Systèmes Hydrauliques

SYSTMESSYSTMESHYDRAULIQUESHYDRAULIQUES

Jean-Loup ROBERT

Version 1.5.0 31 aot 2011

Jean-Loup Robert, 2011

Table des matires

Chapitre 1 Introduction..........................................................................................................................................8

1.1 Contexte...................................................................................................................................... 81.2 Approche modle .................................................................................................................. 81.3 Contenu....................................................................................................................................... 9

Chapitre 2 Les quations de base utiles en hydraulique................................................................................... 10

2.1 Justification............................................................................................................................... 102.2 Vitesse et acclration............................................................................................................... 112.3 Dformation.............................................................................................................................. 12

2.3.1 Dformation linaire..........................................................................................................122.3.2 Dformation angulaire.......................................................................................................13

2.4 Conservation de la masse.......................................................................................................... 142.5 Fonctions de courant et de potentiel..........................................................................................15

2.5.1 Fonction de courant........................................................................................................... 152.5.2 Fonction de potentiel......................................................................................................... 212.5.3 Interprtation physique......................................................................................................23

2.6 Conservation de la quantit de mouvement.............................................................................. 252.6.1 quations dEuler.............................................................................................................. 262.6.2 quations de Navier-Stokes.............................................................................................. 262.6.3 coulement de Couette et de Poiseuille............................................................................ 272.6.4 coulement de Couette......................................................................................................29

2.6.4.1 Exemple 1.1............................................................................................................... 292.6.5 coulement de Poiseuille.................................................................................................. 30

2.6.5.1 Exemple 1.2............................................................................................................... 312.7 Exercices................................................................................................................................... 32

Chapitre 3 Les coulements en charge en rgime permanent...........................................................................34

3.1 Contenu du chapitre.................................................................................................................. 343.2 Dfinitions.................................................................................................................................34

3.2.1 coulements en charge...................................................................................................... 343.2.2 Rgime permanent.............................................................................................................343.2.3 Rgimes dcoulement...................................................................................................... 35

3.2.3.1 Rgime laminaire.......................................................................................................363.2.3.2 Rgime turbulent....................................................................................................... 37

3.3 Pertes de charge dans les conduites circulaires.........................................................................373.3.1 Perte de charge par frottement...........................................................................................383.3.2 Expression gnrale...........................................................................................................38

3.3.2.1 Conduite de section circulaire................................................................................... 38

iii

3.3.2.2 Conduite de section quelconque................................................................................ 393.3.3 Rugosit relative................................................................................................................393.3.4 Dtermination du facteur de frottement............................................................................ 39

3.3.4.1 Diagramme de Moody............................................................................................... 403.3.4.2 Formule de White-Colebrook.................................................................................... 403.3.4.3 Formule d'Hazen-Williams........................................................................................ 42

3.4 Pertes de charges locales........................................................................................................... 433.5 Diagramme dnergie................................................................................................................45

3.5.1 Principes............................................................................................................................ 453.5.2 Exemples........................................................................................................................... 453.5.3 Calculs hydrauliques......................................................................................................... 49

3.5.3.1 Conduite de diamtre constant entre deux rservoirs................................................ 493.5.3.2 Conduites de diamtres diffrents entre deux rservoirs avec perte de charge locale la restriction........................................................................................................................... 503.5.3.3 Rduction de diamtres de conduite entre deux rservoirs avec pertes de charge locales aux changements de diamtre....................................................................................513.5.3.4 Conduite et robinet-vanne entre deux rservoirs....................................................... 513.5.3.5 Conduite entre un rservoir et une sortie lair libre................................................ 513.5.3.6 Conduites et coudes entre deux rservoirs.................................................................523.5.3.7 Conduites et pompe entre deux rservoirs.................................................................52

3.6 Principes de base du calcul de systmes hydrauliques complexes...........................................533.6.1 Mise en situation................................................................................................................543.6.2 Formulation gnrale.........................................................................................................593.6.3 Vrification du nombre dquations.................................................................................. 623.6.4 Antennes et rseaux ramifis............................................................................................. 643.6.5 Mthodes de rsolutions.................................................................................................... 64

3.6.5.1 Mthodes directes...................................................................................................... 643.6.5.1.1 Mthode des dbits.............................................................................................643.6.5.1.2 Mthode des charges.......................................................................................... 67

3.6.5.2 Mthode matricielle par mailles................................................................................ 673.6.6 Aspects thoriques des mthodes de rsolution.................................................................70

3.7 Pompes et turbines.................................................................................................................... 713.7.1 Les pompes........................................................................................................................723.7.2 Types de pompes............................................................................................................... 733.7.3 Courbe de pompe et point de fonctionnement...................................................................753.7.4 Rendement.........................................................................................................................793.7.5 Vitesse de rotation............................................................................................................. 803.7.6 Vitesse spcifique.............................................................................................................. 803.7.7 Limite d'aspiration.............................................................................................................813.7.8 Stations de pompage..........................................................................................................82

3.7.8.1 Pompes en parallles..................................................................................................823.7.8.1.1 Pompes identiques en parallles........................................................................ 823.7.8.1.2 Pompes diffrentes en parallles........................................................................83Exemples avec deux pompes diffrentes en parallle.......................................................84

3.7.8.2 Pompes en sries........................................................................................................873.8 Exercices................................................................................................................................... 89

Chapitre 4 Rgimes transitoires dans les systmes hydrauliques sous pression.............................................93

iv

4.1 Introduction............................................................................................................................... 934.2 Description des phnomnes physiques en jeu......................................................................... 94

4.2.1 tat dquilibre dun systme hydraulique........................................................................944.2.2 Onde lastique et oscillation en masse.............................................................................. 944.2.3 Perturbation de lquilibre, effet sur les pressions............................................................ 94

4.3 Aspects thoriques.....................................................................................................................984.3.1 quations de base.............................................................................................................. 984.3.2 Hypothses de base..........................................................................................................1014.3.3 Calcul de la surpression ou dpression maximale...........................................................1014.3.4 Mthode des caractristiques...........................................................................................1044.3.5 Mthode des diffrences finies........................................................................................ 1064.3.6 Calcul de loscillation en masse...................................................................................... 108

4.4 Modlisation des composantes dun systme hydraulique......................................................1114.4.1 Traitement dun lment gnral..................................................................................... 1114.4.2 Sections de conduites.......................................................................................................1134.4.3 lment passif..................................................................................................................1134.4.4 Jonctions.......................................................................................................................... 1144.4.5 Pompes.............................................................................................................................1154.4.6 Vannes..............................................................................................................................1154.4.7 Cavitation.........................................................................................................................1164.4.8 quipements de protection.............................................................................................. 116

4.4.8.1 Volant dinertie.........................................................................................................1164.4.8.2 Chambres ou chemines dquilibre........................................................................1184.4.8.3 Chambres dquilibre unidirectionnelles................................................................. 1194.4.8.4 Rservoirs dair........................................................................................................1194.4.8.5 Soupapes de dcharge..............................................................................................1204.4.8.6 Soupapes dadmission et de purge dair.................................................................. 1214.4.8.7 Bipasse.....................................................................................................................121

4.5 Exercices................................................................................................................................. 122

Chapitre 5 Les coulements surface libre...................................................................................................... 124

5.1 Introduction............................................................................................................................. 1245.2 Classification des coulements............................................................................................... 1245.3 Lcoulement permanent uniforme......................................................................................... 125

5.3.1 Considrations thoriques............................................................................................... 1255.3.2 Lquation de Chzy........................................................................................................1285.3.3 Lquation de Manning....................................................................................................1295.3.4 Autres formules dcoulements....................................................................................... 129

5.3.4.1 Formule de Manning-Strickler................................................................................ 1295.3.4.2 Formule de Darcy-Weisbach................................................................................... 129

5.3.5 Section dcoulement et primtre mouill.....................................................................1305.3.5.1 Primtre mouill et largeur au miroir.....................................................................1305.3.5.2 Section dcoulement...............................................................................................131

5.3.6 Lcoulement critique...................................................................................................... 1335.3.6.1 La hauteur critique...................................................................................................1345.3.6.2 La pente critique...................................................................................................... 134

5.3.7 Calcul de la hauteur normale...........................................................................................135

v

5.3.7.1 Mthode de Newton-Raphson................................................................................. 1355.3.7.2 Utilisation d'une feuille de calcul ........................................................................... 136

5.4 Lcoulement graduellement vari.......................................................................................... 1375.4.1 Gnralits.......................................................................................................................1375.4.2 Principes de base............................................................................................................. 1375.4.3 Courbes de remous typiques............................................................................................139

