413,5

Principe du travail et de l'nergie 729Applications du principe du travall el de l'nergiePuissance et rendement 732

730

13,6 nergie potentielle 749"13,7 Forces cooservatlves 75113.8 Conservation de l'nergie 75213,9 Mouvemenl sous l'action d'une force centrale conservalive.

Application la mcanique spatiale 75313.10 Principe de l'impulsion et de la quanllt de mouvement n113.11 Mouvement impulsif 77313.12 Choc 78513.13 Choc oentral direct 78513.14 Choc cenlral oblique 78813.15 Problmes incluant l'nergie et la quantit de mouvement 790'

Rsum 804Probl,mes supplmentaires 809

14SYSTME DE PARTICULES

813

14.1 Introduction 814'4.2 Appllcatlon des lois de Newton au mouvement

d'un systme de particules; forces effectives 61414.3 Quantit de mouvement el moment cintique

d'un systme de parucetes 61714.4 Mouvement du centre de masse d'un systme de particules 81814.5 Moment cintique d'un systme de particules

par rapport son centre de masse 81914.6 Conservation de la quantit de mouvement

et du moment cintlgue d'un systme de particules 82114.1 nergie cintique d'un sYS1mede particules 82914.8 Principe du travail et de "nergie, conservation de l'nergie

pour un systme de particules 83014.9 Principe de l'impulsion et de la quantit

de mouvement pour un systme de particules 831"14.10 Systmes de particules variables 840'14.11 Courant permanent de particules 84114.12 Systmes gui acquirent ou qui perdent de la masse 843Rsum 857Problmes supplmentaires 861

15CINMATIOUE DES CORPS AIGIOES

865

IX

15.1 Introduction 66615.2 Translation 86815.3 Rotation autour d'un axe fixe SM15.4 quations dfinissant la rotation d'un corps rigide

autour d'un axe fixe 870Mouvement gnral dans le plan 879VItesse absolue et vitesse relative pour le mouvement

15.515.6

15.7dans le plan 881Centre de rotation instantan pour le mouvement dans le plan 892

15.8 Acclrations absolue et relative d'un mouvement dans le plan 901'15.9 Analyse d'un mouvement plan en fonction d'un paramtre 90315.10 Taux de variation d'un vecteur par rapport un rfrentiel

15.11eo rotallon 914Mouvement dans le plan d'une particule par rapport

15.12 un rfrentiel en rotalion. Acclration de Coriolis 915Mouvement autour d'un point fixe 926

15.13 Mouvement gnral 928'15.14 Mouvement dans l'espace d'une particule relativement

un rfrentiel en rolation. Acclration de Coriolis 938Rfrentiel pour le mouvement gnral 939'15.15

Rsum ~~oProblmes supplmentaires 956

16MOUVEMENT O'UN CORPS RIGIDE DANS lJN Pl AN:

FORCES ET ACCELERATIONS960

16,1 IntroducUon 961

16.3

,Equations du mouvement d'un corps rigide 96216.2Moment cintique d'un corps rigide en mouvement dans un plan 962

16.4 Mouvement d'un corps rigide dans un pian.

16.7

Principe de O'Alembert 963Remarque sur les axiomes de la mcanique des corps ngides 965Rsolution de problmes portant sur le mouvementd'un corps rigide 965Systmes de corps rigides 967

16.516.6

16.8 Mouvement dans un plan en prsence de contraintes 985

Rsum 100ZProblmes supplmentaires 1009

17MOUVEMENT O'UN CORPS RIGIDE DANS LE PLAN

MTHODES DE L'NERGIE ET DE LA QUANTIT DE MOUVEMENT1012

17.1 Introduction 101317.2 Principe du travail et de J'nergie appLiqu un corps rigide 101317.3 Travail d'une force agissant sur un corps rigide 101417.4 nergie cintique d'un corps rigide en mouvement dans le plan 101517.5 Systme de oorps rigides 101617.6 Conservation de l'nergie 101617.7 Pujssaoce 103817.8 Principe de l'impulsion et de la quantit de mouvement appliqu

au mouvement d'un corps rigide dans le plan 1033, 7.9 Systme de corps rigides 1036

x 17.1017.1117.12

Conservation du moment cintique 1036Mouvement impulsif 1049Collision excentrique 1049

Rsum lQ62Problmes supplmentaires 1066

18.118.2

'18.3

18.418.5'18.6

18.7'18.8'18.9'18.1018.11

18CINTIQUE DES CORPS RIGIDES DANS LESPACE

1071

Introduction 1071Moment cintique d'un corps rigide en mouvementdans "espace 1072Application du principe de l'impulsion el de la quantitde mouvement au mouvement d'un corps rigide dans l'espaceEnergie cintique d'un corps rigide en mO\,ivement dans "espaceMouvement d'un corps rigide dans l'espace 1089quations du mouvement d'Euler, gnralisation du principede D'Alembert au mouvement d'un corps rigide dans l'espaceMouvement d'un corps rigide par rapport un point fixe 1091Rotation du corps rigide par rapport un axe fixe 1092Mouvement gyroscopique. angles d'Euler 1105

10751076

1090

Prcession stable d'un gyroscope 1107Mouvement d'un corps axisymtrique en "absence de torce 1108

Rsum 1121Problmes supplmentaires 1126

19.1

19VIBRATIONS MCANIQUES

1131

Introduction 1132

Vjbrahaos sans amortissement 113219.2 Vibrations nbres d'une particule, mouvement harmonique simple 113219.3 Pendule simple (SOlutionapproximative) 1135'19.4 Pendule simple (solution exacte) 113619.5 Vibration libre d'un corps rigide 114619.6 Application du principe de la conservation de l'nergie 115719.7 Vibralion force 1167

"19.8Vibrahoo amortie 1175Vibration libreamodie 1175Vibration force amortie 11TI19,9Analogies lectriques 1179

Rsum 1'189Problmes supplmentaires 1193

A.l

Annexe1197

Systme de mesures impriales 1197A.2A.3

Conversion des poids el mesures 1198Proprits des profils charpente en acier lamin 1200

llste des symboles 1201Tableaux et figures utiles 1205Lexique anglals--franals 1208Rponses aux problmes 1210Index 1223

Cinmatique des particules

Les mouvements des IJOlsvhiwles Illustrs som respe

11.1 INTRODUCTION LA DYNAMIQUE

Les chapitres 1 10 portaient sur la statique, c'est--dire l'analyse des corpsau repos. Nous abordons maintenant l'tude de la dyllarnique, la partie dela mcanique qui tudie les corps en mouvement.

L'tude de la statique remonte l'Antiquit, mais Galile (1564-1642)a t le premier contnbuer d'importante faon l'tude Je la dynamique.Ses expriences sur les corps uniformment acclrs Out conduit Newton(1642-1727) fonlluler ses lois fondamentales du mouvement.

La dynamique comprend :

1) la cinmatique, qui est J'tude de la gomtrie des mouvements. Ellelie le dplacement, le vecteur vite 'se, le vecteur acclranon et leten1ps, indpendamment des causes des mouvements.

2) la cintique, qui est l'tude de la relation entre les forces agissant surun c.'Orps, la masse du (.'()rps et le mouvement du corps. Elle permetde prdire le mouvement caus par des force donnes ou de dter-miner les forces ncessaires pour produire un mouvement donn,

Les chapitres Il 14 sont consacrs la dyllo111ique des particules. Lechapitre Il traite de la clnnuuique (les particules, Lutilisatiou du mot parti-cules ne sigulle pas que nous limiterons notre tude aux corpu cules; elleindique plutt que, dam; ces premiers chapitres, nous considrerons lemouvement de corps aussi volumineux que des voitures, des fuses ou desavions sans tenir compte de leurs dimensions. En disant que nous assimi-lerons les cOlps de' particules. nous entendons que nous considreronsseulement leur mouvement en bloc et que nous ngligerons toute rotationautour de leur propre centre de masse. Cependant, on ne peut pas toujoursngliger la rotation; et on ne pourra pas alors considrer les corps commedes particules. Les derniers chapitres, qui traitent de dyl10nlique (les corpsrigides, analysent de tels mouvements.

Dans III premire partie du chapitre ] l, nous analyserons le mouvementrectiligne

MOUVEMENT RECTIUGNE DE PARTICULES-

11.2 POSITION, VlTESSE ET ACCLRATION

Le mouvement d'une particule sur une droite est appel nlOUUClllent recti-ligne. tout moment donn t,la particule occupe une certaine position surla droite, Pour dfinir la position P de la particule, choisissons une originefixe 0 sur la droite et un sens positif le long de la droite. Mesurons ladistance r de 0 P et notons-la avec un signe po ntif ou ngatif, selon qu'onatteint P partir de 0 en se dplaant sur la droite dans le sens positif ouclans le sens ngatif. La distance x. avec le signe appropri, dfinIt entire-ment la position de la particule: elle est appele cooulon lie (le posuio dela particule considre. La coordonne de position d-e P de la figllTe Ll.Is.Ilar exemple, est r = +5 rn , celle de P' de la ,figure u.is est "" = -2 rn.

On connat le mouvement d'une particule lorsqu'on connat la coor-donne de position x chaque instant t _ Le mouvement peut tre dcritpar une quation en x et t telle que x = G~ - ll, ou sous la lorme d'unecourbe de x en fonction de 1. comme dans le cas reprsent la figure j 1.6(voir p. 581). On exprime le plus souvent la coordonne de position x enmtres (rn) ou en millimtres (mm) selon le systme d'units SIL et celle detemps t en secondes (s).

Considrons la position P de la particule l'instant t et hl coordonne xcorrespondante (figure 11.2). Considrons aussi la position P' de la particule l'instant ultrieur t + tlJ. ; on obtient la coordonne de position de P' enajoutant la coordonne x de P te petit dplacement A.t. Le dplacement tJ.xest positif ou ngatif selon que P' est droite ou gauche de P. Pur dfini-tion, la ouesse 11loyellriB de la particule durant l'intervalle (le temps 6t est lerapport du dplacement x l'intervalle {Je temps 6.t:

fil'vitesse moyenne = ru

Dans le systme d'units SI, Ax s'exprime en mtres. 6.t en secondes, et lavitesse moyenne en mtres par seconde (nus),

La oltesse instantane v de la particule l'Instant i s'obtient partir dela vitesse 1l1oyen.ne en prenant des intervalles cl:' temps ~tet des dplace-ments x de plus en plus petits:

Axvitesse instantane = v = lirn _\

..).1-11 ut

La vitesse instantane s'exprime aussi en mis. Remarquons que let limite (1"quotient est gale, par dfinition, la drive de x p

(0 ) x

le sens positif (figure Il.3a) : si la vitesse li est ngative. x dcrot, c'est--direque la particule se dplace dans le sens ngatif (figure Il.3b). La grandeurde [)est appele vitesse absolue de la particule.

Considrons la vitesse li de la particule l'instant t et sa vitesse li + v l'instant ultrieur t + dt (Ilgure 1J .4). Par dfinition. l'acclrationII1Qyel11le de la particule durant l'intervalle de ternps 6.t est le rclpport de av 6t:

586 CII'lemlll;qoe des ~"Hllcules

p

1

['>0

41

Si la grandeur de li diminue, l'acclration est parfois appele dc-lraiion ; dans ce cas, ta particule se dplace plus lentement. Par exemple, laparticule correspondant la figure 11.5 dclre aux parties h et c etacclre (c'est--dire se dplace plus rapidement) aux parties a et (1.

