26
Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types de raisonnements ? Qu'est-ce qu'un problème ouvert ? Un problème à tâches complexes ?

Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ?

➲Ce que disent les textes officiels➲Quels sont les différents types de raisonnements ?➲Qu'est-ce qu'un problème ouvert ?➲Un problème à tâches complexes ?

Page 2: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Les textes officiels

L’acquisition du socle commun par tous les élèvesest une obligation du service public d’éducation inscritedans la loi :• « La scolarité obligatoire doit au moins garantir à chaqueélève les moyens nécessaires à l’acquisition d’un soclecommun constitué d’un ensemble de connaissances etde compétences qu’il est indispensable de maîtriser pouraccomplir avec succès sa scolarité, poursuivre saformation, construire son avenir personnel etprofessionnel et réussir sa vie en société »[1] .•[1] Loi d’orientation et de programme pour l’avenir del’École, n°2005-380 du 23 avril 2005, article 9.

Page 3: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Objectifs de la formation en mathématiques ?

➲ Permettre aux élèves d’acquérir lesmathématiques nécessaires à une poursuited’études (autrement dit, le programme), objectifqui doit rester l’ambition pour tous.

➲ Donner à tous la culture mathématiquenécessaire au citoyen (autrement dit, permettreaux élèves d’acquérir les connaissances etcompétences du socle commun), objectif quel’on peut qualifier de nécessaire pour tous.

Page 4: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Les priorités en terme de formation

➲ Incontestablement, la maîtrise du calcul réfléchiinséparable du sens des nombres et des opérations.

➲ L’acquisition d’automatismes qui favorisentl’autonomie et l’initiative des élèves dans larésolution de problèmes et les mettent en confiance.

➲ La mise en place permanente de l’activité deraisonnement qui est l’essence même desmathématiques.

Page 5: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Raisonner et démontrer

➲ La démonstration en mathématiques est-elle un raisonnement déductif ?

➲ Quels sont les types de raisonnements que l’on peut rencontrer chez les élèves ?

Page 6: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Le raisonnementDeux définitions :

➲ Activité de l’esprit qui passe, selon des principes déterminés, d’un jugement à un autre, pour aboutir à une conclusion. ( Le Robert)

➲ Un raisonnement, c'est d'abord une certaine activité de l'esprit, une opération discursive par laquelle on passe de certaines propositions posées comme prémisses à une proposition nouvelle, en vertu du lien logique qui l'attache aux premières : en ce sens, c'est un processus qui se déroule dans la conscience d'un sujet selon l'ordre du temps.(Universalis 2009)

Page 7: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Une typologie du raisonnement

Le raisonnement déductif (déduction)Le raisonnement inductif (induction)Le raisonnement abductif (abduction, présomption)Le raisonnement transductif.

Autres raisonnements rencontrés en mathématiques:Contraposée, contre-exemple, disjonction de cas, par

l’absurde,analogie, (déclinaisons ou combinaisons disciplinaires

de cesraisonnements basiques), par récurrence.

Page 8: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Le raisonnement transductif

La transduction est le raisonnement de l’enfant .Toutes les opérations mentales restent au même

niveau.Il n’y a pas de généralisation, c’est la mise en

relation de deux faits du même ordre.

En mathématiques : Comparaison de données numériques, de figures, de graphiques…

Page 9: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Le raisonnement déductif

La déduction est un raisonnement qui consiste à tirer à partir d’une ou de plusieurs propositions, une autre qui en est la conséquence nécessaire.

En mathématiques : à partir de propriétés reconnues à partir de propriétés reconnues comme vraies, par enchaînement logique, on comme vraies, par enchaînement logique, on déduit une propriétédéduit une propriété

Page 10: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Le raisonnement inductif

L’induction est un type de raisonnement qui consisteà généraliser des cas particuliers.D’un phénomène observé de manière répétitive, onva induire une loi générale, sans vérifier tous les exemples.L’induction extrait l’universel du particulier.

En mathématiques : l’induction est utilisée quand il s’agit de faire émerger une conjecture après avoir traité des exemples. L’utilisation des logiciels de géométrie dynamique est sous tendue par cette approche. L’approche fréquentielle de la notion de probabilité l’illustre également

Page 11: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Dans le domaine des sciences expérimentales, le raisonnement par induction se suffit à lui-même.

En mathématiques, le raisonnement inductif ne se conçoit, en général, que comme une première étape, conduisant à une conjecture.

