Sur Les Operations Lineaires

Sur Les Operations LineairesAuthor(s): Maurice FrechetSource: Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 5, No. 4 (Oct., 1904), pp. 493-499Published by: American Mathematical SocietyStable URL: http://www.jstor.org/stable/1986278 .

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SUR LES OPERATIONS LINEAIRES*

PAR

MAURICE FRECHET

1. Rappelons d'abord quelques definitions. Nous dirons qu'une operation est definie si l'on fait correspondre uni nombre reie determine et fini Uf a toute fonctionf(x) reelle et continue entre deux nombres fixes a, b. Nouis appellerons avec M1. HADAMARD ope'ration lineaire toute operation qui jouit des deux proprietes suivantes:

1? elle est distributive, c'est 'a dire que si fj et f2 sont deux fonctions con1- tinues entre a et b, Qn a toujours:

(1) ~~~~~~~Ufi+f, Ufl +Uf2.2

2? elle est continue, c'est a dire que U. tend vers UQ lorsque la fonctionjj tend uni/?ormement vers f2 entre a et b.

M. ISADAMARD a (lenolntre t en se basant sur l'etude de l'expressioni:

(2) lim JJ( Uf ) u-yoxZ)' dit

que toute operation lineaire peut etre representee sous la forme: p1)

(3) =U=lim J f (x)K (x7)d., n= ao ou K(x) est une fonction continue de x entre a et b.

Je me propose de donner ici une nouvelle de6monstration de cet importanit theor'eme, demonstration qtii me permettra d'etablir siinultanement un developpement en serie trZes ge'ne'ral de U.. Je presenterai ensuite quelques remarques sur l'expression (3).

Developpemnents en series d'operations lineaires canoniques. II. I1 est assez naturel de chercher 'a etablir pour les operations lineaires un

developpement analogue a celui de Taylor pour ]es fonctions ordinaires. I1 s'agirait de trouver une suite d'operations lineaires simples: U)* *,U()*

choisies une fois pour toutes et telles que toute operation lineaire U, puisse s 'ecrire sous la forme:

* Presented to the Society at the St. Louis meeting, September 17, 1904. Received for publi- cation June 24, 1904.

t C o m p t e s R en d us: Sur les operations fonctionnelles, 9 Fevrier, 1903. 493



494 M. FR?CHET: SUR LES OPF1RATIONS LINE'AIRES [October

(4) =y oU" I ulU') *+ Un U" ,+ ,

les constantes uo0, u1, variant seules avec l'operation Uf. M. PINCHERLE a deja montre que l'on pouvait ecrire:

(5) U =U0f (c) + Ul1f + + qtf n +

c etant un nombre fixe compris entre a et b, en prenant:

U ito U, 9 U,l - U(X-C) *** U jl=q (X-C),,c

Mais un tel developpement ne peut s'ecrire que si f( x) est de'rivable inde&finiment en x = c et encore* cela ne suffit pas pour assurer la convergence du developpement vers U).

Representation par une serie convergente de toute operation lineaire p)ortant sur une fonction satisfaisant aux conditions de Dirichlet.

III. Je vais montrer d'abord qu'on peut obtenir un developpement de la forme (4) ayant un champ de validite beaucoup plus etendu que le developpement (5) puisqu'il n'exige meme pas que f(x) soit derivable.

Pour cela, observons que l'on peut toujours supposer avoir reniplace l'intervalle (a, b) par l'intervalle (0, 7r). Ne conside'rons pour le moment que les fonctions f (x) coiltinues dans (0, wr) et n'ayant qu'un nombre limite de maxima et de minima dans cet intervalle. Si l'on de'veloppe en serie de Fourier la fonction (satisfaisant aux conditions de Dirichlet) qui est egale a f (x) entre 0 et w et a f(- x) entre 0 et -7r , on aura entre 0 et 7r:

(6) f(x) =ao+a cosx+a2cos2x+ . +?ancos nx?+. avec

(7) ao= ff(x)dx t,= ,ff(x)cos nxdx (n=1,2,).

IV. Puisque la se'rie (6) converge uniform6rnent dans (O, wr), on peut lui appliquer terme 'a terme toute operation line'aire U, et l'on aura:

77-

(8) U - (2ai0t0 + alul + + a.tu +

en posant cette fois:

1 ~~2 2 (9) itvem Ue , bin Ue l fom ( un l fr s (nxs

Ce de'veloppement est bien de la forme (4), car les formules (7) montrent que les * D'ailleurs, M. PINCHERLE ne s'occupaut que d'operations portant sur des fonctions ana-

lytiques, la remarque a, dans ce cas, beaucoup moins de portee. Voir Le operazioni distributive par S. PINCHERLE et U. AMALDI, 1901, Bologne.



1904] M. FR1?CHET: SUR LES OP1?RATIONS LIN1?AIRES 495

quantites ao, a1, * , peuvent etre considerees comme des operations lineaires determinenes une fois pour toutes:

(10) U(?) =4' f (x)dx, , Un) =Jf(x) cos nxdx,

Ainsi, nous sommes parvenus a un developpement de la forme (4), moyennant les formules (9) et (10), developpement qui est valable pour toutes lesfonctions continues ayant un nombre limite de maxima et de minima entre 0 et 7r.

