Sur une Transformation de Mouvements

Sur une Transformation de MouvementsAuthor(s): Paul AppellSource: American Journal of Mathematics, Vol. 17, No. 1 (Jan., 1895), pp. 1-5Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/2369705 .

Accessed: 14/05/2014 02:55

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Sur une translormation de mouvemeents.

PAR PAUL APPELL.

Un probleme traite par M. Elliot (Coimptes Rendus 1893 et Annales de l'Ecole Normale 1893) et une question resolue par M. Mestschersky (Bulletin des Sciences mathematiques 1894) peuvent ^tre envisages conine des cas particuliers d'une meme transformation de mouvements.

1). Soient d2xl d2x2 d2x_ dt2 =Xi, dt2 = X dt2 3 * ()

les equations du mouvement d'un ou plusieurs points libres, Xl, X2, X3,

etant des fonctions de xl, x2, X3, ... .. et du temps t. Designons par 2. et yz deux fonctions d'une variable r et faisons

xla-y1, x2 = Y2, Xx 3 Sy3, * * -

d,r=Mdt.

Appelons enfin ', es', a", les derivees successives de a et tz par rapport a 'r. Les equations deviennent

d2ys + (2t+Mt)d, + A>)Y, = Yl, (2)

ou on a pos6 _ XI 9. >a 0 0 a 0(3)

Les quantites Yl, Y2, *... sont alors des fonctions de Yl, Y2j ya, I... et r. En determinant X et ji de facon que l'on ait

a + 2a , + XY+ b (4)



2 APPELL: Sur une transformation de mnouvements.

oii a et b d6signent des constantes, on voit que l'on peut deduire du mnouvement (1) un second imouvement (2) dans lequel, a la force de projections Y1, Y2, Y3,

viennent s'ajouter une resistance 2a dt, 2a proportionnelle a la vitesse

et une attraction d'un point fixe by,, by2, .... proportionnelle a la distance La transformation inverse perniettra de passer du mouvement (2) an

mouvemnent (1). La premiere des 6quations (4) donne irnnmediatement

%2t = Ae2ar (5)

A etant une conistante arbitraire. La seconde devient, par F'6limination de ~t,

t 2Zt + 2a A b = 0:

q2/ en y faisant = p + a et posant b - a2 = c2, on a une equation en p

p/ = p2 + c2

qui admet pour integrale g6n6rale

p = c tg (ca' + 0)

(0 constante arbitraire) et pour int6grales singulieres

, = tc.

On a donc pour X Be aT

cos (ctr +0)' (6)

Ou .2t Be(a?ic)Tr (7)

B d6signant une constante. Dans les equations a et b sont des constantes r6elles, c est une constante r6elle ou purement imaginaire, de sorte que la solution (7) peut-etre r6elle. Appliquons ces formules a quelques cas particuliers.

2). ProblPme de M. Elliot. Soit

U(x1, x2p Xs3 . . * t)

une fonction des coordonn6es et du temps: supposons

au X au XI- =

ax, 2-

aX2 **



APPELL: Sur une transformation de mouvements. 3

Supposons en outre b = 0. Alors c= i ja. On a, dans ce cas, en particu- larisant les constantes, la solution simple suivante des equations (4):

Avec ce choix de % et (S, on a yXI _ 4aT au

1- g2 -ax,

1 -2aT t=- ~ e 2a

Comme x1=y1, x2=y2, .. ., on a, en posant,

V= e:4aT (y, Y2) Y3) .. - 2 e-2T)

les nouvelles equations d2y d__ __

Y' + 2a (y' a . dT- dr ~ay,'** 8 Par le changement de variable, on a donc, sans changer la forme des

seconds membres des 6quations, fait apparaltre une resistance de milieu. La transforination inverse la fera disparaitre et rame6nera les equations a la forme primitive

d-2xl a u (9).

dt2 -ax1 i

a laquelle on peut appliquer les theoremes de Jacobi. On pourra done ramener l'integration des equations (8) a la methode de Jacobi. C'est la le th6orerme que M. Elliot a demontre directement et dont iH a fait plusieurs applications interes- santes.

