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Inventiones math. 26, 303-322 (1974) by Springer-Verlag 1974 Pseudoconvexit6 au-dessus d'espaces plus ou moins homog6nes Andr6 Hirschowitz (Nice) A la m6moire d'Andr6 Martineau 0. Introduction (0.1) On 6tudie ici les domaines localement pseudoconvexes au- dessus des vari6t~s homog+nes. Cette 6tude poursuit deux buts: D'une part on cherche des conditions suffisantes pour qu'une vari6t6 U soit de Stein. En cette matiere, on dispose de deux th6or6mes fonda- mentaux: le plus r6cent (cf. Grauert [14J, Narasimhan [31] ou Hor- mander [20]) assure que U est de Stein s'il existe dans U une fonction continue strictement plurisousharmonique positive et propre; le plus ancien (cf. Oka [35], Norguet [34], Bremermann [31) qu'on peut con- sid6rer comme une cons6quence de l'autre (cf. Hormander [20]), assure que si U est 6ta16 au-dessus de C" et localement pseudoconvexe, U est de Stein. On connait aussi quelques g6n~ralisations de ce dernier th6or6me au cas off U est ~tal6 au-dessus d'une vari6t6 de Stein (Docquier-Grauert [91), de l'espace projectif (Fujita [11] Takeuchi [45], Kiselman [241), d'un produit d'espaces projectifs (Fujita [12]) et du produit d'un tore par une vari6t6 de Stein (Matsugu [29]). Voici les r6sultats qu'on d6montre ici darts le cas oti U est 6ta16 au-dessus d'un espace X homog6ne compact: Si U est 5_ fibres finies et r6union croissante d'ouverts de Stein, U est de Stein (2.5); si U est locale- ment convexe /t fibres finies et si les fonctions holomorphes sur U y donnent des coordonn6es locales, alors U est de Stein (2.6); si U est un domaine d'holomorphie a fibres finies, alors U est holomorphiquement convexe (2.7). Darts le cas ot~ X est irr~ductible (4.3) et simplement connexe, s'il existe dans U une fonction holomorphe non constante, alors les fonctions holomorphes s6parent les points de U et y donnent des coor- donn6es locales, ce qui permet d'am61iorer les deux 6noncks pr6c6dents (cf. (4.7) et (4.8)), et de montrer que si U est localement pseudoconvexe et n'est pas isomorphe 5_ X, alors U ne contient pas de sous-ensemble analy- tique compact de dimension positive et est convexe par marmites (de Hartogs) (4.9).

Pseudoconvexité au-dessus d'espaces plus ou moins homogènes

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Inventiones math. 26, 303-322 (1974) �9 by Springer-Verlag 1974

Pseudoconvexit6 au-dessus d'espaces plus ou moins homog6nes

Andr6 Hirschowitz (Nice)

A la m6moire d'Andr6 Martineau

0. Introduction

(0.1) On 6tudie ici les domaines localement pseudoconvexes au- dessus des vari6t~s homog+nes. Cette 6tude poursuit deux buts:

D'une part on cherche des conditions suffisantes pour qu'une vari6t6 U soit de Stein. En cette matiere, on dispose de deux th6or6mes fonda- mentaux: le plus r6cent (cf. Grauert [14J, Narasimhan [31] ou Hor- mander [20]) assure que U est de Stein s'il existe dans U une fonction continue strictement plurisousharmonique positive et propre; le plus ancien (cf. Oka [35], Norguet [34], Bremermann [31) qu'on peut con- sid6rer comme une cons6quence de l'autre (cf. Hormander [20]), assure que si U est 6ta16 au-dessus de C" et localement pseudoconvexe, U est de Stein. On connait aussi quelques g6n~ralisations de ce dernier th6or6me au cas off U est ~tal6 au-dessus d'une vari6t6 de Stein (Docquier-Grauert [91), de l'espace projectif (Fujita [11] Takeuchi [45], Kiselman [241), d'un produit d'espaces projectifs (Fujita [12]) et du produit d'un tore par une vari6t6 de Stein (Matsugu [29]).

Voici les r6sultats qu'on d6montre ici darts le cas oti U est 6ta16 au-dessus d'un espace X homog6ne compact: Si U est 5_ fibres finies et r6union croissante d'ouverts de Stein, U est de Stein (2.5); si U est locale- ment convexe /t fibres finies et si les fonctions holomorphes sur U y donnent des coordonn6es locales, alors U est de Stein (2.6); si U est un domaine d'holomorphie a fibres finies, alors U est holomorphiquement convexe (2.7). Darts le cas ot~ X est irr~ductible (4.3) et simplement connexe, s'il existe dans U une fonction holomorphe non constante, alors les fonctions holomorphes s6parent les points de U et y donnent des coor- donn6es locales, ce qui permet d'am61iorer les deux 6noncks pr6c6dents (cf. (4.7) et (4.8)), et de montrer que si U est localement pseudoconvexe et n'est pas isomorphe 5_ X, alors U ne contient pas de sous-ensemble analy- tique compact de dimension positive et est convexe par marmites (de Hartogs) (4.9).

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D'autre part, on cherche 5. mieux comprendre la signification du th6or6me classique: Toute fonction holomorphe au voisinage d'un sous- ensemble analytique compact connexe du projectif est constante (cf. Severi [42]). On en connait des g6ndralisations par Remmert-Van de Ven [37], Barth [1], Rossi [39], Hironaka-Matsumura [18] et enfm par Chow [-6] qui introduit la notion de sous-espace g6n6rateur et donne un 6nonc6 tr6s satisfaisant concernant les espaces homog~nes alg6briques. On donne ici une version analytique de son 6nonc6 (3.8): soit X un espace complexe homog6ne sous un groupe de Lie r6el, soit U un domaine au-dessus de X contenant un sous ensemble analytique g6n6rateur, alors toute fonction m6romorphe sur Use prolonge/~ un rev6tement de X.

Cette 6tude des domaines localement pseudoconvexes repose essen- tiellement sur Ia construction de certaines fonctions, ayant vocation de distances-fronti6re, qui jouent le r61e d6votu, dans le cas des domaines au-dessus de C", /l la distance-fronti6re usuelle. Ces fonctions sont construites au paragraphe I e t leurs propri6t6s utiles sont regroup6es dans le lemme principal (1.11).

Les r6sultats donn6s ici dont certains cas particuliers ont @6 annonc6s darts une note [19], ne sont certainement pas d6finitifs: on donne au paragraphe 5 une liste de questions ouvertes.

(0.2) Cet article est d6di6/~ la m6moire d 'Andr6 Mart ineau sous la direction de qui il a 6t6 enlrepris: Martineau pr6matur6ment disparu, il ne nous reste qu'g essayer de suivre la voie qu'il nous a trac6e.

,le remercie avec grand plaisir Adrien Douady pour ta critique aussi justifi6e qu'impitoy- able qu'il a faite du texte initial, critique dont le lecteur b6n6ficie largernent dans ce qui suit. Je remercie aussi vivement Messieurs Reinhold Remmert, Wolf Barth et Wilhelm Kaup pour l'int6r6t qu'ils ont port6/t mon travail el pour avoir attir6 mon attention sur le travail de Chow et sur celui de Tits.

