Variétés abéliennes et indépendance algébrique. I

Invent. math. 70, 289-318 (1983) [llventio~le$ mathematicae �9 Springer-Verlag 1983

Vari6t6s ab61iennes et ind6pendance alg6brique. I

P. Philippon

Centre de Math6matiques de l'Ecole Polytechnique, Plateau de Palaiseau, F-91128 Palaiseau Cedex, France Laboratoire Associ6 au C.N.R.S. N ~ 169

Introduction

Le pr6sent article est centr6 sur l'6tude des grands degr6s de transcendance pour les corps de d6finition de certains points de vari6t6s ab61iennes d6finies s u r I~.

Le problame des grands degr6s de trancendance consiste fi expliciter des corps de degr6s de transcendance arbitrairement grands. Ainsi le th6or6me de Lindemann-Weierstrass (cf. [21] et [17]) 6nonce que pour tout entier n le corps engendr6 par les valeurs de la fonction exponentielle en n points alg6briques c~ a . . . . , ct, lin6airement ind6pendants sur Q est de degr6 de transcendance 6gal fin.

Dans le m6me ordre d'id6e A.O. Gelfond et T. Schneider (cf. [16], probl6me n~ page 138) ont conjectur6 que, sous les m6mes conditions, le degr6 de transcendance du corps Q((~I,..., (~,) ot~ ( est un nombre alg6brique 4=0, 1 est >=n-1. Des minorations de ce degr6 de transcendance tendant vers l'infini avec n se d6duisent des travaux de G.V. Choodnovsky en direction de la conjecture de Schanuel cf. [4] et [5], (voir 6galement [8] et aussi [20], [13] et [15] pour le cas p-adique).

Des analogues elliptiques des r6sultats g6n6raux de G.V. Choodnovsky ont 6t6 r6cemment obtenus par D.W. Masser et G. Wtistholz dans [12].

Dans cet article nous am61iorons les r6sultats de D.W. Masser et G. Wtistholz dans le cadre d'un analogue sur les vari6t6s ab61iennes du probl6me de Gelfond-Schneider. Le th6or6me principal obtenu (voir th6or6me 3.2, w entraine dans le cas elliptique le corollaire suivant qui sera d6montr6 au w 3.

Corollaire 0.1. Soit ga une fonction elliptique de Weierstrass (resp. de Weil-Lutz pour un nombre premier p fixO, cf. [22]) d'invariants alg~briques. Soit k le corps des multiplications de gd. Soit fl un nombre algObrique de degrO d>=2 sur k et u un nombre complexe (resp. un nombre p-adique) tel que g,) soit d~finie aux points u, flu . . . . , fld- l u, alors le degrk de transcendance sur Q du corps C~(go(u) . . . . . go(flU-l u)) est supOrieur ou ~gal ~ d/4 si k # ~ et d d/6 si k = ~ .

0020-9910/83/0070/0289/$06.00

290 P. Philippon

Notons que dans tousles cas on attend la minoration d - 1 , et que pour les petites valeurs de d de meilleurs r6sultats ont 6t6 donn6s par D.W. Masser et G. Wfistholz dans [11] (voir aussi [3] pour un cas particulier). Dans le cas off

(u) est alg6brique, ce corollaire peut 6tre am61ior6:

Corollaire 0.2. En reprenant les notations du corollaire 0.1, on suppose que ~(u) est algObrique et qu'aucun multiple entier de u n'est un p61e de ~, alors le degr~ de transcendance sur Q du corps ~(s . . . . . ~o(fl a l u)) est supOrieur ou Ogal fi

max 1, s i k 4 : l l ~ e t f i m a x 1 , - - s i k = Q .

Ce corollaire sera d6montr~ au w Dans le cas off u = l le corollaire 0.1 correspond / tune situation ~de type

Lindemann-Weierstrass~, et pour les petites valeurs de d il a 6t~ trait6 par G.V. Choodnovsky dans [6]. L'introduction d'op6rateurs de d~rivations parall61ement aux endomorphismes utilis6s ici devrait permettre d'am61iorer notablement nos r~sultats pr6sents pour une telle situation.

Le paragraphe 1 introduit deux crit6res d'ind~pendance alg6brique qui sont utilis6s au paragraphe 4. On peut donc, si l'on pr6f~re, lire directement le paragraphe 2 quitte 5. revenir au paragraphe 1 5, la fin. Les d6monstrations reposent sur des techniques proches des r~sultants (cf. [9]) et s'apparentent aux r6sultats de [7].

Le paragraphe 2 pr6sente les objets 6tudi6s par la suite et d6montre deux r6sultats auxiliaires tr6s utiles. D'une part, un lemme d6crivant la r6partition de l'orbite d'un point d'une vari6t6 ab61ienne sous l'action d'un sous Z-module de l'anneau des endomorphismes de cette vari6t6 ab61ienne. D'autre part, un lemme donnant des repr6sentations polyn6miales de l'action des endomorphismes d'une vari6t6 ab61ienne plong6e dans un espace projectif.

Le paragraphe 3 6nonce le r6sultat principal et d6montre, parmi d'autres, le corollaire 0.1 ainsi qu'un lemme technique.

Le paragraphe4 donne la d6monstration du th6or6me principal (th6or6me 3.2). Celle-ci utilise le r6sultat de [10] ainsi que les 6nonc6s des paragraphes pr6c6dents. Nous discutons 6galement quelques probl6mes de transcendance qui se posent naturellement h la suite de notre travail.

Le paragraphe5, enfin, d6montre dans un contexte plus g6n6ral le corollaire 0.2.

Je veux remercier ici D. Bertrand, D.W. Masser, K. Ribet, M. Waldschmidt et G. Wfistholz pour leurs conseils lots de l'61aboration de cet article. En particulier le lemme 3.4 est enti6rement dfi ~t D.W. Masser et le paragraphe 5 repose sur une suggestion de G. WiJstholz.

Avis au lecteur

Nous avons d6fini les constantes C o, C 1, C 2 et C a une fois et une seule dans ce texte (lors de leurs d6finitions, nous avons indiqu6 de quels param6tres elles d6pendent) alors qu'fi chaque paragraphe nous avons red6fini les constantes Co, cl, c 2 .. . . ,c26 en pr6cisant, soit pour chaque constante, soit globalement au

Vari6 t6s ab~l iennes et i n d 6 p e n d a n c e a lg6br ique . I 291

d~but du pa ragraphe pour toutes les constantes de quels param~tres elles d6pendent.

Enfin signalons que le pr6sent travail d6montre t o u s l e s r6sultats annonc6s pr~c6demment dans [14].

1. Les crit~res d'ind~pendanee alg6brique

Le but de ce paragraphe est de d6montrer deux (<crit6res d ' ind6pendance alg6brique)>, h savoir les th6or6mes 1.3 et 1.4, qui seront utilis6s au paragraphe 4. Nous avons isol6 sous forme de lemmes pr61iminaires l ' a rgument central de la preuve de ces deux th6orSmes.

Lernme 1.1. Soit ~ u n corps de caract~ristique zSro et r =! ; t [Xo, . . . ,XN]. Soit .3 un idOal de r engendrO par des polyndmes P1 ... . , P~ homogOnes de degrOs < d. On suppose que ~ est de codimension N + 1, alors il existe un entier D < ( N + 1)d tel que s i r D et "~D dksignent les Ol~ments homogknes de degrk D e n X o . . . . . X N de r et .3 respectivement, on ait:

r D = ~ D.

Ddmonstration. Avant d 'en faire la d~monst ra t ion remarquons que ce l emme classique apparaissai t d~j/t essentiellement dans [7].

L'id~al .~ ~tant de codimension N + I on peut t rouver une suite Qo, . . - ,QN d'61~ments homog~nes de .3 de degr6s ~o . . . . ,6N =< d tels que pour l= 1 . . . . . N on ait:

{Q~r;Q'QI6(Qo . . . . . Qt 1)} =(Qo . . . . , Ql- x).

Le complexe de Koszul de cette famille Qo, - - . ,Qu est alors la suite exacte:

0_~r~,N+l, '____)r ', N ~ . . . _ ~ . r ~ 2 ~ r 1 ---~r 0

off les applicat ions sont donn6es pour 1=0 , . . . , N par:

(N+ 1~ (N+ l~ 0t: r t t + l J - . r t t i

(Ai ...... i,)o<=io . . . . . i~ <=N~--~(Bi ...... i,_,)o<=i . . . . . . i~_,~N

N

avec Bio ..... i, , = ~ Ai ...... i . . . . j . Qj et la convent ion suivante j = o

Ai ...... i, 1,j = 0 si j = i , ( 0 < a < l - 1 )

et Aio ..... i, i , j=e 'A io ..... j ..... i, , lorsque e est la signature de la pe rmuta t ion qui o rdonne i o . . . . . i l -x,J de faqon croissante.

Le conoyau du complexe de Koszul est r/(Qo . . . . . QN). On obtient donc en prenant les parties homog6nes de degr6s D de ce complexe que:

N + I

dims~rD/(Qo,...,Qu)D = ~ ( - 1 ) ' d i m ~ ( 1-~ rD-~,, .. . . . . ~,,)" l = 0 0 < i l <...<it<N

292 P. Philippon

D'aut re part, en rempla9ant la suite Q0, QN par X~ ~ X ~ �9 .., ., N on calcule de mame que:

N+I

dimarD/(X~0 ~ . . . . ~" - , X N )D-- ~ ( - 1 ) ' dim~a( lq ro-oq . . . . . g,t)" 1=O O < i l < . , . < i t <=N

On a donc un isomorphisme entre les deux ~t-espaces vectoriels

ro/ (Qo, . . . QN)o et rD/(X~o ~ X ~ " " " , N ]D~

or on v~rifie ais6ment que le second est nul lorsque D => ~o +- . . + 5 N - N , on en d6duit que le premier l'est aussi sous cette m~me hypoth~se, c'est-/l-dire que

3DC_rD=(QO . . . . . QN)D~_~D pour D = J o + . . . + 6 N - N < = ( N + I ) d .

Ce qui ach6ve la preuve du lemme 1.1. Pour la suite de ce paragraphe, nous adoptons les notat ions suivantes:

�9 N e s t un entier => 1. On d6signe par k un entier de l'intervalle [0, N]. �9 m est un entier > k. �9 n 1 . . . . ,nN_k, d 1 . . . . ,d, , sont des entiers >1. Si k = N la famille (hi) est vide. �9 pour tout entier d > 0 on d6signe par ~d l 'ensemble des mon6mes en les variables X o . . . . . X N de degr6 total d. (Dans tout ce texte un mon6me sera une expression de la forme _X-~= X~o~ . X N~'). �9 pour i = 1 . . . . . N - k on d6signe par M~) l 'ensemble des mon6mes en les variables X o . . . . . Xk+ ~_ ~ de degr6 total d. �9 on consid6re les familles de variables ind6pendantes suivantes:

pour i = 1 . . . . . N - k ~i={a i , j ,m; j=l . . . . ,ni, m~,r i)}

pour j = l . . . . . m ~j-={pj ,ra;m~dj }.