On obtient une autre expression de l'acclration en liminant la diff-rentielle ,11 dans [es quations 11.1 et 11.2. La THise en facteur de dt dansl'quation l I.I donne dt = dxi. Le remplacement de dt dans l'quation 11.2par cette expression donne

da=t-

(lx(11.4)

Exemple. Considrons une particule se dplaant sur une droite. Supposons XlIII)qUE"SU position est dfinie par l'quation

x = 6f1- - ('3

o t est en secondes et-x en mtres. On ohrient la vitf'S5e v tout instant t en drivantx par rapport . t , soit:

dx ..1) = - = 12t - 3t-

(il

Pour obtenir l'acclration a, drivons de nouveau par rapport il t. Nous obtenons J2

dv(J = -:;;; 12 - St

dt -12t Cs)

La flgu..rc 11.6 l'('pl'(-~f'ntC'la coordonne de position, la vitesse pl l'acclration enIouction de 1.Ces courbes sont appeles courbes (le InOIlt'tJltU~/lt. Soulignons et'pell-dant que la particule ne se dplace sur aucune d'elles, mais sur une droite. CommeIa drive d'une fonction est galt: la pente de la courbe corre sspomlanto, 1(1pentecie la courbe x-t est tout instant gale la valeur de u fi l'et instant et lu pente dela courbe 1)-( est egale hl valeur de (1. Puisque (1 = ()h ( :;;;2 s, la pente d(" ln courbev-t doi! tre nulle ( = 2 s car Lavitesse passe par un maximum cet instant. Demme, puisque v = 0 o.l = 0 ct ( = 4 s. la tangente la courbe x-! doie tre hort-zontale pour ces deux valeurs de t.

-24-36 -----------

Il(uvs!)

elon les trois courbes de mouvement reprsentes la figure" 11.6, If' ITIO\.)-veillent de la particule de t = 0 t = 'XI uiprend quatre phases :

1. l'origine, x = O.la vitesse

588 Clr~r:-'atlqul! de!! par1culUf> 11.3 DTERMINATION OU MOUVEMENT D'UNE PARTICULESelon la section prcdente, on connat le mouvement d'une particule si 011connat la position de cette particule tout instant t. Dans lu pratique toute-fois. un mouvement est rarement d.Ani par une relation entre x et t. Lesconditions du mouvement sont le plus souvent spcifies par le typed'acclration de Laparticule. Par exemple, un corps en chute libre aura uneacclration constante, (lirige vers le bas et galp g = 9. l mls2. Une masseattache un ressort tendu aura une acclrauon proportionnelle l'alleu-gernent instantan du ressort mesur partir de la position d'quilibre ; etc.EH gnral, l'acclration d'une particule est Lille fonction

2. a =f(x). L'ol:ClrofJon C8t IUle fon{,.-tlon (le. x_Rrlrr

x(rn)

140 1

1111+5

0 1 1 (s)111111

-50 -_._---- 1111

o{mI~)111111

0 +5 t (SI)111,11

1 11 J

a (lllls2) 1 11 11 11 1

18___L___

1

0 LIs)

590

. ,PROBLEME RESOLU PR-11.1

La position d'une particule se dplaant sur une droite S1: dfinie par la relation" :;; 13 - 6t2 - 15t + 40, o r est exprim en mtres et t en secondes. Dterminez :

Cl} l'instant auquel la vitesse sera nulle :1)) la position de la particule et la distsn parcourue par elle cet in.stant;c) l'acclration de la particule cet instant;d) la di tance parcourue par la particule de l = 4 s 1= G s.

SOLUTION

Les quations du mouvemeut sont;r = {l - &2 - 15( + 40

(lx .,v =di = 3(....- 12f - 15

dva=-=6t-12

tif

(1)

(2)

(3) :

(1) 1"!llallt aurlncl t' :: O.On pose li !::= 0 dans l'quation 2 pour obtenirJtl - 12t - [5 e 0 1 =- -1 s el 1= f- ,'j .\ ~

Seule la racine t = +5 s correspond au temps ultrieur celui du dbut du mouve-ment; pour t < 5 s, v < 0, la parrtcule se dplace dans le sens ngatif; pour' > 5 s,v > 0, elle se dplace dans le sens positif.

Il) Po..ili()I\ el di.,tan\( l,):lt"C()unl~ lorsque l' = U. Dans l'quation J. OTlremplace 1 par +5 s. Ou Il

X:; = (5)3 - 6(5):: - 15(5) + 40 .\~ = ()O lH ~.f.. 1 = 0, la position inltiale t.at:ro = +4() m. Comme 1) '* 0 durant l'intervalle 1 = 0, -a t = o s. on a

c:lli..tance parcourue = :1::\ - Xo = -60 m - 40 rn = -100mdU,I.Hl(;' 1).11 '011111('- 11)0 III d.lH 1 ~ Il~ Il,~~.Ihr ~

c) ,\(,,(t~lt'ratio"lor",.ue r = ().Dans l't')'l,ttttion 3, on rernplaee f plU' +5~.Ona

OIS ;; 6(5) - 12,

fi , - l'; Il s- ~

(1) Distance ptu'C'()urue de t = '!o:" = 6 s et dans le S 5 s , = 6 s ; on calculedonc sparment la distance p'd.rcourue durant chacun de ces Intervalles de tenlps.

Oc ( = 4 s t = 5 s : :.\'5 = - 60 m%4 = (4)3 - 6(4)2 - 15{4) + 40 = -52 III

Distance parcourue;;;;: .tG - X., "" -60 nl - (-52 Ill) = -8 III= 8 m dans le sens ngatif

De f = 5 s t = 6 s : Xs = -60 m:1:6 ;;;;: (6)3 - 6(6)2 - 15(6) + 40 = -50 rn

Distance parcourue = X6 - ;[5 = -50 m - (-60 m) = +10 m= 10 m dans le sens positif

l.u tlianc (oln/. ])(11'11111111 de t = 4 s ~, = 6$ est de 8 m + 10 m - 1" III

'10 = +201'1'1

n{rn 1..)

10

:3,25J

JJJJ

t (5)

-"" ...2. ---------Courbe \it~\P,telnp~ II =fil))

y (Ill)

~ 2.'5,1 ::;- ~," t"! ____'"'20 \\( :our!h' :.J

III I~Ltlvil-It'IUp~ \j'"Il - Ji t ,1 7T1

0 1.019 3.21l t (sJ

PROBLME RSOLU PR-11.2

D'une fentre situe 20 rn au-dessus du sol, on lance une balle avec une vitesse dt'10 nvs ve rticalement vers le haut. Sachant que l'acclration Of' la balle estconstante et gale 9,81 mis'!- vers le bas, calculez:

a) la vitesse l'et l hauteur Ij de la balle au-dessus du sol tout Instant l ;'1) la hauteur maxirnale de la balle et la valeur correspondante de 1;c) l'instant auquel 1.1 balle heurte le sol et la vites,se correspondante.

Tracez les courbes v =fit) et!J = ftt).

SOLUTION

a) Vitesse et hauteur, Ou choisit t'axe y de mesure dt' la coordonne deposition (la hauteur) de sorte que son origiOt'l 0 soit Sur If' sol et que son sens positifsoit orient vers le haut. L'acclration et les valeurs initiales respecth'es de u et de ysont indiques sur la ngUf't, En remplaant a par rio/dt et ('0 notant ([Il ' 1 ;:; 0,1)0= +10 ln/S. on obtient

dt: .,-=(1= -981In/s-dt '

[ dv=-lt9,Sldtl',,-IU U

[v]~(1 = - [9,SI1 lhu - 10 = -9.8Ie

10 q~11 (1)

On remplace c pa,r (l'llrll et en sachant que, 1 ;:; O.'1u = 20 Ill, on obnent

~ = li = 10 - 9. J t(It

[ l/Y = i' (10 - 9.81t) dt(I.,=W ()

[y J~,= llOt - -I,905tj11l)

!I - 2{) = 101 - 4.905t2.:j. lJ(J:}f- (2)!I - 211 + lUI

Il) Huuteur' maximale, la hauteur maximale de la balte, v ;:::O.On p011f'cette valeur dans l'quation 1 pour obtenir

10 - 9,81t ~ () 1 - 1.011-1, ....

Ensuite, 00 porte cette valeur dans 1'~f1llalion 2 pOlir obteniry = 20 + 10(1,019) - 4.005(1.019)t\ y = 2'5,1 III

c} L bnll hcurtl' 1(~()1. Lorsque la hallf' heurte le sol, on a!J = 0, On portf'cette valeur d,UIS 1'(~.ilJatioli2, On obtlr-nt

20 + 101 - 4.90sf = 0 ~tt=-I.243liSeule la racine t = +3,28 s correspond un instant ultrieur celui du dbut dumouvement. En portant cette valeur de t dans "quation L. on a

c = LO - 9.81t3,28) = -22,2nlls l = ~.2 Ill" i ....

591


IJC mcantsmc de froin.ag , utilis pour amortir le recul de rtains types de canonsconsiste essentiellement en un piston attach au canon et se dplaant clans unC) Lindre rue rempli d'huile. Lorsque le canon recule une vitesse inltiale Co, lepiston se dplace et COTee J'hune traverser les ortflces. obligeant If"piston ct lecanon dclrer il un taux proportionnel leur vite.sse; autrement dit, a= -ka .Exprimez:

a) v en fonction de t;b) X eu fonction de t ;c) 1) en fonction de .r,

Tracez les courbes de mouvement correspondantes,

;;:.!foL1:' "

J1""".. ,:JIoJ

SOLUTION

a) c en fonction de t, En remplaant a par -kv dans la formule fondamen-tale de dfinition d' l'acclrauon, (J = (lu/d" on obuem

do do-k .. ::;;- - == -k didt [; f" do i'- = -k litli) 0l - l- , 41- I~

o b} r en fonction de t. En remplaant 0 par dxid: dans l'expresston ci-dessus,ton a

x

t ,1k [ dx = VI) if e kt (Ir

o t)

:.:= -~[e-kt][, = -2.2.(e-kt - 1)k k

-------------

_ 1" 1 .,\ --:-1. - 1k1

r['u

e} v en (onctiun dl: }C,ponr obtenir

On n.."nplacl.' (1 par -kv dans l' 'gttlit (1 - 1) cIo/cu

(/1)-kv = ur-:--

ch.-tlo = -k lb.:

[ (It>:= +k [ (lx1" ~

1) - 00 = =kx , _. " - "r ...Vrification. On aurait pu rsoudre la partie C' en lrnlnant 1 dans les

rpouses obtenues 1.'1.1 (J et b. Cette mthode permet de vGriller la rponse. Oc ().on obtient e k1 = vIvo. En portant cette valeur dans la. rponse de b. on obtient

L'O ,Vo ( v )X = - (I - l' -"') = - J - -k k 1)0 t> = Vi) - Jo: (vril)

592

P.~.~-~-.,r""'''''':''.:;~'''I,'','''', r, " - , ':', , . ':'''' ~~14. . '.~~_.';'~;."';.' R E CAP 1T U LAT ION ", .' ... .. . ., .. '.0 .... :S,,EC T ION S 1 1 . 1 1 1 . 3,:' .

,.. -- .. liI'_'~, ....)I,.~ _. _ .__ . - .... -_. III. -_ _

Dans ces sections, on a vu comment calculer la position, la vitesse ou l'acclration d'uneparticule arume d'un mOltvement rectiligne. En lisant l'nonc d'un problme, on doittre capable d'identifier la variable indpendante (t ou x) et la variable dpendante ourecherche (par exemple, v en fonction de x). On commence en crivant les informationsdonnes et un nonc simple des grandeurs cherches.

'. :,., t! ('f '{(' (III) connainsant .'1:(1 J. Comme nous l'avons expliqu il lasection 11.2, la premire drive et la deuxime drive de x par rapport t sont res-pectivement gales la vitesse et J'acclration de la particule (quations Il.1 et Il.2).Si la vitesse et l'acclration sont de signe contraire, la particule peut s'arrter puis sedplacer clans le sens oppos (PR-ll.1). Donc, pour calculer la distance totale parcouruepar une particule, ou doit d'abord dterminer si la particule s'arrtera durant l'intervallede temps spcifi. La construction d'un dtagramme semblable celui du problme rsoluPR-II.] qui 111011tre la position et la vitesse

11.1 Le mouvement d'une particule est dfini par la fonctionx = -1/4 - 6/3 + 2l - 1. dans laquelle x est eu mtres et t en secondes. Calculez laposition, la vitesse et J'acclration de la particule 1 = 2 s.

11.2 Le mouvement d'une particule est dfllli par la fOUCtiOLLx = 3t"' + 413 - 7[1-- St + 8, dans laquelle .r est en millimtres et f en secondes.CaJclllf~ la position. la vitesse ct l'acclration de la particule t = 3 s.

11.3 Le mouveme-nt d'une particule est dflnl pt\r la Ioucdoux = 612 - 8 + 40 cos 7TI. o x est eu mtres et t en secondes. Calculez la position, lavitesse et l'aeclrahon 1 = 6 s.