Representation par une serie simplement indeternzinee de toute operation lineaire portant sur unefonction continue quelconque.

V. On peut meme s'arranger pour supprimer la derniere condition en genera- lisant convenablement la notion de limite. Pour cela, nous appellerons, avec M. CESARO, limite generalisee d'une suite de nombres u0, u1, u2, .', la limite, si elle existe, de la suite,

U0o+ u1 u0 + Ul + U2 uo+u1+ ...+ Un

1 ' 2 ' 'n

Nous dirons qu'une serie est simplement indetermine'e si la somme de ses n premiers termes a une limite generalisee qui sera par definition la somme generalisee de la serie. Pour une telle serie:

V0 r V19 ..

9 V.n 9

1 / / 1 / / /~~~.1 de somme generalisee a-, nous ecrirons:

0f V0 + VI + ***+ Vn + *

ou:

l-1im gen Sn,

en posant sn=VO + *.. + Vn,

ou:

li = lrn a- n=

avec: o+ *+8 nvO,+ (n

- )vI ++ v. n n n

On sait, d'ailleurs, que si une serie est convergente, elle a une somme generalisee egale 'a sa somme au sens ordinaire.

Or, M. FEJER a demontre6* que toute fonction periodique continue peut etre representee par la somme generalisee de son developpement de FOURIER, avec une coliver-aence uniforme.

*Mathematische Annalen, Band 58 (1903), Heft 1, 2.



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Par suite, le developpement (8) est valable pour toute fonction f( x) continue entre 0 et wr pourvu qu'on remplace la somme de la serie par sa somme generalisee.

On aura ainsi: (6)' f(x)zao + a, cos x + + a,, cos nx ...

(4)' Uf Uo U. + + U. Uf +

avec les formules (7), (9) et (10).

Le theoreme de 1. Hadamard.

VI. Quelle que soit la fonction continue f (x), les egalites (6)' et (4)' pour- ront s'eerire:

(11) ,f(x)= lii f f(y)o4jxy)idy, n=a o 7r

(12) Uf - lim J f (y)dy n= o~~~~ en posant: (13) ( ) 2 l n +(n-l) osyc 3 OSxw+ ..+ cos ny cos?^zx

(13) nX1Y 2

(14) K() nuO + (n - 1)u1 cos y + + u, cos ny

La fonction k (y) est evidemnient continue. Par suite, le theor;eme de JJ1L. Iladamard re'sulte des formules (12) et (14). Car il suffit d'y effectuer la substitution: y = a + (b - a)z/wr pour revenir au cas d'un intervalle quelconque (a, b).

Remarques sur les modes de repre'sentation pre'ce'dents. VII. Les fonctions KA(y) sont bien determin'es par l'operation Uf, car on a:

(15) Kn(y)=

en considerant dans o (x, y) la variable y comme un param'tre arbitraire. M. HADAMARD (Ioc. cit.) a fait observer que la condition necessaire et suffi-

sante pour que l'operation UI se presente sous la forme:

(16) U= f f(y) H(Y)dy

oui H(y) est une fonction continue, est que les fonctions K convergent uniformement vers une fonction limite. Je ferai remarquer que la methode actuelle peruiet de formuler cette condition d'une mani'ere assez simple si l'on part de l'expression (4)'. En effet, les fonctions K (y) repre'seitent la quantite dont on



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doit chercher la limite ordinaire pour obtenir, lorsqu'elle existe, la somme generalisee de la serie de Fourier:

(17) K(y): u0o + ucos y + *+ ltncos ny +*

Par consequent, la condition necessaire et slffisante pour qu'une opleration. lineaire U. puisse etre mise sous la forme integrale (16) est que les coefficients U0, ... de son developpement en serie: (8)', soient les coefficients du developpement en serie de Fourier (17) d'unejfonction continue.

VIII. Le theor'eme de M. HADAMARD conduit naturellement 'a etudier le probleme suivant: puisque toute operation lineaire peut s'exprimner sous la forme:

O7r

(18) U, riin J f(y)l H(y)dy, n=a o

HE (y) etant une fonction continue, a quelles conditions le second membre pourra-t-il definir une operation lineaire si l'on se donne a priori une suite quelconque de fonctions continues ii (y)?

Il est evidemment suffisant que les fonctions Hi tendent uniformement vers une fonction limite necessairement continue H(y). Mais cela n'est pas necessaire; ce n'est meme pas necessaire pour que i'expression:

(19) V(n) Sf(y) H(y)dy,

ait pour lirnite une operation line6aire de la forme:

(16) ff(y) H(y)dy,

oit ((y) est continute. En effet, nous allons montrer que l'on peut construire une suite de fonctions

continues H4(y) ayant pour limite une fonction K(y) dont l'ensemble des dis- continuites a la puissance du continu et telles cependant que l'operation V57) ait pour limite une operation de la forme (16) oiu H(y) est continue.

