Td Maths Fin Corriges

Solutions exercices

Chapitre 11. Rponse:Intrts simples : 39 750 .

Intrts composs : 41 102,6 .

3. Rponse:Dans 35 ans.

5. Rponse1 000 aujourdhui.

8. Rponse:Intrts simples : 28 ans, 6 mois et 26 jours.

Intrts composs : 16 ans, 2 mois et 27 jours.

Chapitre 22. Rponse:Intrts simples : 30 075,19 .

Intrts composs : 29 032,05 .

3. Rponse:Le montant placer est de 2 233,58 .

Nous pourrons partir dans 11 ans, 10 mois et 24 jours.

Le taux minimum est de 7,18 %.

5. Rponse:Intrts simples : 8 %.

Intrts composs : 8,24 %.

Rponse:Faux.

0,985 %.

6. Rponse:15 672,87 .

Chapitre 31. Rponse:

C0 =10000*1(1+0,05)5

0,05

C0 = 43294,77

Commentaire : cet exercice rsulte du calcul de lac-tualisation dune annuit ordinaire de 10 000 sur 5 ans au taux de 5 %.

2. Rponse:

C10 =1500*

(1,0275)10 1

0,0275=16999,15

Commentaire : cet exercice rsulte du calcul de la capitalisation dune annuit ordinaire de 1 500 pendant 10 ans au taux de 2,75 %.

3. Rponse:

25000= A 1(1+0,05)10

0,05

A = 3237,61

Commentaire : cet exercice rsulte du calcul dune annuit ordinaire sur un capital initial de 25 000 pendant 10 ans au taux de 5 %.

4. Rponse:

30000=5000 1(1+0,045)n

0,045

n= 7,15

7,151= 7,15 ans

0,1512=1,8 mois

0,830= 24 jours

2 Mathmatiques financires

Commentaire : cet exercice utilise la formule de lactualisation dannuits ordinaires dans laquelle la dure est linconnue. La solution donne 7,15 annes. Pour obtenir le nombre de mois, on dduit 7 et on multiplie 0,15 par 12, ce qui donne 1,8 mois; pour le nombre de jours, on multiplie 0,8 par 30, ce qui donne 24 jours.

5. Rponse:

20000= 2500 1(1+ r)10

r

r = 4,3%

Commentaire : cet exercice utilise la formule de lactualisation dannuits ordinaires dans laquelle le rendement est linconnue. La solution est trouve par solveur ou approximation linaire.

9. Rponse:

150000 = A1(1+ 0,035)20

0,035*

1

1,0352

A =11305,88

Commentaire : la formule de lactualisation des 20 annuits ordinaires donne le capital au temps 2. Il faut donc actualiser ce rsultat de 2 pour obtenir le montant au temps 0.

13.Rponse:

C0 =

100

0,08=1250

Commentaire : cet exercice rsulte du calcul de la valeur actuelle dune perptuit constante de 100 .

16.Rponse:

40000=200

rm

rm = 0,005

Commentaire : cet exercice rsulte du calcul de la valeur actuelle dune perptuit mensuelle constante dont linconnue est le taux dintrt. Comme les flux sont mensuels, le taux trouv sera lui aussi mensuel.

17.Rponse:

80*

1(1+ 2,5%)20 *(1+6%)20

6% 2,5%=1117,88

Commentaire : cet exercice rsulte du calcul de la valeur actuelle dune annuit ordinaire de 80 croissante au taux de 2,5 %.

3 Solutions exercices


a. VAN (3 %) = 30 M ; VAN (6 %) = +52 M.b. La VAN

est une fonction croissante du taux dactualisation.

225

175

125

75

Val

eur a

ctue

lle n

ette

()

25

25

75

125

2 % 6 %

Taux dactualisation

8 % 10 % 12 % 14 %4 %

c. TRI = 4,0591 %.

