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ETUDE DE LA DALLE PAR LA METHODE GUYON- MASSONNET
PRINCIPE GENERAL DE LA METHODE:
La méthode GUYON- MASSONNET est l’une des multiples méthodes pratiques utilisées pour calculer les structures composées de :
- DALLES PLEINES - GRILLAGE DE POUTRES MULTIPLES SOUS CHAUSSEE ETC...1°/ Dans le sens Longitudinal
a) Calcul des moments fléchissant permanentes G sur une bande égale à L/2 =6.5mb) Calcul des moments fléchissant dus aux surcharges roulantes par le théorème de BARRE en utilisant les lignes d’influence « Longitudinales »
c) Calcul des coefficients de Répartition transversal pour les charges roulantes: - Kα moy en ce qui concerne le moment fléchissant Mx. 2°/ Dans le sens Transversal.
a) Calcul des coefficients de répartition µα b) Convertir les charges réelles en fonctions sinusoïdales (Voir les détails de chaque type de charge) DETERMINATION DES EFFETS DANS LE SENS LONGITUDINAL:
1,50 3,50 3,50 1,50
30x x 1 20
70 2 20 3
20 90 20 20 90 20
-b -3b/4 -b/2 -b/4 0 +b/4 b/2 +3b/4 +b
- Poids propre de la dalle : charge permanente la surface de la dalle est ;- S = (1000 – 2 x 20) x 70 – 2 x (S1+ S2+ S3)
S = (1000 – 2 x 20) x 70 – 2 x ( ) = 59400 cm2
Dal le en B. A : G0 = S x 2.5 = 5.94 x 2.5 = 14.85 t/m CP = 14. 85 t/ml
Complément des charges permanente
1. Revêtement : = 1.23 t/ml 2. Trottoirs : = 2 x 1 = 2 t/ml3. Gardes corps ; = 2 x 0.1 = 0.2 t/ml 4. Corniches : = 2x 0.5 = 1t/ml CC p = 4.43 t/ml
G =19.28 t/mlDétermination des moments MAX dans le sens longitudinal
Calcul du moment fléchissant du aux charges permanentes : Pour X= 0.5 L :
M= = = 407.29 t.m
M/section = 407,29 / 8= 50,911 tm Application des surcharges routières:
Il s’agit d’un pont de classe1, les surcharges applicables sont A (L) et Bc Evaluation de A (L) = a 1 x a 2 x A(Lo): a1= 1 a2 = Vo/V= 3.5/3.5 =1
A (lo)=230 + = 230 + = 1670 kg/m2 = 1.67t/m2
1 voie chargée 2 voies chargée
A(l) =1.0 x 1.0 x3.5 x 1.67 = 5.845 t/ml A(l) =1.0 x 1.0 x7.00 x 1.67 = 11.69 t/ml
M= = 123.475 t.m M= = 246.95t.m
Calcul le moment MAX de la surcharge B C : par théorème de barré
12t R 12t 6t 6t a a 1.625m 4.5 1.5 4.5 0.875 S
X= 0.5 L = 6.50
---/
On trouve 2a = 5.25 - 4.5 a = 0.375 m le moment est max ou point s M s = 76.89 tmM = M s x δ x b --- Le nombre maximal d’essieux à mettre sur le tablier est 5,
Soit s =12 + 12 + 6 + 12 +12 = 54 t b c =1.1 (2 files) b c =1.2 (1 file )
S = 2 x 54 x 1.1 =118.8 t Calcul du coefficient de majoration dynamique:
= 1 ,47
1voie chargée 2voies chargéesM = 76.89 x 1.2 x 1.47 = 135.65 t.m M = 76.89 x 2 x 1.1 x 1.47 = 248.66 t.m
Répartition longitudinale des surcharges: Suivant la ligne d’influence Mx a mi porté (X= 0.5L) Système Bc ; A (l); trottoir
P2 = 12t p3 = 12t p1= 6t p4= 6t Bc
A(L) Trottoir 1.00 3..25 2.5 0.25 2 1 X= 0.5l = 6,5 6 ,5 m
Ligne d’influence du Moment a mi porté ; X =0.5l
o Surcharge Bc M = Pi x Yi
M (x =L /2) = 6x 1+ 12 x 3.25 + 12 x 2.5 + 6 x 0.25 = 76.5t.m1 VOIE chargée 2 voies chargées
M = 76.5 x 1.47 x 1.2 = 134.94 t.m M=76.5 x 2 x 1.1 x 1.47 = 247.40 t.m
o Surcharge A (L) M = q x l x i , q = intensité de la charge par unité de surface. i = Aire de la ligne d’influence.
