Thierry DIAS – 3 décembre 20081 la dimension expérimentale des mathématiques un levier pour les apprentissages et l'enseignement étude exploratoire dans

Thierry DIAS – 3 décembre 2008 1

la dimension expérimentale des mathématiques

un levier pour les apprentissages et l'enseignement

étude exploratoire dans des situations d'enseignement et de formation au sein de l'enseignement spécialisé

IUFM - Université Claude Bernard Lyon 1

Laboratoire LEPS EA4148 / LIRDHIST – Université Lyon 1Laboratoire d'étude du phénomène scientifique

Laboratoire Interdisciplinaire de Recherchesen Didactique et en Histoire des Sciences et Techniques

[email protected] http://perso.orange.fr/dias.thierry/

mailto:[email protected]


une thèse au sein d'un laboratoire LEPS EA4148 équipe LIRDHIST

problématique du LIRDHIST :

étude des phénomènes d'enseignement et d'apprentissage

relatifs aux disciplines scientifiques sur la base d'une approche

épistémologique des contenus disciplinaires


introduction

Le questionnement trouve son origine :

1. d'une expérience professionnelle d'enseignant en ZEP : de la difficulté de comprendre les mathématiques du côté des élèves

2. d'une expérience de formateur en IUFM : de la difficulté d'enseigner les mathématiques du côté des enseignants

3. d'un travail de recherche en DEA sur la dimension expérimentale des mathématiques

la potentialité de la dimension expérimentale s'exprime dans le rapport problématique qu'entretiennent les objets mathématiques avec la réalité au sein de situation didactiques (Brousseau)

Sont fortement interrogés :le statut des objets mathématiques, les liens qu'ils tissent avec la réalité, le rôle des actions des individus dans la construction de la connaissance.


éthique dans notre recherche

Dans un contexte d'enseignement/apprentissage, les terrains d'expérimentation permettent une confrontation à la contingence qui doit simultanément :

- nourrir la recherche,

- contribuer au développement professionnel des enseignants,

- et renforcer les apprentissages des élèves.

introduction


1 – méthodologie de la recherche

2 – étude didactique

3 – étude épistémologique

4 – investigation dans l'ASH

5 – scénario de formation


1 – méthodologie de la recherche

organisation générale

hypothèses de travail

questions de recherche


QUOI

COMMENTPOURQUOI

dimension expérimentale des mathématiques

étudedidactique

étude épistémologique

scénario de formation

investigation dans l'ASH

une recherche

fonde irrigue

poursuite des recherches

alimentepermet


étudedidactique




4 hypothèses de travail

1. La dimension expérimentale des mathématiques est fondée sur l'articulation entre forme et

contenu en référence aux objets et à leur lien avec la réalité.

3. La confrontation à la réalité de la classe doit être consistante et transférable, elle

doit s'opérer dans un milieu de type expérimental.

2. La constitution du milieu doit prendre en compte simultanément les dimensions apprentissage et enseignement.

4. Les liens qui unissent la recherche, la formation et l'enseignement sont au service de la diffusion et de la construction des connaissances.


étude didactique

investigation contextualisée,

application sous forme de scénario de formation

quelles sont les caractéristiques d’un milieu propice à l'expérimentation en mathématiques ?

le contexte de l'enseignement spécialisé permet-il de mener une recherche en didactique susceptible de dégager des invariants qui soient aussi transférables à l'enseignement ordinaire ?

un modèle construit dans le champ de l'épistémologie et de la didactique permet-il d'enrichir la recherche sur la formation ?

questions de recherche

étude et exploration épistémologique

en quoi la dimension expérimentale des mathématiques participe-t-elle de l’élaboration des objets mathématiques?


2 – étude didactique


étudedidactique

différents modèles de milieu

BLOCH, 2002

faire des maths, faire faire des maths et regarder ce que cela donne

CONNE, 1999

1. Nature, organisation et structuration du milieu pour une

relation efficiente entre professeur, élève et savoir.

2. Analyser, comprendre les dysfonctionnements du processus

enseigner/apprendre.

une réflexion à mener en trois dimensions !


