Mesure de Résistivité des Couches Épitaxiées de Germanium

MESURE DE RESISTIVITI~ DES COUCHES I~PITAXII~ES DE GERMANIUM

par Marcel BICHARA **

SOMMAIRE. - - Ce travail a pour but de prgsenter une m~thode de mesure de r$sistivitd des couches gpitaxiges de germanium. It s'agit d'une mesure non-destructi~,e s'e#ectuant sur une sur[ace tr~s petite. A cette fin on a dd~,eloppg th~oriquement et expgrimentalement deux mdthodes : la premiere utilise les hyper#gquences pour des couches dont la r~sistivit~ varie entre ] 0 -~ et 3 ohm.era et dent l'gpaisseur ddpasse la dlzalne de microns ; la seconde utilise les hautes #~quenees pour des rgsistir se situant entre I el 50 ohm.cm pour des @aisseurs supdrieures ~t era, iron 5 microns. Par ces deux m~thodes on [ait des mesures absolues. La premiere m$thode (hyper#~quences) utillse l'attgnuation et le dgphasage subis par une onde glectromagn~tique rgflgchie par la couche gpitaxi~e plac~e ~t l'extrd- mitg d'un guide d'onde. Deux considerations thgoriques diffgrentes, l'une partant de l'glectromagn~tlsme et l'autre de l'optlque ggomgtrique, ont abouti au m~me coefficient de rJflexion. Cette mgthode permet de d~termlner slmulta- n6ment aussi been la rgsisti~,it~ que l'@aisseur de la couche dpltaxige. La seconde mgthode (hautes [rgquences) assimile l' gchantillon ~t une ligne de transmission. En ~,ue de contr~ler l'exactitude des rgsultats, nous a~,ons dgr une autrt~ mithode capable de mesurer la rgsistic, itg, de 10 -~ ~t t03 ohm.cm, dans des dchantillons homog~nes. Nous

pour (;~ah~er ?t mieux que ~ 0 % la prgclsion de t~u!es ces m~thodes.

D L A N . - - �9 1. In t roduc t ion . �9 2. Prin(ipe des m~thodes utilis~es. �9 3. M e s u r e s . �9 4. Mdthode de contr$le de rdsisti~its �9 5. Sources d'erreurs. �9 Conclusion. �9 Bibliographie ( t 5 rg/.). �9 Annexes 1, 2, 3 et 4.

CHAPITBE I

I N T R O D U C T I O N

1.t. Introduction.

Un probl~me important dans la construction des dispositifs semiconducteurs est le contrSle et la mesure des propri6t6s 61ectriques du mat6riau.

Des nouvelles techniques ont 6t6 r6cemment d6velopp6es utilisant la transmission d'ondes centi- m6triques h travers le cristal pour la' d6termi- nation de ses constantes physiques: r6sistivit6 et dur6e de vie des porteurs.

Plusieurs rapports r6cents indiquent que l'on peut d6tecter la pr6sence de porteurs libres en mesurant la transmission de l'6nergie d'ondes milli- m6triques. B6n6dict et Shockley [i], Gibson [2] et Ramsa [3, 4] ont utilis6 la technique de la transmission de rayonnement hyperfr6quence et infra- rouge pour mesurer des param~tres tels que constante di61ectrique, mobilit6, conductivit6 et dur6e de vie des porteurs dans des 6chantillons d'6paisseur consid6rable.

Si la mesure des param~tres 61ectriques d'6chan- tillons homog~nes est relativement simple, il n'en est pas de m6me dans le cas des couches 6pitaxi6es. Car l'6paisseur de la couche est beaucoup trop mince pour pouvoir effectuer des mesures classiques et en outre elle est toujours d6pos6e sur un substrat du m~me mat6riau mais fortement dop6. Par cons6quent, ces limitations nous ont conduit

d6velopper deux nouvelles m6thodes totalement diff6rentes l'une de l'autre.

La premiere consiste h mesurer le coefficient de r6flexion d'une onde hyperfr6quence guid6e, et la deuxi~me, en traitant l'6chantillon comme une ligne de transmission, ~ mesurer son imp6dance d'entr6e.

Ce travail a 6t6 fait sur du germanium. N6anmoins, on peut supposer que beaucoup de

semiconducteurs se comportent de fagon qualita- tivement semblable.

1.2. R~sum6 des mfithodes classklues de mesure.

La connaissance des propri6t6s de volume des mat6riaux utilis6s pour la fabrication des transistors et autres composants h semiconducteurs est essentielle pour la d6termination des caract6ristiques du dispositif fini. On fair g6n6ralement les mesures de r6sistivit6 et de dur6e de vie des porteurs minoritaires sur les cristaux de germanium pour d6ter- miner leur utilisation 6ventuelle.

La r6sistivit6, en particulier, doit ~tre mesur6e avec assez de pr6cision 6rant donn6 son importance fondamentale. Par exemple, parmi les param~tres des transistors, la r6sistance 6quivalente de base est directement proportionnelle h la r6sistivit6 du mat6riau.

Plusieurs m6thodes classiques pour mesurer la r6sistivit6 ne sont pas applicables au germanium, car les contacts m6tal-semiconducteur sont g6n6- ralement de nature non-ohmique. Or, on sait qu'un contact non-ohmique cause un exc~s d'injection

* Texle d ' une th6se soo.lentte h! [) , t .vembr t . [9r d e v a n t la Facul l6 des sciences de Par is pour le /i,~c de doe teur - ing6nieur.

** [ng'Snieur con / rae lm, I : , , r N. J':. T., l ) 5 p a r t e m e n t I)HYSn~UE, (:H]MIE, ~|I~'.TALLURG|E,

- - 1 1 - -

2/25 de porteurs minorltaires ce qul, par cons6quent, influence le potentiel des autres contacts et modifie la r6sistance du mat6riau.

On pourrait, 6videmment, 6viter cet inconv6- nient en soudant les contacts apr~s niekelage, mais ceci pr6sente l'ineonv6nient de rendre la m6thode destructive. Pour ees raisons, d'autres m6thodes ont dfi gtre imagin6es.

Une de ces m6thodes est celle de u [5] connue sous Ie nora de ~( r6sistivit6 par 4 pointes ~. Cette m6thode consiste, tr~s bri~vement, ~ placer quatre pointes m6talliques l'une ~ c6t6 de l'autre de fa~on h former une ligne droite et faisant contact avee la surface du semiconducteur. On fait passer un eourant par la paire de pointes ext6rieures et on mesure la diff6rence de potentiel flottant entre la paire de pointes internes. L'inconv6nient de cette m6thode est la n6cessit6 de satisfaire sept conditions h la fois, sans eompter que la pr6eision de la mesure d6pend 6norm6ment de l'6tat des quatre pointes et de la surface du mat6riau. Ceci n6cessite, par eons6quent, un affiltage continuel des pointes et un traitement chimique soign6 de la surface avant d'effeetuer la mesure. Ceci ne peut p a s s e faire ais6ment h l'6chelle industrielle.

Les conditions h satisfaire sont les suivantes : t) uniformit6 de la r6sistivit6 du mat6riau sur

route la surface h mesurer, 2) les porteurs minoritaires injeet6s par la paire

de pointes ext6rieures doivent se recombiner dans le voisinage imm6diat de la pointe injectante. Ceci n6cessite un traitement m6canique de la surface h mesurer,

3) la surface sur laquelle on fait la mesure ne doit pas avoir de fuites 6lectriques,

4) les quatre pointes utilis6es pour la mesure de la r6sistivit6 doivent toucher refinement la surface du mat6riau, ne passe d6former et se maintenir en ligne droite,

5) l'afffitage des pointes doit ~tre toujours en bon 6tat,

6) la pointe extrgme des 61ectrodes doit gtre de forme h6misph6rique,

7) il faut que le courant n6cessaire pour effectuer la mesure ne soit pas trop grand afin d'6viter l'6chauffement de l'6chantillon consid6r6.

Un autre principe de mesure utilise la variation d'un des param~tres du semiconducteur en fonction de la temp6rature.

Batifol et Duraffourg [6] ont utilis6 l'effet See-

......... () .......... CHAUFFANTE

POINTE I[N COUCHE E PITAXIE I[ ~ t ~ TUNGSTs

SUBSTRAT ~ /

I T

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . / I

Fla . t . - - D i a g r a m m e s c h 6 m a t i q u e de l ' e n s e m b l e u t i l i s a n t l 'effet Seebeck.

3.

'VOLTM E'i" R E

M. BICHARA [ANNALES DES WIlL'COMMUNICATIONS

beck pour d6termlner le gradient de la concentration des impuret6s dans des couches diffus6es. L'utilisation de cette m6thode pour les couches 6pitaxi6es est justifi6e malgr6 l'existence d'une inhomog6n6it6 de r6sistivit6, car une des couches est hautement dop6e et peut, par cons6quent, ~tre confondue avec la plaque m6tallique sur laquelle on pose l'6chantillon et qui forme une des 61ectrodes de l'ensemble.

La figure i montre le seh6ma du couple thermo- 6kctrique r6alis6 entre une plaquette de germanium et une pointe de tungst~ne chauff6e.

L'effet Seebeek [7, 8] mesure la somme des tensions thermo-61ectriques du germanium et du tung- st6ne. Le pouvoir thermo-61ectrique du germanium est beaucoup plus grand que celui du tuugst~ne, si bien que la tension obtenue provient essentiellement du pouvoir thermo-61ectrique du germanium.

I1 y a deux inconv6nients h cette m6thode : la n6cessit6 d'un profil bien d6termin6 de la pointe chaude et le manque de pr6eision de la mesure. La pointe elle-mgme doit r6pondre h certaines conditions, en particulier son extr6mit6 dolt gtre tr~s fine, de l'ordre de quelques microns de diam~tre. Ceei est obtenu par 6pointage 61ectrolytique d'un fil de tungst~ne de 0,5 mm de diam~tre dans une solution de potasse h 50 %.

En ce qui concerne la pr6eision de la temp6rature, on dolt supposer que le gradient de temp6rature dans le germanium d6crolt eomme t / r ~ (distance h la pointe). Ceci est rigoureux si on suppose que la ehaleur de la pointe est 6vacu6e uniquement dans le germanium (sans pertes par la surface) et que la pointe forme une surface isotherme (calcul d'une prise de terre).

En outre, bien que les valeurs du pouvoir thermo-61ectrique en fonction de la concentration soient connues [9], il n'est pas possible de traduire directement, de fagon pr6cise, les tensions relev6es en concentrations de porteurs, ear celles-ci different des valeurs th6oriques pour plusieurs raisons. D'une part, la temp6rature de la pointe chaude, c'est- h-dire exactement au point de contact, est difficile h mesurer. I1 faut d'ailleurs re.narquer que la tem- p6rature de stabilisation du couple ainsi r6alis6 d6pend de la surface de contact. D'autre part, la tension thermo-61ectrique est tr~s influenc6e par l'6tat de surface.

Une autre m6thode se basant sur le m~me principe a 6t6 propos~e par Biard et Watelsky [t0].

Cette m6thode concerne directement la r6sis- tivit6 des couches 6pitaxi6es. Elle a l 'avantage de ne pas d6pendre de la connaissance de l'6paisseur de la couehe. Par contre, comme d6savantages, elle en a deux, c'est-h-dire, c'est une m6thode destructive et d'une pr6eision d'~ peu pros 40 % sur une plage de r6sistivit6 tr~s exigu~, 0,l h 4 ohm/cm, pour une limite de confiance de 95 %. Pour des r6sistivit6s hors de cette plage, la pr6cision diminue consid6rablement. Si on eonsid~re les 40 % de pr6cision avec les 95 % de la limite de confianee,

- - 1 2 - -

I. 20. n os 1-2, 1985]

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�9 t R E S I S T I V I T E D E S C O U C H E S I~PITAXII~ES

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FIG. 2. - - Circuit de l'appareilo

on se rend compte que la pr6cision laisse beaucoup h d6sirer.

Cette m6thode se base sur la variation de r6sis- tivit6 en fonction de la temp6rature pour du germanium non-compens6, en utilisant la th6orie de mobilit6 de Brooks-Herring.

Le c6t6 pratique de cette m6thode consiste ~i souder un petit moreeau d'une plaquette 6pitaxi6e sur une embase conventionnelle de transistor. Nous avons dit ~ morceau)) parce qu'une configuration r6guli~re g6om6trique n'est pas n6cessaire h la mesure, comme elle pourrait l'gtre pour la mesure classique des r6sistivit6s des mat6riaux. Sur la couche 6pitaxi6e on soude un fil d'or (20 microns de diam~tre) par thermocompression. Cet ensemble forme un des quatre bras d'un pont de Wheatston. Ce pont est aliment6 par une tension alternative de basse fr6quence. On 6quilibre le pont quand l'ensemble 6pitaxique est h la temp6rature ambiante et on note l'616vation de temp6rature n6cessaire pour que le pont retourne en 6quilibre. En se r6f6- rant h des courbes d'6talonnage, on d6duit la r6sis- tivit6 de l'6chantillon.

La figure 2 montre le circuit de l'appareillage complet.

La figure 3 montre le dispositi[ pour v6rifier

l 'ohmic i t6 des contac t s , les figures 4, 6 et 7 m o n t r e n t l 'appareil , e t la figure 5 m o n t r e la courbe d '6 ta lonnage .

- - 13 - -

FzG. 3 . - Dispositlt pour v6rifler l'ohmlcit~ de8 contacts.

4/25 Comme derni~re remarque h cette m6thode, il

faut rioter qu 'on suppose la r6sistivit6 du substrat tr~s basse, ce qui la rend presque ind6pendante des variations de temp6rature. Dans le cas eontraire, il sera n6cessaire de tenir compte des variations dues au substrat.

M. B I C H A R A [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION$

On pourrait , 6videmment, compenser ce d6pha- sage, mais ce rafflnement n 'est pas justifi6 par la pr6cision finale de la mesure, comme on l'a vu plus haut.

Deux autres m6thodes h signaler utilisent : a) la capacit6 d 'une jonction en fonction de la

tension [1i], b) m6thode dite (( des trois pointes ~ [t2].

FiG. -ti. - - Vue de l'appareil.

Le choix de la fr6quence utilis6e est un compromis entre la n6cessit6 d'util iser des fr6quences tr~s sup6rieures aux 50 Hz du secteur pour pouvoir

FIG. 6. - - Dispositif interne de l'appareil.

En r6sum6, on peut dire que routes les mesures mentionn6es plus haut sont peu satisfaisantes t an t du point de rue de la pr6cision que de celui de la manipulat ion de l '6chantillon, sans compter que la derni~re est destructive.

Fro. 7. ~ Chblage dc l'appareil.

