Projet De ThéOrie Des Circuits

1

PROJET DE THEORIE DES CIRCUITS – BAC 3

CONCEPTION D’UN BANC DE FILTRES POUR HAUT-PARLEURS

MULTIVOIES BIAMPLIFIES

Roppe Quentin, Masure Pierre, Kamga Yannick

2

Introduction L’objectif de ce projet est de réaliser l’étude de composants essentiels dans la fabrication des haut-parleurs, à savoir le

crossover à 2 voies. Les haut-parleurs ne fonctionnant de façon optimale que dans une plage de fréquences déterminée, il est

nécessaire que le signal audio soit adapté en fréquence à l’aide d’un banc de filtres. Dans un premier temps, nous allons

analyser des crossover actif et passif à 2 voies. Ensuite, nous élaborerons notre propre banc de filtres actifs à 2 voies.

3

Première partie : études des bancs de filtres passifs et actifs

A . Banc de filtres passif à 2 voies de type LC

1. Calcul des fonctions de transfert (détail des calculs dans annexes (1) )

Filtre passe-haut

²² 1 1

Filtre passe-bas

1 ² 1 1

2. Choix des valeurs de L et de C des filtres passifs

Les filtre passe-haut et passe-bas sont deux filtres du second ordre de type ²² Il a été démontré que la pulsation de coupure ω’=ρ. √ ω′ 2 2300 / (fréquence de cassure choisie 300Hz) 2.8145 % 10&'

Nous pouvons déterminer la valeur de la capacité ainsi que celle de l’inductance en utilisant 2 conditions.

Condition 1 : les fonctions de transfert doivent présenter 2 pôles complexes conjugués.

Pourquoi ? Si nous n’avons pas 2 pôles complexes conjugués, il y aura 2 fréquences de cassure.

Pour avoir 2 pôles complexes conjugués il faut que ( ) * : + ) √ avec R = 8 Ω.

On trouve que ,- ) .

Condition 2 : il est intéressant, pour avoir une cassure nette, de ne pas avoir de résonance.

Cette condition supplémentaire impose que . ) 1.

4

/√01/21 ) 1 avec R = 8 Ω.

On trouve que ) -3.

On doit donc imposer des valeurs de C et de L vérifiant : ,- ) ) -3 .Nous choisirons

comme valeurs admissibles 5 % 10&,4 50 54

Site www.farnell.com : 1,06 €

5.6 % 10&7 5.6 8

Site www.farnell.com : 1,40 € 0.00892857142857143.

Vérification de la nouvelle fréquence de cassure : 300.77 Hz. Les valeurs de C et L semblent donc être acceptables étant donné que la fréquence souhaitée était de 300Hz.

3. Examen des réponses en fréquence de chacun des filtres sous Matlab

Filtre passe-haut

Code Matlab :

R=8 ; C=5*10^-5 ; L=5.6*10^-3 ;

N1=[1 0 0] ; D1=[1 (1/(R*C)) (1/(L*C))] ;

w=logspace(1,4,10000) ;

freqs(N1,D1,w) ;

Filtre passe-bas

Code Matlab :

R=8 ; C=5*10^-5 ; L=5.6*10^-3 ;

N2=[0 0 (1/(L*C))] ; D2=[1 (1/(R*C)) (1/(L*C))] ;

w=logspace(2,6,10000) ;

freqs(N2,D2,w) ;

Nous obtenons alors sous Matlab les courbes en amplitude et en phase respectivement des filtres passe-haut et passe-bas. Il s’agit bien de filtres passe-haut et passe-bas cassant en 1884 rad/s. Et présentant des asymptotes tendant vers 9∞ au niveau de leur bande atténuée. On peut également montrer qu’ils cassent parfaitement à la même fréquence en superposant les graphes via la commande Matlab ‘hold on’.

5

101

102

103

104

0

50

100

150

200

Frequency (rad/s)

Pha

se (

degr

ees)

101

102

103

104

10-5

100

105

Frequency (rad/s)

Mag

nitu

de

6

Vérification de la fréquence de cassure Zoom sur le point d’intersection ginput(2) cliquer 2 fois sur le point d’intersection

On obtient ; 1912.70290965634 >? 1899.83943368627 (rad/s)

f= @.'A@A@-,-73B 304.416122738057Hz

f= C@@.C7@377-C-'B 302.368836952077 Hz

Il convient d’apprécier la proximité de nos valeurs expérimentales avec la valeur théorique de la fréquence de cassure de 300 Hz aux erreurs d’arrondi près.

