Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre1 et la distance Terre-Soleil Vitesse orbitale de la Terre

Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre 1

et la distance Terre-Soleil

Vitesse orbitale de la Terre


Au cours d’une année

la Terre s’éloigne ou s’approche de l’étoile


Vitesse radiale de la Terre par rapport à l’étoile

V : vitesse de la Terre sur son orbite,

Où la vitesse radiale est-elle la plus grande ? Soleil en quadrature / l’étoile

V

Vr

Vitesse radiale de la Terre / l’étoile : composante Vr de V suivant direction Terre-Etoile


Effet Doppler-Fizeau

Lorsqu’une source de longueur d’onde 0 a un mouvement de vitesse V par rapport à un observateur, son rayonnement est perçu par celui-ci avec la modification :

o . V*/T / c (avec c : vitesse de la lumière)

O'

1S0

S S2

v

onde émise à l'instant t=T(rayon 2 , centre S1)

CS3

B A

onde émise à l'instant t=0(rayon 3 , centre S0)

O

onde émise à l'instant t=3T(rayon nul, centre S3)onde émise à l'instant t=2T(rayon , centre S2)


Effet Doppler-Fizeau

les groupes de raies du spectre seront alors décalés vers

- des longueurs d’onde plus grandes, lorque la source s’éloigne

- des longueurs d’onde plus petites, lorsque la source s’approche

Si on réalise un spectre de cette source :

O'

1S0

S S2

v

onde émise à l'instant t=T(rayon 2 , centre S1)

CS3

B A

onde émise à l'instant t=0(rayon 3 , centre S0)

O

onde émise à l'instant t=3T(rayon nul, centre S3)onde émise à l'instant t=2T(rayon , centre S2)


Nom m Sp l b Taureau (Aldébaran) 1,1 K 04 33 04 +16 25 66 41 -20 40 Orion (Rigel) 0,3 B 05 12 08 - 08 15 77 00 -22 47 Cocher (Capella) 0,2 G 05 12 59 +45 57 81 09 +22 52 Orion (Bellatrix) 1,7 B 05 22 27 +06 18 79 47 -23 06 Orion (Bételgeuse) var M 05 52 28 +07 24 87 57 -23 24 Grand Chien (Sirius) -1,3 A 06 42 57 +16 39 100 21 -06 25 Grand Chien 1,6 B 06 56 40 - 28 54 105 38 -24 46 Gémeaux (Castor) 1,6 A 07 31 25 +32 00 109 33 +10 05 Petit Chien (Procyon) 0,5 F 07 36 41 +05 21 115 06 -16 01 Gémeaux (Pollux) 1,2 K 07 42 15 +28 09 112 31 +06 41 Lion (Régulus) 1,3 B 10 05 43 +12 13 149 08 +00 28 Grande Ourse 1,7 A 12 51 50 +56 14 158 13 +54 19 Vierge (I'Epi) 1,2 B 13 22 33 - 10 54 199 28 +07 04 Grande Ourse 1,9 B 13 45 34 +49 33 176 14 +54 23 Bouvier (Arcturus) 0,2 K 14 13 23 +19 26 203 32 +30 46 Scorpion (Antarès) 1,2 M 16 26 20 - 26 19 166 30 -05 19 Scorpion 1,7 B 17 30 12 - 37 03 262 04 +20 15 Lyre (Véga) 0,1 A 18 35 14 +38 44 284 37 +61 44 Aigle (Altaïr) 0,9 A 19 48 21 +08 44 301 04 +29 18 Cygne (Déneb) 1,3 A 20 39 26 +45 06 334 33 +59 56 Poisson Austral 1,3 A 22 54 54 - 29 53 333 28 +11 29

Etoiles les plus brillantes visibles de notre latitude

Etoile candidate la mieux placée pour faire de bonnes mesures ?

pas trop éloignée du plan de l’écliptique,

étoile brillante,

et qui ne fait pas partie d’un système multiple d’étoiles.

