Universit Mohammed V Agdal Facult des Sciences Juridiques, conomiques et sociales RABAT http://www.fsjesr.ac.ma c-'=- --=- -'= - -'~--V --:-'-- :-- ----'--=V '-:- Filire de Sciences conomiques et de Gestion Semestre:S4 Module:M 16 (Mthodes Quantitatives IV) Matire : ALGEBRE IISession:Printemps-t, 2010-2011 Sections:A, B et C Responsable de la matire:Salma DASSER Contrle final Dure : 2h Les documents et les portables ne sont pas autoriss.La calculatrice est usage strictement personnel. Toute rponse doit tre justifie. La prsentation de la copie est note sur 2 points. Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 1/11 Correction du contrle final Correction du contrle final Correction du contrle final Correction du contrle final Exercice 1 .............................................................................................................................. 2 Exercice 2 .............................................................................................................................. 2 Exercice 3 .............................................................................................................................. 3 Exercice 4 .............................................................................................................................. 9 [Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 2/11 Exercice 1 Enonc : Montrer que : 1), : , 2), : 22 Solution : 1), : , , , , , , , 2, , , , , , , , 2, ,

14 , 2), : 2 , , , , , 2, , , , , , 2,

22 Exercice 2 Enonc : Dans muni du produit scalaire usuel, on considre le sous espace vectoriel : , , / 0 0 1)Dterminer une base orthonorme de et une base orthonorme de . 2)En dduire une base orthonorme de . Solution : , , / 0 0 1)Dterminons une base orthonorme de et une base orthonorme de. Dterminons une base de : , , 0 0 , , , , ;

Donc 1, 1,1et1, 1,1 est une base de Dterminons une base orthonorme de : On pose 1, 1,1 : est une base de . On construit partir de une base orthonorme de : 1, 1,1 : 111 3 1, 1,1 ,,Donc est une base orthonorme de [Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 3/11 Dterminons une base de : , , , , , , , est une base de , , , , , 0 0 Donc : , , 0 , , , , ;, Donc 1,1,0, 1,0,1et1,1,0, 1,0,1 est une base de Dterminons une base orthonorme de : On pose 1,1,0 et 1,0,1 : , est une base de . On construit partir de la base , une base orthonorme de en utilisant le procd de Gram-Schmid : 1,1,0 : 110 2 1,1,0 ,, 0 , . 1,0,1 ,, 0 ,, 1 26,, 1 ,,Donc, est une base orthonorme de 2)Dduisons-enune base orthonorme de . Puisque : deus sous espaces orthogonaux sont supplmentaires est une base orthonorme de , est une base orthonorme de

Alors : , , est une base orthonorme de Exercice 3 Enonc : 1)On considre la matrice 1 1 11 1 11 1 1. a. Donner lexpression analytique de la forme bilinaire que dfinit la matrice sur . b. est-elle un produit scalaire sur ? (sans calculer les valeurs propres de ) c. Dterminer les valeurs propres de la matrice et retrouver la rponse la question (b). 2)On considre le systme linaire : 0 2 0

a. Pour quelles valeurs du paramtre m, le systme est-il de Cramer ? b. Discuter le systme , selon les valeurs du paramtre m. c. Rsoudre S et S. d. Rsoudre S au sens des moindres carrs en utilisant la projection orthogonale.e. En dduire distance de A b. [Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 4/11 Solution : 1) 1 1 11 1 11 1 1 a.Donnons lexpression analytique de la forme bilinaire que dfinit la matrice B sur . Lexpression analytique de la forme bilinaire que dfinit la matrice B est donne par : , b.Vrifions si la forme bilinaire est un produit scalaire sur . La matrice 1 1 11 1 11 1 1 est symtrique. La matrice 1 11 1111 1 1 nest pas dfinie positive car : 1 11 1 0 0 La forme bilinaire est alors nest pas un produit scalaire sur . c.Dterminons les valeurs propres de la matrice et retrouvons la rponse la question (b). det . 1 1 11 1 11 1 1 o1 1 11 1 11 1 1 1 1 12 2 01 1 1 2 1 1 11 1 01 1 1 o1 1 11 1 01 1 1 1 11 0 01 2 1 12 1 o 12 1 1 2 2 2 1 ; 9, Donc : det . 2 1 Les valeurs propres de la matrice sont alors : 2 avec 2 et 1 avec 1 Puisque les valeurs propres de la matrice ne sont pas toutes strictement positives 1 alors la matrice ne dfinit pas un produit scalaire sur . 2) 0 2 0

a.Dterminons les valeurs du paramtre pour lesquelles le systme est de Cramer. Le systme scrit sous la forme matricielle suivante : . , avec 1 11 11 1 02 0 Le systme est de Cramer ssi sa matrice est inversible ssi det 0. On remarque que . avec 1 ou encore 1 . Pour calculer det , il suffit alors de remplacer par 1 dans det . . [Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 5/11 On a alors : det det 1 . 1 21 1 12 Le systme est de Cramer ssi 1 et 2