TRI calcul par la mthode de Newton-Raphson

Itration ri VAN(ri) VAN(ri)

1 0,020000 60,5284 3078,03

2 0,039665 2,6043 2818,09

3 0,040589 0,0053 2806,58

4 0,040591 0,0000 2806,56

5 0,040591 0,0000 2806,56

6 0,040591 0,0000 2806,56

7 0,040591 0,0000 2806,56

8 0,040591 0,0000 2806,56

9 0,040591 0,0000 2806,56

10 0,040591 0,0000 2806,56

2. Rponse:a. VAN (5 %) = 12,471 .b. VAN (r

c = 2 % ; r = 5 %) = 10,581 .


3. Rponse:a.

VAN0(3%)= 200002500

1+ 0,03( )1 +5400

1+ 0,03( )2 300

1+ 0,03( )3 +11000

1+ 0,03( )4 +14500

1+ 0,03( )5= 20000 2427+5090 276+ 9773+12508

= 4669

b.

VANI0 2%,3%( ) = 20000 2500 1+ 0,02( )4

1+ 0,03( )5 +5400 1+ 0,02( )3

1+ 0,03( )5 300 1+ 0,02( )2

1+ 0,03( )5

+11000 1+ 0,02( )1

1+ 0,03( )4 +14500

1+ 0,03( )5= 20000 2334+ 4943 269+ 9678+12508 = 4526

c. TRI = 8,0374 %.d. TRII (r

c = 2 %) = 7,2893 %.

e. TRII (rc = 8 %) = 8,0329 %.

8. Rponse:Les flux nets de trsorerie sont donc : [1000 ; +250 ; +250 ; +250 ; +250 ].

1 000 +250 +250 +250 +250 +250

0 1 2 3 4 5Annes

Cash-flows ()

TRI calcul par la mthode des chances moyennes

Itration TRIi v c* C d* D TRI

1 0,020000 0,980392 0 1000 2,980199 1250 0,077750

2 0,077750 0,927859 0 1000 2,925215 1250 0,079268

3 0,079268 0,926554 0 1000 2,923813 1250 0,079307

4 0,079307 0,926520 0 1000 2,923777 1250 0,079308

5 0,079308 0,926519 0 1000 2,923776 1250 0,079308

6 0,079308 0,926519 0 1000 2,923776 1250 0,079308

7 0,079308 0,926519 0 1000 2,923776 1250 0,079308

8 0,079308 0,926519 0 1000 2,923776 1250 0,079308

9 0,079308 0,926519 0 1000 2,923776 1250 0,079308

10 0,079308 0,926519 0 1000 2,923776 1250 0,079308


Chapitre 51. Rponse:Le montant rembourser au bout de 2 ans est de : 37 904 .

2. Rponse:Le montant rembourser au bout de 3 ans est de : 28 354 .

5. Rponse:Anne1.Lannuit est de : 20 511,05 ; lintrt est de : 5 184 ; la part de capital est de : 15 327,05 .

Anne2.Lintrt est de : 4 264,38 ; la part de capital est de : 16 246,67 ; le solde restant d est de : 54 826,28 .

7. Rponse:a. Le montant de lannuit constante est de : 33 694,07 .b. La part de capital lanne 2 est de : 28 801,83 .c. Le solde restant d au bout de 3 ans est de : 63 550,20 .d. La part dintrt la quatrime anne est de : 2 542 .

Chapitre 62. Rponse:La valeur nominale, V, est de 500 .

Le taux nominal, j, est de 8 %.

La dure de lobligation est de 2 ans.

R = V.

Le prix dmission est :

a. lorsque le rendement, y, = 6 % :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

E = 40

1+ 0,06( )tt =12

+ 500(1+ 0,06)2

E= 518,33 > V

b. lorsque le rendement, y, est de 8 % :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

E = 40

1+ 0,08( )tt =12

+ 500(1+ 0,08)2

E= 500 = V


c. lorsque le rendement, y, est de 10 % :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

E = 40

1+ 0,1( )tt =12

+ 500(1+ 0,1)2

E= 482,64 < V

4. Rponse:La valeur nominale, V, est de 100 .

Le taux nominal, j, est de 4,5 %.


