Poitiers, Juin 1998Exercice corrigé de brevet

1. Factoriser :

a. 9 – 12x + 4x²b. (3 – 2x)² – 4

2. En déduire une factorisation de :E = (9 – 12x + 4x²) – 4

3. Résoudre l’équation : (1 – 2x)(5 – 2x) = 0

4. Montrer que pour x = , E est un entier.32

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1.a. 9 – 12x + 4x²

On reconnaît là une identité remarquable :

a² - 2ab + b²= 3² – 232x + (2x)²

= (a – b)²= (3 – 2x)²

b. (3 – 2x)² - 4 On reconnaît là une identité remarquable :

a² - b²= (3 – 2x)² – 2²

= (a – b) (a + b)= (3 – 2x + 2) (3 – 2x – 2)

= (5 – 2x) (1 – 2x)

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2. D’après la 1ère question : a. 9 – 12x + 4x² = (3 – 2x)²b. (3 – 2x)² – 4 = (5 – 2x) (1 – 2x)

On en déduit une factorisation de E :E = (9 – 12x + 4x²) – 4

E = (3 – 2x)² – 4 d’après a.

E = (5 – 2x) (1 – 2x) d’après b.

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3. Résolution de l’équation : (1 – 2x)(5 – 2x) = 0

Si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul.

D’où :

5 – 2x = 01 – 2x = 0 ou2x + + 2x 2x + + 2x

1 = 2x 5 = 2x2 2 2 2

x =12 x =

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Les solutions de l’équation sont et 12

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4. Calcul de E pour x =

D’après la deuxième question :E = (5 – 2x) (1 – 2x)

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D’où :E = (5 – 2 ) (1 – 2 ) 3

232

E = (5 – 3) (1 – 3)

E = 2 (- 2) E = - 4, donc E est bien un entier !