Si k = N l 'ensemble des familles ~ est vide. �9 on pose R=~,[a i , j ,m;P j ,m ]. C'est un anneau commuta t i f unitaire et int6gre. On note f2 son corps des fractions. La hauteur d 'un 616ment de R est le logari thme du~ maximum des valeurs absolues de ses coefficients en tant que polyn6me en les variables a~,j,,, et pj,. , . �9 pour i = 1 . . . . . N - k on pose:

"'- ' +( R i ( X o . . . . . X k + i ) = X ~ i + ( ~ a~,l,m'm)Xk+~ + . . .

et pour j - - 1 . . . . . m;

(Xo .... ,xk§ pj,m.m. m E ~ d j

Ce sont des polyn6mes homog~nes de R [ X o . . . . . XN]. Si k = N la famille (R~) est vide.

Vari6t6s ab61iennes et ind6pendance alg6brique. I 293

�9 on pose 91=f2 [X o . . . . ,XN] �9 on note I = ( R 1 . . . . ,RN_k ,P 1 . . . . . Pro) l'id6al homog6ne de 91 de codimension N + 1 engendr6 par les po lyn6mes R 1, . . . ,RN_k, P1 . . . . . P,,' �9 enfin si I 1 et 12 sont deux id6aux homog6nes de 9t on d6finit 11 :~I 2 par

I i : ~ I 2 = :{Pe91;VQ~I2, P . Q ~ I 1 } .

L e m m e 1.2. II existe une famille f inie d d'~l~ments non nuls de R et un entier D < ( N + 1)max{nl, d j} tels que pour tout I~{0 . . . . . N}, tout 6~A il existe un sous ensemble S de {1 . . . . ,m} de cardinal < n l . . . n N _ k ( D + l ) k et des polyn6mes ( A i , l , a ) i = l ..... N-k e t (A~,z,a)je s de R [ X o . . . . . XN] homogOnes de degrOs en Xo, ..., X u ~gaux d D - n ~ et D - d j respectivement, tels que:

N - k

X ? . b = Z A i , , . aR i+ EAjd,a 'Pj , i = 1 j ~ S

et que les coefficients des (Ai,l,~) et (A),z,~) ainsi que les ~lSments de A soient des objets de R, homogknes en les variables (pj, m) de degr~s en ces variables < n 1 ... nN_k (D + 1) k, de degr~ total en les variables (ai,i,,,) ainsi que de hauteur

< ADk[D + k logD] < c 1D k + l

of~ A = 3 O N n I ... nN_ k ~ l o g ( n i + l ) et c~ = A(k + l) . i=1

Enfin lorsque l'on spkcialise les variables (ai,j,,.) et (pj, m) en des valeurs dans un corps ~1 de caract~ristique z&o de sorte que l'idOal sp~cialisO ~(I)=(~(Rt) , . . . ,~(P~)) soit de codimension N + I dans ~ [ X o , . . . , X N ] , la famille ~(A), spdcialis~e de A, contient n~cessairement un OlOment non nul de R.

D~mons~ration. Posons pour i = 1, ..., m;

l i = ( R , . . . . ,RN-k,P~ . . . . ,Pi-~) :~ (P/).

C'est un id6al homogSne de 91. On a alors un i somorphisme de f2-espaces vectoriels

tn | 91/~, - , I/(R~,...,RN ~), i = l

(A1, . . . , A , , ) ~ )., AjPj. i=1

Main tenan t si on d6signe par ~D, (Ii)~, Io, ... les 616ments homog6nes de degrds D de 9t, I~, I . . . . l ' i somorphisme ci-dessus s'6crit en degr6 D;

(,) @ 91. ~, / (I , ) ._~ - , I~/(R1 . . . . ,RN_k) . . i - 1

Mais I v 6tant de codimension N + 1 on salt d 'apr~s le l emme 1.1 qu'il existe un entier D<=(N+l)max{n i , dj} tel que Io-~91 o. On choisit pou r i = l , . . . , m des

294 P. Philippon

bases ~'i des f2-espaces vectoriels 9~D_e,/(Ii) D d, form6es de mon6mes. Et pour le f2-espace vectoriel ~RD/(R1,...,RN_k) o on consid6re la base ~ form6e des mon6mes de degr6s totaux D par rapport "a X o .... , X u et de degr6s partiels < n i par rapport ~t Xk+ ~ pour i = l , . . . , N - k . Montrons que ces mon6mes forment bien une base de ~Ro/(R1,...,RN_k) o. Ils engendrent clairement cet f2- espace vectoriel car Ri &ant unitaire en tant que polyn6me en Xk+ ~ on peut r6duire tout polyn6me de ~R o modulo (R 1 . . . . ,RN_k) fi un polyn6me de degr6s partiels < n i en Xk+ ~ pour i = l , . . . , N - k . Supposons que ces mon6mes soient lin6airement d6pendants sur O, modulo (R~ .... ,RN_k), alors il existe une famille (2m)m~, d'616ments de Y2 telle que:

F, ; , , . m = g , ( X o . . . . . X~)R~(Xo . . . . . x ~ + o + . . .

+ QN- k (Xo . . . . , XN)" Riv- k (Xo . . . . . XN)"

Comme on peut diviser dans ~R un polyn6me en X,+~ par R~ (car R~ est unitaire en Xk+i), on peut supposer que:

V i > j d~ Q; <d~ , Ri=ni.

On doit donc avoir, d~ RN_k)<nN_k ce qui implique que QN k doit &re nul dans ~R car dON RN_k=n,v k. Et par r6currence on a d~ (QiRi)<ni pour i = N - k . . . . . 1 ce qui implique Qi=0 pour i=1, ..., N - k .

On a donc ~, 2,1- m = 0, d'ofl l 'on d6duit que pour tout m e M' on a 2,, = 0

car les 616ments de M' sont f2-1in6airement ind6pendants. Nous allons 6crire la matrice de l ' isomorphisme (.) dans les bases choisies.

Pour m~ eM'~, on peut 6crire:

m i - P / = Z Pi, m ' m ' m i rrl E ~d~

mais pour mEMe, et mleM' i on a: N - k

m- mi= y~ a~.,,m, m'+ y, A,,;,m(Xo . . . . . X~). R j (Xo , . . . , X~+;) m ' e ~ " j = l

off a ' , , . , et les coefficients de A~,j,,, sont des 616ments de R ne d6pendant pas des p j,,,, de degr6s t o t a u x < ( N - k ) D en les variables a~,a,,, et de

hau teur< log(n t+ l ) N ( D + I ) . On pose p'i,,,,,= ~ p~,~.a'~,~ pour l - mEo@a~

m ' s M ' , et A'i,j= ~ Pi,,," Ai,.i,,,. On a alors: m ~ a z

N - - k

mi" Pi - ~ A;,j(Xo . . . . . XN)" Rj (Xo, . . . , Xt+;)= ~ p;,,.., m', j = 1 m%.~"

et la matrice de l ' isomorphisme (*) introduit pr6c6demment, s'6crit dans les

bases [7I ~'i et ~ ' : i = l

off m~ parcourt ~'~ avec i= l, ..., met m' parcourt ~'.


Le d6terminant de cette matrice est un 616ment 8 de R non nul (car c'est le d6terminant d'un isomorphisme). La taille de ce d6terminant 6tant 6gale ~ la

dimension de ~lo/(R 1 . . . . , RN k)D, est <=nl...nN_ k .

L'ensemble A du lemme 1.2 est l 'ensemble des 616ments 6 ainsi obtenus lorsque l 'on consid~re tous les choix possibles pour les bases ~'i ( i= 1 . . . . , m) des ~-espaces vectoriels 9lD_d,/(Ii) D d, form6es de mon6mes.

Fixons maintenant un 616ment 6~A, c'est-/~-dire un choix de bases ~'~ et montrons les estimations du lemme 1.2. Les (PI,~,) 6tant des formes lin6aires en les (P~,m) de degr6s < ( N - k ) . D en les variables (a~,j,~) et de hauteur

< log(n~+l) N ( D + I ) on en d6duit que 8 est un polyn6me homog~ne en l _

les (P~,m) de degr6 total en ces variables <n~ ... nN_k(D + 1) k et de hauteur ainsi que de degr6 total en les variables (a~.j,,3 inf6rieurs/l

. . . _ �9 . . . . O k 4N log(n 1 n~ ~'Dk)+ log(nt+l ) D n~ ns_ k / = 1

et donc < ~ A D k [ D + k l o g D ] . Mais, multipliant chaque ligne de la matrice ci-dessus par le mon6me m' associ~ et additionnant le r6sultat sur la ligne correspondant au mon6me m de ~ ' , on obtient pour tout m e N' la relation:

-) m- 3 = det - PI.~,, �9 m' - m

i= 1 mi~9~ m ' ~ "

en d6veloppant suivant la ligne m. Les 6 . . . . . sont des cofacteurs de la matrice ci-dessus et sont donc des 616ments de R satisfaisant aux m6mes estimations que 6.

On sait que N - k

XI ~ E a ' / . t r t + E A j , , . R j m ~ ' j = 1

Ol~l a' ~,z et les coefficients des Aj,~ sont des 616ments de R ne d6pendant pas des (Pj, m), de degr6s totaux < ( N - k ) D en les variables (a~,j,.,) et de hauteur

,t < log(n~+ 1 N ( D + 1). l _

On a donc, N - k

x?8 = Z E a',,,,. 8 . . . . ( Z p',.,,, m')+ Z A j,,. 8. gj m E ~ " i = 1 m , ~ g 8 ~ m" ~,a~ ' j = 1

mais N - k

Z P ; , m , ' m ' = m i P / - ~ A;,~ .Rj . m' ~.~' j = 1

296 P. Philippon

On pose

et on obtient

m ~ " i = 1 m ~

A'i.~,~= Z Z a; , , . 6 . . . . . m i

N - k

X ~ . 6 = Z Ai,,,~Ri + ~ AJ,,.~ " PJ" i= 1 j ~ S

On remarque que j ne parcour t que le sous-ensernble S des ~ { 1 . . . . , m} tels que ~ '~+0 qui est de cardinal inf6rieur ~t la taille du d6terminant , donc < n l . . . n N k ( D + l ) k. Enfin en reprenant les est imations que nous avons donn6es au long de la d6monstrat ion, on v6rifie facilement les majora t ions annonc6es dans le l emme 1.2.

Pour mont re r que par sp6cialisation des (ai,2,,0 et (Pj, m) dans un corps R, telle que ~(I) soit de codimension N + I dans R [ X 0 . . . . ,XN] , il existe un 616ment ~(6) de l 'ensemble sp6cialis6 ~(A) qui est non nul dans R, il suffit de remarquer que l 'on a toujours l ' i somorphisme (.) apr6s sp6cialisation (et ceci sans hypoth6se sur la codimension de ~(I)) et que si ~(I) est de codimension N + 1, on a d 'apr6s le l emme 1.1

(I) D ~_ ~ [X 0 . . . . . XN] D.

On peut donc t rouver un choix de bases (~'i)i= 1 ...... des 9~D_d,/(Ii)D_d, tel que les ~(~'i) forment des bases de R [ X 0, ..., XN]D_d,/(~(Ii))D d,' et l'616ment ~(6) associ6 it ce choix de base est alors un 616ment de ~(A), non nul car 6tant le d6terminant d 'un isomorphisme. On a donc compl6tement d6montr6 le l emme 1.2.

