QUELQUES FORMULES UTILES EN PHOTOGRAMMETRIE Y.EGELS Janvier 2006 2 SOMMAIRE A/ Rotations, similitudes, affinits, homographies . 1/ Rotations3 2/ Similitudes 33/ Affinits 3 4/ Espaces projectifs 4 5/ Homographies 4 B / Matrices rotation 1/ Dfinition4 2/ Matrice rotation des appareils de restitution analogiques5 3/ Matrice rotation, exponentielle et axiateur 5 4/ Matrices rotation et Quaternions 75/ Dmonstration gomtrique de la formule d'Euler7 6/ Diffrentielle d'une matrice rotation 8 C/ Equation de colinarit 1/ Perspective d'un point de l'espace 9 2/ Relation diffrentielle liant m aux paramtres du faisceau10 3/ Application : orientation relative en analogique10 D/ Gomtrie relle des images 1/ Correction de courbure de terre12 2/ Rfraction atmosphrique14 3/ Distorsion de l'optique 16 4/ Dformations du capteur17 5/ Modlisation des dfauts non quantifiables18 E/ Quelques rgles pratiques18 3A/ Rotations, similitudes, affinits, homographies . Lesproblmeslislaphotogrammtriefontsouventintervenircesquatretypesdetransfor-mation, dont il est indispensables de bien connatre les proprits, dans des espaces 2 ou 3 dimensions. 1/ Rotations Une rotation est un dplacement dans l'espace considr, elle peut donc tre reprsente par un changement de base orthonorme dans cet espace.Sous forme matricielle, une rotation s'crit : X = R. X +T o X,X' et T sont des matrices colonnes (n,1) et R une matrice orthogonale (n,n). L'ensemble de ces trans-formationsneformentunespacevectorielnidans R2nidansR3.Lenombrede paramtresdfinissant une rotation est gal n(n - 1)2. 2/ Similitudes Une similitude est la composition d'une homothtie et d'une rotation. Il s'agit donc ( 3 dimen-sions) de la transformation correspondantaubasculement d'un modle photogrammtrique. En repre-nant les notations prcdentes, elle peut s'crire: X = k. R. X +T avec k scalaire Le scalaire ainsi dfini est l'chelle de la similitude. Les similitudes ne forment pas un espace vectoriel dans R3 mais ont cette structure dans R2 . En effet, 2 dimensions, on peut crire: R= k.- En posant a = ket b = k ,on a R= a.1 00 1+b.0 1-1 0cos sinsin coscos sin |\