E = R = V.

a. Le rendement, y, est de ? % :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

100 = 4,5

1+ y( )tt =110

+ 100(1+ y)10

y = 4,5%

b. E = ?, si y est de 5 % :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

E = 4,5

1+ 0,05( )tt =110

+ 100(1+ 0,05)10

E = 96,14

c. R = ?, si j est de 4 % :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

96,14 = 4

1+ 0,05( )tt =110

+ R(1+ 0,05)10

R =106,29

d. R = ?, si E = V :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

100 = 4

1+ 0,05( )tt =110

+ R(1+ 0,05)10

R =112,58


e. E = ? si R = V:

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

E = 4

1+ 0,05( )tt =110

+ 100(1+ 0,05)10

E = 92,28

f. R = 115, E = ? :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

E = 4

1+ 0,05( )tt =110

+ 115(1+ 0,05)10

E =101,49

g. R = V, si zro coupon :

E =R

(1+ y)n

E = 100

(1+ 0,05)10

E = 61,39



Le rendement, y, est de 4,26 %.


E = R = V :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

E = 4,5

1+ 0,0426( )tt =110

+ 100(1+ 0,0426)10

E =101,92


8. Rponse:Le taux nominal, j, est de 4 %.

E = ? si le rendement, y, est de 4 %, 6 % ou 8 % :

E =c

y=

4

0,04=100

E =c

y=

4

0,06= 66,67

E =c

y=

4

0,08= 50


Le taux nominal, j, est de 3 %.

Le rendement, y, est de 2,5 %.


Lamortissement constant, E = ? :

E =1

na

n

yR

c

y

+c

y

E =1

3a3

0,025 300090

0,025

+

90

0,025= 3028,79

11.Rponse:

E =2

(1,04)1+

3

(1,04)2+

4

(1,04)3+

105

(1,04)4= 98

12.Rponse:E = V = 100 .

Le rendement, y, est de 5 %.


R = ? :

E =R

(1+ y)n

100 = R

(1+ 0,05)3

R =115,76

13.Rponse:La valeur nominale, V, est de 100 .



E = R = V.


Le rendement, y, est de ? % :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

100 = 10,5

1+ y( )tt =13

+ 100(1+ y)3

y =10,5%

Si E = 102, y = ? :

E =c

1+ y( )tt =1n

+ R(1+ y)n

102 = 10,5

1+ y( )tt =13

+ 100(1+ y)3

y = 9,7%

18.Rponse:

Obligation Taux nominal

chance Prix dmission

Prix de remboursement

Rendement

A 4% 3ans 102,83 100% 3%

B 5% 5ans 104,45 100% 4%

C 4,5% 4ans 101,81 100% 4%

D 0% 2ans 98% 105% 3,5%

20.Rponse:

cc = 41

2= 2

P1,50,02(*)=

4

(1,02)0,5+

104

(1,02)1,5 2

P1,50,02(*)=104,92 2

21.Rponse:Si lobligation est mise et rembourse au pair, j = y = 5 %.

Valeur nominale 5000

Taux nominal 0,05

Coupon 250

Remboursement 5000

y 0,05


Calcul des annuits

At Atactualis au tauxy

1 1250 1190,48

2 1200 1088,44

3 1150 993,41

4 1100 904,97

5 1050 822,70

Prix dmission 5000

Si E = 5 050 , j est diffrent de y.

Valeur nominale 5000

Taux nominal 0,05

Coupon 250

Remboursement 5000

y 0,046

Calcul des annuits

At Atactualis au tauxy

1 1250 1194,68

2 1200 1096,14

3 1150 1003,99

4 1100 917,84

5 1050 837,35

Prix dmission 5050

E =1

na

n

yR

c

y

+c

y

5050 =1

5a5

y5000

250

y

+250

y=> y = 4,63%

23.Rponse:

E =c

y

100 = c

0,05c = 5, j = 5%

E =c

y

102 = c

0,05c = 5,1, j = 5,1%



F.V = P

F =

100,0 0 0 0

0 100,0 0 0

4,5 4,5 104,5 0

6,0 6,0 6,0 106,0

V =

V(0,1)

V(0,2)

V(0,3)

V(0,4)

P =

95,4654

90,7029

98,6104

101,7526

Inversons la matrice F et explicitons V :

V = F-1 P

V (0,1)

V (0,2)

V (0,3)

V (0,4)

=

0,01000 0 0 0

0 0,01000 0 0

0,00043 0,00043 0,00957 0

0,00054 0,00054 0,00054 0,00943

95,4654

90,7029

98,6104

101,7526

=

0,954654

0,907029

0,863472

0,805652

Calculons les R(0,T) par application de la relation (7.2) :

R(0,1) = 4,750 %.