On note F un corps de hombres d ' anneau d'entiers (~t et F=, le compl6t6 de F pour une valeur absolue, not6e I.],, non triviale sur F. Dans tout ce qui suit d~ d6signe le degr6 total d 'un po lyn6me P de F [ X o , . . . , X N ] et h(Q) la hauteur d 'un 616ment Q de (gF[X o . . . . . XN], c 'est-~-dire le logar i thme du maxi- m u m des diff6rentes valeurs absolues archim6diennes des coefficients de Q.

Nous d6mont rons main tenan t notre premier crit6re d ' ind6pendance alg6brique.

Th~or~me 1.3. Soit (0o, . . . , ON)~F N+ 1 et I un ideal homog~ne de F [ X o , . . . , XN] de codimension N + 1.

Soit ~ u n id(al homogOne de F I X o . . . . , XN] de codimension N - k et tel que, d'une part F [ X o , . . . , X N ] / g soit une extension entiOre de F [ X o , . . . , X k ] et d'autre part que e(O o . . . . , ON)= 0 pour tout e dans g.

II existe une constante C 1 ne ddpendant que de ~, N, F et max {[01[,} telle que: si I = ( g , Q1, ..., Q,) off Qi est un polyn6me homogOne de (gv[X 0 . . . . , XN] vOrifiant pour i = 1, . . . , n

[Q~(0 0 . . . . , 0 ~ ) l ~ < e x p [ - C 1 . max { h ( Q i ) + d ~ max {d~ k] i = 1 . . . . . n i = l . . . . . n

alors 0 o = . . . = 0 u = O.


D~monstration. Pour i = 1 . . . . . N - k appe lons R i une re la t ion homog6ne de d6pendance int6grale de Xk+ i sur F [ X o , . . . , X k + i _ I ] m o d u l o g et notons {Pa . . . . ,Pro} un ensemble form6 d 'un choix de g6ndrateur de ~ et des Q I , - . - , Q,. C o m m e la cod imens ion de I e s t N + 1, lorsque l 'on prend la valeur d ' un 616merit convenable 6 de l ' ensemble A du lemme 1.2 pour les valeurs des var iables ai,j,,, et pj, ~., co r r e spondan t aux po lyn6mes R 1 . . . . . RU-k, PI . . . . . Pm ci-dessus, on t rouve un 616ment non nul de F de tail le major6e d 'apr6s les es t imat ions du l emme 1.2 pa r

c2( max {h(Qi )+d~ max {d~ k, i - 1 . . . . . n i - 1 . . . . . n

off c 2 ne d6pend que de ~, N e t F. R e p o r t a n t (X o . . . . , XN)=(0 o . . . . , ON) dans la re la t ion du l emme 1.2 on a

pour tout 1 = 0, . . . , N e t S u n sous-ensemble de { 1, . . . , n}

O ).Qj(Oo . . . . , ON). j a S

On obt ient donc:

10~l~. [5l, < Z IAj(0o, . . . , 0N)I , IQj(0o, . . . , 0N)I, j z S

o f i D < e 3 max { d ~ 3 n e d 6 p e n d q u e d e 5 ~ e t N . i - -1 , . . . ,n

Mais on a pa r l ' in6galit6 de la tail le dans F

]~[v__>exp[-c4( max {h(Qi )+d~ max {d~ k] i = 1 . . . . . n i = 1 . . . . . n

off c 4 ne d6pend que de g, N e t F. D 'un autre c6t6, on a, au vu des es t imat ions du lemme 1.2:

]A)(0o, . . . , Ou)[~<=exp(c ~ max {h(Qi)+d~ .( max {d~ i - 1 . . . . . n i = 1 . . . . . n

avec une cons tan te c 5 ne d6pendan t que de g, N, F et max {[0i[v}. On voit donc que pour une cons tante C 1 convenable ne d6pendan t que de g, N, F et max {10i[~} on a une con t rad ic t ion si Fun des [Oz] v est non nul. C'est donc que sous les hypoth6ses du th60r6me 1.3 on a bien 0 0 . . . . . 0N=0.

Le deuxi6me crit6re fait in tervenir des id6aux de codimens ions N e t s '6nonce:

Th6or~me 1.4. Soit (0o, 01 . . . . . ON)eF* x F ~ et (Id)d>dO une suite d'idOaux homogdnes de F [Xo, . . . , XN] = : N de codimensions N.

Soient (5(d) et a(d) deux fonctions croissantes de N dans N e t a un nombre rod > 0 tel que pour tout d > d o ;

cr(d+l)<=a~(d), 6(d+l)<__a6(d) et l i m 3 ( d ) = + o o .

Soit g u n ideal homogOne premier de ~ de codimension N - k tel que N / g soit une extension enti~re de F I X o . . . . , Xk] et que, e(O o . . . . , ON)=0 pour tout e dans g.

298 P. Philippon

I1 existe une constante C 2 > 0 ne d~pendant que de a, g, F, N et max {]0i]~}, vdrifiant l'assertion suivante: si pour tout d>do , ta vdr~e

et s'dcrit sous la forme

: ~ , ( X o ) = 1 / ~ ) .

i d = ( g , Q]d), ~a, �9 . - , Q . ( d ) )

off QI d) est un polynOme homogOne de CF[X o . . . . . XN] vOrifiant pour un hombre rod a > 0 et a > 2 k - 1 et tout i=1 , ..., n(d):

(i) d~ et h(Qld))<a(d),

(ii) ]Qla)(0o . . . . ,0N)lv =< exp ( - C2(6(d)) ~. (a(d) + 6(c0)),

aIors OJOo est atg~brique pour j = 1 . . . . . N, et de plus pour d assez grand on a; Qla)(Oo, ..., 0N)=0 pour i= 1 . . . . , n(d).

Ddmonstration. Les constantes c6, c7, ... qui apparaissent dans la suite ne d6pendent que de o ~, N, F et max {[0i[v}. La strat6gie de la preuve est de se ramener au (~crit6re de Gelfond classique)~ (cfl [19], p. 144). Nous allons donc construire pour tout i = 1, ..., N une suite (Gd)d>do de polyn6mes homog6nes de CF[Xo, Xi] v6rifiant:

(i) d~ 6(d) k et h(Gd)<c 6 6(d) k- l(a(d)+b(d)),

(ii) [Gd(Oo, Oi)[v <= exp (-- (C 2 - Cv)(a(d) + 6(d)). 6(d)').

Pour simplifier l '6criture nous choisissons i=1 . Et nous fixons un d > d o. Appelons R~ pour i = 1 . . . . . N - k une relation homog6ne de d6pendance int6grale de Xk+ i sur F [ X o , . . . ,Xk+ i_ l ] modulo g e t notons {P1, ...,P~} un ensemble form6 d 'un choix de g6n6rateurs de E et des Q]d), ..., ~,(a)'~'(d)

Pour i = 1 . . . . ,m soit hP i un po lyn6me de F [ X o , X1, Y, , . . . ,XN] tel que hPi(Xo, X l , 1 . . . . , XN) =Pi(Xo, ..., XN) , on a:

~Pi(Xo, x , ; r, x~ ..... x~)=Y~p~,,(Xo, x , ) . Y ~ X ~ . . . x ~ a_

off la somme est 6tendue aux ~ de longueur 6gale /~ d ~ ...... x~P~. Les p_~,~ sont des polyn6mes homoghnes en X 0 et X 1 de degr6s d ~ N et de hauteur <a(d). Le degr6 en Y, X 2 . . . . , X N de aP ies t =<6(d). On d4finit de m6me hR~ pour i = 1 . . . . . N - k .

Posons L = F ( X o, Xa) et mont rons que hld=(hR a . . . . , hRN_k ' hp1 . . . . . hp,,) est un id6al homoghne de L[Y, X 2 . . . . . XN] de codimension N. Pour cela il suffit de constater que la vari4t6 des z4ros de hi d dans IPu_I(L), off L d6signe la cl6ture alg4brique de L, est vide. O n distingue deux cas:

~) Dans l'hyperplan Y = 0 . On a, ou bien d ~ 1 7 6 ..... x P i>0 et alors on a toujours d~ d'ofl Pi(0, 0, X 2 . . . . . X ~ ) = 0 , ou bien

hPi(O' X 2 , "", X N ) = Z pa,iXa2 2... X~ ~' avec p~,ieF. I~1 = d~ ..... XN Pi

a t = O


Et si on a une solution non triviale dans (L) N- 1 du syst6me;

hRi(O,X 2 . . . . . X N ) = 0 i = 1 . . . . . N - k

hp~(0, X2 . . . . . XN)=0 j = l , . . . ,m

en la sp6cialisant on trouve des 616ments x 2 . . . . , x N de ff non tous nuls tels que:

_ a N - - . . X N ) . o = y~ P~,i" x T . . . xN - ~ ( o , o, x 2, ., [_~l=d~ ..... xNPJ

~1=0

et de m~me Ri(O, O, x2, ..., xN)=0. Ainsi I d a un z6ro dans l 'hyperplan X o = 0 de IPN(ff) ce qui est impossible

car 1 /~d:~(X0)=l /~d. On en d6duit que la vari6t6 des z6ros de hi d clans l 'hyperplan Y = 0 de IP N_ I(L) est vide.

fl) Darts l'ouvert Y#O. Soit (1, x 2 . . . . , xN)e(L) N un z6ro de hi d dans l 'ouvert Y#:0 de IP N_I(L), alors on a pour tout i = l , . . . , N - k et j = l , ..., m;

"Ri(1, x a . . . . , X s ) = R i ( X o, X1, x 2 . . . . , xN)=0 dans /S

et hp/(l, x2, ..., xN)= Pi(Xo, X1, x 2 . . . . . xN)=0 dans L.

Donc la vari&6 des z6ros de I a dans IPN(ff ) doit 6tre de dimension > 0 contredisant l 'hypoth6se que I d est de codimension N.

En r6sum6 on a montr6 que la vari6t6 des z6ros de hi a dans IP N_I(L) est vide et donc que hi d est de codimension N dans L[Y, X2, ..., XN]. Le lemme 1.2 fournit un polyn6me non nul G a de F [ X o , X1] v&ifiant pour un entier D < c s f ( d ) :

N--k

i= 1 j~S

Les estimations du lemme 1.2 permettent d'affirmer que G a est un polyn6me homog~ne en X 0 et X 1 de degr6 ~c6~(d) k et de hauteur <c66(d)k- l (a (d) +6(d)): (ici faire at tent ion: N e s t remplac6 par N - 1 et k. par k - 1 ) . G d v6rifie donc le point (i) requis, pour le point (ii) on remarque que

Ga(Oo, 01)= ~ A~(Oo, ..., ON)" Pj(Oo, ..., ON). jES

Et donc comme d'apr6s le lemme 1.2, A) est un polyn6me, homog6ne en X o et X 1 de degr6 ~c9O(d) k, de degr6 en X 2 . . . . ,XN<--_c96(d), et de hauteur <__c96(d) k -1 . (a(d)+6(d)) on en conclut d'apr+s l 'hypoth6se (ii) sur les polyn6- mes Q]n), "~(~) que "'", ~n(d)

IGa(Oo, 001~ 5 exp ( - (C 2 - c7). 6(d)'(a(d) + 6(d))).

Le crit&e de Gelfond classique (cf. [19], p. 144) affirme alors que 0a/0 o est un nombre alg6brique si C z e s t suffisamment grande par rapport it a, c 6 et c7, c'est-~t-dire ne d6pendant que de a, g, N, F et max {10~l~}.