élève

enseignant

savoir

environnement

ligne de communication, transmission

surface de médiation

espace de relation

étudedidactique

élève : connaissances, compétences, affects

enseignant : connaissances, expérience professionnelle, affects

savoir : transposition, situation didactique

une recherche en didactique… où l’on rencontre le premier tétraèdre


l'activité mathématique

- les actions des sujets en situation

- le statut de la connaissance

- intuition, expérience, argumentation

- dimension langagière

les rapports dialectiques :

- milieu / contexte

- instruments / outils

- étayage / adaptation

- modéliser / expérimenter

deux objets de recherche en didactique

vers un modèle de milieu de type expérimental

étudedidactique


de la nature expérimentale du milieu :environnement didactique déterminé + valeurs des variables fixées

ce qui structure la méthodologie de la thèse

différents modèles de milieu, (BLOCH, 2002)

"Il ne s'agit pas de partir de l'enseignement tel qu'il est mais plutôt de définir des possibles effectifs de l'enseignement, afin de pouvoir tester et falsifier ses hypothèses." (Bloch, 2002)

étudedidactique


étapes pour la constitution d'un milieu expérimental :

- Construire une ingénierie didactique relative à un objet de savoir dans une institution donnée;

- Anticiper les comportements des élèves dans la situation (interactions significatives avec les différents éléments du milieu) ;

- Préparer le recueil des observables, leur organisation et leur interprétation;

- Etablir une liste de références didactiques et épistémologiques susceptibles de pouvoir analyser les situations d'enseignement;

- Analyser les connaissances mises en jeu dans la situation, les jeux possibles des élèves et du professeur.

étudedidactique différents modèles de milieu, (BLOCH, 2002)


analyser, comprendre le processus enseigner/apprendre :

• faire des mathématiques,

• faire faire des mathématiques,

• "regarder ce que cela donne"

faire des maths, faire faire des maths, regarder ce que cela donne (CONNE, 1999)

• du faire au faire/faire :

Quels sont les éléments didactiques à la disposition de l'enseignant pour entretenir « un bon rapport à l'ignorance » ?

• du faire/faire au regarder…

Comment comprendre le jeu des signes dans les interactions sujet/milieu/objet ?

étudedidactique


3 – étude épistémologique



expérimenter en mathématiques :

rencontrer l'incertitude

construire un réel partagé

interagir avec des objets

les objets mathématiques la dimension expérimentale des mathématiques

Gardies (2004), Gonseth (1936), Giusti (2000), Hacking (1989), Lelong (2004)


les objets mathématiques - leur mode d'existence (sensible, théorique),

- leur lien avec la réalité (modélisations, représentations),

- symbolisme et formalisme

- référence culturelle.

la dimension expérimentale des mathématiques - épistémologie du concept d'expérience

- caractérisation d'une science expérimentale

- caractérisation de la dimension expérimentale des mathématiques

étude épistémologique notions soumise à l'étude épistémologique


mathématiques et réalité

Je regardai : oh, prodige, ce fut un nouveau monde que je vis ! J'avais devant moi, visible, incarnée, cette beauté Circulaire qui ne m'était accessible jadis que par le calcul, l'hypothèse ou le rêve. Ce qui semblait être le Centre de l'Étranger était exposé à mon regard ; et cependant je ne voyais ni cœur, ni poumons, ni artères, mais seulement une Chose d'une harmonieuse beauté… qui n'avait pas de nom pour moi ; vous, mes lecteurs de Spaceland, vous l'appelleriez la surface de la Sphère.

FLATLAND (Edwin A. Abbott, 1884)

dialectique : objet sensible / objet théorique

étude épistémologique Les objets mathématiques


Les objets mathématiques

les polyèdres réguliers : des objets au service de la compréhension du monde

passer de la dimension 2 à la dimension 3

"Dimensions par Jos Leys - Étienne Ghys - Aurélien Alvarez "http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm


http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm


les polyèdres réguliers : des objets pour comprendre, interpréter et modéliser

Kepler voit " les solides symétriques s'insérer les uns après les autres avec tant de précision entre les orbites appropriées que si un paysan demandait à quels crochets les cieux sont fixés pour ne pas tomber, il serait facile de lui répondre ". (...)


animation 3D


La réalité telle que nous la percevons est une construction autonome de notre esprit dont les fins essentielles sont de rendre l'action possible. Gonseth (1936)

les polyèdres réguliers au service de la modélisation

modélisation des hydrates de gaz, Pour la science, sept. 2008

une référence actuelle : la modélisation des hydrates de gaz



Léonard de Vinci Molécule de Fullerène

Icosaèdre tronqué

questions de signes, d'interprétants…

graphe planaire de Cayley



- dialectique objet sensible / théorique

- dialectique expérience/expérimentation

Recourir à la dimension expérimentale en mathématiques, c'est permettre et surtout multiplier les allers et retours entre les objets sensibles (ou familiers) et formels par :

- des confrontations (adéquation, non adéquation),

- des vérifications (confirmer ou infirmer une hypothèse),

- des argumentations (prouver un raisonnement, convaincre dans un débat).