(0.3) On regroupe ici, pour ragr6ment du lecteur, quelques d6finitions plus ou moins classiques. Soit X une vari6t6 analytique complexe; un domaine au-dessus de X est un espace 6tal6 (U,/7) connexe non vide au-dessus de X. On dit que X est pseudoconvexe s'il existe une fonction sur X qui soit positive plurisousharmonique et propre. On dit que U est localement pseudoconvexe (au-dessus de X) s'il existe un recouvrement ouvert de X tel que le recouvrement correspondant de U soit constitu6 d'ouverts pseudoconvexes. Douady dit que X est convexe par marmites (de Hartogs dans [-2]) si route application analytique/t valeurs dans X, d6finie dans un voisinage de la marmite vide de Hartogs dans I~ 2, se prolonge/t un voisinage de la marmite pleine (la marmite vide est l'union de {(zl, , z2 ) l l , z l l~ 1 e t z 2 = 0 } e t de {(z,, z2) l lz l l=l et z2~[-0 , ]]}; la mar- mite pleine est l'enveloppe convexe de la marmite vide). Soit F u n en- semble d'applications holomorphes (ou m6romorphes) de source U et soit p: U - , V un morphisme de domaines &al6s au-dessus de X. Disons

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Pseudoconvexit6 au-dessus d'espaces plus ou moins homog6nes 305

que p est prolongeant pour f si tous les 616ments de F se factorisent h travers p. La th6orie 616mentaire des faisceaux permet de montrer (cf. Malgrange [28]) qu'il existe un morphisme q prolongeant pour F qui se factorise h travers les morphismes prolongeant pour F. Le but de ce morphisme q s'appelle domaine d'existence (simultan6e) des 616ments de F au-dessus de X. On dit que U est un domaine d'holomorphie au-dessus de X si U est 6gal au domaine d'existence simultan6e de l'ensemble des fonctions holomorphes sur U.

Enfin, une hypersurface est un sous-ensemble analytique de co- dimension pure 1.

1. Le lemme principal Toutes les vari6t6s envisag6es sont d6nombrables/ t l'infini.

D~finition (1.1). On dira que la vari6t6 X est infinit6simalement homo- g~ne si les sections holomorphes globales de son fibr6 tangent engendrent l 'espace tangent en tout point.

Exempfes (1.2). Sont infinit6simalement homog6nes:

Les vari6t6s analytiquement parall61isables et parmi elles les groupes de Lie complexes,

Les vari6t6s de Stein. Les espaces complexes homog6nes sous un groupe de Lie r6el. Tout domaine 6ta16 au dessus d'une vari6t6 infinit6simalement homo-

g6ne. Tout produit de vari6tds infinit~simalement homog~nes. Tout fibr~ holomorphe localement trivial/t base de Stein e t / l fibre

homogane compacte.

Proposition (1.3). Si X est infinitOsimalement homogOne, son fibrO tangent est quotient d'un fibrO trivial.

DOmonstration, On peut supposer X connexe de dimension n. On raisonne par double r6currence finie: pour r = 1 . . . . , net s=0 , 1 . . . . . n+ 1, l'hypoth~se H,, S de r6currence est la suivante: il existe un sous-ensembte analytique Sr, s de codimension au moins s dans X et un ensemble fini F~.s de champs holomorphes sur X qui soit de rang au moins r - 1 en tout point de X et de rang au moins r en tout point de X - S r , , .

Comme Hl,o est trivialement vraie, comme H,,,+t est 6quivalente/t Hr+l,o, il nous suffit de prouver que Hr .... 1 implique Hr, s.

Soit xp une suite de points telle que toute composante irr6ductible de S . . . . ~ contienne Fun d'entre eux. Comme X est d6nombrable/t l'infini, on peut munir l'espace des champs de vecteurs .holomorphes sur X d'une structure de Fr6chet. Comme l'ensemble des champs tp tels que F~.~_I w {tfl soit de rang au moins r en xp est un ouvert partout dense/t cause de l 'hypoth6se sur X, on peut, en application du th6or6me de Baire,

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306 A. Hirsehowitz

trouver un champ t tel que F,.s_ ~ u {t} soit de rang au moins r en chacun des xp. On peut alors poser F~.~= F~.s_ i u {t} car l 'ensemble des points oti F~.~ n'est pas de rang > r e s t un sous ensemble analytique de S . . . . 1 qui n'en contient aucune composante irr6ductible. I1 est donc de codimension au moins s. C.Q.F.D.

Darts la suite, on consid~re une varic;td X inJitg.simalement homog~ne, munie d'un morphisme a surjectif du j~brd trivial X x C u dans son f ibr~ tangent T X.

Lemme (1.4). Il existe un voisinage ouvert W de la section nulte dans X x ~N el un morphisme unique e~ de Wdans X vdrifiant:

V x ~ X , e~(x, O)= x.

V(x, t)~X• N, Ie morphisme ,1~-~ e~ ( x, ,it), d~f ini duns un voisinage ouvert V du z~ro de �9 et ~ valeurs duns X admet pour application tin(aire tangente (de V• C duns Tx)" (,1, tz)~-*a(e~(x, ,it), pt).

D~monstration. C'est le r6sultat classique sur l'int6gration des champs de vecteurs et la d+pendance reguli6re de la solution par rapport aux conditions initiates et aux param6tres (cf. Coddington-Levinson [7] Th. 8.3). C.Q.F.D.

Notations(1.5). Dans la suite, on 6tudie des domaines (comme le domaine d'existence de l 'application e~ du lemme pr6c6dentl 6talds au- dessus d'un produit U • q;N et munis d'une section au-dessus de U x {0}. Soit Z un tel domaine et p la section donn6e de Z au-dessus de U x {0}. Pour x duns U, la restriction de Z/~ {x} • II; u est un domaine 6tal6 Zx au-dessus de C N. Notons d~(x) la distance fronti6re (pour la norme du sup) de p (x, 0) dans Z~: c'est le rayon de la plus grande boule B~ centr6e en z6ro duns II; N telle que Z admette une section passant par p(x , O) au-dessus de {x} x B~. Si Z e s t un tel domaine et ,t un r6el plus grand que 1, on peut considerer que ,~o, op6rant par hornoth6tie sur (I2 ~', opere sur U x ~s , On note Z~ l'image de Z par ,1. Chaque Zz est muni d'une section au-dessus d'un voisinage fixe de U x {0}, ce qui permet de d6finir leur intersection Z (cf. Stein [44], ou Schottenloher [40]).

Lemme (|.6). _Zest un ouvert de U x C N, contenu darts Z dont chaque f ibre au-dessus de U est un ouvert dtoiIO de if2 ~, et maximal pour ces deux propridtds. En outre, dz et dz sont ~gales. Enfin, si Z e s t localement pseudo- convexe, au-dessus d'un our-err V de U x II; ~ contenant U • {0}, ators Z_ est un ouvert ~oealement pseudoconvexe au-dessus de V.

