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Notions essentielles de statistique Livret 3/4 LA MÉTHODE STATISTIQUE Tests relatifs aux variances et aux moyennes Youcef Elmeddah

Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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Page 1: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

Notions essentielles de

statistique Livret 3/4

LA MÉTHODE STATISTIQUE

Tests relatifs aux variances

et aux moyennes

Youcef Elmeddah

Page 2: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

Table des matières

AVERTISSEMENT ..................................................................................................... 1

PRÉREQUIS INDISPENSABLES À L'ÉTUDE DE CE LIVRET… ............................................................... 1

COMMENT TRAITER UN EXERCICE DE STATISTIQUE ? ...................................................................... 1

CONSEILS GÉNÉRAUX DE TRAVAIL ........................................................................................................... 2

Séquence de travail n° 1 3

COMPARAISON DE DEUX VARIANCES .................................................................. 3

I. POSITION DU PROBLÈME ET NOTATIONS ............................................................................................ 4

II. TEST DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES EXPÉRIMENTALES - TEST

D'HOMOGÉNÉITÉ ..................................................................................................................................... 5

III. APPLICATIONS ............................................................................................................................................ 6

Séquence de travail n° 2 9

TESTS RELATIFS AUX MOYENNES ........................................................................ 9

RAPPELS DE BASE ET NOTATIONS ............................................................................................................ 10

I. COMPARAISON D'UNE MOYENNE OBSERVÉE X À UNE MOYENNE THÉORIQUE

(µO) : TEST DE CONFORMITÉ ............................................................................................................. 11

1. La variance de la population s2 est connue .................................................................. 11

2. La variance de la population s2 est inconnue ............................................................... 13

II. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR DES ÉCHANTILLONS

INDÉPENDANTS....................................................................................................................................... 15

1. Cas des populations de même variance : s12 = s22 ...................................................... 15

2. Cas des populations de variances inégales : s12 ≠ s22 .................................................. 18

1 . Cas des grands échantillons : n1 ≥30 et n2 ≥ 30 .................................................... 18

2. Cas des petits échantillons : n1 < 30 et n2 < 30 ...................................................... 19

3. Résumé des comparaisons de deux moyennes observées sur des échantillons

indépendants ...................................................................................................................... 20

III. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR DES ÉCHANTILLONS

APPARIÉS .................................................................................................................................................. 21

1. Cas des grands échantillons .......................................................................................... 22

2. Cas des petits échantillons .......................................................................................... 22

Annexes et tables statistiques 25

ANNEXE I ................................................................................................................. 26

RÈGLE DE DÉCISION DANS LE CAS DES TESTS UNILATÉRAUX ...................................................... 26

ANNEXE II ................................................................................................................ 29

COMMENT RECHERCHER L'ÉVENTUELLE NORMALITÉ D'UNE DISTRIBUTION ?

L'ÉPREUVE DE NORMALITÉ ............................................................................................................... 29

Page 3: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

II

ANNEXE III ............................................................................................................... 32

MÉTHODE DE RÉSOLUTION D'UN TEST D'HYPOTHÈSES .................................................................. 32

TABLE I .................................................................................................................... 33

TABLE DE LA DISTRIBUTION NORMALE RÉDUITE ............................................................................. 33

TABLE II ................................................................................................................... 34

TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE, RÉDUITE N (0,1) OU TABLE DE L'ÉCART

RÉDUIT ...................................................................................................................................................... 34

TABLE III .................................................................................................................. 35

TABLE DE STUDENT ....................................................................................................................................... 35

TABLE IV ................................................................................................................. 36

TABLE DU C2 .................................................................................................................................................. 36

TABLE V-A ............................................................................................................... 37

TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL (A = 0,05)................................................. 37

TABLE V-B .............................................................................................................. 38

TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL (A = 0,05) .................................................... 38

TABLE VI-A .............................................................................................................. 39

TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL (A = 0,01).................................................. 39

TABLE VI-B ............................................................................................................. 40

TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL (A = 0,01) .................................................... 40

BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................... 41

Page 4: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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Avertissement

AVERTISSEMENT

Ce document se propose de vous fournir l'essentiel des connaissances qui vous permettront de

mieux comprendre les concepts et les outils de la statistique. C'est un ouvrage d'initiation dont

l'objectif principal est l'acquisition des techniques de base de la statistique ainsi que

l'interprétation des résultats qui en découlent. Pour cela, les fondements mathématiques des

théories exposées ne sont pas développés. Nous avons pensé que ce document est destiné

surtout à des utilisateurs de l'outil statistique et non à des théoriciens.

Afin de répondre aux difficultés que rencontrent les étudiants pour transposer les

connaissances théoriques à l'application pratique, le document réunit l'essentiel des

connaissances avec de nombreux exemples d'application illustrant les parties théoriques.

Les connaissances importantes, qu'il faut absolument garder à l'esprit, sont

signalées en grisé dans le texte.

Les connaissances s’enchaînent dans un ordre logique. Chaque nouvelle notion introduite

suppose que d’autres notions sont connues.

En commençant par découvrir ces nouvelles notions, notamment à l’aide des exemples

proposés, vous pouvez rencontrer des difficultés dues à une mauvaise assimilation de notions

précédentes.

Il faut donc systématiquement revenir en arrière et reprendre le cours mal assimilé. Ces allers

et retours dans le cours sont presque inévitables. Ne soyez donc pas découragés pour autant.

Vous verrez alors que, petit à petit, les nouvelles notions s’éclaircissent et se mémorisent de

mieux en mieux.

PRÉREQUIS INDISPENSABLES À L'ÉTUDE DE CE LIVRET…

Dans ce livret, on expose d'abord les problèmes relatifs à la comparaison de deux variances

puis ceux relatifs à la comparaison de deux moyennes en distinguant les différentes

éventualités possibles.

Pour une meilleure assimilation des connaissances exposées, l'étude de ce livret suppose une

bonne connaissance du principe des tests statistiques, de la formulation et la résolution des

problèmes de statistique.

Si vous avez des difficultés à remobiliser ces notions supposées acquises, reportez-vous au

livret 2/4 de la série, en particulier au chapitre 4 :

Interprétation statistique

COMMENT TRAITER UN EXERCICE DE STATISTIQUE ?

La rédaction d’un exercice d’un test d’évaluation, d’un devoir ou à une épreuve d'examen,

doit être réalisée avec le plus grand soin.

• Faites d’abord une première lecture rapide de l’énoncé de manière à situer le problème posé

en relation avec votre programme.

Page 5: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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Avertissement

- Quelles sont les données (nature de la variable, loi de probabilité, taille de

l’échantillon, paramètres donnés…) ?

- Que vous demande-t-on ?

- Les questions sont-elles liées ?

- Quelle table statistique utiliser ?

• Commencez alors par résoudre l’exercice sur du brouillon, question par question.

• A l'examen, on vous jugera à la démarche adoptée pour résoudre les exercices mais aussi à

la rédaction et à la présentation du travail fourni, que beaucoup d'étudiants négligent en se

contentant par exemple,

- d' « appliquer » des formules sans expliquer les conditions d'applications,

- d'aboutir par le calcul à des décisions « statistiques » mais sans une interprétation rigoureuse

de leurs conclusions.

Si certains exercices proposés précisent les conditions des données, il n'en est pas de

même pour d'autres. C'est donc à vous de le faire en tout début de la rédaction.

Si vous rédigez, c’est pour être lu. Soignez vos copies. N’imposez pas à votre correcteur de

vous « déchiffrer ». Il peut se lasser…

Vous risquez alors de perdre des points inutilement.

- Faites attention aux calculs numériques et aux unités. Les ordres de grandeurs doivent être

respectés.

- Chaque résultat final d’une question doit être souligné proprement et suivi d’une petite

conclusion.

CONSEILS GÉNÉRAUX DE TRAVAIL

Ce livret se présente sous forme de séquences de travail visant des objectifs pédagogiques

formulés dès le départ. Les évaluations qui vous sont proposées à la fin des séquences visent à

vérifier l'atteinte des objectifs visés par la séquence de travail proposée.

Pour cela, nous vous conseillons :

• de travailler aussi régulièrement que possible ;

• d'éloigner de votre vue tout ce qui peut vous distraire : magazines, journaux, radio, télé…

• d'avoir toujours sous la main une calculatrice, du brouillon, un crayon de papier et une

gomme ;

• de vérifier, chaque fois que vous avez un doute, les calculs développés ;

• de traiter la totalité des exercices d'application proposés avant de passer à la séquence

suivante ;

• d'établir une fiche de synthèse à la fin de chaque séquence de travail ; elle vous sera très utile

pour la séquence suivante ;

• si vous avez la chance d'avoir un micro et de maîtriser EXCEL, n'hésitez pas à rentrer les

données des exercices proposés et de faire exécuter les calculs par le logiciel ; cela vous

permettra de faire des simulations en changeant les données pour « voir ce qui se passe ».