|||\

|||\

|| 3/ Affinits L'affinit est la transformation linaire gnrale dans l'espace considr. Dans le plan, elle trans-forme un carr en un paralllogramme quelconque, dans l'espace un cube en paralllpipde. Les affini-ts forment un espace vectoriel de dimension n2, et sont reprsentes par toute matrice carre. 44/ Espaces projectifs La notion despace projectif est destine axiomatiser les points linfini. Sur un espace vecto-rielEdedimensionn,privdesonlmentsneutre,onpeutdfinirlarelationdquivalencecorres-pondantlacolinaritdesvecteursdeE.Lensembledesclassesdquivalences(ensemblequotient) forme un espace projectif de dimension n-1.En pratique, lespace projectif P de dimension 3 peut trevu comme lensemble des directions dun espace vectoriel V de dimension 4.On peut faire correspondre tout point M de P un vecteur A de V de la faon suivante : 3 4( , , ) ( , , , ) par; ;avec0 M X Y Z P A x y z w R x Xw y Yw z Zw w = = = (onprend habituellement1 w = ) Dans lautre sens, tout vecteur de V ne correspond pas un point ordinaire de P 4 3si0( , , , ) ( , , )par/ ; / ; / w A x y z w R M X Y Z P X x w Y y w Z z w = = =Par contre, si0 w = , on obtient le point linfini dans la direction de A. Cette formulation est trs utilise dans le domaine de la vision artificielle (par exemple dans la bibliothque graphique 3D OpenGL) car les transformations lies la perspective y sont linaires. Mais attention : le produit scalaire de V ninduit pas de structure despace Euclidien sur P. Il est donc dange-reux dutiliser cette formulation lorsque lon veut obtenir des valeurs mtriques (angles et distances) 5/ Homographies L'homographie est une transformation linaire d'un espace projectif dans un autre, elle est donc reprsenteparunematricequelconqueoprantsurlescoordonneshomognes.Lenombredepara-mtresncessaireladfinitiond'unehomographied'unespacededimensionmdansunespacede dimension n est gal (m+1)(n+1)-1. A titre d'exemple, l'homographie de l'espace R3 dans R2 s'crit (avec 11 paramtres): x =a X +b Y +c Z +da X +b Y +c Z +1 y =a X +b Y +c Z +da X +b Y +c Z +11 1 1 13 3 32 2 2 23 3 3 Lesperspectivesdel'espacedansleplansontdeshomographiesdeR3dansR2,demmela transformation faisant passer d'une perspective une autre de mme point de vue est une homographie de R2 dans lui mme. B / Matrices rotation 1/ Dfinition Une matrice rotation est par dfinition une matrice orthogonale de rang n, c'est dire une ma-trice de changement de base orthonorme dans un espace vectoriel euclidien. Une proprit ncessaire et suffisante pour qu'une matrice carre soit une matrice rotation est que : 1 tR =R 5 2/ Matrice rotation des appareils de restitution analogiques Dans un appareil analogique, les axes de rotation des porte-clichs sont mobiles. L'axe primaire est fixe, l'axe secondaire est mobile autour du premier, l'axe tertiaire est mobile autour des deux prc-dents.Dans tous lesappareils courants, l'axe des dversements (perpendiculaireau plan du clich)est choisi comme axe tertiaire. Il ne reste alors que deux possibilits: site primaire ou convergence primaire. Les matrices correspondantes sont le produit des 3 matrices de base, correspondant au site, la conver-gence et au dversement. cos sin cos sincos sin sin cossin cos sin cos1 0 0 0 - 0R = 0R = 0 1 0R = - 00 - 0 0 0 1 : site: convergence: dversement | | | | | | ||| ||| |||\ \ \ Ainsi, pour les appareils site primaire, on aura: cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos coscos sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos sinsin cos sin cos cosR= RRR =+ -- - +- | | | | |\ De mme, dans le cas o la convergence est primaire, cette matrice devient: cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sincos sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos cossin cos sin cos cosR= RR R =+ - +- + +- | | | | |\ Cesformulespeulgantespeuventtreutilisesparexemplepourcalculerleslmentsde miseenplacesurunappareilanalogique,lorsquel'ondisposedesmatricesrotationissuesd'uncalcul dephotogrammtrieanalytique.Ontireainsipourunappareilconvergenceprimaire,enidentifiant les deux matrices terme terme : = ( R )= (R)= (R)3132 21arcsin arcsincosarcsincos 3/ Matrice rotation, exponentielle et axiateur Commeilatvuplushaut,lesmatricesrotationsurunespacevectorieldedimensionnd-pendent de n(n - 1)2 paramtres, mais ne forment pas un sous-espace vectoriel. Il donc n'existe malheu-reusement pas de formule linaire liant une matrice rotation ses "composantes". Il est cependant indis-pensable de pouvoir exprimer une telle matrice fonction de paramtres judicieusement choisis. Dans le 6casdeR3,lesformulesdonnesauparagrapheprcdentsontunepremirefaondefaire,maisassez laborieuse. On peut galement dfinir physiquement une rotation de la manire suivante: Rotation d angle autour d un vecteur unitaire=abc( a +b +c =1)2 2 2|\

||||r Nous appellerons axiateur d'un vecteur la matrice du produit vectoriel par ce dernier: r r |\

||||V = .Von vrifiera que =0 - c bc 0 - a- b a 0~~ Il est alors facile de contrler que la rotation prcdente peut s'crire : R=e~. En effet, ~~~e = I + + +n!+nnK K donc,puisque ~ . = =0r r (propritbienconnueduproduitvectoriel)~ e = rest bien l'axe de rotation, seul invariant.On vrifiera aisment que 3 4= , =~~~~ - -2 etc ; d'autre part, -t= %