11.4 Le mouvement d'une particule est dfini ~r la fonctionx = ;t3 - ~f!- 30f + 8, o :'(est en mtres et 1 en secondes. Calculez If' temps. laposition et l'acclration lorsque o =O.

11.5 Le mouvement d'une particule est d6f1JlJpar la fOHCUOt!x = 61"- 213 - 12,z + li + 3, dans laquelle x est en mtres et f en secondes.Calculez le temps. la position et la vitesse lorsque (1 = o.

11.6 Le mouvement d'une particule est dfini par la fonctionx = 3t.3 - 6.12 - 12r + 5. dans laquelle x e t eu mtres et t en secondes. Calculez:

fi) l'instant auquel la vitesse est nulle;b] la positlon. l'acelratiou t'lia distante totale parL"()urue t "'"4 s.

11.7 Le IlIOUVCnll'lIt d'un ' parueuh- c:.t dCflnlpar la fonctionx "'" (3 - 9f1+ Mt - , dans laquelle x est en mtres el t en secondes. Calcule.

li J l'instant auquel la \ uessc est nulle;11) la position et la distance totale parcourue lorsque l'acclration est nulle.

11.8 Le mouvement d'une particule est dtuli pM ta Iouctloux = t:l - 61! - 36t - 40. dans laquelle x est en mtres et t en secondes. Calculez:

a} l'instant auquel la vitesse est nulle ,b) la vitesse, l'acclratiou et la distance totale parcourue lorsque x = 0,

11.9 Laeclration d'unf' [l,micule est dfinie par a = 6 nvs2. Suclrant I.{uex = -32 ln lorsque' := 0 et I.{uev = -6 m/s lorsque t = 2. s. calculez la vitesse. laposition et la distance totale parcounlE' t ;:; 5 s,

11.10 Laeclratiou uue particuje est directement proportionnelJe autelnps t. t = 0, la vitesse de la particule est l' =0 16 nl/s. achant que 1) = 15 nvset que x ~ 20 ln ( = L S, calculez la vitesse, la position et la distanc totaleparcourue ~ , = i s.

594

11.11 Lacclration d'une 'particule est dfinie pat' la relation (1 = A - 6l!,dans laquelle A est une constante. A 1 = O. 13ptuticuJe dmarre Ilx = ru 3\'eC C = O.Sachant qu' t = l s, 0 = 30 mis, dterminez:

(.I) les Instants auxquels la vitesse est nulle:fI) la distance totale parcourue par la particule 1 = 5 s.

Copynghtedma nal

11.12 L'acclration d'une particule est directenwnt propordonnelle nu carrdu temps t. t '= 0, ltl particule l~l :c = Mm. achant qu' 1 ;; 65, X ::: 9 01 cto = l mis. exprimez x 4."1 0 en fonction de t.

Ploblmes 595

11.13 De t - 2 s ~ , ... LO l'nccljSration d'file particule est Il\f'r ementpropo rtiouue Il , au cube du llnp> 1.l ~ 25. ti ~ -15 fn!set.~1t= lOs, (j = 0,36 na/s.Sechant qll' t - 2 ~ la p

11.22 L'acclration d'une particule est dfinie par la relanon o ;::-kv;,.dans laquelle k est une constante. Sachant q\lt' x = 0 et v = 1 1l1/S r = 0 ct queo = 36 11115 lorsque x = 18 m, calculez:

u) la vitesse de la particule lorsque x = 2.0m ;b) l'instant auquel la particule est' au repos.

11,23 Lacclraon d'une particule est dfinie par la relation a = -kv2Sdans laquelle k est (me constante, La particule part de x = 0 avec une vitesse de16 11115. Lorsque x = 6 m, la vitesse observe est de 4 rn/s. Calculez:

a) la vitesse de la particule lorsque x = 5 ln;b] l'instant auquel la vitesse de la particule est de 9 m/s,

11.24 t = 0, une particule part de x = 0 avec une vitesso Vtl et une acc-lration dfinie par l'espression a :;:: -5/(200 - 0), dans laquelle (1 est en mI~ etli en mis, Sachant que 0 = 0,,1500 t :;::2 ,calcul~:

(1! la vitesse initiale de la particule;b) le temps mis par la particule pour arriver au repos ic J la posion lorsque la vitesse est de l rn/s.

11.25 L'acclration d'une particule est dfinie par la relation (l = O,4(1 - kv).dans laquelle k: est une constante, Sachant que, t = O. la particule part du repos x = 4 ln et que, t ",. 15 s, u =

11,29 Lacclrntion due 10 ~l"avitaon terrestre une hauteur 1) au-dessusde la surface terrestre est donne par l'expression

-9,81

597

a = [J -'- (1)16,3 X 1()6)J:!0" a est en 1l1ls~('1 1) en 111tres. l'aidr- dl' cette expre sion, calculez la hauteuratteinte par un projectile lanc vertiealeurent vers le haut partir de l surface de laTerre i Il' ne {' iniualc Col de :

(1 ) 550 1I1Is;Il) 900 rn/s :c} 1 1 1ro mis.

PCf PCf1 11 11 11 11 '1 11 11 1 r1 11 11 1

11.30 Luce..lrutiun dut la ~ra\; ...dion terrestre 'II11P particule tombantvers la Terre est a = -(!.Jr~lr2,o r est la distance partir du centre de ln Terre laparticule, Relit le m)on de ln Terre ct fI. est l'acclration duc la gravitationterrestre la surface dt' la Terre, Sachant {lue R ~ 6370 lm" calculez III vitesse delibration de ln particule, c'est--dire III 'vitesse minlmale laquelle il faut la projeterverticnlement vers le: haut fi partir de la surface terrestre puur fjU 'elle nt' revienne Figure P11.29plus sur 1"Terrr-. SUpp05

598 Cinmalique des parbculas .. .. .. ..11.5 MOUVEMENTRECTIUGNE UNIFORMEMENT ACCELERECe type de mouvement est commun lui aussi. Dans ce mouvement,l'acclration a de la particule est constante et l'quation 11.2 devient

do- = a = constante(ff

La vitesse 0 de la particule s'obtient par intgration de cette quation. soit

Je ildo = a cilt.~) 00- Vo= at

( Il.6)

Dans celte quation. 00 est la vitesse initiale. En remplaant v dans l'qua-tion Il.1 par le deuxime membre de l'quation Il.6, on crit

dxcit = u(J + ai

En (lsignant par Xo la valeur initiale de x et par intgr.ltion. on obtient

LX (lx:: l' (00 + at) dsrrl 0

x - x() = Got + -;tar2

(ll.7)

Nous pouvons aussi utiliser l'quation 11.4 et crire

(luv- = 0 = constantedxv do = fi cLt

L'intgration, des deux membres donne

[ v do = a L"f (IxCu >r41

~(t;2 - (5) = (I(X - x())

(Il.8)

Ds qu'on remplace (1. Do et Xo par les valeurs appropries. les troisquations ombres ci-dessus fournissent des relations utiles entre la coor-donne de position, la vitesse et le temps dans le cas d'un mouvementuniformment acclr. Il faut d'abord dfinir l'origine 0 sur l'axe (les x etchoisir UJI sens positif sur l'axe; ce sens servira ~tdterminer les signes de a.DO et x(). L'quation Il.6 lie v et t et sera ut.ilLse pour calculer la vitesse 0 un instant t donn, ou inversement. Lquation Il.1 lie x et 1 ; l'quation 11.lie 0 et x. Le mouvement d'un corps en chute Libre est un cas important dumouvement uniformment acclr, L'acclration d'un ('Orps en chutelibre (habituellement dsigne par g) est gale 9. 1 In/S2

Rappelons que ces trois quations ne peuvent tre utilises que si l'acc-lration de la particule est constante. Si l'acclration de la particule varie.son mouvement sera dtermin par les quations fondamentales 11.1 11.4et selon les mthodes exposes la section Il.3.

Copynght d ma nal

11.6 MOUVEMENT DE PLUSIEURS PARTICULES

Si plusieurs particules se dplacent indpendamment sur la mme ligne. oncrit les quations indpendantes du mouvement de chaque particule. Sic'est possible, on mesure tous LestenlpS plirtir du mme instant initia! ()Ourtoutes les particules et tous le' dpluceme-uts 11partir de la mme origine etdans le mme sens. Autrement dit. on ne devrait utiliser qU'Ul1 chronomtreet qu'un mtre ruban.

Mouvement relatif de deux particules. Considrons deux particulesA et B se dplaant sur la mme droite (figure 11.7). le coordonnes deposition x,\ et Xa sont mesures partir (Je la In~n1Porigine, 1" tllFfrence''("B - Xr\ dfinit la coordonne (le 110s100" relative de B pnr rapport A et estdsigne par XBIA' Donc,

(11.9)ou

Quelles qllC soient la posinon de A et la position de B peU'rapport lorigine,si le signe de X/J/A est positif. B est droite de f\ et, si le sigtle est ngatif. B estil gauche de ~\.

Le t..l1IX (If'variation de X81.\ est appel vitl''''''/! relatioe de B ])Of rappon A et est dsign par 0BI.\' La d.rive des ~CJ:uations 11.9 donne

(Il.10)ou

Un sih'Tle posittf signifie que. ou cie ~\, lJ se rlphu .-e daus le s('>ns positif: unsigne ngatif signifie (lue B se dplace (lans le sens n~ttif.

Le taux (le variation (Je VB/~\est appel (/cclratioll relatit;(1 de B parrapport li A et est dsign par (/B/.'\' La drive des quations Il.10 donne

(11.11)ou

Tl est noter que le produit des indices A et B/I-\ utiliss dans le deuximemembre des quations Il.9. ] 1.10 et Il.11 est 'gaJ~ l'indice B utilis dansle premier membre,

Mouvements dpendants. La position d'une particule dpendparfois de la position d'une autre particule ou (l plusieurs autres particules.Dans ce cas. les mouvements sont dits dpendant. . Par exemple, la positiondu bloc B de la figure 11.8 dpend de Laposition du bloc A. La longueurde la corde ACDEFC tant constante et la longueur de chaque portion decorde CD et EF enroule sur les poulies demeurant constante. la somme deslongueurs des segments AC, DE et f~G est constante. Remarquons que lalongueur du segment AC diffre de x.o\ par une constante ct que, de la mmefaon, la longueur c1f' chaque segment DE et I-~Gcliffre de sn pitr uneconstante. Donc,

x~\+ ~\'8= constanteComme nous pouvons seulement choi ir arbitrairement une des deux coor-donnes X.-\ et XB, Je systme reprsent il hl 6b'tITe 11. H lin clegr (le libert.La relation entre les coordonnes (le position l'A et.\'8 montre que. si .rAS'UL'Cf()t de .6..1:.\. c'est--dire si l~ liloc A descen

Dans le cas des trois blocs reprsents lila figure Il.9, on peut observerde nouveau que la IO'ngueurde la ecrde qui passe sur les poulies est ecnstanre.Donc. les ceordonnes de l)osition des: trois blocs doivenl satisfaire la.relation SI:Jfvrulte:

2.\A + 2x,8 + Xc "'" constantePuisque f1C)US pouvons dloisir ttroitrairemel'lt deux eoerdonnes. le systmereprsent la figure 11.9 a cku."C {Jegri$ de libert.

Si ta relation entre les coordcnaes de position de plusieurs particulesest linaire, la reladon entre les vitesses et la relation entre les acclrationsdes partteules sont linaires elles aussi. Par. esemple, dans le cas ,les blocs dela figure 11.9, ri. nous drivons deux fois l'quation obtenue, il en rsulte

nd.'tA + 2d.1:'J + d:tc = ,0 () 0iW dt dt clt ou ....OA + 2vn + Oc; :::

nd'D,;.\ 2 ,loB dvc 0z;""""'::';:_ + + 6. '-dt di dt ou 20.1\ + 2as + Oc = 0

\ \

1

:Figure 11.9

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PROBLME RSOLU PR-l1.4

Du niveau 12 m d'une cage d'ascenseur. on lance une halle verticalement vers li!haut avec une vitesse initiale de 18 mis. Au mme instant, un ascenseur 1't cicl ouvertatteint le niveau 5 111 et lit' dplace "ers le haut une vitesse constante de 2 11115,Calculez, :

a} quel in.stant et quelle hauteur la balle heurtera l'ascenseur:b) la vitesse relative Je la balle I>ar rapport l'ascenseur il ccl instant.