l = Largeur de la voie chargée.1 voie chargée 2 voies chargées
M = 1.67 x 3.5 x 21.125 = 123.475 t.m M = 1.67 x 7 x 21.125 = 246.95 t.m
o Surcharge du trottoir ) M = q x l x i
1 trottoir chargé 2 trottoirs chargésM = 0.15 x 1.5 x (10.5625+10.5625) = 4.75 tm M= 0.15 x 2 x 1.5 X 21.125 = 9.5 tm
CALCUL DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE PAR LA METHODE DE GUYONMASSONNET
DEFINITIONS GENERALES: La méthode de GUYON- MASONNET permet d’étudier la répartition des charges sur un ouvrage en tenant compte de sa déformabilité traversable et, dans le cas le plus général, de sa rigidité torsionelle. Soient:L - la portée de l’ouvrage.2 b - sa largeur.I p - le moment d’inertie des poutres.I e - le moment d’inertie des entretoises.
- la rigidité flexionnelle par unité de longueur des poutres.
- la rigidité flexionnelle par unité de longueur des entretoises.
Dons les ponts dalles α =1 Paramètre de torsion On désigne par:
θ = b/L x le paramètre d’entretoisement .
On notera que pour une dalle pleine = et = 1.
Calcul de la largeur équivalente
- Le moment d’inertie de la section (1) IX = cm4
- - Le moment d’inertie de la section (2) IX = cm4
- Le moment d’inertie de la section (3) IX = cm4
Le moment d’inertie de la dalle est IX = - 2 x (22500+202500+1282500)
= 27440000 – 3015000 = ,24425000 cm4
Le moment d’inertie de la dalle équivalente est IE X =
= 24425000 2b = 8, 545 m b = 4, 27m
d’ où : θ = b/L ; L = 13m donc : θ = 0, 3286 La largeur 2b de l’ouvrage à prendre en compte dans les calculs sera pour un pont Dalle égal à la largeur réelle de la dalle. En fonction de ces deux paramètres on peut lire sur les tableaux de GUYON- MASSONET les valeurs des coefficients K; µ. Etc. qui servent à dessiner les lignes d’influence des différents moments. Pour le projet et par mesures simplificatrices on s’intéresse au: 1°/ Moment fléchissant longitudinal Mx 2°/ Moment fléchissant Transversal My
Etant donné que le paramètre de torsion α =1 ; seuls les tableaux de K1 ; µ1 Seront considérés.
Kα = Ko + (K1 - Ko) Kα = K 1
Les valeurs moyennes des coefficients de répartition transversale seront obtenues à travers l’exploitation des courbes des lignes d’influence (voir ci-après).
TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1θ = 0, 30 : POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)
Y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0 0.9664 0.984 1.0018 1.0173 1.0244 1.0173 1.0018 0.984 0.9664
b/4 0.8776 0.9104 0.9453 0.982 1.0173 1.0451 1.0591 1.0652 1.0689
b/2 0.8012 0.8453 0.8929 0.9453 1.0018 1.0591 1.1108 1.1508 1.1849
3b/4 0.7345 0.7876 0.8453 0.9104 0.984 1.0652 1.1508 1.2351 1.3126
b 0.6733 0.7345 0.8012 0.8776 0.9664 1.0689 1.1849 1.3126 1.4474
TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1θ = 0, 35 : POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)
Y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
00.9466 0.9741 1.0025 1.0279 1.0399 1.0279 1.0025 0.9741 0.9466
b/40.834 0.8781 0.9261 0.9777 1.0279 1.0659 1.0807 1.0824 1.0808
b/20.7408 0.7958 0.8568 0.9261 1.0021 1.0807 1.1496 1.1983 1.2369
3b/4 0.6624 0.7255 0.7958 0.8781 0.9741 1.0824 1.1983 1.3115 1.4123
b 0.5926 0.6624 0.7408 0.834 0.9466 1.0808 1.2369 1.4123 1.6001
Et par l’interpolation ; K1 (θ=0, 3286) = K1 (θ=0, 30) + 0,572 x K1 (θ=0, 35)- K1 (θ=0, 30)
TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1θ = 0, 3286 : POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)
Y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
00.9551 0.9783 1.0022 1.0234 1.0333 1.0234 1.0020 0.9783 0.9551
b/40.8527 0.8919 0.9343 0.9795 1.0234 1.0570 1.0714 1.0750 1.0757
b/2 0.7667 0.8170 0.8723 0.9343 1.0020 1.0714 1.1330 1.1780 1.2146
3b/4 0.6933 0.7521 0.8170 0.8919 0.9783 1.0750 1.1780 1.2788 1.3696
b 0.6271 0.6933 0.7667 0.8527 0.9551 1.0757 1.2146 1.3696 1.5347
TABLEAU des Moments M0 de chaque surcharge Surcharge CAS de surcharge Moment TOTAL Moment / section
M0 =MT/8A(L) 1 voie 123.475 15.434
2 voies 246.95 30,869Bc 1 file 135.65 t.m 16.956
2 files 248.66 t.m 31.082
Trottoir 1 Trottoir 4.75 0.5932 Trottoirs 9.5 1.187
TABLEAU des coefficients de répartition transversale et des moments pour chaque section
K1moy -- M xt = M0 x K1 moy
Surch-arge
M0
Position de section 0b
Position de section b/4
Position de section b/2
Position de section 3b/4
Position de section b
K 1
moyMxt
K 1
moyMxt
K1
moyMxt
K 1
moyMxt
K1
moyMxt
1A(L) 15.434
1.021 15.757 1.049 16.189 1.095 16.900 1.142 17.625 1.180 18.211
2 A(L)30,869
1.012 31,300 1 30.867 1 30.868 1 30.867 1.00 30.869
1BC16.956
1.017 17.244 1.067 18.09 1.136 19.259 1.20 19.258 1.24 21.023
2BC31.082
1.155 35,900 1.038 32.262 1.061 32.977 1.03 32.014 1.08 33.568
1trttoir0.593
0.955 0566 1.076 0.637 1.215 0,640 1.37 0.812 1.53 0.907
2trttoirs 1.187 1,016 1,206 0.964 1.144 1.215 1.442 0.987 1.171 1.082 1.285
TABLEAU DES MOMENTS MAX DE chaque section
Les sections
Charge permanente
SurchargeA (L)
Surcharge
bcSurcharge
De trottoir
Moment finalMCP+1,2 [A(L)+MT]
ouMCP+1,2[bc +MT]
Section - 1Y=0b
50,911 30.929 35,900 1,206 50,911+1.2[35,9 +1.206]
= 95,438Section-
2-y = b/4
50,91130.867 32.262 1.144 50,911+1.2[32.262+1.144]
= 90.998
Section- 3-
y =b/2
50,911 30.868 32.977 1.442 50,911+1.2[32.977+1.442]
= 92.205
Section -4-
Y =3b/4
50,911 30.867 32.014 1.171 50,911+1.2[32.014+1.171]
90.7205
Section -4-Y =3b/4
50,911 30.86733.568 1.285 50,911+1.2[33.568+1.285]