Cettematriceestdoncbienunematricerotation.Onpourragalementvrifierquel'anglede rotation est bien gal , par exemple en calculant le produit scalaire dun vecteur normal avec son transform. On voit alors que, en regroupant les termes pairs et les termes impairs du dveloppement (For-mule dEuler/ Olinde Rodrigues): Si l'on exprime sin et cos en fonction de tg/2 l'aide des formules classiques de trigonom-trie, il vient (Formule de Thomson) : )t n nt tn nn-1-( = I + + + +en! = I + +(-1 + )n! = =( )e e %% %%%K K%%K K 2sin cos2 2 3 2 4R= I + - + + - +3! 2! 4! = I + + (1- ) %% %%K K% % tan tan-1R=(I - (I + ))2 2 % % 74/ Matrices rotation et Quaternions Lesquaternions ont t dfinis pourtenter degnraliser dans 3Rles proprits desnombres complexes. Ils napportent rien de rvolutionnaire, mais leur formalisme est trs employ en vision arti-ficielle et en imagerie 3D. Lensemble des quaternions est le sous espace vectoriel des matrices 4x4, g-nr par la base suivante : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 00 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0u i j k (((( (((( ((((= = = = (((( (((( La composante relative u est la partie relle du quaternion, les 3 composantes relatives i,j,k en forment la partie pure. Les antiquaternions sont gnrs par la base : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 00 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0u i j k (((( (((( ((((= = = = (((( (((( Les quaternionsP ai bj ck du = + + +et les antiquaternionsQ ai b j ck du = + + +de norme 1 ( tels que 2 2 2 21 a b c d + + + = ) sont des matrices rotation de 4R ParidentificationsaveclaformuledOlindeRodrigues,onpourravrifierquelapartiepuredupro-duitdunquaternionP decomposantes( sin , sin , sin , cos )2 2 2 2 parsonantiquaternion associQ reprsente la matrice rotation dangle autour du vecteur unitaire( ) = r (dou lon peut tirer une dmonstration simple de la formule de Thomson, en remarquant que 1 tPQ P Q= ) 5/ Dmonstration gomtrique de la formule d'Euler La formule d'Euler possde une interprtation gomtrique vidente : axx1ayy1 8 Soient rxun vecteur de lespace,ryson transform par une rotation dangle autour dun vecteur unitaire rarx1 et ry1 leurs projections sur un plan perpendiculaire ra r r rrr r r r r rry - x = y - x (projection)x - x = y - y = (a. x)a1111 Dans le plan orthogonal ra , on peut crire : d'o Si l'on revient la notation matricielle prcdente, cette formule est quivalente : 6/ Diffrentielle d'une matrice rotation Exprimesouscetteformeexponentielle,ilestsimpledediffrencierlesmatricesrotation.En effet, on peut choisir comme paramtres de la rotation les trois valeurs a, b et c On peut alors crire : d'o : 11 1y = x + (a xrr r rcos sin ) r r rrr rr r r rr rr r rrr r r rrrrrr r r rr r rr rr r ry=x - x + y=(a. x)a + x + (a x )=(a. x)a + (x - (a. x)a)+ (a (x -(a. x)a))=(a. x)a + (x - (a. x)a)+ (a x)=x+a(a. x)(1- )+(111 1cos sincos sincos sincos cos a x) rsin Y = X + AA X(1- )+ AX= [I + AA (1- )+ A ]Xon vrifiera queAA =A+ Id oY = [I + A +A(1- )]Xttt 22cos cos~sincos cos~sin~~sin~cos r r =|\

||||=abc et R = e~ 9 Danscetteexpression,ladiffrentiellefaitintervenirlesparamtresdelarotationsousforme matricielle, ce qui n'est pas trs commode. Applique un vecteur, elle peut s'crire (en tenant compte de l'anticommutativit du produit vectoriel): C/ Equation de colinarit 1/Perspective d'un point de l'espace La perspective m d'un point M de l'espace est l'intersection de la droite SM avec le plan du cli-ch.dR = e d = Rd~~ ~ dR. A=R.d . A= R. A.d~ ~ - 10M =XYZS =XYZF =xypm=xy0 m image de M Fm= SMMMMSSScc|\

|||||\

|||||\

|||||\

||||r r. Si l'on appelle K le vecteur unitaire orthogonal au clich on peut crire: tm clichKm=0 d'o tt- KF=KR(M - S)PosonsA= M - S et U = RA , on tire_ttKF=KUd'o : ttKFUm= F -KU 2/ Relation diffrentielle liant m aux paramtres du faisceau L'quation prcdente n'est pas linaire, et pour rsoudre les systmes correspondant la pho-togrammtrie analytique, il est ncessaire de la linariser. Les variables que l'on prendra en compte sont F,M,S et R t t t t2 t t tKdF U KF KF UKdm = dF - - - dUKU KU ( KU ) )| | |\ D'autre part,tK Ftant un scalaire, t t t tKFU =U KFet KdFU =U KdFOn tire alors : Si l'on pose13 1t23 23u0 -u up = KF , U =et V =u0 -u uu| || | | | |\ |\ , on tire en dcomposant les calculs: dxdy=VudF +puVR(dS - dM)+puVRAd3 3232|\

