Sujet Corrige Btscgo e2 2012

Corrig indiCatif

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BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR

COMPTABILIT ET GESTION DES ORGANISATIONS

MATHEMATIQUES

SESSION 2012 __________

Dure : 2 heures

__________

Ds que le sujet vous est remis, assurez-vous quil est complet.



Exercice 1 (10 points)

Les parties A, B et C de cet exercice sont indpendantes. A. Probabilits conditionnelles. Un garagiste a achet 70 % de son stock de pneus un premier fournisseur et 30 % un deuxime fournisseur. Il observe que : 5 % des pneus provenant du premier fournisseur ont un dfaut, 10 % des pneus provenant du deuxime fournisseur ont un dfaut On prlve au hasard un pneu dans le stock. Tous les pneus ont la mme probabilit d'tre prlevs. On considre les vnements suivants :

F : le pneu provient du premier fournisseur ; G: le pneu provient du deuxime fournisseur ; D: le pneu a un dfaut .

l) Dduire des informations figurant dans l'nonc les probabilits P(F), P(G), (D) et (D). 2) a) Calculer les valeurs exactes des probabilits ( ) ( )

b) Dduire de ce qui prcde que P(D) = 0,065 . 3) Calculer la probabilit que Je pneu provienne du deuxime fournisseur sachant que le pneu choisi a un dfaut. Arrondir 104. B. Loi binomiale. Le garagiste choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus un tirage avec remise de dix pneus. On rappelle que la probabilit pour qu'un pneu pris au hasard ait un dfaut est 0,065. On considre la variable alatoire X qui, tout prlvement de dix pneus, associe Je nombre de pneus de ce prlvement qui prsentent un dfaut. 1 ) Justifier que la variable alatoire X suit une loi binomiale dont on dterminera les paramtres. 2) Calculer la probabilit qu'aucun pneu de ce prlvement n'ait un dfaut. Arrondir 104. 3) Calculer la probabilit qu'au plus deux des pneus choisis prsentent un dfaut. Arrondir 104. C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale. En janvier le garagiste dcide de lancer une campagne promotionnelle sur les pneus. Pour cela, il envoie un courrier 400 personnes prleves au hasard dans sa banque de donnes de clients potentiels. On assimile ce prlvement un tirage avec remise de 400 personnes. La probabilit pour qu'une personne, ayant reu le courrier, vienne changer les pneus de son automobile chez ce garagiste est gale 0,2. On considre la variable alatoire Y qui, tout prlvement de 400 personnes (auxquelles le garagiste a envoy un courrier) associe le nombre de personnes venues changer les pneus de son automobile chez ce garagiste. On admet que Y suit la loi binomiale de paramtres 400 et 0,2. On dcide d'approcher la loi de la variable alatoire Y par la loi normale de paramtres = 80 et = 8 . On note Z une variable alatoire suivant la loi normale de paramtres 80 et 8. 1) Justifier les valeurs de et . 2) Calculer P(Z



Exercice 2 (10 points) A. Statistiques Le tableau suivant donne la consommation de tabac en grammes par personne de 15 ans ou plus et par jour.

Anne 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Rang anne 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Il 12 Consommation de tabac (en grammes)

4,67 4,65 4,59 4,47 4,47 4,3 3,77 3,15 3,1 3,11 3,03 2,95 2,98

Source : Insee ; institut Gustave Roussy Dans le plan muni d'un repre orthogonal on a reprsent en annexe le nuage de points associ la srie statistique ( ; ) pour i entier variant de 0 12. 1) Dterminer l'aide d'une calculatrice, le coefficient de corrlation linaire de la srie statistique ( ; ). Arrondir 103 2) a) Dterminer, l'aide d'une calculatrice, une quation de la droite de rgression D de en , par la mthode des moindres carrs, sous la forme = + o et sont arrondir 104.. b) Tracer la droite D sur la figure de l'annexe rendre avec la copie. B. tude d'une fonction Soit la fonction dfinie sur [0,12] par () = 4,65 0,024 1.42

2+160000 , C sa courbe reprsentative

dans le plan rapport un repre orthogonal et sa fonction drive. 1) a) Dmontrer que () = 0,024 4480002(2+160000) 2 pour tout de [0,12] .

b) tudier le signe de ( ) lorsque varie dans [0,12] et tablir le tableau de variation de . 2) a) Complter le tableau de l'annexe rendre avec la copie dans lequel les valeurs sont arrondir 102.

