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Systèmes mécaniques et électriques. Guy Gauthier SYS-823 : Été 2010. Système mécanique. Système masse-ressort-amortisseur:. Système mécanique. Diagramme des corps libres:. Système mécanique. Équation dynamique du système: Transformée de Laplace:. Lagrangien. Énergie cinétique: - PowerPoint PPT Presentation
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Systèmes mécaniques et électriques
Guy Gauthier
SYS-823 : Été 2010
Système mécanique
Système masse-ressort-amortisseur:
Système mécanique
Diagramme des corps libres:
Système mécanique
Équation dynamique du système:
Transformée de Laplace:
2
2( ) ( ) 0v
d x dxf t M f Kx t
dt dt
2
( ) 1
( ) v
X s
F s Ms f s K
Lagrangien
Énergie cinétique:
Énergie potentielle:
21
2cE Mx
21
2pE Kx
Lagrangien
Lagrangien:
Ainsi:
2 21 1
2 2c pL E E Mx Kx
d LMx
dt x
L
Kxx
Lagrangien
Or:
Ce qui donne:
( ) v
d L Lf t f x
dt x x
( )vMx f x Kx f t
Passage aux équations dans l’espace d’état
Posant:
On obtient:
1
2 1
x x
x x x
1 2
2 1 2
1
1( )v
x x
fKx x x f t
M M Mx x
Système à 2 degrés de liberté
Schéma:
Système à 2 degrés de liberté
Diagramme des corps libres: Masse 1:
Système à 2 degrés de liberté
Équation de la masse 1:
3
1 2
22 2 2 1 1
1 1 2 1
( )
0
v
v v
F s f sX K X M s X
f f sX K K X
Système à 2 degrés de liberté
Diagramme des corps libres: Masse 2:
Système à 2 degrés de liberté
Équation de la masse 2:
Donc:
3
2 3
21 2 1 2 2
2 2 3 2 0
v
v v
f sX K X M s X
f f sX K K X
2 3
3
22 2 3
1 22
v v
v
M s f f s K KX X
f s K
Système à 2 degrés de liberté
Équation de l’ensemble:
3
1 2 2 3 3
2222 2
1 1 2 2 2 3 2
( )
( )v
v v v v v
f s KX s
F s M s f f s K K M s f f s K K f s K
Système à 2 degrés de liberté
Passage à l’équation d’état:
1 2 3
3 2 3
1 1
1 2 1 1 2 1 12 2 1
3 3
4 42 2 2 2 3 2 2
1
22
3
4
0 1 0 0 0
1( )
0 0 0 1 0
0
0 0 1 0
v v v
v v v
z zK K M f f M K M f Mz z M
F sz z
z zK M f M K K M f f M
z
zy x
z
z
Système à 2 degrés de liberté
Cette fois-ci, utilisons le Lagrangien:
Sys. 2 DDL
Énergie cinétique dans le système:
Énergie potentielle dans le système:
2 21 1 2 2
1 1
2 2cE M x M x
22 21 1 2 1 2 3 2
1 1 1
2 2 2pE K x K x x K x
Sys. 2 DDL
Ce qui donne ce Langrangien:
2 2 21 1 2 2 1 1
2 22 1 2 3 2
1 1 1
2 2 21 1
2 2
c pL E E
M x M x K x
K x x K x
1 11
d LM x
dt x
2 22
d LM x
dt x
1 1 2 1 21
LK x K x x
x
2 1 2 3 22
LK x x K x
x
Sys. 2 DDL
Avec la variable x1, on calcule:
De même avec la variable x2:
1 31 1 2
1 1
( ) v v
d L Lf t f x f x x
dt x x
1 3
1 3
1 1 1 1 2 1 2 1 1 2
21 1 1 1 2 1 2 1 1 2
( )
( )
v v
v v
M x K x K x x f x f x x f t
M s X K X K X X f sX f s X X F s
Sys. 2 DDL
Avec la variable x1, on obtient finalement:
Ou:
2 32 2 1
2 2v v
d L Lf x f x x
dt x x
2 3
2 3
2 2 2 1 2 3 2 2 2 1
22 2 2 2 1 3 2 2 2 1
0
0
v v
v v
M x K x x K x f x f x x
M s X K X X K X f sX f s X X
Sys. 2 DDL