F,G. 5. - - Courbe d'6talonnage de r6sistivit6 en fonction de la temp6rature.

n6gliger un couplage magn6tique entre l 'ensemble 6pitaxique et les spires chauffantes du four et d 'un autre c6t6, ne pas aller h des fr6quences tr~s grandes pour ne pas avoir h tenir compte des d6phasages dus aux capacit6s parasites.

Les diftlcult6s pr6c6demment 6num6r6es, conduisent h envisager d 'autres m6thodes de mesure.

Apr~s avoir essay6 les m6thodes utilisant le courant continu, le pouvoir thermo-61ectrique et les variations d 'un param~tre en fonction de la tem- p6rature ou de tension appliqu6e, et obtenu h peu pros la mgme pr6cision dans t ous l e s cas, il s 'ensuit qu 'une m6thode radicalement diff6rente dolt gtre envisag6e si on veut des mesures plus pr6cises et non destructives.

I. 20, n ~ 1-2, 1965]

C H A P I T R E 2

P R I N C I P E D E S M i ~ . T H O D E S U T I L I S I ~ E S

2.1. Introduction.

Nous avons vu dans le chapitre pr6c6dent, que B6n6dict et al. ont utilis6 la technique de la transmission des radiations hyperfr6quences et infra- rouges pour mesurer la conductivit6. Des t r avaux plus r6cents ont 6t6 faits par Jacobs, Brandt , Meindl, Weitz et Benjamin [i3] en utilisant la transmission d'ondes 61ectromagn6tiques h travers un bloc de germanium ou de silicium plac6 dans un guide d 'onde, de fa~on "~ le boueher enti@ement.

Toutefois, il est 6vident que, pour la mesure des couches 6pitaxi6es, eette derni~re m6thode ne peut pas ~tre employ6e. Cette difficult6 est due h la pr6- senee du substrat dont la eonduetivit6 est sup6rieure de plusieurs ordres de grandeur h eelle de la eouehe 5 mesurer. Par eons6quent, il faut t rouver une m6thode qui soit uniquement sensible aux propri6t6s de la touche 6pitaxi6e, ou sinon qui permet te de tenir eompte de la pr6sence du substrat.

Nous avons dfi coneevoir deux m6thodes pour mesurer route la gamme de r6sistivit6 des couches 6pitaxi6es.

La premiere m6thode [t4] consiste h mesurer l 'a t t6nuation subie par une onde guid6e apr~s r6flexion sur l '6ehantillon ~ mesurer, plac6 h l 'extr6- mit6 du guide. I1 est h noter que nous ne mesurons pas le t aux d'ondes stationnaires, mais seulement les amplitudes des ondes incidentes et r6fl6ehies en utilisant la m6thode dite (( du z6ro )).

En ee qui concerne le choix de la fr6quence, il est 6vident que la profondeur de l 'effet de peau d6ter- mine la limite inf6rieure de la plage de fr6quence, et le temps de relaxation la limite sup6rieure.

La deuxi~me m6thode utilise la th6orie des lignes de transmission. Cette m6thode n 'est valable, comme nous le verrons plus tard, que dans le cas oh les lignes de force du champ 61ectromagn6tique dans la couche 6pitaxi6e sont concentr~es suivant deux cylindres parallgles.

Les deux m6thodes sont pr6sent6es en deux par t ies : la premigre compare la th6orie et l 'cn- semble exp6rimental avec des 6chantillons homo- g~nes de r6sistivit6 connue et permet ainsi d'appr6- cier l '6cart, dfi aux hypotheses de travail , entre la th6orie et l 'exp6rience ; la deuxigme partie 6tend la th6orie pr~c6dente au cas des couches minces 6pitaxi6es.

2.2. Premi6re m6thode dite ,, m6thode aux hyper- fr6quences ,.

'2.2.1. ~chan t i l l ons h o m o g ~ n e s .

Sans faire d 'approximations, on commence par d6duire des 6quations de Maxwell l 'a t t6nuation et le d6phasage ~3 par unit6 de longueur pour le

RI~,SISTIVITP'; D E S C O U C H E S I~PlTAXII~ES 5/25

rayon r6fract6 en propagation guid6e et non guid6e dans le milieu /~ examiner (voir annexe n ~ 1).

Nous avons ainsi : propagation non guid6e

= coy . o a 1 2 ~ ;

propagation guid~e

) t it5 ' = 6 ) F o G I - a .

OU :

O) .... '-) ~ / .

~o = 4~10 -7,

G = conduct, d'6chanLilloi[ ~ohm.cm/.

.~ = (fr6q. coupure)/(fc(q, utilisde),

% = 1/(36= > li~ 9) l:/m,

~ = 16,

k~ = longueurs d'onde de coupure.

La profondeur de l'effet de peau est donn6e par t 'inverse de la constante d 'at t6nuation. La diff6- rence de profondeur de peau entre les deux sortes de propagation n'est pas tr~s apparente sur une 6chelle semi-logarithmique, par cons6quent, on a trac6 une seule courbe sur la figure 8.

io"

~d

I 0 '

O~IM-CM I -- , I I I I I

I 0 ~ I 0 -~ ~0- ' I I 0 ~ I 0 2

FIG. 8. - - Courbe dormant la profondcur de l'effel de peau en fonction de la r6sistivit6.

Nous consid6rons comme 6chantillon homog~ne un ~ehantillon dans lequel la profondeur de l'effet de peau est beaucoup plus faible que l '6paisseur de l'~chantillon.

Avec les valeurs de ~ et de ~ on a calcul5 pour les deux sortes de propagation, la courbe thSorique de l 'a t t6nuation subie par une onde 51ectromagn6- tique r6fi6chie sur un 6chantillon.

Le coefficient de r6flexion peut ~tre dStermin6 exp6rimentalement en mesurant les amplitudes des ondes r6fl6chies et incidentes, et th6oriquement, en

- - 1 5 - -

utilisant une expression analogue h celle de Fresnel :

/ t = (i - n ) I ( 1 + n)~

II est 6vident, rant du point de rue physique que th6orique, que :

n = Z o l Z ,

o~ pour le mode TE~o en guide d'ondes rectangulaire :

go = ~r - [ X o l 2 a ? ,

Z = t o p o i ( ~ - j = ) l

Mais puisque n = v - ]Z, il s 'ensuit q u e :

= ~' Z o l ~ . o ,

Z = =' Z.l~o~. o,

par cons6quent, le coefficient de r6flexion en coor- donn6es polaires sera :

~ [ t - v] 2 + Z~larc 29( R = [t + v] ~ + ~ s | tg~__ v 2 _ _ ; ( . 2 .

Pour le cas de la propagation en guide d'onde, on n6glige les effets de bout et on suppose que l'6chan- tillon est ins6r6 dans le guide d'onde ; pour la propagation en espace libre, on suppose que l'6chan- tillon est assez loin de l 'extr6mit6 du guide pour que les ondes soient pra t iquement planes.

Ces suppositions const i tuent les hypotheses men- tionn6es au paragraphe 2.

M . B I C H A R A . [ ~ N N A L E S D E S T I ~ L ] ~ C O M M U N I C A T I O N S

La figure 9 donne une repr6sentation seh6ma- t ique du t ra je t des rayons r6fl6chis, r6fract6s et absorb6s. Les imp6dances des milieux sent repr6- sent6es par Z a pour le guide d 'onde rempli d'air, Zz pour la couche 6pitaxi6e, Zz pour le substrat et Z~ pour l 'espace libre. Avec ces imp6dances et leurs constantes de propagation on obtient la somme complexe normalis6e des rayons r6fl6chis, donn6e par l 'expression su ivan te :

t o tar "-~ r~ e -2/t,d, + R,

ce qui se r6duit ~ la forme suivante :

oct :

r l + R. coeff, d e rdfl. = t o tr e2~,e, _ _ rrl

to = 2Zz l (Zo + Z1), t~ = 2Zol (Zo + Zl ) ,

r = ( Z o - - Z l ) l ( Z o + Z l ) , r i = ( Z ~ - - Z l ) l ( Z 2 + Zz) .

L'autre m6thode utilise une expression d6duite directement des 6quations de Maxwell. En appli- quant les conditions aux limites pour les deux inter- faces et en n6gligeant la troisi~me, parce que l'6pais- seur du substrat est beaucoup plus grande que la profondeur de l'effet de peau, on obtient l 'expression suivante : (voir annexe n ~ 2)

Coeff. de r6fl. = A C ( I + ~ ) - - ~ ( 1 - - ~ ) ~c(i + ~) -- ~ ( l - ~ ) '

2.2.2. C o u c h e s d p i t a x d e s .

On est pass6 ensuite h la d6termination th6orique du coefficient de r6flexion d 'un di61ectrique double couehe.

Pour ce faire on a proc6d6 de deux fa~ons : a) la premi6re utilise la m6thode des r6flexions

multiples et abouti t ~ une expression relativement simple et maniable, mais pas trop pr6cise,

b) la deuxi6me utilise directement les 6quatious de Maxwell et about i t ~ une expression rigoureuse et pr6cise, mais assez complexe, n6cessitant une calculatrice 61ectronique pour sa solution.

COUCHE P[TAXIEE 5UBSTRAT

~ . < - " ~ . > < . . . . . . . . . . . . . .~?_ ..................... >

L EFFET DE PEAU

z

r I

Z o ~ Z, 4= z=

Fro. 9. -- R611exioas mu|tiples subies par un rayon dans un di61ectrique stratifi6 et dissipatif. Le fait que l'6paisseur du substrat est sup6rieure h celle de l 'effet de peau simplifie le phf inom~e.

1 6 0 ~ -

u.I 0 1 7 0 ~

< 1- 13. l.lJ a

1 8 0 ~

O H M . C M o T H E O R I Q U E x E X P E R I M E N T A L

- ISO z

O 0

5 0

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.95 R .90

I I I t i I I [ I I I i I I ~ . 0 0,t 0 .2 0.[3 0,[4 o~ls 0~16 0~7 O~S 0~9

dB

FIG. 10. - - Courbes th6oriques de l 'a t t6nuation et do d6pha- sage pour couches 6pitaxi6es d'6paisseurs diff6rentes d6po- s6es sur un substrat de 5 • t0 --a ohm.cm de r~sistivit6. Les croix indiquent les r6sultats obtenus par la m6thode de la r6sistivit6 en fonction de la temp6rature [t0]. Les cercles indiquent les r6sultats obtenus par la m6thode d6crite darts cet article.

- - 1 6 - -

t. 20, n ~ 1-2, 19651

Of 1 :

~r - 1 - 2~/cos 0 Ic~, .~, = t + 2~:[ cos 0 Ir

~ e|2~d,,

= c o n s t , d e p r o p . d a n s la c o u c h e 6p i t ax . ,

y = eonst, de prop. dans le substrat.

c = vitesse de la lumi6re.

Les deux expressions donnent num6riquement presque les m6mes courbes, et la figure ~0 montre la famille des courbes pour des couches 6piCaxi6es de r6sistivit6 et d'6paisseur diff6rentes d6pos6es sur un substrat de r6sistivit6 constante et d'6pais- seur sup6rieure h celle de t 'effet de peau.

On note qu'il n 'y a pas de diff6rence sensible entre les valeurs calcul6es dans le cas de la propagation en espace libre et dans celle en guide d'onde.

2.3. D e u x i 6 m e m 6 t h o d e dite ,~ m 6 t h o d e aux l ignes de t r a n s m i s s i o n ~.

2.3.t . Introduction.

L'uti l isation de la th6orie des lignes de transmission permet de consid6rer l '6chantillon comme un quadripSle dont on d6termine l ' imp6danee d'entr6e. Celle-ci est 6valu6e en mesurant les effets de la ligne de transmission sur les param~tres d 'un circuit accord6.

Deux cas se pr6sentent : ~) la ligne de transmission est en parall~le sur le circuit accord6, 2) elle est en s6rie avec une bobine ou un condensateur.

Le premier montage est applicable aux imp6- dances d'entr6e 61ev6es et le second aux faibles imp6dances ; celle de l '6chantillon en ~tude 6rant

sup6rieure h v/LJC, la combinaison paralt~le sera utilis6e.

Dans les sections suivantes nous d6duirons les expressions n6cessaires h la d6termination des imp6dances pr6sent6es par des 6chantillons homo- g~nes ou 6pitaxi6s et d6crirons les m6thodes de mesure.

23.2 . Considdrations th~oriques.

La th6orie des lignes de transmission suppose une r6sistivit6 tr~s faible pour le mat6riau const i tuant la paire de ills de Lecher et tr~s 61ev6e pour le milieu qui les entoure. Elle se rappor te m6me trbs souvent au cas id6al d 'une r6sistivit6 nulle pour le conducteur et infinie pour le milieu qui l 'entoure.

Consid6rons deux barres cylindriques e~ parallbles (section rectangulaire) d 'un mat6riel dont les param6tres r p~, ~1, sont respectivement la cons- tan te di61ectrique, la r6sistivit6 et la perm6abilit6. Des 61ectrodes d'entr6e, de m6me profil que les barres, sont appliqu6es sur la section de ces der- ni6res et en sont isol6es par une feuille mince de

R I ~ S I S T I V I T E D E S C O U C H E S I ~ P I T A X I I ~ E S 7/25

di61ectrique. Nous avons ainsi la s t ructure montr6e par la figure l t. La figure 12 indique le circuit 61ec- tr ique et dans la figure 13 l ' intervalle Az est repr6- sent& Ayant affaire h u n mat6riau non magn6tique, nous aurons ~ ----- 1.

r

fcu i l l cs dir162

ent ree

b a r r e s f o r m a n t l a l i g ~ r

FI~. 11. - - Ligne de t r ansmis s ion form6e pa r deux barres en g e r m a n i u m .

r I:), is, ( l i g . r C ~

~-tl-, , i '

' i P2 Y2 (milieu) C I

Z k Z

I:IG. 12. - - ls 6lectr ique de la figure I I . d ' u n e l igne de t r ansmis s ion .

R L 2 2 i

i [C I I G

I ~ --,VC0-~

t 2 2 ! ; J

FIG. 13. - - P a r a m ~ t r e s f o n d a m e n t a u x d ' u n e l igne de t r a n s m i s s i o n .