||~ 3/ Application : orientation relative en analogique Ilsagitdetrouverlorientationrelativededeuxfaisceauxpartirdemesuresdelcart dintersection entre les rayons homologues (parallaxe transversale). On prendra ici le cas dun appareil permettant les 6 rglages angulaires (site, convergence, dversement des deux images), ce qui est le cas des appareils analogiques utiliss en TP (cest le cas le plus rpandu, mais malheureusement pas le plus simple !-eneffetlamesuredeparallaxeparlacomposantedebaseByestbienpluspratique...).On dU R dM dS dRA r dM dS Ad = + = ( ) (~ t tt t2 tKU -U Kdm= [ KUdF - KFR(dM - dS - Ad )]( KU )% 11pourra partir de lquation de colinarit diffrentielle : dxdy=VudF +puVR(dS - dM)+puVRAd3 3232|\

||~Dans les conditions courantes de prise de vues (axes quasi parallles), on pourra prendre pour le som-met gaucheS=0 et R=I, donc A=U=M. 200000Z Y dZ Xpdm Z X dZ Y ZY X d | || | | | | |= | | |\ | |\ \ La parallaxe transversale sera mesure par les carts en y, do : dypZY ZZdXYZd Xd = ++ +|\

||2 2 Pour le sommet droit, mme calcul avecSB= |\

||||00, do lon tire lquation de la parallaxe : = = + + + |\

|| dy dypZY ZZd dYZX B d Xd X B d Xd2 12 22 1 2 1 2 1( ) [( ) ] ( )Lorientation relative consiste donc dterminer les valeurs des 5 variables angulaires indpendantes annulant la parallaxe sur les points de Von Gruber, dabscisses 0 et B, dordonnes +D, 0 et -D. 12 34 56 B D Sur la ligne de nadir gauche, on a : = + Y ZZBYZd Bd2 22 2 Pour les 3 point de Von Gruber, on obtient les 3 parallaxes suivantes : 32 22 21 252 22 2= + = = ++ D ZZBDZd BdZ BdD ZZBDZd Bd