Et, avec la variable x2, on obtient finalement:
Ou:
Circuit électrique
Circuit RLC:
Circuit électrique
Circuit RLC:
Transformée de Laplace:
1( ) 0
div t L Ri idt
dt C
1( ) ( )V s Ls R I s
Cs
Circuit électrique
Or:
Ainsi:
1( ) ( ) ( )c cv t idt I s CsV s
C
2
( ) 1
( ) 1cV s
V s LCs RCs
Second circuit
Second circuit
Loi des mailles (Kirchoff):
De la deuxième équation, on trouve:
1 1 1 2
2 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0
1( ) ( ) ( ) ( ) 0
V s R I s Ls I s I s
Ls I s I s R I s I sCs
22
1 22
1( ) ( )
LCs R CsI s I s
LCs
Second circuit
Cette équation dans la première mène à:
D’où finalement:
2
2 21 2 1 2 1
( ) ( )LCs
I s V sR R LCs L R R C s R
21 2 1 2 1
( ) ( )C
LsV s V s
R R LCs L R R C s R
Troisième circuit électrique
Troisième circuit
Forme matricielle:
Ainsi:
1
2
3
2 2 (2 1) 1
(2 1) 9 1 4 0
1 01 4 4 1
s s I V
s s s I
Is s s
3 22
4 3 2
8 10 3 1
24 30 17 16 1
I s s s
V s s s s
Moteur électrique à CC
Schéma de principe:
Moteurélectrique
Équation électrique:
Transformée de Laplace:
( )( ) ( ) ( ) 0b
di tv t Ri t L K t
dt
Force contre-électromotrice
( ) ( ) ( ) 0bV s R Ls I s K s
Moteur électrique
Équation mécanique:
A vide (TL = 0):
( )m t a LT K i t T T
( )( ) ( )t a a
d tK i t J B t
dt
( )( )a a a
d tT J B t
dt
Moteur électrique
Ainsi:
Transformée de Laplace:
( )( ) ( )a a
t t
J Bd ti t t
K dt K
( ) ( )a a
t t
J BI s s s
K K
Fonction de transfert du moteur à CC
Combinons les équations mécaniques et électriques:
Ce qui mène à:
( ) ( ) ( ) 0a ab
t t
J BV s R Ls s s K s
K K
( ) 1
( )a a
bt t
s
V s J BR Ls s K
K K
Hypothèse simplificatrice
La valeur de l’inductance L est généralement négligeable:
( )
( )
t
a
a t b
a a
K
RJsB K KV s sJ RJ
Manipulateur à une articulation
Schéma du manipulateur:
Énergies
Énergie potentielle:
Énergie cinétique
2 2 222 2
1 1
2 2c m m l m m
IE I I I
n
1 cos
1 cos
p l
m
E Mgl
Mgl n
Lagrangien
Le voici:
Donc:
222
11 cos
2c p m m m
IL E E I Mgl n
n
22m m
m
Id LI
dt n
1sin m
m
LMgl
n n
Dynamique du manipulateur
Or:
Ce qui donne:
2l
m mm m
Bd L LB
dt n
22 2
sinl mm m m m
BI MglI B
n n n n
Robot cartésien à deux articulations
On défini le système de coordonnées généralisé q1 et q2.
La vitesse du centre de masse de l’articulation #1 est:
1
11
2
0 0
0 0
1 0cc v
qv J q
q
Robot cartésien à deux articulations
Schéma :
Robot cartésien à deux articulations
La vitesse du centre de masse de l’articulation #2 est:
2
12
2
0 0
0 1
1 0cc v
qv J q
q
Énergie cinétique
C’est:
Matrice d’inertie:
1 1 2 21 2
1
2 c c c c
T T Tv v v vK q m J J m J J q
1 2
2
0
0
m mD
m
Énergie potentielle
C’est:
1 1 2 1 1 2 1V gm q gm q g m m q
Lagrangien
Le voici:
Et on calcule:
1 2 1
1
2TL q Dq g m m q
1 2 11
d Lm m q
dt q
1 2
1
Lm m g
q
2 22
d Lm q
dt q
2
0L
q
Modèle du système:
On l’obtient de:
Ce qui donne:
1 2 1 1 2 1
2 2 2
m m q m m g
m q
ii i
d L L
dt q q
Dq G