Tous les enseignants et pédagogues connaissent très bien la difficulté de rédiger un cours

de statistique. Tous savent combien il est délicat de traiter un problème de statistique en

faisant l'impasse sur des concepts qui le sous-tendent. Ceux qui se référeront au présent

document voudront bien l'utiliser avec indulgence et en nous communiquant,

éventuellement, leurs remarques et suggestions. Nous les remercions par avance.

Page 6: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Comparaison de deux variances

Séquence de travail n° 1

3 h

COMPARAISON DE DEUX VARIANCES [ de population ]

TEST DE SNEDECOR

7

Objectifs pédagogiques :

A la fin de cette séquence, mais étape par étape, vous devriez être capable :

1. de situer le problème de la comparaison de deux variances ;

2. d'utiliser le test et les tables statistiques de Snedecor ;

3. d'effectuer les calculs nécessaires et prendre les décisions appropriées dans

différentes situations de tests d'hypothèses sur deux échantillons.

Page 7: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Comparaison de deux variances

I. POSITION DU PROBLÈME ET NOTATIONS

En pratique, on ne connaît jamais ni la moyenne , ni la variance 2 d'une population dont

l'effectif est généralement infini ou très grand.

Une des grandes difficultés qu'éprouvent les étudiants dans les problèmes relatifs aux distributions

d'échantillonnage, aux comparaisons des variances ou des moyennes réside dans les notations. Aussi,

par souci de clarté, nous rappelons dans le tableau ci-dessous les notations fondamentales qu'il faut

toujours avoir à l'esprit.

Considérons la variable aléatoire X dans deux populations différentes P1 et P2 avec les

notations résumées dans le tableau ci-dessous :

Paramètres Population 1 Population 2

Effectif N1 ou ∞ N2 ou ∞

Moyenne µ1 µ2

Variance 12 2

2

Population Variance

estimée

^ 12 =

SCE1

n1 -1 =

n1

n1-1 s1

2

^ 22 =

SCE2

n2 -1 =

n2

n2-1 s2

2

Écart type

estimé

^ 1 = SCE1

n1 -1 =

n1

n1-1 .

s1

^ 2 = SCE2

n2 -1 =

n2

n2-1

.s2

Échantillon 1 Échantillon 2

Effectif n1 n2

Échantillon Moyenne x 1 x 2

Variance s1

2 = SCE1

n1 s2

2 = SCE2

n2

De P1 on extrait un échantillon E1, de taille n1, pour lequel on calcule la moyenne x 1 et 1

valeur estimée de 1.

De P2 on extrait un échantillon E2, de taille n2, pour lequel on calcule la moyenne x 2 et 2

valeur estimée de 2.

Les échantillons E1 et E2 sont supposés indépendants.

Le problème est de savoir s'il existe une différence significative entre 12 et 2

2 .

On teste donc : Ho : 12 = 2

2

Page 8: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Comparaison de deux variances

Pourquoi ce test d'égalité des variances ? Nous verrons au chapitre suivant que la

condition d'égalité des variances est indispensable à la réalisation de certains tests.

Page 9: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Comparaison de deux variances

II. TEST DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES

EXPÉRIMENTALES - TEST D'HOMOGÉNÉITÉ

L'hypothèse nulle consiste à considérer qu'il n' y a pas de différence significative entre les

deux variances : Ho : 12 = 2

2 ; cette hypothèse est opposée à H1 : 12 ≠ 2

2

Si Ho est vraie, 12 et 2

2 sont deux estimateurs de la même variance et le rapport

12

22

doit être très proche de 1. Au contraire si Ho est fausse, ce rapport prend des valeurs

très différentes de 1.

12 [ numérateur ] > 2

2 [ dénominateur ] par convention

Donc, si Ho est vraie,

Fo = ^ 1

2

^ 22

est une variable aléatoire de Fisher-Snedecor à 1 = n1 - 1 degrès de liberté et 2 = n2 - 1

degrès de liberté.

Le test de Snedecor ou test F, consiste alors à calculer le rapport :

Fobs = ^ 1

2

^ 22

et comparer la valeur de Fobs à la valeur de F des tables de Fisher (tables V et VI en fin du

livret) avec,

ddl 1= = n1 - 1 (numérateur) ; ddl 2= = n2 - 1 (dénominateur)

Pour un test bilatéral (H1 : 12 ≠ 2

2 ) la règle de décision est la suivante :

Si, Fobs < Ftable On accepte Ho. Les variances peuvent être considérées comme

égales (homogènes). Risque de deuxième espèce.

Si, Fobs ≥ Ftable On rejette Ho. Les variances ne peuvent pas être considéreés

comme homogènes. Risque de première espèce.

• Ce test n'est valable que si les populations étudiées sont normales.

• En pratique, le test F, appliqué à la comparaison de deux moyennes

d'échantillons de faibles effectifs et destiné à vérifier l'égalité des variances, est

donc un test bilatéral. En revanche, dans l'analyse de variance, le test F est un test

unilatéral à droite (cf. chapitre "Analyse de variance").

Page 10: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Comparaison de deux variances

Page 11: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Comparaison de deux variances

III. APPLICATIONS

Exemple 1

Deux méthodes de dosage de l'azote ont été répétées, à partir d'un même échantillon, 25 fois

avec la méthode A et 30 fois avec la méthode B. Comparer la variabilité des 2 méthodes

sachant que les résultats obtenus ont conduit à une somme des carrés des écarts de 121,2 pour

la méthode A et 53,8 pour la méthode B.

********

Soient,

X1 la variable aléatoire : teneur en azote obtenue par la méthode A

X2 la variable aléatoire : teneur en azote obtenue par la méthode B

E( X1 ) = 1 V( X1) = 12 E( X2 ) = 2 V( X2 ) = 2

2

On supposera X1 et X2 normales

Comparer la variabilité des deux méthodes revient à tester Ho : 12 = 2

2

L'échantillon extrait de la population 1 a donné SCE = 121,2, donc :

12 = 121,2

25-1 et 22 =

58,3

30-1

Fobs = 12 / 22 = 2,51

Pour = 25 - 1 et = 30-1 ddl, la table V-B de Fisher donne :

• Pour = 0,05, Ftable est compris entre 2,21 et 2,09

Fobs > Ftable

on rejette donc Ho avec un risque de 5 %. Il y a une différence significative de variabilité

entre les deux méthodes de dosage comparées.

Il arrive que 1 ne soit pas une valeur affichée dans la table. Dans ce cas, il faut

prendre les deux valeurs qui encadrent et conclure.

Page 12: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Comparaison de deux variances

Exemple 2

Soient deux populations normales dont on a extrait au hasard deux échantillons de tailles

respectives 13 et 25 et de variances respectives 24 et 32. Peut-on considérer les variances

comme homogènes ?

********

Ho : 12 = 2

2

• Estimation des variances inconnues des populations

12 = n1

n1-1 s1

2 = 13

12 x 24 = 26,00 22 =

n2

n2-1 s2

2 = 25

24 x 32 =

33,33

• Calcul de F : Fobs = 2

2

12

= 33,33

26,00 = 1,282

• Règle de décision

1 , ddl du numérateur = 25 - 1 = 24

2 , ddl du dénominateur = 13 - 1 = 12

La table V-B n'affiche pas 24 mais affiche les valeurs pour 1 = 20 (3,07) et 1 = 30 (2,96)

Pour la valeur intermédiaire, 24 est situé entre ces deux valeurs, c'est-à-dire :

3,07 > F24;12;0,05 3,02 > 2,96

L'interpolation se fait ainsi :

Ftable; 24; 12; 0,05 = 3,07 - (3,07 - 2,96) (24 - 20)

30 - 20 = 3,02

Comme Fobs < Ftable on accepte ; les deux variances peuvent être considérées comme

homogènes au risque de 5 %.

Attention !

Dans cet exemple , c'est la deuxième variance qui est la plus grande ; on a considéré le

rapport

Fobs = 2

2

12

Dans ces conditions la colonne à choisir était 1 = 24 et la ligne 2 = 12.

Page 13: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Comparaison de deux variances

Cette confusion des variances est assez fréquente chez les candidats du BTSA.