En effet, supposons formee la suite des fonctions Hf de fa9on que la limite K(y) ne diff'ere d'une certaine fonction continue I9(y) qu'en tous les points d'un ensemble de mesure nulle E, les fonctions Hln et K restant bornees dans leur ensemble. On sait dans ce cas que les fonctiolis IH f auront pour limite une fonction Kf mesurable * et que l'integrale j;lH,fdy aura pour limitet l'integrale au sens de M. LEBESGUE 'Kfdy . Or, on aura: t

* Legons sur l'inteqgration par H. L1EBESGUE, P. 111, Gauthier Villars, Paris, 1904. t Loc. cit., p. 114. I Loc. cit., p. 116.

Trans. Am. Math. Soc. 33.



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r,r /7r Kf dy -fIIfdy (K- H)fdy = ,

puisque E est de mesure nulle et que la fonction (K - H)f est bornee. On a done bien:

limf Hlfdy= fHfdy, n=3o

Hetant continue. Pour former la suite des fonctions h, il suffit de prendre pour E, un

ensemble parfait, non dense et de mesure nulle comme celui qui a ete defini par M. CANTOR.* Un tel ensemble, qui a la puissance du continu, s'obtient en enlevant du segment ( 0, 7r ) tous les points interieurs au sens etroit a certains intervalles (a1, bl), (a2, b2), ., (an, bn) 9

Posons alors:

a("=~a~ + p (n p b..a - _np -P1 = n - n-p-+ 3' ) P X-P + 3

L'intervalle (an7), br)) est completement interieur a l'intervalle (a , bp) et les points a("), b(n) tendent respectivement vers al,, bp lorsque p restant fixe, n croit indefiniment.

I1 est alors facile de voir qu'on arrivera au but indique en prenant Hl(y) = H(y) dans les intervalles: (a)), b(n)), ..*, (a( ), b ,)), puis Hl (y) = RJ(y) en dehors des intervalles (a1, b1) .., (an, bn), R(Y) etant une fonction quelconque determinee et bornee dans (0, 'n), enfin en prenant pour H (y) une fonction line6aire dans les intervalles restalnts ou on connait les valeurs de H aux extremi- tes. Si R(y) - H(y) ne s'annule en aucun point de E, ce qu'on peut toujours supposer, tous les points de E seront des points de discontinuite de K(y).

IX. Ce qui precede moiutre en outre l'utilite qu'il y a a ne pas rejeter comme trop artificielles des operations qui seraient definies par une expression telle que:

r7r (20) ff (y) K(y)dy,

ou K serait une fonction non continue, meme pas integrable au sens de RIEMANN, nlais integrable au sens plus large de M. LEBESGUE (comme la fonction qui est egale h 1 en tous les points d'abscisses irrationnelles et 'a 2 en tous les autres points). Car on s'exposerait 'a rejeter eln merme temps (comme dans l'exemple precedent) des operations lineaires tres simples et tres naturelles. Nous sommes done conduits 'a poser un probl'eme un peu plus precis que le precedent

* Voir par exemple LeMons sur les fonctions de variables reelles, page 12, par E. BOREL, Gauthier Villars, Paris, 1904.



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(? VIII). Dans quel cas l'operation (19) a-t-elle pour limite une operation de la forme (20), ou la fonction K(y) est la fonction la plus generale qui puisse donner un sens * a cette expression, c'est-a-dire une fonction mesurable ? Comme nious l'avons vu, il suffit pour cela que les fonction H soient bornees dans leur ensemble et tendent (de fa9on quelconque) vers une fonction limite. Mais, ici enicore, cela n'est pas necessaire car toute fonction limite de fonctions continues est de premiere classe (au sens de M. BAIRE), tandis que K(y) peut etre mesurable sans etre de premiere classe. t

X. Quoiqu'il en soit, nous allons montrer (aprZes ces exemples de conditions suffisantes) que l'on peut donner a la premiere question que nous avons posee une reponse partielle presentant un criterium d'une assez grande simplicite.

Je dis que si l'expression:

V)n) H (y)f (y)dy

ou les HI sont des fonctions continues quelconques, a pour limite une operation lineaire U, quand n croit ind6finiment, les developpements de Fourier des fonctions H1 (y) ont un developpement limite.

Autrement dit, si l'on ecrit, comme on en a le droit:

HI (y) _ u(7t) + u(n) cos y + * * * + Un cospy +?. la suite:

ul ) 9 UP(2), . W(n)

a toujours une limite ur quel que soit p. II suffit d'observer que, par hypothese, 1'expression VW) a une limite bien

determinee U. pour toute fonction f(y) continue entre 0 et v7. Le theoreme s'obtient alors immediatement en appliquant cette condition aux fonctions

1 2 cos y 2 cospy f (y) 'r 5 f (Y) '7r(y) 7r

Si le developpement limite:

uo + u1 cos y + * + u,, cosny+ y -

constitue une serie simplement indeterminee et represente une fonction continue K(y), la condition sera suffisanite. Mais dans le cas general, nous n'en savonis rien. Je me propose d'etudier cette question dans une seconde note.

PARIS, Juin 1904.

* Voir LEBESGUE, loc. cit., page 98. t Voir LEBESGUE, Ioc. cit., page 112.



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