R(0,2) = 5,000 %.

R(0,3) = 5,014 %.

R(0,4) = 5,551 %.

2. Rponse:R(0,1) = 10,000 %.

R(0,2) = 6,4490 %.

R(0,3) = 3,6020 %.

R(0,4) = 1,6570 %.

0 %2 %4 %6 %8 %

10 %12 %

0 1 2 3 4 5

Taux a

u c

om

ptan

t

TR(0,T)

Lgendes

3. Rponse:R(0,1) = 10,000 %.

R(0,2) = 6,4490 %.


R(0,3) = 3,6020 %.

R(0,4) = 1,6570 %.

F(0,1) = 10,000 %

F(1,2) = 3,0126 %

F(2,3) = 1,8658 %

F(3,4) = 3,9600 %

-6 %-4 %-2 %0 %2 %4 %6 %8 %

10 %12 %

0 1 2 3 4 5

Taux a

u c

om

ptan

t et

term

e

T R(0,T)Lgendes

f(T 1,T)

Chapitre 81. Rponse:a.

1 R(0,1) 0,025 P(0,1) 0,9762 R(0,2) 0,029 P(0,2) 0,9443 R(0,3) 0,031 P(0,3) 0,9124 R(0,4) 0,033 P(0,4) 0,8785 R(0,5) 0,034 P(0,5) 0,846

b.

f (0,1,2)=(1+R(0,2))2

(1+R(0,1))

1= 0,033

2. Rponse:

1 R(0,1) 0,031 P(0,1) 0,970

2 R(0,2) 0,037 P(0,2) 0,930

3 R(0,3) 0,043 P(0,3) 0,881

4 R(0,4) 0,049 P(0,4) 0,826

5 R(0,5) 0,055 P(0,5) 0,765


3. Rponse:

f (0,1,3)=(1+R(0,3))3

(1+R(0,1))

1

2

1= 0,49

4. Rponse:

F(0;1,5;1,75)=1

0,25

(1+0.025+0.0061.75)1,75

(1+0.025+0.0061.5)1,51

= 0,04382

F(0;1,5;1,75)=1

0,25

(1+0.025+0.0061.75)1,75

(1+0.025+0.0061.5)1,51

= 0,04382

5. Rponse:a.

R(0,t)= Ln(1+R(0,t))

b.

R (0, 1) 0,0305

R (0, 2) 0,0363

R (0, 3) 0,0421

R (0, 4) 0,0478

R (0, 5) 0,0535

r(0)= R(0,0)= Ln(1,025)= 0,02469

6. Rponse:

f (0,1,3)=

LnP(0,3)

P(0,1)

2=

Ln(1.025+0.0063)3

(1.025+0.0061)1

2= 0.04788

7. Rponse:a.

F(0;0,5;0,75)=1

0,25

1

1+0,050.0321

1+0,750.0355

1

= 0,0418

b.

FRA(0,75)=100000 0.0418 F(0;0,5;0,75)( )FRA(0,75)=100000 0.04180,05( )= 816,93FRA(0,75)=100000 0.04180,03( )=1183,07


9. Rponse:

P f (t)=20000

1+0,040,25+

20000

1+0,060,75= 38940,74

Pv (t)=12500

1+0,040,25+

17326,73

1+0,060,75= 28956,84

IRS = 9983,9

Chapitre 91. Rponse:a. 4,3121 annes.

b.

Taux Duration

4% 4,3717

6% 4,3422

8% 4,3121

10% 4,2814

12% 4,2501

c. 3,9927 %.