5.4.3.1 Courbes M............................................................................................................... 1395.4.3.2 Courbes S.................................................................................................................1405.4.3.3 Courbes C................................................................................................................ 1415.4.3.4 Courbes H et A.........................................................................................................1425.4.3.5 Dtermination du type de courbe.............................................................................143

5.4.4 Calcul des courbes de remous pour les canaux rguliers (Direct Step Method).............1445.4.5 Calcul des courbes de remous pour les canaux naturels (Standard Step Method)..........147

5.5 coulement brusquement vari, le ressaut hydraulique..........................................................1495.6 Singularits dans les canaux....................................................................................................153

5.6.1 Seuils............................................................................................................................... 1535.6.2 Dversoirs........................................................................................................................155

5.6.2.1 quation gnrale.................................................................................................... 1555.6.3 Vannes..............................................................................................................................1575.6.4 Transitions....................................................................................................................... 161

5.6.4.1.1 Exemple........................................................................................................... 1625.7 Les coulements surface libre non permanents....................................................................165

5.7.1 Dfinitions et mise en contexte....................................................................................... 1665.7.2 tude de l'onde de translation..........................................................................................167

5.7.2.1 Clrit de l'onde..................................................................................................... 1675.7.2.2 Types d'intumescences.............................................................................................168

5.7.2.2.1 Exemple........................................................................................................... 1695.8 Exercices................................................................................................................................. 172

Chapitre 6 Systmes mixtes................................................................................................................................176

6.1 Introduction............................................................................................................................. 1766.2 Rgles gnrales......................................................................................................................1766.3 Exemple 1................................................................................................................................1806.4 Exemple 2................................................................................................................................1846.5 Exemple 3................................................................................................................................1876.6 Exemple 4................................................................................................................................1896.7 Exemple 5................................................................................................................................1906.8 Exemple 6................................................................................................................................192

Chapitre 7 La modlisation des coulements surface libre.......................................................................... 194

7.1 Gnralits...............................................................................................................................1947.2 Modlisation unidimensionnelle............................................................................................. 195

7.2.1 coulement permanent.................................................................................................... 1957.3 Modlisation bidimensionnelle............................................................................................... 197

7.3.1 Les quations de base...................................................................................................... 197

vi

7.3.2 Intgration verticale.........................................................................................................1997.3.3 Troisime quation de mouvement..................................................................................2017.3.4 quation de continuit.....................................................................................................2017.3.5 Premire quation de mouvement................................................................................... 2027.3.6 Conditions aux limites.....................................................................................................2057.3.7 Formulation par la mthode des lments finis...............................................................205

ANNEXE A.Aide-mmoire Systmes hydrauliques........................................................................................ 209

quations de base..........................................................................................................................209Champs de vitesse et d'acclration......................................................................................... 209Dformations linaire et angulaire........................................................................................... 209Conservation de la masse......................................................................................................... 210Fonction de courant.................................................................................................................. 210Fonction de potentiel................................................................................................................ 210Conservation de la quantit de mouvement..............................................................................211quations d'Euler......................................................................................................................211quations de Navier-Stokes......................................................................................................211coulement de Poiseuille..........................................................................................................211coulement de Couette.............................................................................................................212

coulement en charge................................................................................................................... 212Systmes complexes.................................................................................................................213Pompes..................................................................................................................................... 216Turbines.................................................................................................................................... 217

Transitoires hydrauliques.............................................................................................................. 217coulement surface libre............................................................................................................ 219

Classification............................................................................................................................ 219coulement permanent uniforme............................................................................................. 219Section d'coulement................................................................................................................219coulement critique..................................................................................................................220Hauteur normale....................................................................................................................... 221coulement graduellement vari.............................................................................................. 221Mthode de calcul pour les canaux rgulier (Direct Step Method)..........................................222coulement brusquement vari ressaut hydraulique............................................................. 223Singularits dans les canaux.....................................................................................................223coulements non permanents surface libre........................................................................... 224

Systmes mixtes............................................................................................................................ 224Modlisation des coulements permanent surface libre.............................................................225Constantes physiques.................................................................................................................... 225

ANNEXE BAlphabet grec utilis comme symboles scientifiques.................................................................... 226

vii

Chapitre 1

Introduction

1.1 Contexte

La dcision d'crire une livre de systmes hydrauliques remonte l'poque o j'enseignais

l'hydraulique urbaine. Ayant eu la charge de ce cours pendant plus de vingt ans, j'ai vu voluer les

outils de calculs vers des logiciels de plus en plus performants, mais aussi de plus en plus complexes

et dont les mcanismes internes sont devenus de moins en moins prsents l'esprit de l'lve

ingnieur, futur utilisateur d'outils informatiss.

1.2 Approche modle

Quand on apprend les rudiments de l'hydraulique, on a tendance sparer les divers composants d'un

systme pour les tudier sparment. Une fois que l'on a bien matris le comportement d'une

conduite, d'une vanne ou d'une pompe, il convient d'envisager la possibilit de rendre compatibles

ces comportements afin de construire un systme qui les utilise et de prdire le comportement de

l'ensemble.

Pour russir cet assemblage, il faut faire rfrence des principes physiques trs gnraux et bien

dfinis. Dans le cas des systmes hydrauliques, ces principes sont les lois de conservation de la

masse, de la quantit de mouvement et de l'nergie.

Le but du livre de Systmes hydrauliques est de dmontrer les rgles, bases sur les principes de

conservation, qui permettent d'assembler un ensemble complexe partir d'lments simples. Cette

approche permet de construire, virtuellement, un modle de systme hydraulique afin d'en tudier les

ractions lorsqu'il est soumis des conditions d'utilisation. Les moyens de calcul ncessaires cette

opration peuvent tre relativement simples. On pourra, pratiquement, dgrossir le comportement

d'une station de pompage, par exemple, en utilisant une feuille de calcul d'un tableur lectronique

comme le bien connu Microsoft Excel, bien que les mthodes donnes ici s'appliquent n'importe

quel chiffrier sur ordinateur.

Systmes hydrauliques - Jean-Loup Robert Introduction

1.3 Contenu

Dans un premier temps, nous nous attarderons aux coulements en charge. D'abord, nous rviserons

un certain nombre d'aspects thoriques la base de la modlisation hydraulique. Puis nous

tudierons les moyens de construire des modles d'coulements en charge, en rgime permanent, en

utilisant des moyens de calcul sur ordinateur. Nous aborderons par la suite les rgimes transitoires

des coulements sous pression dans le but d'valuer les consquences, habituellement rencontres

dans la pratique, des variations temporelles de rgime.

Dans une deuxime partie du livre, nous tudierons le comportement des coulements surface

libre. Nous commencerons d'abord par l'coulement permanent uniforme pour comprendre les

caractristiques de base d'un coulement surface libre. Ensuite, nous verrons plusieurs cas

particuliers partir de variations spatiales et temporelles.

Enfin, nous examinerons les bases de la modlisation numrique, plus gnrale, des coulements

surface libre en tudiant le modle numrique bidimensionnel inspir des quations de Saint-Venant

et rsolu par une mthode d'lments finis

9

Chapitre 2

Les quations de base utiles en hydraulique

2.1 Justification

La comprhension des quations de base appliques lhydraulique forme une assise solide sur

laquelle notre faon de raisonner s'appuie afin dexpliquer des comportements hydrauliques observs

ou prvus. En outre, ces quations sont le point de dpart de tous les modles sur ordinateur. Ces

modles nous permettent de calculer les paramtres qui soutiendront de nos prises de dcision.

La connaissance de ces quations de base ne peut se dissocier de celle des conditions aux limites qui

conduisent une solution particulire. Cet aspect peut paratre trop thorique, cependant l'utilisateur

de modles numriques ne peut pas esprer obtenir de rsultats valides s'il ne matrise pas cet aspect.

Dans ce qui suit, notre objectif sera centr sur la comprhension des termes des quations de base

pour tre en mesure d'apprcier leur rle dans l'tude d'un comportement hydraulique. Pour atteindre

ce but, nous tudierons les termes des quations sur des intervalles finis plutt que sur des intervalles

infinitsimaux. Cette approche se justifie par le fait que tous les modles sur ordinateurs

fonctionnent sur ce principe. En effet, chaque milieu d'tude est divis, par exemple, en sous-

ensemble de dimensions x, y et z dont les grandeurs peuvent varier de quelques millimtres pour

des aubes de turbines quelques kilomtres pour les modles mtorologiques.

Pour bien comprendre les quations de base et pour nous familiariser avec la notation, nous devons

rappeler quelques notions lmentaires utilises pour dcrire le comportement d'un fluide. Ce sont :

La cinmatique, soit la vitesse et l'acclration;

La dformation du fluide lorsqu'il est soumis des contraintes.

