Université chouaib DoukkaliFaculté Polydisciplinaire

El Jadida

Filière : Marketing touristique (MT) (S6)

Matière : Contrôle de gestion

-(Chapitre n° 1)-

Année universitaire : 2009/2010

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Chapitre I : Gestion d’investissements

Afin de décrire la gestion d’investissements, nous retiendrons une approche consistant à étudier les sections suivantes :

Section 1 : Gestion d’investissements en avenir certain.

Section 2 : Gestion d’investissements en situation d’incertitude

I/- Gestion d’investissements en univers indéterminé (empirique ou non probabiliste)

II/- Gestion d’investissements en avenir aléatoire (ou probabiliste) ;

Section I : Gestion d’investissements en avenir certain

A/- Définition de la valeur actuelle nette (VAN)

1. Concepts

a. Investissement

Dans le domaine de la finance de l’entreprise, sont considérés comme investissements, tous les éléments de l’actif immobilisé de la classe 2 : immobilisations en non valeurs, immobilisations incorporelles, immobilisations corporelles, immobilisation financières.

Cette définition comptable reste très restrictive. Une définition financière plus large s’impose : l’investissement est constitué non seulement des actifs immobilisés, mais aussi des besoins de fonds de roulement d’exploitation (BFRE), qui représentent en fait les besoins permanents de l’entreprise.

b. Typologie des investissements

Il existe plusieurs types d’investissements qu’on peut les expliciter très succinctement comme suit :

- investissements de renouvellement ; - investissements d’expansion ; - investissements directs et indirects ; - investissements financiers ; - investissements productifs ; - investissements non productifs.

c- Comparaison entre un investissement et un placement financier

Exemple

Soit un projet (industriel ou commercial), dont les dépenses s’élèvent à 10000 dh, permettant de rapporter une recette nette annuelle (recettes moins dépenses) de 2800 dh.

- au bout de 5 ans, la recette nette de ce projet est de 14000 > à la ressource investie (10000 dh).

- pour voir si ce projet est rentable, il faut l’étudier en terme de placement financier (on suppose que le taux d’intérêt est de 8%). En effet,

* Pour ce qui est du capital investi : après 5 ans, sa valeur est de 14693 dh (10000 x 1,085)

* Pour ce qui est des recettes nettes : Après 5 ans, leur valeur: 16426 dh (2800 x 1,084 + 2800 x 1,083 + 2800 x 1,082 + 2800 x 1,08 + 2800)

Ainsi, l’investissement est rentable car, à la fin des 5 ans, il aura rapporté plus que le placement financier de même risque.

La comparaison entre la valeur des recettes nettes de l’investissement et la valeur du placement financier permet de déterminer la VAN

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d- Définition de la VAN

La VAN d’un investissement est la différence, entre : - la valeur actuelle des recettes prévues ; - et le montant du capital engagé dans le projet

Ex. Valeur actuelle des flux de recettes 11179 dhCapital investi 10000 dhVAN 1179 dh

L’investissement n’est rentable que si la valeur actuelle des recettes est supérieure au capital investi ou l’investissement est rentable si la VAN est positive.

2. les données de calcul de la VAN

Les éléments nécessaires de calcul de la VAN sont les suivants : • la durée du projet (n) ; • le capital investi (c) ;• les recettes nettes d’exploitation (R). • le taux d’actualisation : le taux d’actualisation (i ou t) est le taux de rentabilité exigé

par l’entreprise. Le taux d’actualisation est égal au coût de capital finançant le projet. Ce coût est exprimé par un taux d’intérêt.

