$. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, Sikie I, p. 267-270, 1998 Equations aux dbrivkes partielleslPartia/ Differential Equations

SW la convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik

Albert FATHI

Unit& de mathkmatiques pures et appliqubes, I?cole normale sup&-ieure de Lyon, 46, all&e d’Italie, 69364 Lyon cedex 07, France Courriel : afathiQumpa.ens-lyon.fr

(Rec;u le 11 mai 1998, accept& le 6 juillet 1998)

R&urn& Nous montrons la convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik pour un lagrangien dCfini sur l’espace tangent d’une vari&to. compacte, strictement convexe et super-lin6aire dans les fibres. 0 AcadCmie des SciencesiElsevier, Paris

On convergence of the Lax-Oleinik semi-group

Abstract. We show the convergence of the Lax-Oleinik semi-group for a Lqrangian defined on the tangent space of a compact manifold which is strictly convex and superlinear in the fibers. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris

1. RCsultats

Comme dans [l] et [2], on considbre M une vari&! compacte, de classe C” et saris bord. Dans la suite, on notera par (x, V) un point du fibr6 tangent TM, avec z E M et u un vecteur tangent en x, la projection canonique 7r : TM -+ M est done (IC, w) H 1~. De mCme, on utilisera la notation (x,p) pour un point du fib& cotangent T* M avec p E TIM.

On supposera dans la suite que L : TM + Iw, (IC,Z)) H L(x, TJ) est un lagrangien de classe C2, super-linkaire et strictement convexe dans les fibres, c’est-h-dire que t12L/dv2 est partout dCfinie strictement positive. On notera H : T* M -+ Iw, le hamiltonien associC au lagrangien L. Rappelons que, si (x,p) E T*M, on a H(x,p) = sup{p(w) - L(x,v) 1 v E T,M} ; de plus, cette borne supCrieure est atteinte en l’unique ~0 E T,M tel que dL(z,vo)/dv = p. On note par L : TM -+ T*M la transformation de Legendre (z, w) I+ (x, dL(x, w)/&I)

Puisque M est compacte, les extrkmales du lagrangien L nous donnent un flot de diff6omorphismes sur TM qui sera not6 ($Q)~~R. La transformation de Legendre C permet de transporter (+t)tE~ en un flat (4ZhER sur T*M qui est le flot hamiltonien associC B H.

Le semi-groupe (Tt-) t20 de Lax-Oleinik est le semi-groupe $‘op&ateurs non-linkaires (Tt-) :

CO(M, W) + C’(M,W) dCfini par T,-U(X) = i:f { 1 ~(y(0)) + L(Y(s)> 44s)) ds },otilabome

inf&ieure est prise sur les chemins y : [O,t] --+ M continus, d”, classe C1 par morceaux et tels que y(t) = 5.

Note prhsentie par Pierre-Louis LIONS.

0764~4442/98/03270267 0 Acadhie des SciencesiElsevier, Paris 267

A. Fathi

Rappelons le thkorkme KAM faible (voir [l]) ainsi que le travail antkrieur de Lions, Papanicolaou et Varadhan [3] oti, sous une formulation kquivalente, ce thCor&me est d&montrC pour les tores.

THI?OR&ME 1 (KAM faible). - I1 existe une et une seule constante co E R tel que le semi-groupe u H T,-u + cot, t >_ 0: posssde un point jixe.

Nous dtmontrons le thCorkme suivant qui g&nCralise g toutes les vat&& compactes un rksultat de Roquejoffre [7], voir aussi le travail de Namah et Roquejoffre [5], [6].

TH~ORI?ME 2. - Pour tout u E C”(M, R) la limite uniforme limt+oo T,-u + cot existe.

La limite uniforme lim t+co T,-u + cot est bien sQr un point fixe du semi-groupe u H T,-w + cot. Ainsi qu’il est bien connu, si w est une 1-forme diffkrentielle de classe C2, le lagrangien L,,

dCfini par L,(x,v) = L( IC, u) - w,(v), satisfait aux m&mes conditions que L et on peut appliquer le thkorkme g L,, dont le hamiltonien associk, H,, vCrifie H, (x, p) = H(x, p + w,). Contrairement SI nos travaux prCcCdents [l], [2], la dkmonstration du thCor?me 2 utilise l’invariance du hamiltonien par le flot d’Euler-Lagrange, elle ne peut done pas s’adapter au cas des lagrangiens qui dependent pkriodiquement du temps. L’analogue du thtorkme 2 dans ce cadre reste done une question ouverte importante.

