SUR LA T R A N S F O R M A T I O N DES F O N C T I O N S ELLIPTIQUES ;

par M. Gh. H e r m l t e , g Pans.

(Extrazt d'une Lettre adress& a M S P, n ~; h r r I e).

A I m l a n z t J e l a 6 a p r ~ h , 1 8 9 1

�9 �9 . �9 �9 �9 �9 �9 �9 , �9 �9 , ~ �9 �9 , �9 �9 �9 �9 �9 . �9 �9 �9 �9 �9 �9

U Smt y - - T la formule de J a c o ~,l pour la transformauon d 'or-

die 71, qux donne l%quauon

dy dx

V ( ~ - y ' ) O - v : ) - M V O - 0,')(~ - k ~ , ~) "

Je dls qu'en posant

(x) = Ao x "+' + A, v"-' + A, x "-~ + .

+(x) = B,x "-= + B.x ''-~ z_ -t B._.,x,

-{- A,,+_.~, 2

on peut disposer des n + t coefiiclents do, d , , d~, de mam6re que le polyn6me entler en x

~ = ( x ) - - + = ( x ) O - x = ) O - k = , : )

.Bo, B,,B,,

tdm~tte le facteur U - - Y y Remplacons en effet, dans l'expression

~ ( x ) - + ( x ) V O - , : ) ( ~ - k ' , : ) ,

I ~ HERMITE.

le radical par la valeur ranonnelle en x, qu'on tire de l'6quation dff-

f~rentieUe, et qm est affect~e du facteur V ( I - y ~ ) ( i ~ ) . 'y , ) , les n + I coefficients qui entrent sous forme homog~ne, se d/:termment en foncuon rauonnelle de x, en ~crtvant que les n racines de l'~qua- non U ~ V y - - o sat,sfont ii l'6gaht6

~ ( 0 - q' (-") V ( , - x ' ) O - r . 9 = o.

Vous voyez en m~me temps que les quannt6s Bo, B , , . d 'une

part, et A o V 0 - - Y ' ) O - - X2#), A , V ( - [ - Y')O - - X'y ' ) , . . . sont rationnelles en x et y.

Ceci pos6, l'observe que la relation

F ( x ) - + ' ( x ) O - ~e)O - k'x') - o,

ne r que des pmssances paires de x admettra, avec le facteur U ~ Yy, un autre qui en r6sulte en changeant x en - - x , c'est-/i- dire : U + Yy. Mals elle est du degr6 n + I par rapport/ t x ~, e t a par cons6quent cette forme:

A ( u ' - Wy ' ) [ : , ' - 0 '(y)] = o ,

oih 11 est als6 de voir que 0 (y) est une fonct,on rauonnelle de y, on I ' l 'obtient imm~diatement au moyen flu t leor~me d ' A b e l .

So,t, en effet, y - - sn ( M , X) ; nous aurons, comme on sa, t

[ , , ,,,,(,, + 4(,,-

ta ayant la sigmficanon donn~e au ~ 20 des Fundamenta. La somme

des divers arguments

u, u + 4 0 4(n - - I)Co n ' "" , u + n '

$UR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. t ~ 7

est par state nu, en n6ghgeant les p6nodes, d 'oh r condusmn bten facile, que, pour

9, on a

0 (y) --- sn (n u)

U __ X (x), la foncuon ra- Revenons 2t kl ~anable x, et smt y-"----~

tionnelle 0 (y) est done telle que 0 D, (x)] repr&ente la formule tie sub- stitution qm donne la mulnphcatmn de l 'argument par n, 0(x) est par cons6quent l'expressmn correspondante ,~ ce que J a c o b i a nomm6 la substgution suppl6mentalre y - - 0 (x)

Enfin je remarque qu'en falsant

o (~) = u, (x) x (, ,) = u(~,) z, ( x ) ' z ( ,O

on a la relation smvante.

[ U ~ ( x ) - - y= ~ "= (x)] [ U: (y) - - x'- V~ (y)]

= r y ) O - - y ' ) O - X'y') - - + ' (x , y ) ( , - x=)( t - k'x=),

off ?(x, y) et +(x, y) sont des qaant,t6s rauonndlcs et entt6res en x et y C'est ce polyn6me,

H x , y ) = ~'- (x , y) ( ~ - r ( ~ - - x ' / ) - +' (x, 09 (~ - -'") ( , - - k' .e) ,

dont fl sera~t blen importmt d'obtemr un mode de fotm mon purement al@bnque, l'at seulement f, ut la rennrque qu'en posmt les ~,quattons

F(Z, x) - - o, F(Z, y) - " o,

l '6hmmatton de Z condmt h une explesston de y en x qm est la for- mule pour la multlphcanon

Parts, 20 avrll I89I

GH, IILR~tXt