Exercices complémentaires (section 6)

Solutions

6.1. Le poids moléculaire du méthanol est 32. 100 ml de méthanol dissout dans 40 litres de fluides donne une concentration de:

[MeOH] = 100 ml x 0,79 g/ml32 g/mol x 40 litres

= 0,062 M

EtOH sera un inhibiteur compétitif du méthanol sur la LADH. En absence et en présence d'inhibiteur, on aura des vitesses v et vi telles que:

v = Vmax [S]Km + [S]

et vi = Vmax [S]

1 + [I]Ki

Km + [S]

où [S] = [MeOH] et Km = 0,01 M.

Ce que l'on veut obtenir c'est que vi soit 5% de v. Autrement dit:

vi (avec inhibiteur)v (sans inhibiteur)

= 0,05 = Km + [MeOH]

1 + [I]Ki

Km + [MeOH]

En substituant les valeurs, on obtient:

0,05 = 0,01 + [0,062]

1 + [I]Ki

0,01 + [0,062] d'où 1 + [I]

Ki = 138

On voit que [I] sera égal à 137 Ki soit 137 x 1 x 10-3 (... le Km pour EtOH). Ainsi la quantité d'éthanol devant être ingurgitée devra donner une concentration finale de 0,137 M.

Le nombre de moles d'éthanol correspondant sera 0,137 M x 40 litres = 5,48 moles. Le poids moléculaire de l'éthanol étant de 46, notre empoisonné devra prendre 46 x 5,48 = 252 g d'éthanol.

À une densité de 0,79 g/ml, cela équivaut à 252/0,79 = 319 ml. Puisque le whiskey contient 50% v/v d'éthanol, il ne reste à notre bonhomme qu'à en avaler rapidement 638 ml (presque toute une bouteille).

6.2. Le tracé en double réciproque des données du problème donne:1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

1/v

(µM

-1 s

)

1.00.50.0-0.51/[S] (mM -1 )

sans inhibiteuravec 10 mM inhib. Aavec 10 mM inhib. B

a) En absence d'inhibiteur, on trouve -1/Km sur l'intercept de l'axe des 1/[S] à une valeur de -0,3. Donc Km = 1/0,3 mM = 3,3 mM. La valeur de 1/Vmax est donnée par l'intercept sur l'axe des 1/v = 0,1 µM-1/s. Donc, Vmax = 10 µM/s.

b) En présence de l'inhibiteur A, la droite intersecte l'axe des 1/v au même endroit que la droite obtenue sans inhibiteur. Il s'agit donc d'une inhibition compétitive. La valeur apparente du Km en présence de l'inhibiteur A est de -1/Kmapp. = -0,13 µM-1 . Cela correspond à Kmapp. = 7,7 mM. En fait, cette valeur de Kmapp. = Km (1+[I]/Ki). On trouve donc que:

7,7 mM = 1 + [I]Ki

3,3 mM et que 1 + [I]Ki

= 2,33

Sachant que [I] = 10 mM, on solutionne pour Ki = 7,5 mM.

En présence de l'inhibiteur B, la double réciproque intercepte celle qui est obtenue sans inhibiteur à la même valeur de 1/Km sur l'axe des 1/[S]. Il s'agit donc d'une inhibition non-compétitive. Dans ce cas-ci, c'est la valeur de Vmax seulement qui est modifiée. La valeur apparente de

1/Vmax sur l'axe des 1/v est 3 µM-1 s, soit Vmaxapp. = 3,3 µM/s. Cette valeur est en fait:

3,3 µM/s = Vmax

1 + [I]Ki

= 10 µM/s

1 + [10 mM]Ki

qui se solutionne pour Ki = 5 mM.

c) Le nombre enzymatique est donné par Vmax/e. Il faudrait connaître la concentration totale de l'enzyme, e, pour trouver le "turnover number".

d) L'expression de la vitesse d'une enzyme michaélienne est donnée par:

v = Vmax [S]Km + [S]

soit : k [ES] = k e [S]Km + [S]

soit: [ES] = e [S]Km + [S]

alors [ES]e = [S]

Km + [S]

En absence d'inhibiteur et pour [S] = 5 mM, on aura:

[ES]e = [S]

Km + [S] = 5 mM

3,3 + 5 mM = 0,6

Dans les mêmes conditions mais en présence de 10 mM d'inhibiteur compétitif, cette expression devient:

[ES]e = [S]

Km 1 + [I]Ki

+ [S] = [5 mM]

3,3 mM 1 + [10 mM]7,5 mM

+ [5 mM] = 0,39

Dans le cas de l'inhibiteur non-compétitif, l'équation devient:

[ES]e = [S]

Km 1 + [I]Ki

+ [S] 1 + [I]Ki

= [5 mM]3,3 mM + [5 mM] 1 + 10 mM

5 mM = 0,20

6.3. Parce-que l'inhibition par in inhibiteur compétitf peut toujours être levée en présence d'une concentration élevée de susbtrat, ce qui n'est pas le cas des inhibitions de type incompétitif ou non-compétitif.