3- Formule de la VAN

0 1 2 3 n-1 n

- C R1 R2 R3 Rn-1 (Rn + V)

VAN= -C+R1+R2+..........+(Rn +V)A travers l’actualisation de R, on obtient : (voir table financière)

VAN= -C+R1(1+i)-1+R2(1+i)-2+..........+(Rn+V)(1+i)-n

n

d’ou : VAN = ∑Ri(1+t)-i -C i=1

ex.Une entreprise dépense 1000000 dh pour investir à l’époque 0. Cet investissement produira des recettes nettes d’exploitation suivantes :

280000 dh pour la période 1 300000 dh pour la période 2350000 dh pour la période 3300000 dh pour la période 4250000 dh pour la période 5

A la fin de la 5ème année, les équipements, complètement amortis, auront une valeur résiduelle de 100000 dh. Ils seront conservés à l’entreprise. Le coût du capital est de 15%.

1. Déterminer la VAN. 2. le projet est-il rentable ?

Rép. 1. Selon la formule précédente : VAN= + 45990 dh2. Le projet/investissement est rentable, car la VAN est positive

4/- Choix entre des projets mutuellement exclusifs

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Il s'agit de choisir entre des projets qu'il n'est pas possible de réaliser ensemble (ex. construire une centrale électrique alimentée au fioul ou une centrale alimentée au charbon).

a - Projets de même durée

Le critère de la VAN conduit à choisir celui des projets dont la VAN est la plus grande.Ex.

Comparons les deux projets suivants : Projet A Projet B

Montant............................. 300000 400000CAF d'exploitation annuelle...........100000 130000Durée.................................................5 ans 5 ans Le coût du capital est 15 %.

Projet A 0 1 2 3 4 5Investissement - 300000

CAF d’expl. 100000 100000 100000 100000 100000

VAN (A) = 35216 (voir formule)

Projet B 0 1 2 3 4 5Investissement - 400000

CAF d’expl. 130000 130000 130000 130000 130000

VAN (B) = 35780On déduit que le projet B est plus rentable que le projet A ou il est préférable de réaliser le projet B puisque VAN (B) >VAN (A)

b- Projets de durées différentes

Ex. Comparons les deux projets suivants :

Projet A Projet BMontant............................. 150000 150000CAF d'exploitation annuelle........ ...50000 80000Durée.................................................6 ans 3 ans Le coût du capital est 15 %.

Projet A 0 1 2 3 4 5 6Investissement - 150000

CAF d’expl. 50000 50000 50000 50000 50000 50000

VAN (A) = 39224

Projet A 0 1 2 3Investissement - 150000

CAF d’expl. 80000 80000 80000

VAN (B) = 32658

5/- Choix entre plusieurs projets mutuellement non exclusifs en cas de rationnement du capital

Les projets étudiés ne sont pas exclusifs l’un de l’autre. Tous les projets dont la VAN est positive pourraient être acceptés si l’entreprise dispose du capital suffisant pour les financer en même temps. On est cependant parfois limité par l’insuffisance du capital.

Ex. Considérons une entreprise qui étudie de nombreux projets A, B, C, D, etc. qui requièrent l'investissement de :

Projet A................................................90000 dh Projet B................................................50000 dh Projet C................................................30000 dh

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Projet D................................................20000 dhetc.

Le capital dont dispose l'entreprise est limité à 150000 dh. Quels sont les projets qui seront retenus ?

a- Indice de rentabilité (ou indice de profitabilité°)

Indice de rentabilité = 1 + (VAN/C)

On classe les projets par ordre décroissant de leur indice de rentabilité et l'on retient les meilleurs jusqu'à ce que la totalité du capital disponible soit employé.

ex.Soit les projets A, B, C, D dont les dépenses d’investissements et les VAN figurent dans le tableau ci-après :

Projets Investissement VANA 90000 3600B 50000 1750C 30000 1500D 20000 400

1. Déterminer l’indice de rentabilité2. Quels sont les projets qui seront retenus

Rép.

1.

Projets Investissement VAN Indice de rentabilitéA 90000 3600 1,040B 50000 1750 1,035C 30000 1500 1,050D 20000 400 1,020

2. Le classement décroissant des projets :

Projets Indice de rentabilité Capital nécessaire Cumul du capital Acceptation C 1,050 30000 300000 OuiA 1,040 90000 120000 OuiB 1,035 50000 170000 NonD 1,020 20000 190000 Non

La méthode de l'indice de rentabilité permet d'approcher la solution mais ne garantit pas une solution optimale.

