PRODUITS CANONIQUES ASSOCIES .k UNE

SUITE AYANT UNE DENSIT]~ ANGULAIRE

Par

CHRISrL~N BARreL

Perpignan, France

1. Introduct ion .

Soit A = {2k} une suite de hombres complexes tels que

l o lim sup k - ~ - ~ { < O0 .

k--,. oo

On lui associe les produits canoniques

C,(A;z) = 1 - (n = 1,2,-..). 52 k =n ~k

On d6signe par hA(O) l'indicatrice commune h tous ces produits

hA(O) = lira sup ! log l C,(A; re~~ v--~ oo

Une suite A a une densit6 angulaire si pour tout couple (v, 0) (0 < v < 0 < 2n),

sauf pour au plus un ensemble d6nombrable de ces couples, il existe une

limite

A(v, 0) = lim n(r, v, O) r ~ o o r

ot~ n(r, v, O) d6signe le hombre de points de la suite A dans le secteur I z I =< r ,

v =<Argz < 0.

389

390 C H R I S T I A N B A R R I L

Nous d6montrons le th6or~me suivant:

Th6or6me. Si A a une densitd angulaire, pour tout e posi t i f il existe

ro(e ) tel que r > r o entralne

[ C~(A; re~~ < exp(r hA(0 ) -I- rs)

pour tout n e t tout O.

Dans [1], A. Baillette a d6montr6 un r6sultat analogue, pour un autre type

de suites; elle a montr6 que ceci entra~nait une propri6t6 de convergence des

transform6es de Laplace-Borel des produits canoniques; nous pouvons done

6noncer le corollaire suivant.

Corollaire. Soit t~(s) la transform~e de Laplace-Borel de Cn; pour

tout s posi t i f posons

D, = (z = x + iy; xcosO -- ys inO < hA(O ) + e , v 0 } .

Si A a une densitd angulaire, on a

1 lira Cn(s) = - n ~ o o S

uni formdment sur le compldmentaire de D~.

2. Lemmes pr~l iminaires .

L e m m e 1. Soit A une suite dont les dldments sont rdpartis sur un nombre

f in i de demi-droites 0 = Ok (k = 1,2 , . . . ,m); on suppose que chaque sous-

suite A k de A formde des ~Idments de A situds sur la demi-droi te 0 = O k a

une densitd ([2] p. 10). Alors, si 0 est diffdrent de tout Ok d un mul t ip le de

-~ pros, pour tout 8 > 0 il existe un entier no et un hombre posi t i f r o qui ne

d~pendent que de ~ et O, tels que l'on ait

[ C,(A; re~~ < exp(rhh(O ) + rn)

dks que n > n o et r > r o.

PRODUITS CANONIQUES 391

m

D 6 m o n s t r a t i o n . On a CI(A;z ) = 1-I Cl(Ak;z) �9 k=l

On peut appliquer le lemme de [1] A chaque suite Ak. D'autre part

m

hA(0) = Z hA~(0 ) k=l

puisque chaque Ak a une densit6. I1 en r6sulte imm6diatement le lemme 1.

L e m m e 2. Soit ~n(s) la transformde de Laplace-Borel de Cn(A;z).

Pour tout 8 > 0 posons

D, = (z = x + iy: xcos0 - ys in0 < hA(0 ) + 8, 'V'0} .

Si A est telle que dans le lemme 1, on a

lirn r 1 n ~ o o S

uniformdment dans le compldmentaire de D~.

D6monstration. D'apr~s [1], ceci r6sulte imm6diatement du lemme 1.

L e m m e 3. Soit A une suite telle que dans le lemme 1. Pour tout 8

positif, il existe R(e) tel que r > R entrafne

[ C~(A; re'~ < exp(rhA(O ) + re)

quels que soient n e t O.

D6monstration. Donnons nous un e positif; soit

D~ = {z = x + iy: x cos 0 - y sin 0 < hA(0 ) + 8, V0}.

Soit F une courbe entourant D,/2 et contenue dans D,

Cn(reiO)_ 1 f 2ire ~ ( s ) exp(s re~)ds F

392 CHRISTIAN BARRIL

(r transform6e de Laplace-Borel de (7,)

Cn(re,O) = 1 [ 1 + f ( c ~ , ( s ) - 1) exp(sre,O)ds ] 2ir~

F

D'apr~s le lemme 2, il existe no(e ) tel que n > n o entra~ne

1 I C n ( s ) - s I < ~

pour tout s n 'appartenant pas ~t D,/2 .