Une mthode par liminations va permettre de rsoudre le systme : 12On remarquera que2 ajoute une parallaxe constante sur tout le nadir, alors que 2introduit des parallaxes opposes en 3 et 5 On peut liminer la parallaxe centrale laide de 2. On obtient alors les parallaxes suivantes : 32 22152 220= +== ++( )( )ZD ZZBDZdZD ZZBDZd Si on annule la parallaxe en 3 avec 2, on ajoutera celle-ci en 5. On obtient les parallaxes suivan-tes : 3152002===DZ On peut mesurer cette parallaxe en 5 en lannulant en introduisant un site p (on pourrait le faire plus simplement avec 2, mais celui-ci nest pas toujours gradu !). ppZZ DDZ DZD=+=+= +5 2 222 2222121 ( ) Le coefficient 12122( )ZD+est le coefficient de surcorrection par le site.Aprscettemesure,onintroduit 122121 = + ( )ZDp,puisonliminelesparallaxesainsiin-troduites en 1 grce 2et en 3 avec2. Les parallaxes du nadir droit sont annules en 2 par 1 et en 4 par 1. La parallaxe en 6 doit alors tre nulle. Si ce nest pas le cas, soit lappareil est mal rgl, soit cest loprateur... D/ Gomtrie relle des images 1/ Correction de courbure de terre La cause premire de ce que les photogrammtres ont coutume de nommer correction de courbure de terre en photogrammtrie est que l'espace dans lequel oprent les cartographes n'est pas l'espace Eu-clidien dans lequel l'quation de colinarit est tablie. Il s'agit en effet d'un systme cartographique, danslequellaplanimtrieestmesuredansunereprsentationplane(souventconforme)del'ellip-sode, et l'altimtrie dans un systme d'altitude. La meilleure solution pour tenir compte de ce fait est de raliser le plus rigoureusement pos-sible les passages de cartographique en tridimensionnel (il est habituellement plus pratique de choisir un repre tridimensionnel local tangent, ne serait-ce que pour crire des relations d'appui planimtri-que ou altimtrique de faon simple). Cette solution, si elle est la meilleure sur le plan thorique, est cependant un peu difficile mettre en oeuvre de faon industrielle, car elle rend ncessaire de dispo-serd'unebasededonnesdessystmesgodsiques,desalgorithmesdesprojection(parfoisbizza-res)utilisesdanslespaysclients,etdedisposerd'unmodeledelasurfacedeniveau0dusystme altimtrique concern. 13Unesolutionapprocheceproblmepeutnanmoinstretrouve,qui-l'expriencele prouve-est d'une prcision compatible avec la prcision de cette technique de mesure. Elle repose sur lefaitquetouteslesprojectionsconformessontlocalamentquivalentesunesimilitudeprs.On peutdonctenterderemplacerlaprojectionrelledanslaquellesontexprimeslescoordonnesdu chantierparuneprojectionconformeunique(etpourquoipassimple!),parexempleunestrogra-phique oblique de la sphre (on n'est plus a prs) sur le plan tangent au centre du chantier (c'est le nom compliqu que les godsiens donne la bonne vielle inversion). Laformulationmathmatiquedevientalors(lafigureestfaitedansleplandiamtraldela sphre contenant le centre du chantier A et le point I transformer): AOBII'J J'xhh Iestlepointtransformer(cartographique),Jlersultat(tridimensionnel),I'laprojectiondeIsurle plan et J' la projection de J sur la sphre terrestre de rayon R. I' et J' sont inverses l'un de l'autre dans une inversion de ple B et de puissance 4R2. Posons : IxR hIxRJxyJxyxRhR=+= = = += = ' '''( )''12 Le calcul de l'inversion donne: BI BJ RBJ BIRBIJ B BIxR' . '' ' '' '( )( )==`) = =+ = + =4 4 11111 22 22 2222 soit (on peut considrer que J-I correspond une correction apporter aux coordonnes de I) JxRJ IxRxh R x Rx R= + + ==( )( )( )( )( ) 1 11 2 1 24222223 22 Dans les conditions courantes, le terme de correction altimtrique est de loin le plus significa-tif.Maispourdesarotriangulationsdegrandetendue,lescorrectionsplanimtriquespeuventde-venir importantes, et ne doivent pas tre ngliges. Si l'on appuie l'arotriangulation sur des mesures 14deGPSaroport,ilnefautpasoublierd'effectueraussicettecorrectionsurlescoordonnesdes sommets, qui devront de plus tre corriges du gode. Enfin,ilfautsignalerquecettecorrectionestsouvent(presquetoujours)appliquedefaon beaucoupplusapproximative,sousformed'undplacementradialdel'imagedupoint.Cetteprati-que ne se justifie que dans le cas d'appareils analogiques permettant une correction radiale de l'image, tel le Poivilliers D. En effet, elle suppose que l'axe de prise de vue est vertical, et que le terrain est plat et horizontal (pourquoi faire de la photogrammtrie dans ce cas?) pHxdxdzr dr dr dxpHdzrppHdzrHxRrHrHprRHHp Rr = = = = = |\