4. Rponse:a. 3,7232 annes.

b. Estimation de la valeur capitalise des coupons

Taux t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

3% 0 50 102 155 209

4% 0 50 102 156 212

5% 0 50 103 158 216

6% 0 50 103 159 219

7% 0 50 104 161 222

Estimation de la valeur actualise de lobligation

Taux t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

3% 1074 1057 1038 1019 1000

4% 1036 1028 1019 1010 1000

5% 1000 1000 1000 1000 1000

6% 965 973 982 991 1000

7% 932 948 964 981 1000


Estimation de la valeur de linvestissement

Taux t=0 t=1 t=2 t=3 t=4

3% 1074 1107 1140 1174 1209

4% 1036 1078 1121 1166 1212

5% 1000 1050 1103 1158 1216

6% 965 1023 1085 1150 1219

7% 932 998 1067 1142 1222

valuation de rentabilit de linvestissement obligataire

Taux t=0 t=1 t=2 t=3

3% 10,66% 6,76% 5,49% 4,86%

4% 7,78% 5,87% 5,24% 4,93%

5% 5,00% 5,00% 5,00% 5,00%

6% 2,33% 4,15% 4,76% 5,07%

7% -0,25% 3,31% 4,53% 5,14%

5. Rponse:4 annes.

18,5 %

15,5 %14,1 %

19,0 %17,3 %

15,7 %

1 2 5 6 73

D = 4


a. Valeur exacte de lobligation :

V (10%)=Ft

1+0,1( )tt=14

= 1001+0,1( )1 +

100

1+0,1( )2 +100

1+0,1( )3 +1100

1+0,1( )4 =1000


b. Duration et duration modifie de lobligation cet instant, considr comme linstant prsent t = 0 :

D(10%)=

tFt

1+ r( )tt =14

Ft

1+ r( )tt =14

= 3,4869annes

DM 10%( ) = D(10%)1+ 0,1( ) =3,4869

1,1= 3,1699annes

c. Convexit et convexit modifie de lobligation cet instant :

Q(10%)=

t t +1( ) Ft(1+ 0,1)tt =1

4

Ft

(1+ 0,1)tt =1

4

=16,6056annes2

QM 10%( ) = D(10%)1+ 0,1( )2 =

16,6056

1,12=13,7236annes2

2. Rponse:a. Valeur exacte de lobligation si le taux est de 12 % :

V (12%)=Ft

1+ 0,12( )tt =14

= 1001+ 0,12( )1 +

100

1+ 0,12( )2 +100

1+ 0,12( )3 +1100

1+ 0,12( )4 = 939,25b. Valeur approche de lobligation si le taux passe 12 % laide de la duration

modifie calcule lexercice 1 :

V 12%( ) =1000 3,16991000 0,02 = 936,60

c. Valeur approche de lobligation si le taux passe 12 % laide de la duration modifie et de la convexit modifie calcules lexercice 1 :

V 12%( ) =1000 3,16991000 0,02+ 13,7236

21000 0,022 = 939,35

3. Rponse:a. Duration et duration modifie :

D(12%)=

tFt

1+ r( )tt =14

Ft

1+ r( )tt =14

= 3,4693annes

DM 12%( ) = D(12%)1+ 0,12( ) =3,4693

1,12= 3,0976annes


b. Convexit et convexit modifie :

Q(12%)=

t t +1( ) Ft(1+ 0,12)tt =1

4

Ft

(1+ 0,12)tt =1

4

=16,4944annes2

QM 12%( ) = D(12%)1+ 0,12( )2 =

16,4944

1,122=13,1492annes2

Chapitre 111. Rponse:La valeur thorique est de 135 .

3. Rponse:La valeur thorique de laction est de 120 .

6. Rponse:Le taux de croissance des dividendes, g (issu de la formule de la perptuit croissante), est de 5 %.

7. Rponse:a. Le taux de rentabilit est de 7,5 %.

b. Le taux de rentabilit est de 15 %.

c. Le taux de rentabilit est de 15,18 %.