b) Construire la courbe C sur la figure de la partie A. 3) Laquelle de la droite D et la courbe C semble le mieux ajuster le nuage de points? Justifier C. Calcul intgral et application 1) Soit F la fonction dfinie sur (0,12] par () = 4,65 0,0122 0,7 (2 + 160000) . Dmontrer que F est une primitive de la fonction sur [0,12]. 2) a) Dmontrer que la valeur moyenne de sur [0, 12] est: = 4,506 + 7120 ( 16000124+160000)

b) Donner la valeur approche, arrondie 101, de 3) On admet que () reprsente la consommation de tabac, par jour, en grammes d'une personne de 15 ans ou plus. Donner une interprtation du rsultat obtenu la question prcdente.



PROPOSITION DE CORRIGE PAR LE FORMATEUR Laurence Bonifas

Exercice 1 : Partie A : Probabilits conditionnelles Rappel des notations :

- F : le pneu provient du 1er fournisseur - G : le pneu provient du 2me fournisseur - F : le pneu a un dfaut

1) Traduction des donnes

Un garagiste a achet 70 % de son stock un 1er fournisseur : ( )P F 0,70= Et les 30 % restant un 2me fournisseur : ( )P G 0,30= 5% des pneus provenant du 1er fournisseur ont un dfaut : ( ) ( )FP D / F P D 0,05= = 10% des pneus provenant du 2 fournisseur ont un dfaut : ( ) ( )GP D / G P D 0,10= =

2) Arbre de dcision

( )P F D 0,7 0,05 0,035 = = D 0,05

F 0,95 ( )P F D 0,7 0,95 0,665 = = D 0,70

( )P G D 0,3 0,1 0,03 = = D 0,30 G 0,1

0,9 D ( )P G D 0,3 0,9 0,27 = =



a) Calculer les valeurs exactes de : ( )P F D et ( )P G D

Ces 2 probabilits peuvent tre lues directement sur larbre.

( ) ( ) ( ) ( )FP F D P F P D 0,7 0,05 0,035 P F D 0,035 = = = =

( ) ( ) ( ) ( )GP G D P F P D 0,3 0,1 0,03 P G D 0,03 = = = = Conclusion Parmi la totalit du stock de pneus, il y en a 3,5 % qui ont un dfaut et qui proviennent du 1er fournisseur. Parmi la totalit du stock de pneus, il y en a 3 % qui ont un dfaut et qui proviennent du 2me fournisseur.

b) En dduire : ( )P D

( ) ( ) ( )P D P D F P D G 0,035 0,03 0,065= + = + = Conclusion Parmi la totalit du stock de pneus, il y en a 6,5 % qui ont un dfaut.

3) Calculer la probabilit que le pneu provienne du 2me fournisseur sachant que le pneu choisi a un dfaut.

On cherche ( ) ( ) ( )( )D

P D GP G P G / D

P D

= =

On a obtenu : ( )P D G 0,03 = et ( )P D 0,065=

Do : ( ) ( ) ( )D D0,03

P G P G / D P G 0,46150,065

= = =

Conclusion Parmi les pneus ayant un dfaut, 46,15 %proviennent du 2me fournisseur



Partie B : Loi Binomiale

Justifier que X suit une loi Binomiale

On a bien dans ce cas de figure une preuve E de Bernoulli, dfinie de la manire suivante :

Soit un pneu quelconque : S le pneu p 0,065

E le pne

a un dfaut

a pas deu q 1 0,065 0,9 dfautn 35'

= =

= = =

Etant en prsence dun lot de10 pneus, on rpte n 10= fois cette mme preuve, cest dire que pour chacun de ces 10 pneus, on se pose la question de savoir si ce dernier a un dfaut ou non. Alors :

de n preuvesS 10

pneus ayant un dfautX nombre de sur les pneus10=

=

Le contexte dapplication de la loi Binomiale est satisfait avec :n 10p 0,065=

=

Conclusion : ( )X suit la loi binomiale B 10 ; 0,065

Soit : ( ) { }( ) k1 k10k0

X 0 ;1;2 ; ;9;10

P X C 0,065 0,935k =

= =

1) Calculer la probabilit quaucun pneu de ce prlvement nait un dfaut

On cherche la probabilit de lvnement A suivant : ( ) ( )P A P X 0= =

( ) 0 0 010 1010

11

P X 0 C 0,065 0,935 0,935 0,5106= = = =

Conclusion : ( )P A 0,5106 soit 51,06 %= Il y a 51,06 % de chances que dans le prlvement de 10 pneus aucun nait de dfaut.