B/- Taux de rentabilité interne (TIR) ou taux de rendement interne (TRI)1. Définition et présentation

Le TIR est le taux d’actualisation pour lequel la VAN égale à zéro. ex.

Projet 1 0 1 2 3 4 5Cash-flows (CF) -1096 99 257 379 430 675Cash-flows actualisés à 15% -1096 86 194 249 246 336Cash-flows actualisés à 15% cumulés -1096 -1010 -816 -567 -321 15Cash-flows actualisés à 16% -1096 85 191 243 237 321Cash-flows actualisés à 16% cumulés -1096 -1011 - 820 -577 -340 -19

* Pour le projet 1 :- VAN à 15% = 15- VAN à 16% = -19

Le TIR sera obtenu par interpolation linéaire. Dans cet exemple : TIR = 15,44% > au taux d’actualisation

* Pour le projet 2 : les résultats ont fait ressortir les données ci-après :

- VAN à 14% = 53

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- VAN à 15% = -1Le TIR sera obtenu par interpolation linéaire. Dans cet exemple :

TIR = 14,98% > au taux d’actualisation

Donc, le TIR offert par le projet 1 est plus favorable que celui offert par le projet 2. Cette conclusion est en contradiction avec celle de la VAN.

2. Taux de rentabilité multiples

La fonction VAN (t) est, le plus souvent, monotone décroissante et l'équation VAN (t)=0 n'a qu'une racine (cas des projets 1 et 2 susmentionnés). Mais, il existe des projets pour lesquels plusieurs valeurs du taux d'actualisation t sont racines de l'équation.ex.

Une entreprise utilise une machine qui permet de creuser un tunnel en deux ans. Les recettes nettes seront de 10000 M dh par an (projet A). La machine pourrait être remplacée par une machine plus puissante pour le prix de 1600 M dh. Le tunnel serait creusé en un an et la recette serait de 20000 M dh (projet B).

1. Déterminer le (les) TIR2. Quel est le projet le plus rentable

Rép.

Le calcul des flux différentiels serait le suivant:0 1 2

Projet B -1600 20 000 0Projet A 0 10000 10000Projet différentiel (B-A) -1600 10000 -10000

L'équation : -1600+10000(1+t)-1-10000(1+t)-2=0 a deux racines qui sont : - t1 = 25% - t2=400%

C - Méthodes empiriques

Le critère de la VAN ou, à la rigueur, le critère du TIR, sont les seuls critères pertinents pour choisir des projets rentables. Ils dépendent cependant du coût du capital, souvent délicat à déterminer. Aussi, les praticiens utilisent-ils volontiers des méthodes empiriques, contestables du point de vue de la théorie financière, mais qui ont l'avantage d'être simples à mettre en œuvre.

1 Délai de récupération du capital investi

a- Définition

Le délai de récupération est le temps nécessaire pour que le cumul des recettes nettes d'exploitation soit égal au montant investi.

b- Calcul

ex.Le projet A nécessite une mise de fonds initiale de 400000 dh et il générera les CAFE. Le cumul des CAFE a été calculé.

Années 1 2 3 4 5CAFE 150000 140000 230000 180000 120000Cumul des CAFE 150000 290000 520000 700000 820000

Les 400000 DH sont récupérés dans une période comprise entre 2 et 3 ans. La date peut être précisée par interpolation linéaire : 2+(400000-290000)/(520000-290000)=2 ans 5 mois.

Remarque :

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Le calcul ne tient aucun compte des recettes des années (4 et 5) postérieures au délai de récupération.

2- délai de récupération actualisé

ex. Reprenons l'exemple précédent. Rappelons que le capital investi est 400000 dh. Le coût du capital est, par hypothèse, 15 %.