SOLUTION

1 t~1o\l"em~nt (le 1:\ balle. La balle ayunt une acclration constante, son

mouvement est tlrlf[onIlKI1Uf'1J1 fl(r.!it?I"!. On place l'oligint'' 0 de l'axe des '.J au niveaudu sol et 00 considre le sens positif vers le haut. Alors, la position initiale estYo= + 12 Ill. la vitesse initiale est L'o= + l nv ct l'acclration ('st ft = -9.151 nllSl.On porte ces valeurs dans les quations du mouvement uniformment acclr. IJen dcoule

VIJ = u + nf Vn "" 18 - 9.S1!!J/J = 12 + 1& - 4,,90SF

(1)

(2)

o ~I()uvt'nt\'nt (1( J'~('C~"t.UI"Lascenseur ayant une vll~ss(' con tante, sonmouvement est Itllifor'l11c. En plaant de nouveau l'origine a au 11Vf'aU du sol et enprenant le sens positif ver- le haut, OHrcnlarquc que Yo "" +5 Ill, d'o

VA = +2 m/s

!JA = 'Ju + t>A.( 'lA = 5 + 2t(3.)

(4)

1 = t La balle heurte J'ascenseur. 00 renlurque d'abord que le mme telllpS 1 etla 111(-me origjn(' 0 001 t- uliliss dans l'criturc des quation du 1110tlVCIlICnl dela balle et de l'ascenseur, Selon la figure, lorsque hl balle heurte l'ascenseur;

t 0Ij,,-'5nl

'lA = IjlJDans J'quation 5. on remplace IjA et IjB selon les quations" et 2, d'o

5 + 21 = 12 + 1& - 4.,905r

(5)

t = -0,39 S et 1= 3,65 ~ -4

1111

Seule la racine t = 3.65 s correspond un instant ap~ le commeucornent dumouvement. On polie cette valeur dan s l'quatton 4 pour obtenir

!lA = 5 + 2(3,65) = J2,30 lnl lauteur au-dessus du sol '" 12.30 III

La vitesse relative d~la balle par rapport l'ascenseur estlill/" = vn - VA ee (18 - 9,81/) - 2 = 16 - 9.S1t

Lorsque la balle heurte l'ascenseur l'instant t = 3,65 s, (ln a

VOlA = J6 - 9.1:l1(3.6.5) t Ii'.\ = -t9.SI tn/s ~L signe flgatif Indique que. vue de l'usL"C.'II!>...-ur, III baU" SL' dplaCe: duns 1....~llSngatif (vers le bas),

601

E900 mm

o

\ "

, 1 1 1, 1

K+--

200 mm

L

1 il" \= :3CJO [nmls1 11 1

1

1 iJ

c

602


Un manchon A et un bloc B sont relis par un cble passant sur Lestrois poulies C.D er E (voir figure). Les poultes Cet E sont mes, tandis que la poulie D est attache un manchon qui est tir vers le bas une vitesse constante de 75 mrn/s. Au tempst "'"O. le manchon A commence sc dplacer vers le bas partir de la position K.avec une acclration constante et sans vitesse initiale. Sachant que la vitesse dumanchon A est de 300 mm/s lorsqu'il franchit le point L. calculez la variation dehauteur.Ia vitesse et l'acclration du bloc B quand le manchon A franchit le palot L.

SOLUTION

Mouvement du mnnchon A, On place l'origine 0 ln surface horizontalesuprieure et ou choisit le SIlS vers le bas comme sens posiuf. On remarque que. l'Instant t = .Ie manchon A est la position K et que { I,)Q = (J. Or UA = 300 mmlset x" - (Xi\)o = 200 11lITl lorsque le manchon passe par L. Donc,

u~ = (VA)~+ 2a....[x" - (x.-\)nl (300)2 "'" 0 ....2{tA(200)a,.. = 2.25 mml!!

Pour calculer l'in stan 1 auquelle manchon r\ atteint le point L. on a successivement

300 = 0 + 225t , ;;;;;1,333 s

~I()uyt!meot de la pculle [J. Le sens positif tant vers le bas, On a

(/v ;;;;;0 Vu = 75 rnrn/s Xl) = (Xt)o + upi = (XI))CI + 751Lorsque Je manchon i\ atteint L, 1 = 1,333 s. on a

XI) = (x,,)o + 15(1,333) = {.1:,,)o + 100Donc, x" - (x,,)o = 100 alun

Mouvement du bloc B, IJ est remarquer que la logueur totale du cbleACDEB Ile diJThre de la quantit (.t ....+ 2xD + ..l'a) que d'une constante. Ln longueurrlu c!,h1p ~t:-.nt constante durant le mouvement, certc quauttt doit elle aussidemeurer constante. Donc, aux instants t ;;;;;0 et t ;;;;;1.333 s. on peut crire

..l'A + 2x" + XIJ = (x,,)o + 2(x,,)o + {xoJo (1)[..l'A - (:tA)O} + 2[x" - (x,,)o] + [Xli - (XI1)o] = 0 (2,)

Or x"' - (XA)O "" 200 0\11} et x" - (xv}o = 100 mm, on porte ces valeurs dansl'quation 2 pour obtenir

200 + 2( LOO) + [XB - (x/l)ol = 0 In - (X8)(I = -400 111rnDonc, \.ui.ilion dl' liante-ur dt B = tno IllHI lEn drivant dC'tL'I:fois l'quation 1. on obtient les quations reliant les vitesses et lesaccln....tiens de A. B et D. Eu remplaant les vitesses ct les seelrauons de A etde D par leurs \ leurs t = 1,333 s, on liliA + 20" + 1)8 = 0: 3()() + 2(75} + OB :::: 0

f)>> == -450 mnvs

.fIA + 20" + (/11 = 0: 29.5 + 2(0) + 08 = 0a8 = -225 mm/si! fi,. - Z2.5 111111 ,'!.

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608 CII"emallqlie des panicules

1)

11.46 Ou place d~lL~blocs A et H sur lin plan Inclin (voir figurE'J. 1 ,.. 0, onproj{'ttr 1\ vors le haut du plan, la VilCSSl' lnitralc dt, 9 Il''!> et l~part du t!pos. Lesblocs SI! croisent l s plus tard. et 8 atteint If' bas du plan t = 3.4 5. Sachant quela distance maximale parcolu-ue par le bloc A partr du bas du plan {'st ete 7 Ill, etque l'ueelrution de A et celle de 8 (dues il: la gravitation el au frottement) sontconstantes et orientes vers le bas du plan. "lllcHI(>~:

a) l'acclration de A et celle de B:b) 1a distance ri ~c) la vitesse de A lorsque les blocs se croisent.

(r..I~1 9 '!Ys,.\

Figure P11.46

11.47 Le bloc coulissant A se dplace vers la gauche une vitesse constantecle 6 rn/s. Dterm inez:

a) III vitesse du bloc B:b] la vitesse di" la partie D du chle ,c) lu vitesse relaU\'l' de lu partie C du cble par rapport la parti!" D.

11.48 Le bloc B part du repos et descend avec une acclration constante.Sachant qu'apr~ avotr parcouru -l00 mm le bloc A a attoint LIlle vitesse de .{ in/s,dtcrnuuez :

a) l'acclration de A l't (.("1If'd( 8;h) la vitesse et lu vunation de position de B aprs 2 s.

Figure Pl1.47 - Pll.48

11.49 Un bloc: B descend UDf' vitesse constante de 0.6 nl/s. Dterminez.:a) la \ iles~f' dl! bloc A;b} la vitesse du bloc C;c] la vitesse cl," ln part if' D rlu c.:iihlt';(1) la vitf!~!i('rt>lH\'l' dt IIIpartit D el.. cUbl( pur rapport au LIIK B.

l J1 ! (.::. l'>, VI (115

~ D,...---

\ _fi

R. ...

Figure P11.49 - P11.SQ

11.50 Le bloc C; dmarre du repos et descend avec une aoclratton constante.Aprs 12 s. la vitesse rlu hl oc ,\ l'si dt' O.S m/s. Dtermlncz .

CI) l'acclratiou dt' .1\. celle Je B et celle dl"C;h) la vitesse et la variation cie position du bloc 8 a[lri's S

C p n

11.51 Un manchon f\ dmarre du rE'pO!i et 111011tt' avec UI1(' acclrationconstante. Sachant qu'aprs ~ s la vit{'ssC' rclatlvc du manehou B par rapport aumanchon A est de 0,6 mis, dterminez:

li) l'acclrauon de A et celle de B;IJ) la vitesse et la variation de position de 13 aprs 6 s.

11.52 Dans la position illustr " lin manchon B descend tt la \'it.t ise de 0,3 uvs.Dterminez ;

u)h)c)

ln vitesse du manchon A;la viles-se de la partie C du cible;la vitesse relative dt' lu partie C du chlr- par mppol1 :111manchon B,

11.53 Le bloc coulissant B se dplace vers la droite une \~tf'S$("constante de300 mm/s. Dtennnez :

a) la vitesse du bloc coulissant A ~b) la vitesse de la partie C du cble :c] la vitesse de la partie D

610 1 nmallq.> des pa IlCOlEs 11.57 Le manchon 1'\ dmarre du repos . t = 0 et descend avec une acel-ration constante de 7 1I111l1':.-2. Le muuehou B monte uvee une acelraton constantept sn vitesse initiale est de B mm/s. Sachant Clltt' If'manchon B parcourt 20 Ulm entre1 = 0 et t = 2 s. dterminez:

CI) l'acclration du manchon 8 et celle du bloc C;", l'hl,'Ilanl auquel la Vitl'SSC d'LI bloc Cf' 1 nulle;c} la distance parcourut> par le bloc C :\ cet instant.

Figure P11.S7 - P11.58

11.58 Les manchons A et B partent du repos . Le manchon A monte avec uneacclrarion de 3 f2 mmlr. Sachant que le manchon B descend avec une acolmncnconstante et (I"e sa vitesse est de rnm/s aprs un dplacement de 32 mm, calculez:

Il) l'acclratlon du bloc C;Il) kt. distance part:oul1Jc' par Je bloc C ULL bout CUIIl' acelratiou coustante tt. aprs 2 s. luvariation relative de la position du bloc C par rdpport au bloc 1''\ est de 200 mm versI~ haut. achain que. lorsque' la vitesse relative du manchon 8 par rapport au bloc Aest de 0 mmls vers le bas, Je dplacement de A est de 160 mm vers le bas et celui lO nllrlls~;1,} lu variation dl' position du bloc 0 lorsque la vitesse du bloc C est de

600 mrn/s vers le haut.Figure P11.59 - P11.60

-11.7 RSOLUTION GRAPHIQUE DES PROBLMESSUR LE MOUVEMENT RECTILIGNE

NOliS avons ob serv Ala section 11,2 que les formules fondamentalesdx d

r;:;;;; - et 0:;;;;-(If dt

ont une siguiftcuti()11 g~ollttric[ue. La premire [annul exprime '-lue lavitesse est kt tout instant ~ga]e la pente de la courbe x-t'au mme instant(figure 11.l()). La deuxime Iormul e rprime que J'acclration est gaie il.la pente de la courbe o-t, C~Sdeux proprits permettent de dterminer

622 C.n&maliqu Cfes patliculSIj

r

.:::

Flgura 11.14

~,

(h)

Po

v

(cl

v'

fJ

Figure 11.15

x

(a)

Q

x'

(hl

vecteur ri s'obtient par l'addition des vecteurs r et llr selon la rgle du trian-gle. Remarquons que Iir reprsente une variation de la direction et unevariation de la grandeur du vecteur position r. Par dfinition, la vitesse1}10yell'/le de la particule durant l'Intervalle de temps III est gale au quotientde ~ et !::J, Or dl" est un vecteur et dt un scalaire; donc, le quottent dr/ruest un vecteur li P, de mme direction que L\.r et (Je grandeur gale lagr.tnclellr de Ar divise par dt (f1gtlre Il.1411).