Selon l'usage, les constantes uniform6ment r6par- ties par unit6 de longueur seront R, la r6sistance, L, l ' inductance, C', la capacitance (*) et G la conduc- tance. Les deux derniers repr6sentent l ' imp6dance de perte du milieu entourant les deux barres. Par suite, si ce milieu, qui est constitu6 g6n6ralement par Fair, est remplac6 par un autre, seul G e t C" doivent 6tre chang6s. Par cons6quent nous pourrons encore analyser math6mat iquement le circuit de la figure ~3, m6me si les param~tres du milieu ambiant different consid6rablement de ceux de Fair, et h la limite ce seront les mgmes que ceux du mat6- riau const i tuant les deux barres, c 'es t -h-dire :

Zl = z0 et P1 ---= Po. Ce qui vient d'6tre dit ne sera valable que si les

lignes de force se compor tent comme dans le cas classique des ills de Lecher.

Dans le cas d 'une ligne dont les param~tres sont les m~mes que ceux du milieu ambiant, 6tablissons qu'i l est possible de r6aliser un champ 61ectrique semblable h celui du cas classique.

On salt que les lignes de force sont normales ~ la

(*) On regre t t e la pr6sence du symbole ", mais on ve r ra i)lus loin qu 'on p e u t n6gliger ce pa ram~t re e t la isser ainsi l ibre l ' u t i l i s a t ion du symbo l e C.

1 7 - - 2

8/25

surface d 'un conducteur, pour les rendre parallbles, les 61ectrodes devront etre planes et pour minimiser leur dispersion h l 'ext6rieur du conducteur, leur longueur sera la plus courte possible. La figure t4 montre le cas id6al de lignes localis6es tandis que la figure 15 indique ce qui se passerait dans le cas d 'un 6chantillon excessivement long. Ainsi cette th6orie ne s 'applique qu 'aux couches 6pitaxi6es sur un substrat de faible r6sistivit6.

Fro. 14. - - Distribution des I lignes de force dans un I 6chantillon 6pitaxi6.

Fro. t5. - - Distribution des lignes de force dans un 6chantillon homog~ne.

Finalement, du point de rue philosophique, nous pouvons argumenter sur le fair suivant : ne pas percevoir par les sens deux barres noy6es dans un milieu de m~me nature qu'elles, n 'est pas suffisant pour nier leur existence.

La validit6 de ce qu 'on vient de dire apparal t h la concordance des r6sultats pr6vus par la th6orie et donn6s par l 'exp6rience.

M. B I C H A R A . [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

B, L, G, C It, d6termin6s en tenant compte des donn6es de la figure 17, prenncnt les valeurs suivantes :

R - ~ 2 , T W , ~ - W,~B,

L = 4 l o g e ~ + ~ + 0,2235(T+ W) 10 -9 ,

C" = % ~ W/B.

En tenant eompte de la haute valeur de la r6sis- tivit6 et de la faible 6paisseur de l '@hantillon commun6ment mesur6, on a : R ~.~ ~ L et G >> ~C", ce qui r6duit l 'expression de l ' imp6dance earaetfi- ristique h :

et celle de la constante de propagat ion h :

7 = V/( R + jtoL) (G + jr --~ v/RG = V/2/TB.

En concluant ce paragraphe, nous pouvons dire que nous avons d6duit les param~tres n6cessaires h la d6termination de la r6sistivit6 d 'un 6chantillon homog~ne tr~s mince et d 'une couche 6pitaxi6e.

2.3.3. l~chantillon homog~ne.

Si le semiconducteur 6tudi6 est homog~ne et mince, il peut 6tre consid6r6 comme une ligne de transmission dont une extr6mit6 est ouverte, l ' imp6dance d'entr6e d 'une telle ligne est :

Z,o= Zocoth yd: ~ ~'~coth (d v/2'TB).

2.3.4. Couche dpitaxide.

Fla. 16. - - Dimensions des barres formant la ligne de transmission.

Fro. 17. - - Disposition g6o- m6trique des param6tres fondamentaux de la ]igne de transmission.

La figure 16 repr6sente une section d'6paisseur infiniment pet i te suivant l 'axe Oz du semiconducteur h 6tudier. Les parties hachur6es sont les deux barres pr6c6demment mentionn6es. Du point de rue 61ectrique, la figure 17 repr6sente l '6quivalence entre le circuit de la figure 13 et les dimensions'g6om6- triques de l '6chantillon. La figure 17 montre la localisation, dans l 'espace entre les deux barres, du milieu qui, normalement , les entoure ; une transformation conforme peut montrer analy t iquement qu 'une telle locatisation est possible.

Si l '6chantillon n'est pas homog~ne et est cons- t i tu6 d 'une couche 6pitaxi6e sur un substrat de r6sistivit6 pra t iquement nulle, il peut ~tre consid6r6 comme une ligne de transmission dont une extr6- mit6 est en cour t -c i rcui t ; l ' imp6dance d'entr6e d 'une telle ligne est donn6e par :

Mais puisque la couche 6pitaxi6e crolt sur un substrat de rdsistivit6 finie on dolt tenir compte de la valeur de celle-ci, ce qui conduit pour l ' imp6dance d'entr6e h l 'expression :

Z i = Z 0 Z ~ c h Y d + Z 0 s h y d Z 0 c h Y d + Z~ shyd"

ou : Zr = Z~o pour le substrat. Compar6es aux composantes actives, les parties

r6actives dues h L e t C" sont tr~s petites dans la formule donnant Zi, il en r6sulte que celle-ci sera une r6sistance pure. Cette imp6dance et les deux condensateurs de la figure 12 formeront un ~c dip61e s6rie )) dont l ' imp6dance est. de la forme :

Z = Z~ -- j2 ItoC'.

t . 20, n ~ 1-2, 1965]

I1 sera plus facile d 'analyser le circuit si le (( dip61e s6rie)) repr6sent6 par la derni~re expression peut ~tre transform6 en un dip61e parall~le.

La t ransformat ion du (( dip61e s6rie)) (fig. 18) en (( dip61e parall~le )) (fig. 19) est faite dans l 'annexe n ~ 3 .

jx r

o tl o

FIc. t8 . - - h n p 6 d a n c e d 'entr6e de la ligne de t r ansmiss ion , off :

jx' Z 0 =

pe = o o

pr =

Fro. 1 9 . - T rans fo rma t ion du dip61e sgrie de la figure 18 an dip61e parallble. .~ =

a l o r s

R P ~ S I S T I V I T E D E S C O U C H E S I ~ P I T A X I E E S

par cons6quent :

QIQo = P l R ,

= R' I (R + n').

Nous utilisons les expressions suivantes :

R ' = ,-[(xlr) 2 + 1],

X ' -- x [ ( x l r ) 2 + l]l(xlr) 2,

qui se r6duisent h :

R' = x z l r + r,

X' = x, si (x lr) 2 >> 1, e t :

off :

R ' = l l ( c o 2 C 2 Z~),

X ' = l ljo~C,

x = l ljo~C, C = C' I 2 , r :: Z~.

Alors le circuit sera conforme au sch6ma de la figure 20.

F1G. 20. - - Vue d 'enscmble 61ectrique du circuit LC et ligne de t r ansmiss ion .

I1 s'ensuit que, dans une certaine limite, plus la valeur de R' sera faible, plus son influence sur le coefficient de surtension Q du circuit sera 61ev6e.

Si nous appelons/~ l ' imp6dance du circuit accord6 non charg6 (Zr tend vers l'infini), l ' imp6dance du circuit accord6 charg6 sera alors :

p - m~ ' / (R +/~ ' ) ,

et Q sera :

Q p/o~L,

tandis que Q0 est, :

Qo- - RlcoL,

9/25

Nous avons vu que, R ' = l / o f l C 2 Z i et s i :

Z, c b y d + Z 0 s h y d Z~ = Z oZo ch yd + Z, sh yd'

I,.?~ = V / (R + j ~ L ) I ( G + j6~C"),

Z~ (coth yD) = kp~ (eoth yD),

r4sistivit6 de la eouehe 6pitaxi6e,

r6sistivit6 du substrat,

6paisseur de la eouehe 6pitaxid.e,

6paisseur du substrat,

V/(R + jeoL) (G + jcoC"),

nous aurons :

Z~ = kpe pr coth yD ch y d + pe sh yd pe + 9r coth yd sh yd '

et si d aussi est p e t i t :

c h y d ~ I et p r e o t h y d s h y d < < p ~ ,

et nous aurons :

Zi = k(pr coth yD + pe sh yd),

par suite :

R' = [o~ 2 C 2 kCp~ coth yD + pe sh yd)] -~,

off C est la moiti6 de la capacit6 constitu6e par une 61ectrode d'entr6e, l '6chantillon et le di61ectrique remplissant l 'espace qui les s6pare comme le montre la figure t l , et le repr6sente au point de rue 61ec- t r ique la figure i2.

Subst i tuant cette derni~re expression dans QIQo = R ' / ( R + R ' ) et sachant que Qo = RIo~L nous avons :

Q = RI[o~L + R6o 3 C 2 Lk(pr coth yD + 9e ~h yd)].

2 . 4 . C o n c l u s i o n .

Dans ce chapitre nous avons obtenu, par d6duc- tion "~ par t i r des 6quations de Maxwell, le coefficient de r6flexion, aussi bien pour un 6chantillon homo- g~ne que pour une couche 6pitaxi6e, pour des ondes 61ectromagn6tiques de fr6quences tr~s 61ev6es. A part ir des lois de la r6flexion multiple en optique g6om6trique, un autre coefficient de r6flexion, pour des couches 6pitaxi6es, a 6t6 d6duit.

De plus, h condition de tenir compte de certaines limites, il a 6t6 montr6 qu'un 6chantillon peut gtre trait6 comme une ligne de transmission dont une extr6mit6 est ouverte dans le cas d 'un 6chantillon homog~ne et en court-circuit dans celui d 'une couehe 6pitaxi6e.

- - i 9 - -

t0/25

CHAPITRE 3

M E S U R E S

3A. Introduction.

Ce chapitre est divis6 en deux parties principales, la premiere traite de la m6thode des hyperfr6quences et la deuxi~me de celle qui assimile l '6chantillon

une ligne de transmission. Ces deux parties sont elles-m6mes divis6es ehacune en deux sections t rai tant , l 'une de l '6chantillon homog~ne, l 'autre de la couche 6pitaxi6e.

3.2. Hyperfrfiquences.

3.2.1. l~chantillon homog&ne.

3.2.t.1. Description de l'appareil.

Le sch6ma de l'appareil destin6 aux mesures est donn6 figure 21.

COURT CIRCUIT

KLYSTRON~G '>'< ~ ~L t COUPLEUR COU EUR DIRKCTIONNEL DIRECTIONN EL

E ATTENUATEUR F DE PRECISION ECHANTILLON HOMOGENE

1;ia. 21. - - C i rcu i t p o u r m e s u r e r la r6s i s t iv i t6 des 6 c h a n t i l l o n s h o m o g g n e s .

II consiste essentiellement en une source d'ondes hyperfr6quences, un at t6nuateur de pr6cision, un commutateur de guides d'onde, deux cristaux d6tec- teurs et deux att6nuateurs de d6couplage.

La figure 22 montre le r6glage m6canique de fr6quence du klystron r6flex, utilis6 comme source. Son fonctionnement correct d6pend du courant de grille dont la valeur dolt gtre de t5 mA et ne jamais

FIG 22. - - Vue pa r t i c l l c du k l y s t r o n aver soil r6glage m 6 c a n i q u e de f r6quence

c t l ' i s o l a t e u r ~ ferr i te .

M. BICHARA [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATION$

exc6der t7 mA ; si elle d6passe t6 mA, un syst~me automatique de s6curit6 coupe l 'alimentation. Avec le plus grand soin, le courant de chauffage doit ~tre ajust6 et stabilis6.

A la sortie du klystron est plac6 un isolateur, il utilise l'effet rotationnel de Faraday dans le ferrite pour pr6venir les effets nuisibles d 'une onde retour- nant, en phase avec l 'onde 6raise, au klystron. Un coupleur unidirectionnel E d6rive du guide d'onde principal une fraction de l'6nergie des hyperfr6- quences. Ce bras secondaire sert : l) h mesurer la fr6quence h l'aide d 'un ondem~tre plac6 h l'extr6- mit6 du bras ; 2) apr~s avoir d6r6g16 l'ondem~tre,

d6terminer la r6sistivit6 par la m6thode du z6ro, m6thode rendue possible par la deuxi~me d6ri- vation B.

Les param~tres 61ectriques de l'6chantillon condi- t ionnent ceux du guide d'onde ; l'effet de cette d6pendance est d'ah6rer le point de fonctionnement du klystron d 'un 6chantillon ~ l 'autre et ainsi de fausser les mesures. Cet effet est minimis6 par le d6coupleur h ferrite G, mais pour plus de s6curit6 nous utilisons un at t6nuateur ajustable B qui accen- rue le d6couplage.

A la suite de l 'a t t6nuateur ajustable, se t rouvent un at t6nuateur variable de pr6cision servant effectuer la majeure partie des mesures ; puis un coupleur plac6 de fa~on h recevoir seulement les ondes r6fl6chies.

Dans ce bras secondaire l 'habituel at t6nuateur de d6couplage pr6c~de la diode d6tectrice d'ondes r6fl6chies ; l 'a t t6nuateur agit sur ces derni~res, 61i- lninant ainsi les ondes stationnaires.

A l'extr6mit6 du guide d'onde principal un commuta teur de guides d'onde permet de placer sur le t rajet des ondes 61ectromagn6tiques provenant du klystron soit un plan de court:circuit, sous forme d 'une plaquette de cuivre, soit l '6chantillon mesurer.

3 . 2 . 1 . 2 . Mdthode et rdsultat des mesures.

Ce circuit nous permet la mesure des affaiblissements avec une grande pr6cision, tout en n6gli- geant les changements de phase, tr~s faibles pour les 6chantillons homog~nes.

Le principe de la rnesure consiste h : 1) 6quilibrer les niveaux de sortie A et B quand le commutateur branche le guide d'onde sur l'6chantillon, 2) ramener le niveau de la sortie B h sa valeur pr6- c6dente (en i) h l'aide de l 'a t t6nuateur de pr6cision, le guide d'onde 6rant commut6 sur le court-circuit.

Ce proc6d6 oblige les d6tecteurs de sortie A e t B travailler sur le m6me point de fonctionnement. La figure 23 montre le commutateur de guides

d'onde et la position de l'6chantillon. Nous y voyons que ce dernier est press6 h plat contre l 'extr6mit6 du guide d'onde. L'6chantillon n '6tant ni dans le guide d'onde ni en espace libre, nous calculons les courbes de r6flexion (affaiblissement en fonction de la r6sistivit6) dans les deux cas de propagation.

- - 20 - -

t. 20, rise 1-2, 1965] R E S I S T I V I T I ~ D E S C O U C H E S E P I T A X I E E S

TABLEAU I

1125

NUM]~RO DU CRISTAL

KVm 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K V m 9 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LZ 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LZ 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LZ 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g ~ 1 ~ 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KHob 381/b . . . . . . . . . . . . . . . .