Page 14: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Tests relatifs aux moyennes

Séquence de travail n° 2

10 h

TESTS RELATIFS AUX MOYENNES

8

Objectifs pédagogiques :

A la fin de cette séquence, vous devriez être capable :

1. d'expliquer le but poursuivi dans un test d'hypothèses sur deux moyennes et

la démarche à suivre pour effectuer ces tests ;

2. de situer les problèmes relatifs à la comparaison de deux moyennes ;

3. de distinguer les tests relatifs aux grands échantillons des tests relatifs aux

petits échantillons ;

4. de citer les conditions d'application des différents tests relatifs aux

moyennes ;

5. de comparer une moyenne observée à une moyenne théorique en utilisant le

test approprié ;

6. de comparer deux moyennes observées sur deux échantillons indépendants

en utilisant le test approprié ;

7. de comparer deux moyennes observées sur deux échantillons appariés en

utilisant le test approprié.

Page 15: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Tests relatifs aux moyennes

RAPPELS DE BASE ET NOTATIONS

La théorie de l'échantillonnage a pour objet l'étude des relations qui existent entre la

distribution d'un caractère dans une population-mère, et les distributions de ce caractère dans

les différents échantillons prélevés dans cette population.

Pour que ces relations soient valables, il faut que l'échantillon soit prélevé d'une manière

aléatoire, c'est-à-dire que tous les individus de la population aient la même chance d'être

prélevés.

Soit X, un caractère quantitatif étudié dans une population d'effectif N. La distribution de X

dans cette population sera notée (, ) où

• = E (X) = moyenne du caractère X

• V(X) = 2

• = (X) = l'écart type du caractère X

Le caractère quantitatif X est étudié sur un échantillon de taille n. Les valeurs obtenues ont

pour moyenne x et pour variance s2.

Dans ce chapitre nous étudierons successivement :

• La comparaison d'une moyenne observée à une moyenne théorique.

Les notations seront alors les suivantes :

Paramètres Population Échantillon

Valeurs réelles Valeurs estimées

(sur l'échantillon)

Variable X - x

Effectif N ou ∞ - n

Moyenne E (X) = x estimation ponctuelle x =

nixi

n

Variance 2 = V(X) 2 = n

n-1 s2 =

SCE

n-1 s2 =

SCE

n

Écart type = V(X) =

n

n-1 s =

SCE

n-1

s = SCE

n

• La comparaison de deux moyennes observées sur des échantillons indépendants ou

appariés.

Les notations seront celles présentées en début du chapitre 7.

Page 16: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 13 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

Dans tout ce qui suivra, nous utiliserons l'expression « grands échantillons » lorsque les

effectifs n1 et/ou n2 ont une taille supérieure ou égale à 30 et « petits échantillons »,

lorsque les effectifs n1 et/ou n2 ont une taille inférieure à 30.

Page 17: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Tests relatifs aux moyennes

I. COMPARAISON D'UNE MOYENNE OBSERVÉE x À UNE

MOYENNE THÉORIQUE (µO) : TEST DE CONFORMITÉ

Soit X une v.a définie sur une population telle que :

E (X) =

V(X) = 2

Le caractère quantitatif X est observé sur un échantillon de taille n. Il s'agit de savoir si cet

échantillon de moyenne x et d'écart type s est représentatif ou non de la population d'où il

est extrait et dont les paramètres sont et .

En d'autres termes, la différence observée entre et x peut-elle être attribuée au hasard

(fluctuations d'échantillonnage) ou non ?

Si cette différence observée est attribuée au hasard, cela veut dire que x peut être

représentative de . Dans le cas contraire, on ne peut considérer x comme représentative de .

D'une façon générale, étant donné un paramètre inconnu d'une population, nous

voulons tester la conformité de ce paramètre à une valeur numérique 0 , qui est choisie

par l'expérimentateur en fonction de données antérieures, d'une théorie particulière… ;

autrement dit, nous voulons tester l'hypothèse nulle :

: = 0

opposée à l'hypothèse alternative : H1 : ≠ 0

Bien évidemment, sera estimé à partir d'un échantillon de la population étudiée. Si la

valeur d est proche de 0 , on gardera Ho, sinon on la rejette. Cela revient donc à établir

une décision c'est-à-dire déterminer pour quelles valeurs de d on gardera H ; et comme

nous sommes dans le domaine de l'aléatoire, toute conclusion sera entachée d'un risque

d'erreur :

• risque de première espèce quand on rejette Ho ,

• risque de deuxième espèce quand on garde Ho.

Rappelons enfin (chapitre 4, § 5-2) que si la v.a X est normale ou si l'échantillon est de grande

taille, la v.a X obéit à une loi normale d'espérance et d'écart type / n .

1. La variance de la population 2 est connue

La variable aléatoire,

Page 18: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Tests relatifs aux moyennes

U = X -

n

obéit à une loi normale N (0, 1).

Si Ho est vraie, alors 0 = , et la v.a U devient Uo (ou obs) tel que :

Uo = X -

n

qui obéit à une loi normale N (0, 1).

Dans ce cas, pour tester :

Ho : = 0

il faut calculer l'expression :

obs = X -

n

X prendra la valeur x , calculée sur l'échantillon

• Siobs< table, on accepte Ho . Pas de différence significative entre la moyenne

de la population et la valeur théorique o . Risque de deuxième espèce.

• Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à

, lu dans la table de l'écart réduit fixe le degré de signification.

Exemple

Des sacs de concentré pour bétail sont donnés avec une étiquette portant la masse = 60 kg ;

l'écart type est de 2 kg. Un éleveur achète 16 sacs de ce concentré dont le poids moyen est de

x = 58,5 kg.

Peut-on admettre aux seuils de 0,95 et 0,99, que les données du fabriquant sont exactes ? On

admet que le poids des sacs suit une loi normale.

********

Nous sommes dans le cas d'un échantillon de petite taille extrait d'une population normale

dont la variance est connue. On peut donc appliquer le test de :

Ho : =

| obs | = x -

n

= 5 8 , 5 - 6 0

2 / 1 6 = 3

Page 19: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Tests relatifs aux moyennes

Pour = 1,96 et pourtable = 2,58

| obs | > table : On rejette Ho. Risque de première espèce.

La différence est significative dans les deux cas. Les données du fabriquant ne sont pas

conformes à l'étiquette.

2. La variance de la population 2 est inconnue

Si le caractère étudié obéit à une loi normale et que n'est pas connu, il sera estimé par :

= écart type estimé sur l'échantillon = n

n-1 . s =

SCE

n-1

Dans ce cas, la variable aléatoire,

T = X -

/ n

obéit à une loi de Student à n - 1 degrés de liberté.

Si Ho est vraie, alors 0 = , et la v.a T devient To (ou tobs) tel que :

To = X -

/ n

qui obéit à une loi de Student à n - 1 degrés de liberté.

Dans ce cas, pour tester :

Ho : = 0

il faut calculer l'expression :

tobs = X -

/ n

X prendra la valeur x , calculée sur l'échantillon

• Sitobs< ttable, on accepte Ho . Pas de différence significative entre la moyenne

de la population et la valeur théorique o . Risque de deuxième espèce.

• Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à t,

lu dans la table de Student fixe le degré de signification.

Exemple

Page 20: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 17 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

A la suite d'un traitement sur des rats d'une certaine espèce, on prélève un échantillon de 5 rats

et on les pèse. On obtient les poids suivants en g : 83 ; 81 ; 84 ; 80 ; 85.

A la même époque, un grand nombre de mesures a permis d'établir que les rats de cette espèce

non traités avaient un poids moyen de 87,6 g.

Y-a-t-il une différence significative entre les poids des rats traités et ceux des rats non traités ?

On supposera que la variable poids suit une loi normale.

********

Il s'agit de comparer, sur un petit échantillon de taille n = 5, une moyenne observée x = 82,6

g à une moyenne théorique = 87,6 g.

On ne connaît pas . Il faut l'estimer par = n

n-1 s . Pour cela il faut calculer s sur

l'échantillon.

On trouve = 2,07.

Sous : Ho :

| t o b s | = x -

n

= 5 , 3 9

d d l = 5 - 1 = 4 t t a b l e = 2,776

| t o b s | > t t a b l e , on rejette Ho. Cela veut dire que le traitement a eu une influence

significative sur le poids des rats. Risque de première espèce.

Page 21: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

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7. Tests relatifs aux moyennes

II. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES SUR

DES ÉCHANTILLONS INDÉPENDANTS

TESTS D'HOMOGÉNÉITÉ DE DEUX POPULATIONS

Position du problème

On considère deux populations P1 et P2 où un caractère quantitatif X a pour moyennes

inconnues 1 et 2 respectivement dans P1 et P2.

Il s'agit de savoir s'il existe une différence significative entre ces deux moyennes inconnues à

partir de la comparaison de deux échantillons extraits des populations P1 et P2.