B . Banc de filtres actifs à 2 voies

4. Fonction de transfert opérationnelle, ordre et type de filtre, calcul de la fréquence de cassure

Nous avons séparé la figure 7 en un filtre passe-bas (au-dessus) et un filtre passe-haut (en-dessous), chaque filtre étant lui-même divisé en une partie gauche et une partie droite.

101

102

103

104

105

-100

-80

-60

-40

-20

0

20Asymptotic and Bode Plot : amplitude

rad/s

dB

7

Filtre passe-bas gauche

D E?F>D>G?é> F I E?F> 0. 9 J KEG?> 9 éK?FEG GéL?FM>J F>K? 9 J2J1

J2 2 122 12

J1 1 car les capacités de 4.7 5F ne doivent pas être prises en compte.

Après calculs, il vient :

9 12 1 122 9 2500 2500

Pas de zéros. Un pôle. Il s’agit d’un passe-bas avec une asymptote de pente égale à -20 dB/déc à partir de la pulsation de cassure (2500 rad/s) tendant vers 9∞ rad/s.

Pulsation de cassure = ;N 2500 /

Ordre = 1

Type : filtre passe-bas

Fréquence de cassure= 397.887357729738 Hz

Filtre passe-bas droit

Selon l’annexe 2 (des notes de cours) :

; 13 4 3 4 2500² . O43341 43 1

K=1

; ;. ; 2500² 2500 2500

8

Pas de zéros. 2 pôles complexes conjugués. C’est donc un passe-bas de pente égale à -40 dB/déc à partir de la pulsation de cassure 2500 rad/s.

roots([1 2500 2500^2])= -1250 + 2165.0635094611 *i et -1250 - 2165.0635094611*i.

Pulsation de cassure = ;N 2500 /

Ordre = 2

Type : filtre passe-bas


Filtre passe-haut gauche

9 65 15 6 9 2500

Un zéro en 0. Un pôle à la pulsation 2500 rad/s. Asymptote avec une pente +20 dB/déc venant de 0 rad/s (en fait 0 est rejeté à l’9∞). Pente descend à 0 dB/déc à partir de 2500 rad/s car annulation mutuelle du zéro et du pôle. Il s’agit donc d’un passe-haut.

Pulsation de cassure = ;N 2500 PQRS

Ordre=1

Type : filtre passe-haut


Filtre passe-haut droit

Selon l’annexe 3 ( des notes de cours) , filtre de type Sallen-Key :

T ;. ;

; '+'C+C = 2500²

. O87781 78 1

K=1

9

2500 2500

Un zéro double en 0. 2 pôles complexes conjugués en la pulsation 2500 rad/s. +40 dB/déc à partir de 0 rad/s. 0 dB/déc à partir de 2500 rad/s car annulation mutuelle du zéro double et des 2 pôles complexes conjugués. C’est donc un passe-haut.

Pulsation de cassure = ;N 2500 PQRS

Ordre = 2

Type : filtre passe-haut


N.B.* Les fréquences de cassure sont calculées en divisant les pulsations de cassure par 2π.

*Les ordres sont déterminés via le degré du dénominateur.

*Le type de filtre est déterminé par calcul des racines du numérateur et du dénominateur. Un zéro simple (double) (au numérateur) donne une contribution de +20 dB/déc (+40 dB/déc) à partir de la pulsation du zéro.

*Un pôle simple (double) (au dénominateur) donne une contribution de -20 dB/déc (-40 dB/déc) à partir de la pulsation du pôle.

5. Explication de l’approximation des filtres (Butterworth, Chebyshev 1 ou Cauer ?)

Il est intéressant de faire un rappel théorique concernant les différentes approximations possibles des filtres en expliquant les différences sur l’étude des représentations dans le plan de Gauss des zéros et des pôles des fonctions de transfert. Voir annexes (2). Plaçons les zéros et les pôles des fonctions de transfert dans le plan complexe en utilisant la fonction ’zplane‘ de Matlab. On a considéré que l’on multipliait les ensemble (explications dans le point 6) pour obtenir les filtres globaux les pôles et zéros s’ajoutent sur le même graphe.