Rép. Années 1 2 3 4 5CAFE 150000 140000 230000 180000 120000CAFE actualisées (15%) 130435 105860 151228 102915 59661Cumul des CAFE actualisées 130435 236295 387523 490348 550099

Les 400000 DH sont récupérés dans une période comprise entre 3 et 4 ans. La date peut être précisée par interpolation linéaire : 3+(400000-387523)/(490348-387523)=3 ans 1 mois.

2. Taux de rendement comptable

a– Définition

Taux de rendement comptable=Bénéfice annuel moyen/Investissement initial b - Calcul

ex. Des immobilisations, dont le prix d'acquisition est 200000 dh, procureront les bénéfices annuels suivants pour chacune des cinq années à venir : 30000 dh, 35000 dh, 40000 dh, 45000 dh, 50000 dh

Rép.

- Bénéfice annuel moyen = (30000 + 35000 + 40000 + 45000 + 50000)/5= 40000- TRC = 40000/200000 = 0,2

Section II : Gestion d’investissements en avenir incertain

I/- Gestion d’investissements en univers indéterminé

A - Notion d'incertitude

La prévision des flux monétaires en avenir aléatoire suppose que l'on puisse affecter une probabilité à chacun des flux. Au contraire, l'avenir est incertain (ou indéterminé) lorsqu'on n'a aucune idée de la probabilité des recettes futures. Autrement dit, dans le cadre du choix d’investissement en univers indéterminé, l’investisseur est totalement incapable d’affecter une probabilité de réalisation à un événement. Il peut seulement qualifier l’événement de favorable ou non. L’investisseur dispose de critères subjectifs. Le choix qu’il opérera sera lié à sa nature, à son attitude face au risque.

Des critères ont été formalisés pour aider à la prise de décision en situation d'incertitude.

Exemple : Un constructeur automobile doit choisir entre trois projets :

- projet A : investir dans un modèle économique;- projet B : investir dans une berline moyenne ;- projet C : investir dans une berline de luxe ; - projet D : poursuivre la production des modèles actuels.

Selon l'état de la conjoncture, les VAN prévues pour les projets respectifs sont les suivantes :

(I) (II) (III)Projet A 1000 1300 1200Projet B 800 1400 1500Projet C -100 500 2000Projet D 1100 1000 400

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Le constructeur ne sait pas quelle est la probabilité des trois états de la conjoncture (ou états de la nature).

Remarque : La conjoncture est une contrainte extérieure «naturelle» sur laquelle le décideur ne peut pas agir. Les états possibles pour une contrainte extérieure sont appelés « états de la nature ».

B - Critère de Laplace-Bayes

Le critère de "Laplace" consiste à calculer, pour chaque projet, la moyenne arithmétique des VAN possibles et à choisir le projet pour lequel la moyenne est la plus grande. Ceci revient à calculer, pour chaque projet, l'espérance mathématique de la VAN en attribuant implicitement une même probabilité à chaque état de la nature. Ce critère est donc une simplification du critère de l'espérance mathématique,

ex. Appliquons le critère de Laplace à l'exemple précédent. La probabilité implicite de chaque état de la nature est 1/3.

Projet A (1000 + 1300 + 1200) x 1/3 = 1167Projet B (800 + 1400 + 1500) x 1/3 = 1233Projet C (-100 + 500+ 2000) x 1/3 = 800Projet D (1100 + 1000+ 400) x 1/3 = 833

Selon le critère de Laplace : le projet B est le meilleur

C - Critère de Wald (ou critère du Maximin)

Le critère Wald (maximum des minima) consiste à déterminer 1a VAN la plus faible de chaque projet et à choisir le projet pour lequel cette VAN la plus faible est la plus grande.Le critère du Maximin limite le risque de faibles recettes. Il est adapté à la psychologie d'un décideur prudent qui craint surtout les mauvais résultats, quitte à renoncer à l'éventualité de résultats lucratifs.ex.

Appliquons le critère du Maximin à l'exemple précédent.