= 92.723LES SECTIONS LES PLUS sollicités est ; Section – 1 - « Y =0b »
Détermination des moments MAX dans le sens TRANSVERSALE
Les moment fléchissant My , est en règle générale maximum sur l’axe longitudinalDe l’ouvrage. (e = 0b)On a à mi-portée : X = L/2 Dans la pratique on se contente d’étudier les moments dans le sens transversal auCentre du pont.On disposera les convois sur les lignes d’influence des « µ » pour déterminer :
TABLEAU DES μ1 x 10-4 θ = 0, 30 :POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)
y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0 -1401.34
-787.36 -102.5 734.1 1820.55 734.1 102.5 -787.36
-1401.34
b/4 -1265.04
-871.88
-432.67 106.16 810.65 1764.97 532.19 -480.51
-1389.52
b/2-993.38
-766.73
-513.06
-200.19 212.24 776.33 1560.43 108.57
-1195.94
3b/4 -580.08 -480.7-
369.19-
230.77 -46.46 208.53 567.03 1072.76 -762.34
µ max > 0 d’ ou My max > 0
µ max < 0 d’ou My max < 0
b0 0 0 0 0 0 0 0 0
TABLEAU DES μ1 x 10-4 θ = 0, 40 :POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)
y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0 -1016.48
-616.52
-131.42 546.21 1563.32 546.21 -131.42 -616.52
-1016.48
b/4-884.18
-660.13
-386.57 1.69 596.48 1530.71 416.12 -390.73
-1059.01
b/2-678.82
-568.18 -431.7
-233.31 79.66 584.96 1397.86 106.2 -967.12
3b/4 -393.82-
353.78-
303.53-
227.65 -102.61 107.16 455.09 1021.08 -658.96b
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Et par l’interpolation : μ1 (θ=0, 3286) = μ1(θ=0, 30) + 0,286x μ1(θ=0, 40)- μ1(θ =0, 30)
TABLEAU DES μ1 x 10-4 θ = 0, 3286:POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)
y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b
0-1291.27 -738.50 -110.77 680.36 1746.98 680.36 + 35.60 -738.50 -1291.27
b/4-1156.11 -811.32 -419.48 76.28 749.40 1697.97 + 499.00 -454.83 -1294.99
b/2 -903.42 -709.94 -489.79 -209.66 174.32 721.60 +1513.95 107.89 -1130.50
3b/4 -526.81 -444.40 -350.41 -229.88 -62.52 179.54 +535.02 1058.00 -732.77
b 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Rappel des formules
Charge répartie uniformément sur L. q
L
les charges concentrées
My = µ x P sin . Sin Z = P sin. Sin
My = µ x Z
My = µ x 4q sin My = µ x ZZ =4q sin
- Convoi de charges P1 P2 P3 Pn
d1
d2
d3
dn L
Définition des paramètres qui figuraient dans les deux formules précédentes:L: Longueur du pont.b: ½ Largeur équivalente du pont.p: Charge concentrée.q: Charge linéaire par mètre linéaire.µ : Coefficient de répartition transversal déterminé à partir des lignes d’influence de µ x : Position de l’entretoise dans le sens longitudinal par rapport à l’appui.d : Position du point d’application de la charge par rapport à l’appui.
Remarques: Pour déterminer les valeurs maximales des moments fléchissant transversaux, il faut chercher la position la plus efficace du chargement (pour avoir max) dans le sens transversal en se basant sur les lignes d’influence et dans le sens longitudinal se placer au droit d’une des charges.
APPLICATION NUMERIQUE
Détermination de « Z » à mi-portée (X= L/2 ) b = 4 ,27m
a) surcharges uniformément réparties A(l) = 1.67 t/m² ; X= 6,5 m
= 9.08
Trottoirs : q = 0,15 t/m² ; X = 6,5 m
.