• 1 peut être considéré comme la réalisation d'une variable aléatoire X1 définie sur

l'ensemble des échantillons de taille n1 de la population P1 ;

• 2 peut être considéré comme la réalisation d'une variable aléatoire X2 définie sur

l'ensemble des échantillons de taille n2 de la population P2 .

L'emploi des méthodes ci-dessous est subordonné en général à deux conditions d'application

importantes : la normalité des populations et le caractère aléatoire et simple des

échantillons.

La première condition n'est cependant pas essentielle lorsque les échantillons ont des

effectifs suffisants pour assurer la normalité des distributions d'échantillonnage des

moyennes.

En plus de ces deux conditions, nous devrons supposer, dans certains tests de comparaison,

l'égalité des variances des populations considérées.

De ce fait, nous nous positionnerons dans le cas général où les variances des

populations 12 et 22 sont inconnues et nous distinguerons les cas suivants :

• cas où les variances des deux populations sont inconnues mais égales ;

• cas où les variances des deux populations sont inconnues et différentes.

1. Cas des populations de même variance : 12 = 22

Pour s'assurer de l'égalité des estimations des variances 12 et 22 , obtenues à partir des

échantillons, il faut faire le test d'égalité de deux variances (cf. chapitre 7).

On démontre alors que la meilleure estimation de la variance communeest :

2 = SCE1 + SCE2

n1 + n2 - 2

Si X1 et X2 sont normales, la variable aléatoire :

Page 22: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 19 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

T = X1 - X2 - (1 - 2)

SCE1 + SCE2

n1 + n2 - 2 [

1

n1 +

1

n2 ]

obéit à une loi de Student à n1 + n2 - 2 degrés de liberté

Pour tester l'hypothèse : Ho : 1 = 2

il faut calculer la valeur t de Student :

t obs = x1 - x2

2 [ 1

n1 +

1

n2 ]

= x1 - x2

SCE1 + SCE2

n1 + n2 - 2 [

1

n1 +

1

n2 ]

ou alors,

t obs = x1 - x2

1

n1 +

1

n2

• Sitobs< table, pour ddl = n1 + n2 - 2, on accepte Ho . Risque de deuxième

espèce.

• Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce, correspondant à

t, lu dans la table de Student, fixe le degré de signification.

Si n1 = n2 = n,

Dans ce cas, l'hypothèse d'égalité des variances n'est plus fondamentale

Nous avons :

SCE1

n1 (n1 - 1) +

SCE2

n2 ( n2 - 1) =

SCE1 + SCE2

n (n - 1)

et l'expression précédente devient :

tobs =

x1 - x2

SCE1 + SCE2

n (n - 1)

avec 2n - 2 degrés de liberté.

Rappelons que ce test suppose la normalité des deux populations.

Cependant, si les effectifs sont élevés (≥ 30), on peut remplacer dans les expressions

ci-dessus, la valeur du t de la table de Student, par la valeur correspondante de

Page 23: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 20 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

l'écart réduit, . Dans ce cas, l'hypothèse de normalité des populations devient

relativement secondaire.

Exemple

On voudrait comparer le poids moyen d'animaux âgés d'un an et qui ont reçu l'une ou l'autre

des deux rations A et B depuis leur naissance. L'observation a porté sur 24 animaux.

1. Comment faut-il répartir à la naissance les 24 animaux en deux groupes de 12 (A et B) afin

d'étudier l'influence des rations sur le poids des animaux ?

2. les résultats observés sont les suivants :

Poids des animaux en g Ration A Ration B

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

0

1

2

3

4

2

0

3

3

3

1

0

1

1

Effectif n1 = 12 n2 = 12

Calculer la moyenne et la variance du poids des animaux dans les deux groupes.

3. Quelles hypothèses faut-il formuler pour tester l'égalité des moyennes ?

Ces hypothèses étant réalisées, trouvez-vous une influence de la ration sur le poids des

animaux au seuil de 5 % ?

********

1. Il faut répartir les 24 animaux, au hasard, en deux groupes, de façon à obtenir des

échantillons indépendants.

2. Après calculs on trouve :

x 1 = 1 633,33 g

s12 = 13 888, 89

x 2 = 1 491,67 g

s22 = 34 097,22

3. On veut tester : Ho : 1 = 2

L'hypothèse que l'on doit faire est que le poids est distribué normalement dans les deux

populations.

2 = n [s1

2 + s22]

2n - 2 =

12 [13 888,89 + 34 097,22]

2. 12 - 2 = 26 174,24

et tobs = x1 - x2

2 [ 1

n +

1

n ]

= 1 633,33 - 1 491,67

26 174,24 . [1/12 + 1/12] = 2,14

Page 24: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 21 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

Pour ddl = 2n - 2 = 2.12 - 2 = 22, la table de Student donne au risque = 5 % : ttable = 2,074

tobs > ttable Différence significative entre les deux moyennes. Risque de première

espèce.

Page 25: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 22 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

2. Cas des populations de variances inégales : 12 ≠ 22

1 . Cas des grands échantillons : n1 ≥30 et n2 ≥ 30

La variable aléatoire ,

U= X1 - X2 - (1 - 2 )

12

n1 + 2

2

n2

obéit à une loi normale N (0, 1).

Les variances 12 et 2

2 peuvent être remplacées par leurs estimations respectives 12 et

22 avec :

12 = SCE1

n1 - 1 et 22 =

SCE2

n2 - 1

Pour tester :

Ho :1 = 2

on calcule l'expression :

obs= x1 - x2

12

n1 + 2

2

n2

qui peut s'écrire :

obs = x1 - x2

SCE1

n1 (n1 - 1) +

SCE2

n2 ( n2 - 1)

• Siobs< table, on accepte Ho . Risque de deuxième espèce.

• Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à

, lu dans la table de l'écart réduit, fixe le degré de signification.

Si n1 = n2 = n

l'expression précédente devient :

Erreur !)

On retrouve alors la formule précédente (§ 1. Cas des populations de même variance).

C'est d'ailleurs ce qui explique la non nécessité de l'hypothèse d'égalité des variances

lorsque les effectifs sont égaux.

Page 26: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 23 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

Exemple

Un dosage d'une même substance sur deux groupes d'individus provenant de 2 populations

différentes a donné les résultats suivants :

Groupe 1: n1 = 35 ; x1 = 0,95 et SCE1 = 0,06

Groupe 2 : n2 = 42 ; x2 = 0,60 et SCE2 = 0,02

Les deux populations sont-elles comparables statistiquement ?

********

Les échantillons extraits de chaque population sont indépendants, d'effectifs inégaux et de

grande taille

Ho : 1 = 2

s12 = 0,06/35 s2

2 = 0,02/42

obs = x1 - x2

SCE1

n1(n1-1) +

SCE2

n2 (n2-2)

= 0,95 - 0,60

0,06

35.34 +

0,02

42.41

= 44,45

obs> 2, 58. On rejette Ho avec un risque de première espèce inférieur à 1 %. Les deux

populations diffèrent significativement.

2. Cas des petits échantillons : n1 < 30 et n2 < 30

Quand les effectifs des deux échantillons ne sont pas suffisamment élevés, pour tester

l'hypothèse d'égalité des moyennes, on peut utiliser d'une manière approchée la quantité

tobs = x1 - x2

12

n1 + 2

2

n2

Il faut alors la comparer au t de la table de Student avec un ddl = k donné par la relation :

k =

[ SCE1

n1 (n1 - 1) +

SCE2

n2 (n2 - 1) ]

2

1

n1 - 1 [

SCE1

n1 (n1 - 1) ]

2 +

1

n2 - 1 [

SCE2

n2 (n2 - 1) ]

2

C'est le test de COCHRAN.

Page 27: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 24 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

Page 28: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 25 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

3. Résumé des comparaisons de deux moyennes

observées sur des échantillons indépendants

Tableau résumant les valeurs de obs ou tobs selon les différentes situations

possibles : cas où les variances des populations sont inconnues.

Cas où les

variances des

populations sont

inconnues mais

égales

=

q populations normales : n1 et/ou n2 < 30

Erreur !) 2 = Erreur !

tobs =

x1 - x2

1

n1 +

1

n2

ddl = n1 + n2 - 2

q si n1 = n2 = n

tobs =

x1 - x2

SCE1 + SCE2

n (n-1)

ddl = 2n - 2

Cf. test relatif à la

comparaison de deux

variances

q grands échantillons

obs =

x1 - x2

1

n1 +

1

n2

l'hypothèse de normalité des populations n'étant plus nécessaire

Page 29: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 26 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

Cas où les

variances des

populations sont

inconnues mais

différentes

q grands échantillons

12 =

SCE1

n1 - 1 ; 22 =

SCE2

n2 - 1

obs= x1 - x2

12

n1 + 2

2

n2

π q si n1 = n2 = n

obs =

x1 - x2

SCE1 + SCE2

n (n-1)

∫ q petits échantillons

Test de COCHRAN ª

Page 30: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 27 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

III. COMPARAISON DE DEUX MOYENNES OBSERVÉES

SUR DES ÉCHANTILLONS APPARIÉS

Dans ce cas on considère une population de couples.