b.Discutons le systme , selon les valeurs du paramtre . Le systme est de Cramer ssi 1 et 2 : sa solution est alors unique. dmet une unique solution . 1 et 2 Pour 1, le systme scrit : 0 3 0

o nest pas compatible : car 0 3

ou bien car 1: 0

et la 1re condition de compatibilit nest pas vrifie :1 0 1 3 0 o nadmet donc pas de solution Pour 2, le systme scrit : 2 0 2 0 2 0

oest un systme homogne oadmet alors une infinit de solutions : olensemble des solutions de est un sous espace vectoriel de c.Rsolution de et de . Rsolution du systme : Le systme scrit sous la forme matricielle suivante : . , avec 0 1 11 0 11 1 0 , 020 LesystmeestdeCramercar0 1 et 0 2 :sasolutionestalorsunique.Onlersoutparla mthode des dterminants de Cramer ou parla mthode de linversion de sa matrice . Rsolution de par la mthode des dterminants de Cramer : o det 2: det 12 o 0 1 12 0 10 1 0 2 1 11 0 2 1 o 0 0 11 2 11 0 0 2 0 11 0 2 1 o 0 1 01 0 21 1 0 2 0 11 1 2 1 oL'unique solution du systme est alors donne par : 111[Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 6/11 Rsolution de par la mthode de linversion de sa matrice :

o . : 111 Rsolution du systme : Le systme scrit sous la forme matricielle suivante : . , avec 2 1 11 2 11 1 2 , 000 Le systme est un systme homogne non de Cramer car det 0 :det 12 On peut le rsoudre par : oLa mthode du rang oLa mthode dchelonnement de Gauss oLa mthode de substitutions et combinaisons des quations (1) Rsolution du systme par la mthode du rang : 2 : 2 11 2111 1 2 2 11 2 3 0 est un dterminant principal de . On en dduit : Les inconnues principales : et Les inconnues arbitraires :

Les quations principales : 2 0 2 0

Le systme est homogne, les conditions de compatibilit sont alors vrifies. La solution du systme est alors un sous espace vectoriel de de dimension 1 (nombre de variables arbitraires). Sa rsolution revient rsoudre le systme de Cramer suivant : 2 2

La solution de ce systme est donne par 5 2 0

car : 2 2

,3 3 3 3

La solution du systme . est alors gale au sous espace vectoriel : ,, / et 1, 1,1 (2) Rsolution du systme par la mthode dchelonnement de Gauss : On crit la matrice augmente du systme (1) : | 2 1 11 2 11 1 2000 Puis, on commence les tapes dchelonnement de la matrice : [Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 7/11 Etape 1 : consiste choisir le premier pivot et annuler tous les autres coefficients de la colonne qui contient ce pivot 1er pivot 2 2 1 11 2 11 1 20002 1 10323203232000 Etape 2 : consiste choisir le deuxime pivot et annuler tous les autres coefficients de la colonne qui contient ce pivot qui se trouvent en dessous du pivot 2me pivot 2 1 103232032320002 1 1032320 0 0000 Au terme de cette tape, on a alors obtenu une matrice chelonne .Pourrsoudrelesystme. ,ilsuffitalorsdersoudrelesystmechelonnquivalentainsi obtenu :. , avec . oLe systme . scrit : 2 032 32 00 0

2 1 1032320 0 0 000 oLe systme . se rsout comme suit : 2 032 32 00 0

2 0 0

2 2 0 0

0 0

La solution du systme A. X b est alors gale au sous espace vectoriel : ,, / et 1, 1,1 (3) Rsolution du systme par substitutions et combinaisons des quations : On retrouve que la solution du systme A. X b est gale au sous espace vectoriel : ,, / et 1, 1,1 Car : 2 0 2 0 2 0

1 32 333 3 03 3 02 0

0 0

[Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 8/11 d.Rsolution de S au sens des moindres carrs en utilisant la projection orthogonale. Le systme scrit sous la forme matricielle suivante : . , avec 1 1 11 1 11 1 1 , 030 Le systme nadmet pas de solution. Rsolvons alors au sens des moindres carres. Rsolution du systme au sens des moindres carrs : (1)Une base de On dtermine une base de : , , , , , colonnes de 111, 111 et 111 1 est alors une base de (2)Une base orthonorme de On construit une base orthonorme de partir de la base : 13111 (3)Calcul de On calcule : 030 , . 111 (4)Rsolution du systme. Le systme scrit : 1 1 1

1 1 ; , La solution du systme. est alors gale lensemble donn par : , , / 1 e.Calcul de la distance de A b. A;b minb b b Or : 111 030 1 01 31 0 1 4 1 Donc :A;b 6 [Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 9/11 Exercice 4 Enonc : Danslespace ,onconsidreleplandquation 0etladroite dquation : 0 0