|| = . . . .22232 2 2 Cette correction polynomiale peut tre prcalcule connaissant la hauteur de vol et la distance princi-pale. Mais il ne faut surtout pas s'en servir en terrain vallonn, ou ds que l'axe de prise de vue est un peu trop inclin... 2/ Rfraction atmosphrique Avantdepntrerdanslacamraphotographique,lesrayonslumineuxtraversent latmosphre, dont la densit, donc lindice de rfraction, diminuent avec laltitude.H(km)-101357911 (n-1)106 30627825220616713410683 Cette variation de lindice provoque une courbure des rayons lumineux (oriente vers lebas) dontlamplitudedpenddesconditionsatmosphriques(pressionettempratureaumomentdela prise de vues), qui ne sont gnralementpas connues. Malgrtout,cettedviationdesrayonsrestefaibleparrapportlaprcisiondesmesures photogrammtriques(saufauxtrspetiteschelles).Onpourradoncsecontenterdecorrigerune rfractioncorrespondantuneatmosphrestandardderfrence.Pourvaluerlinfluencedecette rfraction, il est indispensable de disposer dun modle donnant la variation de lindice de rfraction en fonction de laltitude. Denombreusesformulesexistentpermettantdvaluerlavariationdeladensitdelairen fonction de laltitude. Aucune nest certainement meilleure que lautre.On pourra par exemple utili-ser ici formule publie par lOACI (aviation civile) : n n ah bh a b n = + + =0201 1000278 ( ) . avec= -2,560.10=7,5.10 -8 -13 ou celle-ci, dont lintgration est plus simple : 15n aebha b = += = 1 27810 105106 6 avec . .Le calcul de la correction de rfraction peut se faire de la faon suivante :le rayon lumineux issu de M parat tre issu du point M situ sur une mme verticale, tel que MM' = y. On pourra ainsi modifier laltitude du point objet M de la correction y pour l amener en M. Cette mthode de calcul a l'avantage de ne pas supposer que l'axe de prise de vues est vertical, et fonc-tionne en photogrammtrie oblique ou terrestre. y v h d M M S dvv vh hdyMcos . sin = , d'o dvv vh hMM ySMM= =cos . sin' La formule de Descartes nous donne la variation de l'angle de rfraction :n v cte .sin =soitdn v n vdv sin cos + = 0ou encoretgvndndv =.Danslecasdelaphotographiearienne,onpourrasupposerlaterreplate,legradient dindiceestdonctoujoursvertical(cetteapproximationn'estpasvalableenimageriespatiale).Le rayon tant peu courb, on pourra assimiler larc et la corde, l'angle vet l'indice de rfraction peuvent tre considrs comme constants pour l'intgration.dhdhdnh hv ndnvh hndnvvv vh hMMSMMSMMSMM = = = ) (cos1cos) (cossincos . sin) ('2 2 Avec la seconde formule de rfraction, le calcul de lintgrale donne : bhabedhdn = , 1 ==nbhae dhdhdnet) 1 )(1( + =nbh dhdhdnh)] 1 ( [22 + =SM Sn Hbn nHDy avecSM D = etM Sh h H = 16Pour des photos ariennes au 1/50000 en focale 152mm, cette correction est d'environ 0,20 au centre,etatteint0,50menborddeclich.Elleestbienentendusensiblementmoinsimportanteaux grandes chelles.Cette formule permet galement la correction de rfraction avec des axes de vise obliques ou horizontaux (photogrammtrie terrestre), ce qui nest bien videmment pas le cas des formules appor-tantunecorrectionradialeauxcoordonnesclich.Onpourravrifierquelorsque h h y nbDM S H s = , la limite de y est :( ) 122, rfraction dune vise horizontale. Lorsque lavion est pressuris, le rayon lumineux est rfract une seconde fois lentre dans la cabine, o la pression est plus leve qu laltitude de vol (la diffrence de pression est fonctionde lavion utilis). On peut de mmemodliser cette