3). Probleme de M. Mestschersky. Supposons

X1, X2, .X3, I * * .

ind6pendants de t et homogenes de degre -3 en x1, x2, x3, . ... Quand on remnplace x1, X2, X3, *... par aY1, 2Y27 ?y8, ...., la fonction

A?1zc1(x1,x2,x3, . . .

est remplacee par v3q1(y1, Y2, Y3,

Done = I _ pl(Y1 Y2, Y3* *) 1 = 2 - 4jt2



4 APPELL. Sur une transformation de mouvementg.

Partioularisons encore les calculs prek6dents en supposant a = 0. Alors on peut prendre, d'apres (5) et (6),

2ty=1, A 1 - cos c-t

Y= ( (Yi, Y2' YM'-

Les equations du mouveinent conserveront dans ce cas la meme forme sauf l'ad- jonction des termes by,, by2, *.. . representant une attraction proportionnelle a la distance. Si donc on sait trouver le mouvement d6fini par les equations

d,2Xk = (At (XI X2, X3,.

oui qp est homogene et de degre -3, on sait, par la meme, trouver le mouvement defini par les equations

d2Yk d2 + byk =cpk (yl, y2,y Y3 )

C'est la le th6oreme de M. Mestschersky qui en a fait une interessante applica- tion a un problWme trait6 par Jacobi.

4). Supposons, en general, que X1, XC2, *.* ne contiennent pas t et soient des fonctions homogenes de x1, x2, ... d'un degre n diff6rent de - 3. Le changement de variables indiqu6 transforme les 6quations

d2 ( I - Pk (X, X2 *

d 2 d2a + by= i2x1-n

Prenons, d'aprbs (5) et (7), %2y = Ae2a,

= -Be (a + ic),r

nous aurons, pour le produit tj2%1- n une constante multipli6e par l'exponentielle

e7 (1 n a ?(S+ n) ] Done en faisant

(1 -n)a+i(3+n)o o= , (10) on pourra prendre

i2%1-n 1



APPELL: Sur une transformation de mouvements. 5

Comme c2 = b - a2, la relation (10) donne

(1 - n)2a2 + (3 + n)2(b - a2) = 0

ou b= 8aa2(n+) (11)

(n + 3)2

Donc si on sait int6grer les equations

d2xk (Pk (XI 7 X2 7 X3 0 * ')

OU (k est une,fonction de X1, x2, ...., homogene de degre n, on sait integrer

6galement les 6quations du mouvement plus g6neral,

dr2 + 2a dYk + byk = 'k (Y1, 7Y2, Y3 7 *

b etant lie a a par la relation (11). Par exemple, l'integration du probleme des deux corps (n =-2) conduit a

l'integration du mneme probleme quand s'ajoute une attraction proportionnelle a la distance et une resistance proportionnelle a la vitesse. Alors

b -8a2

5). Une transformation de meme nature pourra etre faite sur le mouvement d'un systeme d6pendant de k parametres ql, q2... . qk, qu'il conviendra de dis- tinguer en parametres lin6aires, ql, q2, * ... q, representant des longueuirs, et

param'tres angulaires q4+1, qh+2, * .qk r6presentant des angles. La demi-

force vive T est alors une fonction homogene du second degre de q1, q2, *... qh et de leurs d6riv6es par rapport au temps t. On obtient des resultats qui sont la generalisation des prkc6dents, en faisant, dans les 6quations de Lagrange, la transformation

= ap1, I q P2= * * * , qh = *Ph,

dt = udt.

On a ainsi un nouveau mode de transformation venant s'ajouter a ceux qu'on a employes deja. (Voyez Journal de Crelle, t. 110, 1892, p. 37; voyez egale- ment un Memoire de M. Painleve, Journal de M. Jordan, 1894.)



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