Comme F ~ D~, on obtient, pour n > n o et r assez grand (r > ro)

IC.(re'~ I < exp(rhA(O ) + 2er).

D'autre part, quel que soit n < no il existe r,(e) tel que r > r,(e) entralne

I C.(re'~ < expr(hA(O)+ e) quel que soit 0. ([2] p. 71).

I1 existe done R(e) tel que r > R entra~ne

quel que soit 0.

l Cn(rei~ < exp(rhA(O ) + re)

quel que soit le sous-ensemble {el,...,Ctn} de {al , . . . ,a2, }.

D6monstration. Consid6rons les cercles de Cartan li6s ~t la suite

as, "", a2, et ~t H. Soit z ext6rieur ~t ees cercles. D'apr~s [2] p. 21, si on nu-

m6rote les points {ak} suivant leur distance croissante ~ z , on a

Lemme 4. Etant donnd un nombre H > 0 et des nombres complexes

non nuls, as, a2, ..., a2n , il existe un syst~me de cercles dans le plan complexe,

dont la somme des rayons est dgale d 2H, tel que pour tout z extdrieur gt

ces cercles, on a, en posant A = Max{la, I, i = 1,. . . ,2n},

PRODUITS CANONIQUES 393

H , ,Iz-akl > k

2n"

Si on classe les points {et} suivant leur distance croissante b. z, on aura

k H , quel que soit le sous-ensemble {e,} de {a,}.

Et

( el k = l

D'oth

Notations. Etant donn6s une suite A = {)~k} et un nombre ~ > 0, on

d6signera par A' = {2~,} toute suite telle que, pour tout k:

I Arg(;~) - Arg(2k) J < 6.

On d6signera par A" = (2~} toute suite telle que, pour tout k, on ait:

;4' = '~ ou 2; -- 2~ .

Une suite A' est done associ6e ~t une suite A et un nombre positif 8; une suite

A" est associ6e ~ deux suites A et A' .

Lemme 5. Soit A une suite ayant une densitd angulaire. Soit ~ et rl

deux nombres positifs donnds. II existe tSo(e, rl) tel que si ~ < r o et si A' est

une suite associde ?t A et ~, on peut trouver une f a m i l l e de cercles c~ de densitd

lindaire supdrieure (ddf. [2] p. 90) moindre que r l, hors desquels on a, pour

r assez grand:

]log[ C,(A;re'~ ] - log] Cl(A";re'~ [ < re,

quelle que soit la suite A" associr ?t A et A ' . (c~ ddpend de A et A').

394 C H R I S T I A N B A R R I L

D 6 m o n s t r a t i o n . Le principe de la d6monstration est celui de [-2] (p.

101 ou p. 109).

Soient a, z, fl des hombres positifs tels que: 0 < c r < l ; l < z < o o ;

0 < f l < � 8 9 f l < 1 - a ; fl < z - 1. Soit r = ]zl; on pose

P ( A ; z ) = 1-I 1 - la~ I-<ar

( z2) Q(A;z) = ]-[ 1 -

at< [,tk~ <(1 -p)r

( z2) S(A; z) = l-~ 1 - -~ (2 -t~)r~ [,~kl <(1 +~)r )~k

T(A; z) = r I 1 - (1 +~)r_-< lakl < *r

( z2) U ( A ; z ) = I-I 1 - [~kl_~ ~r ~ "

a) On a

cr

log[P(A;z)[ =< 2 ZIa~I _~-, l~ + ]-~k[) = \ 2 f l o g ( 1 + ~ ) d n ( 0 . 0

I1 existe K > 0 tel que n(r)/r < K. En int6grant par parties, on obtient:

D'autre part

log [ P(A; z) [ _> 2n(crr) log _-> 0 si a < 5"

Finalement on a

IloglP(A;z)l I ~ K ~ ( , ~ ) avec lim e l ( a ) = 0

et

PRODUITS CANONIQUES 395

[loglP(A";z)[ [ =< Krel(a) quelle que soit A". b) On a

CO

( r]_~[) f ( r 2 ) log]U(A;z)[ < Y~ log 1 + = log l + t - T- dn(t) "cr

log[U(A;z)] <= 2Kr(2-Arctg~ ).