dont le spectre comporte de nombreuses raies


Classification spectrale et présence des raies dans les étoiles


Nom m Sp l b Taureau (Aldébaran) 1,1 K 04 33 04 +16 25 66 41 -20 40 Orion (Rigel) 0,3 B 05 12 08 - 08 15 77 00 -22 47 Cocher (Capella) 0,2 G 05 12 59 +45 57 81 09 +22 52 Orion (Bellatrix) 1,7 B 05 22 27 +06 18 79 47 -23 06 Orion (Bételgeuse) var M 05 52 28 +07 24 87 57 -23 24 Grand Chien (Sirius) -1,3 A 06 42 57 +16 39 100 21 -06 25 Grand Chien 1,6 B 06 56 40 - 28 54 105 38 -24 46 Gémeaux (Castor) 1,6 A 07 31 25 +32 00 109 33 +10 05 Petit Chien (Procyon) 0,5 F 07 36 41 +05 21 115 06 -16 01 Gémeaux (Pollux) 1,2 K 07 42 15 +28 09 112 31 +06 41 Lion (Régulus) 1,3 B 10 05 43 +12 13 149 08 +00 28 Grande Ourse 1,7 A 12 51 50 +56 14 158 13 +54 19 Vierge (I'Epi) 1,2 B 13 22 33 - 10 54 199 28 +07 04 Grande Ourse 1,9 B 13 45 34 +49 33 176 14 +54 23 Bouvier (Arcturus) 0,2 K 14 13 23 +19 26 203 32 +30 46 Scorpion (Antarès) 1,2 M 16 26 20 - 26 19 166 30 -05 19 Scorpion 1,7 B 17 30 12 - 37 03 262 04 +20 15 Lyre (Véga) 0,1 A 18 35 14 +38 44 284 37 +61 44 Aigle (Altaïr) 0,9 A 19 48 21 +08 44 301 04 +29 18 Cygne (Déneb) 1,3 A 20 39 26 +45 06 334 33 +59 56 Poisson Austral 1,3 A 22 54 54 - 29 53 333 28 +11 29

Etoiles les plus brillantes visibles de notre latitude



étoile brillante,





étoile brillante,




magnitude 0,2 classe spectrale K

Arcturus ascension droite déclinaison = 14 h 13 min = 19° 26

Longitude écliptique 203° latitude écliptique b = 30,8°


Arcturus

Grande ourseArcturus


21 sept.

21 oct.

21 n

ov.

21 d

éc.

21 janv.

21 mars

21 févr.

21 avril

21 m

ai

21 ju

in

21 juil.

21 août

A quel moment de l’année ?

moment le plus proche d’une quadrature

mi juillet

mi janvier

à quel moment de la nuit ?

quand Arcturus est au plus haut, au passage au méridien

en juillet, début de nuit en janvier, fin de nuit

(on peut utiliser Stellarium)

Spectre a) - 19 juillet 1959

Spectre b) - 30 janvier 1960


Les clichés obtenus




Contenu d’un cliché du spectre de l’étoile Arcturus

Spectre de l'étoile Spectres de comparaison de laboratoire

Arc du ferraies brillantes d’émission du Fe I(bandes blanches sur un fond noir)

spectre continu (fond blanc)avec raies d’absorption (bandes noires)

Les spectres de l'étoile et de l'étalonnage sont pris dans les mêmes conditions


Arcturus est une étoile froide (4000 K)

On y trouve des raies métalliques, en particulier celles du Fe I

on observe dans le spectre de l’étoile le même groupe de raies que dans le spectre de référence

Contenu d’un cliché du spectre de l’étoile Arcturus


Etalonnage des clichés

= f(x)

x (en pixels)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

la longueur d’onde croit de gauche à droite, sur le cliché

Les raies du spectre de référencespectre de référence permettent le repérage des longueurs d'onde

n° raie 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(nm) 440,475 441,512 442,731 444,234 444,772 446,165 446,654 447,602 449,457


On détermine la position x des raies de référence au moyen d’un logiciel de traitement d’image, par exemple le logiciel IRIS ou Géogébra

Graphique obtenu :

courbe d'étalonnage

440,000

442,000

444,000

446,000

448,000

450,000

0,0 500,0 1000,0 1500,0 2000,0 2500,0

xposition en nombre de pixels

lon

gu

eu

r d

'on

de

en

nm

la dispersion est linéaire

= a x + b

a = 0,00516078b = 439,135121

On calcule la pente aet l’ordonnée à l’origine b

On note pour chaque raies, dans une feuille de calcu,sa longueur d’onde connue et sa position x

19 juillet 1959raies lab.(nm) x (pixel)

1 440,475 260,002 441,512 461,503 442,731 696,504 444,234 986,505 444,772 1092,506 446,165 1361,507 446,654 1457,008 447,602 1640,509 449,457 2001,00