Projet A 1000 1300 1200Projet B 800 1400 1500

Projet C -100 500 2000

Projet D 1100 1000 400

- Les min sont : 1000, 800, -100 et 400 ; - Le Maximin est 1000 qui appartient au projet A.

Ainsi, selon le critère de Wa1d (ou du Maximin) : c’est le projet A qui sera retenu.

D - Critère du Minimax Regret (ou critère de Savage)

Le critère du Minimax Regret consiste :1. à identifier, pour chaque état de la nature, le projet qui donnerait le meilleur résultat

si cet état de la nature se réalisait ;2. à calculer, pour chaque état de la nature supposé réalisé, les manques à gagner (ou

regrets) qui résulteraient de l'adoption des autres projets; on obtient ainsi une matrice des regrets;

3. à déterminer, pour chaque projet, le regret maximal (max) ;4. à choisir le projet pour lequel le regret maximal est minimal (Minimax).

Comme le critère du Maximin, le critère du Minimax Regret correspond à la psychologie d'un décideur prudent qui cherche à limiter son manque à gagner possible.ex.

Appliquons la méthode du Minimax Regret à l'exemple précédent. Construisons la matrice des regrets.

Projet A 1100-1000=100 1400-1300 = 100 2000 -1200 = 800

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Projet B 1100-800=300 1400-1400 = 0 2000 -1500 = 500

Projet C 1100-(-100)=1200 1400 - 500 =900 2 000-2 000 = 0

Projet D 1100-1100= 0 1400 -1000 =400 2000 - 400 = 1600

- Les max de regrets de chacun des quatre projets sont : 800, 500, 1200 et 1600.- Minimax est 500. II appartient au Minimax Regret.

Ainsi, le projet B est le meilleur projet selon le critère du Minimax Regret

E - Critère de Hurwicz

Le critère de Hurwicz consiste à calculer, pour chaque projet, une moyenne arithmétique pondérée (H) du résultat le meilleur (M) et du résultat le moins bon (m). Les coefficients de pondération sont α pour M et (1-α) pour m. Ils sont compris entre 0 et 1. On donne au coefficient une valeur proche de 1 quand le décideur est audacieux et une valeur proche de 0 quand il est prudent.

H= α x M + (1-α) x m

Le projet retenu est celui pour lequel H est maximal.

Remarque : Quand α = 0, le critère de Hurwicz se confond avec le critère du Maximin.

ex. Appliquons le critère de Hurwicz à l'exemple précédent dans deux hypothèses : celle où α =

0,2 (cas d'un décideur prudent) et celle où α = 0,7 (cas d'un décideur plutôt audacieux).

α = 0,2 α = 0,7Projet A 1000 1300 1200 1300x0,2+1000x0,8=1060 1300x0,7+1000x0,3=1210Projet B 800 1400 1500 1500x0,2+800x0,8=940 1500x0,7+800x0,8=1290Projet C -100 500 2000 2000x0,2-100x0,8=320 2000x0,7-100x0,3=1370Projet D 1100 1000 400 1100x0,2+400x0,8=540 1100x0,7+400x0,3=890

Pour α = 0,2Le projet A est préférable pour le décideur prudent.

Pour a = 0,7Le projet C est préférable pour le décideur audacieux.

F - Critère du Maximax

Ce critère privilégie l’attitude la plus risquée, la plus optimiste. Sera retenue la décision offrant le résultat maximum le plus élevé.

Projet A 1000 1300 1200Projet B 800 1400 1500Projet C -100 500 2000Projet D 1100 1000 400

Selon ce critère, la décision C est optimale

En conséquence, les critères utilisés conduisent à des décisions différentes :

Critères DécisionsLaplaceWaldSavage/regretsHurwicz

Maximax

Projet BProjet AProjet BProjet A (pour α = 0,2)Projet C (α = 0,7) Projet C

Application 1

Un investisseur a un projet d’investissement. Une étude de marché lui permet de prévoir les résultats attendus, selon la décision prise et les états de la nature.