Ensuite, nous appliquerons les principes de conservation de la matire et de la quantit de

mouvement (inertie) pour construire les quations qui permettent de dcrire le comportement

dynamique d'un fluide et plus spcifiquement celui de l'eau.

Systmes hydrauliques - Jean-Loup Robert Les quations de base utiles en hydraulique

2.2 Vitesse et acclration

Les vitesses permettent de dfinir le mouvement dun fluide sans gard aux forces qui y sont

appliques, donc de dfinir le comportement cinmatique. Lorsquintervient la masse du fluide,

lacclration permet de mettre en relation le mouvement et les forces appliques, cest la

dynamique.

On dfinit la vitesse comme un champ vectoriel :

V=uivjwk 2.1

o u, v et w sont les composantes de la vitesse selon les axes x, y et z sur lesquels sont dfinis les

vecteurs unitaires i ,j et k . De plus, les composantes peuvent varier dans le temps, elles seront

donc dcrites comme des fonctions de quatre variables indpendantes x, y, z et t :

u= f 1 x , y , z , t

v= f 2 x , y , z , t w= f 3 x , y , z , t

2.2

Lacclration se dfinit comme la drive totale (ou drive matrielle) de V par rapport au temps :

a=d Vdt

2.3

a est donc aussi un vecteur dont les composantes sont :

a=[ax , a y , az ]=[ dudt , dvdt , dwdt ] 2.4Chaque drive totale peut tre exprime en drives partielles par rapport au temps et lespace :

ax=dudt

= u t

u u x

v u y

w u z

a y=dvdt

= v t

u v x

vv y

w v z

az=dwdt

=w t

uw x

vw y

ww z

2.5

NOTATION :

11


d ()dt

=() t

+V ()

=grad = x

i y

j z

k , la valeur entre parenthses est ncessairement un scalaire

2.3 Dformation

2.3.1 Dformation linaire

La dformation linaire est lie au changement de volume dlment de fluide. Le taux de

changement de volume par unit de volume sexprime en fonction des vitesses.

Figure 2.1 - Dformation linaire d'un volume de contrle xyz.

En effet :

Vt

=( x y z)

t= x

( y z )t

+ y z ( x )

t

= x( y ( z )t +z( y )

t )+ y z( x )

t

= x y ( z)

t+ x z

( y ) t

+ y z( x )

t

en divisant par le volume xyz :

12

x

y

z

x (x)


V /t x y z

= y z

x t

x z y

t x y

z t

x y z

= 1 x

x t

1 y

y t

1 z

z t

Comme x reprsente un ct de l'lment de volume, sa variation temporelle peut tre vue comme

la diffrence des vitesses de ses extrmits, donc (x) / t = u et ainsi de suite dans les autres

directions. donc, en passant la limite :

u x

v y

w z

=V=divV 2.6

Si le fluide est incompressible, alors la divergence du champ de vitesse est nulle :

div V=0 2.7

En termes de dformation linaire, cela revient dire que llment de fluide ne peut changer de

volume.

2.3.2 Dformation angulaire

La dformation angulaire est lie la rotation des faces deux deux dun lment de fluide. En

faisant lhypothse de faibles rotations, tg =, et en prenant la moyenne des rotations des faces

prises deux deux, on obtient les composantes du vecteur rotation :

x=12 (

w y

v z )

y=12 (

u z

w x )

z=12 (

v x

u y )

2.8

Sous forme vectorielle :

=12

curlV=12V=

12 i j k x y z

u v w 2.9

13


Par dfinition, la vorticit est gale 2 , par ailleurs, si :

=V=0 2.10

le champ de vitesse est irrotationnel.

2.4 Conservation de la masse

Figure 2.2 - Flux de masse entrant et sortant d'un volume de contrle xyz.

La conservation de la masse exprime le fait qu'un systme ne subit pas de variation de masse, sur un

volume de contrle, il y a quilibre entre le flux massique et la variation de masse. En considrant le

volume de contrle xyz, la variation de masse l'intrieur s'crit :

Mt systme=

( x y z )t

+ ux+ x y z ux y z+ vy+ y x z vy x z

+ wz+z x y wz x y=0

En divisant par xyz et en prenant la limite, on obtient :

14


t +

( u ) x +

( v ) y +

( w ) z =

t + V=0 2.11

o est la masse volumique (aussi appele masse spcifique et dfinie comme la masse par unit de

volume).

Si lcoulement est permanent, la variation temporelle locale est nulle, t =0 , donc la conservation

de la masse scrit :

V=0 2.12

Si de plus, il est incompressible, est constant, donc :

V=0 2.13

2.5 Fonctions de courant et de potentiel

2.5.1 Fonction de courant

Pour un coulement bidimensionnel plan incompressible, la conservation de la masse scrit :

u x

v y=0 2.14

Si on rsout seulement cette quation, on ne tient pas compte de la conservation de la quantit de

mouvement donc on idalise le fluide en ne considrant pas les effets de son inertie ni de sa

viscosit. C'est ce que l'on appelle un fluide parfait. Les applications les plus courantes concernent

les coulements trs lents comme dans les milieux poreux.

Pour rsoudre cet coulement, on doit modifier l'quation, car elle contient deux inconnues u et v, on

pose alors une fonction scalaire, (x, y) que l'on nomme fonction de courant, telle que :

u= y et v= x 2.15

en remplaant ces expressions dans 2.14, on obtient :

x ( y )+ y ( x )=0 2.16

15


Ce qui signifie, videmment, que toute fonction (x, y) satisfait cette condition. Pour que la fonction

de courant (x, y) soit plus spcifique, par exemple associe avec la fonction de potentiel, il faut

ajouter la condition que l'coulement soit aussi irrotationnel, c'est--dire, en deux dimensions, qu'il

satisfasse la condition suivante :

v x

u y

=0 2.17

En remplaant les dfinitions 2.15 dans cette dernire quation, on obtient une quation de Laplace :

2

x 2+2

y 2=0 2.18

La fonction (x, y) solution de cette expression a les proprits suivantes :

(x, y) = constante, reprsente une ligne de courant

La tangente la ligne de courant scritdydx=

vu ce qui exprime que le fluide ne peut les

traverser.

Selon la proprit prcdente, le dbit passant entre deux lignes de courant est donc constant.

Dans les cas simples, on peut trouver une solution analytique l'quation 2.18, cependant, pour le

calcul sur ordinateur nous passons par les mthodes numriques. Afin d'illustrer, nous montrons ici

une mthode simple pour rsoudre 2.18 sur une feuille de calcul par une mthode de diffrences

finies rsolue par une mthode de relaxation.

1) On commence par crire 2.18 sous forme diffrentielle utilisant des carts de dimensions

petites, mais finies :

x (

x )+

y (

y )=0

2) On dfinit les carts de la fonction en utilisant la mthode des diffrences finies, par

exemple, une position (x, y) , on peut crire :

16


x (

x )+

y (

y )=

( x+ x , y )2 ( x , y )+ ( x x , y )

x2

+ ( x , y+ y )2 ( x , y )+ ( x , y y )

y 2

en notant par l'indice i 1 la position x x et j 1 la position y y et en posant

x = y= h, l'quivalent numrique de 2.18 devient :

i+1, j+ i , j+14 i , j+ i1, j+ i , j1h2

=0

En plaant les variables sur une grille dont les lignes verticales sont numrotes par l'indice

i et les lignes horizontales par l'indice j comme illustres sur la figure 2.3, on peut

reprsenter l'quation numrique prcdente dans un plan.

Figure 2.3 - Reprsentation de l'quation numrique obtenue par la mthode des

diffrences finies applique l'quation de Laplace.

3) On calcule la valeur de i, j au centre partir de ses voisins :

i , j= i+1, j+ i , j+1+ i1, j+ i , j1

4

on remarque que, puisque nous l'quation de Laplace est homogne, l'cart h n'a plus tre

considr. Cela n'aurait pas t le cas si nous avions eu un membre de droite (un terme

source) non nul dans l'quation diffrentielle initiale qui serait alors devenu une quation de

Poisson.

17

i i+1i-1

j

j-1

j+1

h

h i , j1

4 i , j

i , j1

i1, j i1, j


Cette quation peut facilement tre utilise comme formule dans une cellule de feuille de

calcul lectronique en utilisent les cellules des lignes et des colonnes adjacentes. Pour la

cellule B2, on obtient donc la formule suivante :

=(A2+B1+C2+B3)/4

4) Avant de recopier cette formule dans les autres cellules, il faut dfinir le domaine

d'application ainsi que les conditions aux limites. Nous allons tudier les lignes de courant

dans un coude 90 illustr la figure 2.4

Figure 2.4 - Dfinition du domaine et de ses conditions aux limites.