= 0,816
=
Le système Bc: x = 6,5 m P2=6 p3=6t p4=3t P1=3t
d1=2.00m d2=6.5m
d3 = 8m d4=12,5m 2b = 13 m
P1 = 3.0 t P2 = 6.0 t P3 = 6.0 t P4 = 3,0 t d1 = 2,0m d2 = 6.5 m d3 = 8.0 m d4 = 12.5 m
Z = x +3 sin x sin = 8,78 t.m/ml
N .B : Le poids propre n’intervient pas dans le My. Puisque
TABLEAU RECAPITULATIF DES My
TABLEAU de M y = £ .Z.µ /ml
SECTION y = « 0.b »
£ Z
My = £ . x Z > 0
x10-4
< 0
x10-4My > 0 My < 0
A (L) 1 voie
a1 x a2 = 19.08 + 3201.72 0 + 2,907 0
A(L) 2 voies 1 9.08 + 1885.98 0 + 1,712 01Bc (une file) 1.47x1.2
8,78+ 1400.30 - 225.60 + 2,169 - 0,349
2Bc (deux files) 1.47x1.1 + 230.50 0 + 0,327 0
M max + 2,907 - 0.349
1 trottoirs
10.816
0 - 921,62 0 -0.0753
2 trottoirs 0.816 0 - 1843,25 0 - 0.150
M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir) + 3,488 - 0.600
SECTION y = « b/4 »
£ Z
My = £x x Z > 0
x10-4
< 0
x10-4My > 0 My < 0
A(L) 1 voie
a1 x a2 = 19.08 + 3587,96 - 1268 ,30 + 3,258 - 1,151
A(l) 2 voies 1 9.08 + 1448,64 0 + 1,315 0
1Bc (une file) 1.47x1.28,78
+ 1550,58 -880,70 + 2,402 - 1,3642Bc (deux files) 1.47x1.1 + 2025,60 0 + 2,876 0
M max +3,258 - 1,364
1 trottoirs1 0.816
0 -777 ,55 0 -0.0633
2 trottoirs 0.816 0 - 1504 ,25 0 - 0.123
M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir) +3,91 - 1,784
SECTION y = « b/2 »
£ Z
My = £x x Z > 0
x10-4
< 0
x10-4My > 0 My < 0
A(l) 1 voie
a1 x a2 = 19.08 + 2785,60 - 1169.4 + 2,529 -1.062
A(l) 2 voies 1 9.08 + 1257,16 0 + 1,141 0
1Bc(une file) 1.47x1.28,78
+ 1738 ,95 - 975,55 + 2.693 - 1.5112Bc(deux files) 1.47x1.1 +1075 ,85 0 + 1.527 0
M max + 2,693 -1.062
1 trottoirs
10.816
0 - 617 ,75 0 - 0.05
2 trottoirs 0.816 0 -1133,548 0 -0.0923
M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir) + 3,232 - 1,385
SECTION y = « 3b/4 »
£ Z
My = £x x Z > 0
x 10-4
< 0x 10-4
My > 0 My < 0
A(L) 1 voie
a1 x a2 = 19.08 + 1480,20 - 975,85 + 1,344 -0.886
A(L) 2 voies 1 9.08 + 515,42 0 + 0,468 01Bc (une file) 1.47x1.2
8,78+ 1250,70 - 720,30 + 1.937 -1.115
2Bc (deux files) 1.47x1.1 + 1050,60 - 695 ,40 + 1.492 -0.987
M max + 1.937 -1.115
1 trottoir
10.816
0 - 374,30 0 -0.03
2 trottoirs 0.816 0 - 529,82 0 - 0.0433
M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir) + 2.324 - 0,088
Pour la SECTION y = « + b» le moment est nulle
Les sections les plus sollicités sont :- - SECTION y = « b/4 » -- M max = +3,91t.m/ml -- SECTION y = « b/4» ---M max = - 1,784.m/ml