Deux échantillons E1 et E2 sont dits appariés lorsque chaque valeur X1 de E1 est associée à

une valeur X2 de E2.

Cette situation se présente lorsque, par exemple, on voudrait tester un traitement particulier

sur des animaux. L'échantillon 1 sera le lot d'animaux avant traitement (moyenne du

caractère x 1) et l'échantillon 2 sera le même lot mais après traitement (moyenne du

caractère x 2).

Les échantillons ont donc forcément le même effectif.

Il s'agit alors de savoir s'il existe une différence significative ou pas entre les moyennes x 1 et

x 2.

La méthode des couples est difficile à mettre en œuvre car il n'est pas toujours facile de

constituer des échantillons appariés, mais elle présente deux avantages importants : le test est

plus puissant que dans le cas d'échantillons indépendants et on peut mettre en évidence

des différences plus faibles.

Soit X1, la v.a. correspondant à l'élément du couple soumis au traitement 1 et X2, la v.a.

correspondant à l'élément du couple soumis au traitement 2.

Considérons :

• la v.a. D = X1 - X2

• l'espérance mathématique E(D) = et V(D) = 2 qui ne sont pas connus.

L'hypothèse testée est :

: = 0

Il n' y a pas, en moyenne, de différence entre les deux traitements comparés.

Cette hypothèse est opposée à :

H1 : ≠ 0

Il s'agit d'un test de conformité consistant à comparer la moyenne observée à une

moyenne théorique D nulle

L'expérimentation va donc porter sur n couples, pour lesquels la moyenne arithmétique de la

variable D est d et l'écart type s.

On a : d = di

n et =

SCEd

n - 1

d'où : SCEd = di2 -

( di )2

n

Page 31: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 28 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

1. Cas des grands échantillons

Pour tester l'hypothèse nulle :

D = 0 , « la moyenne des différences est nulle »

qui revient à tester : x1 = x2 [ ou = 0 ]

on calcule d'abord l'écart réduit, ,

obs = d

/ n

obs = x 1 - x 2

SCEd

n (n - 1)

• Siobs< table, on accepte Ho . Risque de deuxième espèce.

• Siobs≥ table, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à

, lu dans la table de l'écart réduit, fixe le degré de signification.

2. Cas des petits échantillons

Même démarche, même formule en remplaçant par t de Student :

tobs = x 1 - x 2

SCEd

n (n - 1)

avec ddl = n - 1

• Sitobs< ttable, pour ddl = n- 1, on accepte Ho . Risque de première espèce.

• Sitobs≥ ttable, on rejette Ho et le risque de première espèce correspondant à t,

lu dans la table de Student, fixe le degré de signification.

Exemple

Page 32: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 29 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

Pour étudier l'influence de la fumure phosphorique sur la productivité des prairies

temporaires, on a divisé 13 parcelles homogènes en deux ; une moitié a reçu 50 unités d'azote

à l'hectare et l'autre moitié 50 unités d'azote et 90 unités d'acide phosphorique à l'hectare.

Les rendements, en quantité de matière verte/ha sont les suivants :

N° parcelles Rendement " 50 N " Rendement " 50 N + 90 P2O5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

185

105

102

131

83

46

113

70

89

147

119

91

78

193

119

138

185

111

57

122

116

114

167

128

120

100

Comment interpréter ces résultats ?

********

Soit d la variable aléatoire, différence entre le rendement d'une parcelle 50N + 90 P2O5 et le

rendement de la parcelle homologue 50 N.

E(d) = V(d) = 2

On teste Ho : = 0. Il faut supposer que la variable aléatoire d est normale.

Les calculs se présentent ainsi : Rendement

" 50 N " Rendement

" 50 N + 90 P2O5 "

di

di2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13

185 105 102 131 83 46

113 70 89

147 119 91 78

193 119 138 185 111 57

122 116 114 167 128 120 100

8 14 36 54 28 11 9 46 25 20 9 29 22

64 196

1296 2916 784 121 81

2116 625 400 81 841 484

di = 311 di2 = 10005

On en tire :

d = 311/13 = 23,92 et SCE = 10005 - 3112/13 = 33344/13 = 2564,9

2 = SCE/n - 1 = 2564/12 = 213,66 = 213,66 = 14,61

Page 33: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 30 _____________________________________________________________________________

7. Tests relatifs aux moyennes

tobs = d

/ n =

23,92

14,61/ 13 =

23,92

4,05 = 5,9

• = 0,05, ddl = 12 t = 2,179

• = 0,01, ddl = 12 t = 3,055

tobs > ttable On rejette Ho. Il existe une influence hautement

significative de la fumure phosphorique sur le rendement.

Page 34: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 31 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

Annexes et tables statistiques

Page 35: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 32 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

ANNEXE I

RÈGLE DE DÉCISION DANS LE CAS DES TESTS UNILATÉRAUX

Tous les tests exposés précédemment sont des tests bilatéraux. L'hypothèse à tester était alors

Ho : 1 = 2 contre H1 : 1 ≠ 2

Dans le cas d'un test unilatéral (à droite ou à gauche), le raisonnement restera le même sauf

en ce qui concerne la zone de rejet.

Par exemple, pour la comparaison des moyennes de deux échantillons indépendants

l'hypothèse à tester restera Ho : 1 = 2 mais elle sera testée contre :

• H1 : 1 > 2

• ou H1 : 1 < 2

Étudions les deux cas…

• H1 : 1 > 2 Cette façon de procéder revient à écarter à priori l'éventualité 1 < 2 . La

valeur de obs est forcément positive c'est-à-dire obs > 0

Pour un risque donné (5 % par exemple), la valeur de table correspond, non plus à ± 1,96,

mais à + 1,64 ( Cf. chapitre 4 sur le principe général des tests statistiques ).

Zone de rejet de Ho

La règle de décision est alors la suivante :

- si obs < 1,64, on accepte Ho c'est-à-dire qu'on rejette H1

- si obs ≥ 1,64, on rejette Ho c'est-à-dire qu'on accepte H1 : 1 > 2

• H1 : 1 < 2

La valeur de obs est négative c'est-à-dire obs < 0

Page 36: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 33 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

Zone de rejet de Ho

Pour un risque donné (5 % par exemple), la valeur de table correspond alors à - 1,64. La

règle de décision est alors la suivante :

• si obs < - 1,64, on rejette Ho c'est-à-dire qu'on accepte H1 : 1 < 2

• si obs ≥ - 1,64, on accepte Ho c'est-à-dire qu'on rejette H1

Le même type de raisonnement peut être fait avec le test de Student

Exemple. On a mesuré la taille des pères et celle de leurs fils. On a obtenu les résultats

suivants :

fils pères

n1 = 280

x 1 = 174,82

s12 = 75,58

n2 = 200

x 2 = 171,82

s22 = 74,61

La différence entre les moyennes de la taille des fils et la taille des pères indique-t-elle une

variation réelle (en plus ou en moins) en passant d'une génération à l'autre ?

********

Nous sommes dans un cas de comparaison de deux moyennes calculées sur deux échantillons

indépendants et de grande taille.

Les variances des populations, 12 et 2

2 ne sont pas connues mais peuvent être estimées

12 = n1

n1 - 1 s1

2 ou 1

2

n1 =

s12

n1 - 1 = 75,58/279 = 0,271

22 = n2

n2 - 1 s2

2 ou 2

2

n2 =

s22

n2 - 1 = 74,61/199 = 0,375

Page 37: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 34 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

Faisons un test bilatéral…

Ho : 1 = 2

obs= x1 - x2

12

n1 + 2

2

n2

= 174,82 - 171,87

0,271 + 0,375 =

2,95

0,803 = 3,67

Pour = 0,05, table = 1,96

obs > table la différence est donc significative. On rejette Ho.

Faisons à présent un test unilatéral…

Dans ce cas, on teste Ho : 1 = 2 contre H1 : 1 > 2

Nous sommes dans un cas ou obs sera forcément positif

Pour = 0,05, table = + 1,64

Comme obs > table , on accepte H1 autrement dit la taille des fils peut être considérée

comme supérieure à celle des pères.

