Sur la Transformation des Courbes Algébriques

Sur la Transformation des Courbes AlgébriquesAuthor(s): E. GoursatSource: American Journal of Mathematics, Vol. 16, No. 4 (Oct., 1894), pp. 291-298Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/2369757 .

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Sur la transformation des courbes algefbriques.

PAR E. GOURSAT.

1. Lorsque les coordonnees d'un point d'une courbe alg6brique C

F(x, y)O (1)

s'expriment par des fonctions rationnelles d'un param6tre t, par des formules telles que

il peut se presenter deux cas. Si a un point (x, y) de la courbe C ne correspond qu'une valeur du parametre t, la courbe C correspond poilnt par point a une ligne droite z = t. Si a un point (x, y) correspondent plusieurs valeurs du parametre t, il suffit d'un simple changement dans le param&tre, comme l'a demontre Mr. Lur6th (Mathematische Annalen, t. IX, p. 163), pour 8tre ramen6 au premier cas.

Le theoreme de Mr. Lur6th peut-8tre generalis6 de diff6rentes fa9ons. Une premiere generalisation, que la theorie des integrales abeliennes rend evidente, est celle-ci: Si les coordonnees d'un point d'une courbe algebriquc C sont des fonctions rationnelles des coordonnees d'un point d'une autre courbe alge'brique C', le genre de la courbe C est au plus egal au genre de la courbe C'. En effet, la courbe C' a au moins autant d'integrales distinctes de premiere espece que la courbe C, mais elle peut en avoir davantage, si la transformation n'est pas birationnelle.

Voici une generalisation diff6rente, d'un caractere plus algebrique. Si les coordonnees d'un point d'une courbe alg6brique C sont des fonctions rationnelles d'un paramAtre t et d'une variable v li6e 'a t par une equation algebrique entiere de degre n en v, de telle fa9on qu'"a un meme point (x, y) de C correspondent plusieurs sys- tames de valeurs de t et de v, on peut trouver une courbe C', qui correspond point par point 'a la courbe 0, et dont l'equation renferme une des variables 'a un degr6 6gal ou inf6rieur 'a n.

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292 GOURSAT: Sur la transformation des courbes alg6briques.

2. La demonstration de ce theoreme repose sur deux lemmes, que nouis allons d'abord etablir. Supposons qiie les points de deux courbes C, Ca se correspondent de telle fagon qu'a un point de Ca corresponde un seul point de C et qu'a un point de C correspondent z points de C' (y>1). Si (x, y) designent les coordonnees d'un point de C, (xe, y') les coordonnees d'un point de C', on a

X= ,q R,y).y Z ' (3).

q (x', y') et 4 (x', y') etant des fonctions rationnelles. Pour un point (x, y) de C les trois equations

X = ( (xl, y'), y =, (x', y'), F, (xl, y!) = ,

dont la derniere est 1'equation de la courbe C', ont yt systemes de solutions com- munes en (x', y'). On dit que la courbe C est une transformee simplement rationnelle de la courbe C'. Cela pose, soit cD (x', y') une fonction rationnelle de (x', y') devenant infinie du premier ordre en v points seulement (a', 3), (a/, S3) de G', auxquels correspondent v points d'istincts de C, (al, ),... . (av, gv); il existe une fonction rationnelle II (x, y) du point analytique (x, y) devenant infinie dut premier ordre en quelques-uns des v points -(ao, flg)7 * * (av, j3v), seulement.

Nous supposerons, ce qui ne restreint pas la generalite, que la courbe C, de degr6 m, a m points distincts a l'infini et qu'aucune asymptote n'est parallele a l'axe des y, et de meme que la courbe C', de degr6e m', a m' points distincts a 1'infini eit qu'aucune asymptote n'est parallele 'a l'axe 0y'; enfin, que les points (ai,. 13) et (a', fl) sont des points simples des deux courbes. Soit p le genre-.de la courbe C, et

211QI(x, IY) +x2Q2(x;, Y) + . + %pQp(X, Y)=0,

IPequation gen6rale des courbes adjointes d'ordre n - 3. Toute integrale de premiere espece relative a la courbe C se change, par la transformation (3), en une integrale de premire espece relative a la courbe C'; on a doncp.relations de la forme

Qi (x, y) dx (R.( yt) dxl

X ~~~~ay/

Ri (x', y') designant un polynome adjoint d'ordre m' - 3 relatif a la courbe C'. Ces p relations peuvent aussi s'ecrire