On procède de même pour le cliché du 30 janvier 1960

30 janvier 1960raies lab. pos. Pixel

1 440,475 252,002 441,512 454,003 442,731 689,504 444,234 981,005 444,772 1085,006 446,165 1356,507 446,654 1451,008 447,602 1635,009 449,457 1994,00

courbe d'étalonnage

440,000

442,000

444,000

446,000

448,000

450,000

0,0 500,0 1000,0 1500,0 2000,0 2500,0

xposition en nombre de pixels

lon

gu

eu

r d

'on

de

en

nm

a = 0,00515548b = 439,173981

Les valeurs de a et b diffèrent très légèrement :les conditions de prise de vue et de scan de l’image ne peuvent être rigoureusement identiques




1 2 3 4 5 6 7 8 9

on retrouve les mêmes groupes de raies sur les deux spectres stellaires a) et b)

Spectre d ’Arcturus lors des deux quadratures annuelles


Les raies du spectre stellaire sont décalées par rapport à celles du spectre de référence

• vers la droite (vers les plus grandes longueurs d’onde) dans le spectre a

• vers la gauche (vers les plus petites longueurs d’onde) dans le spectre b

Spe

ctre

aS

pect

re b

la Terre s’éloigne de l’étoile en juillet

la Terre se rapproche de l’étoile en janvier


Décalages spectraux des spectres A et B

On détermine la position x d’une raie comme pour les spectres de référence

Puis on calcule la longueur d ’onde correspondante par la relation : = a x + b (avec les valeurs de a et b trouvées précédemment)

19 juillet 1959 Spectre A 30 janvier 1960 Spectre B

raies lab.(nm) x. (pixel) caculé x. (pixel) caculé

1 440,475 265,75 440,507 0,032 244,00 440,433 -0,0422 441,512 467,50 441,548 0,036 447,50 441,482 -0,0303 442,731 702,00 442,758 0,027 679,75 442,679 -0,0524 444,234 994,00 444,265 0,031 972,75 444,190 -0,0445 444,772 1098,00 444,802 0,030 1077,25 444,729 -0,0436 446,165 1367,50 446,192 0,027 1346,50 446,117 -0,0487 446,654 1462,50 446,683 0,029 1442,00 446,609 -0,0458 447,602 1647,00 447,635 0,033 1626,00 447,558 -0,0449 449,457 2004,75 449,481 0,024 1985,50 449,411 -0,046

On calcule ensuite la différence : calculée - lab =


Vitesse radiale de la Terre

V = ( / ) c (avec c = 300 000 km/s)

19 juillet 1959 Spectre A 30 janvier 1960 Spectre B

raies lab.(nm) x. (pixel) caculé V(a) x. (pixel) caculé V(b)

1 440,475 265,75 440,507 0,032 21,52 244,00 440,433 -0,042 -28,802 441,512 467,50 441,548 0,036 24,32 447,50 441,482 -0,030 -20,483 442,731 702,00 442,758 0,027 18,29 679,75 442,679 -0,052 -35,094 444,234 994,00 444,265 0,031 20,89 972,75 444,190 -0,044 -29,865 444,772 1098,00 444,802 0,030 20,01 1077,25 444,729 -0,043 -29,326 446,165 1367,50 446,192 0,027 18,48 1346,50 446,117 -0,048 -32,527 446,654 1462,50 446,683 0,029 19,32 1442,00 446,609 -0,045 -30,238 447,602 1647,00 447,635 0,033 22,07 1626,00 447,558 -0,044 -29,769 449,457 2004,75 449,481 0,024 16,15 1985,50 449,411 -0,046 -30,71

Vitesse moyenne : 20,12 Vitesse moyenne : -29,64Ecart-type : 2,41 Ecart-type : 3,94

|Va| < |Vb|

|Va| = 20,12 km/s |Vb | = 29,64 km/s

?


|Va| < |Vb|

S o l e i l

1 9 j u i l l e td é b u t d e n u i t

T B

T A

3 0 j a n v i e rf i n d e n u i t

é t o i l e

Or la vitesse d’éloignement, en juillet, est inférieureà la vitesse d’approche, en janvier

l’étoile a un mouvement propre qui s'ajoute à celui de la Terre :elle s’approche du Soleil

TA et TB sont pratiquement symétriques par rapport à la direction de l'étoile

la composante radiale de la Terre par rapport à l'étoile devrait être la même au signe près en TA et TB


Vitesse orbitale de la Terre et Vitesse propre de l’étoile

L’étoile Arcturus n’est pas située dans le plan de l’écliptique

e

E

e

TB Ecliptique

T

S

Ab

b = 30,8° La vitesse radiale de la Terre, par rapport à l’étoile,

n’est pas égale àsa vitesse sur son orbite,

même au moment d’une quadrature


Expression de la composante radiale de la vitesse orbitale de la Terre

e

E

e

TB Ecliptique

T

S

Ab

Le mouvement de la Terre est considéré comme uniforme

la valeur constante de sa vitesse sur son orbite est :