Filtre passe-haut : 1 9 2500 2 2500 2500

Code Matlab :

N1=[-1 0] ; D1=[ 1 2500] ; N2=[1 0 0] ; D2=[1 25 00 2500²] ;

zplane(N1,D1) ; hold on; zplane (N2,D2);

abs(roots(D1)); abs(roots(D2));

10

On constate qu’on est donc en présence d’une approximation de Butterworth car tous les pôles sont localisés à gauche de l’axe imaginaire sur un cercle de rayon 2500. (abs(roots(D1))= 2500 ;abs(roots(D2)) = 2500 , 2500 ) ;

Filtre passe-bas

3 9 2500 2500 4 2500² 2500 2500

Code Matlab :

N3=[0 -2500] ; D3=[ 1 2500] ;

N4=[0 0 2500²] ; D4=[1 2500 2500²] ;

zplane(N3,D3) ; hold on ; zplane(N4,D4);

abs(roots(D2)); abs(roots(D1));

11

On constate qu’on est donc en présence d’une approximation de Butterworth car tous les pôles sont localisés à gauche de l’axe imaginaire sur un cercle de rayon 2500. (abs(roots(D1))= 2500 ;abs(roots(D2)) = 2500 , 2500 ) ;

6. Degré global des filtres passe-haut et passe-bas actifs

de ce Crossover actif à 2 voies.

Filtre passe-haut 1 % 2

N.B. On peut multiplier les fonctions de transfert en cascade uniquement dans ce cas-ci car on est en présence de filtres actifs c’est-à-dire des filtres utilisant des amplificateurs opérationnels. La mise en cascade ne pompe donc pas un courant supplémentaire qui aurait pu fausser la multiplication des fonctions de transfert. Si on avait mis des filtres passifs en cascade, on aurait dû utiliser les matrices de chaîne pour calculer la fonction de transfert globale du filtre passe-haut.

deg(H(p))= deg( H1(p)) + deg(H2(p))

Degré = nombre de pôles ou degré du dénominateur

12

deg(H1(p))=1

deg(H2(p))=2

Degré du filtre passe-haut=3

Filtre passe-bas 3 % 4

deg(H(p))=deg(H3(p)) + deg (H4(p))

deg(H3(p))=1

deg(H4(p))=2

Degré du filtre passe-bas=3

7. Examen des réponses en fréquence des filtres globaux

passe-haut et passe-bas sous Matlab et vérification de leur

bon fonctionnement

Filtre passe-haut :

N1 = [-1 0] ; D1 = [ 1 2500] ;

N2 = [1 0 0] ; D2=[1 2500 2500²] ;

UV U1V1 U2V2

U KEGMU1, U2; V KEGMV1, V2; U Y91 0 0 0Z ; V Y1 5000 12500000 15625000000Z ;

On doit obtenir une fréquence de cassure de l’ordre de 400 Hz. On doit donc centrer le w sur une valeur = 2π400 rad/s= 2513.27412287183 rad/s.

log10(2513.27412287183)= 3.40023985968608 on va centrer autour de 3 : [1,6].

w=logspace(1,6,10000) ;

freqs(N,D,w) ; --pour obtenir la réponse en fréquence du filtre global

13

Filtre passe-bas :

N3=[0 -2500] ; D3=[ 1 2500] ;

N4=[0 0 2500²] ; D4=[1 2500 2500²] ;

UV U3V3 U4V4

U KEGMU3, U4; V KEGMV3, V4; U Y0 0 0 9 15625000000Z ; V Y1 5000 12500000 15625000000Z ; On doit obtenir une fréquence de cassure de l’ordre de 400 Hz.

log10(2513.27412287183)= 3.40023985968608

w=logspace(1,6,10000) ;

freqs(N,D,w) ; --pour obtenir la réponse en fréquence du filtre global

14

Combinaison des 2 filtres

Zoom sur l’intersection des 2 courbes ginput(2) ;

ans=2497.97189052758 0.70131419564850 2497.97 2 % 397.564574082 [⁄

2506.84328356954 0.7389588286752812506.84 2 % 398.976500136 [⁄

Moyenne=398.270537109441 Hz Erreur relative = 7@C.'A,7'A@33& 7@'.CC'7,''@'7C 7@'.CC'7,''@'7C 0.000962108275655247

Conclusion : il y a une erreur relative de 0.09 % par rapport à la fréquence de 397.88 Hz que nous étions sensés obtenir. Nous avons obtenu une bonne précision.