rfraction de faonanalogue la rfraction atmos-phrique (le signe est oppos la prcdente, car le rayon arrive dans un milieu dindice suprieur). En notantnc lindice de rfraction lintrieur de la cabine, et en supposant que le hublot est ho-rizontal, dv n n v n nRHc s c s= = ( ) tan ( )dyDHn n Hc S= 22( )En combinant cette quation avec celle de la rfraction atmosphrique, on voitquil suffit de remplacer laltitude du sommet par laltitude cabine dans le second membre : yDHn nbH nS Mc= + 221 [ ( )] Reste calculer lindice de rfraction cabine. Daprs les aviateurs, la pressurisation conduit une diffrence de pression limite une valeurPmax (6 psi, soit 41370 Pa dans le cas des Beechcraft de lIGN) entre lintrieur et lextrieur de lavion ; en dessous dune altitude limite, la pression est la pression sol (environ 4300m dans le cas prcdent). Lindice de rfraction est li la pression et la temprature par la relation : nPT= = ( ) 1 10 7906 ,P en KPa et T enK Latempraturedcrotaveclaltitudesuivantlaloiempirique : T T Z = 036 510 , . .Silonprend T TC= = 0298 , on peut calculer lindice cabine par : Z PC S S= +( , . ) , 1 2 2210 2 6965On limitera cet indice lindice sol (278), dans le cas o lon est sous laltitude de pressurisation,On voit que, dans les condition de vol courantes (prise de vues 5000m, dbut de pressurisation 4300m), cette correction totale est presque oppose la correction calcule sans pressurisation cabine. 3/ Distorsion de l'optique. Enoptiquelmentaire(conditionsdeGauss:lentillesminces,rayonspeuinclinssurl'axe, optique peu ouverte), tout rayon passant par le centre de l'objectif n'est pas dvi. C'est ce que repro-duitlaperspectivemathmatique.Malheureusement,lesoptiquesrellesutilisesenprisedevues photogrammtrique ne remplissent aucune de ces conditions.Dans le cas des optiques parfaites (dioptres sphriques centrs) le rayon d'entre, le rayon de sortie, et l'axe de l'optique sont coplanaires. Mais les rayons incident et mergent ne sont pas parall-les. Cet cart de paralllismeconstitue la distorsion de l'objectif. C'est une caractristique permanente 17et stable de l'optique, qui peut tre mesure pralablement la prise de vues, et corrige lors des cal-culs de photogrammtrie.La mesure de cette distorsion peut tre ralise sur un banc optique muni de collimateurs, ou parvise d'un rseau travers l'objectif. Ces mthodes, assez lourdes et onreuses, sont utilises par lesfabricantspourfournirlescertificatsd'talonnagedescamrasariennesqu'ilsproduisent.Ilest galementpossiblededterminerladistorsion(ainsiquelecentrageetladistanceprincipale)par photographie d'un polygone tridimensionnel de points trs bien connus en coordonnes, et par calcul des quations de colinarit, auxquelles on ajoute des inconnues de distorsion suivant le modle choi-si. Danslecasd'unobjectifparfait,ladistorsionsemodlisetrsbienparunecorrectionsym-trique polynomiale radiale autour du point principal de symtrie (intersection de l'axe optique avec le planducapteur).Deplusonpeutdmontreraismentquecepolynmenecontientquedestermes impairs. Le terme de premier degrpeut tre choisi arbitrairement, car il est li auchoix dela dis-tanceprincipale:onleprendsouventnul(distanceprincipaleaucentredel'image)oudefaonce queladistorsionmaximaledanslechampsoitlaplusfaiblepossible.Onselimitegnralementau degr7(quiestmmesouventsuperflupourlesobjectifscourants).Lacorrectionapporterest alors : ( ) r ar br crdxdyxryrrxyar br cr = + +|\