N U M ~ R O DE L 'ECHANTILLON

0,10 0,12 0,10

0,21 0,25

0,80 0,77 0,78 0,81 0,81 0,86 2,50 2,55 2,58 4,05 4,08 4,10 6,25

DfiClBELS

LECTURE

0,11 0,12 0,10 0,11 0,09 0,10 0,21 0,24 0,23 0,24

0,80 0,79 0,79 0,77 0,77 0,78 0,80 0,82 0,82 0,81 0,85 0,84 2,52 2,52 2,55 2,52 2,60 2,60 /~,05 4,10 4,08 4,08 4,09 6, t l 4,25 4,25

M O Y E N N E

0,ll 0,11 0,10

0,22 0,24

0,80 0,78 0,78 0,81 0,81 0,85 2,5t 2,53 2,59 4,07 6,08 6,10

/~,25

RI~.$ ISTIVITE

(ohm.cm)

0,0012 0,0012 0,0012 0,0066 0,0078

0,088 0,083 0,083 0,090 0,090 0,098 0,85 0,87 0,91 4,50 4,60 4,75 8,40

attendons h ce que les points exp6rimentaux se situent entre les deux courbes. Ceci est constat6 par les r6sultats montr6s par la figure 24 et le tableau 1.

3.2.2. JEchantillon dpitaxid.

3.2.2.1. Description de l'appareil.

Le sch6ma de l'appareil deslin6 aux mesures est montr6 figure 25.

Fro. 23. - - Vue de l 'emplacement de l'6chantillon h mesurer stir le commutateur h guMe d'onde.

4

de

3

�9 EXPERIMENTAL p E A ~ -- T HEORIQUE

g

D'ONDE

I0 "3 I(~ 2 ICJ' I 0~ lOi

Fro. 2~,. - - Conrbes th6oriques d'attdnuation en dB des ondes 6lectromagn6tiques r6fl6chies

en fonction de la r~sistivit~.

I .

io a

L'6tat de l'6chantillon peut etre consid6r6 comme un compromis entre ces deux cas, et nous nous

DE PRECISION

ONDE- ~ETRE

z

X%ONNE L PHASEMETRE

EC~ANXtLLO~ . . . . . . . tO ' - - -

F l a . 25. - - Circuit uti]is~ pour mesurer ]'att6nuation et]e d6phasage d ' o n d e s r6 f l~eh ies parun 6chanti]]on 6pitaxi6.

I~e g6n6rateur de fr6quence est le mgme klystron que celui utilis6 dans la mesure des blocs homo- g~nes. Apr~s un d6coupleur et un ondem~tre un ~ T )) divise le circuit en deux bras.

L'onde d6riv6e dans l'un des bras traverse un att6nuateur semi-variable et est r6fl@hie par un court-circuit form6 par un piston. Apr~s r6flexion, elle passe par un att6nuateur de pr6cision.

Dans le second bras, on trouve un att6nuateur semi-variable et un commutateur de guides d'onde

- - 21

12/25 h deux positions, h l 'une des positions correspond un court-circuit (plaquette de cuivre) et h l ' au t re l '6chantillon h examiner. Apr6s r6flexion, l 'onde passe h t ravers un a t t6nua teur semi-variable et un phasem6tre.

Les deux bras sont ensuite r6unis par un (~ T ,~ et la d6tection leur est commune.

3.2.2.2. M~thode et rgsultats des mesures.

Le principe de la mesure est le suivant : t ) l 'onde 6tant r6fl6chie par un court-circuit , on 6quitibre son ampli tude et sa phase dans les deux branches ; ceci implique que le c o m m u t a t e u r soit sur la position cour t -c i rcui t ; l '6quilibre est a t te in t lorsqu'h la sortie la tension est nulle ou minimale ; 2) quand l '6quilibre est a t te int , on provoque dans Fun des bras la r6flexion sur l '6chantillon ; ceci produi t un affaiblissement et un changement de phase de l 'onde r6fl6chie. Pour obtenir h nouveau le min imum de tension h la sortie nous devons, dans l 'aut re bras, produire les mgmes variat ions. Les affaiblissements sont l u s h l ' a t t6nua teur de pr6cision et les d6place- ments du court-circuit pe rme t t en t de d6terminer le changement de phase.

Ainsi nous avons les coefficients de r6flexion sous la forme polaire. Deux lectures, ampli tude et phase, pe rme t t en t de d6terminer les param~tres d 'une couche 6pitaxi6e, en l 'occurrence la r6sistivit6 et l '6paisseur.

Les r6suhats sont donn6s tableau II .

M, B I C H A R A . [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

L'appare i l n6cessaire consiste en un Q-m~tre, un circuit accord6 parall~le (fig. 26) et un porte- 6chantillon sp6cial (fig. 27).

vo m,,r~

o -.

t n t t t t h a u t t trcqutnr162

O

L I O 0 4 n

. - h

echcr~t iEon

Fro. 26.--Circuit reliant l'ensemble LC h l'~chantillon.

TABLEAU II FIG. 27.--Porte-6chantillon sp6cial. La eouche isolante

d6pos6e snr les 61ectrodes en laiton est du TiO sSr avec une constante di61ectrique de 500 h la temp6rature ambiante.

~ U M ~ R O DE L~I~CHANTILLO~

A . . . . . . . . . . . . . . .

moyenne B . . . . . . . . . . . . . . .

moyenne C . . . . . . . . . . . . . . .

moyenne

V A L E U R S

EXPERIMENTALES

dB

0,2~ 0,2~ 0,2 r 0,2f 0,24 0,2~ 0,2~ 0,2~ 0,21 0,2~ 0,2~ 0,2~

80 85 80 82 65 6O 65 63 40 40 4O 40

VALEURS THI~ORIQUES

dB

0,25 82

0,22 61

0,18 36

dB = att6nuation en d6cibels. tt = d6placement en microns du piston de court-circuit.

E3. Lignes de t ransmis s ion .

3.3.t. Descr ip t ion de l 'appareil .

Nous avons vu (chapitre II) que cette m6thode ne s 'appl ique qu ' aux couches 6pitaxi6es.

3,3.2, Mdthode et rdsul tats des mesures .

La description de cette m6thode de mesure est br~ve du fair de la simplicit6 du mode op6ratoire. En fair, elle se r6duit h life les deux valeurs du Q du circuit accord6 correspondant aux cas off celui-ci est charg6 ou ne l 'est pas, et ~ utiliser la famille des courbes th6oriques appropri6e pour obtenir la r6sistivit6. La lecture du Q du circuit non-charg6 sert seulement h s 'assurer de l '6talonnage correct du Q-m~tre.

Les r6suhats sont donn6s par la figure 28. Sur cette figure nous supposons connue l '6paisseur des couches 6pitaxi6es, et nous y voyons les r6sultats des mesures effectu6es sur les m~mes 6chantillons utilis6s par la m6thode du pont d 'hyperf r6quence (points A, B et C).

Le point ((th6orique)~ (petit cercle) de l '6chan- tillon n ~ 112 a 6t6 d6termin6 par la m6thode de var ia t ion de r6sistivit6 en fonction de la temp6- sature, les autres points, tous exp6r imentaux (petites croix) correspondent ~ des 6chantillons dont la r6sistivit6 6tait donn6e (~ sup6rieure 15-20 ohm.cm ~,

- - 22 - -

t. 20, n ~ 1-2, 19651 RI~SISTIu DES COUCHES 15-PITAXII~.ES 13/25 XI04

l tO1 X Io6 X

5 0 4 0 2 0 I 0 I01 S 0 m i c r o n s

T u

" / o ,.Eo~,o0E \ \ \ X EXPERIMENTAL ~~~

I ,oo ,~o ' ,~o ' ,;o ' ~o ' ~;o ' ~o

s u r t c n s i o n

FzG. 2 8 . - D i a g r a m m e t r i - d i m e n s i o n n c l d o n n a n t la r6s is t iv i t6 de la couche 6pi taxi6e en fonc t ion de son 6pa i s seu r et du coeff icient de s u r t e n s i o n .

C HAP IT R E 4

M ] ~ T H O D E D E C O N T R O L E D E I : t ~ ] S I S T I V I T I ~ .

4 A . I n t r o d u c t i o n .

Deux m6thodes ont 6t6 d6velopp6es pour la mesure de la r6sistivit6 d'6chantillons. Nous avons vu que la premigre de ces m6thodes consiste h mesurer l 'affaiblissement et le changement de phase d 'une onde 61ectromagn6tique r6fl6chie par l '6ehan- tillon. La seconde mesure l ' imp6dance d'entr6e d 'une ligne de transmission constitu6e par l '6chan- tillon. Les r6sultats des deux m6thodes sont en bon accord.

Pour contrSler la premiere des deux m6thodes, uous mesurons les 6chandllons homog~nes h l 'aide de trois autres m6thodes bas6es sur des principes to ta lement diff6rents et ensuite nons comparons les r6sultats obtenus.

Ces trois m6thodes de contr61e sont : a) m6thode utilisant la th6orie du t ransformateur , b) m6thode utilisant un pont de Kelvin modifi6, c) m6thode des << 4 pointes ))~

4 . 2 . M ~ t h o d e u t i l i s a n t l a t h ~ o r i e d e s t r a n s f o r -

m a t e u r s .

Le th6or~me de Th6venin permet de repr6senter l ' imp6dance du circuit 6quivalent d 'un transfor- mateur par l 'expression Z = i t + j ~ L , off le secondaire, coupl6 avec le primaire du t ransformateur est l '6chantillon h mesurer d 'une forme g6om6trique pr6-d6termin6e.

Pour simplification, l '6chantillon est suppos6 gtre un disque plat. A cause de l'effet de peau, le parcours du courant induit se timitera au bord du

disque qui formera ainsi une spire de secondaire, Ls. La r6sistance uniform6ment r6partie pent ~tre suppos6e localis6e en une charge de r6sistance pure, Rs, nous pourrons ainsi consid6rer la spire de conduc- tivit6 infinie.

N o u s a v o n s :

L = L v - - M 2 r L~I(H~ + co 2 L~s)

B = By + M s 6) 2 BsI(B~ + r 2 L~), ofi :

L = inductance effective, L~ = inductance primaire, Ls = inductance secondaire, B = r6sistance effective, By = r6sistance primaire, Rs = r6sis- tance secondaire, M = k ( L v L s ) q 2, o~ = 2r

I1 est h doter que les valeurs de L~ et du coefficient de couplage k ne sont pas constantes h cause de la profondeur de l'effet de peau qui elle-mSme est fonction de la r6sistivit6 du mat6riau.

L'6valuation de L et R en fonction de la r6sisti- vit6 des 6chantillons en disques de 20 mm de dia- m~tre et pour un primaire donn6 Lv conduit h la courbe de la figure 29, off l'on voit que la marge de r6sistivit6 mesurable est de 10 -6 ohm.cm h t0 a ohm.cm.

I~e minimum de la courbe Q/Qo = / ( o ) correspond au point de puissance maximale transf6r6e de Lv h

l '6chantillon. Ce minimum se d6place, dans une certaine limite, avec la fr6quence de fonctionnement. Quoiqu'en ce point la sensibilit6 soit la plus basse parce que dQ/dp = 0, nous pouvons utiliser C = f(p) off d C / d p est un maximum. Les limites sup6rieure et inf6rieure de la lecture d6pendent de la pr6cision avec laquelle Q est mesur6.

L'ambigu~t6 due h la double valeur de Q/Qo est circonvenue en utilisant la courbe C = f(p).

Le circuit le plus appropri6 pour mesurer l'im- p6dance Z e s t le double T repr6sent6 dans la figure 30, off le terme r6el i t et le terme imaginaire o~L, dans le circuit 6quivalent, sont mesur6s s6par6ment au moyen de condensateurs variables, C 4 et C.

Les deux parties, r6elle et imaginaire, de l'imp6-

- - 2 3 - -

~ 6 / 2 5 M . B I C H A R A [ A N N A L E S DES T]~L]~COMMUNIEATION$

O/Qo

0.8

0.6

0.4

0.2

0

f

AC 8

iC~ 7 10 -6 10- s 10 -4 10- 3 10- 2 10 -I [ I0 t iO 2 1�9 3 OHM-CM

FIG. 29. - - Var ia t ion des param~tres de la self Lv en fonct ion de la r6sistivit6 de l '6chanti l lon.

dance Z sont obtenues par les formules suivantes :

[ c,], R = tl602 R ' C 2 C a t + C 1 j

r coL = 1 Io~ [C

Ct

G E.N. q

+ c 2 q

R'

L~

J o

DET.

FIG. 30. - - Fi l t re en double T hybride pour mesurer la r6sistivit6 des 6chanti l lons homog6nes.

Le double T hybride que nous avons construit avec son oscil lateur/~ quartz est montr6 figure 31, tandis que la figure 32 donne son sch6ma. Le tableau III donne les r6sultats obtenus exp6rimen- ta lement .

T A B L E A U I I I

N U M I ~ R O

D U C R I S T A L

K V m 762 . . .

K V m 912 . . .

LZ 90 . . . . . .

LZ 132 . . . . .

LZ 98 . . . . . .

LZ 147 . . . . .

K Hob 381/b.

~ U M I ~ R O

D E

L' I ~ C H A N -

T I L L O N

36 37 37

34 38 40

196 185

c 194

a 300 b 3 t2 c 310

a 336

a

b C

a

b a

b e

a

b C

a

b

Q

V A L E U R S " V A L E U R S

E X P E R I - T H E O ~

M E N T A L E S R I Q U E S

91 86,9 85 86,9 87 86,9

36 35,9 32 33,6

33,6 36,3 36,3

37,5 37,5 39,5

193 186 t97

306 3O8 312

332

R~SISTr- V I T E

0,0010 0,0015 0,00'!.2

0,0070 0,0080

0,085 0,088 0,088

0,090 0,099 0, t08

1,01 0,85 0,90

4,55 4,75 4,70

8,35

FIG. 3t . - - Appareillage complet pour mesure de r6sistivit6. On note en h a u t de l ' apparei l la self sur laquelle on d6pose l '6cbant i l lon h mesurer .

c, R'

6 lampr

2 c1

c s

2 Fro. 32. - - Circuit de l 'apparei l lage montr6 figure 31.

4.3. Mfithode util isant un pont de Kelv in modi - fi6.

Un pont de Kelvin modifi6, auquel la relation p =-- R S / L s'applique, o~ :

p = r6sistivit6 (ohm.cm), R = r6sistance (ohm), S = surface de la section (cm2), L = distance entre

- - 24 m

t . 2 0 , n ~ 1 - 2 , 1 9 6 5 ]

sondes (cm), a 6t6 utilis6, comme deuxi~me m6thode, pour contr61er la r6sistivit6 des 6chantillons homo- g~nes.