300 P. P h i l i p p o n

Nous avons donc d6montr6 la premi6re partie du th6or6me 1.4. Mais alors

pour d> d o et pour i=1 , ..., n(d) le nombre ~i O~d) 1, ..., est alg6brique de

degr6 born6 ind6pendamment de d et de taille < c lo(a(d) + ~(d)). L'in6galit6 de la taille (cf. [19], p. 6) implique donc que si Q}d)(0 o, ..., Os)=t=O,

on a

Comme c~>0 et 6(d) ~ , oo ceci contredit l 'hypoth~se (ii) du th~or6me pour

d suffisamment grand. On a donc bien n(d)(0 0N)=0 pour i= i, n(d) et -~i \ 0~ " " ~ " ' ' '

pour d assez grand, et ceci ach~ve la preuve du th6or6me 1.4. Pour terminer ce paragraphe, signalons que si le th6or~me 1.3 nous parait

tel quel relativement satisfaisant, il n'en n'est pas de m6me du th6or~me 1.4 off il serait tr~s int6ressant de remplacer la condition a > 2 k - 1 par ~>k . Notamment le fait de se ramener au crit6re de Gelfond classique semble bien un pis aller. Enfin pour k = 1 le th6or6me 1.4 redonne (heureusement) ce crit6re de Gelfond classique.

2. Endomorphismes de vari~t~s ab~liennes

Nous commenqons par d6crire la situation que nous consid6rons dans ce paragraphe et les suivants.

Soit A une vari6t6 ab61ienne simple de dimension g, d6finie sur un corps de nombres F. On note F v le compl6t6 de F pour une valeur absolue, not6e I'lv, non-triviale sur F et O r l 'anneau des entiers de F. On pose k = Q | et l 'on suppose que tous les 616ments de End A sont d6finis sur F. Enfin pour d un entier positif on 6crit G = A d.

On se donne alors un corps K contenant k, qui est un k-espace vectoriel de dimension d. Le choix d'une base de K sur k fournit un homomorphisme de k- alg6bre p injectif de K dans l'alg6bre ~ ' (d, k) des matrices d x d ~t coefficients dans k, tel que p(1) soit la matrice identit6.

On se donne encore un sous-anneau unitaire (9 de EndA, de rang r sur 7Z, et un @-module libre F de rang d, engendrant K e n rant que k-espace vectoriel, et tel que p ( F ) c ~ ' ( d , (9). L'action naturelle de ~ ' (d , (9) sur G permet d'identi- tier p(F) ~ une sous-TZ-alg6bre de EndG. Remarquons que comme F engendre K en tant que k-espace vectoriel, si 71, . . . ,7 , sont des 616ments de F lin6airement ind6pendants sur (9 alors P(Vl),...,P(7,) sont lin6airement ind6pendants sur k.

Des exemples de telles situations seront explicit6s au paragraphe 3. Pour l'instant nous allons montrer un lemme pr6cisant les points de G(F~)

(not6 encore G par la suite) dont l 'orbite sous F est mal r6partie dans G. Pour cela nous reprenons la d6finition du coefficient de <<bonne r6partition>> d'un sous-groupe de type fini d 'un groupe alg6brique commutatif, donn6e dans [10].


Posons A ={P(7)" P; 7eF} pour peG, on a la d6finition:

#(A, G)= m i n /c~ A Q H ] H.=~ \ cod im~H ]

o~ H parcourt l 'ensemble des sous-groupes alg6briques de G distincts de G. On a toujours #(A, G)<=rangA/dimG et l 'on dit que A est <<bien r6parti>>

dans G si l 'on a l'6galit6. Nous pouvons maintenant 6noncer notre lemme:

Lemme 2.1. Soit p u n point de G et A l'orbite de p sous F, si #(A, G) <r/g, alors pes t un point de torsion de G.

DOmonstration. Elle repose sur une id6e que m'a aimablement communiqu6e K. Ribet. Traduisons le fait que #(A, G) < r/g. Cela signifie qu'il existe un sous- groupe alg6brique H de G de dimension h tel que:

coranga A c~ H < (r/g) codim G H.

S i p n'est pas un point de torsion de G, on a rangzA=rangzF=rd. En effet si l 'on a r angzA<rangzF il existe un 7 e F non nul, tel que 7 . p = 0 , ce qui entraine que deg(y) .p = 0, c'est-~-dire p e s t un point de torsion. On peut donc, s i p n'est pas de torsion, r66crire l'in6galit6 ci-dessus sous la forme:

rang z A c~ H > r h/g

ce qui entraine rang e A c~ H > h/g.

Remarquons que H est isog6ne /~ une puissance de A, H et A c~H sont donc bien des (9-modules, et de plus on a g divise h. Posons u = d - h / g et t =rangeA c~H, on a t+u>d .

On d6duit de ce qui pr6c6de qu'il existe des 616ments q01 . . . . ,(p, de Hom(G,A) qui sont lin6airement ind6pendants sur End A (ce sont les projec- tions de G sur les diff6rents facteurs de la puissance A" de A fi laquelle G/H est isog6ne), et des 616ments 71, ..., 7t de F qui sont lin6airement ind6pendants sur (9 et tels que:

q~(p(yj) .p)=0 pour i = l , . . . , u et j = l . . . . . t.

Comme nous l 'avons d6j/t remarqu6, le fait que Yl . . . . . 7t soit lin6airement ind6pendants sur (9 entra]ne que P(71), ..., P(Tt) sont lin6airement ind6pendants sur k.

Nous allons reformuler notre probl6me en termes d'alg6bre lin6aire sur k. Introduisons Ao=A(F~)/A(F~)tors et V = K | o oil l 'on consid6re K et A o

comme des k-espaces ~t gauche. On munit V d'une structure de K-espace vectoriel de la faqon suivante:

V?,?' EK V x ~ A o 7 ' . (7 | 7) |

302 P. Philippon

L'applicat ion suivante identifie H o m k (V, Ao) et K* = H o m k ( K , k):

i1: K*-7* H~ ( V, Ao)

~o-~(~ | x--, ~0(~). x).

Identifions ensuite, non canoniquement , V e t A~ en tant que K-espaces:

i2: V--~ A~o

7 | x ~ p(v) ~ (x, o . . . . . o).

L'applicat ion i 2 est clairement injective et pour montrer sa surjectivitg il suffit de constater que pour tout x darts A 0 on a i 2 ( K | x) d d'ofl l 'on d6duit, comme ces deux k-espaces vectoriels ont la mfime dimension d, que i2(K | = (k -x ) d et enfin quand x parcourt A 0 on trouve iz(K | Ao)= Ado .

Maintenant la si tuation d6crite un peu plus haut s 'gnonce: il existe ~o'~ . . . . , cp' ~K* qui sont k-lin6airement indOpendants, et 7~,--., Yt ~ K qui sont k-lin6airement ind6pendants tels que

il(qr pour i = 1 . . . . , u et j = l . . . . , t .

Ecrivons i~l(p)=~7'~| off les (Pt) sont k-lin6airement ind6pendants, on a alors : l

o = i~ (qr ( v s 71) | pL) = F. ~oi(~. 7',). p,, l 1

et comme qr ~'~)~k on a pour tout l, tout i et tout j :

~o',(vs. 7'1): 0.

Mais t + u > d = d i m k K et les (~o'i)~= 1 ...... sont lin6airement ind6pendants sur k, aussi pour tout l les (TiT's)s=1 ..... , doivent-ils 6tre k-lin~airement d6pendants, et enfin les (Ts)j=l ..... , 6tant lin6airement ind6pendants sur k il s'ensuit que l 'on doit avoir y ' t=0 pour tout l, c'est-A-dire i2~(p)=0 ou encore p = 0 dans A~. Mais on avait fait l 'hypoth6se pr6alable que p n'6tait pas un point de torsion, on obtient doric une contradict ion, qui d6montre le lemme.

Nous aurons en fait besoin au paragraphe 4 d 'une situation produit, ce qui nous am6ne/ l montrer le lemme suivant:

Lemme2.2 . Soient A1, A z, A 3 des sous-groupes de type fini de groupes alg~briques commutatifs Ga, G2, G3, qui s'inscrivent dans le diagramme de suites

0 ~G a- f , G 2 g , G 3 ' 0

J J J 0 , A 1 , A 2 , A 3 >0

exactes suivant :

alors #(A 2, G=) > min(#(A 1, G1); #(A 3, G3)).


De plus si les suites exactes sont scindOes, on a l'~galit& On en d~duit que si A est un sous-groupe de type f in i d'un groupe algObrique G commutat i f et q un entier >__ 1, on a

#(A q, G q ) = #(A, G).

D~monstration. �9 Soit H 2 u n sous-groupe alg6brique de G2, posons H 1 = f - l ( f ( G O n H 2 ) et H3=g(H2) on a l e s suites exactes:

0 ' H 1 , H 2 ~ H 3

O- * Al c~H 1 >A2c~H 2 ) A 3 ~ t t 3

d'ofi l 'on d6duit les relations:

- - , 0

d i m H 2 = d i m H 1 + d i m H 3

rang zA 2 c~ H2 ----~ rangz A 1 m H ~ + rang z A 3 c~ H3.

Comme par ailleurs on a:

d imG 2 = d i m G 1 + d i m G 3

rangzA 2 = rangzA a + rangzA 3

on en d6duit les relations suivantes:

codimG H 2 = c o d i m ~ H a + codimG3 H 3

corang~2 A 2 t'~ H 2 ~ corangA1A x c~ H a + c~ A 3 ~ H 3

> #(A 1, G1). c~ H1 + #(A 3, G3)" c~ H3

__> min(/l(A 1, G 1);/~(A 3, G3))" c~ H2"

L o r s q u e H 2 parcourt l 'ensemble des sous-groupes de G 2 de codimension > 0 on obtient :

#(Az, G2)= rain c ~ >min(# (Aa , G O;p(A3, G3)). n2.~G~ codim~2H2

�9 Q u a n d la suite exacte de groupes est scind~e, le sous-groupe H 2 = G ~ x H 3 montre , pour H 3 convenable, que:

#(A 2' G2) ~ c~ A 1 x (A 3 ~ H3) _ c~ A 3 n H 3 _ p(A 3, G3) c o d i m ~ H e codimG~ H 3

et de m~me le sous-groupe H 2 = H ~ x G3, pour H a convenable, mont re que:

/A(A 2, Gz)__<corang~(A a c~H1) x A 3 =coranga A t ~ H 1 - / ~ ( A 1, G0- codimG~H 2 codima~Ha

3 0 4 P . P h i l i p p o n

�9 Enfin pour la derniare assertion on raisonne par r6currence sur q. On a l e s suites exactes scind6es suivantes:

0 , G q - 1 ~ G q , G - - , 0

l J J 0 ) ,d q - 1 >A q ) . / [ - - ),0.

Et donc, d'apr6s ce qui pr6c6de, on a:

#(A q, G q) = min(p(A q - x, G q - 1); #(A, G)) = #(A, G).

On consid6re J//(q, F) agissant sur G q. Pour p u n point de G q appelons Aq l 'orbite de p sous J / (q , F). Nous utiliserons par la suite le corollaire suivant des lemmes 2.1 et 2.2.

Corollaire 2.3. Soit p un point de G q qui n'est pas de torsion, et Aq l'orbite de p sous JPl(q, F), alors #(Aq, G q) > r/g.