D~monstration. Regardons seulement le dernier point, les deux premiers @ant 6vidents. Le probleme 6rant local sur U, on peut considerer que U = tI~" et travailler au-dessus d'un point x de V, I1 existe un voisinage W de x au-dessus duquel chaque Zz est pseudoconvexe. Notons Z] et Z '

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les restrictions de Za et de _Z au-dessus de W. II existe un voisinage W' de x dans W au-dessus duquel la distance-fronti6re dans Z ' est l'inf des distances-fronti+res darts les Z~. [len rCsulte que son inverse est plurisous- harmonique, ce qui permet de conclure.

Remarque (1.7). La construction de Z e s t surtout destinde/i all6ger les d6monstrations: pour les Z qu'on va introduire, on ne s'int6ressera qu'/t d z, qui est 6gal/~ d z et _Zest un ouvert de U x C N, alors que Z est /~ priori etal6.

Lemme (1.8). Soit Y une variOt~ analytique complexe, et Z un domaine au-dessus de Y. Alors il existe un morphisme ]: Z ~ 2 d'espaces OtalOs tel que Z soit localement pseudoconvexe au-dessus de Yet universel pour cette propri&d. On appellera 2 l'enveloppe localement pseudoconvexe de Z au-dessus de Y

D~monstration. Soit Z' un ouvert de Z qui s'injecte dans Y Consi- d6rons l'ensemble des classes d ' isomorphisme de morphismes k: Z--, K d'espaces 6tal6s tels que K soit localement pseudoconvexe. Cet ensemble est non vide parce que Y est localement pseudoconvexe au-dessus de lui-m6me. Et si k: Z ~ K est un tel morphisme, la restriction de k ~ Z' est un isomorphisme. Ceci permet de d6finir l'intersection des buts de tous ces morphismes (cf. Stein [44] ou Schottenloher 1-40]). Cette intersection a la propriet~ voulue.

Notations (1.9). Voici les domaines qu'on veut 6tudier et auxquels on appliquera la construction pr6c~dente. On consid6re une fois pour toutes un domaine (U, H) au-dessus de X. On munit X d'une m6trique rie- mannienne ~ qui induit sur U une distance-fronti~re By. Rappelons que 8v(z ) d6signe le rayon de la plus grande boule de centre/7(z) au-dessus de laquelle/7 admet une section passant par z. Le morphisme a induit un morphisme a v de U x C N dans T v. On note e le morphisme e~, introduit dans (1.4). On note U* le domaine d'existence de e, U~ celui de go e, U* l 'enveloppe localement pseudoconvexe de U* au-dessus de U • r (cf. (1.8)). Enfin, on note U* le domaine d'existence simultan6e des fonctions holomorphes sur U* qui se factorisent ~t traverse. Les domaines ainsi intreduits sont justiciables de (1.5) et (1.61. On pose d = do,, ,~= do,. Si K est une partie de U, on pose 3(K)=in f {d ( z ) [ zeK} et si K est com- pact, on pose /(v = {ze U[V.['~6)(U), If(z)[ < II.)r Pour f dans (9(U), on pose f = f o e et on note s la restriction de f a {x} • e N et r ( f x ) le rayon de convergence de s en z6ro pour la norme du sup sur C N.

Lemme (1.10). Si L e s t un voisinage compact de K, alors L v est un voisinage de K v .

Ddmonstration. Soit a un point d e / ( v et B une boule de centre 0 et de rayon r pour la norme du sup dans 112 N telle que e(K x B) soit contenu 2I Invcntlonesmath., Vol 26

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3 0 8 A . H i r s c h o w i t z

dans L et que {a} • B soit contenu dans U*. On va montrer que L U contient e({a} • B).

Notons 8~= O~' ... 0~" l'op6rateur habituel sur ~u eonsid6r6 ici sur 0*. Soit f dans (9 (U) v6rifiant [If[I L = 1. Ators lJfll ~ ~ n_-<l et d'apr6s les

in6galit6s de Cauchy loaf(x, 0)[__< r- ~ pour tout x dans K, donc aussi

dans /(v. Pour z dans B e t x d a n s U, consid6rons la suite j~(x, z)= Z ~

0"f(x, 0) ~ ! . Pour x dans K w{a} elle converge uniform6ment l~l_<-p ^

vers f. II en r6sulte que [[fp[IK• tend vers tlfllK• qui est major6 par I. Comme l'enveloppe holomorphiquement convexe de K • B dans U • C u est 6gale h / ( v • B, on a [Ifp[lgv • n= [Ifpll ~ ~ ~. Par suite

lim sup IIf~l[~}~ B~I .

II en r6sulte que JJ~JIB~ 1. C.Q.F.D.

Voici enfin le r6sultat qu'on retiendra de ce paragraphe:

Lemrne principal (1.11). a) La fonction - L o g d est plurisousharmoni- que dans U.

b) Pour tout compact K de U, on a if(K)= d(Kv).

c) Soit zp une suite dans U telle que II(z,) soit relativement compacte : si 0v(z,) tend vers z~ro, alors d(zp) tend vers zOro, et pour p sujfisamment grand, d est continue en zp.

D~monstration. a) __U* est un ouvert localement pseudoconvexe au- dessus de U • C u. Si U' est un domaine de carte pseudoconvexe de U, la restriction V de U* au-dessus de U' • C N peut 6tre consid6r6 comme un ouvert pseudoconvexe de ~'" • C ~. Il reste alors h appliquer le resultat classique (cf. Lelong [-25] Th. 2.4.2) pour conclure.

b) La d6monstration reprend un argument de Cartan-Thullen [5]. Soit e positif. Comme ~ * est ouvert, on peut trouver un voisinage compact Lde K tel que d(L) > d(K) - e. On va montrer que d(/s u) > d (L ) - ~:, ce qui permettra de conclure. Posons r = d ( L ) - e et soit f clans (9(U). I1 nous faut montrer que U* contient te produit de / s par la boule B, de rayon r donc que f se prolonge ~/<u • B,. Posons M = IlfllL• B,; et

Z ~ consid6rons h nouveau la suitefp(x, z )= ~ 8"f(x, 0)~-.v' Pour xdans L

I~1=<p et z dans/~,, la suite fp converge uniform6ment vers s(Comme II fp ]l L • B, = I[fpltL~ • ~,, on peut appliquer le th6or6me de Vitali pour conclure que la suite f , converge ~ l'int6rieur de L v • B, donc au voisinage de / (v • B, vers une fonction holomorphe qui prolonge 2(

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Pseudoconvexit6 au-dessus d'espaces plus ou moins homog+nes 309

c) On va mont re r que si d ( z p ) > e > 0 , alors il existe c~ tel que bv(zp)> c~>0. On peut supposer que la suite z~=Pl ( z ) converge vers un point z ' d e X .

Soit E un sous-espace vectoriel de dimension n de 117 u tel que e,l~z,~ • E soit un isomorphisme en zero. C o m m e e, est continfiment diff6rentiable, il existe un voisinage O de 0 dans E, contenu darts B ~ E, tel que pour p suffisamment grand, e, lt.bi• ~ soit 6tale et que e,l~z,l• ~ soit un iso- morphisme.

Soient H e t H ' deux ouverts disjoints de X, voisinages respectivement de z' et de e,({z'} x 0(2). Pour p suffisamment grand, e~({z'p} • (?f2) est contenu dans H' et par suite, e~({z~,} x f2) contient H. Soit c~>0 tel que la boule B p de centre z'p et de rayon c~ soit simplement connexe et contenue darts H pour p suffisamment grand. Soit se l 'application de B e dans (2 telle que sp(z'p)=0 et e~(z'p, sv(x))=x. On v6rifie que x~--,e(zp, Sp(X)) est une section de U passant par zp.

