HYDRAULIQUE EN CHARGEEcoulement en régime permanent des fluides incompressibles
v1.1.1
Roland O. YONABAING. M. Sc. Eau & EnvironnementAssistant d’Enseignement et de RechercheDépartement Hydraulique et Assainissement/LEAH - 2iEEmail: [email protected]
OBJECTIFS DE COURS ~ HEC
■ Comprendre et maîtriser les lois essentielles régissant la
dynamique des écoulements en charge
■ Equation de continuité
■ Equation des quantités de mouvement
■ Equation de l’énergie
■ Maîtriser la résolution des problèmes types en HEC :
■ Calcul de débit, de diamètre, de rugosité, de longueur,…
■ Comprendre le comportement énergétique des machines
hydrauliques génératrices (pompes) et réceptrices (turbine)
■ Maîtriser le calcul des réseaux ramifiés et maillés
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PLAN DE COURS
I. Généralités sur les écoulements en charge
II. Energie des écoulements
III. Etude des pertes de charge
IV. Pompes et turbines
V. Théorème des quantités de mouvement
VI. Procédés de calcul de l’écoulement en charge
VII. Calcul des réseaux
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BIBLIOGRAPHIE
27.03.15 4
■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique en Charge. Ouagadougou : 2iE, 2009.
■ Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972.
■ Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics - Part I : Hydromechanics.
Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011.
■ Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur.
Strasbourg : ENGEES, 2013.
■ Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses
Polytechniques Romandes, 1998.
■ Idel'Cik. 1969. Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969.
■ Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996.
■ Mar, Amadou Lamine. 2003. Cours d'Hydraulique - T1: Ecoulements en Charge. s.l. : Groupe
des Ecoles EIER-ETSHER, 2003. Vol. 1.
■ Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014.
GENERALITES SUR LES ECOULEMENTS EN CHARGE
Chapitre I
01. GENERALITES
■ Réseaux de distribution d’eau potable (AEP : Adduction en Eau
Potable)
■ calcul, conception, dimensionnement
■ gestion, optimisation, maintenance
■ Pompes et stations de pompage
■ Irrigation (sous pression)
■ Le système californien
■ L’irrigation localisée goutte à goutte
■ L’irrigation par aspersion
27.03.15
Domaines d’application
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01. GENERALITES
■ Ecoulement en charge : écoulement à section pleine. La section
intérieure droite de conduite est entièrement remplie par la veine
liquide.
■ Formes rencontrées : circulaire, rectangulaire, triangulaire...
■ La forme circulaire est optimale et plus répandue : répartition
homogène de la pression à l’intérieur du tube.
27.03.15
Définition d’un écoulement en charge
Paroi de conduite
Section d’écoulement
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01. GENERALITES
■ Variables caractéristiques des EC : débit 𝑄 et vitesse moyenne 𝑈
■ Au sens large, on admet dans l’étude des EC :