5) Les conditions aux limites sous forme de valeur de sont simplement inscrite dans les

cellules adjacentes aux frontires du domaine. Pour les frontires ouvertes o nous

imposons un gradient nul, nous spcifions une condition de symtrie en imposant dans les

cellules extrieures adjacentes la frontire, une valeur gale celle de la cellule voisine ce

la cellule calculer sur le bord de la frontire. La figure 2.5 illustre les formules et valeurs

initiales inscrire dans la feuille de calcul.

6) Dans les zones jaune ple, les cellules contiennent les valeurs imposes de aux frontires.

Dans les zones saumon, les cellules contiennent les formules qui assurent la symtrie selon

x ou y.

Dans la cellule cyan B2, nous inscrivons l'quation numrique correspondant l'quation de

Laplace et dans les autres cellules, nous inscrivons une valeur initiale de dpart arbitraire

(5.0).

18

x

=0

y

=0

=0

=10


Figure 2.5 - Contenu initial des cellules pour lancer un calcul par la mthode de

relaxation.

7) Pour lancer le calcul, nous activons, dans les prfrences du logiciel de feuille de calcul, le

calcul rcursif en ajustant la prcision voulue ainsi que le nombre maximum de mises jour

du contenu des cellules puis nous recopions en utilisant les fonctions recopie droite et

recopie en bas de faon couvrir toute la zone cyan. Ds qu'une formule est copie, elle

utilise les valeurs voisines pour calculer sa propre valeur et ds que la valeur d'une cellule

est modifie toutes les formules l'utilisant se mettent jour jusqu' ce que la diffrence entre

deux valeurs conscutives d'une mme cellule soit infrieure la prcision ou que le

nombre maximum de mises jour soit atteint. La figure 2.6 donne le rsultat final de

l'opration.

19


Figure 2.6 - Rsultat du calcul des valeurs de par une mthode de diffrences

finies rsolue par relaxation.

8) En introduisant ces valeurs dans un logiciel qui permet de tracer des lignes de contour (ici

Matlab) nous obtenons la figure 2.7

20


Figure 2.7 - Isovaleurs de la fonction de courant.

2.5.2 Fonction de potentiel

Pour dfinir la fonction de potentiel, on reprend la condition d'incompressibilit 2.14 et on dfinit

une fonction (x, y) telle que :

u= x et v= y 2.19

La condition d'irrotationalit est donc toujours satisfaite, car :

y ( x ) x ( y )=0 2.20

et la condition d'incompressibilit devient :

2

x2+2

y2=0 2.21

Ce qui est encore une quation de Laplace que l'on peut rsoudre comme pour la fonction de courant,

mais en imposant des conditions aux limites diffrentes. En reprenant le domaine prcdent, on

21


impose un potentiel sur les limites ouvertes et une condition de flux nul (quivalent

l'impermabilit) sur les limites fermes comme illustr sur la figure 2.8 .

Figure 2.8 - Conditions aux limites pour la fonction de potentiel

Comme prcdemment, on peut rsoudre le problme sur une feuille de calcul et obtenir le rsultat

prsent la figure 2.9

Figure 2.9 - Rsultat du calcul des valeurs de par une mthode de diffrences finies rsolue par

relaxation.

22

x

=0

y

=0

=10

=0


En visualisant les lignes d'gal potentiel (figure 2.10), nous remarquons que la solution n'est pas tout

fait exacte, mais que l'allure gnrale est trs bonne ; un calcul avec une grille plus fine

amliorerait la qualit de la solution numrique.

Figure 2.10 - Isovaleurs de la fonction de potentiel.

2.5.3 Interprtation physique

Les coulements qui sont modliss par les fonctions de courant et de potentiel sont des coulements

qui ne satisfont que le principe de conservation de la masse et la condition d'irrotationalit. Comme

ils ne satisfont pas le principe de conservation de la quantit de mouvement, ils sont donc idaliss

comme des fluides sans inertie.

Illustrons ceci par deux exemples. Dans le premier, nous calculons la fonction de courant pour

reprsenter un coulement dans un largissement brusque. Nous remarquons (figure 2.11) que les

lignes de courants suivent la gomtrie du domaine sans qu'il y ait de recirculation ni de tourbillons,

il est donc irrotationnel.

23


Figure 2.11 - Fonction de courant reprsente ici par des plages de couleurs.

En reprenant ce calcul au moyen des quations de Navier-Stokes, qui sont bases sur la conservation

de la quantit de mouvement et la conservation de la masse, nous obtenons un champ de vitesse

caractris par un large tourbillon (figure 2.12) pour lequel il est impossible de tracer des lignes de

courant. Cet coulement n'est donc pas irrotationnel.

24


Figure 2.12 - Champ de vitesse calcul par Navier-Stokes.

2.6 Conservation de la quantit de mouvement

Cette conservation sexprime par lquilibre entre les forces internes et les forces externes selon la

loi de Newton :

F=m a 2.22

Dans un fluide, en exprimant la masse par unit de volume, 2.22 devient :

gx+ xx x +

xy y +

xz z = (

u t +u

u x+v

u y+w

u z )

g y+ yx x +

yy y +

yz z = (

v t +u

v x+v

v y+w

v z )

gz+ zx x +

zy y +

zz z = (

w t +u

w x +v

w y +w

w z )

2.23

25


o et sont les contraintes normales et tangentielles et appliques sur un lment de fluide et

causes par la pression p et la viscosit .

2.6.1 quations dEuler

Si lcoulement est non visqueux,

p= xx= yy= zz ij=0

le systme 2.23 prend la forme des quations dEuler :

u t +u

u x+v

u y+w

u z +

1 p x =g x

v t +u

v x+v

v y+w

v z +

1 p y =g y

w t +u

w x +v

w y +w

w z +

1 p z =gz

2.24

ou encore, sous forme vectorielle :

V t +(V )V+

1 p=g

2.6.2 quations de Navier-Stokes

Si lcoulement est visqueux, on introduit une loi de viscosit pour liminer les contraintes dans

lexpression 2.23. Si le fluide est newtonien, cest--dire quil y a proportionnalit entre la contrainte

et le gradient de vitesse, on crit :

xx=p+2 u x yy=p+2 v y zz=p+2 w z xy= yx=( u y+

v x )

yz= zy=( v z +w y )

zx= xz=( w x +u z )

2.25

en introduisant les expressions 2.25 dans 2.23, on obtient les quations de Navier-Stokes :

26


u t +u

u x+v

u y+w

u z+

1 p x (

2 u x 2+

2 u y2+

2 u z2 )=gx

v t +u

v x+v

v y+w

v z+

1 p y (

2 v x2 +

2 v y2 +

2 v z2 )=gy

w t +u

w x +v

w y +w

w z +

1 p z (

2 w x2 +

2 w y2 +

2 w z2 )=g z

2.26

2.6.3 coulement de Couette et de Poiseuille

Appliquons plusieurs hypothses simplificatrices aux quations de Navier-Stokes :

coulement permanent : t =0 ,

le systme devient :

u u x+v

u y+w

u z +

1 p x (

2 u x2 +

2 u y2 +

2 u z 2 )=gx

u v x+v

v y+w

v z+

1 p y (

2 v x 2+

2 v y2+

2 v z2 )=g y

u w x +v

w y +w

w z +

1 p z (

2 w x 2 +

2 w y2 +

2 w z2 )=gz

coulement unidimensionnel selon x : v=w=0 les quations se rduisent donc :

u u x+

1 p x (

2 u x2 +

2 u y2 +

2 u z2 )=gx

1 p y =gy

1 p z =g z

coulement uniforme : u x =0

Le tout se rduit :

27


1 p x (

2 u y 2+

2 u z2 )=gx

1 p y =g y

1 p z =gz

Le gradient dans la direction y est nul : y=0

1 p x

2 u z2 =g x

0=gy1 p z =gz

Les forces externes par unit de masse : g x=g y=0 et g z=g

Les quations de Navier-Stokes deviennent alors :

1 p x

2 u z2 =0

1 p z =g

La seconde quation nous dit que pour tout x , la pression est hydrostatique :

p ( x , z )= gz+ p0 ( x )

la premire quation peut tre rsolue en considrant le gradient de pression constant :

1 p x =g S

o S est sans dimension et le signe ngatif indique qu'un gradient ngatif engendrera une vitesse

positive.

On obtient alors :

2 u z2 =

gS

u z =

g S z+C 1 u( z )=

gS2 z

2+C1 z+C 2

Selon les conditions aux limites que lon introduit la solution gnrale, on obtient un coulement

28


de Couette ou de Poiseuille ou encore une combinaison des deux.