Page 38: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 35 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

ANNEXE II

COMMENT RECHERCHER

L'ÉVENTUELLE NORMALITÉ D'UNE

DISTRIBUTION ? L'ÉPREUVE DE

NORMALITÉ

Dans de nombreux tests présentés dans ce document, nous avons souvent supposé que la

variable étudiée suit une loi normale. Comment vérifier l'hypothèse de la normalité d'une

distribution ?

Il existe de nombreuses méthodes dont la plus rigoureuse est celle du 2 d'ajustement que

nous avons déjà étudiée.

Nous vous exposons à présent une autre méthode qui fait appel à des notions déjà traitées :

c'est la méthode de la droite de Henry.

Illustrons cette méthode par un exemple…

Considérons la série statistique suivante :

Variable Effectif

[5,25 ; 5,75]

[5,75 ; 6,25]

[6,25 ; 6,75]

[6,75 ; 7,25]

[7,25 ; 7,75]

[7,75 ; 8,25]

[8,25 ; 8,75]

[8,75 ; 9,25]

[9,25 ; 9,75]

1

6

6

9

15

17

10

8

3

n total = 75

La question est la suivante : peut-on, au vu de ces résultats considérer qu'il s'agit d'une

distribution normale ?

Pour répondre à cette question, il faut se souvenir que lors de l'étude de la loi normale N (m,

), nous avons procédé à un changement de variable en posant :

Page 39: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 36 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

u = x - m

Dans ce cas, il existe une relation linéaire entre u et x puisque on peut écrire :

u = 1

x -

m

u = ax + b]

Vérifions graphiquement si on retrouve cette relation affine avec les effectifs du tableau.

Construisons pour cela un tableau dans lequel :

• la première ligne représente les valeurs supérieures de chaque intervalle de classes ci-dessus

• la deuxième ligne les fréquences cumulées croissantes (F.C.C) :

exemple : 0,013 = 1/75 ; 0,093 = (1+6)/75 etc.

• la troisième ligne représente les valeurs lues dans la table de la fonction de répartition de la

façon suivante :

Pour chaque valeur de F.C.C, on cherche la valeur de u correspondante dans la table I,

fonction de répartition, mais en lecture inverse.

Exemples

• Quand F.C.C < 0,5…

- Pour F.C.C = 0,013, u) = 1-0,013 = 0,987 et ui = - 2,23 (le signe moins correspondant

alors aux probabilités inférieures à 0,5)

- Pour F.C.C = 0,093, u) = 1-0,093 = 0,907 et ui = - 1,32

etc.

• Quand F.C.C > 0,5…

Dans ce cas la valeur ui est directement lue dans la table en fonction de la valeur de F.C.C

- Pour F.C.C = 0,72, u) = 0,7190 et ui = 0,58

- Pour F.C.C = 0,853, u) = 0,8531 et ui = 1,05

etc.

xi 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 8,75 9,25 9,75

F.C.C 0,013 0,093 0,173 0,293 0,493 0,72 0,853 0,96 1

ui -2,23 -1,32 -0,94 -0,54 -0,02 0,58 1,05 1,75 x

Page 40: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 37 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

Traçons à présent le graphe représentant ui en fonction de xi .

-3

-2

-1

0

1

2

6,25 6,75 7,75 8,25 8,75 9,25

m

On constate alors que les points sont pratiquement alignés sur une droite dite droite de

Henry.

Cet alignement est un indicateur de la normalité de la distribution statistique considérée.

On a,

u = x-m

m correspond alors à l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses (dans notre

cas m = 7,75).

Par ailleurs, puisque u = 1/ x - m/1/ représente alors le coefficient directeur de la

droite.

Pour avoir ce coefficient directeur, il suffit de calculer la différence entre l'abscisse du

point d'ordonnée 1 de la droite et m (en pointillé sur le graphe ci-dessus).

Dans notre cas : 8,70 - 7,75 1

Page 41: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 38 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

ANNEXE III

MÉTHODE DE RÉSOLUTION D'UN TEST D'HYPOTHÈSES

Exemple

Les spécifications d'un certain aliment signalent que chaque unité doit contenir 2,5 g de sucre.

100 unités de cet aliment sont choisis au hasard dans la production puis analysés. Ils

contiennent en moyenne 2,6 g de sucre avec un écart type estimé égal à 0,4 g.

Estimez-vous ces spécifications correctes au seuil de 5 % ?

********

Il s'agit de comparer une moyenne théorique = 2,5 g à une moyenne observée x = 2,6 g.

Nous sommes dans le cas d'un grand échantillon extrait d'une population dont la variance est

inconnue mais estimée sur l'échantillon.

1. Énoncer les hypothèses nulle et alternative

Ho : =

: ≠

2. Choisir le seuil de signification désiré = 0,05

3. Déterminer la distribution appropriée

pour effectuer le test ( U (ou ) de l'écart

réduit, t de Student…)

Il s'agit d'un test de l'écart réduit U (ou ),

car n > 100

4. Définir les régions de rejet Pour = 0,05 ; table = ± 1,96

Test bilatéral

5. Établir la règle de décision

• Si obs ≥ table : Différence significative.

On rejette Ho. Risque de première espèce

• Si obs < table : On accepte Ho. Risque

de deuxième espèce.

6. Exécuter les calculs nécessaires à partir

des données échantillonnales

Éventuellement :

• calcul de la moyenne ou des moyennes

• calcul de la variance estimée

etc.

7. Calculer le rapport critique:

t ; F ; 2 …

obs = x -

/ n =

2 , 6 - 2 , 5

0 , 4 / 1 0 0

= 2 , 5

8. Comparer le rapport critique avec la

valeur donnée par la table correspondante

obs > table

9. Tirer une conclusion statistique

concernant l'hypothèse nulle.

On rejette Ho. Il existe une différence

significative entre les spécifications

annoncées et la valeur réelle.

Page 42: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 39 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

TABLE I TABLE DE LA DISTRIBUTION NORMALE RÉDUITE

FONCTION DE RÉPARTITION

(u) =

-

u 1

2 e -1/2 u2

du

Exemple : (0,52) = 0,6985 ; (-1,93) = 1 - (1,93) = 1 - 0,97320 = 0,02680

u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753

0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141

0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517

0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224

0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549

0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852

0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015

1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91308 0,91466 0,91621 0,91774

1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189

1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408

1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449

1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327

1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062

1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670

2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169

2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574

2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899

2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158

2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361

2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520

2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643

2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736

2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807

2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861

3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900

3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929

3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950

3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965

3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976

3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983

3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989

3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992

Page 43: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 40 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995

3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997

Page 44: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 41 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

TABLE II

TABLE DE LA LOI NORMALE CENTRÉE, RÉDUITE N (0,1) OU

TABLE DE L'ÉCART RÉDUIT

0 + -

/ 2

+ •

/ 2 1 -

N (0,1)

- •

La probabilité s'obtient par addition des nombres inscrits en marge.

Exemple : Pour = 1,96, la probabilité est = 0,00 + 0,05 = 0,05

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 ∞ 2,577 2,327 2,171 2,054 1,960 1,881 1,812 1,751 1,696

0,10 1,645 1,598 1,555 1,514 1,476 1,440 1,405 1,372 1,341 1,311

0,20 1,282 1,254 1,227 1,201 1,175 1,150 1,127 1,103 1,080 1,058

0,30 1,037 1,015 0,995 0,974 0,954 0,935 0,915 0,897 0,878 0,860

0,40 0,842 0,824 0,806 0,789 0,772 0,755 0,739 0,723 0,706 0,690

0,50 0,675 0,659 0,643 0,628 0,613 0,598 0,583 0,568 0,553 0,539

0,60 0,524 0,510 0,496 0,482 0,468 0,454 0,440 0,426 0,412 0,399

0,70 0,385 0,372 0,358 0,345 0,332 0,319 0,305 0,292 0,279 0,266

0,80 0,253 0,240 0,228 0,215 0,202 0,189 0,176 0,164 0,151 0,138

0,90 0,126 0,113 0,100 0,088 0,075 0,063 0,050 0,038 0,025 0,013

TABLES POUR LES PETITES VALEURS DE

0,001 0,000 1 0,000 01 0,000 001 0,000 000 1 0,000 000 01 0,000 000 001

3, 290 53 3,890 59 4,417 17 4,891 64 5,326 72 5,730 73 6,109 41

Page 45: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 42 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

TABLE III

TABLE DE STUDENT

La table donne la probabilité pour que t égale ou dépasse, en valeur absolue,

une valeur donnée, en fonction du nombre de degrés de liberté (ddl).