La composante radiale de la vitesse orbitale de la Terre sera obtenue en projetant VT/S

sur la direction TE. On la désigne par :

E

e

E

V

vT / S ( a )

T / S

A

b T

T / SB V

e T

v T / S ( b )

VT/S

v T/S

v T/S = VT/S . cos b


Plan contenant le Soleil S, l'étoile E et les deux positions de la Terre en juillet et en janvier, TA et TB.

e

c e r c l e é c l i p t i q u e S b

BT

S

AT

V u e d e c o u p e

E

E B

V u e d e d e s s u s

E

E A

La projection de l'orbite de la Terre y est une ellipse

e

E

e

TB Ecliptique

T

S

Ab

Plan E TATB


Application de la règle de composition des vitesses

La vitesse de l’étoile par rapport au Soleil n’est pas connue,on peut toutefois la considérer comme constante :

V*/S

T / S ( b )

c e r c l e é c l i p t i q u e S

B v

b

S

v T / S ( a )A

S / T ( a )

E

e

V ( b )

v V * / S

E

* / SV

V ( a )

S / T ( a )v

V = V*/S + vS/T


en juillet : V(a) = 20,12 km/s V(a) = V*/S + vS/T(a)

(1) V(a) = V*/S - vT/S(a) = V*/S - VT/S . cos b

en janvier : V(b) = - 29,64 km/s

V(b) = V*/S + vS/T(b)

(2) V(b) = V*/S + vS/T(b) =V*/S + VT/S . cos b

2

VV V

(b) (a)/S*

(1) + (2) = - 4,76 km/s

(1) - (2) cosb 2

V- V V

(b)(a)T/S = 28,96 km/s

En résolvant ce système de deux équations à deux inconnues :


Distance Terre - Soleil

distance parcourue par la Terre sur son orbite en un an :

d = V . T = 28,96 . 365,25 . 24 . 3600 = 913 908 096 km

un an = 365,25 . 24 . 3600

d = 2 . . R R = 145,5 . 10 R = 145,5 . 10 66 km km





4 - Vitesses radiales• Calcul des vitesses radiales• Corrections éventuelles de position sur l’orbite• Calcul de la vitesse de la Terre

Protocole du traitement Géogébra

1 - Mise en place des spectres

2 – Étalonnage - à faire pour les deux spectres A et B.• Mesure des positions des raies d’étalonnage et calcul de l’ajustement donnant la relation position->longueur d’onde.• Calcul des régressions linéaires, vérification des mesures et estimations de la précision

3 - Mesure des spectres de l’étoile• Identification des raies à mesurer• Mesure et calcul des longueurs d’onde correspondantes


1 - Installation des spectres

Position d’une image entièrement contrôlée par l’utilisateur.

Images placées l’une au-dessus de l’autre.

Position verticale :• Spectre A ordonnée 20• Spectre B ordonnée 300

Position largeur : de 0 à 1000



.Lancer Géogébra

.Fermer pour l’instant la Fenêtre algèbre :CTRL Maj A ou Affichage / Fenêtre algèbre (bascule).

• Choisir la commande• Positionner la souris sur la fenêtre graphique• Cliquer sur bouton gauche.• Une fenêtre Répertoire s’ouvre.• Choisir une image (spectra_a.jpg et spectra_b.jpg).• Faire Esc pour sortir du programme d’insertion ou bouton .


Spectre A : (0,20) et (1000,20)Spectre B : (0,300) et (1000,300)


Mise en place

Cliquer sur l’image, Bouton droit

La fenêtre Propriété s’ouvre

Onglet Position

Donner les points des coins 1 et 2 sous la forme (x,y)

Choisir Propriétés


Curseur de mesure

Spectres raies alignées verticalement

Repérage suivant l’axe des abscisses

Par curseur : trait vertical repéré en abscisses.

Construction :

a) – curseur horizontal

Sortir de la commande Curseur (Touche Esc ou bouton )

Créer le curseur xpos.

Donner le nom

Min, max et incrément

Appliquer


Placer le curseur sur la page entre les deux spectres à l’aide de la souris (bouton gauche appuyé)

Ouvrir sa fenêtre Propriétés

Curseur (suite)

Onglet Curseur : horizontallargeur = 1000

Onglet Basique dévalider l’option Position absolue à l’écran.