Le circuit du pont modifi6 est montr6 figure 33. La modification consiste h interchanger la r6sis-

tance Rx du circuit et l'6chantillon. Ceci empgehe le passage d'un courant trop grand h travers l'6chan- tillon et par suite son chauffage. R 2 est une r6sis- tance tr~s basse. Le potentiel V~ est mesur6 par la m6thode des c~ 2 pointes )~. Les deux pointes sont plac6es sur une ligne de courant dans le semiconducteur. Par pr6caution, on effectue quatre mesures : une darts chaque sens du eourant alimentant le pont, et une darts chaque sens de l'6chantillon ; elles sont r6p6t6es trois fois, ce qui donne un total de 12 valeurs par 6chantillon.

Les r6sultats sont donn6s au tableau IV.

t c h o n t i l l o n VL \

1' 'J R2 X - -

lhG. 3 3 . - Circuit du pont de K d v i n modifi6. La modif i- cation eonsisle "t inlerchanger la r6sistance R z et l'6chan- tillon.

R I ~ S I S T I V I T I ~ , D E S C O U C H E S E P I T K X I I ~ , E S t 5 / 2 5

de la m6thode, il nous a sembl6 superflu de donner un tableau des r6sultats.

4.5. Comparaison statistique.

Dans ce qui suit nous comparerons les r6sultats des deux m6thodes de contr61e pr6c6dentes et ana- lyserons s tat is t iquement leur accord.

Supposons que les valeurs de la r6sistivit6 donn6es par le pont de Kelvin soient les valeurs vraies, en tenant compte du fair que le circuit est bien connu et 6prouv6 et la formule de base 6rant la loi d 'Ohm.

Nous les comparons avec les valeurs obtenues par la m6thode de r6flexion des hyperfr6quences, et 6valuerons la pr6cision de eette derni@e.

Darts le tableau V, la premi@e colonne est le num6ro de l '6chantillon, la deuxi~me et la troisi~me les r6sistivit6s obtenues par les deux m6thodes. La quatri~me le nombre de dB que nous devrions obtenir d'apr~s la courbe th6orique (fig. 24) et les r6sultats de l 'exp6rience avec le pont de Kelvin. La sixi~me donne le pourcentage de diff6rence entre ces deux valeurs en dB (col. 4 et 5).

Une analyse statistique a 6t6 effectu6e pour d6ter- miner si la diff6rence entre ces valeurs est significative.

De la distribution du (( Student t )):

x - xV; t

TABLEAU IV

N U M ~ R O D E L ' ~ 3 C I I A N T I L L O N

KVm 762 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . .

KVm 912 a . . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . .

LZ 90 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . .

LZ 132 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . .

LZ 98 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . . ,

c . . . . . . . . . . . . .

LZ 1/t7 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . .

c . . . . . . . . . . . . .

E

0,152 0,142 0,138

0,156. 0,138

0,16.1 0,138 0,140

0,16.0 0,t41 0,140

0,152 0,16.1 0,138

0,152 0,t52 0,152

H

0,692 0,686. 0,56.6

0,682 0,678

0,686 0,685 0,686.

0,690 O,682 0,680

0,690 0,682 0,682

0,688 0,692 0,690

E X H - - - S

0,1052 0,0971 0,0753

0,t050 0,0936

0,0967 0,096.5 0,0957

0,0966 0,0962 0,0952

0,106.8 0,0962 0,0941

:o,lo6.6 0,1052 0,1069

SII

0,5260 0,4855 0,3765

0,5250 0,4680

0,4835 0,4725 0,6.785

0,4830 0,4810 0,t~760

0,5260 0,6.810 0,4705

0,5230 0,5260 0,5245

R E $ I S T I V I T ~

0,0011 0,0012 0,0012

0,0066 0,0077

0,094 0,097 0,098

0,105 0,117 0,118

0,804 0,868 0,890

4,72 4,75 5,01

La pr6cision sur la valeur des r6sistivit6s du tableau V est d 'environ 1 % .

4.4. M6thode des ,, 4-pointos ,,.

Cettc m6thode est bien connue et pour tou t d6tail nous renvoyons le lecteur ~ la r6f6rence [5].

Les r6sultats obtenus sont en bon accord avec les autres, mais, en tenant compte de l'impr6cision

X-----diff6rence a t tendue entre les lectures par

les deux m6thodes, dans notre cas X = 0, Y = moyenne des diff6rences, n = n o m b r e de lectures, x = diff6rence effective,

= - = -

Nous avons utilis6 la correction de Bessel puisque n n'est pas tr~s grand.

- - 25 - -

t6/25 M . B I C H A R &

TABLEAU V

[ A N N A L E S D E S T~LI~COMMUNICATION.~

N U M ~ R O D E L ' I ~ C H A N T I L L O N

KVm 762 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . .

c . . . . . . . . . . . . .

KVm 912 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . .

LZ 90 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . .

LZ 132 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . .

LZ 98 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . .

c . . . . . . . . . . . . .

LZ 147 a . . . . . . . . . . . . . b . . . . . . . . . . . . . C . . . . . . . . . . . . .

R ~ S I S T I V I T ] ~

K E L V I N

0,0011 0,0012 0,0012

0,0066 0,0077

0,094 0,097 0,098

0,105 0,117 0,118

0,804 0,868 0,890

4,72 4,75 5,01

0,0012 0,0012 0,0012

0,0066 0,0078

0,088 0,083 0,083

0,090 0,096 0,098

0,85 0,87 0,91

4,50 4,60 6,75

TnEon.

0,t00 0,t00 0,t00

0,22 0,24

0,83 0,84 0,84

0,88 0,93 0,94

2,64 2,52 2,55

4,0r~ 6,12 4,09

H. F. dB

Exp.

0,110 0,110 0,100

0,22 0,2~

0,80 0,78 0,78

0,81 0,8-1 0,85

2,51 2,53 2,59

4,07 4,08 ~,10

%

10 t0

0,0

0,0 0,0

3,6 7,1 7,1

8,0 -12,9

9,6

2,9 0,4 1,6

0,8 1,0 0,3

Apr~s calcul on a t = 0,2, et il est clair que la diff6rence est loin d'gtre significative d'apr~s les courbes du (c Student t ~.

La divergence entre la valeur de la r6sistivit6 donn6e par le pont de Kelvin (que nous tenons pour vraie) et la valeur obtenue par la m6thode des hyper- fr6quences est inf6rieure h 2,5 % dans les limites de confiance de 99 %.

Un examen de la reproductibili t6 de la m6thode montre qu'il y a une incert i tude de :~ 0,019 dB en prenant des limites de confiance de 99 % et une incert i tude de ~ 0,015 dB avec des limites de 95 %.

En effectuant la mgme analyse statistique que ci-dessus, nous avons trouv6 que le t du (~ Student t )) est 1,88 pour 18 degr6s de libert6, d 'oh une diff6- rence de lectures entre la m6~hode utilisant le pont de Kelvin et celle util isant le T double hybride qui n'est pas significative.

Tandis qu 'entre la m6thode des hyperfr6quences et le T double nous obtenons pour le (( t )) 2,3, d'ofi une diff6rence probablement significative.

Iei h nouveau la divergence emre la valeur de la r6sistivit6 donn6e par le pont de Kelvin et celle obtenue par le T double est inf6rieure h 3 % dans des limites de confiance de 99 %.

C H A P I T B E 5

S O U B C E S D ' E B B E U B S

5 . i . I n t rod u c t ion .

D a n s ce c h a p i t r e , n o u s d i s c u t e r o n s les sou rces

poss ib l e s d ' e r r e u r s p o u v a n t e n t a c h e r les r 6 s u l t a t s

o b t e n u s .

5.2. Hyper fr~quenees .

La source la plus 6vidente d'erreurs provient des variations de temp6rature du milieu entourant le klystron pour le circuit de la figure 21. Cette temp6rature dolt gtre stabilis6e avec soin.

Une deuxi~me source d'erreurs serait la pr6sence d'ondes stationnaires et d'effets parasites tels que le couplage entre cristal d6tecteur et le kiystron" L'absence de ces effets a 6t6 v6rifi6e de la fa~on suivante : on fair varlet l 'ampli tude de l 'onde incidente par l ' a t t6nuateur B (fig. 21), en gardant l 'a t t6nuateur A fixe, et on note les affaiblissements subis par les ondes r6fl6chies par un 6chantillon choisi h volont6, dans notre cas un sp6cimen pris dans le cristal LZ 90 (0,083 ohm.cm). Si quelques eorr61ations entre les lectures des at t6nuateurs B et C existent, cela prouve la pr6sence d'effets parasites.

Les r6suhats de cet te exp6rience sont not6s au tableau VI.

Une analyse statist ique des r6sultats obtenus donne, pour le coefficient de corr61ation r, h par t i r des valeurs des at t6nuateurs B et C :

2(be) n r 0,086, o-b 0"t:

off :

o-b = - - - - n

o-e = 4 _ ~ _ (~)2 ' ~ Ec - - - - t n

b et c 6 tant r e s p e c t i v e m e n t les lec tures des att6- nua teurs B et C. La pet i te va leur de r, r -= 0,086, indique que le k ly s t ron est en fair l ibre d'effets

- - 26

t. 20, n ~ 1-2, 1965] RI~SISTIVITE DES COUCHES EPITAXIi~ES ~ 7 / 2 5

TABLEAU u TABLE VII

ATTE NUATEUR$ DECIBELS

B . . . . . . . . . . . .

C . . . . . . . . . . . .

Moyenne . . . . .

0

0,8t 0,82 0,83 0,82

2

0,80 0,80 0,80 0,80

4 6

0,80 0,82 0,80 0,82 0,80 0,82 0,80 0,82

8 10

0,82 0,81 0,8I 0,82 0,80 0,82

0,81 0,82

ATTENUATEURS (dB)

A

C

Moyenne . . . . .

0 0,82 0,81 0,82 0,82

DECIBELS

2 0,82 0,82

[0,82 0,82

4 6 0,82 0,82 0,80 0,82 0,82 0,80 0,81 0,81

8 0,83 0,8"1 0,81

0,82

10 0,83 0,82 0,82

0,82

cybern6tiques et qu'il n 'y a pas d'ondes stationnaires d 'ampli tude suffisante pour interf@er avec les mesures.

Une autre source d'erreurs pourrai t 6tre due au chauffage de l '6chantillon par les ondes 61ectro- magn6tiques. La r6sistivit6 de l '6chantillon, par- t iculi6rement si elle est 61ev6e, d6pend de la tem- p6ratnre, il est 6vident qu 'un 16get accroissement de celle-ci peut introduire des erreurs dans les r6sultats.

Pour v6rifier que cette erreur est inexistante ou all moins n6gligeable, nous avons effectu6 des mesures du coefficient de r6llexion h diff6rentes puissances.

Consid6rons th6oriquement le cas le plus d6favo- table, en l 'occurrence celui de l '6chantillon compl6- tement isol6~ au point de vue thermique, l'616vation de temp6rature durant le temps n6cessaire "h nne mesure serait d 'environ 2 ~ Mats en fait il y a tr6s bon contact thermique entre l '6chantillon eL la grande masse du commuta teur de guide d'onde, masse suffisante pour maintenir la temp6rature constante. Nous savons que tout changement de temp6rat~re d 'un semicondncteur produit une variat ion de sa r6sistivit6 et par cons6quent une absorption d'6ner- gie provenant du klystron serait d6tectable par une variat ion de l 'affaiblissement subi par l 'onde r6fl6chie. Ainsi nous pouvons mesurer directement s'il y a ou non un effet dd au chauffage. Pour cela l 'a t t6nuateur B e s t fix6 "h 4 dB ; on fait varier l 'att6- nuateur A tandis que les lectures sont faites h l 'att6- nuateur de pr6cision. Le tableau VII donne les r6sultats obtenus avec un 6chantillon de r6sistivit6 moyenne, choisi afin d 'obtenir un effet de peau peu profond aussi bien qu'une faible conductivit6 : ceci correspond h la pat t ie de la courbe off d(dB)ldp est maximum (fig. 24). Les r6sultats analys6s statis- t iquement donnent un coefficient de corr61ation r, entre les lectures des at t6nuateurs A et C : r = 0,01, qui montre effectivement que l '6nergie absorb6e par l '6chantillon est trop petite pour 6tre de quelque influence sur les r6sultats.

Une autre source possible d 'erreurs pourrai t gtre due h la rugosit6 de la surface de r6flexion. Quoique la longueur d 'onde utilis6e soit de loin plus grande que l'6paisseur totale de l '6chantillon, nous avons t rouv6 expfr imenta lement que les surfaces des sp6- cimens homog6nes devaient avoir des (cpics )~ sup6-

rieurs h environ 60 microns pour provoquer une att6ration du coefficient de r6flexion.

La valeur de 60 microns, qui est tr6s approxi- mative, a 6t6 obtenue en 6galant h z6ro la d6riv6e de la fonction donnant le rayon de courbure de l 'expression reliant le degr6 de rugosit6 au coefficient de corr61ation.

5.3. Lignes de t r a n s m i s s i o n .

Avec cette m6thode il y a une source d 'er reur et elle est due, comme dans la m6thode pr6c6dente, h la rugosit6 de la surface de l '6chantillon. Cepen- dant, la surface de l '6chantillon est toujours sup- pos6e gtre h deux dimensions.

I1 est par cons6quent recommand6 que les 6chan- tillons pr6sentent une surface ~ poll optique afin d'61iminer autant que possible la pr6sence d 'air entre l '6chantillon et le di61ectrique d6pos6 sur les 61ectrodes d'entr6e.

CHAPITRE 6

CONCLUSION

Apr6s avoir pass6 en revue les m6thodes actuel- lement utilisables pour d6terminer la r6sistivit6 des couches 6pitaxi6es, nous avons propos6 et d6crit dans ce t ravai l deux nouvelles m6thodes que nous avons utilis6es avec succ6s.

En outre, nous avons propos6 pour la premi6re m6thode deux interpr6tations th6oriques qui ont abouti aux m4mes courbes ; dans la premi6re, les courbes ont 6t6 obtenues h part i r des 6quations de Maxwell alors que, dans l 'autre, nous avons appliqu6 les lois de l 'optique g6om6trique.

Pour la seconde m6thode, nous avons utilis6 la th6orie des lignes de transmission.

Except ion faite pour certaines hypoth6ses indis- pensables, ces deux m6thodes poss6dent de solides bases th6oriques.