2.6.4 coulement de Couette

On fait ici lhypothse que le gradient de pression est nul, donc la solution gnrale scrit :

u z =C 1 zC2

avec les conditions aux limites :

z=0 , u0 =V 0 et z=h , u h=V h

on obtient :

u ( z)=V hV 0h z+V 0

2.6.4.1 Exemple 1.1

Un fluide de viscosit cinmatique = 10-3 m2/s est contenu entre deux plaques distantes de 10 mm.

La plaque suprieure se dplace 2 cm/s et la plaque infrieure se dplace -1 cm/s.

a) Exprimons le profil de vitesse avec h=0,01 m, Vh = 0,02 m/s et V0 = -0,01 m/s :

u ( z)= 0,020,01 z0,01 =2 z0,01 [m/s]

b) Calculons le cisaillement interne pour le fluide newtonien de masse volumique de 800 kg/m 3 :

xz=dudz =

dudz =2 =800 kg/m

30,001 m2 /s2 s1 =1,6 N/m2

Si la plaque infrieure une aire infinie, et que la plaque suprieure a une aire de 2 m2, calculons la

force ncessaire son dplacement une vitesse de Vh = 0,02 m/s.

F= xz A =1,6 N/m22 m2 =3,2 N

29


2.6.5 coulement de Poiseuille

Le gradient de vitesse est non nul, donc :

u ( z)=g S2 z2+C1 z+C2

Si on connat les pressions p1 et p2 en deux endroits distants de L, alors :

S=1 g p x =

( p2 p1 ) L

avec les conditions aux limites :

z=0 , u (0 )=0 et z=h , u (h )=0

on obtient :

u ( z)= p2 p12 L ( z2hz )

30

V0

Vh

z

F

h

x

p1 p2

u(z)

z

x

h


Figure 2.13 - Profil de vitesse quadratique de Poiseuille engendr par un gradient de pression ngatif

(p1 > p2)

2.6.5.1 Exemple 1.2

Dans une conduite circulaire de longueur L et de diamtre D, un fluide de viscosit = 10-4 m2/s et

de masse volumique de 1000 kg/m3 coule avec une diffrence de pression entre ses extrmits de 1

bar. Quel est le dbit de la conduite.

Prenons comme axe longitudinal l'axe central de la conduite et comme axe orthogonal le rayon de r

de la conduite :

L'expression gnrale du profil de vitesse s'crit donc :

u ( r)=g S2 r2+C1 r+C2

Pour les conditions aux limites, la paroi, soit r = D/2, u(r) = 0. Au centre, r = 0 la vitesse est

maximum donc dudr =0 . Nous avons donc deux conditions pour dterminer les deux constantes.

dudr =

g S r+C 1=0 r = 0, C1 = 0

r = D/2, u = 0, donc C 2=g S D2

8et u (r )=g S2 (r 2D

2

4 )en fonction de p :

u ( r )= p

2 L (r2D2

4 )Pour connatre le dbit, nous devons intgrer le profil sur la section d'coulement :

Q= p2 L 02

0

D /2

(r2D2

4 )r dr d

Q= p D4

64 L

31


2.7 Exercices

2.1 Une lame deau, dpaisseur h, coule de faon permanente et uniforme sur un plan inclin sur

une largeur b (direction y). On nglige toute variation dans la direction des y. On demande :

a) La forme simplifie des quations de Navier-Stokes et de lquation de continuit.

b) Lexpression du profil de vitesse.

c) Lexpression du dbit dans la direction x c.--d. travers une section parallle au plan y-

z.

d) La vitesse dcoulement moyenne.

e) Lexpression de h en fonction du dbit et de langle .

f) Si h = 1 mm, b = 1 m et = 15, quelle est la valeur du dbit ?

(Rp : Q = 0,846 L/s)

2.2 Soit la fonction courant =A x y+A y2 , avec A = 1. Le fluide est-il incompressible ?

valuer la vorticit et tracer quelques lignes de courant dans le demi-plan suprieur.

2.3 Un fluide, de viscosit et de masse volumique , entre deux plaques distantes de h, est

soumis un gradient de pression S. Si la plaque suprieure a une vitesse V0, crire

l'expression du profil de vitesse et le tracer pour V0 = 0,1 m/s, h = 1, S = 10-3 Pa/m,

32

z

x

g

= 15

h


= 10-6 m2/s et = 1000 kg/m3.

2.4 Un cube de 1 m de ct et de masse de 10 kg glisse sur un film d'eau de 1 mm d'paisseur sur

une surface plane horizontale une vitesse initiale de 1 m/s. Dcrire son mouvement.

2.5 En utilisant un chiffrier lectronique, reproduire l'coulement de la figure 2.11.

2.6 Une fonction de courant est donne par :

=10 y 10 yx2+y 2

a) Montrer que cette fonction satisfait : 2 =0

b) Tracer quelques lignes de courant.

c) Trouver la fonction du potentiel.

d) Exprimer le champ de vitesse et d'acclration.

33

Chapitre 3

Les coulements en charge en rgime permanent

3.1 Contenu du chapitre

Dans un premier temps, ce chapitre dfinira les coulements en charge puis fera un rappel des

principes de la mcanique des fluides qui sappliquent aux coulements en charge. On passera en

revue, par la suite, les mthodes de calcul des coulements dans le but essentiel den connatre les

caractristiques hydrauliques. Pour ce faire, nous dtaillerons les moyens dvaluer les pertes de

charge par frottement dans les conduites et dans divers composants tels que des coudes, des

jonctions ou des vannes.

Nous verrons, ensuite, de quelle faon tablir la ligne de charge et la ligne pizomtrique dun circuit

hydraulique ce qui sera fort utile pour en calculer le comportement hydraulique. Nous tudierons par

la suite les cas des conduites en parallle et en srie. Enfin, nous tudierons les mthodes de calcul

des rseaux de conduites.

3.2 Dfinitions

3.2.1 coulements en charge

Les coulements en charge sont des coulements confins lintrieur dun contenant, en gnral

une conduite. La pression lintrieur de ces coulements peut tre de beaucoup plus leve que la

pression atmosphrique ou encore sabaisser des valeurs aussi faibles que la pression de vapeur

saturante. Mme si la pression lintrieur de ce type dcoulement peut atteindre la pression

atmosphrique, en aucun cas nous ne considrerons la prsence de surface libre dans cette catgorie

dcoulements.

3.2.2 Rgime permanent

Dans ce chapitre, on considrera systmatiquement que les diverses variables hydrauliques ne

varieront pas dans le temps. Nous analyserons donc des coulements qui sont bien tablis dans le

Systmes hydrauliques - Jean-Loup Robert Les coulements en charge en rgime permanent

temps et sil est ncessaire, par exemple, de considrer la conception dun systme hydraulique pour

plusieurs dbits, on les considrera donc comme des situations indpendantes dans le temps.

3.2.3 Rgimes dcoulement

Selon la vitesse relative aux dimensions gomtriques de lcoulement, on observe, partir dun

certain seuil, lapparition de fluctuations de la vitesse que lon nomme turbulence. Le nombre de

Reynolds permet de dterminer si lcoulement est laminaire (sans turbulence) ou turbulent. La

distinction entre les rgimes turbulent et laminaire est importante dans la dtermination du

frottement des parois sur lcoulement. Dans le cas gnral, le nombre de Reynolds scrit :

Re=V L

3.1

o :

V : vitesse moyenne de lcoulementL :longueur caractristique de lenvironnement de lcoulement : viscosit cinmatique du fluide (de leau en hydraulique)

Dans le cas dune conduite circulaire, on considre le diamtre intrieur de la conduite comme

longueur caractristique, le nombre de Reynolds sexprime donc ainsi :

Re=V D

3.2

o :

D : diamtre intrieur de la conduite

La viscosit varie avec la temprature. 15 C, = 1,15 10-6 m2/s alors 20 C, elle baisse

= 1,0 10-6 m2/s.

35


0 2 4 6 8 10 12-20

-10

0

10

20

30

40

50

Vitesse [cm/s]

Temps [s]

Figure 3.1 Composante de la vitesse mesure au moyen dun vlocimtre ADV (Acoustic Doppler Velocimeter).

La figure 3.1 illustre le phnomne de la turbulence. Des mesures de la vitesse dcoulement ont t

ralises un taux de 25 mesures par secondes. Pour chaque temps, on mesure les composantes

longitudinales et transversales (horizontale et verticale) de la vitesse instantane. Lappareil de

mesure tant orient dans le sens de lcoulement, on observe en bleu une vitesse de lordre de

30 cm/s alors que les composantes transversales sont, en moyenne, nulles. Si lcoulement avait t

laminaire, le graphique aurait prsent des lignes horizontales pour chaque composante de la vitesse.