La vitesse instantane de la particule l'instant t s'obtient en choisissantdes intervalles de tenlpS 6t de plus en plus petits donnant des accrois-scments r correspondants de plus en plus petits eLLX aussi. Donc, la vitesseinstantane est reprsente par le vecteur

.6.rv = lim

M-O dt (1J .14)

Lorsque .6.t et ~ deviennent de plus en plus petits, les points P et ,P'deviennent de plus en plus proches. la limite, le vecteur v obtenu doitdonc tre Ulllgent la trajectoire de lu particule (figure J 1.14

cl"a=-(II

Remarquons flut' le vecteur acclration a est langent la courbedcrite par l'extrmit Q (lu vecteur v lorsque celui-ci est trac partird'une origille flxt-l0' (Rgure J 1.15e) t't (1"(>, en g(slIral, le vecteur aecl-ration a ,,'est 1)as tJlgent hl trajectoire E' la particule (figure 11.15cl). Lacourbe dcrite par l'extrmit de v (fi~'Ure 11.15c) est appele Iro(/(lgrll}J/,edu mouvement.

(11.1 )

11.10 DRrVES DES FONCTIONS VECTORIELLES

A la section prcdente, nous avons vu ('~ttpparticule. Demme, on peut reprsenter le vecteur acclration a JE' la particule p = P(" T 6.11) - P(u)

dudP--

- ,b)Agure 11.16

Divisons J~$cl us: membres de ette quatton pU' 6[1 et faisons tendre uvers 7..ro. Par (lpnnit-ion, la (l1:rll)((C (le 1(1!01lc;ti(}'1 cectorirlle P('l) est

dP = lirn AP = lim P(II + U) - P(u)(fil ..lJ,_1I ilu .l,,_() du (11.19)

Lorsque .!lu tend vers zro, la ligne d'action de 6P devient tangente il lacourbe reprsente la fi~,re Il. 16(/,Donc, la (lprive (/P/(I" (le la fonctionvectorielle P(u) est If/Ilgelllc' li /(1 (;(IUrl)(1 dcrite })(lr l'ex:rtlJlt (/.1' P(II)(figure Il.16b),

',1 10 DeTT'ises CS 'oocb"s ',eclu,,!:! les 623

!J'

Q

x'

.- le)1)

r:.t,,~tnlfl'

x

-- (d)Figure 11.15

Copynghtedma rial

624 Cinmatique des pa'ucUJIISscalaires s'appliquent aux fonctions vectorielles. Considrons cl'abordla somme (Le(]()Il," ftJI1CtUJtlS vectorielles P(u) et Q(lJ) (le la mme variablescalaire u. Selon la tl~finitioll donne l'quation 11.19, la drive duvec-teur P + Q est

d(P + Q) = lirn d(P + Q) = iim (~ + AQ)(lu ,,_U 1J ~J_() .', !\U

OU~puisque la limite d'u ne somme est gale la somme des limites de sestermes,

etd(P + Q) __ lim 6.P + lim 6.Q

du ~u-() /lu ~u_() /lu

(I(P + QI dP (IQ__;_-__..:~= + -"-,lu (III d'J

(11.20)

Considrons maintenant le produit d'une [oncon scalaire j{u) et d'une[one: ion ceaoriclle P(u) de la mme variable scalaire Il. La drive du vec-teuJ'!P est

difP) __ Iim Cf + Jlf)(P + P) - iP = Lin, (.M. P + f Ill)du ..hi .....(J /lu u-O LUt 6.u

()U, eu se souvenant

Remarquons {lue les coefficients des vecteurs unitaires sont, l>ar d finition ,les cornposants scalaires du vecteur clP/du_ DOJlc.lc.~CO'IL1)OSaTlt~8C(JI(Ji,.e~rf'ctaTlgllloires (le la rlfl-tT;(:e dP/(]tl (](' 10JoncHo" vectorielle P(lI) s'obtie-n-Dent en drivant les composantes scalaires correspondantes de P.

Taux de variation d'un vecteur. Si le vecteur P est une fOIlCtiC)11 1.111temps t', sa drive (IP/rit reprsente le taux (le cariatiou (le P par J"'c:lpportaurepre Ox:y::.. La dcomposition (le P en composantes rectangulaires est,selon l'quation 11.25,

dP (IP;r. (Jp'J. ar,dt - dl J + (Jt j + dt k

En utilisant des points pour indiquer la drivation par rapport t, on obtient

(11.25')

Comme nous le verrons il la section 15.10, le taux de variation d'unvecteur vu partir d'tin ssjstmc d'axes ou repre en 'liouvelnellt est, engnral, diffrent de son taux de variation vu d'un repre fixe. Toutefois, si lerepre en mouvement Qlx'y':::;' se translate, c'est--dire si ses axes demeurentparallles aux axes correspondants du repre Bxe OXI):' (ngure 11.17), lesmmes vecteurs unitaires i, j et k sont utiliss dans I(;!scieux repres et levecteur P a tout instant les mmes composantes px. Py et Pz dans les deuxrepres. Donc, selon l'quation 11.25', le UllLX de variation lie P est le mmeT)aTrapport aux repres OXI}::' et O'x'y':::;'. Donc, le taux de cariation (J'unvecteur est le 11l111C par rapport un repre ft'Cc ou par rapport tllL repreen translation. Cette proprit nous simplifiera gJU1CIf':11'1E'nt la tche plliscluenous traiterons pnndpalernent de repres en translation.

11.11 COMPOSANTES RECTANGULAIRES DES VECTEURSVITESSE ET ACCLRATION

Si .1

626 1 ~ " "1 I~ ", t .,., r : r,

I-----.r ---...J

ta) Mcuvement d'un projootile

y

Y, "

(b) ~fouV'6meuts rectilignes qnivelentsFIgUT8 11.19

signe de la composante scalaire correspondante, On peut aussi dduire lagrandeur et la direction des vecteurs vitesse et acclration de leurs colnpo-santes scalaires selon les mthodes vues aux sections 2.7 et 2,12,

L'utilisation des composantes rectangulaires pOUTdcrire la position, lavitesse et l'acclration (l'une particule est particulirement efficace lorsquela composante tl.r du vecteur acclration dpend seulement de t, de x et/oude oz, et lorsque, de mme, olJ dpend seulement de t, de y et/ou de Dy, et0: de t,t: et/ou de v~.Alors, les quations l l .30 et 11.29 s'intgrent iudpen-d..unment. Autrement dit, on peut considrer parinent le dplacement dela particule dans le sens des r, dans Je sens des y et dans le sens des z.

Dans le cas du rn,OIlDcnlcllt (l'lin projectile, par exemple. on constate(section 12.5) que les composantes du vecteur acclration sont

(1, = X = 0 (1. = z = 0-si l'otlllglige la rsistance de l'air. Dsignons pwx(h Ijll et z.,les coordonnesd'un canon et par (o~)o, (0 )'1 et (0=)0 les composantes du vecteur vitesseinitiale Vo du projectile (un boulet), et intgrons deux fois par rapport t, Ilen dcoule

li = t "" (u )u.\ .1X = Xu + (O.l'}ot

I)~= z = (j~)o,;= ~J + (0:)4.t

Vy = rj = (vy)o - gty = yu + (u.,)uf - 2 g t2

Si le projectile est lanc duns le plan XI) partir de l'engin 0, Xi) = Yo= Zo = 0 pt (1)::)0 = O.et les quation du mouvement se rduisent

1)", = (liK)c1X = (v~)ut

r.:y = (vy}(I - g tY = (Dy)ul - t g~

1)- = 0-;:=0Ces quations montrent C]lle le projectile reste dans le plan .t:y, que son1110UVement dans la direction horizontale est uniforme et tlue son mouve-ment dans la direction verticale est uruformment acclr. Ou peut doncremplacer le mouvement d'un projectile par deux mouvements rectillgnesindpendants (l'J'on peut lcilelnent reprsenter si 1'011Supp{)se que le pro-jeetile est lanc verticalement avec lin vecteur vitesse initiale (01/)0 partird'une plate-forme se dplaant avec un vecteur vitesse horizontale cons-tante (Vl')o (gur 11.19). La coordonne x du projectile est g~e toutinstant la distance parcourue par la piate-forme , sa coordonne y se cru-cule comme si le projectile se dplaait sur une verticale.

Remarquons (l"f' les quations dfinissant les coordonnes x et y (l'unprojectile tout instant sont les quation paramtriques d'une parabole, Latrajectoire d'un projectile est donc paraoliqt,e, Ce rsultat ne tient pluslorsqu'on prend en considrution la rsistance de l'air ou la variation del'acclration clue la gravitation en fonction de la hauteur.

11.12 MOUVEMENT PAR RAPPORT UN REPRE EN TRANSLATION

Dans la section prcdente, nous avons derit le mouvement d'une particule l'aide d'un seul repre. Dans la plupart (les cas, ce repre tait li la Terreet considr comme fixe, Analvsons maintenant les situations dans 1e5-,quelles il est C01l11l10de d'utiliser simultanment plusieurs repres, Si un desrepres est li~ la Terre, nous l'appellerons repre fixE' et appellerons lesautres ropi'lrf>s mobiles. li faut toutefois hien comprendre que le choix d'unrepre fixe pst purement arhitraire. On peut prendre n'importe quel reprecomme repre fixe .. ; alors, tous les autre. repres (lui ne lui sont pa.'i lisrigidement seront dits ,.mobiles .

Copynght d ma nal

Considrons deux particules 1'\ et B se dplaant dans j'espace(figure 11.20) : les vecteurs rA et r8 dfinissent leurs positions tout instantpar rapport HII repre fixeOxy::.. Considrons maintenant lin systme d'axesx'. y' t :: centr en A et parallle au systme d'axes r, y. z. Bien que l'originede ces a.XE"S SE" dplace, leur orientation reste la rnme , le repre f\J.'y';:;' esten translation l)~trrapllort Oxyz. Le vecteur rJJ/Ajoignant A el B dflnit laposinon de B l)(lr rapport 011 repre 1nol,i!,c A'r'Ij'::: (ou, brivement, laposltion (le B par rapport. il A).

t\ la figure 11.20, refllarquons que le vecteur position rn de la particule Best la emme (lu vE"cteur posiuon rt\ de la particule A el du vecteur positionrB"", de B l)at l"'.lllI>ort A, soit

(11.31)

Dans le repre fixe, drivons l'quation 11.31 par nlpport t et utilisons despoints pOUTindiquer les drives par rapport au temps. On obtient

(11.32)

Les drives rL\ et t'l reprsentent respectivement les vecteurs vitesse V,\ etVs des particules A et B, Puisque At'y'z' est en translation, 13drive tBIAreprsente le taux de variation cle rB/Apar rapport au repre Ar'y'z' et parrapport au repre fixe (section Il.10). Cette drive dfinit donc le vecteuroi/esse "fJ/,\ de B petr rapport au repre A1;'y';::;' (ou, brivement, le vecteurvitesse VBII\ de B par rapport i\). D'o

(11.33)

Drivons l'quation 11.33 par rapport t et utilisons la drive vBIA pourdfinir le vecteur acclration aMIAde B par rapport au repre Ar'y'::;' (ou,brivement.Ie vecteur acclration UBIA (le B pa?' rapport A). D'o

(11.34)

Le mouvement de B par rapport au repre fixe Oxy:. est appel 'JU)UOO-"Ilent absolu (le B. Les quations obtenues tIans cel-te . ection montrent quele ?nOUOO'11ent absolu de B s'obtient en comblnani le moucemet de A et lel1louvenle1lt relatif de B par rapport ou repre Ifu,bit lIt: fi A. L'([uatiuli ll.33,par exemple, exprime le fait qu'on obtient le vecteur vitesse absolue V8 dela particule B en additionnant vectoriellernent le vecteur vitesse de A et levecteur vitesse de B I}ar rapport au repre Ax' y'z'. L'quation Il.3-1 exprimeune proprit semblable en fonction des vecteurs acclrations. Souvenons-l'lOUS cependant que le repre A\'y';;.' est en translation, c'est--dire qu'ilconserve IHmme orientation bien qll' se dplace avec A. Comme nous leverrons plus loin (section 15.14), la rotation d'un repre ncessite l'usaged'autres relations.