9. Rponse:

Actioni Xi Ri XiRi1 0,45 0,10 0,045

2 0,10 0,14 0,014

3 0,15 0,12 0,018

4 0,25 0,11 0,0275

5 0,05 0,10 0,005

1,00 0,1095

11.Rponse:

Scnarios Ps Ra Rb Rc1 0,20 0,08 0,08 0,09

2 0,15 0,08 0,07 0,05

3 0,10 0,05 0,03 0,02

4 0,25 0,05 0,04 0,04

5 0,30 0,03 0,02 0,01

1,00


a b c

E(Ri) 0,0545 0,0455 0,0405

Var(Ri) 0,000415 0,000555 0,000825

cart type (Ri) 0,020365 0,023553 0,028718

Covariances a b c

a 0,00041 0,00047 0,00052

b 0,00047 0,00055 0,00064

c 0,00052 0,00064 0,00082

Corrlations a b c

a 1,00 0,98 0,89

b 0,98 1,00 0,95

c 0,89 0,95 1,00

12.Rponse:

a b c

E(Ri) 0,0269 0,033 0,035

Var(Ri) 0,001322 0,001601 0,001665

cart type (Ri) 0,036366 0,040012 0,040804

Covariances a b c

a 0,00132 0,00083 0,00064

b 0,00083 0,00160 0,00106

c 0,00064 0,00106 0,00167

Corrlations a b c

a 1,00 0,57 0,43

b 0,57 1,00 0,65

c 0,43 0,65 1,00

13.Rponse:

Actions Xi E(Ri) Var(Ri) cart type (Ri)

A 0,40 0,12 0,0036 0,06

B 0,35 0,2 0,0049 0,07

C 0,25 0,15 0,0081 0,09

Corrlations A B C

A 1,0 0,8 0,5

B 0,8 1,0 0,6

C 0,5 0,6 1,0

E(Rp) 0,1555


Covariances A B C

A 0,0036 0,0034 0,0027

B 0,0034 0,0049 0,0038

C 0,0027 0,0038 0,0081

Var(Rp) 0,0038248

cart type (Rp) 0,061845

Risque totala 0,003291

Risque totalb 0,004004

Risque totalc 0,004428

Chapitre 121. Rponse:a. Lesprance de rendement de lactif risqu est de

E(R)= 0,20,5+00,5= 0,10=10%.

Calculons lesprance de lutilit de rendement de lactif risqu :

E(U(R))= U(R)Prob(R)DR

= Ln 1+0,20,5( )0,5+ Ln 1+00,5( )0,5= 0,1845

Calculons lutilit que vous confre linvestissement non risqu :

U(0,07)= Ln 1+R0,5( )= Ln 1+0,070,5( )= 0,2347

La situation certaine vous confre une utilit U(0,07) = 0,2347 alors que la situation risque vous confre une esprance dutilit de rendement E(U(R)) = 0,1845. Vous enga-gerez donc vos fonds dans lactif sans risque.

b. Calculons la valeur de R telle que 0,1845= Ln 1+R0,5( ) :

R = Exp 0,1845( )1( ) 10,5 = 0,0412= 4,12%

c. Le rendement minimum de lactif sans risque en dessous duquel vous investirez dans lactif risqu est de 4,12 %. Puisque vous pouvez investir dans un actif sans risque vous octroyant un rendement de 7 %, vous choisirez linvestissement non risqu. Vous allez donc consentir en raison de votre aversion envers le risque une perte de rendement en esprance de 3 % = (10 % 7 %).

La prime de risque maximale que vous accepteriez de payer pour vous assurer un revenu certain est de 10 % 4,12 %, soit 5,88 %.


4. Rponse:

a. Expression de la parabole : 76 Ep

2 20,8 Ep + 1,48 p

2( ) . E

M = 15,71 %

M = 29,69 %

EE = 13,21 %

E = 16,70 %

b. Proportion du portefeuille E investie dans le portefeuille M = 56,25 %.

c. Proportion du portefeuille E investie dans lactif sans risque = 43,75 %.

5. Rponse:

Ep p a1 a2 a3Portefeuille1 9,0% 29,0% 42,2% 29,7% 28,1%

Portefeuille2 10,0% 29,4% 32,5% 29,2% 38,3%

Portefeuille3 11,0% 30,6% 22,8% 28,7% 48,5%

Portefeuille4 12,0% 32,7% 13,1% 28,2% 58,7%

Portefeuille5 13,0% 35,3% 3,3% 27,8% 68,9%

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Td Maths Fin Corriges