Cet coulement avait un nombre de Reynolds denviron 37 500.

3.2.3.1 Rgime laminaire

Lcoulement est laminaire, cest--dire que sa vitesse ne prsente pas de fluctuation, lorsque le

nombre de Reynolds des conduites circulaires est infrieur 2500.

36


3.2.3.2 Rgime turbulent

Pour un nombre Reynolds suprieur 2500, la turbulence commence apparatre avant de stablir

totalement. On verra, lors de ltude du frottement en conduite, que cette zone de rgime de

transition, entre le rgime laminaire et le rgime turbulent, dpend des conditions de rugosit de la

paroi de la conduite.

3.3 Pertes de charge dans les conduites circulaires

La charge hydraulique fait rfrence la quantit dnergie potentielle, de pression et cintique dans

un systme hydraulique sous pression. Si on ne considre pas les pertes dnergie causes par le

frottement, la charge disponible en tout point du systme doit tre constante. Cette situation est

traduite par lquation de Bernoulli :

p+z+

V 2

2 g=H=constante 3.3

o :

p : pression en un point du systme [F/L2],

z : lvation par rapport une rfrence commune tout le systme [L],

V : vitesse moyenne de lcoulement [L/T],

g : acclration gravitationnelle [L/T2] (9,807 m/s2),

H : charge hydraulique exprime en hauteur de liquide [L],

: poids spcifique [F/L3].

Si on considre que partie de lnergie est dissipe par frottement entre deux points dun systme, le

long d'un tube de courant, en ngligeant les pertes thermiques et mcaniques prsentes aussi dans le

principe de conservation dnergie vu en mcanique des fluides, on devra complter le niveau de

charge perdue par une perte de charge. Lquation de Bernoulli avec pertes de charge scrit donc :

p1+ z1+

V 12

2 g=

p2+ z2+

V 22

2 g+ H 12=H=constante 3.4

o :

H1-2 : pression en un point du systme [L]

Les indices 1 et 2 font rfrence deux points, sur une mme ligne de courant, dans le mme

systme hydraulique.

37


En gnral, dans un systme hydraulique, les pertes de charge ont deux causes :

les pertes de charge par frottement le long dun tuyau, appeles aussi pertes de charge

linaires,

les pertes de charge locales causes par des frottements dans des objets de gomtrie complexe

comme des coudes, des robinets, des jonctions ou autre. On appelle aussi ce type de perte :

pertes de charge singulires.

3.3.1 Perte de charge par frottement

Les pertes de charge par frottement sont causes par linteraction entre le fluide en dplacement et la

paroi de la conduite plus ou moins rugueuse.

3.3.2 Expression gnrale

3.3.2.1 Conduite de section circulaire

En utilisant les principes de lanalyse dimensionnelle, on peut crire une expression gnrale pour

les conduites circulaires :

H =f LD

V 2

2 g3.5

o :

f : facteur de frottement [sans dimension],

L : longueur de la conduite [L],

D : diamtre intrieur de la conduite [L],

V : vitesse moyenne de lcoulement [L/T],

g : acclration gravitationnelle [L/T2] (9,807 m/s2).

Le facteur de frottement dpend du niveau de turbulence de lcoulement, donc du nombre de

Reynolds et de la rugosit relative des parois de la conduite.

La perte de charge par frottement peut aussi scrire en fonction du dbit puisque :

Q=AV et A= D2

4

38


Ainsi on obtient :

H=8 f L

2g D

5 Q2

3.6

3.3.2.2 Conduite de section quelconque

En basant sur la dfinition du rayon hydraulique Rh comme tant le rapport de laire de la section

dcoulement A sur le primtre mouill P :

Rh=AP

Dans le cas dune conduite circulaire Rh= D2 /4

D=

D4

, do D=4 Rh . En introduisant D dans

lexpression 3.5, on obtient une expression applicable une conduite de section quelconque :

H=f L

4 Rh

V 2

2 g=

f L8 g Rh

V 2 3.7

Ou encore, en fonction du dbit :

H=f L

8 g Rh A2 Q

2=f L

8 g Rh3P

2 Q2

3.8

3.3.3 Rugosit relative

La rugosit /D relative est le rapport des hauteurs moyennes dasprits de la paroi de la conduite

sur le diamtre D de cette conduite. Selon les matriaux utiliss pour fabriquer le tuyau, les asprits

sont plus ou moins importantes. Lorsque la taille des asprits est infrieure la hauteur de couche

limite laminaire, elles nont plus deffet sur le frottement, on dit alors que le tuyau est lisse. Dans le

cas contraire, on a affaire un tuyau rugueux.

3.3.4 Dtermination du facteur de frottement

Deux mthodes principales sont utilises pour dterminer le facteur de frottement :

Lutilisation du diagramme de Moody

Le calcul par la mthode de White-Colebrook

39


La premire mthode est simple, rapide et peu prcise. La seconde est plus complique, mais elle

permet lvaluation du facteur de frottement dans des mthodes de calcul utilisant des moyens

lectroniques.

3.3.4.1 Diagramme de Moody

Le diagramme de Moody permet dvaluer graphiquement le facteur de frottement f en fonction de

la vitesse moyenne dcoulement V, du diamtre D et de la rugosit de la conduite et de la viscosit

du fluide . Ces quatre variables sont regroupes en deux nombres adimensionnels :

La rugosit relative : /D

Le nombre de Reynolds : Re=V D

On dtermine alors le rgime dcoulement. Si le rgime est laminaire alors :

f =64Re

3.9

Si le rgime est turbulent, on choisit le point dintersection de la courbe correspondant au /D de la

conduite et au nombre de Reynolds. On projette ensuite ce point sur lordonne de gauche du

diagramme pour estimer le coefficient f.

3.3.4.2 Formule de White-Colebrook

La formule de White-Colebrook est utilise pour calculer la partie turbulente du diagramme de

Moody (fig. 3.2) :

1

f=2,0 log10( /D3,7 + 2,51Re f ) 3.10

Cette formule implicite peut-tre rsolue au moyen dune mthode de Newton-Raphson .

Une application en Javascript est disponible sur le site du cours.

40

Systm

es hydrauliques - Jean-Loup R

obertL

es coulements en charge en rgim

e permanent

Figure 3.2 D

iagramm

e de Moody

41


3.3.4.3 Formule d'Hazen-Williams

A. Hazen et G.S. Williams1, en 1906, ont propos, partir de leurs travaux exprimentaux, une

formule empirique pour valuer la perte de charge par frottement en conduites circulaires. Leur

formule de vitesse moyenne d'coulement s'crit :

V=1,318C Rh0,67 h /L 0,54

3.11

avec :

V : vitesse en pied/s,

C : coefficient d'coulement (sans dimension),

R : rayon hydraulique en pieds,

h : perte de charge en pieds,

L : longueur de conduite en pieds.

Comme on le voit, le coefficient numrique de cette quation possde ncessairement une

dimension. La version en systme international s'crit :

V=0,8492C Rh0,67 h / L 0,54 3.12

avec V en m/s et R, h et L en m.

Cette formule n'est pas aussi prcise que celle de Darcy-Weisbach cependant, elle est simple

d'application et elle est largement utilise en Amrique du Nord.

Le coefficient C a une valeur moyenne de 100 et dpend du matriau et de l'ge de la conduite. Le

tableau suivant en donne quelques valeurs typiques.

L'expression de la perte de charge en fonction du dbit s'crit

h=( 1 C HW )1,85 L

D4,87Q1,85

o est le coefficient d'units ( = 0,2785 m0,33/s (S.I.), = 0,4322 pi0,33/s(S.A.)).

1 William, G. S., and Hazen, A. (1920). Hydraulic Tables, Wiley, Brooklyn, N.Y.

42


Tableau 3.1 Valeurs typiques du coefficient d'Hazen-Williams

Matriau C

Fonte neuve 130

Fonte (5 ans) 120

Fonte (10 ans) 107 - 113

Fonte (20 ans) 89 - 100

Fonte (30 ans) 75 - 90

Fonte (40 ans) 64 - 83

Bton 130

Acier neuf 130

Cuivre 130 - 140

Verre 140

Ciment d'amiante 140

Chlorure de polyvinyle 150

3.4 Pertes de charges locales

Les pertes de charges locales sont causes par les frottements et les dcollements de la couche limite

dans des accessoires tels que des coudes, des raccords, des t, des rductions ou expansions, des

clapets, des robinets-vannes, etc. Chaque accessoire possde un coefficient, dtermin

exprimentalement par le fabricant, qui dpend essentiellement de sa forme et de son matriau. La

perte cause par un des accessoires scrit :

H =C LV 2

2 g3.13

Lorsque la gomtrie de la pice comporte une entre et une sortie de section diffrente, les vitesses

dentre et de sortie sont diffrentes. Il est important de connatre par rapport laquelle de ces deux

vitesses le coefficient CL est associ.