Onglet Couleur et Onglet Style (facultatif) :donner une couleur et une épaisseur au

trait.Fermer la fenêtre


1 - pointé dessus avec bouton gauche de la souris et en déplaçant2 - en cliquant dessus : devient grisé.

touches flèches : incrémenter ou décrémenteravec le pas de l’onglet curseur

b) la droite verticale curseur

Création dans la fenêtre de saisie en bas

Des deux segments verticaux :

spectre B vcura = Segment[(xpos, 280), (xpos, 600)]spectre A vcurb = Segment[(xpos, 0), (xpos, 260)]

Avec les propriétés : une couleurune épaisseur de 1un style pointillé

Maniement du curseur

Si fenêtre Algèbre est ouverte3 - en changeant directement la valeur de xpos 4 - en cliquant une fois sur xpos dans la fenêtre et en agissant sur les flèches


2 - Etalonnage

Mesure des positions des raies

Ouvrir la fenêtre Tableur

Créer dans la cellule B14, l’affichage du curseur : "x = " + xpos

Colonne C : étalonnage (raies 1 à 9)

Spectre A (C2 à C10)

Spectre B (C17 à C25)


2 - Etalonnage

du déplacement

cellules B2:B10 (spectre A)

Mesurer en se servant du curseur

du Zoom (pour mieux ajuster)

les positions des raies d’étalonnage

reporter leurs abscisses données par xpos dans le tableau

cellules B17:B25 (Spectre B)


Créer les droites de régression dans les cellulesC12 : =RegPoly[liste1,1]C19 : =RegPoly[liste2,1]

Listes de pointsPour le calcul des ajustements

Sélectionner les cellules B2 à C10 (spectre A)

Souris - bouton droit.

Créer une liste de points

Par défaut nom : liste1.

On peut la renommer par la fenêtre Propriétés

Idem pour le spectre B. Cellule B17 à C25 : liste2.

Ajustements


Si dans la colonne (E) une différences est très grande par rapport aux autres, il y a lieu d’aller refaire la mesure.

Test des étalonnages

Dans les cellules D2 à D10 appliquer la régression aux abscisses trouvées :

D2: =C$12(B2), D3: =C$12(B3), etc

Les $ : même rôle que dans les tableurs pour recopier les formules dans les cellules voisines.

Cellules E2 à E10 : différences des longueurs d’onde calculées-laboratoire

Cellule E12 : écart type des différences

Faire de même pour le spectre B dans les cellules correspondantes.

L’étalonnage est prêt à servir.

=D2 - C2, etc

EcartType[E2:E10]




1 2 3 4 5 6 7 8 9

on retrouve les mêmes groupes de raies sur les deux spectres stellaires a) et b)

Spectre d’Arcturus lors des deux quadratures annuelles


3 - Mesure des spectres de l’étoile

Mesure des raies

Calcul des longueurs :

Différences de longueurs d’onde :

Spectre A cellules H2:H10Spectre B cellules H17:H25

Spectre A cellules G2:G10Spectre B cellules G17:G25

Spectre A cellules F2:F10Spectre B cellules F17:F25


4 - Vitesses radiales

Calcul des vitesses radiales

On va appliquer la formule de Doppler-Fizeau à tous ces décalages

ca lc labo

labo

v

c

VR moyenne

Spectre A I2:I10 I12

Spectre B I17:I25 I27


Calcul de la vitesse de la Terre

Vitesse mesurée dans la direction de l’étoile =la vitesse de l’étoile par rapport au Soleil

+la projection de la vitesse de la Terre sur la direction de l’étoile.

V(a) = V*/S + VS/T = V*/S + VT/S . cos bV(b) = V*/S + VS/T = V*/S - VT/S . cos b

L’étoile n’est pas dans le plan de l’écliptique

latitude écliptique b = 30.75°

VV V

VV V

b

SA B

T SA B

* /

/ co s

2

2cellule C30 (Terre)

cellule C29 (Sirius) =(I13 + I28) / 2

=(I13 - I28) / 2


Calcul du rayon de l’orbite de la Terre

Année sidérale : 365,25 jours

2 RT

La vitesse trouvée est en km/s.

Circonférence de l’orbite :

Trajet parcouru en un an : 365.25 * 24*3600 * VT

=

=D30 * 3600 * 24 * 365.25 / 2 / π / 1000000

RV

TT

3 6 5 2 5 2 4 3 6 0 0

2

.

(en millions de km)

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Spectre Arcturus - Vitesse orbitale de la Terre1 et la distance Terre-Soleil Vitesse orbitale de la Terre