15

Deuxième partie : conception d’un banc de filtres actifs

L’objectif de cette seconde partie est de réaliser la synthèse d’un filtre passe-bas d’un Crossover à 2 voies en définissant nos propres paramètres caractéristiques du filtre. Cependant, certaines restrictions nous sont imposées : maximum de deux amplis opérationnels, zone de transition la plus réduite possible, fréquence de cassure entre 300 et 500Hz. Pour réaliser cela, plusieurs étapes ont été nécessaires :

1. Conception des gabarits des filtres

Gabarit du filtre passe-bas :

Nous avons choisi comme spécifications du filtre passe-bas une bande passante allant de 0 à ωp valant 2*pi*400 = 2513.27 rad/s, un affaiblissement en bande passante Ap égal à 2dB et une atténuation en bande atténuée As de 60dB. En pulsations normalisées, la valeur de ωp

vaudra 1 (formule de normalisation : Ωp = ω / ωc = ωp / ωp = 1). Le fait de normaliser nous permettra de manipuler des coefficients de H(p) peu élevés.

Gabarit du filtre passe-bas normalisé :

De la même façon, nous allons établir le gabarit du filtre passe-haut.

16

Gabarit du filtre passe-haut :

Les valeurs des paramètres du passe-haut sont identiques à celles du filtre passe-bas. Cependant, la normalisation ne s’effectue pas de la même façon. Pour Ωp, cela ne change rien Ωp = ωc / ω = ωp / ωp = 1, on se ramène à une valeur unitaire malgré le fait que la fraction ait été inversée par rapport au passe-bas. Mais en ce qui concerne le paramètre Ωs = ωc / ωs , il sera l’inverse du Ωs du passe-bas. Nous y reviendrons lors de l’approximation analytique des filtres sous Matlab.

2. Approximations analytiques du filtre passe-bas

Nous allons, dans cette partie, faire correspondre des filtres au modèle que nous nous sommes fixés au point précédent. Le but sera d’établir une fonction de transfert vérifiant au mieux les paramètres du gabarit. Sachant que les filtres doivent être au maximum d’ordre 4 étant donné que nous disposons de 2 amplis opérationnels, nous allons à l’aide de Matlab minimiser la zone de transition [Ωp , Ωs ]. Les approximations que nous allons utilisées sont celles de Butterworth, Chebyshev I et Cauer (voir annexes (2) ). Par approximations successives, nous réduirons au maximum la zone de transition sans dépasser l’ordre 4 et obtiendrons ainsi la valeur de Ωs qu’il nous manquait pour définir complètement le gabarit du filtre.

Passe-bas

Butterworth :

Code Matlab :

[N, ΩN] = buttord ( Ωp , Ωs , Ap , As ,’s’);

= buttord (1 , 6.02 ,2 , 60 ,’s’) ;

--> N=4

[A,B]= butter (N, ΩN ,’s’);

Nous obtenons comme fonction de transfert :

17

1.3134 3 2.7974 7 3.9128 3.2059 1.3134

*pôles de H(p) : -0.4097+/- 0.9890 i

-0.9890+/- 0.4097 i

*filtre d’ordre 4

* réponse en fréquence :

Il s’agit bien d’un filtre passe-bas présentant une asymptote à 0 dB pour ω 0 rad/s et une asymptote tendant vers -∞ en +∞ rad/s. On observe bien une chute de 3 dB à la pulsation de cassure de 1 rad/s. Mais ce qui est le plus important à remarquer sur ce graphe et qui permet de vérifier qu’il est bien conforme aux spécifications imposées, est qu’il présente bien une chute de 58 dB (260 dB ) entre 1 et 6.02 rad/s ( intervalle de pulsation normalisée correspondant à notre zone de transition).

10-1

100

101

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0


rad/s

dB

18

*réponse en phase :

*position des pôles et zéros (il n’y en a pas dans ce cas-ci) :

10-1

100

101

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0Asymptotic and Bode Plot : phase

rad/s

rad

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

19

Nous constatons que les pôles sont bien répartis le long d’un cercle.