On peut aussi exprimer cette perte de charge en fonction du dbit :

H=C L

2 g A2Q

23.14

43


Pour des sections circulaires, cela devient :

H=8C L

2 g D4Q2 3.15

Ici encore, il faut savoir quelle section est associ CL si elles sont diffrentes. En effet, si la vitesse

d'entre dans la singularit est diffrente de la vitesse de sortie, il faut vrifier quelle vitesse a servi

de rfrence au calcul du coefficient.

Dans certains cas, dans le but d'tre plus prcis, on devra tenir compte du niveau de turbulence de

l'coulement pour choisir la valeur du coefficient de perte de charge. Le cas de l'largissement

brusque (figure ), tir de Lancastre (1996) illustre ce concept.

Figure 3.3 - largissement brusque.

1) On calcule le rapport des sections d'coulement : =A1A2

2) On value le nombre de Reynolds avec V1 : Re=V 1 D

3) L'valuation de la perte de charge locale se fait en rfrence V1 : h=C LV 1

2

2 g

4) On choisit le coefficient CL en fonction du nombre de Reynolds comme suit :

si Re < 10 : C L=26 Re

si 10 < Re < 3500 : on choisit la valeur de CL dans le tableau suivant :

44

V2

V1

A1 A2


A1/A2Re

10 15 20 30 40 50 100 200 500 1000 2000 3000 3500

0,1 3,10 3,20 3,00 2,40 2,15 1,95 1,70 1,65 1,70 2,00 1,60 1,00 0,81

0,2 3,10 3,20 2,80 2,20 1,85 1,65 1,40 1,30 1,30 1,60 1,25 0,70 0,64

0,3 3,10 3,10 2,60 2,00 1,60 1,40 1,20 1,10 1,10 1,30 0,95 0,60 0,50

0,4 3,10 3,00 2,40 1,80 1,50 1,30 1,10 1,00 0,85 1,05 0,80 0,40 0,36

0,5 3,10 2,50 2,30 1,65 1,35 1,15 0,90 0,75 0,65 0,90 0,65 0,30 0,25

0,6 3,10 2,70 2,15 155 1,25 1,05 0,80 0,60 0,40 0,60 0,50 0,20 0,16

si Re > 3500 : C L=(1 )2

On trouvera dans A brief introduction to fluid mechanics de Young et al., la section 8.4.2

plusieurs exemples de valeurs de ce coefficient. A. Lancastre (1996) dans Hydraulique gnrale

constitue, entre autres, une rfrence trs complte sur le sujet.

3.5 Diagramme dnergie

3.5.1 Principes

Le diagramme dnergie est utilis pour connatre la rpartition des nergies potentielle, de pression,

cintique ainsi que les pertes et les gains dnergie le long dun circuit hydraulique. Lnergie totale

est dfinie par lquation de Bernoulli :

E=p+z+

v2

2 g H 3.16

H est soit une perte dnergie (positif) ou un gain dnergie (ngatif) apport en gnral par une pompe.

On trace le long du circuit chaque point du trajet llvation z, la pression p/, lnergie de vitesse

V2/2 g et le niveau de pertes accumul H.

3.5.2 Exemples

Ce qui suit prsente quelques exemples de difficult croissante pour mieux comprendre comment

tracer systmatiquement les diagrammes dnergie.

45


Figure 3.4 Conduite de diamtre constant entre deux rservoirs.

Figure 3.5 Conduites de diamtres diffrents entre deux rservoirs avec perte de charge locale la restriction.

46


Figure 3.6 Rduction de diamtres de conduite entre deux rservoirs avec pertes de charge locales aux changements de diamtre.

Figure 3.7 Conduite et robinet-vanne entre deux rservoirs.

47


Figure 3.8 Conduite entre un rservoir et une sortie lair libre.

Figure 3.9 Conduites et coudes entre deux rservoirs

48


Figure 3.10 Conduites et pompe entre deux rservoirs

3.5.3 Calculs hydrauliques

Dans les exemples prcdents, il faut calculer les pertes de charge et le dbit pour pouvoir valuer

les pressions ainsi que les nergies cintiques

3.5.3.1 Conduite de diamtre constant entre deux rservoirs

Dans cette configuration, on peut valuer le dbit qui passe dun rservoir lautre en utilisant

lquation de Bernoulli (q. 3.3). En faisant le bilan d'nergie entre le rservoir A et le rservoir B :

pA+z A+

V A2

2 g=

p B+z B+

V B2

2 g+ H

la vitesse tant ngligeable dans les rservoirs, on crit :

pA+z A=

pB+ z B+ H ou encore H A=H B H

Ce qui revient exprimer le fait que le systme sera en quilibre quand les pertes de charge H

49


causes par l'coulement deviendront gales la charge :

H AH B= H

La perte de charge totale tant cause par le frottement dans la conduite si on nglige les pertes

locales aux entres et sorties des rservoirs, donc :

H=f LD

V 2

2 g=

8 f L

2 g D5Q2

La perte de charge totale tant gale la diffrence de niveau entre les rservoirs, seul le dbit est

inconnu :

Q= D2g (H AH B )

8f LD

3.5.3.2 Conduites de diamtres diffrents entre deux rservoirs avec perte de charge locale la restriction

Deux aspects sont considrer :

Le mme dbit traverse les deux conduites.

La perte de charge totale est gale la diffrence de niveau entre les rservoirs et elle est

compose de la perte par frottement dans la premire conduite de longueur L1 et diamtre D1,

de la perte par frottement dans la deuxime conduite de longueur L2 et diamtre D2 et de la

perte singulire dans le rtrcissement

On peut donc crire :

H=8

2 g (f L1D1

5+

f L2D2

5+

C LD2

4)Q2

do :

Q= g ( H AH B )

8( f L1D15 +f L2D2

5 +C LD2

4 )

50


3.5.3.3 Rduction de diamtres de conduite entre deux rservoirs avec pertes de charge locales aux changements de diamtre

En raisonnant de la mme faon que prcdemment, on trouve :

H=8

2g (

f L1D1

5 +f L2D2

5 +f L3D3

5 +C L1D2

4 +C L2D3

4 )Q 2do :

Q= g ( H AH B )

8( f L1D15 +f L2D2

5 +f L3D3

5 +C L1D2

4 +C L2D3

4 )3.5.3.4 Conduite et robinet-vanne entre deux rservoirs

Dans un robinet vanne, le coefficient de perte de charge locale CL varie de prs de zro linfini,

do :

Q= D2g ( H AH B )

8( f LD +C L)3.5.3.5 Conduite entre un rservoir et une sortie lair libre

Ici puisque lcoulement sort en B la pression atmosphrique, PB = 0 et VB est inconnu (comme on

narrive pas dans un rservoir dont le niveau est connu, le niveau de charge nette est inconnu). On

crit alors :

H A=zBV B

2

2 g H d'o H AzBV B

2

2 g = HEn posant :

V 2=Q2

A2

avec, pour une conduite circulaire :

A= D2

4

51


Il vient :

H Az B=8

2 g D4 (1+f LD )Q2

finalement :

Q= D2g ( H Az B )

8(1+ f LD )3.5.3.6 Conduites et coudes entre deux rservoirs

Ici on considre le diamtre constant et on regroupe en L toutes les longueurs de conduites. On

obtient alors, en raisonnant comme prcdemment :

Q= D2g ( H AH B )

8( f LD +C L1+C L2)3.5.3.7 Conduites et pompe entre deux rservoirs

La pompe apporte un supplment dnergie que lon peut voir comme une perte de charge ngative.

En crivant lquation de Bernoulli aux deux rservoirs, il vient :

pA+z A

H A

+V A

2

2 g0

=pC+zC

H C

+V C

2

2 g0

+ H AB H P+ H BC

En simplifiant, on obtient :

H=H AH C=f LD

V 2

2 gAB H Pf LD

V 2

2 gBCLe gain de charge H P varie en fonction du dbit selon une courbe dcroissante dont lallure est

donne la figure 3.11.

52


Figure 3.11 Courbe de pompe.