Q1 (X, Y) 92 (x, Y) - QP (x, Y)=H(x' ') (4) R1 (XI', y') R2 (x', y') - Rp (W', Yi)



GOURSAT: Sur la transformation des courbes alg6briques. 293

enl posant aF

H1 dx'_ dy dx F

ay

La courbe C' etant en g6neral de genre p' > p possede -en outre p- p-poly- nlomes adjoints d'ordre m 3, Rp +1 (x, y) ....Rp, (x, y'), formant avec les premiers un systeme de p' polynomes adjoints lin6airement independants. Desig- nons par a- le nombre des courbes adjointes distinctes d'ordre m - 3 qui passent par les v points (a,, 1i) de C, et par a' le nombre des courbes adjointes distinctes d'ordre ml - 3 qui passent par les v points (a4, i') de C'. On obtient ces nombres en considerant les determinants que l'on peut deduire des deux tableaux (E) et (E') par la suppression d'un certain nombre de lignes et de colonnes

Q, (a,,,.#,), Q2 (a,, 1), ' ' ' a' Qp (al 71)|

(E) Ql (as, g2), Q2 (a2, /3), * . * * Qp (a, 62)

(1 (a/1, '1) Rp (a', 1), * .P, (a/

Rl (a/, gB .. Rp (al, ,(1),....*Rp, (a', gB')

Les nombres a et a' ayant ete definis comme tout-a-l'heure, tous les determinants d'ordre p -or + 1 contenus dans le tableau (E) sont nuls, et l'un au moins des determinants d'ordre p - a est diff6rent de zero; de mneme, tous les determinants d'ordre p' ' + 1 du tableau (E)' sont nuls et ]'un au moins des determinants d'ordre p' ' n'est pas nul. Or, on peut supposer qu'en chacun des points (ao, t/) le facteur H(x', y') a une valeur finie; en effet, si la fonction rationnelle 1 (D', y') a v poles du premier ordre, il en est de meme de la fonction rationnelle

(x', 1,) -A' quelle que soit la constante A, et on peut toujours disposer de

cette constante de fa9on que les v p6les de la nouvelle fonction rationnelle soient distincts des poles de H(x', y'). Cela 6tant, les formules (4) nous montrent que tout determinant du tableau (E) est egal a un deterniinant du lmlame ordre du tableau (E)' multiplie par un facteur qui conserve une valeur finie. I1 suit de la que tous les d6terminants d'ordre p'-' + 1 du premier tableau sont nuls, et on doit avoir

p-c f <p'> - (f'. (5)



294 GOURSAT: Su&r la transformation des coutrbes alg6briques.

La fonction rationnelle 41 (x', y') devenant infinie du preinier ordre aux v points (&, (') seulement, ou en quelques-uns de ces points, depend de v - p' + a' + 1 constantes arbitraires, d'apr6s le theoreme general de Riemann-Roch (V. Picard, Traite d'Analyse, tome II, p. 431). Ce nombre est au moins egal a 2, car, si la fonction qp (x', y') repond a la question, il en est de meme de Acp (x', y') + B, quelles que soient les constantes A et B. On a donc aussi, d'apres la relation (5),

v p+ a + 1 2;

ce nombre v - p + a + 1 repr6sente le nombre des constantes arbitraires dont depend la fonction rationnelle II (x, y) la plus generale devenant infinie du preinier ordre aux v points (ai, f3i) ou en quelques-uns de ces points seulement. Cette fonction ne peut se reduire a une constante, puisqu'elle depend de deux param.tres arbitraires au moins. Donc il existe une fonction rationnelle du point analytique (x, y) ayant au plus v poles du premier ordre.

3. Le second lemme qui nous sera utile est le suivanit: s'il existe une fonction rationnelle de (X, y) devenant infinie du premier ordre en n points seule- nent d'une courbe C, on peut trouver une courbe C' appartenant a la meme classe que la courbe C et repr6sentee par une equation du degre n par rapport 'a l'une des variables. Soit H (x, y) une fonction rationnelle ayant n poles du premier ordre (a,, ) .(anc f); prenons une autre fonction rationnelle H1 (x, y) ayant un seul pBle dii premier ordre commun avec HI (x, y), le point (a1, l3) par exemple, et posons

X=I1(x,y), Y=111(x,y).

