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Corrig Exercice 1 : RGULATION DE NIVEAU.

Question 1 : Appliquer, pour chacun des modles de connaissance des constituants du systme, la transformation de Laplace. Puis indiquer sa fonction de transfert, et enfin en dduire son schma-bloc.

Composant Relation temporelle Relation dans le domaine de Laplace Schma-bloc

Moteur )t(u.K)t(dt)t(d

. mmmm

)p(U.K)p()p(.p. mmmm

m m m(p).(1 .p) K .U (p)

m m

m

(p) KU (p) 1 .p

)p(Um )p(m

p.1Km

Rducteur )t(.r)t( mv )p(.r)p( mv

v

m

(p) r(p)

)p(m )p(vr

Vanne )t(.K)t(q vve )p(.K)p(Q vve

ev

v

Q (p)K

(p)

)p(v )p(QevK

Rservoir dt

)t(dh.S)t(q)t(q se )p(H.p.S)p(Q)p(Q se

e s

H(p) 1Q (p) Q (p) S.p

)p(Qe )p(H+

- p.S1

)p(Qs

Limnimtre(capteur) )t(h.a)t(umes

)p(H.a)p(Umes

mesU (p) aH(p)

)p(H )p(Umesa

Rgulateur (comparateur + correcteur)

)t(u)t(u)t( mesc

)t(.A)t(um

mc mes

U (p) U (p) U (p)A

m

c mes

U (p) AU (p) U (p)

)p(Uc )p(Um+

-A

)p(Umes

(p)

Le modle de connaissance du potentiomtre (transducteur) n'est jamais donn dans les sujets de concours, il faut donc le retrouver !

Question 2 : Donner cette relation entre ch (t) et cu (t)qui assure que (t) soit bien une image de lerreur du niveau deau. En dduire le schma-bloc correspondant au potentiomtre.

Le potentiomtre reprsente le transducteur du schma du cours. )p(U)p(U)p( mesc

)p(H).p(F)p(H).p(F)p( capteurcurtransducte

Pour que soit limage de lerreur, il faut que tecapteururtransducte CK)p(F)p(F

Ainsi )p(Er.K)p(H)p(H.K)p( c et est donc proportionnel l'erreur. Dans cet exercice, K vaut a.

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Composant Relation temporelle Relation dans le domaine de Laplace Schma-bloc

Potentiomtre(transducteur) )t(h.a)t(u cc

)p(H.a)p(U cc

c

c

U (p)a

H (p)

)p(Hc )p(Uca

La relation entre vitesse angulaire )t(m et position angulaire )t(m du moteur, n'est aussi jamais donne dans les sujets de concours, il faut donc la connatre.

Question 3 : Donner donc cette relation temporelle gnrale qui lie vitesse et position. En dduire le schma-bloc qui passe de m(p) m(p)

La vitesse instantane linaire est la drive de la position linaire :dt

)t(dv)t(v .

De mme, la vitesse instantane angulaire est la drive de la position angulaire : dt

)t(d)t( mm

.

Composant Relation temporelle Relation dans le domaine de Laplace Schma-bloc

Intgrateur (composant

"virtuel") dt)t(d

)t( mm

)p(.p)p( mm

m

m

(p) 1(p) p

)p(m )p(mp1

Ce bloc est appel intgrateur car la vitesse angulaire est intgre en position angulaire

Question 4 : Donner la variable dentre et la variable de sortie du systme. Puis, reprsenter le schma-bloc du systme entier en prcisant le nom des constituants sous les blocs, ainsi que les flux dnergie ou dinformation entre les blocs.

Variable d'entre (consigne) : )t(hcVariable de sortie asservir : )t(h

+-

+-)p(Uc

)p(Umes

Aa)p(Hc )p(

p.1Km

)p(Um )p(m

p1

intgrateur moteur correcteurpotentiomtre

rrducteur

)p(mvK

vanne

)p(v )p(Qe

)p(Qs

p.S1

rservoir

)p(H

acapteur

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Question 5 : Dterminer les fonctions de transfert 0)p(Qc

1s

)p(H)p(H)p(F

et 0)p(Hs

2c

)p(Q)p(H)p(F

.

Si 0)p(Qs alors le schma est similaire :

+-

)p(Uc

)p(Umes

Aa)p(Hc )p(

p.1Km

)p(Um )p(m

p1

intgrateur moteur correcteurpotentiomtre

rrducteur

)p(mvK

vanne

)p(v )p(Qep.S

1

rservoir

)p(H

acapteur

1

Donc

p.S1.1.K.r.

p1.

p.1K

.A.a1

p.S1.1.K.r.

p1.

p.1K

.A.a

)p(H)p(H)p(F

vm

vm

0)p(Qc1

s

vm

vm

0)p(Qc1 K.r.K.A.ap.S.p).p.1(

K.r.K.A.a

)p(H)p(H)p(F

s

vm32

vm

0)p(Qc1

K.r.K.A.ap.S.p.S

K.r.K.A.a)p(H

)p(H)p(Fs

3

vm

2

vmvm

vm

0)p(Qc1

p.K.r.K.A.a

S.p.K.r.K.A.a

S1

1K.r.K.A.aK.r.K.A.a

)p(H)p(H)p(F

s

3

vm

2

vm0)p(Qc

1p.

K.r.K.A.aS.p.

K.r.K.A.aS1

1)p(H

)p(H)p(Fs

Ainsi si 0)p(Qs alors )p(H).p(F)p(H c1

On multiplie le numrateur et le dnominateur, par le dnominateur du dnominateur

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Si 0)p(Hc alors le schma est similaire :

+-

)p(Umes

A)p(

p.1Km

)p(Um )p(m

p1

intgrateur moteur correcteur

rrducteur

)p(mvK

vanne

)p(v )p(Qe

)p(Qs

p.S1

rservoir

)p(H

acapteur

1

Donc

p.S1.K.r.

p1.

p.1K

.A).1.(a1

p.S1

)p(Q)p(H)p(F

vm0)p(Hs

2c

vm0)p(Hs2 K.r.K.A.ap.S.p).p.1(

p).p.1()p(Q

)p(H)p(Fc

vm32

2

0)p(Hs2

K.r.K.A.ap.S.p.S

p.p)p(Q

)p(H)p(Fc

c

2

22 3s m vH (p) 0

m v m v

.p1H(p) p pF (p) .

S .SQ (p) a.A.K .r.K 1 .p .pa.A.K .r.K a.A.K .r.K

3

vm

2

vm

vm0)p(Hs2

p.K.r.K.A.a

S.p.K.r.K.A.a

S1

p.1.K.r.K.A.a

p)p(Q

)p(H)p(Fc

Ainsi si 0)p(Hc alors )p(Q).p(F)p(H s2

Question 6 : En dduire, laide du thorme de superposition, lexpression de )p(Q)p(Hf)p(H sc .

Si les 2 entres sont prsentes en mme temps, le thorme de superposition nous donne :

)p(Q).p(F)p(H).p(F)p(H s2c1

Il nous suffit maintenant, compte tenu de la nature des 2 entres (impulsion, chelon, rampe), de remonter dans le domaine temporel, pour visualiser l'volution du niveau d'eau h(t)

On multiplie le numrateur et le dnominateur, par le dnominateur du dnominateur