2) Calculer la probabilit quau plus 2 des pneus choisis prsentent un dfaut

On cherche la probabilit de lvnement B suivant : ( ) ( )P B P X 2=

( ) ( ) ( ) ( )P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 = = + = + =

Il nous faut donc calculer 3 probabilits de type : ( ) 101k k k0P X C 0,065 0,93k 5 = = Puis les ajouter. On obtient :

( ) 0 0 1010P X 0 C 0,065 0,935 0,5106= = = ( ) 9101 1P X 1 C 0,065 0,935 0,355= = = ( ) 2 2 810P X 2 C 0,065 0,935 0,1111= = =

Finalement : ( )P X 2 0,5106 0,355 0,1111 = + + Soit : ( )P X 2 0,9767 =

Conclusion : ( )P X 2 0,9767 soit 97,67 % = Il y a 97,67 % de chances que, dans un lot de10 pneus, au plus 2 prsentent un dfaut. Partie C : Approximation dune loi Binomiale par une loi Normale Y : nombre de personnes venues changer les pneus de son automobile chez ce garagiste. Lnonc prcise que : ( )Y suit la loi binomiale B 400 ; 0,2

On approche la loi de Y par la loi Normale ( )Z suit la loi normale N 80 ; 8

1) Justifier les valeurs de m et

Le cours fournit :

Si n 30

n . p 15n . p .q 5

Alors : ( )B n; p peut tre approche par ( )N n p ; n p q

Le 1er paramtre de la loi normale dapproximation reprsente lesprance mathmatique de la variable Binomiale, le 2me reprsente lcart-type de la loi Binomiale.



Oit : ( )Z suit la loi normale N m ; avec :

On rappelle que si ( )X suit la loi Binomiale B n ; p alors : ( )( )E X n pV X n p q

= =

( )

( )

m E Y n p 400 0,2 m 80

V Y n p q 400 0,2 0,8 64 8

= = = =

= = = = =

Conclusion Y qui suit ( )B 400 ;0,2 peut tre approche par Z qui suit ( )N 80 ; 8

2) Calculer P (Z = 99,5)

On calcule ( )P Z 99,5 avec Z 80T8= qui suit la loi normale centre rduite.

( ) ( )Passage la v.c.r.

Z 99,5P Z 99,5 P P T 2,0 4480 88 8 = = +

( )Lecture table

1 244 1 0,9927 0,0073= + = =



Conclusion : ( )P Z 99,5 0,0073 soit 0,73 % Exercice 2 : Partie A : Statistiques

1) Coefficient de corrlation linaire

La calculatrice fournit : r 0,946=

2) a) Equation de la droite dajustement

La calculatrice fournit : y 0,1805 x 4,8707= + b) Trac de la droite

Voir graphique en fin de corrig.

D : y 0,1805 x 4,8707= + Pour tracer cette droite il faut en dterminer 2 points, soit par exemple :

1er point : ( )y 0,1805 x 4,8707

A 0 ; 4,87x 0= +

=

2me point : ( )y 0,1805 4,8707 3,43

B 8 ; 3,43x 10

8= + = =

Partie B : Etude dune fonction

( )2x

2x1,4 ef x 4,65 0,024 x

e 160000=

+

1) a) Calcul de la drive



( ) ( )2x

2x1,4 e uf x 4,65 0,024 x 4,65 0,024 x

ve 160000= =

+

( ) ( ) 2u v u vuf x 4,65 0,024 x 0,024

v v

= =

Avec : ( )2 x 2 x 2 x

2 x 2 x

u 1,4 e u 1,4 2 e 2,8 e

v e 160 000 v 2 e

= = =

= + =

On obtient : ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 x 2 x 2 x 2 x

22 x

2,8 e e 160 000 1,4 e 2 ef x 0,024

e 160 000

+ =

+

( )4 x2,8 e

f x 0,024 = 2 x 4 x448 000 e 2,8 e+

( ) 22 xe 160 000+

Finalement : ( )( )

2 x

22 x

448 000 ef x 0,024e 160 000

= +

b) Signe de la drive et tableau de variations

Signe de : ( )

2 x

22 x

448 000 e

e 160 000+

On sait quune exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives, donc 2 x448 000 e est un nombre positif.