I1 reste/~ mont re r que d est continue en z e pour p grand. Par con- struction, d est semi-continue inf6rieurement. Soit K un voisinage com- pact de z' et B r u n e boule, de rayon r de Ir N telle que pour x dans K, la restriction de e, /l {x} • B, soit un diff6omorphisme. Soient K ' et B r, respectivement un voisinage de z' et une boule de ~2 N tel que e, (K' x B~,) soit contenu dans K. Pour p suffisamment grand, z~, est dans K ' et d(zp) est major6 par r'; on vavoir qu 'a lors d est semi-continue sup&ieurement en z e. I1 suffit pour cela de verifier que pour z voisin de Zp, on a d(z) < r'.

Soit B' la boule de rayon d(zp) dans ~N et x un point de son bord tel que la section de U au-dessus de eo({z'v} x B') passant par zp n e s e pro- longe pas au voisinage de e~(z'p, x). Posons y '=e , ( z ' v, x). Alors on a e~(y', -x )=Z'p et il existe un cone ouvert F contenant - x et une boule B" contenant - x darts ~ ' tels que U admette une section r passant par zp au-dessus de e,({y'} • ( F u B")). Cette section n e s e prolonge pas en y'. Par suite, sa restriction aux images par eo des g6n6ratrices r6elles de F nese prolonge pas non ptus en y'. Pour x' voisin de - x, cela signifie que ?application 2~-,z(e~(e~(y ' ,x ' ) , - )~x ' ) )=z(e~(y ' , (1-2x ' ) )) definie sur [0, 1[ nese prolonge pas en 1 et doric qu 'on a d(r(e,(y', x')))<= [lx'll. Ceci implique la semi-continuit6 sup6rieure puisque e,(y' , x') d6crit un voisinage de Z'p, donc z(e~(y', x')) un voisinage de Zp, lorsque x' d6crit un voisinage de - x . C . Q F D .

2. Cas on II(U) est relativement compact

Dans tout ce chapitre, on est dans la situation d6crite en (1.9) avec l 'hypoth~se suppi6mentaire que II(U) est contenu dans un ouvert relative- ment compact X' de X, ce qui est toujours le cas si X est compact . 21"

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310 A. Hirschowitz

Th6or4me (2.1). a) si U est 1ocalement pseudoconvexe, alors - Log d est plurisousharmonique

b) si U est un domaine d'holomorphie et K est compact dans U, alors d i K ) = d ( g v ) .

c) il existe A > 0 tel que sup(A, - Logd) soit continu.

DSmonstration. a) On va montrer que d e t d sont 6gales et pour cela, que U* est localement pseudoconvexe dans U x C ~. On va d'abord montrer que U* est localement pseudoconvexe au-dessus de U*, et dans ce but d6montrons les

Lemme(2.2). Soient A et B deux variOt~s anatytiques, (~2, H) un espace ~tal~ au-dessus de A et f : s ~ B u n morphisme dont Q soil [e domaine d'existence au-dessus de A Soil (B', p') un espace OtaM au-dessus de B. Soit r un point de Y2 et ~ un germe de section de B' en f (~o). Alors le domaine d'existence au-dessus de A du germe t~ ofo~ est te produit fibr~ Y2' = ~? • B B'.

D~monstration du lemme. D6signons par Pl et P2 les projections canoniques de f~' sur ~2 et B'. Comme B' est 6tal6 sur B, p: est 6tale. D'autre part Pl identifie un voisinage de (to, t~ (f(~))) ~ un voisinage de co et, via cette identification, P2 prolonge ~ of~. Reste/: voir que f2' est le domaine &existence de P2 au-dessus de A.

Soit (g2", H") un domaine au-dessus de A et co" un point de (2" tel que H"(co")=H(c~). Soient f ' et j los germes de morphismes d'espaces 6tal6s qui envoient respectivement o)" sur ~o et co sur co", et supposons donn6 un morphisme p" de Q" dans B' tel que p"oj=~9 ~ Comme

o . 1 1 . i t ~2 est le domaine d'existence'de f e t p' o p" prolonge f I , I se prolonge en un morphisme encore not6 f ' de O" dans f2. Maintenant l'6galit6 fo j " = p'o p" assure l'existence d'un morphisme O de O" dans ~' v6rifiant P"=P2 ~ C.Q.F.D.

Lemme (2.3). Si B' est Iocalement pseudoconvexe au-dessus de B, alors f2' est localement pseudoconvexe au-dessus de (2.

D~monstration du Iemme. Soil x un point de s2, y son image dans B, C u n voisinage de Stein de y dont l'image r6ciproque C' dans B' est de Stein et D un voisinage de Stein de x dont t'image est contenue dans C. L'image r6ciproque D' de D dans Q' est de Stein: en effet, c'est un sous- espace ferm~ de D x C' qui est de Stein. C.QF.D.

Suite de la d~monstration du theorY, me. Des deux lemmes pr6c6dents, il r6sulte que U* est localement pseudoconvexe au-dessus de U*. De (1.6), il r6sulte dans une telle situation que _Uff. De (1.6), il r6sulte que _U* est localement pseudoconvexe dans _Ux*. Pour terminer la d6monstration de a), il suffit de montrer que ]'adherence de _U* est la marne dans _Uff

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Pseudoconvexit+ au~tessus d'espaces plus ou moins homog6nes 311

et dans U x t~ N. On commence par r emarquer que _U* est contenu dans U~,. On va donc mont re r que l 'adh6rence de Uff, est la m6me darts U~ et dans U • tI~ N. Pour cela, choisissons une function ~, C ~~ dans X, /~ suppor t compac t et valant 1 sur un voisinage ouver t X" de X ' ; et posons cr'=c~a. C'est un morph i sme diff6rentiable de X x t12 u dans T x auquel correspond une appl icat ion diff6rentiable eo, de X x I17 N dans X (cf. Dieudonn6 [8] Th. 18.2.11). Posons e' = e~, o (H x id) et F = e ' - 1 (,~,). C'est un ferm6 de U x ~ u qui contient U*,. Si on pose _F = ('] 2 F, on

,l>1 obtient un ferm6 qui contient aussi __U~,. II suffit main tenant de voir que F est contenu dans _U~. Posons G = e ' - 1 (X"). C'est un ouver t de U x Ir N contenant _F, par suite G est un ouvert contenant F et il est clair que _G est contenu dans _U_~.

b) R e m a r q u o n s d ' abord que si U est un domaine d 'holomorphie , alors U est localement pseudoconvexe et par suite, d 'apr6s a), U * est contenu dans U*. Soit (u, t) un point de U* ~_U*. Il nous faut mon t re r que (u, t) est dans U*, ce qui impl iquera U * = U * et donc d = d . Soit U ' • T' un voisinage connexe de (u, t) contenu clans U * c~ U*. Pour e suffisamment petit, Hoe induit un i somorph i sme j de U ' • {(I - e ) t } sur un ouver t X~ de X contenant 17o e(u, t). Pour mon t r e r que (u, t) est contenu dans U*, il suffit de mont re r que U admet au-dessus de X~ une section passant par e(u, ( 1 - e ) t ) . Soit alors f h o l o m o r p h e dans U. Par hypoth6se, f o e se prolonge ~ _U* vo (U' x T') en une fonction f On remarque que f coincide au voisinage de e(u, ( l - g ) z ) avec f o j - l o / 7 , puisqu 'au voisinage de (u, (1 - ~) t), on a f = f o e. Soit z le germe de section de U passant par e(u, ( 1 - e ) t ) . Alors f o j - 1 prolonge f o r /l X~ tout entier. C o m m e cela est vrai pour tout f et que U est un domaine d 'holomorphie , z se pro- longe h X~ tout entier.

c) I1 r6sulte de (1.11) et de l 'hypoth6se sur U qu'il existe , :>0 tel que inf(d, e) soit continu. I1 s 'ensuit que s u p ( - L o g e , - L o g d ) est continu. C.Q.F.D.

