TP 1 - DDEF Capsuleuse de Bocaux

Marie EL GUENNOUNI Gérald FEUGUEUR Romain DEVAUX et Lucas DUPONT

TP: Capsuleuse de bocaux,caractéristiques d'inertie

Lycée Parc de Vilgenis, Massy 91300


Dans tout ce compte-rendu les mesures seront exprimées en millimètre (mm) sauf indicationcontraire.

Pendant la première séance de TP ( le 17 Septembre 2015), nous nous sommes réparties en deux sous-groupes:

• Les modélisateurs;

• Les expérimentateurs.

Les modélisateurs étaient Lucas DUPONT et Marie EL GUENNOUNI et les expérimentateurs étaient Romain DEVAUX et Gérald FEUGUEUR.

Première séance de TP (le 17 Septembre 2015):

Lucas et Marie ont cherché les simplifications géométriques des différentes pièces et ont cherchéune expression du centre de gravité de l'assemblage total et des matrices d'inertie desdécompositions des différents solides en tenant compte des différentes simplifications.

Romain et Gérald ont effectués des mesures sur les décompositions des différents solides puismodélisé les différents solides sur le logiciel de C.A.O solidWorks en tenant compte des différentessimplifications.

Seconde séance de TP (le 24 Septembre 2015):

Lucas et Marie ont continué le travail entrepris lors de la séance du Jeudi 17 Septembre 2015 etcherché sur le net les différentes propriétés des matériaux ( masses et densités ), puis ont faitplusieurs applications numériques.

Romain a continué en faisant l'assemblage des différents solides sur le logiciel de C.A.OsolidWorks et a fait quelques captures d'écran pour le compte rendu.Gérald quant à lui a fait le dialogue entre Romain et les modélisateurs en fournissant plusieursinformations permettant aux deux sous-groupes d'avancer dans leurs travail puis a commencé àrédiger le compte-rendu du TP.

Avant que Gérald commence à rédiger le compte-rendu nous nous sommes tous réunis pourcomparer nos résultats.



I) Travail des modélisateurs



RECHERCHE DE LA MASSE ET DE LA POSITION D'INERTIE DE L'ENSEMBLE

La croix de Malte et l'ensemble en rotation lié a la croix de malte sont composé de l'étoile detransfert (solide 1) du support cylindrique (solide 2) de l'axe (solide 3) et la croix de malte (solide 4)ANNEXE 1

1) L'étoile de transfert (solide 1)

Calcul de la masse de l'étoile de transfert:

Le grand plateau est un cylindre de rayon R1=187mm et de hauteur h1=20mm On considère 4 parallélépipèdes extrudés tous les 90°, de hauteur h1 de largeur b1 et de longueur a1 ANNEXE 3Soit M 1 la masse du solide 1, ρ1 sa masse volumique et V 1 son volume M 1=ρ1 xV 1

Le grand plateau est un matérieu stratifié de masse volumique 800kg .m−3 (http://pedagogie.ac-toulouse.fr/lyc-riquet-saint-orens/CPGESII/2-Acquerir%20l'information/TP_CI2_Acquerir/Dossier%20technique%20complet.pdf)

V1 est la différence entre le volume du cylindre non extrudé et les 4 volumes des petits parallélépipède A l'aide de nos mesures expérimentales on trouve V 1=2,1 .10

−3

Donc:

M 1=1,6kg

Calcul du centre d'inertie de l'étoile de transfert en son centre d'inertie G1:

Il y a une symétrie axiale de révolution suivant l'axe (z), le centre d'inertie est alors sur cet axe:

O⃗G1=h12

z⃗=0,01 z⃗



2) Support cylindrique (solide 2 ):

Calcul de la masse du support cylindrique :

Le petit plateau est un cylindre creux de rayon intérieur Ri2=47mm , de rayon extérieurRe2=63mm et de hauteur h2=10mm ANNEXE 4M 2=ρ2 xV 2

Le support cylindrique est en aluminium ( ρ2=2700 kg .m−3 )

M 2=0,62 kg

Calcul du centre d'inertie du support cylindrique en son centre d'inertie G2:De même il y a une symétrie axiale de révolution suivant l'axe (z)

O⃗G2=(h1+h22

) z⃗=0,03 z⃗

3) L'axe (solide 3) :

Calcul de la masse de l'axe:

Cylindre de rayon R3=22,5mm et de hauteur h3=172mm M 3=ρ3 xV 3

Le cylindre est en acier allié de masse volumique ρ3=7800 kg.m−3

M 3=2,1kg

Calcul du centre d'inertie de l'arbre cylindre en son point d'inertie G3:Il y a une symétrie axiale de révolution suivant l'axe (z):

O⃗G3=(h1+h2+h32

) z⃗=0,121 z⃗

4) Croix de Malte (solide 4) :

Calcul de la masse de la croix de Malte:

On considère la croix de malte comme un parallélépipède extrudée de 4 petits parallélépipèdes répartis tous les 90°: ANNEXE 5

Pour un petit parallélépipède: H4=12mm , Longueur B4=55mm , et largeur A4=20mmLa grand parallélépipède a une hauteur h4=14,5mm b4=140mm et a4=140mm

La croix de malte est en acier allié de masse volumique 7800kg .m−3

M 4=1,7kg



Calcul du centre d'inertie de la croix de malte:

O⃗G4=(h1+h2+h3+h42

) z⃗=0,21 z⃗

CALCUL DU CENTRE D'INERTIE TOTAL:

Soit M tot , la masse totale de l'ensemble considéré: ANNEXE 2M tot=5,6kg

Soit G le centre d'inertie de l'ensemble:

O⃗G=

∑i

M i .O⃗G i

Mtot

, i∈[1,4 ]

Application numérique: O⃗G=9,2 z⃗

Le centre d'inertie se trouve alors a 9,2 cm de l'origine

Ce résultat est cohérent est en adéquation avec la valeur trouvé par les expérimentateurs sursolidWorks qui est de 9,629(selon l'axe (O,z))



RECHERCHE DE LA MATRICE D'INERTIE DE L'ENSEMBLE

Les composantes de nos matrices sont en kg.mm²

1) Matrice d'inertie de la croix de malte(solide 4) : ANNEXE 5

Méthode: On cherche la matrice d'inertie d'un des 4 petits parallélépipèdes en son centre d'inertie dans un repère lié a ce parallélépipède appelé ( i⃗ , j⃗ , k⃗ ) .

On utilise le théorème de Huygens afin d'avoir cette matrice en le centre d'inertie de la croix de malte G4

On utilise la matrice de rotation de π2

afin d'avoir les matrices des 3 autres petits

parallélépipèdes


afin d'avoir la matrice totales des 4 petits parallélépipèdes

dans la base ( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

Matrice du grand parallélépipède sans prendre en compte l'extrusion dans la base ( x⃗ , y⃗ , z⃗ ) au point G4:

[IGP enG4]=MGP[1650 0 00 1650 00 0 3266 ]

avec MGP=M 4−4 xmasse petit parallélépipède=1,4kg

Matrice d'inertie d'un petit parallélépipède en son point d'inertie G4,1 dans la base ( i⃗ , j⃗ , k⃗ ) :

[I pp1enG4,1]=M pp[264 0 00 45 00 0 285]( i⃗ , j⃗ , k⃗)

Avec M pp la masse d'un petit parallélépipède M pp=0,1kg

Changement de point pour mettre la matrice d'inertie d'un petit parallélépipède au point G4, centre d'inertie de la croix de malte:

[I pp1enG4 ]=[I ppenG 4,1]+ IG4 (menG4,1)

G⃗4G4,1=9 k⃗+27 i⃗ ANNEXE 6



Matrice d'inertie d'un petit parallélépipède au point G4 , centre d'inertie de la croix de malte

toujours dans la base ( i⃗ , j⃗ , k⃗ ) :

[I pp1enG4 ]=0,1[345 0 −2430 855 0

−243 0 1014 ]( i⃗ , j⃗ , k⃗ )

Rotation de π2

pour avoir la matrice du petit parallélépipède 2au point G4 :

[I pp2enG 4]=0,1[ 345 −243 0−243 1014 00 0 855]( i⃗ , j⃗ , k⃗ )

Rotation de π2

pour avoir la matrice du petit parallélépipède 3 au point G4 :

[I pp 3enG 4]=0,1[345 0 2430 855 0243 0 1014]( i⃗ , j⃗ , k⃗ )

Rotation de π2

pour avoir la matrice du petit parallélépipède 4 au point G4 :

[I pp4 enG4]=0,1[345 243 0243 1014 00 0 855]( i⃗ , j⃗ , k⃗)

Matrice totale des 4 petits parallélépipède en G4 centre d'inertie de la croix de malte dans la base

( i⃗ , j⃗ , k⃗ ) :