Bien que la gamme d'utilisation de chaque m6- rhode prise s6par6ment soit assez limit6e, elles couvrent ensemble une gamme de r6sistivit6s de l0 - a h l0 a ohm.cm et s 'appliquent h des couches 6pitaxi6es pouvant varier depuis 5 microns environ jusqu'h une 6paisseur sup6rieure h celle de l 'effet

- - 27 - -

i8/25

de peau . La mcsure p a r ces deux m6thodes est non des t ruc t ive e t ne n6cessi te q u ' u n e surface de pe t i t e s d imensions .

Nous pr6cisons enfin que la m6 thode u t i l i san t le pon t hype r f rdquence p e r m e t de d6 te rmine r s imul- t a n 6 m e n t aussi b ien ]a r6sist ivi t6 que ] '6paisseur de la couche 6pitaxi6e.

E n vue de con t rb le r l ' e x a c t i t u d e des r 6 s u h a t s , nous avons d6vc lopp6 t h 6 o r i q u e m e n t er exp6r imen- t a l e m e n t une a u t r e m~r capab l e de mesu re r la r6sist ivi t6, de 10 - ~ h i 0 ~ ohm.e ra , dans des 6chan- t i l lons homog~nes .

ANNEXE t

Dans eette patt ie, nous eommeneerons par d6duire et diseuter la profondeur de l 'effet de peau pour la propagation guidde et non-guid6e, l ' imp6dance d 'onde et l ' impddance de l '6chantillon. De eeei nous d6duirons l ' indice de r6fraction et le coefficient d 'affaiblissement qui nous permet t ront f inalement de ddterminer le coefficient de r6flexion.

Les expressions des indices de rdfraction, du coefficient d 'affaibl issement et de la profondeur de l 'effet de peau diff6rent des expressions classiques parce que le mat6riau soumis h l ' examen n 'es t ni un eondueteur id6al ni un di61ectrique parfait , mais un semiconducteur dont la r6sistivit6 varie de plusieurs ordres de grandeur. I1 serait done utile de d6terminer clairement et exactement ces expressions de mani6re h pouvoir les utiliser d 'une fa~on aussi gdn6rale que possible.

A L l E f f e t de p e a u (ondes non-guid6es).

Les 6quations de Maxwell sont gdn6ralement expri- m6es sous forme vectorielle. Cependant nous les utili- serons sons forme scalaire, car la forme vectorielle n 'est pas d 'un int6r~t imm6diat , h une ou deux exceptions pr6s. A cause de cela, les expressions connues sous le nora de premi6re et deuxi6me 6quations de Maxwell appa rah ron t sous la forme de six 6quations.

Le premier groupe de trois 6quations se rapporte aux courants 61ectriques et aux champs magn6tiques en r6suhant ; le second groupe se rapporte ~ la relation entre les champs 61ectriques et magn6tiques. C'est s implement une autre mani6re d 'expriIner la loi d 'Am- p6re et la loi de Faraday sous la forme diff6rentielle,

.-). . + ~ / , J = aE,

"2)"

§ b H + + (2) V A E = - - [ z ~ - , D = z E .

(3)

(a)

(5)

(6)

(7)

(s)

L e s q n e t l e s deviennent :

M'I, 3H~ hE_ aE, + ~-:~-',

~y ~z

~z ~x - ~

bE~ 5H~ 5H= aE~ + r 3x by 3t

bEt 5E~ "bH= by bz ~ bt '

bE= bE~ bH~ ~z ~x - tt -~ - ,

~E~ 5E= ~Hz 3x by ~ 3t

M. B I C H A R A [ANNALES DES T/~L~COMMUNICATION$

A l 'alde de ees 6quations nous pouvons maintenant d6finir les prineipaux param~tres de notre syst6me hyperfr6quence.

Les solutions des 6quations (3) h (8) donnent l 'expression de ]a propagat ion dans une direction arbitraire de l 'espaee, mais puisque nous savons que cette propaga- t ion se fait suivant l ' axe z et que nous avons affaire h des variat ions sinusoidales par rappor t au temps, toutes les d6ri~6es par rapport an temps peuvent ~tre 61imin6es. Ceei _peut 8tre d6montr6 en remplagant H par Ho| ~ et E par Eel ~ off H e t E sont des fonctions des coordonn6es de l 'espace seulement et sont ind6pendantes du temps.

~E Dans Ies 6quations de Maxwell, la d6riv6e r

~t

~E e m = ] o ~ g et,,,t peut done ~tre remplae6e par ~ / et l e s

termes exponentiels peuvent gtre 61imin&. Consid&ons main tenant la propagat ion dans laquelle

la seule composante /~v du champ 61ectrique est pr6- sente, c'est-h-dire la propagat ion d ' u n e onde polaris6e lin6airement. Ceci implique que E| = E~ = 0, toutes les autres composantes 6rant inehang6es. Les 6qua- t ions (3) ~ (8) deviennent,

0, ~y (9) 5x

(10) 5tlz 5Y

t1~ (~) ~:

(~2) ~E~ bx

~'~ o, ~z

~x

= - - jco$0 1/~,

03) J : ~ - 3z -- J~z~ l/x'

(16) 0 = --jco~z 0 11 v.

Les 6quations (10) et (16) montrent que H~ = Hz = 0. En diff6reneiant l '6quation (t2) par rapport h x,

l '6quation (13) par rappor t ~ z et en subst i tuant dans l '6quation ( l i ) , nous obtenons :

I 32'~v t 3 ~ E v ~. (~ + jo~r

j~otZo 5z 2 ]o)~. o ~x 2

c'est-h-dire,

(15)

o~ :

b 2 E U b ~ E~

La solution de l '6quation (15) donne :

E~ - Ae--v ~ sin mnxla,

et puisque le mode de transmission implique que m = i , nous obtenons :

(16) E~ = AO--'~ ~ sin ~xla,

oh

(17) V ~ V(~/~) ~ - o,'~ ~o ~.

est une eonstante, eonnue sous le nom de eonstante de propagation.

" " n L equatlo (t7) montre que y peut ~tre r6el ou imaginaire suivant que (rcla) z e s t plus grand ou plus peti t que co z &o- Puisque nous consid6rons la propagat ion sans affaibhssement, y dolt 6tre imaginaire, d'ofi

, l = = + j ~ = 0 + j~ ,

2 8 - -

t . 20 , n o~ 1-2, 1965] . . . . R E S I S T I V I T E D E S C O U C H E S E P I T A X I E E S

ee qui donne :

(18) ~ = V~~ ~'o z -- (~]a) 2.

6tant r6el et exprim6 en radians par unit6 de lono gueur du guide d 'onde. 0t d ispara i t en supposan t le guide consti tu~ par un condueteur parfa i t .

Le fair que ~ ~o r doive ~tre plus grand que (g la) ~ pour que ~ soit r6el signifie que le guide ne peut t rans- me t t re que des fr6quenees sup6rieures h une eertaine fr6quence-l imite [~. Cette fr6quence /~ est appelde fr6quenee de coupure e t e s t donn6e par :

(19) r176 ~'0 ~ = (n/a) ~,

c 'est-h-dire

L = 1 / 2 r: V ~ .

Puisque le milieu pr6sent dans le guide est Fair , sa cons tan te di61ectrique est %, et 1 I([~o r ~ = c, c ~tant la vi tesse de la lumi~re, de fa~on que :

/~ = cl2a ,

(20) )'c = 2a.

Les dimensions du guide d 'onde qui a 6t6 utilis6 sont t ,88 x 3,76 mm (a = 3,76 mm), la fr6quence sachant 70 GHz et le mode de propaga t ion TE~o , de sorte qu 'on r~elle, obt ient d apres 1 equatmn ( 8 ) ,

= ~ 204,7 radians/m,

e t d'apr~s l ' 6quadon (20),

X c = 7,52 mm,

/c = 39,89 Glfz.

NOUS pouvons ma in tenan t obtcnir une expression de la profondeur de l 'effet de peau h pa r t i r des 6quations de Maxwell, exprim~es en eoordonndes reetangulaires, en me t t an t E= = Ez = 0 et Hu = Hz = 0 h la surface. La solut ion de l '6quat ion (16) peut ~tre mise sous la forme :

(2t) Eu = Ael~z.

Pour d6terminer la par t ie rdelle et imaginai re de k nous 6crivons :

j 6 ) ~ - - r ~ ~t~ = a ~ + 2jg~ -- ~2,

o~ 2 ~ z - - j ~ o ~ o = [3 ~ - - ~2 __ 2 j ~ ,

d'ofl :

partie r6elle co 2 p~r = ~ -- 0r 2,

partie imaginaire canto ~ 2cr

~ = (~o~ t~2 ~21~,~2) _ o~2 ~ ,

~x 2+ 4o) 2 ~ z x - ( o ~ ) ~ = 0, si ~2 = x,

en r6solvant | '6quat ion quadra t ique ci-dessus, nous obtenons

(~2) +

Si on consid6rc la profondcur de t 'etfet de peau comme la profondeur ndcessaire pour que Eu dderoisse jusqu'h

le de sa valeur initiale, on obt ient "

(23)

C'est l 'expression de la profondeur de l 'effet de peau pour une onde plane,

A1.2 lr d e p e a u (ondes guid6es).

D'apr6s l '6quat ion (18) nous avons

k = V ~ o e - 7: ~ I - ~

mais ~or = 11 c2, ce qui donne "

off ces t la vitesse de la lumi~re ; mais, si nous consid6rons l 'onde se p ropageant non pas dans le vide mais dans un semicondueteur, nous devons remplacer c par v = t/(tz o z --J%t01o~)v~ nous obtenons alors :

= to2 tto~ -- (n2la2) -- jcootz o,

mais nous savons que k = ~ - - j ~ d 'oh k 2 = ~2__0~2__2j~

en dgalant les part ies r~elles et complexes, nous obtcnons,

~2 __ ~2 ~ ~ 2 ['1"0 r - - ~21 a2,

que Xt = 2a, nous obtenons pour la pa t t i e

~ = - ~ = . ~ [ z 2 _ q , o~ ~ = l l h ;

et si nous posons

nous obtcnons :

( 2 5 ) ~3 '2 = ( 2 n 2 ] k ~ ) [V(x 2 - - 1) 2 -4- x 2 1 TM + (X 2 - - '1)] .

De nouveau l ' inverse de ~' donne la profondeur de l 'effet de peau :

Nous obtenous done les deux 6quations :

/ 4 v ,onto ~

/ / 2 n 2~ (onde gui- 81/ = l fV ~_e 2 [V(x2__ 1)2 § x 2 r 2 - ( x 2 - I ) 3 , d6e).

et on peut d6montrer que 8' tend vers 8" quand x tend VCFS oo.

A 1 . 3 I m p 6 d a n c e s .

Le coefficient de r6flexion est une fonction de la diff6- fence entre deux imp6dances, celle que l 'on peut appeler imp6dance d 'onde et celle de la fin du guide, il est done int6ressant de d6terminer les expressions de ees deux imp6dances.

A I . 3 . 1 I m p d d a n c e s d ' o n d e s .

En d~pit de l ' analogle entre une l igne de t ransmission et un guide d 'onde, la quant i t6 d6finie comme imp6- dance caractdris t ique de la ligne n 'a pas d%quivalent dar t s le cas du guide h cause de l ' absenee de conducteurs dans ee dernier. Mais puisque les tensions et les courants darts un guide d 'onde sont en r appor t constant , on peut d6finir une imp6danee intr ins6que qui est caraet6rist ique du mode de p ropaga t ion des ondes ~lectromagnStiques. On l ' appe l le (( imp6dance d 'onde ,).

- - 2 9

20/25

La diffdrence entre l ' imp6dance caract6ris t ique d 'une ligne et l ' imp6dance d 'onde d 'un guide est que la premi6re est fonction des caract6rist iques de la ligne tou t en r e s t an t ind6pendante des param~tres des ondes 61ectromagn6tiques qui s 'y p ropagen t ; par contre la deuxi6me est fonction des ondes 61ectromagn6tiques comme aussi des caractdris t iques du guide.

En raison de la vari6t6 des fa~ons dont l ' idde d ' impddance d 'onde est pr6sent~e dans les divers ouvrages (Shelkounoff, Terman , Montgomery) et de l 'u t i l i sa t ion de ce param6tre dans ee t ravai l , il est pr6f6rable de d6terminer la formule dormant l ' imp6dance d 'onde en fonction des param6tres qui nous intdressent.

La solution de l '6quat ion (15) est :

(16) E v = Ae--v , sin (nxla),

oh la eons tante A d6pend de l ' amp l i t ude d'exci~ation. Des 6quations (t3) et (t6) on a :

1 5E v (28) H:e Jto~o bz

= j Ay~ e_vZ sin (=~/a), toF-o

et on a vu plus haut (voir 6q. 14) que H~ est nul. Nous passons m a i n t e n a n t au calcul des valeurs abso-

lues de ees param~tres . Pour ceci il est n6cessaire d%crire les termes dans leur

forme complete. De l ' 6qua t ion (16) on a "

(29) E u = Ae--|~z eliot sin (nxla),

= A [cos (tot -- ~z) + j sin (tot -- ~z)] sin (nx]a).

et de l '6quat ion (28),

(30) H= = j jA{3 e_|~ z e|ot sin (nxla), to[z0

A~ [cos (tot -- ~z) + j sin (tot -- [bz)] sin (~:x]a). o

Or il est 6vident que nous avons les expressions pour la diff6rence de potent ie l m a x i m u m t ransverse Ev au centre du guide et pour le courant longi tudina l bas6 sur la valeur maximale de Hz.

Ceci est analogue ~ une l igne de t ransmission ayan t les ills correspondants h la pa t t i e sup6rieure et inf6rieure du guide.

Puisque les unit6s fondamentales de H e t E sont r espect ivement amp6res par m~tre ct volt par m~tre, nous obtenons imm6dia tement une expression pour Z 0 (= V I I ) h par t i r des 6quations (29) et (30).

I1 s 'ensui t que si l 'on divise l%quation ~29) par l '6qua- tion (30), on aura l 'express ion de l ' impddance caract6- r is t ique cherch6e, c'est-'~-dire,

(31) Zo = o)t~o/{3~.

I~tant donn6 que :

~ , = v ' ( t o l ~ ) 2 - ( ~ I " ) L

et en r epor t an t cet te valeur dans l '6quat ion (31) on a "

(32) Z. = , /~7 ~ , / 1 ~ ~ ~0~ 2

w ~ o l v

M. B I C H A R A . [ANNALE$ DES Tf~LI~COMMUNICATIONS

discontinuit6 d ' impddances. Nous nous int6ressons ici l 'expression donnan t la valeur de l ' imp6dance du mat6- r iau en fonction des param~tres et variables n6cessaires

notre t ravai l . A par t i r des 6quations de Maxwell on a :

b 2 E v 3z2 = k2Ev, si k z = j to~(z+ j to r

dont une des solutions es

(33) E v = Ae~z r f~z).