|| = |\

|||= |\

|| + +3 5 7 2 4 6d' o Si l'optique ne peut pas tre considre comme parfaite (c'est parfois le cas si l'on tente d'em-ployerdesappareilsphotographiquesgrandpublicpourdesoprationsphotogrammtriques),la distorsion peut perdre son caractre radial et symtrique, et ncessite des moyens d'talonnage et de modlisationbeaucouppluscomplexes..Deplus,danslecasdeszooms(quel'onvitera),cette distorsionnerestepastoujoursconstantedansletempsenraisondesvariationsdecentrageappor-tes par le dplacement du vhicule pancratique. Toute modlisation devient alors trs alatoire. 4/ Dformations du capteur. L'quation de la perspective suppose que le capteur est un plan, et que l'on peut y dfinir un rfrentieldemesurepermanent.Acepointdevue,ilfaudraopposerlescapteursphotochimiques (mulsionphotographique)etlescapteurslectroniques(matricesDTC).Cesdernierssontpratique-mentindformables,etl'imagequ'ilsacquirentestdfinitivementstable(entoutcassurleplan gomtrique).Lesremarquessuivantess'appliquerontdoncuniquementauxcapteursphotochimi-ques. La planit de l'mulsion tait autrefois obtenue par utilisation de plaques de verre, mais cette solution n'est plus employe, sauf peut-tre dans certains systmes de photogrammtrie terrestre. Elle n'taitd'ailleurspastrssatisfaisante.Onapratiquementtoujoursrecoursaujourd'huil'aspiration sous vide du film sur une plaque de fond de chambre perfore. Cette mthode est trs satisfaisante, conditionqu'iln'yaitpasdepoussireinterposeentrelefilmetlaplaque,cequiestmalheureuse-mentassezdifficileobtenir.Ils'ensuitunedformationlocaledel'image,difficiledtecter(sauf dans des zones radiomtriquement uniformes, o apparat un effet d'ombre) etimpossible modli-ser. L'indformabilitdel'imageaucoursdutemps,sielles'estamlioreavecl'usagedesup-ports dits "stables", est tout fait insuffisante pour l'usage des photogrammtres. Des dformations 10 fois suprieures la prcision des mesures ncessaires sont frquentes. La seule parade efficace est la mesure des coordonnes images de points connus (les repres de fond de chambre) et la modlisation deladformationparunetransformationbidimensionnelle.Cetteoprationestconnuesouslenom dorientationinterne.Onchoisithabituellementunmodleaffine(transformationlinairegnrale), quireprsenteassezbienlapartieprincipaledeladformation.Maiscettedformationn'estainsi 18mesurequesurleborddel'image,enunpetitnombredepoints(8engnral).Laprolongation l'intrieur de l'image est donc d'un assez faible fiabilit. 5/ Modlisation des dfauts non quantifiables. Lesprincipalescorrectionsapporteraumodlesimplistedelaperspectivecentraleontt passesenrevue.Certainesd'entre-ellespeuventtreconsidrescommeparfaitementconnues-la courburedeterreparexemple-d'autrespeuventtrecalculesapproximativement:rfraction,d-formation du film, d'autres enfin sont totalement inconnues, la distorsion du hublot par exemple.Lorsque la reconstitution gomtrique prcise est indispensable -c'est notamment le cas en a-rotriangulation,olecumuld'erreurssystmatiquespeutengendrerdesimprcisionsintolrables- une parade consiste ajouter l'quation de colinarit et ses termes correctifs, un modle param-triquededformation(souventpolynomial),contenantunpetitnombredeparamtres,choisisde faonreprsenteraumieuxl'influencedesdfautsnondirectementmodlisables.Cesinconnues supplmentairesinconnuesdesystmatismeaposteriori)serontrsoluessimultanmentavecles inconnues principales du systme photogrammtrique, que sont les coordonne des points terrain, les sommetsdeprisedevue,etlarotationsdesimages.Cettetechniquepermethabituellementungain de 30 40% sur la prcision altimtrique de l'arotriangulation. E/ Quelques rgles pratiques. Lesrglesdebonnemiseenuvredelaphotogrammtrieariennesontconnuesdepuis plusieurs dcennies, et onse contentera donc ici d'en rappeler l'essentiel. D'ailleurs, lesvariables sur lesquelles on peut intervenir sont peu nombreuses. Elles dcoulent pour l'essentiel de la prcision que l'onchercheatteindre,quipeuttrespcifiedanslecahierdescharges,ousedduirede l'chelle dulev(mmesicelui-ciestnumrique,onpeutluiattribuerunechellecorrespondantsaprci-sion, qui est conventionnellement de 0,1 mm l'chelle). La pratique montre que l'ensemble des erreurs qui se cumulent au cours du processus photo-grammtriquelimitesaprcision-dansdestravauxcourants-environ1520micronssurl'image (sur des pointsbien dfinis) pour chacune des deux coordonnes planimtrique. Ce chiffre peut tre sensiblementamlior(jusqu'23)enchoisissantdesmodesopratoirespluscontraignants(et simultanment plus onreux). Pour l'altimtrie, ce chiffre doit tre grosso-modo divis par le rapport entre labase (distance entre les points devue) et l'loignement (de ces points de vue l'objet photo-graphi).Cerapportdpenddirectementdel'angledechampchoisipour lacamra:pluslechamp estlarge,pluscerapportseralev,pluslaprcisionaltimtriqueseraprochedelaprcisionplani-mtrique.Atitred'exemple,ontrouveraci-dessousuntableaurcapitulantlesvaleurscaractristiques des camras ariennes les plus courantes (en format 24x24cm) avec des valeurs de base standard (re-couvrement de 55%) : Focale88mm152mm210mm300mm Angle de champ120907355 B/H1,30,660,480,33 Hauteur de vol (1/10000)880 m1520 m 2100 m3000 m Prcision plani (1/10000)20 cm20 cm20 cm20 cm Prcision alti (1/10000)15 cm30 cm40 cm 60 cm Connaissant la prcision demande au lev, il est alors trs simple de dterminer l'chelle de prise de vue. Le choix de la focale sera guid par la considration suivante : plus la focale est longue, 19plus l'altitude de vol sera leve, plus les parties caches seront faibles (essentiellement les pieds des immeubles en ville, sinon le sol complet des rues), mais simultanment plus la prcision altimtrique sera dgrade, et plus l'influence radiomtrique de l'atmosphre sera gnante. En pratique, on utilisera prioritairement la focale de 152mm. La focale plus courte sera rser-ve aux trs petites chelles, pour lesquelles l'altitude de vol peut constituer une limitation (le gain en prcisionaltimtriqueestenralittoutfaitthorique,danslamesureolamdiocrequalitdes optiquesfaitperdrecequel'onavaitgagnengomtrie).Lesfocaleslonguesserontrservesla plupart du tempsaux levs orthophotographiques en zone urbaine, dans lesquels la perte de qualit altimtriquen'estpasungroshandicap.Danslecasdephotographieencouleurs,ilfaudranan-moinsprendregardel'augmentationduvoileatmosphrique,quiaurasurtoutpourconsquence pratiquedelimiter lenombredejoursdeprisede vuesdisponibles.Uneautrefaon(moinscono-mique) de pallier le problme des parties caches est d'utiliser une camra de focale normale, en choi-sissant des recouvrements plus importants : on peut ainsi concilier une bonne prcision altimtrique, un faible voile, et des dformations dues au sursol acceptables.