[I pp 4 enG4]=0,4[1380 0 00 3738 00 0 3738]( i⃗ , j⃗ , k⃗)


pour avoir la matrice totale des 4 petits parallélépipède en

G4 centre d'inertie de la croix de malte dans la base ( x⃗ , y⃗ , z⃗ )on trouve:

[I pp 4 enG4]=0,4[1380 0 00 3738 00 0 3738]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )



La matrice de la croix de malte en son centre d'inertie [I4 en G4] est la différence entre la matriced'inertie totale sans avoir pris en compte l'extrusion avec la matrice totale des 4 petitsparallélépipèdes

[ I 4 enG 4]=[1758 0 00 815 00 0 3077]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

2) Matrice d'inertie de l'arbre cylindre (solide 3):

Soit [I 3 en G3]la matrice d'inertie de l'arbre cylindre dans la base (x,y,z):

[I 3 enG3]=2[2591 0 00 2591 00 0 253]( x⃗ , y⃗ , z⃗)

3) Matrice d'inertie du grand plateau(solide 1) : ANNEXE 3

Méthode: On recherche la matrice d'inertie d'un des 4 petits parallélépipède en son point d'inertiedans la base (x,y,z) puis on utilise la formule de Huygens pour mettre cette matrice au point G1,centre d'inertie du grand plateau.

Soit [IG1,1] la matrice d'inertie d'un petit parallélépipède de centre D'inertie G1,1 avec une masse de 0,06kg

[I pp1enG1,1]=0,06[331 0 00 441 00 0 688](x⃗ , y⃗ , z⃗ )

Changement de point afin d'avoir la matrice en le centre d'inertie du grand plateau G1:

G⃗ 1G1,1=129 x⃗

Donc:

[I pp1enG1]=0,06[18 0 00 1024 00 0 1040]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )



Soit [Itotpp en G4] la matrice totale des 4 petits parallélépipèdes au point G4 dans la base( x⃗ , y⃗ , z⃗ ) :

[ Itot pp enG4]=[72 0 00 4126 00 0 4126]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

Finalement, [ Itot pp enG4]=[16619 0 00 12625 00 0 4126]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

3) Matrice d'inertie du petit plateau creux ANNEXE 4

La masse du cylindre extérieur est de 0,33 kg La masse du cylindre intérieur est de 0,19 kg

Soit [I 2e en G2] la matrice d'inertie du cylindre extérieur au point d'inertie du plateau creux G2 dans la base ( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

[I 2eenG2]=[1000 0 00 1000 00 0 1984]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

Soit [I 2i en G2] la matrice d'inertie du cylindre intérieur au point d'inertie du plateau creux G2 dansla base ( x⃗ , y⃗ , z⃗ ) :

[I 2 ienG2]=0,19[560 0 00 560 00 0 1104]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

Soit:

[I 2 enG2]=[223 0 00 223 00 0 444]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )



MATRICE D'INERTIE TOTALE DE L'ENSEMBLE

Nous avons les matrices des 4 solides en leurs centres d'inertie. Nous allons utiliser la formule deHuygens afin de mettre les 4 matrices au centre d'inertie de l'ensemble calculé précédemment( O⃗G=92 z⃗ )

Recherche des différents vecteurs:

G⃗4G=116 z⃗ ,⃗G3G=29 z⃗ ,⃗G2G=64 z⃗ , G⃗1G=84 z⃗ .

Ainsi on obtient:

[ I Gdu solide 4]=[14554 0 00 13611 00 0 3077]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

[ I Gdu solide 3]=[6982 0 00 6982 00 0 500]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

[ IGdu solide 2]=[2758 0 00 2758 00 0 444]( x⃗ , y⃗ , z⃗)

[ IGdu solide 1]=[23675 0 00 19681 00 0 22100]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

Finalement, on a:

[ IGde l ' ensemble ]=[47969 0 00 44875 00 0 24805]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )

La matrice trouvée par les expérimentateurs sur solidWorks est:

[IGde l ' ensemble ]=[54372 0 00 54372 00 0 35432]( x⃗ , y⃗ , z⃗ )



ANNEXE

Annexe 1: Définition du système étudié

Annexe 2: Centre de gravité du système



Annexe 3: Paramétrage de l'étoile de transfert

Annexe 4: Paramétrage du support cylindrique



Annexe 5: Paramétrage de la croix de Malte



Annexe 6: Distance centre de gravité petit parallélépipède / grand parallélépipède