D'autre part

Or

O0

r f (r;_) ]~ log 1 - - - > log 1 - dn(t). IXkl---f, 22 =

f ( r log 1 - dn(t) >= 1 ) T + I -Kzrlog 1--~-~ - K r l o g z _ 1

en int6grant par parties.

Finalement

et

tl]ogl u(A;z)[ [ ~ gr~2(~ ) avec lim ~2(z) = 0 f " ~ oO

[log[ U(N' ;z ) [ ] <__ Kre2(z ) quelle que soit A".

c) Consid6rons maintenant Q(A;z )e t T(A;z) . D'apr~s [2] p. 102 6tant

donn6 fl, tr, z et 2, il~ existe 60 tel que si 6 < 60 et si A' est une suite associ6e

~t A et 6, on a:

et

[log] Q(A; z)] - log[ Q(A'; z)

[log[ T(A;z)I ] - log ] T(A' ;z)

r~

--<3-

____r~

ees in6galit6s subsistent quand on remplace A' par N' .

396 CHRISTIAN BARRIL

d) Consid6rons S(A; z):

Ayan t fix6 tS, associons gt A une suite A ' , puis A". On proc6de c o m m e dans

[2], et, en uti l isant le l emme 4, on mon t re qu ' i l existe un syst6me de cercles

cg, de densit6 lin6aire sup6rieure moindre que fl(1 + fl)3(1 - fl)_2 et tel que

si z r et Izl > r , , on a

IloglS(A";z)l I Z 8r fl(aA + 1)log

quelle que soit A".

h = lim n(r) ) avec n ( r ) = ~, 1 . ,_.~ r [2k[=<r

e) C o n c l u s i o n . Etant donn6s e et ~/, on peut choisir fl tel que

2 fl(1 + fl)3(1 - f l ) - : < r/ et 8 r f l (4a + 1) log- z <

1--~" p

Choisissons aussi t r e t z tels que ~l(tr)<I--0"K- et /~2(T)< 10---K"

Alors, pour z = r e i~ en dehors de c~ et r > r 1 , on a, quelle que soit A":

Ilog[Cl(A;z)l-loglCl(A";z)l l <er

A' est une suite associ6e ~t A et ~5.

3. D ~ m o n s t r a t i o n du th~ori~me.

a) hA(0 ) 6tant cont inue, il existe ~ tel que l0 -- 0o1 < ~ entraine

]hA(0) -- hA(0O) [ < e.

Soit r / < a/8; A e et r/ on peut associer r o c o m m e au lemme 5. Soit 6 < ~5 o et

m entier tel que m~5 < 2re < (m + 1)6. On considbre la suite A ' d6finie par

Arg2 k = p~ si A r g 2 k e [ p ~ , ( p + l ) 6 [ p = 0,1, "" (m --1)

PRODUITS CANONIQUES 397

b) Nous allons comparer hA,(0) et hA(0).

D'aprbs le lemme 5, il existe une famille 5 de cercles et rl tels que, si z ~ 5 et I z l > r ~ :

o n

(3-1)

[log [ CI(A; z) I - l o g l CI(A' ;z)[ I < er

log] Cx(A'; z)[ < ~r + log I CI(A;z)[.

D'autre part, d'apr~s I-2] (p. 71), il existe r](e) tel que r > r'~ entraine

(3-2) log I Cx(A; rei~ < rh^(O) + re.

D'apr~s 3-1 et 3-2 on a, pour r > r2(e ) et re~~

(3-3) log l Cx(A'; rei~ I < rhA(O ) + 2re.

On va 6tendre cette propri6t6 aux points de 5 . Soit z e 5 , f l l e plus petit

domaine connexe par arcs contenant z et contenu dans 5 , d son diam&re.

Les cercles 5 ayant une densit6 lin6aire sup6rieure moindre que ~/8, les

points Z de la fronti~re de f] sont tels que, pourvu que [ z I soit assez grand:

~ ' [Arg(Z)- Arg(z)l = 2 < ~-

(Izl>

La fonction log I C,(A' ; z) t est sousharmonique; d'apr~s le principe du ma-

ximum, il existe Z appartenant ~t la fronti~re de f~ tel que:

log] CI(A' ;z) I < log]Cl(A';Z)[.

Comme Z ~ 5 , on a, d'apr~s 3-3, et si ArgZ = 01,

log I CI(A'; rei~ I < (r + d) [hA(01) + 25].