Donnons des applications du thCorkme 2.

COROLLAIRE 3. - Soit G c T*hf une sous-varie’te’ qui est le graphe d’une 1-forme diffkrentielle ferme’e dkjnie sur M. S’il existe une suite t, + +w telle que la sous-varie’te’ 421, (G) soit transverse auxjbres dujbre’ cotangent T* M --+ M, alors, la sous-varie’te’ G est invariante par tous les 4;, t E W. En particulier, si un tel graphe G ve’rifie 4;(G) = G, alors on a #F(G) = G pour tout t E R.

Rappelons la definition de la barrikre de Peierls [2], [4]. Si z, y E M et t > 0, on pose :

ht(x: y) = ir+f J

+ L(-r(s)> 3s)) ds> 0

oti la borne infkieure est prise sur les chemins y : [0, t] + M continus, de classe C1 par morceaux, tels que y(O) = 2 et y(t) = y. La barrike de Peierls h : M x M ---f (w est alors dkfinie par :

h(x, y) = li*m&f ht(x, y) + cot.

COROLLAIRE 4. - En fait, pour tout x, y E M, la limite de ht(x, y) + cot, pour t --f w, existe et done h(x, y) = limt,, ht(x, y) + cot.

Ce corollaire est Cquivalent au thCor&me 2. En effet, pour t > 0, on a :

T,-u(x) = J${u(Y) + ht(y, x)}, (1)

De plus, ht+tc(x15 x2) = infYE,tf{ht(zlr y) + htj(y, zz)}, pour t, t’ > 0. En posant cpzl (1~2) = h1(x1,x2), on obtient h t+l(arZ2) = ~,-[cpz,l(~2).

Par ce qui p&tide, on trouve encore une autre formulation du thCor&me 2 :

COROLLAIRE 5. - On a lim+, T,-u(x) + cot = infYEnf{u(y) + h(y, x)}, pour u E C’(M, W) et x E 121.

2. Esquisse des dkmonstrations

LEMME 6. - Le quotient ht(x, y)/t converge vers -CO quand t -+ +03, uniformkment sur M x 111.

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Sur la convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik

Dbmonstration. - A partir des definitions, on obtient facilement que

pour tout x,y E M, et done en posant Cl = Z(SUP~~,~~ hl - infJ~~x~~~ hl), on obtient que :

pour t > 2. Soit ZL- une solution KAM faible, puisque Z--u(z) = inf,,hf{u(y) + h,(y,z)}, on trouve que :

(3)

Comme on a Tt-u- - u- = -cot, ces inegalites finissent la demonstration. 0 Pour la suite, il est commode de considerer le hamiltonien H comme defini sur l’espace tangent

TM en posant @( Z,V) = H(x,g(x-u)), pour (x,?)) E TM.

Le hamiltonien i? est invariant par le flot d’Euler-Lagrange +t, c’est-a-dire que pour toute extremale y : [a!b] - M, la valeur g(y(s),jl(s)) est independante de s E [u,b].

Une extremale y : [O! t] -+ M minimise l’action dans M si l’on a s,” L(y(s)!+(s)) ds =

W-d*), -dt))- LEMME 7. - Pour tout E > 0, il existe to > O;el que pour toute extrkmale y : [0, t] -+ M minimisant

f’action duns M, avec t 2 to, on a co - E 5 H(r(s), ‘;i(s)) < CO + E, pour tout s E [O; t].

