RAPPELS DE RdM

1/ Consoles (Mmax = MA)

P et T(x) : MNp : MN/mM(x) : MNm

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VA = P ; MA = - P a

x £ a : T(x) = P ; M(x) = - P (a-x)

x ³ a : T(x) = 0 ; M(x) = 0

VA = p l ; MA = - p

T(x) = p (l - x) ; M(x) = - p

VA = pm ; MA = - pm

T(x) = (l - x)2 ; M(x) = - (l - x)3

VA = pm ; MA = - pm

T(x) = (1 - ) ; M(x) = - (l - x)2(2 l + x)

2/ Poutres sur deux appuis simples

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VA = VB = ; Mmax = pour x =

x £ : T(x) = ; M(x) =

x ³ : T(x) = - ; M(x) =

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VA = ; VB = ; Mmax = pour x = a

x £ a : T(x) = ; M(x) =

x ³ a : T(x) = - ; M(x) = P a (1 - )

VA = VB = ; Mmax = pour x =

T(x) = p l x

2

; M(x) = (l - x)

VA = l a

2

; VB = ; Mmax =

pour x = a -

x £ a :T(x) = ( a(2 l - a) - 2 l x)

M(x) = ( a(2 l - a) - l x)

x ³ a :T(x) = ; M(x) =

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VA = ; VB = ; Mmax = pour x =

T(x) = (l2 - 3 x2) ; M(x) = x (l2 - x2)VA = VB =

p

4m l ; Mmax = pour x =

x £ : T(x) = ( 1 - 4 )

M(x) = x ( 1 - )

x ³ : T(x) = - ( 1 - )

M(x) = (l - x)

3/ Poutres à plusieurs travées

Charges réparties :

poutre à 2 travées chargées : Mt max = 0,0625 pl² et Ma = - 0,125 pl² si une des 2 travées chargée : Mt max = 0,0938 pl²

poutre à 3 travées chargées : Mt max = 0,075 pl² en rive et 0.025 pl² travée centrale et Ma = - 0,10 pl² si une des 3 travées chargée : Mt max = 0,0917 pl² en rive et 0.075 pl² travée centrale

poutre à 4 travées chargées : Mt max = 0,0714 pl² en rive et 0.0357 pl² travées centrales et Ma = - 0,1071 pl² en rive et -0.0714 pl² travées centrales si une des 4 travées chargée : Mt max = 0,0916 pl² en rive et 0.0737 pl² travées centrales

- Caquot :

MA = - k Î [ ;1]

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T(x) et (x) effort tranchant et moment isostatique

T(x) = (x) + ; M(x) = (x) +

x + MA

l'w = lw si travée de rive ou l'w = 0,8

lw sinon

l'e = le si travée de riveou l'e = 0,8 le sinon

RAPPELS DE BETON ARME

1/ Calcul des poteaux ( £ 120 et fck ≤ 50 MPa) en compression simple

- Majoration de charge : poteau central : charge isostatique + 15 %, 2ème poteau : charge isostatique + 10 %

- Longueur de flambement l f : Soit lo la longueur libre du poteau :

- Si c'est un mat : alors lf = 2 lo

- Poteau dans un bâtiment : S'il est encastré dans sa fondation : alors lf = 0,7 loS'il est traversé par une poutre de même inertie que lui :

alors lf ≈ 0,7 lo

S'il est continu en étage courant :

alors lf = 0,7 lo

Au dernier étage : lf = lo

- On calcule alors :

- Cas du poteau rectangulaire : avec a £ b :

- Cas du poteau rond de diamètre a : = lf (» du poteau carré de même surface)

- On calcule ensuite : si £ 60 : = ou = si poteau rond

si 60 £ £ 120 : = ou = si poteau rond

k = 1 ou 0,93 si a < 50 cm ( ou si a < 60 cm pour un poteau rond )

- On calcule les aciers:

Soit NEd l'effort de compression ultime (MN) alors:

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avec i = , avec : I inertie dans le sens le plus défavorable

AC section du poteau. =

= lf

As =

avec : fyd = et S = 1,15 en général et C = 1,5 en général.

Pour une section rectangulaire : Ac = a x b

Pour un poteau rond : Ac = a2

On doit disposer les aciers le long de la plus grande face

La section Acm2 doit vérifier A³ (NEd /10)/fyd et A ³ , Ac en cm2.