Pour avoir a composante Hz nous uti l isons l '6qua- tion (14),

tot~ 5z c'est- 'h-dire

(3f,) n ~ = - - - - top 5z

J [Aeaz jt3ei(tot+ + el(~t+ ~z)],

Aeaz = - - i ~ [~ + i[3] ei(~t+~z),

A eaz =- [~3 --jcc] el(tot+{3z).

top

Par Ie m~me ra isonnement que celui fai t pr6e6dem- ment, on peut d6finir l ' imp6danee eomplexe par le rapport de la composante E~ a v e c l a composan te Hz.

On aura ainsi :

Eu AeOtz ej(~t+ ~z) z = tt~ = (Ae=,lo~tz) [t3 -- j= ] eJ(~t+ ~,)'

(35) z = t o ~ / ( ~ - J ~ ) -

A 1 . 4 Indices de rd?raction et d'extinction.

A par t i r des 6quations de Maxwell (t) et (2) et en sup- posant le milieu isotrope, doric V . E = 0, on a :

-+

v A v A ~ b ~-+bv~ - ~ t (J ~ / f

ce qui fait �9 --~ -.-).

+ 52 E bE (36) V 2E = V , r + [~ ~-"

Supposons qu 'une des solutions de (36) soit :

E = E o e lr

et que la direction de propagat ion des ondes soit suivant l ' axe z, on aura :

-->

bE . n 5~" = - - ] toc E~ el,o(t-,~/~),

bE = jtoE ~ el~olt-~lc), 5t

A 1 . 3 . 2 lmpddance d'dchantillon.

La pr6sence d 'un mat6r iau clans un guide d 'onde .produit une r6flexion des ondes qui s 'y propa~ent sl sa cons tan te di61eetrique ou sa conductivit6, ou routes les deux sont diff6rentes de celles du vide.

Par cons6quent cet te discontinui t6 de param~tres physiques peut ~tre reprdsent6e 61ectriquement par une t~ = t~o

(37) - 0) 2 n21 c2 = Fzjto -- Fzto2.

Or on salt que :

~r, ~ = % ~ , c 2=11t~o%,

b2E

5z 2

b2E 3t 2

En ut i l i sant ces

n2 Eo eJo~(t-n~lc), - - = - ( o ~ 2 ) c ~

to2 Eo ej~o(t-,'-I~).

valeurs dans l '6quat ion (36) on au ra

- - 3 0 - -

t. 20, n ~ 1-2, 1965]

mais ~x~ = I aux hyperfr6quences donc Fo = ~, ce qui donne pour I 6quation (32),

(a8) ,~ = ~ J ~,lo,~o.

Si on suppose que :

(ag) , = ~ - Jz,

on aura :

n~ = ~ ' _ Z 2 - 2 j r X,

cc qui fair, en 6galisant los parties rdelle et imaginaire :

(~,0) ~', = "0 2 - Z 2,

(~1) ~/~So = 2v7.,

oh v e s t l 'indice de r6fraction el, Zes t l'indice d'extinc- tiom

A 1 . 5 C o e f f i c i e n t d e r d f l e c t i o n .

On salt que le taux de r6flexion pout ~tre mesur6 expdrimentalement par le rapport des amplitudes des ondes r6fldchie et incidente, et pout ~tre calcul6 par une expression analogue & cello de Fresnel :

(~2) B ~ - - Z e I Z I - - n 1 + Z~IZ I + n

I1 est 6vident, done, que tant du point de rue math& matique que du point de vue physique on aura :

(43) n = Z ~ I Z -

En portant les expressions (31) et (32) dans (43), on obtient :

n = Z~ (13 - j ~ ) h o g ,

Inais t)uisque n - v - - ]Z, on aura,

0 5 ) ~ = ~Z.lo,~, ( ~ 6 ) z = ~zdo~..

Par eons6qucnt lc coefficient de r6tlexio, exprim6 cn coordonn~es polaires sera :

B = r ~] ~ iX~ I 5Z t- v] 2 + ~ arc tg 1 v: z § Z2.

A N N E X E 2

Considdrons trois milieux homog6nes et isotropes 0, 1, 2 (fig. A2-1) sdpar& par dcux plans parall~les distants entre eux de (( dl)). Le milieu de gauche 0 est le vide ; los milieux I et 2 ont une eonduetibilit6. 61ectrique finie

0 1 2

~ l /1, Pz _- , q %

Fro. Aa-l. ~ R6tlexion d'une onde 61ectromagn6tique par un milieu di61eetrique.

ou nulle. Une onde dlectromagndtiq~ue plane arrive sur la face 0-1 de la eouehe h faces parall61es sous un angle d'incidence 0. Son champ 61ectrique est normal au plan d'incidence, c'est-h-dire h polarisation parall61e. Nous

nt~sisTivrrl~ DES COUCHES t~PITAXlI~ES 21/25 proposons donc de d6terminer le champ 6lectrique et le champ magn6tique en tout point de l'espace, et de trou- ver une expression pour le taux de r6flexion de l 'ensemble.

Pour r6soudre le probl6me, nous chercherons une solution des 6quations de Maxwell compatible avec los conditions aux limites. Celles-ci sont que los compo- santos tangentielles du champ 61eetrique et du champ magn6tique soient continues & la traversde des disconti- nuitds, c'est-h-dire, ici, des deux faces de la lame h faces parall6les. Nous admettons l'unieit6 de la solution ainsi ddterminde. En suivant le raisonnement qul sort l '6tablissement des formules de Fresnel, nous trouvons alors que le champ 61ectrique est par tout normal au plan d'incidence, puisque l 'onde r6fl6ehie par la face 0-t de la couche est plane, l 'angle de r6flexion 6rant 6gal l 'angle d'incidence 0.

Faisons choix d 'un syst6me d'axes cart6siens rectan- gulaires Oxyz, le point 0 6tant situ6 sur la face 0-t de la lame, le plan xOy 6tant le plan d'incidence, l 'axe 0z normal & la lame, dans le milieu 0. L 'axe Oy est normal au plan de la figure et dirig6 vers l 'observateur.

Dans cos conditions, nous mettrons le champ 61ectri- que incident sous la forme :

(I) E = exp [ - - jk o (x sin 0 -- z cos 0)],

off: ko = col c = 2niX,

X -- longueur d 'onde dans le vide. Pour l 'onde rdfl6chie, le champ 61ectrique sera :

(2) E = R exp [ - - jk o (x sin 0 + z cos 0)],

B 6rant un coefficient complexe. I1 est 6vident que, pour les conditions aux limites

&ablies dans cette partic-ci, ]R] doit obligatoirement ~tre inf~rieur ou ~gal h 1.

t~tudions la propagation dans les milieux t e t 2. Les ~quations de Maxwell, en r6gime sinusoidal s%crivent :

,-> -~

(3) V A H = (joz + z ) E,

(4) V A L' = - j ~ if,

d 'oh

a v c c

V A V ~ , E - - k 2 E = O,

~ ( k ) > 0, 3(k) < 0.

D'apr~s une relation connue du calcul vectoriel, nous a v o n $ :

(7) V A V A E = - - V 2 E § V(V.E).

Or, los milieux n ' 6 t a n t pas chargds,

(8) div E = 0,

d'ofi l '6quation de propagation :

(9) V 2 E + k2 E = O,

qui se r6duit 'h une 6quation scalaire, en ddsignant par E la composante E~ = E 2 :

(10) V ~ E + k 2 E = 0,

soit : (11) )-~E ~ E + ~a:' + -~:i- h "2 E = 0.

Reeherehons unc solution de (11) & variables s6pardes :

(12) g( . , ~) = q . ) g(z).

- - 3 1 - -

On aura A la place de (11) :

(~3) i " g + l g " + k~ ig = o,

ou :

( t 4 ) - + - - + / ~ = o, / soit :

M. BICHARA [ANNALES DES TL*LL.'COMMUNICATIONS

Expr imons , pour z = 0, la cont inu i t6 de la composan te t angen t i e l l e H~ du champ magn&ique . E n raison de (28), (29) et (30), nous au rons :

J L - n - - - - c o s 0 + cos 0 = - - - - ( B - C), it o c [z o c F-~ o

[u ig . \ (15) ~ - = - - ~ - A - k ~) =cons t an t c = --~t 2,

d ' oh les 6qua t ions :

/" + ~ / = 0, et

g " + ( k = - ~ ) g = 0 ,

d e n t la so lu t ion par t icul i6re est :

(18) [ = ej=~, g = e|Vl~---Uz.

Pour satisfaire au x condi t ions au x l imites, nous choisirons

(19) ~ = - - k 0 sin 0.

Nous avons a insi 1 'expression de E dans le mi l ieu t :

(20) E = e - J ~ r tsin0 (BeJSz + Ce-J~Z),

avec

(2t) ~ = Vk i - - k ~ s i n s0 , [a(~) > 0,~([~) < 0] ;

et dans le mi l i eu 2 :

(22} E = De- l (~ ln0 -vz ) ) ,

a v e c

(23) y - . V ' k I - - k ~ s i n ~0, [ a (y ) > 0 , 3 ( y ) < 0].

La composan te Hx = H I (composan te tangent ie l le ) d u c h a m p m a g n & i q u e est donn6e pa r l ' 6qua t i on de Maxwell (4) :

bE z ~E v "bE --J~ = 3z ~y bz' (26)

soit

(25) j bE

Nous t r ouvons ainsi , pour l ' onde inc iden te :

H i k~ - - - - c o s 0 e-Jko(~in0-zc~ o)~t o

(26)

Or,

(27)

(33)

OU

ko o~ V~o r _ / % t V ~z o c' cO[~o CNXo ~o = - -

d ' o f i , p o u r l ' o n d e i n c i d e n t e :

(28) I I , = -- (1/Y-o c) cos 0 e-J~o(~sin0-zcos0),

et pour l ' onde r6fldchie :

(29) H t = (1 [Y.o c) ( os 0 e - j~-o(xsin0 + zeos0).

Soit pour le mi l ieu I :

(30) l /z = -- (~l~t~x) e-l~.~i,~o ( B e ~ - ('e-it3z),

et pour le mi l ieu 2 :

(3t) Hx = - - " : 1 r

Expr imons les eondi t ions au x l imit es, valables pour z = 0 et z = - - dr, quel que soit x.

Pour z = 0, expr imons la eon t inu i t6 du ehamp dlec- l r ique. E n v e d u de (1), (2) et (20), nous aurons :

(32) I + H ~ B + C.

(34) B -- C = o)t~ cos0(l -- R)/t% ~c.

E x p r i m o n s m a i n t e n a n t les condi t ions aux l imites pour z = - - d~, quel que soit x. E n ra ison de (20) et (22), il v i en t :

(35) Be-j~d~ + Cejgd~ = De-ITd,,

et, en v e r t u de (30) et (3t)

(36) --~--~---(Be-j~d, -- Cej$d,) = -- "-~( De-JY,h. ~i ~

Pour d& erm ine r les qua t r e coefficients inconnus , R, B, C et D, nous averts h r6soudre le sys t6me alg6brique l in6aire de 4 gquat ions h 4 i n c o n n u e s :

(37) B + C = I + R,

(38) B - - c = , o ~ ~o~O(~ - ~ ) I ~ o ~ ,

(39) B e - l i ~ + C e l ~ = De-lYa~,

(40) B e - i N , - - C e l i a , - u D e - i r a , .

De (37) et (38), nous t i rons :

(41) 2B = I + R q (aiz~c~ 0 ~0 ~ (~ - ~ )

(:,2) ':c = 1 + B

~oC~ + I + ~oC~ ,

oixl cos 0 (1 - R) ~o c~

= B ( I ~ -0)~1cO$ q) 0)[s COS 0 t%c~ + 1 - - ~oC~

E l i m i n o n s D entre (39) et (40) ; il v ien t :

"~1 (Be-l~dl + Ce|~a,), (43) n e -3 ~a , - CeJ~a, =

OU

(64) B -- Cej2~d, = (YY-iI~2) (B + Cel2~d,).

Remplar dans (44), B e t C par les expressions (41) et (42) ; nous aurons :

(45)

n ( l - o ~ cos 0 ) + I + ~ c o ~ 0 ~o c~

- [ R ( I + ~ 1 cos 0 ) + 1 - r cos 0] e|2~a, ~o c~ ~o c~

"(~Llt ( (O[s ) EO~L1

q- [ R ( I + r c o s 0 ) + I -- ~ cos 0] ei2Da, I.

Pogons caix 1

A = t - cos0, ~ = 1 + ~ c o s 0 ,

C = ej2~a,, ~) = y t z ~ / ~ ~.

On t i re alors de la fornmle (45) :

�9 R = - A e [ i + ~ ] - ~ [ t - ~]

3 2 - -

t. 20, nO~ 1-2, 1965] R~SISTIVIT]~ DES COUCHES EPITAXII~ES

Si 0 = 0 et d I = 0, on obtient :

1 -- kolk2 If "1 4- ko lk ~ off, cos 0 -- kolXg,

et si 0 = 0 e t d 1 ~ c r

I -- ko lk z R = "1 T kolk z" off, sin 0 = ko/ka.

On retrouve bien les expressions classiques de la formule de Fresnel lorsqu'il n 'y a plus que deux milieux en pr6sence.

ANNEXE 3

De la figure 18 nous avons

Z = r + j x ,

tg �9 = x l r ,

et de la figure t9 :

l 1 I B ' + jX ' 2 - ~ + iX ' IR 'X '

d'ofl

Z

el tg' �9 = tg �9 = B ' / X ' ,

l R ' x ' I R ' x ' (~' - i x ' ) R ' X " + IR" X ' R' 4- IX ' }f,2 4- X,2 /if2 4- X'2 '

= r + j x .

Par consdquent :

I f fX '2 B ' X ' 2 ] X ' 2 "l l ' r t~ '~ 47 X '~ I~'2[X '2 4- X ' 2 l X '2 = ]{' tg 2 (Tp 4-

et pout' la partie imaginaire nous aurons :

t~ '~ X ' R'21X'2 = X ' tg 2 (I) x ~,2 + X ,e - X , B , ~ I X , 2 + X , = I X , e I g 2 O + 1"

Ce qui donne :

B' = r(lg 2 0 + I),

X ' = x(lg2 ~ 4- l ) / tg2 ~.

