Systèmes mécaniques et électriques

Systèmes mécaniques et électriques

Guy Gauthier

SYS-823 : Été 2011

ANALYSE DE SYSTÈMES MÉCANIQUES

2Modèles mécaniques et électriques

Système mécanique minimaliste

Système masse-ressort-amortisseur:


Système mécanique minimaliste

Diagramme des corps libres:


Système mécanique

Équation dynamique du système:

Transformée de Laplace:

2

2( ) ( ) 0vd x dxf t M f Kx tdt dt

2

( ) 1( ) v

X sF s Ms f s K


Méthode duLagrangien

Énergie cinétique:

Énergie potentielle:

212cE Mx

212pE Kx

Basée sur une analyse énergétique



Lagrangien:

A partir du Lagrangien, on calcule:

2 21 12 2c pL E E Mx Kx

d L Mxdt x

L Kxx



Et, la différence de ces deux termes est égal aux forces externes:

Ce qui donne:

( ) vd L L f t f xdt x x

( )vMx f x Kx f t


Passage aux équations dans l’espace d’état

Posant:

On obtient:

1

2 1

x xx x x

1 2

2 1 2

1

1 ( )v

x xfKx x x f t

M M Mx x


Système mécanique à 2 degrés de liberté

Schéma:



Diagramme des corps libres: Masse 1:



Équation de la masse 1:

3

1 2

22 2 2 1 1

1 1 2 1

( )

0

v

v v

F s f sX K X M s X

f f sX K K X



Diagramme des corps libres: Masse 2:



Équation de la masse 2:

Donc:

3

2 3

21 2 1 2 2

2 2 3 2 0

v

v v

f sX K X M s X

f f sX K K X

2 3

3

22 2 3

1 22

v v

v

M s f f s K KX X

f s K



Équation de l’ensemble:

3

1 2

2 3 3

22

21 1 2

222 2 3 2

( )( )

v

v v

v v v

f s KX sF s M s f f s K K

M s f f s K K f s K



Passage aux équations d’état:

1 2 3

3 2 3

1 1

1 2 1 1 2 1 12 2 1

3 3

4 42 2 2 2 3 2 2

1

22

3

4

0 1 0 0 01

( )0 0 0 1 0

0

0 0 1 0

v v v

v v v

z zK K M f f M K M f Mz z M

F sz zz zK M f M K K M f f M

zz

y xzz



Cette fois-ci, utilisons la méthode du Lagrangien:


Sys. 2 DDL

Énergie cinétique dans le système:

Énergie potentielle dans le système:

2 21 1 2 2

1 12 2cE M x M x

22 21 1 2 1 2 3 2

1 1 12 2 2pE K x K x x K x


Sys. 2 DDL

Ce qui donne ce Langrangien:

2 2 21 1 2 2 1 1

2 22 1 2 3 2

1 1 12 2 21 12 2

c pL E E

M x M x K x

K x x K x


1 11

d L M xdt x

2 22

d L M xdt x

1 1 2 1 21

L K x K x xx

2 1 2 3 22

L K x x K xx

Sys. 2 DDL

Avec la variable x1, on calcule:

De même avec la variable x2:


1 31 1 2

1 1

( ) v vd L L f t f x f x xdt x x

1 3

1 3

1 1 1 1 2 1 2 1 1 2

21 1 1 1 2 1 2 1 1 2

( )

( )v v

v v

M x K x K x x f x f x x f t

M s X K X K X X f sX f s X X F s

Sys. 2 DDL

Avec la variable x1, on obtient finalement:

Ou:


2 32 2 1

2 2v v

d L L f x f x xdt x x

2 3

2 3

2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

22 2 2 2 1 3 2 2 2 1

0

0v v

v v

M x K x x K x f x f x x

M s X K X X K X f sX f s X X

Sys. 2 DDL

Et, avec la variable x2, on obtient finalement:

Ou:


ANALYSE DE SYSTÈMES ÉLECTRIQUES

Modèles mécaniques et électriques 23

Circuit électrique

Circuit RLC:


Circuit électrique

Circuit RLC:


1( ) 0div t L Ri idtdt C

1( ) ( )V s Ls R I sCs


Circuit électrique

Or:

Ainsi:

1( ) ( ) ( )c cv t idt I s CsV sC

2

( ) 1( ) 1cV sV s LCs RCs


Second circuit


Second circuit

Loi des mailles (Kirchoff):

De la 2e équation, on trouve:

1 1 1 2

2 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1( ) ( ) ( ) ( ) 0

V s R I s Ls I s I s

Ls I s I s R I s I sCs

22

1 22

1( ) ( )LCs R CsI s I sLCs


Second circuit

Cette équation dans la première mène à:

D’où finalement:

2

2 21 2 1 2 1

( ) ( )LCsI s V sR R LCs L R R C s R

21 2 1 2 1

( ) ( )CLsV s V s

R R LCs L R R C s R


Troisième circuit électrique

Modèles mécaniques et électriques 30

Troisième circuit

Forme matricielle:

Ainsi:

1

2

3

2 2 (2 1) 1(2 1) 9 1 4 0

1 01 4 4 1

s s I Vs s s I

Is s s

3 2

24 3 2

8 10 3 124 30 17 16 1

I s s sV s s s s


Moteur électrique à CC

Schéma de principe:


Moteurélectrique

Équation électrique:


( )( ) ( ) ( ) 0bdi tv t Ri t L K tdt

Force contre-électromotrice

( ) ( ) ( ) 0bV s R Ls I s K s


Moteur électrique

Équation mécanique:

A vide (TL = 0):

( )m t a LT K i t T T

( )( ) ( )t a ad tK i t J B tdt

( ) ( )a a ad tT J B tdt


Moteur électrique

Ainsi:


( )( ) ( )a a

t t

J Bd ti t tK dt K

( ) ( )a a

t t

J BI s s sK K


Fonction de transfert du moteur à CC

Combinons les équations mécaniques et électriques:

( ) ( ) ( ) 0a ab

t t

J BV s R Ls s s K s

K K


Fonction de transfert du moteur à CC

Ce qui mène à:

( ) 1( ) a a

bt t

sV s J BR Ls s K

K K


Hypothèse simplificatrice

La valeur de l’inductance L est généralement négligeable:

( )( )

t

a

a t b

a a

KRJsB K KV s sJ RJ


Manipulateur à une articulation

Schéma du manipulateur:


Énergies

Énergie potentielle:

Énergie cinétique

2 2 222 2

1 12 2c m m l m m

IE I I In

1 cos

1 cosp l

m

E Mgl

Mgl n


Lagrangien

Le voici:

Donc:

222

1 1 cos2c p m m m

IL E E I Mgl nn

22m m

m

Id L Idt n

1 sin m

m

L Mgln n


Dynamique du manipulateur

Or:

Ce qui donne:

2l

m mm m

Bd L L Bdt n

22 2 sinl m

m m m mBI MglI B

n n n n


Robot cartésien à deux articulations

On défini le système de coordonnées généralisé q1 et q2.

La vitesse du centre de masse de l’articulation #1 est:

1

11

2

0 00 01 0

cc v

qv J q

q



Schéma :



La vitesse du centre de masse de l’articulation #2 est:

2

12

2

0 00 11 0

cc v

qv J q

q


Énergie cinétique

C’est:

Matrice d’inertie:

1 1 2 21 212 c c c c

T T Tv v v vK q m J J m J J q

1 2

2

00

m mD

m


Énergie potentielle

C’est: 1 1 2 1 1 2 1V gm q gm q g m m q


Lagrangien

Le voici:

Et on calcule:

1 2 112

TL q Dq g m m q

1 2 11

d L m m qdt q

1 2

1

L m m gq

2 22

d L m qdt q

2

0Lq


Modèle du système:

On l’obtient de:

Ce qui donne: 1 2 1 1 2 1

2 2 2

m m q m m g

m q

ii i

d L Ldt q q

Mq G


Équation bien connue en robotique

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