■ L’unidimensionnalité
■ 𝑄 = 𝑓 𝑥, 𝑡 et 𝑈 = 𝑓(𝑥, 𝑡)
■ Types d’écoulements
■ Ecoulements permanents
■ Eclt. Uniforme (et conservatif) : 𝑄 = 𝐶𝑡𝑒 et 𝑈 = 𝐶𝑡𝑒
■ Eclt. Variés :
■ EGV, EBV (conservatifs) : 𝑄 = 𝐶𝑡𝑒, 𝑈 = 𝑓(𝑥)
■ Eclt. Non conservatifs : 𝑄 = 𝑓 𝑥 , 𝑈 = 𝑓(𝑥)
■ Ecoulements non permanents (transitoires)
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Classification des EC (Ecoulements en Charge)
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01. GENERALITES
■ Section mouillée : 𝑆 = 𝜋𝑅2 = 𝜋𝐷2/4
■ Périmètre mouillé : 𝑃 = 2𝜋𝑅 = 𝜋𝐷
■ Rayon hydraulique :
𝑅ℎ =𝑆
𝑃=𝜋𝑅2
2𝜋𝑅=𝑅
2
■ Diamètre hydraulique :
𝐷ℎ = 4𝑅ℎ = 4𝑅
2= 2𝑅 = 𝐷
27.03.15
Eléments de géométrie pour la section circulaire
D
R
9
D = Diamètre intérieurR = Rayon Intérieur
02. REGIME D’ECOULEMENT
■ Viscosité: résistance à l’écoulement uniforme et non turbulent :
traduit la capacité du fluide à s’écouler → 𝑓 𝑇𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒
27.03.15
Viscosité dynamique
F
A= 𝜏 = 𝜂
𝑑𝑉
𝑑𝑦= 𝜇𝑑𝑉
𝑑𝑦
• Le facteur 𝜇 (aussi noté 𝜂), observé pour les fluides newtoniens est appelé viscosité dynamique
• Unité: poiseuille (PI) ou 𝑃𝑎. 𝑠 ou 𝐾𝑔/(𝑚. 𝑠)
10
02. REGIME D’ECOULEMENT
■ Viscosité cinématique : notée 𝜈, s’exprime en 𝑚2. 𝑠−1
Quelques valeurs de viscosité pour l’eau pure (ASCE)
27.03.15
Viscosité cinématique
Temp (°C)
Masse
volumique
(Kg/m3)
Viscosité
dynamique
(PI)
Viscosité
cinématique
(m²/s)
0 999,9 1,972E-03 1,972E-06
15 999,1 1,140E-03 1,141E-06
20 998,2 1,005E-03 1,007E-06
25 997,1 8,940E-04 8,966E-07
50 988,1 5,490E-04 5,556E-07
100 958,4 2,840E-04 2,963E-07
𝜈 =𝜇
𝜌
11
02. REGIME D’ECOULEMENT
27.03.15
Expérience de Reynolds : dispositif expérimental
Osborne Reynolds1842 - 1912
12
02. REGIME D’ECOULEMENT
27.03.15
Expérience de Reynolds : observations
𝑄,𝑈 𝑡𝑟è𝑠 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠Ecoulement en minces
filets parallèles
𝑄,𝑈 ± 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠Filets de courant
sinueux
𝑄, 𝑈 é𝑙𝑒𝑣é𝑠Apparition de turbulence
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02. REGIME D’ECOULEMENT
27.03.15
Nombre de Reynolds
■ Nombre adimensionnel, représente le rapport entre les forces d’inertie et de viscosité
𝑅𝑒 =𝐹𝐼
𝐹𝜈=𝜌𝑈2𝐿2
𝜇𝑈𝐿=𝜌𝑈𝐿
𝜇=𝑈𝐿
𝜈
𝑅𝑒 =𝑈𝐷ℎ𝜈=4𝑄
𝜋𝐷ℎ𝜈
■ Permet la caractérisation du régime d’écoulement d’un fluide
■ 𝑅𝑒 < 2300 : régime laminaire
■ 2300 < 𝑅𝑒 < 4000 : régime transitoire (instable)
■ R𝑒 > 4000 : régime turbulent
14
03. PROFIL DE VITESSE
27.03.15
Vitesse moyenne temporelle dans une conduite d’écoulement
𝑣 𝑡 = 𝑉 + 𝑉′
𝑉(𝑟, 𝜃) =1
𝑇 𝑡
𝑡+𝑇
𝑣 𝑡 𝑑𝑡
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03. PROFIL DE VITESSE
27.03.15
Expression algébrique du profil de vitesse
Ecoulement idéal𝑈 = 𝐶𝑡𝑒
Ecoulement laminaireProfil parabolique
𝑢(𝑟) = 𝑈0 1 −𝑟2
𝑅2
Ecoulement turbulentProfil parabolique
(Pernès, 2004)
𝑢(𝑟) = 𝑈0 1 −𝑟
𝑅
1/𝑛
Avec 𝑈0 = 2𝑈
16
04. CAVITATION
27.03.15
Tension de vapeur ℎ𝑣
Pression à
laquelle la phase
gazeuse d’une
substance est
en équilibre
avec sa phase
liquide et
solide, à une
température
donnée.