Mais.puisque tg (I) = xlr , en faisant la substitution n6eessalre nous aurons :

B' = r{x2lr 2 + 1),

X ' = ( x 2 + r 2) [ x

A N N E X E 4

Les symboles utilis6s dans la suite, pour les calculs, sont ceux de la figure 24.

Pour aborder le probl6me du r6seau de la fa~on la plus simple nous devons t ransformer les deux r&eaux 6toile parall61es en deux r6seaux triangle parall61es 6quivalents. *

Dans ce but nous utilisons la t ransformat ion 6toile- triangle bien connue, que nous illustrons h la figure A r l .

L'identit6 repr6sent6e figure A4-~ lient dans les 6qua- tions : ~,

Y1 Y2 Y1 Y3 Y12 Y1 4- Y2 -[" Ys ~ YI3 =-y1 4- Y2 + Ys ~

Y2 Y3 Y~s = y~ + Y2 F Ya

Dans ces formules Y repr~sente l'admlttance. Consid6rons d 'abord le circuit qui implique Cz, Ca, R, ~ ~

de la figure A~-2.

- - 3 3 - -

23/25

i

3 o t 03 3o ~3

FIG. A,-I . Transformation d 'une cellule en T e n cellule enKI.

C L R

~ - ~ c ~ ~ ~ - ~

i o

Fro. At-2. Sch6ma 61ectrique de la premi6re ceilule en T.

a) C1, C4, R &ant donn6s on t rouve :

1 ]BX~ 1 Yzz I 1 1 X + R 4- R X d i 4'

~ +~+ x~ z~,-R[, +cc-:] +x.

1 IX I X 4 I Y l s 1 1 1 X, X~]I{ + X 4 + X, ~+~+~

Yss = 1 [ R X 4 1 1 1 1 R -~+~+~ x,+X,x +~

Z . = X 4 I + ~ + R

La figure A t 3 repr6sente alors le circuit 6quivalent. b) C~, C a, C, L, R1, &ant donn6s, on t rouve YI~, Yzs,

Y23 (fig. At4) .

(' /[ , ,)] = t x ~ + x , + x ~ x s ( ~ + 2 ~ L + N ,

l~.[

I T

4L

R

O

FIG. A4-3. Sch6ma 61ectrique cor respondant la premi6re cellule en II.

II l t - - ~ *

c )LT Fza. A~-/~. Sch6ma 61ectrique de la deuxi6me cellule en T.

,~

---I

24/25

~ , , = ~ E + ~ + ~ ~ + ~ + E + ~ +

= ~ - ~ + ~ + ~ + E + x , E + ~ + ,

- R E + ~ + ~ + E + x , E + ~ + ,

]hi. B I C H A R A [ A N N A L E S D E S T ~ L ] ~ C O M M U N I C A T | O N $

suivantes, pour la partie r6elle et la partie imaglnalre :

~o = I IC~ C~ I~ R(~ + C~ IC~),

En rgsolvant (l) pour R et (2) pour ~L on obtient les ~qvations du texte principal.

Manuscrit re~u le 4 [~vrler 1965.

par cons6quent les imp6dances seront :

--'1 1 t

z,~ - l~zo [ l + C, lC~] + x~, ,/(1 ,) z~, - n~o 0 + C, lC,] + x , . ~L~ = ~ + ~-~ + 2 "

La figure At5 repr6sente alors le circuit fiquivalent. Par la suite comhinant le circuit de la figure Ar aver

eelui de la figure At-5 nous obtenons eelui de la figure At6, qui est le circuit total fiquivalent du circuit de la figure 24.

C * c * ~ JC~CR

% c

Fro. A4-5. Sch6ma 61ectrique corres_pondant b la deuxi6me cellule en II.

c 2 c, t - I

, ~ .~ ] o. o

r Y __L i r

~- o

FIG. A4-6. Sch6ma 6lectrique corres I~ondant b la superposition des deux cellules en 11 consid6r6es.

II est facile de voir, ~ l'arrangement de la figure At-6, que darts des conditions sp~cifiques, il y aura un affai- hlissement iufiniment grand pour une fr6quence donnSe, celle pour laquelle l'imp~dance de la branche horizon- tale devient infiniment grande.

C'est le cas off la somme des deux imp6dances horizon- tales est nulle.

Par suite l'6quation suivante sera applicable :

[ C.] C~+C.+C |~0 c-----~ + R ~ + ~ ~ i~o c~ c~

1 1 0.

jo~o 8 C zCaL r zC aB I

S6parant la pattie imaginaire de la partie r6elle nous obtenons :

[ C. ] ~ O, (partie r~el- 0) R t + ~ ,o~ C2 C. n~ le),

2) 1 + C 2 + Ca+ C 1 {pattie ima- r o C~ " ca~ C 2 C s ~ C , Ca L O, ginaire);

tandis que la fr6quence dolt satisfaire aux condi t ions

BIBLIOGRAPHIE

[ t ] B~NEDICT (T. S.), SItOCKLEV (W.). Microwave observation of collision frequency of holes in germanium. (Observation en hyperfr6quences de la fr6quence de collision des trous dans le germanium.) Phys. Bey. U. S. A. (15 sept. 1953), 91, pp. 1565-t566.

[2] GIBSON (A. F.), Progress in semiconductors. (Pro- gr6s dans les semiconducteurs.) John Wiley et Son, Inc., New York (1957), 2, pp. 229-245

[3] RA~SA (A. P.), JACOBS (H.), BRANDT (F. A.). Microwave technique in measurement of life- time in germanium. (Technique en hyperfr6- quences pour la mesure de la dur6e de vie dans le germanium.) J. Appl. Phys. U. S. A. (juil. 1959) 30, pp. 1054-t060.

[4] NAG (B. R.), Roy (S. K.), Microwave measurement of conductivity and dielectric constant of semiconductors. (Mesures en hyperfr6quences de la conductivi% et de la constante di6tectrique dans les semiconducteurs.) Proc. I. B. E. U. S. A. (f6v. 1954), pp. 690-427.

[5] YALDES (L. B.). Resistivity measurements on germanium for transistors. (Mesure de r6sistivit6 du germanium pour transistor.) Proc. I. B. E. U. S. A. (ddc. t962), 50, pp. 2515.

[6] BATIFOL (E.), DURRAFFOURG (G.). D6termination du coefficient de diffusion de l'arsenic dans le germanium par mesure de la tension thermo- 61ectrique. J. de Physique et le Radium (Phys. appl.) Fr. (nov. t960), 21, pp. 207A-2t6A.

[7] S,~ITZ (F.). Modern Theory of solids. (Th6orie moderne des solides.) McGraw-Hill, N. Y. (1940), 698 p.

[8] FAN (H. Y.). Solid state physics. (Physique de l'6tat solide.) voh 1, Acadgmie Press Inc., New York (1955), p. 284.

[9] GEBALLE (W. H.), HULL (G. W.). Seebeck in germanium. (Effet de Seebeck dans le germanium.) Phys. Rev., (juin 1956), 94, n ~ 5, pp. 1t36- U. S. A. t140.

[10] BIARn (J. R.), WATrrSKI (S. B.). Evolution of germanium epitaxial films. (Evolution des couches 6pitaxides de germanium.) J. o~ Electrochemical Soc. U. S. A. (ao6t 1964), pp. 705-709.

[it] Bl~owNsor~ (J.). A three-point probe method for electrical characterization of epitaxial films. (Mdthode utilisant une sonde ~ trois points dans la caract6risation 6lectrique des couches dpi- taxi6es.) J. Electrochemical Soc. U. S. A. (aofit 1964), pp. 649-653.

[t2] THEUERE, (H. C.). Epitaxial silicon films by the hydrogen reduction of SiCla. (Formation des couches dpitaxi~es de silieium par la r~duction par l'hydrog6ne de SiCla.) J. Electrochemical Soc. U. S. A. (juil. t961), pp. 919-959.

[t3] JAcoBs-(H.), B~,r~nr (F. A.), MEINDL (J. D.), Wmwz (S.), BENJAmN (R.). New microwave techniques in the measurement of semi-conduc- tor phenomena. (Nouvelles techniques en hyper- fr6quences pour la mesure de ph6nom6nes darts

34 - -

t. 20, n ~ 1-2, 1965]

les semiconducteurs.) 1. R. E. Con~ention Record, Part. 3 U. S. A. (1962), pp. 30-42.

[ t4 ] BICItARA (M. R. E.), POITEVlN (J . P. B.). Mesure de la r~sistivit6 des couches 6pitaxi6es semi- conductrices par r6flexion d'une onde 61eetro- magn6tique hyperfr6quenee. Congress on precision electromagnetic measurements, N. B. S. U. S. A. (23, 25 juin 1964).

[15] W~XTHErBUaN (C. E.), Mathematical statistics. (Statistiques mathgmatiques.) Cambridge Uni- versity Press. London (1952), p. t88.

R E M E R C I E M E N T S

Je vou&'ais remercier ici Monsieur M. Mgnoret, Ingdnieur des tdldcommurtications, dortt l'assistance me jut tr~s utile.

RESISTIVIT]~ DES COUCHES I~-lalTAXIEI~S 25/25

Le Docteur I. Franke et M. Jacques Lantieri, Ingdnieur err che[ des t~ldcommunications, qui diri- g~rent successivemertt le D@artement (t Physique- Chimie-Mgtallargie~ ont bien voulu m'accueillir darts leurs laboratoires au Centre National d'l~tudes des Tdldcommunications. Ils m'ont permis de rdaliser ce travail dans les meilleures conditions matdrielles : qu'ils trouvertt ici l'expression de ma gratitude.

Je remercie M. Poincelot, lngdnieur en che[ des Nl~commurtications, pour nos discussions [ructueuses sur l' dlectromagndtisme.

Je tiens aussi ?t remercier M. J. P. R. Poitevirt, Irtgdnieur des Nlgcommunications et M M . R. Nurdin et R. Guillaume du D@artement Transmissions qui ont pris une grande part ~t certairts aspects exp$rimentaux de ce travail, et M. J. F. Le Hi t pour m'avoir tr~s souvertt aidg pour la rddaction de ce texte

err [ranfai~.

COMPTES RENDUS DE LIVRES

lu mimqww, u/illtm~.J'gT///yd~////fzj~///7/.~fj, g / f ~ ~ j f / / ~

Les m 6 t h o d e s de t r a n s f o r m a t i o n dans l ' a n a l y s e

des s y s t 6 m e s l in6aires *

de J. A. A S E L T I N E

I1 s'agit d'un expos6 des transformations de Laplace, de Fourier et de Mellin, et de leurs applications aux syst~mes 61ectriques, m6caniques ou thermiques lin6ai- res. En outre, il est fait usage de l'analyse de Fourier

propos des ph6nom6nes al6atoires, ou bruits, toujours dans le cas de syst6mes lin6aires. Le livre, ~ l'usage des ingfnieu.rs automaticiens d6butants, est simple, clair, eL d'un mveau math6matique 616mentaire. Lorsque l 'auteur juge qu'une d6monstration sort du cadre de |'ouvrage, il ne manque pas de renvoyer le lecteur ~ des trait6s d'analyse, qui pr6sentent route le rigueur d6si- rable. Ainsi qu'on le verra par la lecture de ce compte rendu, les th6ories et les applications alternent au cours des chapitres successifs.

Les chapitres I e t 2 concernent les propri6t6s plus simples de la transformation de Laplace, qui sont appli- qu6es, au chapitre 3, ~ la c~ fonetion impulsion ~, c'est- �9 h-dire ~ la mesure de Dirac ; puis aux chapitres 4 et 5, h l'6tude des r6seaux 61ectriques, d6compos6s en mailles et en nceuds, ce qui fair intervenir la repr6sentation matricielle. L'dtude est faite en r6gime sinusoidal et en rfgime transitoire. Au chapitre 6, il s'agit de syst~mes m6caniques lin6aires. La m6thode de Laplace est appli- qu6e aux 6quations de Lagrange dans le cas du gyros- cope, puis des poutres.

Le chapitre 7 se rapporte ~ la transformation de Laplace inverse ; il y est fait usage de la m6thode des r6sidus.

Au ehapitre 8, nous trouvons exposges un certain nombre de propri6t6s des transform6es de Laplace : d6calage

dans le temps, ehangement d'6chelle, transform6e d'un produit de fonctions, int6grale de convolution, th6or~me de Borel, application aux 6qnations aux d6riv6es partielles, h l'int6gration, ainsi qu% plusieurs fonctions sp6ciales usuelles : fonctions de Bessel, de Laguerre, sinus int6gral.

Les d6veloppements th6oriques qui pr6e~dent sont appliqu6s, dans les chapitres 9 et 10, aux syst~mes lin6aires 61ectriques on m6caniques. En particulier, les syst6mes lin6aires r6trocouplSs sont 6tudi6s, avec quelque d6tail, par la m6thode bien connue de Nyquist, relative ~ la stabilit6 des syst6mes h r6aetion, ~ l'amor- ~age des oscillations, ainsi qu'~ l'am61ioration des pro-- pri6t6s des amplificateurs par l'emploi de la r6action n6gative.

Le chapitre 11 traite de la r6solution des 6quations aux d6riv~es partielles par la m6thode de Laplace, dans des cas classiques ; cordes vibrantes, transmission de la chaleur, ligne 61ectrique sans dissipation. Les chapitres 12 et 13 sont consacr6s aux propri6t6s 616mentaires de la s6rie et de l'int6grale de Fourier.

Les chapitres 14 et 15 se rapportent aux ph6nom~nes al6atoires et aux fonctions de corr61ation. Le chapitre 16 traite des 6quations aux diff6rences finies qui inter- viennent dans les structures it6ratives, relies que ceUes des filtres 61ectriques ou mgeaniques termings par leur impgdanee-image. Le chapitre 17 est une introduction

la transformation de Mellin. Une annexe rappelle quelques r6sultats de la th6orie des fonctions de variables complexes. On trouve, au cours du livre, plusieurs tables sommaires de transform6es de Laplace, Fourier et Mellin.

P. POINCELOT.

* T i t re n ~ 2 de la (( B ib l io th~que de l ' I n g 6 n i e u r a u t o m a - t ic ien )). T r a d u i t de l ' a n g l a i s p a r P. D u p o n t , Ed . D u n o d , Pa r i s (1964}, I vol . reli6 16 • 25 ; x m -q- 331 p. , n o m b r . fig., b ib l . ( nombr . r6f.). - - P r i x : 69 F. ~ O u v r a g e r egu en se rv ice de p resse ; a n n o n c 6 d a n s le Bulletin signaldtique des t~Idcommunications ( n o v e m b r e 196z~) sous la co te L 7491.

- - 35 - - IIo

Documents

Mesure de Résistivité des Couches Épitaxiées de Germanium