Chebyshev I :

Code Matlab :

[N, ΩN] = cheb1ord ( Ωp , Ωs , Ap , As ,’s’);

= cheb1ord (1 , 3.65 ,2 , 60 ,’s’) ;

--> N=4

[A,B]= cheby1 (N , Ap , ΩN ,’s’);

Nous obtenons comme fonction de transfert : 0.1634 3 0.7162 7 1.2565 0.5168 0.2058

*pôles de H(p) : -0.1049+/- 0.9580 i

-0.2532+/- 0.3968 i

*filtre d’ordre 4


10-1

100

101

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10


rad/s

dB

20

De nouveau, nous obtenons bien un filtre passe-bas qui répond parfaitement aux spécifications imposées. En effet, on observe bien une chute de 58 dB sur une gamme de pulsation allant de 1 à 3.65 rad/s qui correspond effectivement à notre zone de transition.

21


* position des pôles et zéros (il n’y en a pas non plus) :

10-1

100

101

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1


rad/s

rad

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

22

Cauer :

Code Matlab :

[N, ΩN] = ellipord ( Ωp , Ωs , Ap , As ,’s’);

= ellipord (1 , 2.25 , 2 , 60 ,’s’) ;

--> N=4

[A,B]= ellip (N , Ap , As , ΩN ,’s’);

Nous obtenons comme fonction de transfert :

0.001 3 0.0372 0.1821 3 0.7128 7 1.2817 0.5366 0.2293 *pôles de H(p) : -0.0951+/- 0.9637 i

-0.2613+/- 0.4197 i

*filtre d’ordre 4


Nous constatons encore plus facilement grâce à une asymptote en +∞ à -60dB que nous spécifications sont respectées. De plus, le graphe présente 2 anti-résonances correspondant à deux zéros sur l’axe imaginaire. Ces pics n’ont pas d’importance puisqu’ils sont situés en bande atténuée.

10-1

100

101

102

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20


rad/s

dB

23


* position des pôles et zéros

10-1

100

101

102

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0


rad/s

rad

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Part

Imag

inar

y P

art

24

Remarque : nous avons réalisé la même démarche pour le filtre passe-haut. Celle-ci est détaillée dans les annexes (3).

3. Choix du filtre à retenir

Nous avons séléctionné le filtre de Cauer car il présente une zone de transition moins large que celles de Butterworth et Chebyshev. Cependant, dans l’approximation de Cauer, on peut observer que la condition de non-distorsion sur la phase n’est pas respectée. Cela n’est pas important pour le cas qui nous préoccupe car il s’agit d’un signal audio. En effet , l’oreille humaine est un récepteur quadratique en intensité et est insensible au déphasage sur le signal entendu. De plus, la distorsion en amplitude se situe en bande atténuée et n’est donc pas un problème.

4. Synthèse du filtre passe-bas

La fonction de transfert du filtre de Cauer :

0.001 3 0.0372 0.1821 3 0.7128 7 1.2817 0.5366 0.2293 Etant donné que nous construisons notre passe-bas avec deux amplis opérationnels, nous allons construire deux cellules (un ampli par cellule) présentant chacune une fonction de transfert avec un dénominateur du second ordre. Notre H(p) global sera ainsi du 4ème ordre au dénominateur.

H^ H % H

Nous avons donc rassemblé, pour chaque cellule, deux pôles avec deux zéros (et ainsi avoir du deuxième ordre au dénominateur pour chaque cellule). L’objectif est de maximiser la dynamique de notre filtre c’est-à-dire construire une première cellule qui ne sature pas la seconde. Il faut donc que la réponse en fréquence de chaque cellule soit la plus plate possible dans le domaine de fréquences utiles. Nous allons choisir des pôles qui ont le plus grand facteur de qualité Q et les associer avec les zéros les plus proches afin d’obtenir la résonance la plus basse ( « pôles tirant les zéros vers le bas »).

zéros et pôles de Cauer :

zéros : +/- 5.5991 i (A) pôles : -0.0951 +/- 0.9637 i (C)

+/- 2.4104 i (B) -0.2613 +/- 0.4197 i (D)

25

Les pôles qui ont le plus grand Q : pôles (C) Q 0.9680.19 5.09

pôles (D)

Q 0.4940.522 0.94

On va donc associer les pôles (C) avec les zéros les plus proches (B). Nous obtenons alors comme fonction de transfert : (remarque : nous avons calculé ces fonctions à partir du ‘format long’ de Matlab afin d’obtenir la plus grande précision. En rédigeant, nous avons arrondi les valeurs mais dans les calculs qui suivront nous avons conservé un maximum de chiffres après la virgule).