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04. CAVITATION
27.03.15
Condition de cavitation
■ Formation de cavités (ou poches) remplies de vapeur et de gaz
dans un fluide en mouvement
Il y a cavitation lorsque : 𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑒,𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 < ℎ𝑣
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ENERGIE DES ECOULEMENTS
Chapitre II
01. CHARGE HYDRAULIQUE
27.03.15
Expression de l’énergie en un point d’écoulement
■ Charge : énergie mécanique totale exprimée pour une masse
fluide en mouvement, en un point de l’écoulement :
■ Energie de pression : p𝒱
■ Energie de potentielle : 𝜌𝑔𝒱𝑧
■ Energie cinétique : ( 1 2)𝜌𝒱𝑉2
■ Energie par unité de poids
𝐻 =𝑝
𝜌𝑔+ 𝑧 +
𝑉2
2𝑔
20
01. CHARGE HYDRAULIQUE
27.03.15
Charge moyenne dans une section (1/2)
■ Dans une section droite de conduite:
𝐻𝑚 =1
𝑄 𝑃
𝜌𝑔+ 𝑧 +
𝑉2
2𝑔𝑑𝑄
■ Le terme 𝑃/𝜌𝑔 + 𝑧 est constant dans la section
■ Mais le terme 𝑉2/2𝑔 varie (cf. profils de vitesse)
■ On substitue à l’écoulement réel un écoulement fictif à
vitesse 𝑈 constante dan la section et l’on définit un coefficient 𝛼tel que: 𝛼𝐸𝑐𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 = 𝐸𝑐𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒
𝛼 =1
𝑈3𝑆 𝑉3𝑑𝑆
𝛼 est appelé coefficient de Coriolis.
21
01. CHARGE HYDRAULIQUE
27.03.15
Charge moyenne dans une section (2/2)
■ La charge moyenne s’écrit donc :
𝐻 =𝑃
𝜌𝑔+ 𝑧 + 𝛼
𝑈2
2𝑔
Valeurs de 𝛼 en fonction du nombre de Reynolds
Régime Reynolds α
Laminaire 𝑅𝑒 < 4 000 2
Turbulent
𝑅𝑒 ≈ 4 000 1,076
𝑅𝑒 ≈ 100 000 1,058
𝑅𝑒 ≈ 2 000 000 1,030
22
02. FLUIDE PARFAIT – FLUIDE REEL
27.03.15
Définition
■ Fluide parfait : mouvement descriptible sans prise en compte
des effets de viscosité et de conductivité thermique
■ 𝐹𝜈 = 𝜇𝛻𝑉 → 0 ⇒ 𝑅𝑒 = 𝐹𝐼 𝐹𝜈 → ∞
■ Concept : aucun fluide existant n’est parfait
■ Fluide s’écoulant sans perte d’énergie
■ Fluide réel: fluide ayant une viscosité. Leur mouvement est
assujetti aux frottements
■ Contre la paroi d’écoulement
■ Intermoléculaires (internes)
Ces frottements induisent des pertes d’énergie.