DOmonstration. On peut 6crire le point p comme un q-uplet (Pl . . . . ,pq) de points de G. Comme p n'est pas un point de torsion de G q l 'un au moins des Pl, ...,Pq n'est pas un point de torsion de G. Et, si Pio est ce point, Aq contient le sous- groupe de type fini suivant: {(71"Plo . . . . . 7q'Plo); 71 .... ,7q~F} qui n'est autre que la puissance qi+me, Aq, de l'orbite A de Plo sous E On a donc I~(Aq, Gq)>#(A q, G q) =#(A, G) d'apr6s le lemme 2.2. Et enfin comme Pio n'est pas un point de torsion de G on a par le lemme 2.1, #(A, G)=r/g ce qui ach6ve la preuve du corollaire.

Pour continuer notre pr6paration des paragraphes suivants, nous allons utiliser un plongement de G q dans un espace projectif. On sait qu'il existe un plongement

~e: Gq--. IPu

de G q dans un espace projectif IP N qui identifie G q/t une sous-vari6t6 projective lisse de IP u. C'est un tel plongement que nous utiliserons dans toute la suite.

I1 nous faut maintenant d6montrer un lemme d6crivant l 'action des endomorphismes 7~JC/(q, F) sur ~(Gq).

Nous choisissons une lois pour toutes 7~ . . . . . 7ra des 616ments •- lin6airement ind6pendants de F et nous d6finissons pour H entier positif

Fn = {mi Y l + . . . + mra 7re off I mil=< H pour i= 1 . . . . . r d}.

Nous 6nonqons alors:

Lemme 2.4. Il existe un nombre rod C 3 > 0 ne dOpendant que de 7t . . . . ,7re, G e t 7 j tel que pour tout H e N il existe un recouvrement f ini de 7J(G q) (dOpendant de H ) par des ouverts de Zariski (U,)~A~,, tel que pour tout 7eJCl(q, Fn) et tout e e A n , il existe une famille de polyn6mes homogOnes z~I:('~-t;(~)-t.o,~,...,.m~j,t:(~)~ en les variables X o , . . . , X N , d coefficients dans Cv, de mdme degrO <C3 H2 et de hauteur <= C3(H2+ 1), tels que pour tout Q= 7J(p)egJ(G q) de coordonnOes projec- tires (Xo(Q) . . . . ,XN(Q) ) la famille

~F,~ ~) tX ~r~ .., XN(Q)), ~) . . . ,F~ ~(Xo(Q), . ,XN(Q)) ) ~, 0 , ' f k 0 ~ , ~ / ~ ' , " '

Var i6 t6s ab61iennes et i n d 6 p e n d a n c e a lg6b r ique . I 305

pour chaque a ~ A H ou bien soit identiquement nulle, ou bien forme un systkme de coordonnOes projectives du point 71(7.p) de 7J(Gq). De plus, pour tout Q et tout 7eJC[(q, Fn) il exis te un a e A u et un j tels que F),~)(Xo(Q) . . . . , X s ( Q ) ) + O .

D~monstration. Consid6rons d ' abord le morph i sme de groupes alg6briques suivant:

~0': G ~ --, (G~) ~

P = ( P t . . . . . Pq)--~ (7 ~ " P~ . . . . . 7 ~ " Pq . . . . ,7rd'Pt . . . . ,7~d'Pq)"

On a pour ce morph i sme un recouvrement fini de q'(G q) par des ouverts de Zariski (WB,)~,~B, et des familles de ( N + l ) r d polyn6mes homog6nes (,~'~'~ q~(~'~ ) /t coefficients dans (9 F de degr~s et hauteurs born6s par V'O, l , " ' ' ~ N , r d f l ' ~ B ' une constante c 1 ne d6pendant que de G, T et des 7t, ..-, 7rd tels que pour tout point Q = 7'(p) de W~, de coordonn6es projectives (Xo(Q), ..., XN(Q)), la famille

,(~') (4j, i (Xo(Q), . . . , Xu(Q)))j=o ..... u soit, un syst6me de coordonn6es projectives du point ~P((Ti" Pl, . . . , Y<Pq)) de ~P(Gq), et ceci pour tout i--- 1, .. . , rd.

Soit main tenan t 7sJ/d(q, Fu), on a rd

7 = ( T i , j ) i = l ..... q a v e c 7 i , j = 2 m i j l T l e t I m l j t [ ~ H j= l , . . . ,q 1= 1

pour tout i, j e t I. L 'ac t ion de 7 sur un point p de G q s'6crit

7 " P = 7 ' ( P l , . . . , P q ) . . . . . ~ 2 mi j lTl 'Pj ,"" " j = l 1=1

On consid6re alors les morph ismes de groupes alg6briques:

~p((mij,)): (Gq) ~a ~ G q

( P l , ' " , Prd)--~ .. . , ~ mljt 'Pj, l . . . . j = l l

0(1 Pl = ( P l , i . . . . ,Pq , i ) E G q , (1 <__i<=rd). D'apr6s [18] lemme 7 pp. 176-177, et le fait que G est quas i -compact , on

sait qu'il existe une constante c 2 ne d6pendant que de G, telle que pour tout H entier positif, il existe un recouvrement fini (Vp)p~BH de (~(Gq)) r'/ par des ouverts de Zariski, et pour toute famille (m~j~) d'entiers satisfaisant [m~jz[ <=H il existe des ( N + 1)-uplets (~b~o ~ . . . . , q~)) de po lyn6mes homog6nes /t coefficients dans (9 F de degr6s major6s par c2 H2 et de hauteurs major6es par c2 (H2+1) tels que si Q = ( T ( p 0 . . . . . T(p ,d ) ) eV ~ de coordonn6es mult i-project ives

( X ( o l ) ( Q ) , �9 �9 �9 X(1)(()]N "/---,,' " " " ' x ( ~ d ) ( Q ) . . . . " X ~ d ) ( Q ) )

dans (IPN) rd, alors

(qS~)(X~ol'(O),..., x~d)(Q)) . . . . ,4)~)(X(o'~(Q),..., X~a)(Q)))

soit un syst6me de coordonn6es projectives de ~(~o((mij~))(px . . . . . p J ) dans IP N.

306 P. Philippon

On pose alors U~= Wa, c~(T o~p'o T - X)-a(va) avec a=(fl, fl')eBH • B '=A H c'est un recouvrement fini de T(Gq), et

_ F ( a ) _ t ~ ( # ) l ~ r ( f l ' ) ~ r ( f l ' ) ~ ,6(~)(,A'(fl') ,,A'(fl') ~ - - \ ` r i O l , " k ' O , 1 ~ " " " ~ W N , r d ] ~ �9 �9 �9 ~ " f i N ~ ' t ~ 0 , 1 ~ " " " ~ " f i N , r d ) ] "

Clairement pour tout point Q=~P(p)6~(G q) et tout ~6d//(q, Fn) il existe un g6A n e t une famille _Fr . . . . . XN(Q) ) formant un syst6me de coordonn6es projectives du point 7J(~ -p).

Soit ~'4=g dans A n. Les familles _F~)(Xo, . . . ,XN) et _F~')(Xo, . . . ,XN) sont des syst6mes de coordonn6es projectives de ~u(7-p' ) lorsque 7J(p'), de coordonn6es projectives (X o . . . . ,XN), parcour t un ouver t de Zariski de 7J(Gq). On a donc pour tout i, j~{0, . . . ,N}:

F)~,~'. Fi(;)-F)7)~ . F ('', =0. t ,~ / t P ( G q )

C o m m e _F~~ .. . . . XN(Q) ) est un syst6me de coordonn6es projectives de ~ (7 .p ) il existe un i o tel que F (') tX r . io,~ o~J, ..,XN(Q))+O, et l 'on a donc:

Vj=O, . . . ,N F),~)(X(Q)) F~) (X(Q) ) ,

Ceci mon t re que si F~ '~(X(Q))=0 la famille _F:")(X(Q)) est ident iquement nulle et sinon elle forme bien un syst6me de coordonn6es projectives du point 7/(~ �9 p). Nous avons ainsi compl&6 la preuve du lemme 2.4.

3. Le th6or6me principal

On reprend la s i tuat ion du pa ragraphe pr6c6dent avec, no tamment , / g ( q , F ) c E n d G q et ~ : Gq~IPx le p longement projectif d6j/l choisi.

Soit p u n point de G = G(F~), nous posons la d6finition suivante:

D6finition 3.1. Un point p de G sera dire propre pour Faction de F, s'il existe un homomorphisme analytique injeetif

d'un sous-groupe ouvert ~/: de F~ dans l'ensemble des points Fv-rationnels de G, contenant un sous-groupe d'indice fini de l'orbite de p sous Faction de E

R e m a r q u o n s que dans le cas off v est une valuat ion archim6dienne, on aura ~ : = ] R ou ~ , et s i v est une valuat ion ultram6trique, ~/: sera un sous-groupe compac t de F~.

Le th6or6me que nous allons mont re r au paragraphe suivant s '6nonce:

Th6or6me 3.2. Soit pun point d'ordre infini de G propre pour l'action de E Soit X la plus petite sous-varidtO algdbrique de G dOfinie sur ~ et contenant p. Alors o n a "

d i m X > min {gdr/(4g + 2r); ( g d r - 2g - r)/(2 g + r)}.

Remarquons tout de suite que la vari6t6 X est irr6ductible. Nous allons main tenan t d6duire le corollaire 0.1 du th6or6me 3.1.


DOduction du corollaire 0.1. On prend G = E a et si 9.1 est l ' anneau des endomorphismes de E, on pose F = 9 . 1 + ... +~1/3 e-~ et K=k(/~) . On peut supposer que/~ est un entier alg6brique. La repr6sentat ion p e s t l ' homomorph i sme qui, ~ un 616ment 7~K, fait correspondre dans JC/(d,k) la matr ice dans la base 1 . . . . . ]3 a-1 (par exemple) de l ' endomorph isme de mult ipl icat ion par 7. I1 est alors clair que le point (expE(u) . . . . , exp~(~a- lu))~E a est propre pour l 'act ion de E (Tout point de E a est propre pour l 'act ion de 9A.) On est donc dans la si tuation du th6or6me avec g = 1 et r = 2 ou 1, suivant qu'il y a ou n 'y a pas des multiplications complexes sur E. Enfin la dimension de X n'est autre que le degr6 de t ranscendance du corps Q(g~(u) . . . . . ~(/~a-lu)), et le th6or6me de Schneider nous assure que ce degr6 est > 1.

On a encore le corollaire suivant:

Corollaire 3.3. Soit A une vari~tO abOlienne simple dOfinie sur F de dimension g > 2 et de type C.M. Soit p u n point de A(Fv) , propre pour EndA, et d'ordre infini. Alors le corps de d~finition de p a un degr~ de transcendance > g / 4 sur Q.

D~monstration. On prend G = A et F = E n d A (et K = k ) . C o m m e A est /l mult ipl icat ions complexes, on a r a n g z F = 2 g et p est un point de G propre pour F qui n 'est pas de torsion, le th6or6me avec r = 2 g et d = l entraine imm6dia tement le r6sultat si g > 2 . Dans le cas g = 2 on sait que d i m X > 0 (cf. [18], p. 106).