I II III IVA -50 -20 0 10B -80 -10 50 110C -110 -30 80 150

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Quelle est la meilleure décision à prendre pour cet investisseur ? Sachant que dans le cadre du critère d’Hurwicz, les coefficients 0,4 et 0,6 retenus sont à appliquer respectivement aux valeurs maximales et aux valeurs minimales.

Rép : 1. selon le critère de Laplace : le projet C est le meilleur ou la décision C est optimale

2. selon le critère de Wald : la décision optimale est A

3. selon le critère de Savage : la décision optimale est B

4. selon le critère de Maximax : Selon ce critère, la décision C est optimale

5. selon le critère d’Hurwicz : la décision B est optimale

II/- Gestion d’investissements en avenir aléatoire A/- la relation rentabilité-risque

a- approche probabilistea1. Espérance mathématique

En avenir aléatoire, les flux de trésorerie sont des variables aléatoires pouvant être caractérisés par des probabilités de réalisation. La VAN est une variable aléatoire (combinaison de variables aléatoires)

n

VAN= -I + ∑CFi(1+t)-i

i=1

L'espérance mathématique de la VAN constitue :

• un critère de rejet : sera rejeté tout projet dont l'espérance mathématique de la VAN est négative ;

• un critère de Sélection : entre deux projets, sera retenu celui il dont l'espérance mathématique de la VAN est la plus élevée.

ex. Soit un projet d’investissement ; l’investissement initial = 1000 M dh.

Hy1

Probabilité 50%-

Hy2

Probabilité 30%Hy3

Probabilité 20%Cash-flows Cash-flows actual.10% Cash-flows Cash-flows actual.10% Cash-flows Cash-flows actual.10%

1 300 273 500 455 600 5452 300 248 500 413 600 4963 300 225 500 376 600 451total 746 1244 1492

Espérance mathématique des CF :

E(CF)=50%x746+30%x1244+20%x1492=1044,60

Espérance mathématique de la VAN :

E(VAN)= -1000+1044,60=44,60

Le projet pourra être retenu, car la VAN est positive avec un taux d’actualisation de 10%.

a1. Ecart-typeLe calcul de la variance ou de l'écart-type permettra de mesurer le risque de la distribution.

V (VAN) = [(1-(1+t)-2n)/((1+t)2-1)]xV(CF)

La variance ou l’écart-type constitue :

- un critère de rejet : sera rejeté tout projet dont le risque est supérieur à la norme fixée ;

- un critère de sélection : entre deux projets, sera retenu celui dont l’espérance mathématique est la plus faible, et le risque le moins élevé.

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Le coefficient du risque, ci-après, permet de mesurer le risque absolu :

Coefficient du risque = Ecart-type(VAN) /Espérance mathématique (VAN)

Plus ce rapport est faible, plus le risque est élevé

Application 2Un investissement de 80 Mdh est supposé procurer les CAF d'exploitation suivantes (en Mdh)

Le coût du capital est 10%Quest.

1. E(R1), E(R2), E(R3)2. E(VAN)3. V(R1), V(R2), V(R3)4. V(VAN)5. 6 (VAN)

Rép. 1. E(R) =112,5

(Pour les autres éléments de réponse, voir tabl.)

Application 3 : L’investissement initial = 1000 M dh. Taux d’actualisation : 10%

Probabilité CF0,5 3000,3 5000,2 600

A travers le tableau, ci-dessous, déterminer : 1. l’espérance mathématique des CF2. la variance des CF et de la VAN3. l’écart-type de la VAN4. Le coefficient du risque

Rép. 1. E(CF) = (0,5x300) + (0,3x500) + (0,2x600) = 420

(Pour les autres éléments de réponse, voir tabl.)

Probabilités Année 1 Année 2 Année 3Hypothèse optimiste 0,30 20 25 30Hypothèse la plus probable 0,50 30 40 40Hypothèse pessimiste 0,20 40 50 50

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