Mini projet de Dynamique

des Structures

Réalisé par : Encadré par :

Génie Civil 2

SOMMAIRE

Sommaire

Introduction - Matrices de masse, matrice de rigidité et équation du mouvement - Pulsations et vecteurs propres

- Traçage des vecteurs des quatre modes de vibrations

- Les masses généralisées, les rigidités généralisées et les forces

généralisées

- Expression de la réponse ui(t) en régime permanent

- Expression de la réponse ui(t) pour : Ω=0, Ω=0.5ω

1 et

Ω=1.3ω

- Déduire l’expression de U(t)

- Calcul de Fi et de D

i pour les deux distributions de charges P

a

et Pb

Conclusion

Génie Civil 3

Remercierment

Introduction

L'ingénierie des structures1 est un domaine de l'ingénierie

et plus particulièrement du génie civil, traitant de la

conception et de l'analyse des structures.

Génie Civil 4

Une structure est soumise à différentes actions,

permanentes ou variables dans le temps, statiques ou

dynamiques, de nature mécanique ou thermique, et sa

conception vise à satisfaire certains critères vis-à-vis de ces

actions :

Sécurité : sa résistance, son équilibre et sa stabilité

doivent être assurés avec une probabilité choisie ;

Performance : son fonctionnement et le confort

associés doivent être garantis pour une durée

suffisante ;

Durabilité : la dégradation de la structure dans le

temps doit être limitée et maîtrisée pour satisfaire les

deux premiers critères.

Les structures rencontrées le plus fréquemment sont les

bâtiments, c’est dans ce cadre s’intègre l’étude d’un

bâtiment 4étage soumis a une excitation harmonique.

1- Matrices de masse, matrice de rigidité et

Génie Civil 5

équation du mouvement

Matrice De rigidité :

Matrice De masse :

Equation de mouvement :

M.Ü + K.U=P(t)

Génie Civil 6

+

4

3

2

1

.

U

U

U

U

=

2- Pulsations et vecteurs propres :

Pulsations propres :

Det([K]-ω².[M])=0

rad/s

Vecteurs propres associées à chaque vecteur propre:

Ø1 associée à ω1²=176.7 :

Génie Civil 7

Donc :

Ø2 associée à ω2²=879.7 :

Donc :

Ø3 associée à ω3²=1687.5 :

Comme :

On aura :

Génie Civil 8

Donc :

Ø4 associée à ω3²=3122.8 :

Donc :

Finalement:

3- Traçage des vecteurs des quatre modes de

vibrations :

Génie Civil 9

4- Les masses généralisées, les rigidités

généralisées et les forces généralisées :

Les masses généralisées :

(en K.sec²/in )

Génie Civil 10

( en K.sec²/in )

Les rigidités généralisées :

(en K/in )

de même

Les forces généralisées :

On a :

Donc :

5- Expression de la réponse ui(t) en régime

permanent :

mj.ϋ + kj.u=Pj(t)

Avec :

- mj : masse généralisée.

- kj : rigidité généralisée.

Génie Civil 11

- Pj(t) : force généralisée.

En régime permanent la solution de cette équation s’écrit :

Donc : les quatre solutions sont :

Avec :

6- Expression de la réponse ui(t) pour : Ω=0,

Ω=0.5ω1 et Ω=1.3ω

3

Pour Ω=0 :

Pour Ω=0.5ω1 :

Génie Civil 12

Pour Ω=1.3ω3 :

8- l’expression de U(t)

L’expression de U(t) est donnée par :

Donc :

Génie Civil 13

Et en suite :

Pour Ω=0 :

Pour Ω=0.5ω1 :

Pour Ω=1.3ω3 :

Génie Civil 14

9- Calcul de Fi et de Di pour les deux distributions

de charges Pa et P

b :

Pour la distribution Pa:

On a :

Donc :

En suite on en déduit Dj :

Génie Civil 15

Pour la distribution Pb:

On a :

Donc :

En suite on en déduit Dj :

Génie Civil 16

conclusion

Ce Mini Projet est une occasion qui nous a permis de mettre en

application des concepts et des principes de base acquis aux études,

l’amélioration de mes connaissances professionnelles et de