Comme [ 0 - 0 1 1 < ~ , on a IhA(O)--hA(01)l < e et doric

log l Ct(A'; ret~ I < rhA(O) + re'

398 CHR/STIAN BAR_RIL

avec e ' = 2 A t / + 3~ (1 + 2r/), A d6signant le maximum de hA sur [0,2r@

Ceci entrMne

(3-4) hA,(O) < hA(O) + e'.

c) La suite A' d6finie en a) est du type de celle consid6r6e dans le lemme 3,

puisque A a une densit6 angulaire. I1 existe donc R0(8 ) tel que r > R o

entra[ne:

log I C.(A';re '~ < rha,(O) + re

pour tout n et tout 0.

En comparant avec 3-4, on a, pour r > R o et en posant e" = e + e'

(3-5) log] C.(A'; r e i~ ] < r hA(O) + re".

d) Soit A" d6finie gt partir de A et A' par

2 [ = 2 k si k < n

2~' 2~ si k > n .

D'apr~s le lemme 5, on a, pour Izl >r3 et z ~ 5 :

Ilogl Cl(A;z) l - log I(CI(A"; z)l I < er

quelle que soit A". ou

Ilog/Cn(A, z ) I - logl Cn(A', z)l I < 8r

quel que soit n.

Soit z = re ~~ n'appartenant pas ~ 5 et tel que r > r4(8); soit 81 = 8" + 8;

d'apr6s 3-5, on a, quel que soit n e t quel que soit 0

(3-6) log I C,(A;rei~ < rh^(O) + r81.

e) Nous allons &endre (3-6) aux points de 5 .

Soit z e 5 ; on procbde comme en b) pour d6finir un domaine I'~. I1 existe

Z appartenant gt la fronti~re de f~ tel que

PRODUITS CANONIQUES 399

log] C.(A; z) I < log[ C.(A; Z) I

ou, d'apr6s 3-6

log [ C.(A;z) I < [hA(01) + 81] [r + d] (01 = Arg Z)

et, en utilisant la continuit6 de hA:

log I C.(A; rei~ < (hA(0) + 82)r

avec 52 = 2 A t / + 38x(1 + 2)/).

Finalement il existe ro(e ) tel que r > ro entraine

log] C,(A; r e~~ l < (hA(O) + e2)r

pour tout n e t tout 0. e

Si r /< �89 on a 82 < 14At /+ 488; il suflit de prendre r /< ~ pour avoir

82 < 508.

4. Application.

~'(f~) est l'espace des fonctions holomorphes sur 1'ouvert f~ de C, muni

de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.

Etant donn6 une suite A, on d6signe par ~A(f~) le sous-espace ferm6 de

~ ( f~ ) engendr6 par les {eaZ}~eA. Si f~ contient 0, on d6signe par fl c le translat6 de I) par la translation qui

amine 0 en ( .

D'apr~s [3] ou [4] (lecture 16, w le coroUaire 6nonc6 dans l ' introduction

a comme cons6quence la propri6t6 suivante:

Soit A une suite ayant une densit6 angulaire, f~ un ouvert tel que, pour

un 8 positif, f~ contienne

D, = {z = x + iy: x cos 0 - y sin 0 < hA(0 ) + 8, V0}.

Soit J un arc de Jordan ferm6 passant par 0, G = [.J f~r H l'int6rieur

de J . Toute fonction f appartenant ~ ~A(K~) qui est prolongeable analytique-

ment dans G est prolongeable dans H en une fonction appartenant gt a~dA(H).

400 CHRISTIAN BARRIL

BIBLIOGRAPHIE

1. A. Baillette, Transform6es de Laplace-Borel de produits canoniques, Collectanea mathematica, volume XVIII, fasc. 3 1966-67.

2. B. Levin, Distribution of zeros of entire functions, American Mathematical Society. Providence, Rhode Island 1964.

3. A. F. Leontiev, S6ries de polyn6mes de Dirichlet et leurs g6n6ralisations (en russe), Troudi (travaux) de l'institut Steklov, 39 Moscou, 1951.

4. J-P. Kahane, Mean periodic functions, Tata Institute of Fundamental Research, Bom- bay 1959.

COLLlbGE SCIENTIFIQUE~ UNIVERSITAIRE PERPIGNAN, FRANCE

(Regu le 24 avril 1971)