En gnral, on fait une approximation la courbe de pompe en utilisant une fonction parabolique du

type :

H P=H 0B QC Q2

En regroupant les longueurs de conduites si elles sont de mmes diamtres, on crit :

H=H AH C=8 f L

2g D

5 Q2( H 0+BQ+C Q2)=RQ 2( H 0+BQ+C Q2 )

En regroupant les facteurs, on obtient le polynme quadratique suivant :

RC Q2BQH 0H AH C =0

dont la solution est :

Q=B B24 RC H 0H AH C

2 RC

Il faudra, bien entendu, choisir la solution physiquement acceptable, cest--dire celle qui correspond

un point sur la courbe de pompe.

3.6 Principes de base du calcul de systmes hydrauliques complexes

Des exemples prcdents, on constate que :

le dbit entrant dans un rservoir est le mme que celui qui en sort ainsi que celui qui coule

dans la conduite qui relie les deux rservoirs;

53


lquilibre de lcoulement, cest--dire le rgime permanent, est atteint lorsque la perte de

charge devient gale la charge hydraulique disponible.

La premire constatation dcoule du principe de conservation de la masse pour un fluide

incompressible, ce que nous appellerons un principe de continuit des dbits.

La seconde constatation provient du principe gnral de conservation de lnergie qui stipule que

lnergie perdue ou consomme doit tre gale lnergie disponible.

3.6.1 Mise en situation

Nous verrons ici comment appliquer ces deux principes pour analyser des systmes plus complexes

que les prcdents.

Considrons lexemple suivant :

Figure 3.12 coulement en conduites vers deux vannes.

Examinons le principe de continuit; le dbit sortant du rservoir se spare en deux dbits, pas

ncessairement gaux, au niveau de la bifurcation. Comme il y a continuit des dbits, il faut que :

QR=Qv1Qv2 3.17

ou encore :

QRQv1Qv2=0 3.18

54


Nous avons ici trois inconnues, car les dbits vont dpendre de la hauteur deau dans le rservoir

ainsi que des lvations des vannes.

Voyons le principe de conservation de lnergie; en rgime permanent, on doit avoir quilibre entre

les pertes de charge et la charge disponible. En utilisant lquation dnergie de Bernoulli, crivons

deux relations entre le rservoir et les sorties aux vannes que nous considrerons comme ouvertes

100% et en ngligeant les pertes de charge locales :

pR+z R

H R

+V R

2

2 g0

=pv10

+zv1+V v1

2

2 g+ H Rv1 3.19

pR+z R

H R

+V R

2

2 g0

=pv20

+z v2+V v2

2

2 g+ H Rv2 3.20

o H R-v1 et H R-v2 sont les pertes de charge accumules respectivement du rservoir jusqu la

vanne 1 et du rservoir jusqu la vanne 2. En simplifiant, on obtient :

H R zv1=V v1

2

2 g H Rv1

H R zv2=V v2

2

2 g H Rv2

3.21

Exprimons maintenant les termes dnergie cintique et les pertes en fonction des dbits Q1, Q2 et

Q3 :

H Rzv1=8 f L1 2 g D15

Q12+8 f L2 2 g D25

Q22+8

2 g D24Q22

H Rzv2=8 f L1 2 g D15

Q12+8 f L3 2 g D35

Q32+8

2 g D34Q32

3.22

Finalement, en regroupant les facteurs de Q1, Q2 et Q3, on obtient :

H Rzv1=R1 Q12R2Q22H Rzv2=R1Q12R3Q32

3.23

o R1=8 f L1

2 g D15 , R2=

8

2 g D24 ( f L2D2 +1) et R3=

8

2 g D34 ( f L3D3 +1)

De faon gnrale, les rsistances Ri peuvent inclure, outre les effets du frottement sur la paroi de la

55


conduite, les rsistances causes localement et associes au dbit Qi, soit :

Ri=8

2 g Di4 ( 1sortie l'air libre+ C Lpertes locales+

f LiDi

pertes par frottement) 3.24

ou plus gnralement, en fonction du coefficient de rsistance Ri spcifique chaque situation :

hi= H i=Ri Qin

3.25

L'exposant n vaut 2 pour la formule de Darcy-Weisbach et 1,85 pour la formule de Hazen-William.

Dans le cas o l'on a besoin de la relation inverse, on crit

Qi= hiRi 1n= 1Ri

1n hi

1n=K i h

m 3.26

Nous obtenons donc, grce lapplication du principe de continuit des dbits et de la conservation

de lnergie un systme de trois quations trois inconnues :

Q1Q2Q3=0

R1Q12R2 Q2

2=H Rzv1

R1Q12R3Q3

2=H Rzv2

3.27

Ce systme dquations est non linaire et il nest pas possible de le rsoudre tel quel. Pour obtenir

une solution, il est ncessaire de le linariser puis dutiliser une mthode itrative pour obtenir une

solution numrique.

Il est important ici de conserver le signe du dbit en appliquant la relation suivante :

Ri Qin=RiQ0 i

n1Qi 3.28

Les tapes de cette mthode sont :

1) Choisir une solution initiale Q0i quelconque soit ici Q01, Q02 et Q03.

2) crire le systme linaris :

Q1Q2Q3=0R1Q01Q1R2Q02Q2=H Rzv1R1Q01Q1R3Q03Q3=H Rzv2

3) Rsoudre pour trouver une estimation de Q1, Q2 et Q3.

56


4) Calculer une norme de convergence, par exemple QiQ0 i

5) Comparer la norme avec une prcision acceptable, si elle est atteinte, on arrte sinon on

continue ltape suivante :

6) Calculer de nouvelles valeurs de Q01, Q02 et Q03 en faisant la moyenne des valeurs des deux

ensembles prcdents : Q0 i=Q0 iQi /2

7) Retourner ltape 2)

Une feuille de calcul, disponible sur le site du cours, illustre cette mthode.

partir de cet exemple, on constate que lapplication de la continuit des dbits et de lquilibre des

pertes de charge avec les diffrences de charge disponible permettent de dcrire compltement le

comportement du systme hydraulique sous pression.

Voyons encore deux exemples :

Continuit la jonction :

Q1Q2Q3=0

quilibre entre les pertes de charge et les diffrences de charge disponibles de A vers B et de A vers

C :

H AH B=R1Q12R2 Q2

2

H AH C=R1 Q12R3 Q3

2

57


Ce nest pas la seule faon de voir le problme, si les sens des dbits sont diffrents, il faut en tenir

compte dans lcriture des quations de continuit et dquilibre des pertes de charge :


Q1Q2Q3=0

quilibre entre les pertes de charge et les diffrences de charge disponibles de A vers C et de B vers

C :

H AH C=R1 Q12R3 Q3

2

H BH C=R2 Q22R3Q3

2

Voici un exemple o lon introduit les dbits entrant et sortant des rservoirs comme inconnues en

plus des dbits dans les conduites :


58


Q AQ1Q2=0QBQ1Q3=0Q2Q3QC=0

quilibre entre les pertes de charge et les diffrences de charge disponibles de A vers B, de B vers C

et de A vers C :

H AH B=R1Q12

H BH C=R3 Q32

H AH C=R2 Q22

3.6.2 Formulation gnrale

Voici les dfinitions et les rgles appliquer lanalyse dun circuit hydraulique :

1) Dans un circuit hydraulique, les points de jonction sont appels NUDS.

2) On tablit des liens entre les diffrentes charges connues dans le circuit (niveau de

rservoir) de faon pouvoir exprimer une diffrence de charge sur ces liens. Si R est le

nombre de rservoirs, le nombre de liens sera R-1.

3) On dfinit comme MAILLES, les circuits ferms du systme, y compris ceux forms par les

liens entre les rservoirs

4) On crit pour chaque nud, la continuit des dbits en tenant compte du signe des dbits

aux nuds :

N=i , j , k

N QN=0

N est le numro des dbits connects un nud et N reprsente le signe du dbit et vaut -1

ou 1.

La convention de signe peut tre :

59

--

+


et doit tre conserve pour tous les nuds

5) Pour chaque maille, on exprime la conservation de lnergie en faisant la somme algbrique

(positif dans le sens du dbit et ngatif en sens inverse) tel que :

M=i , j , k ,

M H M=0

M est le numro des dbits le long du parcours de la maille et M reprsente le signe du dbit

et vaut -1 ou 1.

La convention de signe peut tre :

et doit tre conserve pour toutes les mailles.

6) Dans les quations de mailles, on remplace les pertes de charge par une fonction du dbit,

pour les conduites, on crit :

H i=Ri Qi2=RiQ 0 iQi

7) On vrifie que lon a autant dinconnues que dquations. Si on a trop dquations, en

gnral, cest quil y a une quation de continuit redondante. Il suffit den liminer une.

8) On applique une mthode de rsolution itrative.

60

Documents

Systèmes Hydrauliques