Soit TG l 'espace tangent fi l 'origine du groupe G. On sait que l 'appl icat ion exponentielle expG du groupe de Lie G d6finit un diff6omorphisme local fi l 'origine de TG(Fv)~-F~ a v e r s G. Elle peut atre repr6sent6e, au moyen du p longement V, par des fonctions O o . . . . . O N analyt iques sur un voisinage de de l 'origine de F y qui ne s 'annulent s imul tan6ment en aucun point de ~ . Dans le cas archim6dien (voir 18 p. 198) on peut choisir ~ = F , ga ou 112 ga et les fonctions O o . . . . . O N sont d 'ordre strict <2. Darts le cas ultram6trique, J~ est ndcessairement un sous-groupe compac t de F~ ga.

Un h o m o m o r p h i s m e analyt ique e: ~/ - - ,G se factorise par l 'appl icat ion exponentielle de G, plus pr6cis6ment on a (cf. [-18] p. 22) le d iag ramme commuta t i f suivant off ~ est une appl icat ion F,-lin6aire, de F, dans TG(F~):

Appelons eq: ~ q - , G q (resp. ~q: F q--, TG q) l 'appl icat ion produi t d~duite de e (resp. ~ ) . F~n composan t avec le p longement projectif 7' de G q on obtient avec z=(z~ . . . . ,z~)~<~:

~g o eq(z)= 7 ~ o expa, o 5r ((po(Z), .. . , ~oN(z)).

off ~0o,..., ~0 u sont des fonctions analytiques de q-variables dans V q.

308 P. Philippon

Soit p u n point de G v6rifiant les hypoth6ses du th6or6me 3.2. On peut supposer, quitte 5. remplacer p par un de ses multiples, que l'orbite de p sous F est contenue dans l 'image de ~. Notons g l'id6al premier homog6ne de l 'anneau FIX o . . . . . XN] suivant:

g = ( P e F [Xo,. . . , XN] ; P ( ~ ( p .. . . , p)) = 0).

Soient L o . . . . , L N des formes lin6aires dans F [Xo, ... , XN]. Et on dira que L i 6 F [ X o . . . . . XN] est entihre sur F [ L o . . . . . Li_a] modulo g

s'il existe une 4quation de d4pendance int6grale R ~ F [ L o , . . . ,Li] telle que:

R ( L o . . . . ,LI )= Lm + am_ a (Lo, . . . ,L i_ ~) L'~- I + ... + ao(Lo, . . . ,L~_ x)~g.

On note n la dimension projective de l'id6al ~, c'est aussi la dimension de la vari6t6 X du th6or6me 3.2.

Pour pouvoir appliquer h la fin de la d6monstration du th6or6me 3.2 le crit6re d'ind6pendance alg6brique du w 1 (th6or6me 1.4), nous sommes amen6s d6s ~ pr6sent ~ <<normaliser>> convenablement le plongement 7/: Gq~IPN, par une transformation lin6aire des X o , . . . ,X N ~t coefficients entiers. Ce sera le lemme 3.5, mais auparavant montrons le r6sultat suivant que m'a communiqu6 D. Masser, que je remercie ici.

Lemme 3.4 (D. Masser). Soient L o . . . . . L, des formes lin~aires en X o . . . . , X N d coefficients dans ~ . II existe une constante S=S(TJ (Gq); Lo . . . . ,L~), telle que pour tout entier s > S e t tout entier k = 0, . . . , n, la forme lindaire,

L'~=L o + sL 1 + . . . + skLk

s'annule en un point de torsion de ~ ( G q) si et seulement si les formes Lo, . . . , L k s'annulent toutes en ce mdme point.

Ddmonstration. Soit Hab s la hauteur absolue sur IPN(~ ) (pour une d6finition de logH~b~(X o . . . . . XN) on se reportera h [-18] p. 19). Sur ~(Gq(~)) on a la hauteur de Weil fi(p')=logH~b~(p'), p ' e~(Gq(~) ) , et on sait qu'il existe une constante c 1 ne d6pendant que de 7J(G q) telle que si p' est un point de torsion de 7J(G q) alors h(p')<ca. Si P e ~ [ Y ] \ { 0 } on d6finit Ho(P)=Habs((Po,.. . ,pm)) dans lPm(~) off P ( Y ) = p o Y m + . . . + p , , , . Les deux faits suivants sont alors classiques (cf. [-18] p. 21)

(i) H o ( P ) > I pour P E ~ [ Y ] \ { 0 } ,

(ii) H o (P. Q) > e - aoeQ. Ho (p). Ho (Q) pour P, Q ~t~ [ Y].

Si donc E~ s'annule en un point p' de torsion de 7J(Gq), soit x=(x0 , . . . ,xN) un syst+me de coordonn6es projectives de p' dans t~, le polyn6me P ( Y ) = L o ( x ) + . . . +Lk(X_ ) yk de ~ (Y] s'annule en Y = s on a donc:

P ( Y ) = ( Y - s ) . Q ( Y ) d'ofl, si P ~ O :

s = H o ( Y - s ) < H o ( Y - s ) . Ho(Q)< H o ( P ) . e d~

C2 " Habs (X) " e k <= c2 "e~tp')+ n <= C2 "e c, +,


O~1 C 2 ne d6pend que de L o . . . . ,L, . Si S=c2 er e t s > S on a une contradic- t ion qui entraine que P - 0 , c'est-~t-dire Lo(x)=. . .=Lk(_X)=O et montre bien que les formes lin6aires L o . . . . , L k doivent s 'annuler au point p'.

Lemme3.5 . II existe N + I formes lindaires L o , . . . , L N en les X o . . . . , X N t i coefficients entiers rationnels, IinOairement inddpendantes, telles que pour i = • + 1 . . . . . N la forme L i soit entiOre sur F [ L o , . . . , Li_ 1] modulo ~ e t que de plus L o n e s'annule en aucun point de torsion de 7t(Gq).

DOmonstration. On dbduit ais6ment du lemme 3.4 qu'il existe N + I formes linbaires ind6pendantes et ne s 'annulant en aucun point de torsion de kU(Gq). (Appliquer ce lemme avec n = k = N , les formes lin6aires Xo, . . . , X Net prendre s = S + 1 . . . . . S + N + 1). Soient /5oN),...,/5~ ) ces formes lin6aires, on peut les supposer index6es de sorte que les images de /2o m .. . . ,/2~ ) darts F I X o . . . . , X N ] / g forment une base de transcendance de ce domaine int6gre de type fini.

Et maintenant nous allons construire par rbcurrence les formes L i en commenqant par L N.

C o m m e hypoth6se de r6currence supposons, pour t c < i < N , construites les formes lin6aires LN, L N_ 1, . . . , L i + l ainsi que des formes lin6aires/2~ . . . . ,/21 ) ne s 'annulant en aucun point de torsion de 7~(G q) et telles que Li+ 1 .. . . ,L N soient enti+res sur F [/2~ . . . . . /21 )] modulo g e t que l 'on ait

F[/2~,...,/2~), L;+ , . . . . , LN] = FEXo , . . . , XN].

Nous allons alors construire des formes lineaires /2~-,) . . . . . /2~2~ ) ne s 'annulant en aucun point de torsion de 7S(G q) et telles que /2~ . . . . . /2~) soient entiares sur F[/2~-~), ... ,/212~ )3 modulo g et que

F[L(~- 1), /2J-i) /20 L . . , L N ] = F [ X o , XN]. " ' ' ~ i - - l ~ i ~ i + l ~ . . . .

En posant L i=/2[) nous serons ramen~s ~ ]'hypoth~se de r6currence avec i - 1 au lieu de i (en effet les formes ]in6aires L~+,,...,L N ~tant enti~res sur F [/2~ .... ,/J~)] seront 6ga]ement enti~res sur F[/2~ i).,/21--~)] modulo ~).

Comme i>~ on peut supposer, quitte ~i r6ordonner ]es formes ]in6aires L(~,...,L~ ), que la forme L(~ ) est a]g6brique sur F[/2~ .... ,L(~)_,] modulo v ~. Soit donc R~(Y; Yo,..., Yi-l) un polynbme homog~ne, ~ coefficients dans F, @0, et tel que R,(/2[);/J~ ) ..... /~i)_,)E~. On note m son degr6. On fait alors la substitu- tion de variables:

Zj=L~)+s j /2[ ) pour j = 0 ... . , i - -1

off s o .. . . , s~_, d6signent i 616ments de F. Le polynbme R, s'6crit alors en fonction de Zo, . . . , Z i_ 1,/21):

R, (/21);/2~ . . . . �9 I21)- 0 -R- 2,;/2~ Zo, . ..,Z~_ 0 = R , ( 1 , - S o , . . . , - s i _ ,)(L(1))m + ...

off les pointill6s d6signent un polynbme en Z o , . . . , Z i_ 1 et /2~) de degr6 en /21) < m.

On choisit alors s o . . . . ,s~_ ~ dans Z de sorte que pour j = 0 , . . . , i - 1 on ait s j>S(~(Gq); L~), ~i ) (cf. lemme 3.4 avec k = 1) et Rl(1 , --So, ..., - -s i_ 04:0 , ce qui est possible c a r R 1 est un polyn6me homog~ne ~0.

310 P. Philippon

On pose I3~-')=I35)+s;I3~ ). D'apr6s le l emme 3.4 et le choix des sj on sait que/3~ -~) ne s 'annule en aucun point de torsion de ~P(G q) pour j = 0 , . . . , i - 1 .

C o m m e R,(1 , - s o . . . . . - s i _ l ) + O la relat ion R2t [I-~i)i , L(i-O 1), . . . ,E[Z1))e5 ~ est une relation de d6pendance int6grale de/31 ) sur F[E~-~), . . . , El-~)] modulo &

D 'au t re par t on a Ej ) = E j - 1 ) - s j l J [ ), l 'int6gralit5 de E~ ) sur F[Uo - ' ) . . . . . L(~21 )] modu lo # entraine celles de E~,. . . ,E~ ) ,, de plus il est 6galement clair que

F [L(/o - ' ) , ..., E'-')i-,, L(~ . . . . �9 L(~ )- ,,El)] �9

Pour i = N . . . . , K + I on pose L i = / 3 I) et pour i = 0 . . . . ,~ on note Li=L,(~ ). Ces formes vSrifient les assertions du lemme 3.5.

Remarquons , pour terminer ce paragraphe , que les formes linSaires L o . . . . . L N fournies par le l emme 3.5 ne dSpendent que de G, 7/ et 6 ~. Darts le pa ragraphe suivant, nous nous placerons sys t6mat iquement dans la si tuation ((normalisSe)> suivante: X o . . . . . X N dSsigneront les formes linSaires L o , . . . ,L N donn6es par le l emme 3.5 et ~ sera la no ta t ion du p longement de G q dans IP N obtenu en composan t le p longement considSr6 au d6but de ce pa rag raphe avec la t rans format ion lin6aire d6finie par Lo , . . . , L N.