Les corollaires de ce th6or6me s '6noncent pour des U dont les fibres sont finies grfice au

L e m m e (2.4). Si U est ~ fibres finies alors sup(A, - L o g d ) est propre dans U.

DOmonstration. Pour a < e -A, posons P=={zeUId(z)>e}. I1 nous faut mon t re r que P~ est compact . Soit u m une suite dans P~ et u~, sa projec- tion. C o m m e on cherche un point d ' accumula t ion / t u,,, on peut extraire des sous-suites et par cons6quent supposer que u~, converge vers un point u' de X. N o t o n s va . . . . , vp les points de U se projetant sur u'. D 'apr6s (1.i 1), on sait qu'il existe a > 0 tel que Ov(U~)>=2a. On peut supposer que 6 (u~,, u ' )< a, de sorte que la boule de centre u~, et de rayon <5 v (urn) contient

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312 A. Hirschowitz

la boule B de centre u' et de rayon a, qu'on peut supposer connexe. Soit r,, la section de U passant par um au-dessus de B. Comme z,,(u') ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs, on peut supposer que rm (u') est constant et 6gal/t v k. I1 en r6sulte que T~, est ind6pendant de m. Ii est clair alors que u,, tend vers v k. C.Q.F.D.

Corollaire (2.$). Si U est d~ fibre~ finies et r~union d'une suite croissante d'ouverts de Stein alors U est de Stein.

D~monstration. Pour c~< e- a, posons U, = {ze U t d(z) > ~}. Comme reunion croissante de domaines localement pseudoconvexes, U est localement pseudoconvexe. D'apr~s (2.1) - L o g d est plurisousharmoni- que donc U, est localement pseudoconvexe dans U. Notons U" une suite d'ouverts de Stein dont U est la r6union croissante.

D'apr6s (2.4), U~ est relativement compact dans U si bien qu'on peut choisir m de faqon que U" contienne U~ qui apparait alors comme un ouvert localement pseudoconvexe d'une vari6t6 de Stein. D'apr6s Docquier-Grauert (cf. [9]), U, est de Stein. Mais les U~ sont de Runge les uns dans les autres puisqu'ils sont d6finis par - L o g d ( z ) < - Logs (cf. Narasimhan [31]). Leur r6union U est alors de Stein (cf. Stein [43]). C.Q.F.D.

Corollaire (2.6). Si U est Iocalement pseudoconvexe gt fibres finies et si les fonctions hoIomorphes sur U donnent des coordonn~es locales, alors U est de Stein.

D~monstration. D'apr6s (2.4), on dispose dans U d'une fonction continue plurisousharmonique propre. I1 nous suffit de trouver dans U une fonction strictement plurisousharmonique positive pour pouvoir utiliser la solution du probl~me de Levi (cf. Narasimhan [31]).

Soit x dans U et z~ . . . . . z, des fonctions holomorphes sur U constituant un syst6me de coordonn6es en x. Alors O~=~lz~l 2 est positive dans U et strictement plurisousharmonique dans un voisinage ouvert U~ de x. Les U~ constituent un recouvrement de U dont on peut extraire un recouvrement d6nombrable U~. On peut enfin choisir des scalaires strictement positifs 2p de faqon que la sdrie ~ )~p q)~, converge uniform6- ment sur les compacts de U vers une fonction positive strictement plurisousharmonique. C.Q.F.D.

Corollaire (2.7). Si U est un domaine d'holomorphie g~ fibres finies, alors U est holomorphiquement convexe.

La d6monstration d6coule imm6diatement de (2.1) et (2.4).

Remarques(2.8). Dans les deux derniers corollaires, l'hypoth6se de finitude est indispensable: Soit H la vari6t6 de Hopf quotient de 1122 - {0} par le sous-groupe engendr6 dans GL(2, IE) par l'homoth~tie de rapport 2. Soit U la boule unite priv6e de l'origine dans IU z et H l'6talement naturel

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Pseudoconvexile au-dessus d'espaces plus ou moins homogenes 313

de U sur H. On v6rifie que U est localement pseudoconvexe, que c'est un domaine d'holomorphie que les fonctions holomorphes globales y fournissent des coordonn6es locales. D'autre part, H est homog6ne sous GL(2, C). Cependant U n'est pas holomorphiquement convexe et encore moins de Stein.

Darts te corollaire (2.6), t'hypoth6se d'existence de suffisamment de fonctions giobales n'est pas superflue: Narasimhan (cf. [32]) donne l'exemple d'un ouvert localement pseudoconvexe d'un tore off les fonc- tions globales sont constantes. En revanche, il se pourrait bien que l'hypoth6se de finitude darts (2.5) soit superflue, puisque d'aucuns conjec- turent qu'une r6union croissante de vari6t6s de Stein est de Stein.

3. Immersions g6n6ratrices

Notations (3.1). Dans ce chapitre, on fait l'hypoth6se suppl6mentaire que X est homog6ne sous un groupe de Lie r6el connexe G d'algbbre de Lie as. L'action de G sur X induit un morphisme ~ de as dans l'alg6bre de Lie complexe .Yd des champs holomorphes sur X. Le morphisme ~t se prolonge en un morphisme ~ du complexifi6 as, de aS clans ~ . Le choix d'une base identifie la coimage de/~ 5. C Net on suppose que ~ est le morphisme de X • ~N dans Tx induit par ~. On consid6re en outre un sous-ensemble analytique compact Y de l'espace 6taI6 (U, H). II existe un voisinage sym6trique G' de I'unit6 1 dans G et une application continue de G'• Y dans U, (g, y)~--~g(y) v6rifiant l ( y ) = y et g(II(y))=II(g(y)). On note Hy l'ensemble des g de G' tels que g(Y) rencontre Y, et on suppose clans la suite que l'exponentielle est bijective sur G'.

DOfinition (3.2). On dJra que Y est g6n6rateur au-dessus de X si tout voisinage de 1 dans Hy engendre G.

Exemples(3.3) (cf. Chow [6]): Tout sous-ensemble analytique de dimension positive d'une vari6t6 homog6ne irr6ductible (cf. (4.3)) est g6n6rateur. Pour qu'un sous-ensemble analytique compact irr6ductible passant par l'origine dans un tore soit g6n~rateur, il faut et il suffit qu'il te soit au sens des groupes.