Lorsque le point (x, y) decrit la courbe C, le point (X, Y) decrit une courbe 0', qui correspond point par point a la courbe C; en effet, au point (a1, il) de C correspond un point a l'infini de C', avec une direction asymptotique non parallele aux axes. Inversement, a ce point a l'infini de C' correspond uii seul point de C, le point (cl, 1g). A une valeur de X, 1'equation X= H- (x, y) fait correspondre n points (x, y) de la courbe C et, par suite, n valeurs de Y; l'equation qui represente la courbe C' est donc de degre n par rapport "'a Y.

4. II est facile maintenant d'etablir la proposition enoncee plus haut. Sup- posons que les coordonnees x, y d'un point de la courbe C, representee par l'6quation (1), soient des fonctions rationnelles de t et de v,

x-=p(t, v), y=4(t, v), (6)



GOURSAT: Sur la transformation des courbes alggbriques. 295

v et t 6tant liees par la relation algebrique

(D(t, v) = , (7)

de degre n en v. A une valeur arbitraire 0 de t correspondant n valeurs de v, en general distinctes, vl, v2, , . . . vn et par suite n points (xl, yl)' * (x., Yn) de la courbe C. Considerons d'abord le cas oui ces n points sont distincts. La

fonction rationnelle 1 - du point analytique (t, v) devient infinie du premier

ordre en n points seulement de la courbe auxiliaire C, representee par l'6quation (7), a savoir, aux points (0, v,), (0, v2), .... (03, vn). Donc, d'apres le premier lemmie qui a WtE demontr6, il existe une fonction rationnelle Il (x, y), qui est infinie du premier ordre aux n points (X1, yi), *. . (Xn, yn) ou en quelques-uns de ces points seulement. D'apres le second lemmne, on peut trouver une courbe Ca correspondant point par point a la courbe C, et representee par une equation qui sera de degre n au plus par rapport a l'une des variables.

Si les n points (x, y) de C qui correspondent 'a une valeur arbitraire de t ne sont pas distincts, le raisonnement n'est plus applicable. Mais, dans ce cas, les coordonnees d'un point (x, y) correspondant a une valeur arbitraire de t s'obtien- dront par la resolution d'une equation de degre inf6rieur a n, quand on l'aura ramenee a n'avoir que des racines simples. Autrement dit, x et y seront des fonctions rationnelles de t et d'une variable auxiliaire W liee a t par une equation algebrique de degr6 inf6rieur a n par rapport a w.

5. Etant donn6e une courbe C, de genre p, appelons ordre d'une fonction ratiofinelle du point alnalytique (x, y) la somme des ordres des poles. de cette fonction rationnelle, chacun d'eux etant compte avec son degre de multiplicite. Cet ordre ne peut pas descendre au dessous d'une certaine limite r; il est clair que ce nombre r est un invariant relativement a toute transformation birationnelle. Parmii toutes les courbes de la meme classe que C, il y en a toujours qui sont representees par une equation renfermant l'une des variables au degr6 r seulement, mais il ne peut y en avoir renfermant l'une des variables a un degre inf6rieur a r. Pour p 0, on a r 1; si p= 1, ou p= 2, on a r= 2; si p =3, r peut-etre egal a 2 ou a 3; enfin, sip>3, rest au plus egala p-1. Les courbes pour lesquelles r = 2 sont dites courbes hyperelltiptiques; on peut leur faire correspondre poilnt par point une courbe ayant une equation de la forme

y2 P(x), (8) P (x) etant un polyno6me.



2?6 GOURSAT: Sur la transformation des courbes algebriques.

Du theorerne d'enontre plus haut, on conclut irnm6diatement que si une courbe C est une transform6e simplement rationnelle d'une autre courbe C', le nombre r relatif t la courbe C est au plus 6gal au nombre r' relatif 6 la courbe C'. Par exemple, si la courbe C' est une courbe hyperelliptique, on a r' 2, et, par suite, r = 1 ou r = 2. Done I1a courbe C est elle-meme hyperelliptique, a moins d'etre une courbe unicursale. I1 peut se faire que l'on ait r = r', sans que la transformation soit birationnelle; par exemple, supposons que dans la relation (8) le polyn6me P(x) soit de degre 2p + 2,

P (x) = A (x - al)(x - a2) ****(X - v a2p _ 2)

et que les 2p + 2 racines ai soient distinctes, aucune d'elles n'6tant nulle. -Si oni pose x -x", on est conduit a une nouvelle relation hyperelliptique

2 = Q (x.)

le polynome Q (x) etant de degre 4p + 4. On a ici p'= 2p + 1, r' = r. Si la transformation par laquelle on passe de la courbe C' a la courbe C est

de degre Yu, c'est-a-dire si elle fait correspondre a un point de C , points de C', on a r' ? r,. En effet, une fonction rationnelle de (xz, y) devenant infinie du premier ordre en r points de C se change en une fonction rationnelle de (x', y') devenant infinie du premier ordre en rlu points de C'.