4. D6monstration du th6or6me 3.2

gdr On peut supposer que g d - 1 - - ~ Sinon < 1 et l '6nonc6 du

r 2 g + r - th6or6me 3.2 est trivial. Soient alors D un entier a rb i t ra i rement grand, e un nom bre r6el tel que

2g 0 < e < g d - l - - - ,

r

et q un entier v6rifiant gd(gd + 1)

< & q + g d

Les constantes c o, c, . . . . ne d6pendent pas dans tout ce pa ragraphe de D. Soit ~={PeF[Xo,... ,XN];PI~,(Gq)=--O}, c'est un id6al homog6ne de codi-

mens ion N - g d q (car dim ~(Gq)=gdq) de F [ X o, . . . ,XN]; Reprenons les fonc-

tions q~o . . . . , q~N introduites au pa rag raphe pr6c6dent, et soit B(O, Ro) une boule circonf6renci6e contenue dans ~f~q, on peut alors 6noncer:

Lemme4 .1 . Pour tout entier D>co, il existe un polyndme P de Z [ X o . . . . ,XN] homogdne de degrd D et de hauteur born& ind@endamment de D tel que:

(i) PCf~, (ii) si @(z,, . . . , Z q ) = P ( ( o o ( Z ) , ...,ON(Z)) on ait pour 0 < R < R o ;

sup {1 ~(z)Iv} < exp(cl Dga- ~" log(R/Ro) + c2 D RZo). zeB(O,R)

Vari6t6s ab61iennes et ind6pendance alg6brique. I 3i 1

Ddmonstration. Nous allons construire un po lyn6me PeZ[Xo, ...,XN] de degr6 D tel que p~c~ et que la fonction:

(b = P(cp o . . . . , ~oN): B(O, Ro)--+F ~

s 'annule ~ un ordre > T = [c a D gd-~] + 1 it l 'origine, et que H(P)<= c 4. Soit ~ un syst6me maximal de mon6mes de degr6 D lin6airelnent

ind6pendants modulo ~. On sait que, ~ 6tant de codimension N-gdq, le cardinal de ~ est >=csDgdq. La fonction ~ s'6crit (on a not6 X-Z=X~~215 •

�9 = E ~215 • _XAe_~

On choisit des bases de F~ et TG(Fv)q ainsi qu 'une base de t ranscendance ~1 . . . . ,r du corps F(~l,...,~,w ) engendr6 sur F par les coefficients de la matr ice de l 'appl icat ion lin6aire ~ 6crite dans les bases choisies de F~ et TG(Fv)q.

En d6veloppant les fonctions q~o . . . . , cpN en.s6ries enti6res au voisinage de O, on a:

Vq (b(z) = E ( E az,,, P a) z]' • x zq, vENq X-~Xe~

off les az. ~ sont des 616ments du corps F(~a . . . . . ~ ,w) . Les az. ,, peuvent s'6crire:

a_z ,,, = A_~.,, (~ D .-., ~s, w)/B(~ D " ' ' ~s)

off AZ, ~ est un po lyn6me de F[Y 1 . . . . ,Y~,Y] de degr6 total <c6]v] et de hauteur

~c6(l~l+lvl.loglvl), (ofllvl=vl +...+vqetl_~l=2o+...+2~).

On a s<=gd. Les 6quations ( ~ a_z,,,.p_~=0)l~l<r donnent donc au plus cvT q+s __x-~ e_--

6quations lin6aires en les (pg.2z, z, it coefficients dans 2g et de tailles major6es par c 8 T- log T.

Le lemme de Siegel nous permet (cf. [19], p. 10) de t rouver une famille (P_~)_xzez d'616ments de 2g, non tous nuls, v6rifiant:

X a_z,,,'Pz=O pour tout v~Nq; Lvl<r x•

et telle que:

xz~smax{lPzl} <=exp ( c9Dgd'Dtgd-~)(q+s)~ ] <c~~ ( care> gd(s+ )"

C o m m e on sait que les fonctions (Po,--., q)N sont analytiques sur B(O, R0) (et dans le cas archim6dien d 'ordre 2) on a donc:

laz.,,lv'R~oVI<exp(qlDRZo) pour _X-a ~ S. v~[N q

312

D'od l'on d6duit que, pour R < R o :

sup {Iq'(z)l~}<_- Z I ~ %,,'PAL' Rivl z~B(O,R) tv]>T 3'-x~_~

< " Z I Z az,~,'P~l~RIo "1 vE i N q S - ~

<= Ip lo( 2 R'o v')

< . exp(c2DRg ).

Ceci ach6ve de d6montrer (ii). Comme les (P~)x-~-~ sont non tous nuls on a bien 6galement (i).

Soit C O la constante ne d6pendant que de V(Gq) intervenant dans le th~or6me de Masser-Wiistholz (cf. [10], p. 490).

[ ( 7"1 Posons H = gdq \Co / J + t, soit P l e polyn6me fourni par le lemme 4.1,

consid6rons l'id6al suivant de l'anneau F [Xo, ..., Xu] :

Jo=(g, ptF(~) F(~)'~" ";~.//g(q, FH) et c~EAH). ~ O , T ~ * " " ~ ~ N , ~ ] ~

Comme o~f r si (x o . . . . , xN) est un syst~me de coordonn6es projectives d'un point p' de IP N qui v6rifie:

V Q e Jo, Q (Xo, ..., xN) = 0

alors on sait que p' est un point de ~tt(G q) et que l'on a de plus pour tout 7 de //g(q, Fn) et au moins un c~ de A~ (d6pendant de 7):

0 = e(F(o~.~(Xo . . . . , XN),... , F(N~)~(Xo . . . . , XN) )

Off (F(97(x o, . . . , xs))i= o ..... Nest 6gal h un syst6me de coordonn6es projectives du point 7"P'. En conclusion, s i p ' appartient /l la vari&6 des z6ros de JD dans IPN(I~), que l'on notera Lr(JD), le polyn6me P de degr6 D s'annule sur:

~ ' (q , Fn)" P '= {7" P'; ? ~ JC/(q, r , )} ,

et comme Per# le th6or6me principal de [10J, p. 490 nous permet d'affirmer que

# (~ (q , r ) . p', ~(Gq))<r/g.

Cette in6galit6 compar6e au lemme 2.3 entraine que p' est un point de torsion de 7J(Gq), et on peut 6noncer le lemme:

Lemme 4.2. (i) Si p' ~Lr(JD) alors p' est un point de torsion de 7~(Gq).

(ii) La codimension de l'idOal homogkne Jo de F [ X o , ..., Xu] est > N.

DOmonstration. Nous venons de d6montrer (i), et (ii) s'en d6duit imm6diatement.

P. Philippon

Vari&6s ab61iennes et ind6pendance alg6brique. I 313

Dans le but d 'appliquer les th6or6mes du paragraphe 1, pour conclure la d6monstra t ion du th6or6me 3.2, nous devons donner des estimations arithmbtiques et analytiques pour les g6n6rateurs de l'id6al Jo.

On reprend le point p fix6 au paragraphe 3 dont l 'orbite sous F est contenue darts l ' image de e. On pose p = e ( z 0 et z 1 =(z 1 . . . . . z l )eFq.

Lemme 4.3. I1 existe des constantes c12 et c13 telles que pour tout entier D > c o

et si H = gdq \ C o l J + l ' p ~ 1 7 6 e t e e A u '

(i) P(F~o~,~(X) . . . . . F~)~(X)) =P~,~(X) soit un polyn6me homogOne de 2g+r

Cv[X o . . . . , XN] de degrO et de hauteur <c12 �9 D r

(ii) IP~,,(Cpo(Zl) . . . . , q0u(Z l ) lv<exp( -c l sD "e ~).

DOmonstration. (i) En utilisant le lemme 2.4, l 'on constate que P~., est un polyn6me homog6ne de C F [ X o , . . . , X N ] de degr6 < C s D H z et de hauteur < c14D(H2+ 1), l 'assertion (i) du lemme 4.3 en d6coule imm6diatement.

(ii) On sait que, puisque l 'orbite de p e s t contenue dans l ' image de s, pour tout 7 e F il existe au moins un z~ ~ f tel que 7 �9 P = e(z~).

Choisissons arbitrairement des Zy,,...,Z~r ~ dans U tels que 7~.p=e(zT,) ( i = l , . . . , r d ) pour la base 71,-",Yrd de F fixBe au w Et pour 7 = m x 7 1 + . . . + m ~ d T , ~ F on pose. z~=m 1 z~, + ... +m~dZ~r ~. On a bien 7.p=e(z~).

Enfin pour 7=(7"J)a=<~,jsq6JC/(q, F) on pose, q

Zv=(Z,, 1 . . . . ,Zv,q) avec zv, i= 2 z),l.j. j_ l

Et donc (qOo(Z~) . . . . . q~s(Z~)) et un systbme de coordonndes projectives du point t/'( 7 - (p . . . . , p)) de ~(Gq).

Ainsi si ~ ( z l ) e U ~ et si i s { 0 . . . . ,N} on a 6quivalence entre q)/(z~)4=0 et F},~](_~(z0)+0, et alors:

F L , ( 2 ( P~,a(~0(Zl)) = [-Fi(,~(__~(Zl))] d~ P ~ ~ , "'*, ~ ]

= P . . . . . !

_ " ~

\ q~i(z,) 7 P(q~o(Z,), ..., (ou(z,))

o~ 2 ( z 0 = ( ~ o ( Z 0 . . . . ,~o~(z0). Nous devons maintenant distinger le cas od v est une valuation

archim6dienne et le cas od ves t une valuation ultram6trique.

ii, a) Le cas off v est ultram&rique :

Dans ce cas ~ est un sous-groupe ouvert de F~ et il existe une boule B(O, R) circonf6renci6e de Ff contenue dans ~ q telle que tous l e s z~ (TeF) soient dans B(O,R) , on choisit un R o > R tel que, B(O, R o ) c ~ U q. Le lemme 4.1(ii) nous assure que pour 7 ~ F :

14~ (zr)lv < exp ( - c 15 Dga- e).

314 P. Philippon

(La constante c~5 d6pend du choix de R et R o mais celui-ci est fait ind6pendamment de D.)

Soit l le nombre premier associ6 ~t v; quitte ~t consid6rer dans ce qui pr6c6de le point l~.p au lieu du point p avec ve N, on peut supposer que les boules B(O, R) et B(O, Ro) sont suffisamment petites pour qu'une des fonctions q~o . . . . , ~0 N ne s'annule pas sur B(O, R0), soit q~ une fonction r6alisant cette

condition. On a rain {]qgi(Z)lv}=C16>O et l 'on d6duit donc de ce qui z~B(O, Ro)

pr6cbde et du fait que D H 2 <c17D ~ -~ que:

[P~,,( ~(Zl))[~ < exp ( -- cl 3 Dgn-~).

ii, b) Le cas oft v est archim~dienne :

Dans ce cas ~ U = ~ ou ~ et posant R = c I 8 H tOUSles z~ (7~Fn) sor~t dans B(O, R), on prend R o = 2 R et l 'on applique le lemme4.1(ii) qui donne, pour ~eA'(q, r~):

[~ (zr) lv _-< exp ( - c 19 Dgd- ~)

(DR 2<cxvD gd-~ car r

Nous allons maintenant montrer que

min { max [q~i(z)lv}>exp(-c2oR2). zEB(O,R) i=O,...,N

Pour cela il suffit de montrer que si B(O,R) est la boule centr6e en O de rayon R de TGq(~)~-(~gdq on a, en reprenant les notations du d6but du w 3:

min { max IOi(u)lv}>=exp(-c2oR2). u~B (O, R) i=O,...,N

Mais cela est une cons6quence facile de l'existence des 6quations fonctionnelles des fonctions thata.