Proposition (3.4). H~ est un sous espace analytique rod au voisinage de 1.

D~monstration. Posons f z={ (x , t ) eU*le (x , t ) eY} . C'est un sous- ensemble analytique complexe de _U*. Son intersection avec Yx C s est donc un sous-ensemble analytique de _U*, dont la projection sur C Nest propre au-dessus d'un voisinage de 0 dans 117 N. D'apr6s le th6or6me de Remmert (cf. [36]), la projection en est au vo~sinage de z6ro un sous- ensemble analytique complexe de (U N. On v6rifie que I'image r6ciproque de cette projection par le morphisme naturel de as dans la coimage de est isomorphe ~t Hy par Foppos6e de l'exponentielle. C.Q.F.D.

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314 A, Hirschowitz

D~finition(3.5). On dit qu'une partie A d'une vari6t6 analytique r6elle est de dimension inf6rieure ou 6gale/t k si A est r6union d6nombra- ble de sous-vari6t6s analytiques localement ferm6es de dimension au plus k.

Remarque (3.6). Le th6or6me de Baire, par exemple, assure qu'une vari6t6 de dimension pure n, n'est pas de dimension strictement in- f6rieure/l n au sens de la d6finition pr6c6dente.

Proposition (3.7). Si Y est g~ndrateur, il existe un entier p tel que l'application produit qo p de Hf, dans G soit ouverte ci l'origine.

DOmonstration. On peut choisir une filtration r6guli6re X o, X~ . . . . . X,,, ~ . . . de Hy a u voisinage de 1 (cf. Hironaka [-17]) de fagon que X soit diffdrent de X o. On note p: tQ r ~ Hr une desingularisation de H r sub- ordonn6e ~t la filtration (cf. [17]). On peut supposer, te probl6me etant local, que chaque composante connexe de Hr centient un x tel que p (x) = 1. Soit s le rang maximum des applications ~pp o pP. L'image d'une vari6t6 par une application de rang au plus s 6tant de faqon 6vidente de dimension au plus s, il r6sulte de l'hypoth6se que s est 6gal/l la dimension de G. Supposons doric q u e ~ p : / ~ f ~ G est de rang s. Alors il existe un point x = ( x 1 . . . . , xv) dans Hf, tel que p(xl ) . . . . . p (xp)= l et dans tout voisinage duquel ~e est de rang s. I1 en r6sulte que l'image par ~Pzp de tout voisinage de 1 dans H res t un voisinage de I dans G. C,Q,F.D.

Le rbsuttat suivant serait une consequence facile de la conjecture: dans la situation d6crite en (3.1), si Y est gen6rateur et U localement pseudo convexe, alors U est un rev~tement de X.

Th6or6me (3,8). Soit X un espace homogOne complexe sous le groupe de Lie G. Soit U un domaine au-dessus de X contenam un sous-espace analy- tique compact g~n~rateur Y

a) Si X est compact et U tocalement pseudoconvexe, U est un re-

v~tement

b) Si Z e s t un espace sous-alg~brique (de Moisezon) et m une appli- cation m&omorphe de U dans Z, alors m s e prolonge fi un revdtement de X.

DOmonstration, Dans le cas b), on pout supposer que U est te domaine d'existence de m. Les hypoth6ses sont alors destin6es /t assurer que __U* ~_U* - - ~ * ~_U~ (Dans lecas a) cola r6sulte du paragraphe 2). D6mon- trons cela dans le cas b).

Lemme (3.9). Le domaine d'existence d'une application m&omorphe dt valeurs dans un espace sous-algObrique est localement pseudoconvexe.

DOmonstration du lemme. Soit m: A o--~ B l 'application m6romorphe consid6r6e. On peut supposer que l ' image de m n'est contenue dans aucun sous espace ferm6 strict de B car tout sous espace t'erm6 d'un espace sous

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Pseudoconvexit6 au-dessus d'espaces plus ou moins homog6nes 315

alg6brique est sous alg6brique (cf. D o u a d y [-10]). D'apr6s Moisezon (cf. [-30]), on peut trouver une modification /) de B qui soit projective. Soit vh: A o--,/) l 'application m6romorphe correspondante. II est clair que m e t r? ont le marne domaine d'existence. Darts le cas de rh, les coor- donn6es rationnelles sur B permettent de voir que le domaine d'existence de rh est domaine d'existence simultan6 de fonctions m6romorphes et donc est localement pseudoconvexe d 'apr6s E.E. Levi (cf. [27]).

Suite de la dOmo~stration du th~orOme. On sait donc que m o e se pro- longe/ l Q* c~U~. Soit (x, t) un point de 0 " ~ L.r~ adh6rent fi U* c~U~. I1 nous faut montrer que (x,t) est en fait int6rieur it U * • U * . Soit Vx T un voisinage de (x, t) contenu dans U* ~ U ~ . Soit ~:>0; notons I l'intervaile [ ( 1 - r ) t, t] et posons J = F / o e(l). II nous suffit de montrer que U admet une section passant par e(x, ( t -~ : ) t ) au-dessus de J. On peut choisir e suffisamment petit pour que W=Hoe(V• contienne J. La restriction de m o e b. Vx {(1 - ej t} est bien d6finie puis- qu'elle est bien d6finie au voisinage de (x, ( 1 - ~.)t). Si r d6signe le germe de section de U passant par e(x, ( l-~:) t) , on voit que cette restriction de m o e "a V• {(1 - c) t}, transportee sur W par H o e, prolonge m o z, ce qui prouve que r se prolonge/~ W..

On va maintenant montrer que J e s t constant au voisinage de Y.. Sur Y qu 'on suppose connexe, d est constant puisque - Log a7 est plurisous- harmonique. On pose ~:=inf{av(zjlze Y}, Y~={zEUI6(x, Y)<~} et on choisit un voisinage G" de 1 darts G' tel que G ''p soil contenu dans G'. Enfin, soit G~ un voisinage de 1 contenu dans l ' image par rpr de (Hy ~ G") p. L'image par l 'application naturelle de Gx x Y est un voisinage de Y dans U. On veut montrer que des t constant dans ce voisinage. Soit doric g dans G1 et gl . . . . ,gp dans Hy~G" tels que (Pp(gl . . . . . gp)=g. Posons Yo= Y e t d6finissons par r6currence Yt= YUgk(Y~_O. Le choix de G" assure que Yk est un sous-ensemble analyt ique compact de U. Mont rons par r6currence que Yk est connexe: c'est vrai pour k = 0. Supposons Yk- connexe. I I en r6sulte que gk(Yk_ ~) est connexe. C o m m e Yk-~ contient Y,, gk(Yk-O rencontre Yet donc Yk est connexe. Par suite - L o g d qui est p lur isousharmonique sur Yk, Y est constant et y prend la m6me valeur que sur Y.

