NC060228DP02- Relation stabilit et vitesse de convoyage de bouteille.doc Rv. dc. 2006

Note de Calcul Relation stabilit et vitesse de convoyage

Rsum : Dtermination dune relation ultra-simplifie liant angle de stabilit et vitesse de convoyage dune bouteille. 1. Introduction

fig1. bouteilles convoyes

Lquilibre dun contenant (PET plus particulirement) convoy est sujet instabilit ds lors quil rentre en contact (choc) contre dautres contenants. A partir de la caractristique de basculement dun solide plan, on tablit une modlisation ultra-simplifie o le choc est suppos lastique, frontal une bouteille. En ralit le choc est compltement alatoire, le basculement alternant chocs et oscillations quelconques.

G

(0)

VG1/0

(1) (2)

fig2. modle de choc entre bouteilles

Cette modlisation permettra de mettre en vidence des conditions favorisant la chute dune bouteille selon son angle de stabilit.

2. Modlisation 2.1. Paramtrage & reprage

G

yG

bb

Ih

.h

h

b

G

Ax0

x1

(1)

(0)

x0

x1

y0y1

0 b< <

Hypothses - Le problme est suppos plan (symtrie de la gomtrie et vecteurs efforts coplanaires) - Le contact des bouteilles est suppos lastique, avec e le coefficient de restitution de ce choc - On se place dans lhypothse de faibles jeux de fonctionnement : sin - Les puissance internes (dissipation,) et le frottement de lair sont ngligs devant les actions de pesanteur. - La gomtrie du solide et la symtrie des efforts permettent analyse dans le plan. - Soit yG la position du centre de gravit G du paralllpipde en ordonne. On pose 2Gy h . - Le choc frontal se produit au point de contact I, une hauteur h o 0 1 .

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3. Rsolution 3.1. Mise en quation Vitesse de choc

(0)

(2)(1)

I

(lieudu choc)

v

v+

Au moment du choc, la vitesse de restitution v e v+ = or v h= do :

e+ =

Mouvement de basculement [4] : A partir de la loi de basculement connue dun solide plan en basculement

( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 0cosh sinhi t kh t t kh t t = + +

Particularis avec , 0 0t = 1 = + , et 0 = e vh+ = =

, lquation devient :

( ) ( ) ( )1 cosh sinhe vt kh t h = + kh t O b

h = et

2 z

gkI

= o I est le moment dinertie simplifi ; dans le cas dun paralllpipde 2 2

3zb hI + = .

3.2. Formulation de linstabilit

(t)b

ti0

t

Linstabilit de la bouteille stablit ds lors que lquation ( ) 0bt = admette au moins une solution. En posant

A = , e vBh kh= et bC = , la relation ( ) 0bt =

se simplifie en polynme du 2nd degr via ( )sinhX kh t= : ( ) ( )2 2 2 2 22 0X A B BC X A C + = Le discriminant ( )2 2 2 24A B C A = + rpond ( ) 0bt = si et seulement si 0 . Par remplacement, il vient :

( )2 b bh khv e

3.3. Relation stabilit/cadence

Pour ( )tan b b , soit une erreur maxi de 3,8% pour les valeurs courantes de b, il vient b bh = do :

2

32 2 1

b

b

bv ge

+ En supposant les valeurs de b petites, , soit une erreur maxi de 12,1%, la relation se simplifie alors : 2 0b

223b

e Cg

Avec C v b= la cadence en bouteilles par seconde. David PERRIN 2/3

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4. Conclusions La modlisation tablie dans ce document (choc frontal lastique) nest certes pas exhaustive, cependant elle permet grossirement de constater que la stabilit dun contenant volue de faon voisine du carr de la cadence. De mme les facteurs intrinsques au contenant favorisent au carr sa stabilit ; un lieu de choc bas mais aussi un faible facteur de restitution de choc lui confrant un comportement damortisseur dnergie cintique. Pour exemple, langle de stabilit minimum requis pour la stabilit dune bouteille PET deau plate (e=0,2 et =0,3) volue avec la cadence selon la courbe approche ci-dessous :

0 200 400 600 800 1000 12000

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Angle de stabil it maxi admissible

C (bpm)

angl

e (

)

solution exacte

solution approche

Attention cependant, car on se rend vite compte que cette modlisation approche prsente plusieurs lacunes : - Non prise en compte des inclinaisons initiales - Non prise en compte du frottement de contact favorisant le renversement - Problmatique de vitesse au bas de bouteille provoquant renversement Aussi, lusage de ce modle est effectuer avec prcaution. Nota: Les lacunes et conclusions de cette modlisation feront lobjet dune nouvelle note de calcul.

Bibliographie : [1] Aublin Michel et coll..- Systmes mcaniques : thorie et dimensionnement - 2me dition .- Paris :

Dunod Mcanique. 2002. [2] Agati Pierre, Brmont Yves et Delville Grard.- Mcanique du solide : applications industrielles - 2me

dition .- Paris : Dunod Mcanique. 2003. [3] Gieck K. &R..- Formulaire technique 78me dition .- Germering : Gieck Verlag. 1997.

[4] Perrin David.- NC060423DP02 - Basculement de paralllpipde .- Note de calcul. 2006.

David PERRIN 3/3

Relation stabilit et vitesse de convoyage 1. Introduction 2. Modlisation 2.1. Paramtrage & reprage Hypothses

3. Rsolution 3.1. Mise en quation Vitesse de choc Mouvement de basculement

3.2. Formulation de linstabilit3.3. Relation stabilit/cadence

4. Conclusions