6.4. La représentation en double réciproque des données expérimentales a l'allure suivante:

8

6

4

2

0

1/v

1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.41/[hipp.] (mM

-1)

1/Vmax

1/Km1/Km app.

sans PEB[PEB] = 0,033 mM[PEB] = 0,1 mM

Il est clair qu'il s'agit d'une inhibition compétitive où Vmax est indépendant de la présence de l'inhibiteur. L'intercept sur l'axe des 1/[hippurate] a des valeurs de -0,45 sans inhibiteur, -0,27 en présence de 0,033 mM de PEB et -0,15 en présence de 0,1 mM de PEB.

De la première de ces valeurs, on trouve Km = 2,22 mM.

Les valeurs de Km apparentes en présence de 0,033 et 0,1 mM de PEB sont, quant à elles de 3,64 et 6,67 mM, respectivement. Ces Km apparents sont en fait:

Kmapp = Km

1 + [I]Ki

alors on trouve: Ki = [I] KmKm

app - Km

Ki = 0,033 x 2,223,64 - 2,22

= 0,051 mM = 0,1 x 2,226,67 - 2,22

6.5. a) Pour l'inhibition incompétitive, la pente de la double réciproque ne change pas; Km et Vmax sont modifiés par le même facteur. Par contre, dans l'inhibition non-compétitive, la pente augment, Vmax est modifié mais Km ne change pas. C'est donc le tracé II qui correspond au non-compétitif et I à l'incompétitif.

b) L'intercept de la ligne II sur l'axe des 1/[S] donnera donc 1/Km = 5000, soit un Km = 2 x 10-4 M. Par ailleurs, la droite qui représenterait la vitesse de réaction sans inhibiteur serait parallèle à la droite II et aurait le même intercept sur l'axe des 1/[S] que la droite I. En la traçant, elle interceptera l'axe des 1/v à la valeur de 1/Vmax = 0,13 . On aura donc Vmax = 7,69.

c) Dans l'inhibition non-compétitive, la valeur apparente de Vmax est donnée par:

Vmaxapp = Vmax

1 + [I]Ki

soit 10,247

= 7,691+ 1 mM

Ki qui donne, après calcul Ki = 1,1 mM.

Dans l'inhibition incompétitive, la modification de Vmax est la même et on a:

Vmaxapp = Vmax

1 + [I]Ki

soit 10,21

= 7,691+ 1 mM

Ki qui donne, après calcul Ki = 1,64 mM.

6.6. En présence d'un inhibiteur compétitif la vitesse de réaction est donnée par:

v = Vmax [S]

Km 1 + [I]Ki

+ [S] = 55 x 2 x 10-4

2 x 10-4 1 + [2,5 x 10-3]2,5 x 10-3

+ [2,5 x 10-4]

= 18,35 µM/min

En fait, quand [S] = Km et [I] = Ki, la vitesse est 1/3 Vmax (dans l'inhibition compétitive)

6.7. Même si la valeur de Vmax nous échappe, on peut arriver à une solution quand même. En effet, en absence d'inhibiteur, la vitesse sera donnée par:

v = Vmax [S]Km + [S]

soit vVmax

= [S]Km + [S]

et vVmax

= [10-4]3 x 10-3 + [10-4]

= 0,0323

À 50% d'inhibition, la vitesse en présence de l'inhibiteur (vi) sera 0,5 x v (la vitesse en absence de l'inhibiteur) soit: 0,0323/2 = 0,0162 Vmax. On aura alors cette vitesse en présence de l'inhibiteur compétitif qui sera donnée par:

v = Vmax [S]

Km 1 + [I]Ki

+ [S] soit v

Vmax = [S]

Km 1 + [I]Ki

+ [S]

et vVmax

= [10-4]

3 x 10-3 1 + [I]2 x 10-5

+ [10-4] = 0,0162

qui se solutionne pour [I] = 2,05 x 10-5 M.

6.8. En absence et et présence d'un inhibiteur non-compétitif, les vitesses de réactions sont données respectivement par:

v = Vmax [S]Km + [S]

et vi =

Vmax [S]

1 + [I]Ki

Km + [S]

À 65% d'inhibition, le rapport des vitesses en présence et en absence de l'inhibiteur sera donné par vi/v = 0,35 de sorte que:

viv =

Vmax [S]

1 + [I]Ki

Km + [S]Vmax [S]Km + [S]

= 0,35 = KiKi + [I]

Avec Ki = 2 x 10-5 M, cette expression se solutionne pour [I] = 7,43 x 10-6 M.