Exemple : avec ddl = 10, pour t = 2,228, la probabilité est = 0,05

0,90 0,50 0,30 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 0,001

ddl

1 0,158 1,000 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578

2 0,142 0,816 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600

3 0,137 0,765 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

4 0,134 0,741 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 0,132 0,727 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

6 0,131 0,718 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 0,130 0,711 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

8 0,130 0,706 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 0,129 0,703 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 0,129 0,700 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 0,129 0,697 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 0,128 0,695 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 0,128 0,694 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

14 0,128 0,692 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140

15 0,128 0,691 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073

16 0,128 0,690 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015

17 0,128 0,689 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965

18 0,127 0,688 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922

19 0,127 0,688 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883

20 0,127 0,687 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850

21 0,127 0,686 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819

22 0,127 0,686 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792

23 0,127 0,685 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768

24 0,127 0,685 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745

25 0,127 0,684 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725

26 0,127 0,684 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707

27 0,127 0,684 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689

28 0,127 0,683 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674

29 0,127 0,683 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660

30 0,127 0,683 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646

40 0,126 0,681 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551

80 0,126 0,678 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,416

120 0,126 0,677 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,373

∞ 0,126 0,675 1,037 1,282 1,645 1,960 2,327 2,577 3,293

Page 46: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 43 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

TABLE IV

TABLE DU 2

La table donne la probabilité pour que 2 égale ou dépasse

une valeur donnée, en fonction du nombre de degrés de liberté .

Exemple : avec = 3, pour 2 = 0,11 la probabilité = 0,99.

0,99 0,975 0,95 0,90 0,10 0,05 0,025 0,01 0,001

1 0,0002 0,001 0,004 0,016 2,71 3,84 5,02 6,63 10,83

2 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 13,82

3 0,11 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 16,27

4 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 18,47

5 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 20,51

6 0,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 22,46

7 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 24,32

8 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 26,12

9 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 27,88

10 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 29,59

11 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,73 31,26

12 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 32,91

13 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 34,53

14 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 36,12

15 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 37,70

16 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 39,25

17 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 40,79

18 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 42,31

19 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 43,82

20 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 45,31

21 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 46,80

22 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 48,27

23 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 49,73

24 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 51,18

25 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 52,62

26 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 54,05

27 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 55,48

28 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 56,89

29 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 58,30

30 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 59,70

Page 47: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 44 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

TABLE V-A

TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL ( = 0,05)

Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à :

• degrés de liberté, (ddl du numérateur) et

• degrés de liberté, (ddl du dénominateur)

La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) = = 0,05

Exemple : F0,05 = 3,36 pour 1 = 4 et 2 = 11

1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 ∞

1 161 199 216 225 230 234 239 242 246 248 250 254

2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,40 19,43 19,45 19,46 19,50

3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,85 8,79 8,70 8,66 8,62 8,53

4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,96 5,86 5,80 5,75 5,63

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,74 4,62 4,56 4,50 4,37

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,06 3,94 3,87 3,81 3,67

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,64 3,51 3,44 3,38 3,23

8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,35 3,22 3,15 3,08 2,93

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,14 3,01 2,94 2,86 2,71

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,98 2,85 2,77 2,70 2,54

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,85 2,72 2,65 2,57 2,40

12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,75 2,62 2,54 2,47 2,30

13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,77 2,67 2,53 2,46 2,38 2,21

14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,60 2,46 2,39 2,31 2,13

15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,54 2,40 2,33 2,25 2,07

16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,49 2,35 2,28 2,19 2,01

17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,45 2,31 2,23 2,15 1,96

18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,41 2,27 2,19 2,11 1,92

19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,38 2,23 2,16 2,07 1,88

20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,35 2,20 2,12 2,04 1,84

21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,42 2,32 2,18 2,10 2,01 1,81

22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,40 2,30 2,15 2,07 1,98 1,78

23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,37 2,27 2,13 2,05 1,96 1,76

24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,25 2,11 2,03 1,94 1,73

25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,24 2,09 2,01 1,92 1,71

26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,22 2,07 1,99 1,90 1,69

27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,31 2,20 2,06 1,97 1,88 1,67

28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,29 2,19 2,04 1,96 1,87 1,65

29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,28 2,18 2,03 1,94 1,85 1,64

30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,16 2,01 1,93 1,84 1,62

40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,18 2,08 1,92 1,84 1,74 1,51

50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 2,03 1,87 1,78 1,69 1,44

60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,10 1,99 1,84 1,75 1,65 1,39

Page 48: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 45 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,06 1,95 1,79 1,70 1,60 1,32

100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,03 1,93 1,77 1,68 1,57 1,28

∞ 3,84 3,00 2,61 2,37 2,21 2,10 1,94 1,83 1,67 1,57 1,46 1,01

Page 49: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 46 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

TABLE V-B

TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL ( = 0,05)

Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à :

• degrés de liberté, (ddl du numérateur) et

• degrés de liberté, (ddl du dénominateur)

La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) = = 0,05

Exemple : F0,05 = 4,28 pour 1 = 4 et 2 = 11

1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 ∞

1 648 799 864 900 922 937 957 969 985 993 1001 1018

2 38,5 39,0 39,2 39,2 39,3 39,3 39,4 39,4 39,4 39,4 39,5 39,5

3 17,4 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,54 14,42 14,25 14,17 14,08 13,90

4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 8,98 8,84 8,66 8,56 8,46 8,26

5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,76 6,62 6,43 6,33 6,23 6,02

6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,60 5,46 5,27 5,17 5,07 4,85

7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,90 4,76 4,57 4,47 4,36 4,14

8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,43 4,30 4,10 4,00 3,89 3,67

9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,10 3,96 3,77 3,67 3,56 3,33

10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,85 3,72 3,52 3,42 3,31 3,08

11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,66 3,53 3,33 3,23 3,12 2,88

12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,51 3,37 3,18 3,07 2,96 2,73

13 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,39 3,25 3,05 2,95 2,84 2,60

14 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,29 3,15 2,95 2,84 2,73 2,49

15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,20 3,06 2,86 2,76 2,64 2,40

16 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,12 2,99 2,79 2,68 2,57 2,32

17 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,06 2,92 2,72 2,62 2,50 2,25

18 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,01 2,87 2,67 2,56 2,44 2,19

19 5,92 4,51 3,90 3,56 3,33 3,17 2,96 2,82 2,62 2,51 2,39 2,13

20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 2,91 2,77 2,57 2,46 2,35 2,09

21 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,87 2,73 2,53 2,42 2,31 2,04

22 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,84 2,70 2,50 2,39 2,27 2,00

23 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,81 2,67 2,47 2,36 2,24 1,97

24 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,78 2,64 2,44 2,33 2,21 1,94

25 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,75 2,61 2,41 2,30 2,18 1,91

26 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,73 2,59 2,39 2,28 2,16 1,88

27 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,71 2,57 2,36 2,25 2,13 1,85

28 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,69 2,55 2,34 2,23 2,11 1,83

29 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,67 2,53 2,32 2,21 2,09 1,81

30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,65 2,51 2,31 2,20 2,07 1,79

40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,53 2,39 2,18 2,07 1,94 1,64

50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,46 2,32 2,11 1,99 1,87 1,55

60 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,41 2,27 2,06 1,94 1,82 1,48

Page 50: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 47 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

80 5,22 3,86 3,28 2,95 2,73 2,57 2,35 2,21 2,00 1,88 1,75 1,40

100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,32 2,18 1,97 1,85 1,71 1,35

∞ 5,02 3,69 3,12 2,79 2,57 2,41 2,19 2,05 1,83 1,71 1,57 1,01

Page 51: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 48 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

TABLE VI-A

TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST UNILATÉRAL ( = 0,01)

Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à :

• degrés de liberté, (ddl du numérateur) et

• degrés de liberté, (ddl du dénominateur)

La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) = = 0,01

Exemple : F0,01 = 5,67 pour 1 = 4 et 2 = 11

1

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500 ∞

1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6157 6209 6260 6302 6334 6350 6360 6366

2 98,5 99,0 99,2 99,3 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5

3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,7 27,5 27,3 27,2 26,9 26,7 26,5 26,4 26,2 26,2 26,1 26,1

4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 14,2 14,0 13,8 13,7 13,6 13,5 13,5 13,5

5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,5 10,3 10,2 10,1 9,7 9,6 9,4 9,2 9,1 9,1 9,0 9,0

6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,56 7,40 7,23 7,09 6,99 6,93 6,90 6,88

7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,31 6,16 5,99 5,86 5,75 5,70 5,67 5,65

8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,52 5,36 5,20 5,07 4,96 4,91 4,88 4,86