. 1)La droite est-elle contenue dans le plan ? 2)Dterminer lquation du plan P perpendiculaire la droite D et passant par lorigine. 3)Dterminer lquation de la droite D perpendiculaire au plan P et passant par lorigine. 4)Dterminer lintersection des plans P et P et lintersection des droites D et D. 5)Exprimerlescoordonnsdelaprojectionorthogonaledunpoint, , delespacesurla droite D puis sur le plan P. 6)Trouver la projection orthogonale sur le plan P dun point , , de D. 7)Trouver la projection orthogonale sur le plan P dun point , , de D '. Solution : : 0 ;: 0 0

1)Vrifions si la droite D est contenue dans le plan P. On fait correspondreo la droite le sous espace vectoriel : , , / 0 0 oau plan le sous espace vectoriel : , , / 0 est un sous espace vectoriel de Une base de est , avec 1, 1,0 et car : o, , 0 0

1 21 2 0

, , , , 0 1, 1,0 1 1 0 0 ou bien :Une base de est , , avec 1,1,0 ; 1,0,1 et , car : o, , 0 , , , , 1,1,0 1,0,1 , , , est lidet , , 0 Or det , , 0 la droite n'est alors pas contenue dans le plan 2)Dterminons lquation du plan P perpendiculaire la droite D et passant par lorigine. Pour dterminer lquation du plan P perpendiculaire la droite D et passant par lorigine, il suffit de dterminer le sous espace orthogonal au sous espace vectoriel associ la droite D. Une base de est , avec 1, 1,0 et D , , / , 0 , 0 0Donc :D , , / 0 D est alors le sous espace vectoriel associ au plan P : le plan P perpendiculaire la droite D et passant par lorigine est alors donn par : 0 [Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 10/11 3)Dterminons lquation de la droite D perpendiculaire au plan P et passant par lorigine. Pour dterminer lquation de la droite D perpendiculaire au plan P et passant par lorigine, il suffit de dterminer le sous espace orthogonal au sous espace vectoriel associ au plan P. Une base de est , , avec 1,1,0 ; 1,0,1 et , : , , /, 0, 0

, 0, 0

0 0

Donc :P , , / 0 ; 0 est alors le sous espace vectoriel associ la droite : la droite D perpendiculaire au plan P et passant par lorigine est alors donn par : 0 0

4)Dterminons lintersection des plans P et et lintersection des droites D et D. Intersection des plans et : un point , , le vecteur , , , , , , , ,

0 0

0

l'intersection des plans et est alors gale la droite " d'quation ": 0

Intersection des plans et : un point , , le vecteur , , , , , , , ,

0 0

0 0

0 l'intersection des droites et est alors gale l'origine : 0,0,0Ou encore : Les droites et ne sont pas confondues car le point 1, 1,0 1, 1,0 . Lintersection des droites et est alors rduite un point. Comme les deux droites et passent par lorigine, alors : l'intersection des droites et est alors gale l'origine : 0,0,0 5)Exprimons les coordonns de la projection orthogonale dun point , , de lespace sur la droite D puis sur le plan P. Projection orthogonale dun point , , de lespace sur la droite : Une base de est , avec 1, 1,0 : est alors une base orthonorme de avec ,, 0. La projection orthogonale sur est alors donne par : , , , , , . 12 12,12, 0 12 ;12 ;0 la projection orthogonale du point , , sur la droite est alors le point : 2; 2; 0 [Semestre : S4, Module M16, Matire : Algbre II]Corrig du Contrle final Professeure Salma DASSER Session printemps-t 2011 11/11 Projection orthogonale dun point , , de lespace sur le plan : Une base de est , , avec 1,1,0 ; 1,0,1 : , On construit une base orthonorme de partir de la base , par le procd de Gram Schmidt : 1,1,0 : 110 2 1,1,0 ,, 0 , . 1,0,1 ,, 0 ,, 1 26,, 1 ,, , est alors une base orthonorme de avec ,, 0, ,,: La projection orthogonale sur est alors donne par : , , , , , . , , , . , , ,, 0 2 ,, ; ; 0 2; 2 ; 2 , , 2 ; 2 ; 2 la projection orthogonale de , , sur le plan est alors 132 ; 13 2 ;13 2 6)Trouvons la projection orthogonale sur le plan P dun point , , de D. 2 ; 2 ; 2 est la projection orthogonale de , , sur , , 0 0

0

Donc si , , 0 alors 2 0 ; 2 0; 2.0 s la projection orthogonale du point , , 0 de sur le plan est alors le point3;3;23 7)Trouvons la projection orthogonale sur le plan P dun point , , de D. : , , , , 0 la projection orthogonale dun point , , de sur le plan est alors le pointO0,0,0