Soil maintenant U' une composante connexe de l 'ouvert de U constitu6 par les points par off passe un sous-ensemble analytique compact connexe g6n6rateur de U. On va montrer que U' est ferm6 ce qui prouvera que U ' = U. Soil x dans U adh6rent fi U', et posons c~= d(x). Pour y dans U' on a c/(y)>~ puisque a~ est semi-continue infdrieurement et constante dans U'. Soit t dans N v6rifiant Ilt]l <cc. On remarque que U~ contient U x ~ e t q u e / / o e(z, t )= e ~ Fl(z). Par suite, pour y dans U', (y, t) est dans __U~ ~__U* donc dans __U* et on peut definir e'" U' -~ U, d6finie par e' (y) =

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316 A. Hirschowitz

e(y, t). L'image de U' par e' contient x pour t convenablement choisi, c'est-/l-dire tel que x '=e (x , - t ) s o i t dans U'. Si Y' est un sous-ensemble analytique compact connexe g6n6rateur passant par x' alors Y' est contenu dans U' par d6finition de U' et d Y' est un sous-ensemble analy- tique compact connexe g6n6rateur passant par x. Donc U' est form6 et 6gai/l U. On salt donc que d est constante dans U. Par suite de l'6galit6 _U* m b ~ = U * c~ _U.*, au-dessus de tout compact de X, d est minor6. Par suite U est un rev6tement de X. C.Q.F.D.

Remarque (3.10). Si X est simplement connexe (par exemple si X est rationnelle compacte) le revStement construit dans le th6or6me pr6c6dent est 6videmment isomorphe/ t X. De mSme, si Y est de self-intersection non nulle, alors Y rencontre tous sos transform6s par les 616ments de la composante neutre du groupe des automorphismes du revatement construit. II en r6sulte quece rev6tement est trivial. On retrouve ainsi le Yh6or6me 3 de Chow dans E6].

Remarque (3.11). La notion de sous-espace g6n6rateur introduite ci-dessus est la gdn6ralisation naturelle de celle qu'utilise Chow dans [6]. C'est l'absence d'une bonne notion de composante irr6ductible pour les espaces analytiques r6els qui condui t / l modifier la pr6sentation; cette modification est superflue dans le cas des vari6t6s compactes puisqu'alors on pout supposer que G est un groupe de Lie comptexe (cf. par exemple Kaup [23]). Ainsi, comme l'explique Chow, tout sous-espace de dimen- sion positive d'une vari6t6 homog6ne compacte irr6ductible (cf. (4.3)) est gen6rateur. Toutefois, la d6finition donn6e ne semble pas devoir 8tre d6finitive, l'hypoth6se d'homog6neit6 en particulier paraissant superflue,

4. Espaces homog6nes projectifs Th6or6me (4.1). Soit X un espace homogd.ne projecti f et U un domaine

localement pseudoconvexe au-dessus de X n'admettant aucun sous-ensemble anaiytique compact de dimension positive.

a) Si la variOt~ Y est un ouvert dans son enveloppe de Stein lisse f', alors tout n~orphisme de Y dans Use prolonge fi Y. En particulier U est convexe par marmites.

b) Si fz est un espace de Stein normal et si S est de codimension deux dans ~ alors tout morphisme de Y - S dans U se prolonge fi f" tout entier.

D~monstration. On va commencer par ramener la d~monstration de a) ~ celle de b).

Soit f : Y--* U le morphisme & prolonger. Soit H l'ensemble des sections hyperplanes h de X telles que H -~ (h) ne contienne pas f(Y). Lorsque h d6crit H, les X - h recouvrent X et donc l e s / / - ~ ( X - h ) re- couvrent U. Mais, comme X - hest de Stein/7-1 (X - h) l'est aussi d'apr6s

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Pseudoconvexite au dessus c['espaces plus ou moins homog+nes 317

Docquier-Grauert ([9]). Soit m une fonction m6romorphe sur U avec p61es sur/7-1 (h): une telle fonction existe puisque h est une section hyper- plane. Par d6finition de H, m o f est bien d6finie et se prolonge fi Y(Kaji- wara-Sakai [22]). L'ensemble polaire du prolongement est une hypersur- face h' de 17.. La restriction de f /~ Y-h ' , qui prend ses valeurs dans ta vari6t~ de S te in /7- ~ ( X - h) se prolonge/~ t'envetoppe de Stein de Y-h'. Or cette enveloppe est Y - h ' (cf. Nishino [33], Grauert-Remmert [15], Rothstein [38]). II est clair que les prolongements f~ et ./2 obtenus /l partir de deux hypersurfaces h~ et h 2 se recollent. L'intersection des hypersurfaces h' lorsque h d6crit H est un sous ensemble analytique S de Y qui, puisque les/7 - 1 (X - hi recouvrent U, ne rencontre pas Y. tl est donc de codimension au moins deux (si S contient une hypersurface S', Y - S' est de Stein, cf. Caftan [4 ) . On est ainsi ramen~/t la d6monstration de b). On garde les m~mes notations mais on ne suppose plus I 7 lisse. On sai~ qu'il existe un 6clat6 Y de Y le long d'un ideal d6finissant S tel que si.j d6signe l'injection naturelle de Y - S dans E alors / / o f se factorise /l traversj (voir par exemple Griffiths [16]). Soit cp le morphisme correspon- dant de Y,, qu'on peut supposer lisse, dans X, et soit T l'hypersurface exceptionnelle de Y. Notre premier but est de montrer que (p se factorise /l travers/7. Pour cela, il nous faut le

Lemme (4.2). Toute fonction pturisousharmonique sur 17- S est locale- ment majorOe sur Y.

Dkmonstration du lemme (que m'a expliqu6e Douady). Dans le cas off Y est lisse, on dispose pour les fonctions plurisousharmoniques des deux th6or~mes de singularit6s inexistantes: singularit~s inexistantes en co- dimension deux, et singularit6s inexistantes pour les fonctions born6es en codimension un (cf. Lelong [261t. On peut donc supposer, le probI6me 6tant local, que S est l'ensemble singulier de f" et qu'on dispose d'un morphisme g fini de Y dans un ouvert V de IF", quJ est un rev6temenl hors d'une hypersurface H de Y,, d'image H' (cf. Houzel [21]). D6signons par p+ la pattie positive de p e t soit q la fonction plurisousharmonique sur V - H ' d6finie par q(x)= ~ p+iz). La fonction q est plurisousharmoni-

g(z~=x

que dans V - H ' et ]ocalement bornee dans V-q(S) . Elle se prolonge donc en une fonction plurisousharmonique d'abord a V - q ( S ) puis/t V, puisque g(S) est de codimension au moins deux. ll en r6sulte que p§ est localement born6e dans Y, on pourrait d'ailleurs montrer que p se prolonge continfiment fi Y.. CQ.F.D.