5. Il est il noter rlue le pmduit des inrliees A et BlA dans le membre de dr

l~ rn/s

.1

';1 = -9 1mfl'z- ---- 11111 lnl~

/\i''1"

1.1;() mis

628

PROBLME RSOLU PA-11.7

Du bord d'une falaise ete 150 rn, on lire un projectile uvee une vitesse initiale de180 n'lis un angle de 300 av ac l'horizontnle. En ngligeant la rsistance Je l'air,calculez:

a} la distance nori1.ontale du canon au polnt o Je projectile" touche 1("sol;11) la hauteur maximale du projectile au-dessus du sol.

SOLUTION

00 considre sparment le mouvement vertical ct le mouvement horizontal.~1ouvement ....ertieal. C'c81 un ",aucell1Cllt unijrna,nellt (lcc/r. En

choislssant le sens positif de l'axe des y vers le haut et en plaant J'origine 0 aucanon, on peut crire

(UlI)O = (180 m/s) sin 300 = +90 nllsa = -981 In/s9,

En portant ces valeurs dans les quations du mouvement uniformment acclr,011 obtient

lJy = (Oy)O + a ty = (U!f}ot + ia~u; = (vi/) + 2a Y

Cl)(2)(3)

v = 90 - 981t!J Ij = $lOt - 4t90~J; -= 8100 - 19.62y

A-IOU\ClnUl horizontal, C'e~tuu 1JIOUtt!IJU~lltuniforJuv. On choisit le senspositif ele l'axe des x vers la droite, Alors,

(0.)0 = (180 fuis) cos 30" = + 155,9m/sEu portlll1t cette valeur dans l'quation du 1IlOUV(lU1811t unlforme, on obtient

x = (v ..)o t x = 155.9 t (-1)

0) ni~Wn('('hori,,ontalt'. Lorsque le projectile touche te sol. On a

y = -150 lnEn portant cette valeur dans l'quation 2 du mouvement vertical, on a

-150 = QOt - 4,90t2 1'2 - 18,37t - 30,6 -= 0 l "" 19.91 S

El! portant t = 19.9l s dalls l'quation 4 du mouvement horizontal, on obttent

x = 155,9(19.9l) \ - 3100 III ~b) Hauteur maximnle (apoge). Lorsque le projectile atteint sa hauteur

madmalo, t)1I = O.En portant cette valeur (tans l'quation 3 du mouvement vertical,on il

o = 8100 - 19,621) y = 413111Hauteur uiaxirnale ou upugt:t' HUJt':'Sll~J" sol = 150 m+413 ln - 56;) III

'240 luIs

ru

1----3600 ru ---..j

1----3600 in ---o-f

ru

_----.__- -[-"II - 240 rn/s


On tire un projectile avec une vitesse initiale dl" 240 titis vers une cible B situe 600 m au-dessus du canon A ct une distance horizontale de 3600 111. En ngligeantln rsistance de l'air; calculez ["angle de tir Cl (lvation).

SOLUT10N

On considre sparment le n'IOU\'("IHenthorizontal

PROBLME RSOLU PR11.9

Une automobile A roule vers l'est une vitesse constante de 36 krn/b. Lorsqu'elletraverse l'intersection illustre, une automobile 13part du repos 35 m au nord del'intersection et roule vers le sud avec une acclration constante de 1.2 ln/52.Calculez le vecteur position, le vecteur vitesse et le vecteur acclration de B. parrapport j\, 5 s aprs que A cut travers l'intersection.;36 km/h

SOLUTION

IJ On place l'origine des axes r et fj l'intersection des deux rues et on les orientepcsltivincnt respectivement ...ers l'est et le nord.

Mouvement de J'automobile A. On exprime d'abord la vttesse en m/s:

VA = (.36km)( 1000 In)( 1 h ) = 10 nush 1 km 3600 s

135 ID IB'J[1 1\~~.~-----...----

1--.r.I~ On remarque (Ille le mouvement de A ('St uniforme. AJoT'S, tout instant t,

flA = 0VA = +10 mis.rA = (X.I\)o + 1),,1 = 0 + lOt

t=5s,

liA = 0v....= +10 Itv'S:lA = +(10 ntls)(5 s) = +50 ln

!lA = 0VA= 10 lu/s-rA = 50 Ill-

Mouvement de l'automobile B. On remarque que le mouvement de B estuniformment acclr. Donc,

OH = -1.2 roJsZUH = (011)0 + ai = 0 - ],2 t!In = (yn)o + (l'B)ol + tllB~= 35 + ()- ~(1,2)t.2

. ...At=;,)!;

an = -1,2 lnJ~ 1\n = 1,2mJ~ LOB = -(1,.2 nllsz}(S S) = -6 uVS "Il = 6111/S !'lB => 3.5 - t< 1,2 01/s2)(5 s):i!.= +20 III r/j ..,20 III 1

Mouvement de B par rapport A. On trace le triangle correspondant l'quation vectorielle r8 = rJl + rn/A el on en lire la grandeur et la direction duvecteur position de B par rapport liA. Donc,

20 rn

a = 21,8

"\fi rn/s

On procde de la mme faon pour calculer le vecteur vitesse et le vecteur accl-rntiOJl de B par rapport A. D'o

"IJ/A = 1 h,66 nvs f3 = 31,0 VII/.\ = Il,66 !l'VS"? :31,0 al1l \ = 1.2 rn/sz ~

630

,RE CAP 1TU L AT'I 0 N

"SECTIONS 11.9 A 11.12

Dans ces sections, nous avons analys le mmlvelnent deux et trois l/irllensioliS (l'uneparticule. Bien que les interprtations physiques de la vitesse et de l'acclrabon soient lesmmes depuis le dbut du chapitre. rappelons 'lue ces qU

B, RfHolu/iQII tic problme ""r 1( ItIU/I("Cll)

y(nl)

11.89 Le mouvement d'une particule est dfini par les quations x = 4t4 - 6tcl IJ = 6t~ - 212, dans lesquelles X ct y sont en lllillirll~'lrf'S Cl ( l'st en secondes.Calculez 1('vecteur vitesse et le vecteur acclration IOl'sC!\lP:

Cl) (=15;l,) '=25;c) t = 4 s.

-3 ---- t,. ()

2

1~',90 Le 1110uvt'111l'nt d'une particule est dlim plu-les quations x = :2 cos TTIet 'J = 1 - 4 cos 217t, claus lesquelles x et !J sont eu mtres et f est en secondes.Dmontrez flUE' If' trajet de la particule est une partie de la parabole illustre et cal-culez le vecteur vitesse et Il' vecteur acclration aux instunts ,

(1) 1=0;b) 1 = 1,5 s.

111

Figure P11.90

11.91 L..e mouvement d'une particule est dfini par les r:quationsx = [(1 - 2fl/12] - t'!. et !I = (f'1/12} - (1 - 1)2./2, dam; lesquelles x et y sont euurtres et r est cu secondes. Calculez:

(1) la grandeur du plus PPtlt vecteur vitesse de la parucule :b) l'instant, la position et la direoticn du vecteur vitesse correspondants.

!J

11.92 Le' mouvement d'Ilne particule est rl~flni (lHf les quntions:r = 41 - 2 siu 1 et y - -! - 2 cos " dans lesquclles r l't y sont r-nmtres ...11 e 'f ensecondes. Reprsentez la trajectoin- de la particule et calculez :

a) la grandeur du plus petit vecteur vitesse et celui du plus grand vecteurvitesse de la particule;

b) les instants, les positions et les directions des vecteurs vitessecorrespondants.

o 1-+-_ i\-lI'(1 x

11.93 [.R mouvement d' un" particule pst dfini par le vecteur positionr = i\(COS 1 + t sin t)j + i\(sin t - 1 cos t)j, O t est Cil secondes. Calculez les valeurscie 1 auxquelles If' vecte-ur positton f't II"vecteur acclrarion sont:

a) perpendiculaires:b) pa rall les-

FIgure P11.93

11.94 Le 1110UYf"1'l1entamorti d'une particule vibrante est dln par le vecteurposition r = .\'.[1 1/(1 -1 1)]; 1 (YI{'-."I'}' COS 2(.,., t)j, 011 1 l'~1 r-n l>('t:oll(I('_~.Si 1.0 r-....._Xl = 30 mm et yi = 20 mm, calculez le \ ecteur posltion. 1",vecteur vitess(' et levecteur a(.,.'(."e!lforHtiolldt la particule lorsque : 0,5

a) t = 0;h] t = 1,5 s. 01----~----i--F--~-:;;7~~

.... X/xI

-0.511.95 Le 1I10Ll\'l'J1ll'utcu trois dhueusions d'une particule est dfini par le

vecteur position r = (Rt cos w"/)i + ctj + (R 1 siri Wh t)k Calculez la grillldeur du J,Ovecteur vitesse- ct celle du vecu-ur aeelrat ion de Itl particule. (1..3courbe gauchedcrite par la particule est WJ r hli conquc.) Flgure Pl1.94

633

634 Ctne~hque des paruculasJI

Y~ il .,r- z------ 1t\~ Al BJ

-- xFigure P11,96

VII..A

Figure P11.97

11.96 Le mouvement en trois dimensions d'une particule est dl111ipar levecteur position r = (/\1 (.'05/)i + (i\W+l)j + (BllSUI t)k. o r et t sont res-peetivement en mtres et en secondes. Dmontrez que la courbe' dcrite par luparticule repose sur l'hyperbolode (!lli\)Z - (x1/\)2 - (;.(Br = I. SOIt t\ = 3 et B = l.Calculez:

CI) IR gn11ldur lili vecteur vitess(' (:'1

1~.100 Urll' machine dt' laneerneut de balles dl' base-bail lance des bnllcs.1V('(' un \ cctcur \ itc.'s\( horizontul "o. Sachant que.: lu hauteur " \ arie entn- ii5 111111et 1050 111rn. ca 1Cil Il''?. :

0) la ~alnnl(;, des valeurs de' (1,,;b} Il.,allgl(s cc correspoudant " - 775 mUI t'l :, Il = 1050 '11111.

Problmes 635

11.101 Un JO'I\'III dl' \ollc)-h.tll '1('11la hallt avee UII \l'('h'lIr\,lh'''(' IIlhtl( \'"d'II ne ~rancl"lIr Of' 1:l.-10m/s ('1 fi lin nnglt" de 20 avec l'honzonrak- Du-ruunev :

a) i 1,1 balle p.h~l'r,luu-de us du Illet:b} 11'1111.11\.di~hllll:(' cl" filf'1 IR ha lit' allt"rrira.

"fJ

c,. . t

2.43 rn2,1 III

Figura Pl 1.101

11.102 On \1 .... ' cl.. I.ul dan .. 1111 \,'rri' rl 111le' hautr-ur clc' I.JO mm l't d'undiamtre Intrieur de 66 111111 La vitesse initiale du lait est de 1,2"v~ UII .illgll' dt, 4011\PC l'horizontale Calcllipl la galllnl(' des valeurs de la huutr-ur pour 1{'sCfIlC"IIt's lelait tombera dans Il' verre

,

Il

8 C'1 \t,)

11 so , ......8

J. -~ 111111

Figure P11.102 Agure P11.103

1~.103 Il ~olfl'lIr fr"ppc.' UIll' balle dtgolf 9\,('(.' IIIlC' \1(C'"",' iniuale cil' ,:;0 ntls fOI unaugll' dt: 2.5 :1\ ec l'honzontalc Sachant qUl' Ic.,~parties du palcollr~ 01'11'11.

1-------- ~s111------- ..;1

636 ClnemattQ:;e d;;s part :-wles

\ Ill'Ir

Hlm,

Figure P11.105

20 Innl - .... 1--

SO\

10

FIgure P11.108

11.105 Un propdtalre uliJl c une souffleuse pour clgagcr Or) alle.achant que la neige est souille un angle de 40 avec l'hortzontale, caleuk-z la

vitesse initiale VI} de la neige,

~"'.-t--_-(,--- 5m

B

1 3.04~mlIm

~m

!Figure P11.106

11,106 UIl(' hask(,tt(,US(' IAn(.,\, Il' ballon lorsqu'elk- t'si t 5 111du pauli ',lU,Sachant 4ue le ballon U un vecteur vitesse initiale \'0 un angle de 30 Q\'CCl'horizontal .. , calculez PH lor({U("(J t'st de :

a) 220 mm :1)) 400 mm,

11.107 Des eufauts lancent des balles travers un pneu d'un dlumtreIntrieur de 0,72 III suspendu un arbre. 1:un d'('IJ)( lance une halle 8\("C un vecteurvitesse iuitiale "et un .mgl" de 3. avec l'horizontale Calculez la gaulllle des valeursde la vitesse 1'0 pour lesquelles la halle traversera le pneu.