` 9 92.4104 Fa % 9 2.4104 F ` 9 90.0951 0.9637 F a % 9 90.0951 9 0.9637 F

Code Matlab: KEGMEbcd, Ebcd KEGMEbc, Ebc

où - poly permet d’obtenir un polynôme des zéros et des pôles

- conv réalise la multiplication des polynômes

5.8102 0.1901 0.9378

De même,

Code Matlab: KEGMEbce, Ebce KEGMEbcV, EbcV

31.3499 0.5226 0.2445

26

Il ne faut pas oublier les constantes T et T associées à chaque cellule. Leur produit doit valoir la constante globale de ^ et le gain de chaque cellule doit être similaire dans les domaines de fréquences utiles.

T 5.8102 0.1901 0.9378

T 31.3499 0.5226 0.2445

On sait que f f % f avec f et f similaires f f f f gf Pour trouver les gains, il suffit de calculer ce que valent les fonctions de transfert en bande passante c’est-à-dire à ω = 0 rad/s: 0 T 5.8102 0.9378 f 0 T 31.3499 0.2445 f ^0 0.1821 0.2293 f

Après calculs, on trouve T =0.143857 et T =0.006951

Après avoir remplacé T et T dans l’expression des fonctions de transfert, nous obtenons bien que ^ % qui est la preuve que les valeurs de T et T sont correctes.

Ordre des cellules

Nous allons placer l’ampli qui a le plus petit facteur de qualité c’est-à-dire la plus petite résonance comme premier ampli opérationnel afin de ne pas saturer l’ampli suivant.

Q de = 5.094 et Q de = 0.944 sera placé devant .

Choix du type des cellules

Nous remarquons que la seule cellule disponible dans le catalogue de filtres qui ait un numérateur du type ω est le réjecteur de fréquence de Sallen-Key. Nous avons également Q<5 (quasiment pour ).

27

Calcul des éléments des cellules

Nous allons déterminer les valeurs des composants à l’aide de ‘Second Order Active Filters’. Nous rentrons pour certains composants des valeurs fixées par les fonctions de transfert calculées précédemment( , , .. Par contre, les valeurs des capacités sont fixées arbitrairement et initialisées dans un premier temps à 1F. Ensuite par tatônnement, nous essayons de régler ces capacités afin de faire correspondre les T et T que nous avons calculés avec l’output du logiciel. Le but est d’obtenir des valeurs de composants ayant des ordres de grandeur similaires car nous devrons par la suite dénormaliser et aller chercher ces composants dans le catalogue Farnell.

Fonction de transfert

Input : % ω √5.8102 = 2.4104 rad/s

.3A3.B = 0.3836 Hz % ω √0.9378 = 0.9684 rad/s

[email protected] = 0.1541 Hz

* @ 1 Ω (fixé abitrairement)

* . 0.1901

. A.@-C3A.@A = 5.0947

* 3 doit respecter la condition : 3 | 9 1 % . | Output : 0.0000958 4 0.00105 4 7 0.001 4 3 0.001 4 , 1002.16 Ω - 1956.59 Ω ' 578.388 Ω C 2959.88 Ω A 0.782665 Ω

Fonction de transfert

Input : % ω √31.3499 = 5.5991 rad/s

,.,@@.B = 0.8911 Hz % ω √0.2445 = 0.4945 rad/s

A.3@3,.B = 0.0786Hz

* @ 1 Ω (fixé abitrairement)

* . 0.5226

. A.3@3,A.,- = 0.9445

* 3 doit respecter la condition :

3 | 9 1 % . | Output : 0.000012437 4 0.001 4 7 0.001 4 3 0.14 , 1139.48 Ω - 2278.95 Ω ' 750.318 Ω C 54.8326 Ω A 55.5965 Ω

28

Les T et T sont respectivement égaux à 0.14385 et 0.00695158 ce qui est très proche des valeurs théoriques. Les indices utilisés pour les résistances et les capacités sont ceux prédéfinis dans ‘Second Order Active Filters’.

