Torseur Traction Es Ac

ENIM TC_RDM_1ère

ANNEE

TD 01 : TORSEUR DES FORCES DE COHESION

SOLUTION_EXERCICE_03_TORSEUR

Système isolé : Poutre + Chape s + Barres

Les coordonnées sont exprimées en m.

CALCUL DES REACTIONS AUX APPUIS A , B et E

0

A

A

XF

B

BY

F0

E

EY

F0

0

HFH

0

KFK

Equilibre du système isolé 0/

0

BzM

F

20

100

EB

A

YY

KHXF

30

0/ 00

KH

EBA

FBKFBH

FBEFBBFBA

BzM

0sin20050020003 zKIKHYE

0sin5.01.025.0

60

1000

3

KHY

mmIK

E

En définitif :

EB

E

A

YY

KHY

KHX

sin5.01.025.0

2

3

1

APPLICATION NUMERIQUE

0

500NXF

A

A ;NY

FE

E658

0 ;

NYF

B

B658

0

ENIM TC_RDM_1ère

ANNEE


1) TORSEUR DES FORCES DE COHESION AU NIVEAU DE LA SECTION

DROITE REPEREE 1G mmAG 5001

On a :

11/

12/ GFGf ei

TT

0

658

500

12/

z

By

A

f

T

NYT

NXN

GSi

mNM

MM

zY

FBGFAG

GM

z

yx

B

BA

fi

2.263

0

4.0

1

0

1

12/

NATURE DES SOLLICITATIONS : TRACTION + FLEXION SIMPLE



DETERMINATION DES EFFORTS DANS LES ABRRES IK ET JK

Pour cela étudions l’équilibre de l’articulation k

Au nœudk , on a :

NKF

NKF

FF

FFK

J

I

JI

IJ

1000

1000

0sinsin

0coscos

La barre IK est soumise à une traction. En revanche la barre JK est soumise à une

compression.

D’oùI

I

I

II

II

Y

XF

NFY

NFX

866sin

500cos

ENIM TC_RDM_1ère

ANNEE


0

208

0

22/

z

IBy

IA

f

T

NYYT

XXN

GSi

mNM

MM

zXYY

FIGFBGFAG

GM

z

yx

IIB

BA

fi

125

0

2.05.0

22

0

2

22/

NATURE DES SOLLICITATIONS : FLEXION SIMPLE



On a J

J

J

JJ

JJ

Y

XF

NFY

NFX

866sin

500cos

0

658

500

32/

z

JIBy

JIA

f

T

NYYYT

NXXXN

GSi

mNM

MM

zYXXYY

FJGFIGFBGFAG

GM

z

yx

JJIIB

JIBA

fi

50.85

0

25.02.02.025.175.1

333

0

3

32/

NATURE DES SOLLICITATIONS : COMPRESSION+ FLEXION SIMPLE

ENIM TC_RDM_1ère

ANNEE




On a :

42/

41/

42/ GFGFGf eei

TTT

0

5004

2/zy

f TT

NHHNGS

i

mNM

MM

zH

xHyx

FHG

GM

z

yx

H

fi

250

0

5.0

1000

500

1000

500

4

42/

NATURE DES SOLLICITATIONS : COMPRESSION+ FLEXION PURE

ENIM TC_RDM_1ère ANNEE

TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION

1

EXERCICE_02_SOLUTION

Données

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

==

⋅=

⋅=

−

mL

mkg

MPa

MPaE

NF

ad

10

7600

3.192

25.0

1021

102

0

3

4

5

ρ

σν

1) Calcul de D avec le poids propre non négligé

Compte tenu des résultats de l’exercice précédent nous avons :

0max LgS

Fxg

S

F ρσρσ +=⇒+=

La contrainte maxσ ne doit pas dépasser la contrainte

admissible adσ .

ad0admax LgS

Fσ≤ρ+⇒σ≤σ

( )0ad

2

Lg

F4D

4

DS

ρ−σπ≥⇒

π=



2

Application numérique

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

=≈××−×π

⋅×≥

mm46.36D

mm46.36m03646.01081.97600103.192

1024D

6

5

2) Calcul de D avec le poids propre négligé

Compte tenu des résultats de l’exercice précédent nous avons :

S

F=σ

La contrainte σ ne doit pas dépasser la contrainte

admissible adσ .

adadad

F4D

S

F

σπ≥⇒σ≤⇒σ≤σ


⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

=≈××π

⋅×≥

mm39.36D

mm39.36m03639.0103.192

1024D

6

5

Nous prendrons pour les deux cas mmD 37= .