9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 4,96 4,81 4,65 4,52 4,41 4,36 4,33 4,31

10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,56 4,41 4,25 4,12 4,01 3,96 3,93 3,91

11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,25 4,10 3,94 3,81 3,71 3,66 3,62 3,60

12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,01 3,86 3,70 3,57 3,47 3,41 3,38 3,36

13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 3,82 3,66 3,51 3,38 3,27 3,22 3,19 3,17

14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,66 3,51 3,35 3,22 3,11 3,06 3,03 3,00

15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,52 3,37 3,21 3,08 2,98 2,92 2,89 2,87

16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,41 3,26 3,10 2,97 2,86 2,81 2,78 2,75

17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,31 3,16 3,00 2,87 2,76 2,71 2,68 2,65

18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,23 3,08 2,92 2,78 2,68 2,62 2,59 2,57

19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,15 3,00 2,84 2,71 2,60 2,55 2,51 2,49

20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,09 2,94 2,78 2,64 2,54 2,48 2,44 2,42

22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 2,98 2,83 2,67 2,53 2,42 2,36 2,33 2,31

24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 2,89 2,74 2,58 2,44 2,33 2,27 2,24 2,21

26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 2,81 2,66 2,50 2,36 2,25 2,19 2,16 2,13

28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,75 2,60 2,44 2,30 2,19 2,13 2,09 2,06

30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,70 2,55 2,39 2,25 2,13 2,07 2,03 2,01

40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,52 2,37 2,20 2,06 1,94 1,87 1,83 1,80

50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,42 2,27 2,10 1,95 1,82 1,76 1,71 1,68

60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,35 2,20 2,03 1,88 1,75 1,68 1,63 1,60

80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,27 2,12 1,94 1,79 1,65 1,58 1,53 1,49

100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,22 2,07 1,89 1,74 1,60 1,52 1,47 1,43

200 6,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,13 1,97 1,79 1,63 1,48 1,39 1,33 1,28

500 6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,07 1,92 1,74 1,57 1,41 1,31 1,23 1,17

Page 52: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 49 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

∞ 6,64 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,04 1,88 1,70 1,52 1,36 1,25 1,15 1,02

Page 53: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 50 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

TABLE VI-B

TABLE DE LA DISTRIBUTION DE F - TEST BILATÉRAL ( = 0,01)

Si F est une variable aléatoire qui suit la loi de Snedecor à :

• degrés de liberté, (ddl du numérateur) et

• degrés de liberté, (ddl du dénominateur)

La table donne le nombre f tel que Prob (F ≥ f ) = = 0,01

Exemple : F0,01 = 6,88 pour 1 = 4 et 2 = 11

1

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 200 500 ∞

1 1621 2000 2161 2250 2306 2344 2372 2392 2409 2422 2463 2484 2504 2521 2534 2540 2544 2547

2 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 200 200

3 55,6 49,8 47,5 46,2 45,4 44,8 44,4 44,1 43,9 43,7 43,1 42,8 42,5 42,2 42,0 41,9 41,9 41,8

4 31,3 26,3 24,3 23,2 22,5 22,0 21,6 21,4 21,1 21,0 20,4 20,2 19,9 19,7 19,5 19,4 19,4 19,3

5 22,8 18,3 16,5 15,6 14,9 14,5 14,2 14,0 13,8 13,6 13,1 12,9 12,7 12,5 12,3 12,2 12,2 12,1

6 18,63 14,54 12,9 12,0 11,5 11,1 10,8 10,6 10,4 10,3 9,81 9,59 9,36 9,17 9,03 8,95 8,91 8,88

7 16,24 12,40 10,9 10,1 9,52 9,16 8,89 8,68 8,51 8,38 7,97 7,75 7,53 7,35 7,22 7,15 7,10 7,08

8 14,69 11,04 9,60 8,81 8,30 7,95 7,69 7,50 7,34 7,21 6,81 6,61 6,40 6,22 6,09 6,02 5,98 5,95

9 13,61 10,11 8,72 7,96 7,47 7,13 6,88 6,69 6,54 6,42 6,03 5,83 5,62 5,45 5,32 5,26 5,21 5,19

10 12,83 9,43 8,08 7,34 6,87 6,54 6,30 6,12 5,97 5,85 5,47 5,27 5,07 4,90 4,77 4,71 4,67 4,64

11 12,23 8,91 7,60 6,88 6,42 6,10 5,86 5,68 5,54 5,42 5,05 4,86 4,65 4,49 4,36 4,29 4,25 4,23

12 11,75 8,51 7,23 6,52 6,07 5,76 5,52 5,35 5,20 5,09 4,72 4,53 4,33 4,17 4,04 3,97 3,93 3,90

13 11,37 8,19 6,93 6,23 5,79 5,48 5,25 5,08 4,94 4,82 4,46 4,27 4,07 3,91 3,78 3,71 3,67 3,65

14 11,06 7,92 6,68 6,00 5,56 5,26 5,03 4,86 4,72 4,60 4,25 4,06 3,86 3,70 3,57 3,50 3,46 3,44

15 10,80 7,70 6,48 5,80 5,37 5,07 4,85 4,67 4,54 4,42 4,07 3,88 3,69 3,52 3,39 3,33 3,29 3,26

16 10,58 7,51 6,30 5,64 5,21 4,91 4,69 4,52 4,38 4,27 3,92 3,73 3,54 3,37 3,25 3,18 3,14 3,11

17 10,38 7,35 6,16 5,50 5,07 4,78 4,56 4,39 4,25 4,14 3,79 3,61 3,41 3,25 3,12 3,05 3,01 2,98

18 10,22 7,21 6,03 5,37 4,96 4,66 4,44 4,28 4,14 4,03 3,68 3,50 3,30 3,14 3,01 2,94 2,90 2,87

19 10,07 7,09 5,92 5,27 4,85 4,56 4,34 4,18 4,04 3,93 3,59 3,40 3,21 3,04 2,91 2,85 2,80 2,78

20 9,94 6,99 5,82 5,17 4,76 4,47 4,26 4,09 3,96 3,85 3,50 3,32 3,12 2,96 2,83 2,76 2,72 2,69

22 9,73 6,81 5,65 5,02 4,61 4,32 4,11 3,94 3,81 3,70 3,36 3,18 2,98 2,82 2,69 2,62 2,57 2,55

24 9,55 6,66 5,52 4,89 4,49 4,20 3,99 3,83 3,69 3,59 3,25 3,06 2,87 2,70 2,57 2,50 2,46 2,43

26 9,41 6,54 5,41 4,79 4,38 4,10 3,89 3,73 3,60 3,49 3,15 2,97 2,77 2,61 2,47 2,40 2,36 2,33

28 9,28 6,44 5,32 4,70 4,30 4,02 3,81 3,65 3,52 3,41 3,07 2,89 2,69 2,53 2,39 2,32 2,28 2,25

30 9,18 6,35 5,24 4,62 4,23 3,95 3,74 3,58 3,45 3,34 3,01 2,82 2,63 2,46 2,32 2,25 2,21 2,18

40 8,83 6,07 4,98 4,37 3,99 3,71 3,51 3,35 3,22 3,12 2,78 2,60 2,40 2,23 2,09 2,01 1,96 1,93

50 8,63 5,90 4,83 4,23 3,85 3,58 3,38 3,22 3,09 2,99 2,65 2,47 2,27 2,10 1,95 1,87 1,82 1,79

60 8,49 5,79 4,73 4,14 3,76 3,49 3,29 3,13 3,01 2,90 2,57 2,39 2,19 2,01 1,86 1,78 1,73 1,69

80 8,33 5,67 4,61 4,03 3,65 3,39 3,19 3,03 2,91 2,80 2,47 2,29 2,08 1,90 1,75 1,66 1,60 1,56

100 8,24 5,59 4,54 3,96 3,59 3,33 3,13 2,97 2,85 2,74 2,41 2,23 2,02 1,84 1,68 1,59 1,53 1,49

200 8,06 5,44 4,41 3,84 3,47 3,21 3,01 2,86 2,73 2,63 2,30 2,11 1,91 1,71 1,54 1,44 1,37 1,31

500 7,95 5,35 4,33 3,76 3,40 3,14 2,94 2,79 2,66 2,56 2,23 2,04 1,84 1,64 1,46 1,35 1,26 1,18

Page 54: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 51 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

∞ 7,88 5,30 4,28 3,72 3,35 3,09 2,90 2,74 2,62 2,52 2,19 2,00 1,79 1,59 1,40 1,28 1,17 1,02

Page 55: Tests relatifs aux variances et aux moyennes

______________________________________________________________________________ 52 _____________________________________________________________________________

Annexes et tables statistiques

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