Suite de la d~monstration du th~or~me. On va donc montrer que ~o se factorise a travers H. Soit x un point de T. On peut, en appliquant le lemme pr6c6dent a - L o g ( d o f o j - ~ ) , trouver un voisinage relativement compact ouvert W de x dans 17 de far que d oJ o j - t soit minor~ par 6:

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318 A. Hirschowitz

dans W - T . D'apr6s (1.2), il existe a > 0 tel que bv o fo j -1 soit minor6 par ~ dans W - T. On peut alors trouver un voisinage W' de x dans W tel que pour y e t z clans W', on air 6(~p(y),q)(z))<,. Soit y dans W ' - T . Comme 6v(f(] -~ (y)))>c~, U admet une section ~ passant par f ( j - l ( y ) ) au dessus de la boule de centre ~0(y) et de rayon a donc au-dessus de ~0(W'). Alors r oq~ prolonge f o j -~ it W'. Comme Tes t d'int6rieur vide, le prolongement est unique, donc se recolle aux diff6rents points de T et fournit la factorisation cherch6e. Soit f le morphisme construit de dans U. I1 nous reste 5. montrer que f se factorise it travers Y.. D'apr6s le th6or6me de Remmert (cf. [36]), f ( T ) est un sous-ensemble analytique compact T' de U. Comme Tes t connexe, T' est r6duit it un point. I1 en r6sulte que f se factorise continfiment it travers Y. D'apr6s le th6or6me des singularit6s inexistantes de Riemann, la factorisation est analy- tique. C.Q.F.D.

Nous allons maintenant revenir sur les corollaires (2.6) et (2.7), dans le cas off X est un espace homog6ne compact irr6ductible du moins si ce n'est pas un tore. Pr6cisons la

Ddfinition (4.3). On dit que la vari6t6 homog6ne connexe compacte X est irr6ductible si X n'est pas fibr6e au-dessus d'une autre vari6ta homo- g6ne de dimension positive.

Remarque(4.4). I1 r6sulte des travaux de Wang [47], Goto [13] et Tits [46] que ces vari6t6s sont ou bien des tores ou bien les vari6t6s que Tits note G [a]; dans cette notation G est une alg6bre de Lie semi-simple complexe et c~ une racine simple de G. Dans [46], p. 92, Tits donne une liste d'exemples comprenant les grassmanniennes et les hyperquadriques.

Notation (4.51. Dans la suite X d6signe une telle vari6t6 G[-c~] de dimension n.

Lemme (4.6). Soit f2 un domaine au-dessus de X; on suppose que (9 ((2) n'est pas rdduit aux constantes. Alors (9 (s sdpare les points de projections diffOrentes et fournit des coordonnkes locales en tout point.

D&nonstration. X = G [ e ] est le quotient d'un groupe semi-simple complexe connexe G d'alg6bre de Lie encore not6e G par un sous-groupe connexe ferm6 U dont l'alg6bre de Lie est not6e G (~). On utilise le r6sultat suivant dfi/t Tits (cf. Warner [48] Th. 1.2.1 I): le sous-groupe U est maxi- mal dans G e t 6gal/t son normalisateur. I1 en r6sulte que la sous-alg6bre G (c0 est maximale dans G. Disons que G op+re it gauche sur X. Alors les champs invariants it droite sur G passent au quotient sur X et se remon- tent en champs sur s On d6finit ainsi un morphisme f de G dans l'alg6bre de Lie D(O) des champs holomorphes sur ~. Soit co un point de Q et x sa projection. On peut supposer que U est le sous-groupe d'isotropie de x. Soit Do, la sous-alg6bre de D(s des op6rateurs 6 tels que pour toute

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Pseudoconvexit6 au dessus d'espaces plus ou moins homogenes 319

fonction ~ ho loraorphe sur t2, on ait 6 cp go )= 0. La sous-alg~bre f - t (Do~) est 6gale soit fi G(c~) soit fi G. Si c'est G, la formule de Taylor mont re que les fonctions ho lomorphes sur I2 sont constantes au voisinage de ~o. Si c'est G(~), c o m m e f ( G ) engendre l 'espace tangent en co, les fonctions de (5 (f2) fournissent des coordonn6es locales.

Soient main tenant co et o3' deux points de ~ de project ions diff~rentes x el x'. Supposons qu'il existe un vecteur c~ de G tel que f (3 ) s 'annule en x' mais pas en x. D 'aprhs ce qu 'on vient de voir il existe alors cp dans (9 ((2) telle que c5 ~p(c0) ne soit pas nul. On a donc trouv6 une fonction c~ rp verifiant 6 p (o )4 = ~ r (co'). I1 reste/ t mon t r e r ['existence de 6: Supposons que tout champ sur X provenant de G(c~), donc s 'annulant en x, s 'annule aussi en x'. Cela signifie que la classe de x' darts G est contenue dans le normal i sa teur de U. Mais d 'aprhs les r4sultats rappelds, ce normal isa teur est 4gal g U. D'ofi x = x ' . C.Q.F.D.

Les coro]laires (2.6) et (2.7) deviennent:

Corollaire (4.7). Si D est localement pseudoconvexe d fibres fi~ies et s'il existe dans f2 une fonction holomorphe non constante, alors s est de Stein.

Corollaire (4.8). Si f2 est un domaine d'holomorphie non compact d .fibres finies, ators t2 est de Stein.

Enfin, on sait (cf. G o t o [13]) que X est rationnelle donc s implement connexe. Cela permet en combinan t (3.8) et (4.I) d 'obteni r le

Corollaire (4.9). Soit f2 un domaine localement pseudocoJTvexe non compact au-dessus de X. Alors

a) (2 ne contient pas de sous ensemble anaIytique compact de dimension positive

b) Si la variOtd Y est un ouvert dans son enveloppe de Stein lisse Y, alors tout morphisme de Y dans (2 se prolonged Y.. En particulier s est convexe par marmites.

c) Si Y est un espace de Stein normal et si S est de codimel~sion deux dans Y,, ators tout morphisme de Y - S dans Q se prolonge d Y tout entier.

5. Conclusion

On donne ici une liste de quest ions auxquelles les r6sultats ci-dessus appor ten t des reponses partielles. Rappe lons d ' abord la conjecture classique:

(5.1) Une r6union croissante de vari6t6s de Stein est-elle de Stein? ou son cas particulier:

(5.1') Une r6union croissante d 'ouver ts de Stein d 'une vari6t6 com- pacte est-elle de Stein?

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320 A. Hirschowitz

Pour g6n6raliser le Th6or6me (3.8), la conjecture naturel le est: (5.2) Soit X une vari6t6 sur laquelle op6re le groupe de Lie r6el

connexe G. Soit Y un sous-espace analyt ique compact connexe de X g6n6rateur au sens de (3.2), et don t le satur6 par G est X. Alors tout domaine localement pseudoconvexe au-dessus de X con tenan t Y est un rev~3tement de X. Enfin, en ce qui concerne le probl6me de Levi au-dessus des vari6t6s homog6nes compactes, il semble ra isonnable d '6tudier d ' abord les deux cas particuliers des vari6t6s rat ionnelles et des totes. D a n s le premier cas, la quest ion est:

(5.3) Tou t domaine localement pseudoconvexe au-dessus d 'une vari6t6 homog6ne compacte rat ionnel le est-il ho lomorph iquemen t con- vexe ?

U n cas part iculier de cette quest ion est (5.3) Tou t doma ine localement pseudoconvexe non compact au-

dessus d 'une vari~t~ homog~ne compacte irr6ductible est-il de Stein ? Dans le cas des tores, on peut t rouver des ouverts localement pseudo-

convexes et m~me des domaines d 'ho]omorphie qui ne sont pas holo- morph iquemen t convexes. I1 semble que les immersions d'espaces vectoriels dans ces domaines devraient jouer un r61e impor tant .

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Andr6 Hirschowitz Institut de Math6matiques Parc Valrose F-06034 Nice Cedex/France

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