( ) 22 xe 160 000+ tant un carr est toujours positif. On peut donc dire que

( )2 x

22 x

448 000 e

e 160 000+ rapport de 2 nombres positifs est aussi positif.

Donc finalement, pour tout rel de lintervalle [0 ; 12],

( )2 x

22 x

448 000 e

e 160 000

+

est un nombre ngatif.



( )( )

2 x

22 x

448 000 ef x 0,024e 160 000

= +

se prsente alors comme la somme de 2 nombres ngatifs.

Conclusion : La drive f ne prend que des valeurs ngatives sur lintervalle [0 ; 12] Tableau de variations :

x 0 12

f (x) -

f (x)

4,65 2,96

2) a) Tableau de valeurs

x 0 2 4 5 6 7 8 10 12

f (x) 4,65 4,60 4,53 4,36 3,80 3,25 3,08 3,01 2,96

b) Courbe



3) Commentaire

La courbe reprsentative de la fonction f semble plus proche de lensemble des points du nuage que la droite D. Donc la fonction f reprsente une meilleure fonction dajustement de lvolution de la consommation de tabac. Partie C : Calcul intgral et application

1) Primitive de f

Rappel : F(x) est une primitive de f(x) si : ( ) ( )F x f x =

Lnonc fournit : ( ) ( )2 2xF x 4,65 x 0,012 x 0,7 ln e 160000= + Drivons la fonction F (x) :



( ) ( ) ( )2 2xF x 4,65 x 0,012 x 0,7 ln e 160000 = +

Avec : ( ) ( )24,65 x 0,012 x 4,65 0,012 2 x 4,65 0,024 x = =

( ) ( )2x

2x2x

u e 160000uln e 160000 ln u avec :u u 2 e

= + + = = =

On obtient : ( )2x

2x2x

2 eln e 160000e 160000

+ = +

Finalement : ( )2x

2x2 eF x 4,65 0,024 x 0,7

e 160000

= +

( ) ( )2x

2x0,14 eF x 4,65 0,024 x f x

e 160000 = =

+ Donc F est bien une primitive de f.

2) a) Valeur moyenne de f sur [0 ; 12]

Le cours fournit : ( ) ( )b

bm a

a

1V f x dx F xb a

= = avec ici : a 0 et b 12= = Appliqu notre fonction, on obtient :

( ) ( ) ( ) ( )12

12m 0

0

F 12 F 01 1V f x dx F x12 0 12 12

= = =

O : ( ) ( )2 2xF x 4,65 x 0,012 x 0,7 ln e 160000= + Avec :

- ( ) ( ) ( )( )2 2 00 0 0F 4,65 0,012 0,7 ln e 160000= + Soit : ( ) ( ) ( ) ( )F 0,7 ln 1 160000 F 0 0,7 ln 60 010 1 0= + =



- ( ) ( ) ( )( )2 2 12F 4,65 0,012 0,7 ln12 12 e12 160000= +

Soit : ( ) ( )24F 12 54,072 0,7 ln e 160000= + Do la valeur moyenne :

( ) ( ) ( ) ( )24m F 12 F 0 0,7 ln 16000154,072 0,7V ln e 16000012 12 12 12

= = +

( ) ( )24m 7V 4,506 ln e 160000 ln 160001120 = + + +

En utilisant la rgle : ( ) ( ) aln a ln b lnb

=

on peut simplifier : 24 24b a

160 001ln e 160000 ln 160 001 lne 160000

+ + = +

Conclusion : m 247 160001V 4,506 ln

120 e 160000

= + +

b) Valeur approche

m m247 160001V 4,506 ln V 3,8

120 e 160000

= + +



3) Interprtation concrte

On rappelle que la fonction f(x) reprsente la consommation de tabac en grammes par personne de 15 ans ou plus et par jour pour lanne de rang x. Lintervalle [0 ;12] reprsente la priode correspondant aux 12 annes de 1997 2009. Vm reprsente la valeur moyenne de f sur lintervalle [0 ;12]. On a obtenu : mV 3,8 gr La consommation moyenne journalire de tabac des personnes de plus de 15 ans entre les annes 1997 et 2009 est de 3,8 gr.

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