Dbmonstration. - 11 suffit de montrer que, pour toute suite yTZ : [0, tn] + A4 d’extremales minimisant l’action dans M avec t, --+ +oc, on peut, quitte a extraire une sous-suite, trouver des s, E [0, tn] et tels que ~(Y,(s,), 3~)) -+ CO. Considerons, alors, la suite de mesures de probabilite pn definies

sur TM par J’

1 Odpu, = t

compacte et le:‘;, : [0, f,] s

GI Q(T,~(s), +n(s)) ds, pour 0 : TM + W continue. Puisque M est

II, k sont des extremales minimisantes dans M avec inf, t, > 0, il existe un compact K de TM tel que (m(s), m(s)) E K, pour tout n et pour tout s E [0, tn]. On peut, quitte a extraire une sous-suite, supposer que plL tend faiblement vers p. Comme les (m(s),%(s)>, s E P, tnl sont des morceaux d’orbites du flot $* et que t, + +oc, la mesure p est invariante. Puisque les 7n sont des extremales minimisantes, on a 1 Ldpn = ht,(m(O,), $tn))/tn. Par le lemme 6, en passant a la limite on trouvesrM L dp = -co. 11 en resulte que le support de p est inclus dans l’ensemble d’Aubry-Mather MO (voir [ 11). Puisque bL, -+ p faiblement, on peut trouver une suite s, E [0, tn] telle que (m(s,,), +(sn)) tend vers un point du support de MO, or sur cet ensemble H vaut constamment CO. 0

Si u : M + W est une application lipschitzienne, par le theoreme de de Rademacher la derivee d,u existe pour presque tout x E M. On pose H(u) = sups H(x,~=ILL), la borne superieure Ctant prise sur les x E M oti d,u existe. La quantite H(u) est finie car la norme de d,u est bornee par la constante de Lipschitz de w Le lemme suivant resulte alors de l’inegalite de Fenchel quand u est de classe Cl, on l’obtient ensuite pour u lipschitzienne par approximation par convolution en utilisant la convexite de H dans les fibres.

LEMME 8. - Si u : M -+ R est lipschitzienne, on a u < L + H(u).

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A. Fathi

D&monstration du thkorkme 2. - 11 est commode d’introduire le semi-groupe ?‘- detini par ft-u = T,-u + cot.

Fixons u E C”(A4, W). Par le theorbme de Tonelli et la compacite de M, pour tout t > 0 et tout z E M, il existe une extremale y : [0, t] --+ M, de classe C2, telle que y(t) = x et :

?A4 = u(Y(~)) + s t[W4,~(4) + co1 ds. 0

11 en resulte que cette extremGe minimise l’action dans M. 11 n’est pas diffic_ile de voir que si F?-u est derivable en z, alors, on a d,Tt-u = g (IC, +(t)). Pour t > 0, l’application T,-u est lipschitzienne, par le lemme 7, on obtient que H(Ft-u) + CO, quand t 4 30. Si U- est une solution KAM faible, comme les rT’,- sont des contractions au sens large, on trouve ]]?;u - ZL-]]~ 5 ]]u - u-]]~, done la famille (?tVu)t>a est uniformement bomee. 11 est bien connu que, pour tout to > 0, la famille (?twu)t2to_est equilipschitzienne. Par le theoreme d’Ascoli, on voit qu’il existe une suite t, 7 +cc telle que Tt;u converge uniformement vers une fonction u,. Montrons que U, est un point fixe de Ttw. Par le lemme 8, on a ?;c-x L + H&u). Cornme H&2) -+ co, on obtient que U, 4 L + co. Il_en resulte que u, < Ttwu,, et done u, 2 Ttpuoc 5 TtTu,, si t’ 2 t, puisque le semi-groupe Ttp preserve I’ordre. 11 suffit, alors, de trouver une suite sn + +oo telle que ps;u,, -+ u,. Quitte a extraire une sous-suite de la suite t,, on peut supposer que s, = tn+l - t, + +oc. On a :

II?&3 - ucollo 5 ll~~~~ca - ~,-,~~ullo + ll~~+,u - %ollo 5 IIFcu - Gcllo + IIfi;+,u - %I10 -+ 0.

11 reste a voir que le point fixe u, de Ttp est la limite de Ft-u. Or, si s 2 0, on a ]]?&,u - u,]lo = ]]?8;,nu - ?,-~,]]a < ]]ft;~ - u,]]~ qui tend vers 0 quand n + +cc. 0

Remerciements. G. Barles pour m’avoir indiquC le travail de J.-M. Roquejoffre. 11 est bien Cvident que saris le travail de J.-M. Roquejoffre, je ne me serai pas posC la bonne question, B savoir, le thCor&me 2 et la dtmonstration du corollaire 3 serait restCe assez obscure.

RCf&ences bibliographiques

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