Alors que le raisonnement déductif fonctionne selon le schéma classique :

« Sachant que (A est vraie) et que (A implique B), je déduis que (B est vraie) »,

le raisonnement inductif fonctionne selon le schéma présomptif :

« Constatant que dans les exemples où (A est vraie), alors (B est vraie), je présume que (A implique B) est vraie »

ou le schéma explicatif : Sachant (que A implique B) est vraie, j’explique que (B

est vraie) en présumant que (A est vraie)

Page 12: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Articulation Déductif/ Inductif

Page 13: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Le raisonnement abductifAfin de comprendre un phénomène surprenant, on

introduit une règle à titre d'hypothèse afin de considérer ce phénomène comme un cas conforme à cette règle.

En d’autres termes : dans le cas d’une déduction on tire la conclusion « q » d’une prémisse « p » alors que le raisonnement abductif consiste à expliquer « q » par

« p », considéré ici comme une hypothèse explicative. Umberto Eco a appelé ce procédé la « méthode du

détective ».

Page 14: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

L'abduction, c'est la suggestion d'une idée, où on tente une interprétation immédiate et sensible du phénomène.

Cette approche signifie que « quelque chose » se comporte probablement d'une certaine manière – phase d'abduction – que « quelque chose » se comporte effectivement d'une certaine manière – phase d'induction et enfin – phase de déduction – nous établissons que « quelque chose » se comporte d'une certaine manière.

Page 15: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

➲ l'abduction produit des idées et des concepts à expliquer

➲ l'induction participe à la construction de l'hypothèse abductive en lui donnant de la consistance

➲ la déduction formule une explication prédictive.

Page 16: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

La démarche d'investigation

Dans la recherche d’une démonstration, visant à répondre à

une question ou à résoudre un problème ouvert , les trois

types de raisonnements interviennent :

Page 17: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Des réponses :

➲ La démonstration en mathématiques est-elle unraisonnement déductif ?Non, pas seulement

➲ Quels sont les types de raisonnements que l’on peutrencontrer chez les élèves ?Les élèves peuvent et doivent utiliser plusieurs types

de raisonnements selon les activités proposées.La mise en œuvre dépend du cadre d’utilisation et du

type d’énoncés proposés

Page 18: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Quels travaux proposés pour développer ces raisonnements ?

La pratique des questions ouvertes est propice à l’apprentissage et à

l’évaluation à l’oral descompétences liées au raisonnement.

Page 19: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Ouvrir les problèmes

➲ Favoriser l’engagement des élèves dansla résolution et permettre la mise enactivité de chacun➲ Laisser vivre différentes stratégies derésolution➲ Développer la prise d’initiative➲ Ne pas s’abstenir de confronter les élèvesà des tâches complexes

Page 20: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Favoriser la démarche d'investigation

➲ Chaque fois qu’une question est posée et que la réponse ne peut être donnée immédiatement à partir de connaissances disponibles

➲ Déroulement:➲ 1)Réflexion sur le problème posé- appropriation du problème, vocabulaire, contexte- confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de

« connaître son cours »),- recherche éventuelle d’informations sur le thème.2) Élaboration d’une conjecture- recherche, avec mise en place éventuelle d’une premièreexpérimentation,- émission de la conjecture,- confirmation, avec mise en place éventuelle d’une secondeexpérimentation.3) Mise en place d’une preuve argumentée.

Page 21: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types
Page 22: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types
Page 23: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Les caractéristiques du problème ouvert

➲ L’énoncé permet l’entrée de tous les élèves dans l’activité

➲ L’énoncé n’induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires).

➲ La solution ne se réduit pas à l’utilisation ou l’application immédiate des résultats présentés en cours.

➲ Le champ conceptuel est familier aux élèves.

Page 24: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

La pratique régulière du problème ouvert

➲ Consolide les connaissances des élèves pour franchir un nouvel obstacle (Philippe Meirieu).

➲ Révèle les connaissances disponibles.

➲ Rend des connaissances maîtrisables disponibles.

Page 25: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Les situations complexes

X. ROEGIERS distingue les situations compliquées des situations complexes :

➲ Une tâche est compliquée si elle mobilise des savoirs et des savoir-faire nouveaux.

➲ Une tâche est complexe si elle combine des éléments que l’élève connait, qu’il maîtrise, qu’il a déjà utilisés plusieurs fois mais de façon séparée, dans un autre ordre ou dans un autre contexte.

Page 26: Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? Ce que disent les textes officiels Quels sont les différents types

Les caractéristiques d'une situation complexe

➲ Elle est significative pour l’élève.

➲ Elle nécessite plusieurs démarches.

➲ Elle met en œuvre plusieurs notions.

➲ Elle donne une large part à la créativité.

➲ Elle permet à l’élève de justifier ses choix.

➲ Elle ne donne aucune indication pour la résolution.

➲ Elle est adaptée au niveau de difficulté souhaité.