De plus, Acm2 est limité à , Ac en cm2. Il faut une barre dans chaque angle.

Pour les poteaux ronds, on doit disposer au minimum 6 barres.

Soit l le diamètre des armatures longitudinales. Elles doivent être maintenues par des cadres et des

épingles de diamètre t et disposés tous les st tel que st £ Min(20l ; 40 cm ; a) et de diamètre t

supérieur ou égal à donc si l £ 20 mm ® t = 6 mm, l = 25 mm ® t = 8 mm,

l = 32 mm ® t = 8 mm, l = 40 mm ® t = 10 mm.

En zone de recouvrement si l dépasse 14 mm et sur la longueur b en tête et en pied, on doit

multiplier les espacements par 0,6. On doit disposer 3 cadres régulièrement répartis sur la longueur de recouvrement.

2/ Flexion simple, ELU sans contrainte particulière à l’ELS

Section rectangulaire

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A : aciers tendusA' : aciers comprimés éventuels.fck : valeur de la résistance à la compression du béton à l'age

de 28 jours.

On pose : fcd = et fyd = fyk / S

en généralC = 1,5 et S = 1,15.

(MPa)

Soit MEd le moment à L'ELU (en MNm)

On pose cu = , si cu £ 0,3716 et environnement ni XF, ni XS et ni XD : pas d'aciers

comprimés. Si cu £ 0,245 : pas d'aciers comprimés non plus même en XF, XS ou XD.

On calcule alors = 1,25 (pour fck ≤ 50 MPa) et zc = d (1 - 0,4 ).

( si on n'a pas d'idée précise sur d, prendre d» 0,9h et vérifier cette hypothèse en fin de calcul )

puis s = . cu2, avec cu2 = 3,5 o/oo pour fck ≤ 50 MPa et vérifier que s ≥ fyd/Es.

En fonction de la catégorie d’acier ( A, B ou C ), choisir k ( 1,05, 1,08 ou 1,15 )

et uk ( 25, 50 ou 75 )o/oo. On pose ud = 0,9 uk et on rappelle que Es = 200000 MPa.

sd = fyd (1 + (k – 1) ) avec s plafonné à ud.

Les aciers de flexion valent : As = (MEd / zc) / sd.

NB : en classe A, si cu ≤ 0,1029 alors sd = 454,14 MPa.

en classe B, si cu ≤ 0,0567 alors sd = 465,93 MPa.

On vérifie A ³ Amin avec Amin = 0,26 bw d et fctm = 0,3 (fck)2/3 pour fck ≤ 50 MPa.

Si cu > 0,245 en environnement XF, XS ou XD, il faut des aciers comprimés (à éviter sur appui).

On pose Mc = (cu - 0,245)bw d2 fcd.

On fait le calcul en flexion simple avec cu = 0,245 , on trouve A1,

on a alors :

Pour respecter les limitations de contrainte en service, la valeur de sc est plus faible que fyd :

Pour RH = 50% : sc » 7.8 fck - (11 fck + 360 ), multiplier par 0,476 pour RH = 80%.

avec Mser moment à l'ELS.

Si cu > 0,3716 et fyk = 500 : il faut remplacer fyd par s = 700 , étant déduit de cu.

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avec sc = contrainte des aciers

comprimés.A = A1 + et A' =

Section en T

cu = , = 1,25 , zc = d (1 - 0,4 ) , Ns1 = , Ns = Ns1 + Ns2 et :

A =

Largeur de table d'une poutre en T :

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On pose NTu = b ho fcd et MTu = d h

2o

NTu

Si MEd £ MTu : faire le calcul comme si la

section était rectangulaire de section b x h

Si MEd > MTu : On pose Ns2 = NTu

et Mc = MEd - MTu

D'autre part des aciers de couture doivent traverser la table et être ancrés de part et d'autre de celle-ci :

tg compris entre 0,5 et 1.

Si ht > 60 cm, il est conseillé de prévoir des aciers de peau : 2 HA 6 e = 25

Remarque : la valeur de 0,245 limitant cu est appelée lu. Cette valeur est en fait variable.

