9

 Le diagramme de déformations limite passe par le pivot A si  UM  �   ABM . Ainsi : 

�  �   AB� = 0.259 � �  �   AB�  = 0.186. 

Le diagramme de déformations limite passe par le pivot B tant que  ABM  <  UM  �   BCM  

� 0.259 d < y �  h. Ainsi 0.259 < �  �   BC�  = 1.1 � 0.186 < �  �  0.493.  Récapitulation Le pivot de calcul est le pivot A si �  �  0.186. Le pivot de calcul est le pivot B si 0.186 < �  �  0.493.  c) Calcul des aciers   Données : Coffrage (b, d), béton ( 28cf ), Moment à l’ELU ( UM ) 

      Inconnues : Section d’aciers  longitudinaux  tendus    ( uA ), Section d’aciers  longitudinaux                        

comprimés ( 'uA .) 

        

�  Calcul du moment réduit : �  =  bu

u

fbd

M2

         (2-1) 

�  Comparaison de �  à   lu�  

                   - si  �   �    lu�  �  Calcul d’une section rectangulaire sans armatures comprimées. 

                                                          - si  �    >   lu�  �  Calcul d’une section rectangulaire avec armatures comprimées. 

                                                c-1) Section rectangulaire (sans armatures comprimées) 

 �  Hauteur du béton comprimé : �   

                           �  = 1.25 (1 -  �21�  )            (2-2) 

 �  Bras de levier : Z = d ( 1- 0.4 � )                    (2-3)  �  Contrainte de calcul des aciers :   s�  

 Si �  < 0.186 �  Pivot A  

s�  = 10 x  310� �   s�  = s

ef

� 

Si �  > 0.186 �  Pivot B 

s�  = 3.5 x  310�  ���1 

-  si  s�  < ss

e

E

f

� �   s�  =  sE s�  

-  si  ss

e

E

f

� �   s�  �  10 x  310�  �   s�  = 

s

ef

� 

  10

�  Section d’aciers :  uA  

 

                                uA  =  s

u

Z

M

�      (2-4) 

 c-2) Section rectangulaire (avec armatures comprimées)  

Dans ce cas,      uM =  1M  +  2M                 (2-5) 

 

Avec  1M =  lu� b  2d buf  

 La décomposition du moment, donnée par (2-5), est schématisée sur la figure (2-7).                

 �  Diagramme de déformation limite de la section   Le  diagramme  de  déformations  limite  de  la  section  passe  par  le  pivot  B  et correspond  à  la  hauteur  limite  du  béton  comprimé  lu�   d  (  soit  à  1M = lu�   b 

2d buf ). 

 �  Calcul des déformations des armatures  

- Allongement  relatif des armatures tendues :  s�   

 

                         s�  = ( lu�1

 - 1) x 3.5 x  310�            (2-6) 

 

     '

uA  

     uA  

     uM  

 =  

       1A  

 

           'uA  

   2A  

    2Z  

   

2M  

       d 

   b     b 

'd       d 

 Figure 2.7: Décomposition du moment 

    lu� d 

  1M     +    

Le moment  1M est équilibré par le béton comprimé de hauteur  lu� d   

(  lu� = 1.25 (1-  lu�21� ) et la section d’armatures tendues  1A .Le moment  2M est 

équilibré par la section d’armatures comprimées  'uA  et d’armatures tendues  2A . Avec 

le bras de levier  2Z = d -  'd . 

  11

                 - Raccourcissement relatif des armatures comprimées :  sc�  

 

                                                  sc� = (1 - lu�� '

) x 3.5 x  310�           (2-7)             

                           avec  '�  = d

d '

 

                                                

�  Calcul des contraintes  - Contrainte des armatures tendues :  s�  

 

                     si  s�  �  as

e

E

f

�  �    s�  =  aE s�                             (2-8) 

                    si    as

e

E

f

�  <  s�  �  10 x  310�  �   s�  = 

s

ef

�  (2-9) 

                               - Contrainte des armatures comprimées :  sc�  

       

               si   sc�  �  as

e

E

f

�   �      sc�  =   aE sc�                     (2-10) 

                

               si   as

e

E

f

�  <  sc�   �  10 x  310�  � sc�   = 

s

ef

�        (2-11) 

 �  Calcul des sections d’acier  - Calcul de  1A  

                   Le calcul de  1A  revient au calcul de la section des armatures d’une section  

                   rectangulaire, en flexion simple, soumise à  1M . Ainsi on trouve : 

                    

                                              1A  =  )4.01(

1

lusd

M

�� �                 (2-12) 

                       - Calcul de   2A  

                     Ce calcul revient au calcul de la section d’armatures tendues « équilibrant » 2M . 