5. Vérification des réponses sous Multisim

Circuit associé à la fonction de transfert

Réponse en fréquence associée au circuit (tous les fichiers multisim sont dans le zip « Multisim »)

Caractéristiques de la réponse :

*une courbe chutant à environ 100 kHz provenant de la saturation de l’ampli

* une asymptote pour ω +∞ rad/s de -16.844 dB (juste avant la saturation dans ce cas-ci)

*une anti-résonance en 380.943mHz tendant vers -∞ (zéro sur l’axe imaginaire)

Remarque : l’axe des ordonnées est gradué en dB (gain) et l’axe des abscisses en Hz (fréquence)

*une asymptote pour ω 0 rad/s de -0.997 dB

*une résonance en 154.369 mHz de 11.6dB. Nous retombons presque sur la valeur du Q calculée précédemment valant 5 (nous obtenons ici une valeur de 10.-/A 4.5. Erreur dûe aux arrondis.

C1

95.8uFIC=0V

C2

1.05mFIC=0V

C31mFIC=0V

C41mFIC=0V

R1

1.00216kΩ

R2

1.95659kΩ

R3

1Ω

R42.95988kΩR5

578.388Ω

R6

782.665mΩ

U1

OPAMP_3T_VIRTUAL

XBP1

IN OUTV2

1 Vpk 1kHz 0Deg

29

Circuit associé à la fonction de transfert

Réponse en fréquence associée au circuit




*pas de résonance, ce qui correspond à nos prédictions théoriques (Q= 0.944 < 1)

*une anti-résonance en 890.123mHz tendant vers -∞ (zéro sur l’axe imaginaire)

* une asymptote pour ω +∞ rad/s de -43.161 dB (juste avant la saturation dans ce cas-ci)

*une courbe chutant à environ 20 kHz provenant de la saturation de l’ampli

* fréquence de cassure = 66.742mHz

C5

12.437uFIC=0V

C6

1mFIC=0V

C71mFIC=0V

C8100mFIC=0V

R7

1.13948kΩ

R8

2.27895kΩ

R9

1Ω

R1054.8326Ω

R11750.318Ω

R12

55.5965Ω

U2

OPAMP_3T_VIRTUAL

XBP2

IN OUTV3

1 Vpk 1kHz 0Deg

30

Circuit associé à la fonction de transfert globale


*fréquence de cassure = 149.908 mHz




*2 anti-résonances en 380.9mHz et 890.1 mHz tendant vers -∞

* une asymptote pour ω +∞ rad/s à -60.005 dB (avant la saturation)

*une courbe chutant à environ 20kHz provenant de la saturation de l’ampli

Conclusion : le filtre répond parfaitement au cahier des charges imposé. En effet, la courbe d’affaiblissement en bande passante vaut bien -2 dB (≈ -1.972 dB) et l’atténuation en bande atténuée est de -60dB (≈-60.005 dB).

31

6. Calcul de la sensibilité de ωp par rapport à R'

La sensibilité (théorique ) de ωp par rapport à ' : + + % + R'A répond à la

question suivante : « Si on modifie ' de n %, combien de m %, ω varie-t-il ? ». La

sensibilité peut donc également être calculée par le rapport m/n (expérimental).

ω 1gR. '. . % 1 RRC1 C3C

K = % g ./.¡ % + % 9

S = K * '&7/ = -0.5

Vérifications :

Si ' varie de 10% ' 578.388 Ω ¢ ' 636.2268 Ω ), ω varie de 4.9% ( 0.9684

rad/s ¢ 0.9232 / m/n = 4.9 / 10 = 0.49 qui est la valeur de S en valeur absolue ( on peut retrouver le signe en constatant que ω diminue de 4.9%). De même, si ' varie de 20%, ω varie de 9.5% 9.5/20 = 0.48 qui est très proche de 0.5.

7. Dénormalisation en fréquence et en impédance

On dénormalise le filtre en fréquence en divisant les capacités par la pulsation de normalisation ω. ω = 2 % % 400 2513 .274 /


La réponse est exactement la même du point de vue des amplitudes mais le graphe a subi un glissement au niveau des fréquences. Nous obtenons une fréquence de cassure de 401.997 Hz alors que nous devions obtenir 400 Hz. Le petit écart provient des arrondis successifs et de la précision du curseur.

32

Pour obtenir des valeurs de résistances et de capacités ayant des valeurs classiques c’est-à-dire facilement trouvables dans le catalogue Farnell, nous allons multiplier les résistances par A 10& et diviser les capacités par ce même A. La fonction de transfert ne s’en trouve pas modifiée. Nous obtenons alors comme valeurs de R et C pour les deux filtres.

Remarque : les indices sont ceux de Multisim.