6. Voici une autre reinarque sur les transformations simplement rationnelles des courbes algebriques. Soit C une courbe de degre m et de genre p, C' une courbe de degr6 m' et de genre p', It le degre de la transformation simplement rationnelle par laquelle on passe de C' a C; nous supposons p> 2. Soient Ql (x, y, Q2(x, y) deux polynoines adjoints distincts de degr6 m - 3 relatifs a la courbe C. Puisque toute integrale de premiere espece se change en une int6grale de premiere espece, on a

fQi (x Y) dx _ R (XI, Y) dxt aF a _F

ay ay' Q2 (X, y)dx _ ( XI2 (', y') dx'

f - aF a F aY dy'

1? (x', y') et R2 (X', y') 6tant deux polynomes adjoints d'ordre m'- 3 de la courbe C', et, par consequent,

Q, (X, y) R1 (x', y')

Q2 ( i Y) R2 (x', y')



GOURSAT: Str' la transformation des courbes algebriqtes. 297

La courbe adjointe Q1 (x, y) - xQ2 (x, y) = 0 rencontre la courbe C en 2- 2 points distincts des points doubles; a ces 2p- 2 points correspondent y (2p - 2) points de la courbe C' situes sur la courbe adjointe R1 (x, y') xR2 (x', y') = 0. On conclut de la quelquefois que l'on a (2p - 2) =2p' - 2, mais la conclu- sion est inexacte; tout ce qu'on petit en deduire, c'est que l'on a

u(2p -2)< 2' -- 2, ou 9(p 1) ? - 1.)

L'inegalite (9) fournit une limite inf6rieure pour p', quand p et t sont donnes, mais cette limnite inf6rieure n'est pas toujours atteinte. Par exernple dans la relation

y2 A (x- al)(x -a2) . (X a,),

oCt toutes les quantites ai sont distinctes et diff6rentes de zero, posons x "2; il vient la nouvelle relation

y2 (xA (x a,) (x2-a8).

On a ici p-3, y-2, p' 7, et par suite p'- 1 >2(p- 1). Au contraire, dans la relation

y2 Ax (x -a) ... (x -a4),

faisons x x'2, il vient

y Ax'A (x'- a,) (x. 2 - a4);

on a p = 2, i = 2, p'-3, et, par cons6quent, p' -1 -= u (p - 1). D'une maniere g6nerale, connaissant les nombres p et y, il est impossible

d'assigner a priori une limite superieure pour le genre p' de la seconde courbe. Soit, en effet, une surface de Riernann composee de m feuillets, de genre p, n'ayant que des points de ramification simples, dont le nombre N est fourni par la formule g6nerale de Riemann

N=m - I + p;

a cette surface T correspond une classe de courbes alg6briques. Soit

F(x, y)= 0,

l'6quation de l'une de ces courbes de degre m en y; la surface de Riemann cor- respondante "a la fonction algebrique y de la variable x, definie par l'equation



298 GOURSAT: Sur la transformation des courbes alg6briques.

pr6c6dente, est precisement la surface T. Nous supposerons que cette surface n'a aucun point de ramification a l'infini, ni au point x' 0. Si on pose x =', on est conduit a une nouvelle relation

F(x', y) = 0

de degre m en y, qui sera evidemment indecomposable, si la surface T n'a pas ete prise d'une fagon particuliere. La surface de Riemann T', associ6e a cette nouvelle relation, se compose encore de m feuillets, et il est aise de voir qu'elle possede yNpoints de ramification simples. On a donc

p'= yN- (m 1)-p + (y- )(m- 1);

or, les nombres p et yu etant donnes, il n'y a pas de limite superieure pour m, ni par suite pour p'.

PARIS, le 11 Mai 1894.



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