 

                                                     2A  =  )( '

2

dd

M

s ��                  (2-13) 

 

  12

                   -  Calcul de  'uA  

                 Ce calcul revient au calcul de la section d’armatures comprimées équilibrant                   L’excédant du moment ( 2M ) non équilibré par le béton. 

                    

                                               'uA  = 

)( '

2

dd

M

sc ��                 (2-14) 

  Remarque 1 :  L’acier est relativement cher ( par rapport au béton) pour être utilisée en compression. Ainsi, pour des raisons économiques,  2M  est limité à 0.4  uM ( 2M  �  0.4  uM ). 

 Remarque 2 Les armatures comprimées doivent être entourées tous les 15 diamètres par des armatures  transversales.    2.4.2 Section en T    Données : -  Dimensions : b,  0b , d,  0h  (figure 2.8) 

-  Matériaux : béton ( 28cf ), Acier ( ef ) 

-  Sollicitation :  uM (Moment fléchissant à l’ELU) 

Inconnues :  -  Section  des  aciers  tendus  à  l’ELU  ( uA )  (éventuellement :  section  d’armatures 

comprimées ( 'uA ))           

                  

 

          b 

   uM    d 

 'd  

   0h   

      y  

      A.N.  

          0b  

         'uA  

    uA  

      Figure 2.8 : Section en T 

   

  13

   On désigne par :   A.N : l’axe neutre repéré par y,  uM  : moment fléchissant à l’ELU 

   b : la largeur de la table de compression     0h  : la hauteur de la table de compression. 

    0b  : la largeur de la nervure. 

    d : la hauteur utile de la section      a) Analyse du comportement de la section       Le comportement de la section dépend de la position de l’axe neutre (repérée par y.) sous  uM . 

 �  Calcul du moment  uTM ,  : équilibré par la table de compression 

 

                              uTM , =  buf b  0h  (d - 20h )             (2-15) 

  �  Comparaison de  uM à  uTM ,  

 - si  uM �   uTM ,   �  0.8 y �   0h  : la table seule est surabondante pour équilibrer le 

moment  uM  : la zone comprimée a une forme rectangulaire de largeur b. 

Dans ce cas le calcul revient au calcul d’une section rectangulaire de largeur b et de hauteur utile d.  -  si  uM >  uTM ,    �   0.8  y  >  0h  :  la  table  seule  ne  suffit  pas  pour  équilibrer  le 

moment  uM . Dans ce cas le calcul de la section revient au calcul d’une section en 

T  

b) Calcul d’une section en T (. uM >  uTM , ) 

 �  Schéma mécanique d’équilibre de  uM  

         Dans ce cas, le moment  uM peut être décomposé de la manière suivante: 

                                  uM =  1M  +   2M                

           

   2M =  buf (b  - 0b )  0h (d  - 20h ) :  est  équilibré  par  une  section  de  béton  comprimé  de 

largeur  (b -  0b ) et de hauteur  0h  et une section d’aciers  tendus  2A conformément à  la 

figure 2.9. 

1M est équilibré par une section rectangulaire de largeur  0b et de hauteur utile d (hauteur 

du  béton  comprimé  y  tel  que  0.8  y  >  0h   et  une  section  d’aciers  tendus  1A ) :  voir  la 

figure 2.9.  En outre,  nous  notons  que  le  diagramme de  déformations de  la  section  correspond  à 

1M puis que  2M est constant. 

  14

                      

                                           uA  =  1A  +  2A  

                      'uA  =  '

1A  

 �  Calcul de  1A   

Le calcul de  1A revient au calcul des armatures d’une section rectangulaire, de 

largeur  0b  et de hauteur utile d, soumise à  1M . 

 

                             1�  =  bufdb

M2

0

1                  (2-16) 

                   - si  1�  �   lu�    �   pas d’armatures comprimées. 

                   - si   1�  >  lu�     �  Armatures comprimées nécessaires :   '1A  

 �  Calcul de  2A  

 

            2A  = 

)2

( 0

2

hd

M

s ��            (2-17) 

Nous notons que la contrainte  s�  des aciers est déterminée à partir du diagramme 

des déformations de la section correspondant à  1M . 

 �  Récapitulation  

                  - Section des aciers tendus : A =   1A  +   2A  

                  - Section des aciers comprimés (éventuellement) :  'uA =  '

1A . 

  

        b   

0h  

 d 

  A.N. 

 'd     '

uA  

uA  

              uM  

      =  

      0b  

             0.8 y 

 

      '1A  

         1A  

          1A s�  

                         1M   + 

 

buf  

 

     b -  0b  

   0h  

buf  

    2A s�  

 

    2Z = d - 20h   

2M  

  2A  

   Figure 2.9: Schéma d’équilibre de  uM