Combinant cette minorat ion avec la majorat ion de Ir et l'6galit6:

Ip~,~(~(zO)l= F~,~ (-~(zO) ul P - ~p~(z~) �9 I~(z~)lv

on trouve finalement: [P~,~(_~(z0)l~ < e x p ( - c 13 ogd-e) ce qui ach6ve de montrer le lemme 4.3.

Ddmonstration du thdordme 3.2. R6indexant les g6n6rateurs de l'id6al JD, on peut 6crire J8 sous la forme:

JD = (8, p~D) . . . . . ptmD)D) )

Off ~ est l'id6al homog6ne premier de F [ X o . . . . , XN] de dimension ~: 6gale fi la dimension de la vari~t~ X intervenant dans le th~or6me 3.2, tel que F I X o . . . . . XN] /g soit une extension enti6re de F [ X o, ..., X J , et que:

e(~Oo(Z0, ..., q~N(zl))=0 pour tout e dans ~.


Les polyn6mes p(Z~) sont des 616ments homog6nes de (9v[X o . . . . . XN] qui v6rifient les assertions suivantes pour i= 1, ..., re(D):

2g+r

(i) d~176 et h(Pi(~ D r (lemma 4.3(i)),

(ii) IP/(m(q~ o (z0, ..., ~pN(Z0)]v < exp ( -- c13 D gd- ~) (lemme 4.3 (ii)).

De plus comme X o n e s',annule en aucun point de torsion de ~V(Gq), on conclut du lemme 4.2 que la forme lin6aire X o n'est pas diviseur de z6ro

modulo ]f~o (ce qui s'6crit encore, cf. w ]fJDD:~(X0)=]/~O). Of 1 = F[Xo, . . . , XN].

2g+r

Posons: 6(D)=a(D)=[c12D r ] + 1 . Si pour une infinit6 de D l e s id6aux Jo sont de codimension N + 1, le th6or6me 1.3, joint h la non nullit6 de _~(Zl), nous permet de conclure que pour de tels D on a

Dgd-~ < c21 ( ~ K + 1

2g+r

Comme a(D)= [ClzD r ] + 1 en faisant tendre Dve r s l'infini, on obtient:

(gd-e) r ~c>_ 1.

- 2 g + r

Si l 'on n'est pas dans ce cas, alors il existe un D O tel que pour tout D>D o les id6aux Jo soient de codimension N (~ cause du lemme 4.2(ii)). Comme le point p consid6rb dans le th6or6me 3.2 n'est, par hypoth~se, pas de torsion et que d'apr6s le lemme 4.20) la vari6t6 ~(JD) des zbros de Jo dans IP Nest contenue dans les points de torsion de ~V(Gq), le th6or6me 1.4 nous permet de conclure que: K>=(gd-e)r/(4g+ 2r).

La construction du lemme 4.1 ayant 6t6 faite pour tout 0 < ~ < g d - 1 - 2 g / r on en d6duit que

( gdr _ 4g+2rgdr } ~:>min ~ 2 g + r 1; .

Le th6or6me 3.2 est ainsi d6montr6. Nous avons donc d6mo ntr6, lorsque g d r - 2 g - r > 0, que

gdr d i m X > - - > 0 s i p n'est pas un point de torsion. I1 existe des cas, quand

gdr - 4 g + 2 r 2-g+r < 1, ot~ le point p consid6r6 peut-etre alg6brique sans etre de torsion.

Nous discutons dans la liste ci-dessous les diff6rentes situations possibles avec

gdr < 1. 2 g + r -

Avant d 'aborder la discussion, nous voulons souligner un point: la d6finition de propre pour F (d6finition 3.1) que nous avons donn6e au paragraphe 3 n'est pas 6quivalente, dans le cas archim6dien, au fait qu'il existe un 616ment de TG(Fv), l'espace tangent h l'origine de G, dont l 'image par l'application exponentielle de G soit p, et qui soit propre pour l 'action naturelle de l 'application tangente ~t P(7) sur TG(F~) pour tout ~ dans F. Si un point p v6rifie cette derni6re assertion, nous dirons qu'il est fortement propre.

316 P. Philippon

1) r = 1, d = 1 et g quelconque: t ous l e s points de G sont for tement propres pour (9 = 7/. On ne peut doric esp6rer mon t re r en g6n6ral que dim X > 0.

2) r = 1, d = 2 et g > 2 : le probl6me de savoir si d i m X > 0 est encore ouvert (cf. [18], p. 105) marne pour les points for tement propres.

3) r = l , d = 2 ou 3 et g = l : le th6or6me de Schneider nous assure que dim X > 0 s i p est for tement propre (cf. [2] pour le cas ultram6trique). En g6n6ral, le probl6me est ouvert. En part iculier si go est une fonction elliptique de Weierstrass, co 1 une p6riode non nulle et u un point alg6brique de go, non

( 4u2 t de torsion, le nombre go c~1 + ~ / est-il t ranscendant?

4) r=2, d = l et g quelconque: si G est une vari6t6 de type C.M. et z un nom bre irrat ionnel dans le corps des mult ipl icat ions complexes fix6 par le type C.M.; alors t o u s l e s points de G sont propres pour ( 9 = ; g + 7 l r . On ne peut donc dans ce cas esp6rer mon t r e r en g6n6ral d im X > 0.

5) r = 2, d = 2 et g = 1: le th6or~me de Schneider nous assure que dim X > 0 s i p est for tement propre (cf. [18]). En g6n6ral, le probl6me est ouvert , (voir le cas 3).

6) r= 3, d = 1 et g= 3: le th+or6me de Schneider donne encore dim X > 0 si p est for tement propre et non de torsion (cf. [1]). L 'hypoth+se r = 3 exclut g = 1 ou 2.

7) r = 4 , d = l et g = 2 : on sait que d i m X > 0 si p n'est pas de torsion et est (fortement) propre (cf. [18], p. 106). L 'hypoth6se r = 4 exclut g = l , en outre dans ce cas particulier propre entraine for tement propre.

5. L e cas sans tors ion

Ce pa ragraphe repose sur une suggestion que m ' a a imablement faite G.Wtistholz. Je veux l 'en remercier en ces lignes. Grfice /t cette id6e, nous pouvons 6noncer en reprenant les nota t ions des pa ragraphes 2 et 3:

Th6or~me 5.1. Soit p u n point de G propre pour l'action de F. Soit X la plus petite sous-vari~tO algObrique de G dOfinie sur Q et contenant p. AIors si X ne contient aucun point de torsion de G on a:

d i m X > ( g d r - 2g - r)/(2 g + r).

Avant de d6montrer le th6or+me 5.1, d6duisons-en le corollaire 0.2.

DOduction du corollaire 0.2. Soit E la courbe elliptique associ6e /t la fonction elliptique go. Consid6rons le p longement canonique de Weierstrass ~-tl: E'- '~IP 2. On peut voir ~u I(E) d c o m m e une sous vari6t6 de IW z. Soit p le point de kUl(E) d de coordonn6es mult iproject ives (go(u), go'(u), 1; ... ; gO(fld- t U), go,(fld- 1U), 1) (rappelons qu 'aucun des points u, flu, ..., f ld- lu n'est p61e de go d'apr+s le


th6or6me de Schneider). Soit X la plus petite sous-vari6t6 de G = 7Jl(E) d d6finie sur t~ et contenant p; puisque ga(u) est alg6brique, cette vari6t6 est contenue darts {p~}• -a si p~ est le point de IP z de coordonn6es projectives (O(u), ga'(u), 1). Et comme p~ n'est pas un point de torsion de q'~(E) (car aucun multiple entier de u n'est p61e de fd), {p~} • -~ ne contient aucun point de torsion de G. I1 en est done de m6me de X.

Si 9.1 est l 'anneau des endomorphismes de 7~(E) on prend / '=gA+ ... + 9~fl d-1 (fl &ant suppos6 entier alg6brique). Comme au w p. 19, si la repr6sentation p e s t l 'homomorphisme qui a 7~K fait correspondre dans J{(d, k) la matrice dans la base (1, ..., fld- 1) de l 'endomorphisme de multiplica- tion par 7, le point p est propre pour F (il est m6me fortement propre). On est done dans la situation du th6or6me 5.1 avec g = l et r = 2 (resp. 1) s'il y a (resp. n 'y a pas) des multiplications complexes. On a done:

dimX=degtr~Q(go(flu), ..., ~)( f ld- 'u))>d2-1(resp. ~ - l ) .

Enfin on sait d'apr6s le th6or6me de Schneider que l'on a toujours d i m X > 1.

DOmonstration du thOorOme 5.1. Elle coincide jusque, et y compris le lemme 4.3 avec la d6monstration du th6or6me 3.2, w 3 et 4, dont on reprend ici les notations, sauf pour le lemme 4.2 ii qui est remplac6 par:

Lemme 5.2. (i) si P' ~ ~(Jv) alors p' est un point de torsion de 7S(Gq),

(ii) la codimension de l'idOat homogOne Jv de F[Xo, . . . ,XN] est Ogale N + I .

D~monstration. La d6monstration du point (i) est identique /~ celle du point (i) du lemme 4.2. D'autre part, JD contient l'id~al homog6ne de F I X o . . . . . XN]"

g = ( P E F [ X o . . . . . XN]; P(T(p . . . . . p)) =0).

Et done Y'(JD)c 7J(Xq), mais comme X ne contient aucun point de torsion de G, ta sous-vari6t6 T(X q) ne contient aucun point de torsion de ~(Gq), et

combinant ce fair avec (i) on en d6duit que ~e(Jo) est vide, d'oO le (ii). La suite de la d6marche de la d6monstration du th6or6me 5.1 reprend, en

plus simple, la fin de la preuve du th6or6me 3.2. Nous donnerons les d6tails. Les constantes cl ,c2, ca, c4, ne d6pendent pas de D. R6indexant les g6n6rateurs de l'id6al Jo, on peut 6crire JD sous la forme:

~ p(D) (D) J D = t ~ ~, 1 , , . . . / ' ~ ) ,

o6 les polyn6mes p/<o~ sont des 616ments homog~nes de (_gF[X 0 . . . . . XN] qui v~rifient les assertions suivantes, pour i= 1, ..., re(D):

2g+r (i) d~ ~~ et h(PiW))<clD r (lemme 4.3(i)),

(ii) IP~W)(~o0 (z~) . . . . , ~pu(z~))[v < exp ( - c: D gd- ~) (lemme 4.3 (ii)).

Pour tout D l e s id6aux JD sont de codimension N + 1 (lemme 5.2(ii)). Le th6or6me 1.3 joint h la non-nullit6 de ~(z~) nous permet done de conclure que pour de tels D on a:

D g d - ~ ~ C 4 . D(2g+r/r)(~r + 1).

318 P. Philippon

En fa isant t e n d r e D vers l ' infini, on ob t i en t ~c > (gd-e)r_ 1. La c o n s t r u c t i o n du - 2 g + r

l e m m e 4.1 ayan t 6t6 faite p o u r tou t 0 < e < g d - 1 - 2 g / r , on en d6dui t q u e :

gdr d i m X = ~ C > 2 g + r - 1 ;

ce q u i est b i e n r a f f i r m a t i o n du th6or~me 5.1.

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Oblatum 13-V-1982

Documents

Variétés abéliennes et indépendance algébrique. I