étude épistémologique la dimension expérimentale en question


4 – investigation dans l'ASH


Ingénierie/organisation didactique

- une situation d'enseignement/apprentissage en géométrie

- un cadre de référence : la dimension expérimentale des

mathématiques

- un contexte : l'enseignement spécialisé


une méthodologie de type abductive :

• ouverture aux faits surprenants ou inexplicables pour s’engager dans la recherche d’hypothèses explicatives

• organisation et mise en relation de données


considérer l'élève en difficulté comme une conséquence d'un milieu porteur de déséquilibres et donc comme un problème didactique :

nécessite une analyse des constituants du milieu

un élève en situation de handicap implique le besoin d'un renforcement d'une condition de développement (d'apprentissage)

demande une réflexion sur l'étayage

changement de posture professionnelle : rapport au savoir, à l'élève, à l'apprentissage, à la situation, au temps didactique

intérêt du modèle dans l'enseignement spécialiséinvestigation dans l'ASH

J. Bruner (1983), J.M. Favre, A. Scheibler (2003), I. Bloch (2008)


la médiation du geste : opération sur les artefacts

modélisation : une mise à jour de l'interprétation

antagonisme du milieu et stabilité de la situation

les surprises didactiques

plusieurs objets d'étude :

validation

retour à l'abduction

prendre en considération les expériences que les élèves réalisent de manière parfois marginale ou imprévue et leur permettre de les transformer en savoir

film :extrait du corpus "cas limite des hexagones"



5 – scénario de formation



- enrichir mutuellement la recherche, l’enseignement et les

apprentissages

- définir des ressources de formation

- mettre en œuvre des dispositifs variés

- créer de nouveaux environnements d'enseignement / apprentissage

Extension de l'utilisation des caractéristiques d'une situation du type "recherche des polyèdres" et du milieu associé à d'autres domaines de l'adaptation scolaire.


scenario de formation

L'ingénierie fait référence :

- aux méthodes (démarches, références, contenus),

- à la définition d'un répertoire d'actions et de leur programmation,

- au suivi de leur mise en œuvre par des protocoles de formation, de coordination et d'évaluation.

mise en relation les données de la recherche avec le terrain des classes par la médiation d'une formation des enseignants

le rallye-maths ASH : une ingénierie


Le laboratoire se caractérise par :

- une culture : celle du doute (hypothèses émises sur les rétroactions parfois inattendues, parfois antagonistes) et de la recherche de la validation,

- une démarche : l'expérimentation comme démarche de résolution des problèmes rencontrés,

- la présence et l'utilisation d'instruments variés,

- un lieu et un temps favorisant les situations d’action des sujets

- une intense activité langagière et symbolique énonciative, descriptive puis peu à peu argumentative

le laboratoire un nouvel objet d'étude

Borel (1904), Kahane (2002), Hacking (2005)



conclusions , résultats

La richesse d'une étude exploration théorique fondée sur l'articulation épistémologie / didactique.

La consistance d'une investigation sur le terrain de l'enseignement spécialisé par la mise en œuvre d'une situation didactique de résolution de problème.

Les caractéristiques du milieu doivent contribuer à stabiliser l'environnement didactique pour permettre le développement cognitif des élèves et professionnel des enseignants.

La diffusion des résultats par la mise en œuvre de projets pour les classes et par la formation initiale et continue des professeurs.




étudedidactique


perspectives de recherches

médiation instrumentaleComment les élèves s’approprient un objet pour en faire un instrument ? Quel rôle joue la médiation instrumentale dans la construction des savoirs mathématiques ?Comment caractériser cette médiation instrumentale dans l’apprentissage de mathématiques ?

sémiose et processus de signification

laboratoires de mathématiquescomme objets d’études didactiques et comme lieu de développement professionnel des enseignants de l’ASHrecherche IUFM Lyon, HEB Bruxelles, SSED (Genève), Université de Montréal (Canada)

étude du transfert à l’enseignement ordinaire


la thèse, son rapport d'activité et les travaux de recherche sont consultables en ligne :

http://pagesperso-orange.fr/dias.thierry/




Les feuilles du ginkgo tombaient des branches

comme pluie menue, et mouchetaient de jaune

le pré. Je marchais en compagnie de M.

Okeda sur le sentier de pierres lisses. Je lui

expliquai que j'aurais voulu isoler la perception

de chaque feuille de ginkgo de la perception de

toutes les autres, mais me demandais si c'était

seulement possible.

(Italo Calvino, Si par une nuit d'hiver un voyageur)photo : Fanny LIGNON

merci de votre attention

[email protected] http://perso.orange.fr/dias.thierry/

mailto:[email protected]

Documents

Thierry DIAS – 3 décembre 20081 la dimension expérimentale des mathématiques un levier pour les apprentissages et l'enseignement étude exploratoire dans