Fonction de transfert 3.8118 % 10&- 4 41.778 % 10&- 4 7 39.789 % 10&- 4 3 39.789 % 10&- 4 10.0216 Ω 19.5659 Ω 7 10 8 Ω 3 29.5988 Ω , 5.78388 Ω - 7.82665 8 Ω

Fonction de transfert , 494.85 % 10&@4 - 39.789 % 10&- 4 ' 39.789 % 10&- 4 C 3.9789 % 10&7 4 ' 11.3948 Ω C 22.7895Ω @ 10 8 Ω A 548.326 Ω 7.50318 Ω 555.965 8 Ω

Nous remarquons, comme nous l’avions prédit, que la réponse est identique :

33

8. Utilisation de composants normalisés et estimation du prix du filtre

En consultant le catalogue Farnell, nous avons essayé d’approcher au mieux les valeurs théoriques des différents composants. Pour ce faire, nous avons mis la majorité des composants en série. Pourquoi ne pas avoir mis les capacités en parallèle ? La précision de la mise en parallèle est limitée à la précision de la capacité la plus petite disponible (0.1 µF nous devions être plus précis). De plus, cela nous a permis de n’utiliser que deux capacités en série pour se ramener à notre valeur théorique et ainsi réduire le coût du filtre. Enfin, utiliser plus de deux capacités pour augmenter la précision peut avoir l’effet inverse : les erreurs relatives vont s’additionner.

Capacités :

C1en série 4.7 µF (0.68€) avec 20 µF(1.04€) C1=3.8057 µF

C2en série 200 µF (1.28€) avec 52 µF (4.84€) : C2= 41.2698 µF

C3 et C4 et C6en série 180 µF (3.52€) avec 50 µF (3.49€) : C3/C4/C6= 39.1304 µF

C5en série 640nF (provenant de la mise en // de 2*100 nF et 2*220 nF) (2.28€) avec 1500nF (0.54€), le tout placé en // avec 47 nF (2.60€) : C5= 495.4981 nF

C8 en série 20mF (1.04€) avec 5mF(1.29€) : C8=4mF

Résistances :

R110 Ω (0.041 €)

R219.6 Ω (0.43€)

R3 et R90.01 Ω (0.73€)

R4 en série 29.4 Ω (0.43€ )et 0.2 Ω (0.43€) R4=29.6 Ω

R5 en série 5.76 Ω (0.43€ )et 0.02 Ω (0.36€) R5=5.78 Ω

R6 en série 7.5 Ω (0.43€ )et 0.3 Ω (1.92€) R6=7.8 Ω

R7 11.5 Ω (0.43€ )

R8 en série 22.6 Ω (0.43€ )et 0.15 Ω (0.43€) R8=22.75Ω

R10 549 Ω (0.43€ )

R117.5 Ω (0.078€ )

R12 en série 549 Ω (0.43€ )et 7 Ω (2.18€) R12=556 Ω

Conclusion : nous constatons en comparant les deux réponses que notre fréquence de cassure est quasi identique (+/- 5Hz). Notre zone atténuée est toujours à -60.1 dB et notre bande passante vaut -1.89dB réponse presque identique. Prix du filtre = 47€.

34

Conclusion Après avoir conçu notre propre banc de filtres actifs, nous nous rendons compte qu’obtenir un filtre répondant exactement aux

spécifications imposées est très compliqué. La moindre erreur de précision se répercute immédiatement sur la position de notre

fréquence de cassure. De plus, le fait d’utiliser des composants réels fait perdre également de la précision. Par ailleurs, être plus précis se solde par une augmentation du nombre de composants utilisés et par conséquent du prix du filtre. Cependant, le crossover obtenu répond

relativement bien au gabarit que nous nous étions fixés.

35

Bibliographie Ce projet a été réalisé sur base :

* des notes de cours « THEORIE DES CIRCUITS » par T. DUTOIT et B. GOSSELIN, 2006, Editions des Etudiants de la Faculté Polytechnique de Mons.

* du protocole de laboratoire « MINI-PROJET - CONCEPTION D’UN BANC DE FILTRES POUR HAUT-PARLEURS MULTIVOIES BIAMPLIFIES » par S. DEVUYST, 2008.

* des notes de cours « INTRODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTRES ACTIFS » par T. DUTOIT, 2000, Editions des Etudiants de la Faculté Polytechnique de Mons.

Documents

Projet De ThéOrie Des Circuits