II) Travail des « expérimentateurs » (modélisateur numérique)



1) Modélisations numériques des différentes pièces

L'étoile de transfert :

Pour réaliser l'étoile de transfert nous avons tout d'abord fait un disque de rayon 187 puis nousavons fait une extrusion de 22 mm.Ensuite pour fabriquer l'emplacement des pots de yaourt nous avons fait un enlèvement de matièred'un demi-disque de rayon 35,4 et un rectangle de longueur 35,4 et de largeur 22,5 sur uneprofondeur de 22 mm.Or sur le plateau, nous disposons de 4 emplacement répartie de manière uniforme autour de l'axe(O,Z) donc pour cela on a fait une permutation circulaire de 90°.

Masse volumique: 800 kg/m³ (Stratifié) Masse: 1,5 kg



La croix de Malte et l'axe:

Pour réaliser la croix de Malte nous avons tout d'abord fait un carré de longueur 140 puis nousavons fait une extrusion de 14,5 mm.Ensuite pour fabriquer l'emplacement du galet nous avons fait un enlèvement de matière d'un demi-disque de rayon 10 et un rectangle de longueur 55 et de largeur 20 sur une profondeur de 12 mm. Or sur la croix de Malte, nous disposons de 4 emplacements réparties de manière uniforme autourde l'axe (O,Z) donc pour cela on a fait une permutation circulaire de 90°.Pour réaliser l'axe, nous avons fait un cylindre plein de rayon 22,5 et de hauteur 172 mm. Ensuiteon a assembler les deux pièces car elles possédaient les mêmes propriétés de masses.

Masse volumique: 7850 kg/m³ (Fonte) Masse: 3 kg



Support cylindrique entre l'axe de la croix de Malte et l’étoile de transfert:

Pour réaliser le support cylindrique nous avons tout d'abord fait un disque de rayon 78,5 puis nousavons fait une extrusion de 18,4 mm.Ensuite pour pouvoir positionner l'axe de la croix de Malte nous avons fait un enlèvement dematière d'un disque de rayon 46,9 sur une profondeur de 10 mm.

Masse volumique: 2700 kg/m³ (Aluminium) Masse: 0,62 kg



Assemblage total:

2) Simplifications

Lors de ce TP nous avons procédés à quelques simplifications:

i. Sur l'étoile de transfert on a constaté qu'il y avait 4 perçages de profondeur 22 mm répartiede manière uniforme autour de l'axe (O,z). Or la matière étant peut dense, on a donc négligerces 4 perçages.

ii. Sur le support cylindrique on a remarqué la présence de 4 vis en acier sur une profondeurd'au moins 30 mm cela compense donc la simplification i.

iii. L'aluminium étant peu dense on observe sur le support réel qu'il est en faite constitué de 2demi-cylindre espacé d'un mm, donc nous avons décidé pour des raisons de faciliter deréunir ces 2 demi-cylindre en un seul.

Grâce au logiciel de C.A.O solidWorks nous avons trouvé plusieurs résultats en utilisant la fonction«propriété de masse».

3) Centre d'inertie

Tout d'abord nous avons obtenu le centre d'inertie de l'assemblage complet qui est:

OG = (0;0;96.29) où O est le ce centre de l'étoile de transfert sur le côté inférieur.



4) Matrice d'inertie au centre de gravité

Mais nous avons également obtenue la matrice d'inertie en G de l'assemblage complet qui est:

54372 0 0

[IS] = 0 54372 0

0 0 35432 (G;x;y;z)

où S désigne le système complet Masse: 5,12 kg


Les valeurs de la matrice IS sont exprimées en kg.mm^2


III) Conclusion



Dans la partie modélisateur, on observe un pourcentage d’erreur de 6,44 % entre A et B(valeur dansla matrice d'inertie). L'écart relatif entre la théorie et l'expérimentation pour:

➢ A est de 11,78 %

➢ B est de 17,6 %

➢ C est de 30,0%

On remarque que les résultats sont du même ordre de grandeur. De plus on observe que lesdifférentes simplifications ont influé sur la matrice finale.Au niveau de la modélisation, la croix de Malte et l'étoile de transfert ont été modélisé par descylindres percés par des parallélépipède alors que la forme réelle n'était pas tout a faitparallélépipédique. Les modélisateurs ont ainsi fait des arrondis afin de simplifier les applicationsnumériques.


Documents

TP 1 - DDEF Capsuleuse de Bocaux