3) Calcul des allongements

− Poids propre non négligé



3

321321PàdûLFàdûL

E

Lg

ES

LFL

∆∆

+=∆2

200 ρ


( ) 44 344 21

4444 34444 21PàdûL

FàdûL

L

∆

∆

− ⋅×××

+

⋅×⋅

×⋅=∆

10

2

1023

5

10212

1081.97600

10214

1037

10102

π

mmmLPàdûLFàdûL

88.81088.810775.110858.8 353 =×≈×+×≈∆ −

∆

−

∆

−4342143421

− Poids propre négligé

321FàdûL

ES

LFL

∆

=∆ 0


( )4444 34444 21

FàdûL

L

∆

−⋅×

⋅

×⋅=∆

1023

5

10214

1037

10102

π

mmmLFàdûL

86.81086.810858.8 33 =×≈×≈∆ −

∆

−43421

Remarque : L’influence du poids propre est peu significative.

4) Calculer la variation de volume en négligeant l’attraction

terrestre



4

On a :

( )

( )νεε

νε

211086.81010

86.8

21

0

00

43

0

0

−=∆⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

×=×

=∆

=

−=∆

− LSV

LSV

L

L

V

V


( ) ( )336

234

18.47631076318.4

25.021104

10371086.8

mmmV

V

=×≈∆

×−××⋅

××=∆

−

−− π

ENIM TC_RDM_1ère

ANNEE


SOLUTION_EXERCICE_05_TRACTION

Calcul de la réaction R

daNFFRFFR 000500 2121

Zone 1 : 50 x

On a :

GFGFGf eei

TTT2/1/2/

0111

01

11

1

1

1

1211

LLL

L

E

S

NFFN

Par ailleurs :

x x

dXdudXdudX

du

0 0

11111

1

xxuu

xuxu11

1

111

00

0


menxetmmenuxxu

mmmLLE

mmNS

NNN

1

1

1

4

0111

41

1

2

1

1

1

5

1

101368.1

5684.010684.5101368.1

91.15105

Zone 2 : 85 x

ENIM TC_RDM_1ère

ANNEE


On a :

GFGFGf eei

TTT2/1/2/

0222

02

22

2

2

2

212

LLL

L

E

S

NFN

Par ailleurs :

x x

dXdudXdudX

du

5 5

22222

2

122

112

2225

5684.055

55Lxxu

mmuLu

xuxu


menxetmmenuxxu

mmmLLE

mmNS

NNFN

2

1

2

4

0222

42

2

2

2

2

2

5

12

5684.05103920.1

4176.010176.4103920.1

49.19103

Diagramme de l’effort normal «N »

ENIM TC_RDM_1ère

ANNEE


Diagramme de la contrainte normale « »

Diagramme du déplacement suivant l’axe x



SOLUTION_EXERCICE_06

Calcul de la réaction DR

( ) NFFFRFFFR DD 0500 312321 =+−=⇒=+−+ 1) Contrainte moyenne

− Zone ( )6000 ≤≤ xDC

On a :

[ ] [ ] [ ]GFGFGf eei

TTT2/1/2/

rrrrrr

−==

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

==⇒ nCompressio

aa

Ntrouhors

NRN D

221

1

1

500_

500

σ

− Zone ( )800600 ≤≤ xCB

On a :


TTT2/1/2/

rrrrrr

−==

( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

=−=−−=⇒ nCompressio

aa

Ntrouhors

FFFFN

222

2

12212

2000_

2000

σ

− Zone ( )1000800 ≤≤ xBA

On a :


TTT2/1/2/

rrrrrr

−==

( )( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎭

⎪⎬⎫

−==

−=−=⇒ Traction

aa

Ntrouhors

FN

223

3

13

4000_

4000

σ



Diagramme de l’effort normal N

2) Section dangereuse

La section droite la plus sollicitée se situe en ( )mmxàB 800= . Conditions de résistance :

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤−

×

≤−

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

≤=

≤

24000

14000

maxett

adt

etBmoyt

adtBmoy

daak

daa

k σ

σ

σσσ

σσ

( )( )⎩⎨⎧

≈≥⇒≈≥⇒

⇒= −

mmmma

mmmmammdaNet 2.1317.132

2.1219.12124 2σ

⇒ choix mma 15=

3) Déplacement du point A

mmE

LLLu BACBDC

A3321 10116.2 −×−=

++=

σσσ

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Torseur Traction Es Ac