1.5'TI

1------- 6 m-------1 0.2.'> mFigure P11,107

11.108 l~ bee t'Il ,\ proj('tt., dt' 1'C'l\lI d(' rcfroldlsscmcnt tiV('C un \/t'cl('urvitesse initiale l'v un aJ1~le de 6 avec l'horizontale sur une meule d'un diamtredt' 350 mm. Calcule? ln gammc~des valeurs de la vitesse initiale pOUf lesquelles l'eauatterrira l'ntn' les points B ct C J(. la meule.

205 mm

20(l,nnl

C p n

65 r \~lZ"02m,

1YB

.8

11.109 U Il bcheron lance WI rouleau Je corde au-dessus de la bruncheinfrieure d'lm arbre en tenant une des extrmits du rouleau. Sachant gll 'il lancela corde avec un vecteur vitesse initiale vI) un angle de 65 3Ve11.112 1.a grandeul' du vecteur vttesse initiait" vlI d'une rondelle de hockeyest d 170 km/h, Calculez:

a) le plus grand angle Ct (infrieur il. .15) polir lequel la rondelle t'nt 1'('(

-1.8m -

1a

8

,1,4 m

Figure P11.114

Figure P11.117

65"1

11.113 Le lanceur du jeu de halle molle lance une balle avec un vecteurvtcsse ittitialc Vo de grandeur 72 kllllh un angle exavec l'horizontale. La. hauteurde la balle au point B est de 0,68 m. Calculez:

Cl) l'angle Cl:il' J'angle 8 fJue le vecteur vesse dt' J:I balle au point B Ionue avecl'horizontale.

A

O,6m ~

.La "\ Il&-

B

J

~----------~??---14m------------------Figure P11.113

11 "'114 Un alpiniste s'apprte sauter cie A B ali-dl' Sus d\II1.' Cr -vasse.Calculez ln plus petite grandeur du vecteur vitesse initiale Va et l'angle excorrespon-dant de manire que l'alpiniste atterri. sse en B.

B

1--- 1,5m-lFigure Pl1.115

11.115 On utilise un arroseur oscillant qui projette de l'cau I}V4;'l' UII vecteurvitesse irtiale "I:) de grtuldcur n\/s pour irriguer ua potager. Calculez la distance djusqu'au point le plus loigtu5 B qui sern arros E>t l'angle a correspondant lor~

11.118 Lu ngurl' l' J 1.1 LI)donne les vecteurs vitesse respr-eti Is d('Ii ski('IJ~Act B. Dterminez la vitessr- de 1\ par rapp()rt B,

,

IH"

Figure P1',11a

11.119 Un radar ctier Inwl.1L1(qu'un transbordeur qulth: sun IIllluilla"tavec un vecteur vitesse v - 9.S nCl'llcL'i;P 10", [.l''' instrume-nt-; d. borel indiqur-ntune vitesse de 10 nuds et UIIcap l' 34)sud-ouest par rapport tll.1 rivire Calculezle vecteur ,itf' cil" la rivire (1 nud = l,Ro=)2km/h).

11.120 D('II'( a\ion~ A .'1B volent ~ la mme hauteur t'I 'u\c'lIll n-il C d'IIIIouragan. Le \ eeteur ,itf ..~!>l'relutn t' de C par rdpport A est \'('1 \ = JiO km/h ;-p 5er Ie vecteur ,ilt's"t' 1\,llIli\(' d" C pi'r rapport i\ B l'~t"c H 11:' 520 kilt/li "' 4().Dterrninez :

Il)1))

c)

1(' \ t'('IC'ur \;1 ('S'i(' relative dl' 8 par mpport ~I,\ :1(>vecteur vitesse de A "i le radar ctier incliqllP 'III' rnllra~lIn ~I'dplace 1I1l(" \it{!>~('dl' ..~ knllh plein nord:la varianon du vecteur position de C par rappol1 il B duraru lini"tl'r\'~ll' Ut 15 "lin.

11.121 Lu figure Pll.121 donne 1(>5\ ecteurs vitesse respcculs des tralns dt'banheue A et B, Snl'IHult '1"(' ,htUIIII train (nlll~~ 1111[' "itt"\t, con..tnnh- l't (111(' Ratteint Il' croisement dl' voies 10 JlUll aprs que i\ l't'ut travers, calculez:

li) It>vecteur vttessc re-lative de B par rapport 1\;IJ) III distance j'lItn.' k''i 3\'a11t des lOCOIl10li\'('s 3 mtn UpfL'S '1l1l' ,\ cul

1ra\,prs(o Il' croisement,

66 Llnfh

FIgure Pll.'21

11.122 Sachant '1111> If' vecteur \'itcoss(' dl, bloc B pAr rapport uu bloc ,\ r.lV8fA ::= 5.6 uv!. Lf..70, U(oll'!'Ulilll'z les \",(,'leur!> vitesse respectifs dl' ~\ et dt' H.

Figure Pl'.119

Figure Pl1,120

Po me 639

Figur-e P11.122

iFigure P11.123

c

1~n~~

\ 1r { .\

B 1

Figure Pl1.12S

8

, .sO"1

Figure Pl1.126

11.123 Sachant qu' l'instant IULL\lr~ la figurt' PlI 123 le bloc A a une\ itt'~~l' dl' 200 [lIlJII~ l'tuile ,1c:t:l~l('nllioll dc..:l50 1I1I1a/si.toutes

646 C,nemaltCl ua des partreules Pour obtenir le vecteur vitesse v de la particule P, exprimons le vecteurposition r de P comme tant le produit du scalaire r et (lu vecteur unitaire enet drivons par rapport t :

dv = -, (re,.) == rel + r,, r

()U, en nous souvenant de la premire des relations 11.42.

(LJ.43)

Drivons de nouveau par rapport t pour obtenir Je vecteur acclration.~()US avons

(Lv ....1:1 = dt ;:;fer + r, + tees + rOcs + rOe

ou en remplaant r et eselon les Cluatiolls Il.42 et eu mettant en fHctf'UfSe,_ et eo.

(11.44)

Les composantes scalaires du vecteur vitesse et du vecteur acclrationselon les directions radiale et transversale sont donc

Ur = r 00 = 1"9 (11.45)

a" == r - r8'J. {/e == r8 + 2/'8 (11.46)

-

11est important de rClnarqucr que al' Il'est pas gale la drive par rapport autemps de 0,.. et qlle ae n'est pas gale la drive par rapport au temps de De,

Dans le cas d'une particule se dplaant sur un cercle de centre O. on ar = constante et f = f = 0, et les formules 11.43 et 11.44 se rduisentrespectivement

p (11.47)

IJExtension du mouvement d'une partfcute dans ~'espace: coor-

donnes cylindriques. On dfinit parfois la position d'une particule P dansl'espace raide de ses coordonnes cylindriques R, e et z (figure 11.2&).JI est alors pratique d'utiliser les vecteurs unitaires 011. Coet k reprsents la figure 11.26b, Dcornpo ons le \' cteur position T de la particule P encomposantes ruivant les vecteurs unitaires. Alors,

(11.4 )

k En remarquant que cret et)dfinissent respectivement les directions radialeet transversale dans le plan horizontal xy, et que le vecteur k qui dfinit ladirection axiale est constant en direction et en grandeur. on vrifie faclle-n'lent que

y dr .v = - == ReR + R6ce + :tic(It

(ll.49)

(b) dv ... .., .a == -1 = (R - R(2)eR + (R8 + 2,R8}eo + 3;ktt (11.50)Figure 11,26

1

Copynghted matenal

750m --

~Jouvem4l~

n = il


Vu automobiliste rouit' Sur un tronon courbe d'une autoroute de 750 m de rayon une vitesse de 100 km/h, Il Ireine brusquement et la voiture ralentit tl un tau;constant, Sachant qu'au bout de 8 s la vitesse de la voiture est rduit ft 75 km/h,dterminez le vecteur acclration de la voiture au dbut du rreinage.

SOLUTION

Compovnnu- l;ulgtnIt'tJ( du vccteur acclrntiou. On commence parexprimer les vucsscs en ru/s.

100 kl11/11 = (100 k;)ll)(J~:n )(;'~ s):::27,8 nws75 km/h = 20,8 mis

La voiture ralentit lIll Laux constant, doncv 20,8 nVs - 2;,8 nlfs "

a, ;::moyenne a,= ~ = b li = -0,875 nvs:"

Compo ....l1tl' uorm.il du \ ecteur acceleration. Au dbut du freinage, lavitesse est encore de 2" ln/S. D'o

,~= ~ = (27.~ nvs) ;:: 103 ml :2

(1" 750 . sp tUCrandeur el direction du \ ccte ur acclration. La grandf"ur et la direction

ne la rsultante a des composantes a, et a, sontfi" 1,03 nll!o.2

tao a = - = ~--~ 0 u-- .,"a, .01;) llu:"-a" 1,03 1111s2

(1 = 1,,')5 ov~fI= ,SUI a

--

PROBLM,E RSOLU PR-11.11

Cafculez JE' rayon de courbure mtnimal C)(' la trajectoire dcrite par If:'projectileconsidr au problme rsolu Pl\-11.7,

SOLUTION

Comme a" = v2/p, on a p = 1;2/a", Le rayon est petit lorsque c est petit ouIO!"StIU(' (1.. est grand, La vitesse C est miuimalc au sommet de la trajectoire puisque ce point t'y = 0; a" est maximale au mme point. puisque la normale est verticale~n Ct' point. I~rayon de- courbure est doue nnuimal au sommet d la trajectoire.A ce point,

= ()~= 155.9 rn/s

li.:? (155.9 mis):!p ;::;:- =

a; 9, 'lIH/.}

647

v;:; c,.c, + oqeSa=ll,.c( .neee

./"

8\\\

IIr=(-0.391 m/s2)er

a

A

, ~PROBLEM'E RESOLU PR-11.12

La rotation du bras OA de 0,9 III autour de 0 est dfinie par la relation 9 = 0,15 ~,o 0 est en radians et t en secondes. Le manchon B glisse le long du bras de tellesorte 'Ille sa distance l\ partir de 0 est r = 0,9 - 0,12 t2, o r est en mtres et 1 ensecondes. En suppcsant que le bras a tourn de 30, calculez:

0) ta vitesse totale du manchon ;b} l'acclration totale du manchon:c} l'acclration relative du manchon par rapport au bras.

SOlunON

[""liant t auclucl ()= 3()o. En portant (}= 30" ::::0,524 rad dans l'expressionde 0, on obtient

fJ = O,J5r 0524 = 0 isfl. , t=I.69s

quation du meuvement. En remplaant 1 = J. 69 s dans les expressionsde r. e et leurs premire et deuxime drives respectives, on aura

r ;; 0.9 - O.l2t2 ;; 0.481 ln (J ;; 0, 15t2 = 0,524 rad

f = -0,241 = -0,449 nlfs e = 0,3Ot = 0,561 rndls~ .. ~

l' :;:::-0,24 :;:::-0,2-40 mis (J:;::: 0,30 :;:::0.300 racVs-

a) "itesse de B. Les quatioas l1.

11.134 U Il pilote d'essai condult une automobile sur UII(' pi tt' circulaire dediamtre d. Calculez:

(1) ft: tliaul stre ri si. pour la vitesse d 72 knvh, la grandeur dc la cOinpo- FLgurePl1.133sante normale du "00('111' acclration de l'automobile est de 3,2 rn/S2;

b, la vites.se de l'automobile !Ii d= 180 rn et que la grandeur de la compo-sante normale du vecteur acclration est de O,61!,.

11.133 Calculez la grandeur de la composante normale du vecteur aCL~-lration d'un avion modle rduit qui vole urie vitesse constante de lS ulis Sur unetrajectoire circulaire et horizontale d'UD rayon de )4 Ill,

11.135 Calculez la vitesse maxlmale qUl' [es voitures de s montagnes ru.'>SCSatteignenl sur III partie" cireulaire AB de IR voie si la gralldC'lIr de la composantenormale JE' leur vecteur ulratiou Ile peut excder ;) 11.'