Pour de l'acier HA ou du TS et pour RH = 50%, elle peut être évaluée par :

104 x lu = 2666 + 87,5 fck – 0,834 fck² - 3157 ( C25 à C45 )

104 x lu = 2666 + 20 fck – 1808 ( C45 à C60 )

Pour = 1,4 et fck = 30 MPa on retrouve lu = 0,245. Pour RH = 80%, multiplier par 0,935.

De plus, il vaut mieux limiter la valeur de cu à 0,3716 pour des raisons économiques.

3/ Effort tranchant (flexion simple, = 90°)

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Les règles Eurocodes permettent de choisir l’angle d’inclinaison des bielles courantes dans les limites : 1 ≤ cot ≤ 2,5 c'est-à-dire 21,8° ≤ ≤ 45°. La contrainte limite de cisaillement admissible est maximale pour = 45° et l’utilisation de = 45° limite l’incidence de la section de couture nécessaire à l’interface talon préfabriqué / dalle de compression, elle est donc recommandée.

On peut choisir = arcsin ( ) dans les limites ci-dessus.

- On pose , il faut ( ou 0,5(0,9-fck/200)fcd si fck>60MPa ), sinon < 90°.

on peut appliquer des réductions pour le calcul de VEd :

- on néglige les charges réparties appliquées à moins de d du nu de l'appui- on multiplie par av / 2 d les charges concentrées Qi appliquées à la distance av du nu de l'appui

lorsque av < 2 d

On calcule ensuite u n'importe où sur la poutre en prenant la plus petite valeur de VEd sur une

longueur élémentaire z cot si il n’y a pas de discontinuité de VEd.

Si , alors Asw / s = ((VEd / zc) / fywd)/ cot avec s l’espacement

des cours d’armatures d’effort tranchant et cot compris entre 1 et 2,5.

Si et , alors Asw / s = (VEd / zc) / (0,8.fyk)

Le minimum à disposer est Asw / s = bw . 0,08 (fck)1/2 / fyk

L’espacement maximal entre cours est de 0,75 d ou 15 si A’≠ 0 ( 0,9 d si h ≤ 25 cm )L’espacement transversal entre brins des cours est de 0,75 d ou 60 cmOn place le premier cadre à s / 2.En cas de reprise de bétonnage, il faut que la section de ces armatures vérifie :As ≥ (VEd / z / bi – c fctd ) / / fyd x bi par ml avec bi la largeur de la poutre moins les appuis de prédalles éventuels, c et des coefficients qui valent : (0,2 ; 0,6) pour une surface lisse et (0,4 ; 0,7) pour une surface striée de hauteur 3 mm au moins avec fctd = 0,21 fck

2/3 / c pour fck 50 MPa.

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* Appui simple d'about :

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On pose a' = a – l’enrobage et A la section ancrée

On doit vérifier : ( fyd = )

A doit pouvoir équilibrer le moment à 0,5 z cot du nu de l'appui ( décalage de la courbe des moments ).

L’utilisation d’une valeur de ( inclinaison des bielles en partie courante ) différente de 45° diminue les aciers d’effort tranchant mais augmente la longueur des aciers de flexion.

et:

avec sin ' = z / (z² + (a’/ 2 + z cot /2)²)1/2, ’ étant l’angle de la bielle d’about.

Si cette équation n’est pas vérifiée, on rajoute des aciers de bielle situés au-dessus de la bielle d'about : On peut, dans le cas d'appui de faible longueur, superposer des bielles. Exemple : si on a 50 % de dépassement, on dispose 2/3 des aciers d’ancrage en bas et 1/3 à une distance a’ au-dessus.

a + lbd

* Appui intermédiaire :

On ancre les aciers du 1er lit de 10 au minimum. Les bielles doivent être vérifiées séparément avec VEdmax droite et VEdmax gauche.

* Armatures de suspension : si l'âme d'une poutre peut être mise en traction (ex : poutre allège), il faut ajouter des armatures d'effort tranchant pouvant remonter la charge.

* Poutre à talon :

* Croisement de poutres :

Lorsque deux poutres de même hauteur se croisent, il faut examiner la position respective de leurs aciers. On en profite souvent pour remonter la charge d'une poutre sur l'autre.

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On doit vérifier:

et :

Ma : moment sur appui, négatif en général.

On doit vérifier :

Ac = section de couture (dans l'exemple 2 brins)