11.136 Lorsqu'une carne ii tourne. un galet rouleau B roule sans glisser S1.Lrla surface de la came. Sachant que les gr.mdews des ootl\posaJltes normales desvecteurs acclration des points de contact C de la carne A et du galet B sontrespectivement de 0.65 1l1/S~cl dt' 6.67 rn/s", calculez If.' dia,ntl"(' du galetsu bordonn,

B

- -Figure Pl1.136

11.137 Um- goupilli' A, attacll(if' 110(' bicJI" osclllunu- ..\8, doit sc' dplacerdans une rainure circulaire CD. Sachant qu' t = 0 la goupille dmarre du reposet Sf' dplace de manire que sa vesse augmente au taux constant cie 20 n11l1ls2,calculez la grandeur de son vecteur acclration totale lorsque:

(1) (=0;b) 1 = 2 5,

11.138 La vttesse pnphnque d'une dent d'une lame de scie circulaire d'undiamtre de 250 HUll est de 45 lills lorsqu'on

6521--- -100III ---1

ClOemd tJque des particules

-1501.:11\111

Figure P11.140

8

11.140 .0\ un instant donn cl 'une course d'avions, l'avion A vole horizontale-meut sur une droit" et son acclration est de oJ/sf!. L'avion 8 vole li lu mmerutitl,ldr que 1.f\Von.r'\ct, lorsqu'il eoruourno U11 pylne, il suit une trajectoire circulaired'un rayon de 300 ln, Sachant qu' L'et instant la dclration de B est de 3 mls2,calculez. pour les positions reprsentes:

a} If' vecteur vitesse de B par ..apport A;b) le vecteur acclration de B par rdpport A.

11.141 Un automobiliste roulant sur un tronon r("ctiligne> d'une autoroutedclre UB taux constant avant d sortir de l'autoroute pttr une nUIlpt! de sortiecirculaire d'un rayon de 170 Dl, Il continue dclrer au mme taux dt" sorte que.10 s aprs l'a la.rampe, a \'it(ss 'attt'lnt 32 kl1'11ll. vitcss . qu'il conserve ensuite.Sachant qu' cette vitesse constante l'acclration totale de l'automobile est ~ale auquart de sa valeur avant l'accs la raJllpe. calculez l'acclratiou totale maximale del'Hllton10hil(' .

300m

(4 :\11 540 Icrnili11

11

IOU III

\

171) UI

----- 711(, 111 -----1Figure P11.141

FIgure P11.143

11

\ 1\ v\\

.0\

Figure Pl1.145

Figure Pl 1.142

11.142 Des voitures de course r\ et B roulent sur des tronons circulairesd'U11 circuit. l'instant reprsent, la vitesse de A diminue au taux de mls2 et lavitesse de>B augmente au hHL'( de 2. nlls2_ Calculez pour les positions reprsentes:

a) le vecteur vitesse d B par rapport ,\;I,) If' vecteur aeelration de B par rapport liA,

11.143 Un golfeur sitllt' au point .A.. frappe une balle avec une vitesse initialedt! 50 nlls et selon UJl Illlglt.' de 25a avec l'hortzonude. Calculez Je nt) 00 de courburede lu traj eetoirc dcrite pur la balle :

a) au point ",,\;b) au potnt le plus lev de la trajectoire.

_-

Figure Pl1.144

11 .144 partir (le la pt.utogr..lple d'un propritaire utilisant une souflleuse,on dtermine que le rayon de courbure

11.146 Un cumion dchar~(' du charbon par sa l~lrtC' :II'rii',, J\ ;1\1'(.' 1111vecteur \ltt''ISt' initiale> v, = 2 IIVS ;:p 50, Dterminez If' ruvon de courbure dt' la

"traJ 'ctoin' dcrite par 1(.churbou :a) au point J\ b) 1 ln :I11-r1f'SSOUS du point :\,

11.147 Vne conduite horizontale deharae au point A UII eourunt d'eau duuun rservnlr F.\priIlH7, 1(' ra~on de courbure du courant ail point 8 en Ioncnon de'la ~ndl'ur c!P'I \ ecteurs '1Ie....e v \ pI "Il-

.-\

Figure Pll,147

11.148 Un enfant lance 1111.' halle d'un point A avec une vitesse lmtiale \'\de 20 In/~ II un an~I( dt' 25 uvee I'horlzontale. Calculez la \llt'~~p d(' la hallt- auxpoints de lu lnIJllnj", d('(rilt pi.lr la hallc- o 1( l'nyon cie>cnurlurn- \,1 l~gl\l.lIl\Iroi,quarts dl' !ta \ aleur t'II ,\,

Figure P11.148

11,149al

Un projectile psi lanc cl'IIB point A H\'t'C un vecteur \lh's~4' mlnale v",PJ'OU\l'Z (IUl' Il' ra~'on dt: courbure dl' la lraJ('clojn. du Pl'oJl'(.'lilt,uttelnt sa vuleur Ininiolnlf' 311point B 1(>pins pll"v cil' ln IrLlJ('cloirl',Si 0 (.',t l'angle l)nlll? par 1:1trnjectoln- 1.'1 l'honzoutale II lill pointdonll~ C. proll\C'l fJur 1('ra)OI) dl' courbure d~ la lr.lj('( loin' ('1) C ,':-.1p = 8"11,,/(,"0\1 e,

b)

8

'01Pu III

/

Figure P11.149 P11,150

11.150 Uu projeclill' est lanc d'un point A avec un vecteur \1t('~"t' Iltitiale "II('t sr-lon un nnglt' a ll\ ('C' l'horizontale. Exprimez If' rayon (l

654 C.nemalique des particules

B

Figure P11.160

FIgure P11.162

'11.151 Dterminez le rayon de courbure de la trajectoire dcrite par Laparticule du problme Il,95 lorsque t = O.

11.52 Dterminez le rayon cie courbure de la 111ljectoirc dcrite par 19particule du problme 11,96 lorsque 1 = 0, A = 3 et B = 1.

11.153 11,155 Un satellite voyagera in,dtlllw1nt sur une orbite circulaireautour d'une plante si la colnposante normale du vecteur acclration du satelliteest gale g (Rlr)2, o g est l'acclration gravitatiOJlJlelle la surface de hi plante,R If' rayon de la plante, ct r la distance du centre de la plnntf>au satellite, Calculezla vitesse d'un satellite par rupIM'lt la plante indique ci-dessous s'il orbite ind-ulment 160 km au-dessus de ln surface de cette plante,

11.153 Vnus: g = 8,53 ln/S2, R ~ 6161 km11.1 54 ~lars: g = 3,83 ln/s2, R ~ 3332 km11,155 Jupiter: g = 26.0 nlls~, R = 69893 1.'111

11,156 et 11.157 Sachant 'lut' le diamtre du Soleil ost cl J,39 GlU et quel'aoclration gravitationnelle la surface du Soleil est de 274 m/~,calculez le rayonde l'orbite dt" la plante indique ci-dessous autour du Soleil en supposant que l'orbiteest circulaire. (\toyez les inIonnations donnes au.'{problmes 11.153 Il.155.~

11,156 Terre: (1)If,~..nn,,)urbile = l07 Mn'llh (107 X 1()3 km/h)11.157 Saturne: (o'''CI)' circulaire, Une fols l'altitude du satellite rgle. 011 trouve que le tempsmis pour parcourir une rois l'orbite u augrnen t de 10%. Sachant que le rayon de Marsost de 33.33 km. calculez la nouvelle altitude du satclltte. (Voyez les lnformatlonsdonnes QU.'!: problmes 11.153 11.155.)

11.160 Deux satellites A et B voyagent clans le mme plan sur des orbitescirculaires autour de la Terre il des ultitudes respectives de 190 km et dl' 320 km,aehant qu' t = 0 les siltenites sont aligns comme le montre la figure Pll.l60

et yue le rayon de la Terre est l( = 6370 km, dterminez l'testant du prochainalignement radial des satcll es. (VO)'ez les informations donnes aux problmes11.153 11.155.)

11.161 Le mouvement planaire d'une particule est dfu pur les relationsr --3 (2 - e-r) et 0;; "(t + 2c-'), O) l'est en mtres, t en secondes, et Den radians.Dterminez les vecteurs vitesse el acclration respectifs de la particule:

a) lorsque t "" 0:b) lorsque t tend vers l'infini.

Quelle conclusion en lirt..z-vous propos de la trajectoire finale de la particule?

11.162 La trajectoire d'une particule P est un limaon. Le mouvement de laparticule est dtAl par les relations r = b(2 + ClOS 'trI) ct 0= '1Tt, o 1~t et) seeoudeset 0 en radians. calculez:

(1) les vecteurs vitesse et acelrauon respectifs de la particule lorsquef = 2 S;

IJ J les valeurs de D auxquelles lngrandeur du vecteur vitesse est rnanmale.

Copynght d ma nal

Figure 11.27

Dans la premire muiti de Ct! chapitre, nous a\'Or15 anul)'Sl- le Ul(JUf:CIIlCIlIrccnlign: d'une particule. c'est--dire le mouvement d'une particule sur tint'droire. POUf dfinir 1.1position P dl> la particule sur cett -.droite nous avonschoisi une OrigillL 11.\l'0 et 'me direction positi\t~ (figure l L.2), Ut dis-tance x de 0 P. avec le "igne appropri, dflnit compltement la positionde 1...particule SUI 1,1 droite : elle L'sI appele c()Ur(IU/lfIt1C cil' lu,siiioll d.. Ilparticule tscction 11,2).

Cocrdonne (je position d une particulearnmee d un mouvement rectiligne

o pIIIIIQIIII+IIII'

l ,-1 l

Vitesse et acctratlon dansun mouvernent recltligne

l\o ilS .l\ tlllS \ Il r J'I~ III cites C V cie 1.1partloule est g.tiH il la driv e de lucoortloune dl' posion .\' l'lat rUI)I')url au temps, SCJil

II\"u=-

,It(11.J)

et qlle 1'(/(('('lrfltitJlI fi ,'pllnent t'Il drivant r pftf r,lpp

et le tllOt.tCOI1Wtlt rcctili1!,1w u'1if'1nlllllf'ut (lct'li!n' (section 11.5), o't I'ace-li ,lti()n (1 de la parttcule est constante. d'o

R~um- C~pl!ral' 659Mouvement rectiligneuniformment acclr

v = V(J + at:\'= Xo + oot + !at2v2 = I~+ ~1(X - xo)

(11 .6)( 1] .7)(l] .S)

Lorsque deu..'1( particules ,\ et B se dplacent SUl la mme droite, nousPOU\'OIIS considrer le mouvement relatif de B pat r.ap])Ort /\ (secticn 11,6).

Mouvement relatif de deux particules

o A B

~ ,,-1 ~II,-11- Lr --1

Figure 11.28

En tl~igr\IUll11al1'8"\ Jal oonlonue de J't),\iN()u relatit e (le B I)ar rapport A,{&gure 11.28), nous nvous

Xli = X.\ + XBI,\ (11.9)En drivant deux t'ois l'quation 11.9 par rapport t, nous obtenons sucees-sivernent

t'n = I)~\+ l'g/;\08 = (JA + aB/.-\

(ll.IO)(11.11)

o t:)jJJ\ l't (JHIA reprsentent respectivement lauite.'ise ,-elatic:eet l'oclratiollrein/IGe de 8 p

660 C lneml'II'qu das oarticu flSVecteur acceleration dansun mouvement curviligne (11.18)

Derrve d'une fonction vectonelle

~tnous nVUI1-' r~Jnr(I"~ Il"C, en gJ)t!r.1l. le ccctcur acc4f1rcTiiotl u'e pa:;wngcullJ./li trajccfoir"lJtJ ln par'llolile,

:\.\'fI.nl (h! considrer les t'(lltlT)O".l.Ilt~ (Ill vect mr vitesse li (lu vecteuraccl ':1< lt ion, lI(JUS il''on s rc\ u la .(l 'fiultiou {j.nnellc de ln d~ml t~cl'une fimc-tiou \l'('lfJl1eUe et t.lhli qll,t~J4ues rel,les rrriss.lflt la t[,iV'o.ltolL d~ la suunuepl ch1 produt de fnllC'tioll

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Mécanique Pour Ingénieurs Vol2