23
03. THEOREME DE BERNOULLI
27.03.15
Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits (1/2)
■ Daniel Bernoulli (1700 – 1782)
■ Médecin, physicien, mathématicien suisse
■ Hypothèses :
■ Fluide incompressible
■ Régime d’écoulement permanent
■ Ecoulement non tourbillonnaire
■ Fluide supposé parfait
■ Aucune machine hydraulique impliquée
■ Application du théorème de l’énergie cinétique :
∆𝐸𝑐1→2 = 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠 = 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠.𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 +𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠.𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒
Daniel Bernoulli(1700-1782)
24
03. THEOREME DE BERNOULLI
27.03.15
Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits (2/2)
𝐻1 = 𝐻2 →𝑃1𝜌𝑔+ 𝑧1 + 𝛼
𝑈12
2𝑔=𝑃2𝜌𝑔+ 𝑧2 + 𝛼
𝑈22
2𝑔
Enoncé du principe
Pour un fluide parfait en mouvement entre deux sections d’écoulements, l’énergie mécanique se
conserve
25
03. THEOREME DE BERNOULLI
27.03.15
Lignes de charge et ligne piézométrique
■ Ligne piézométrique : 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 =𝑃
𝜌𝑔+ 𝑧
■ Ligne de charge : 𝐻 = 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 + 𝐻𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 =𝑃
𝜌𝑔+ 𝑧 + 𝛼
𝑈2
2𝑔
𝑧
𝑃
𝜌𝑔
𝛼𝑈2
2𝑔Ligne de charge
Ligne piézométrique
26
03. THEOREME DE BERNOULLI
27.03.15
Mise en évidence de la perte de charge de charge pour les fluides réels
■ Vanne fermée (𝑄 = 0). La ligne de charge
est horizontale
■ Vanne ouverte (𝑄 > 0). L’écoulement se fait
avec des frottements
induisant une perte
d’énergie ∆𝐻. La ligne
de charge adopte une
pente J
27
03. THEOREME DE BERNOULLI
27.03.15
Théorème de Bernoulli pour les fluides réels (1/2)
■ RFD sur le volume 𝑑𝒱 en mouvement : 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚a
■ Section de conduite constante : 𝑎 = 0
𝑃1𝜌𝑔+ 𝑧1 + 𝛼
𝑈2
2𝑔−𝑃2𝜌𝑔+ 𝑧2 + 𝛼
𝑈2
2𝑔=𝜏0𝜌𝑔𝑅ℎ𝑑𝑥
Référence
𝐹𝑃2
𝐹𝑃1
𝑃 = 𝜌𝒱 𝑔
𝜏0
𝑑𝑥
𝑧1
1
𝑧2 𝑖
2 𝑥
28
03. THEOREME DE BERNOULLI
27.03.15
Théorème de Bernoulli pour les fluides réels (2/2)
■ En définissant 𝐽 la perte de charge unitaire (pente de la ligne
d’énergie)
𝐽 = −𝑑𝐻
𝑑𝑥=𝜏0𝜌𝑔𝑅ℎ
■ La contrainte de frottement à la paroi est alors donnée par :
𝜏0 = 𝜌𝑔𝐽𝑅ℎ = 𝜌𝑔𝜑(𝑈)
■ Quelle est la relation : 𝜏0 ∝ 𝜑(𝑈) ? (Cf. Etude des pertes de charge)
29
ETUDE DES PERTES DE CHARGE
Chapitre III
01. PERTE DE CHARGE
27.03.15
Définition et types de perte de charge
■ Tout fluide réel qui s’écoule perd de l’énergie
■ frottement contre les parois de la section d’écoulement
■ action des forces de viscosité
■ turbulence
■ obstacles induisant une courbure prononcée des lignes de
courants,…
■ La perte d’énergie, ou perte de charge, peut être :
■ Linéaire (ou régulière) : frottement du fluide contre la paroi
interne de la conduite, sur une longueur 𝐿
■ Singulière (ou locale) : du fait de singularités (variation brusque
du diamètre, changement de direction, robinetterie,…)
31
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Formulation générale
■ La perte de charge linéaire se met sous la forme
∆𝐻 = 𝐽𝐿
■ 𝐽 est la perte de charge unitaire : pente de la ligne d’énergie.
𝐽 = −𝑑𝐻
𝑑𝑥=𝜏0𝜌𝑔𝑅ℎ
𝜏0 = 𝜌𝑔𝐽𝑅ℎ = 𝜌𝑔𝜑(𝑈)
32
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Formule de Chézy
■ Postulat de Chézy (1775)
𝜑 𝑈 =𝑈2
𝐶2
■ 𝐶 est le coefficient de Chézy
𝑈 = 𝐶 𝑅ℎ𝐽
𝐽 =𝑈2
𝐶2𝑅ℎ
Antoine de Chézy(1718 – 1798)
33
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Formulation moderne de Darcy-Weisbach
■ Analyse dimensionnelle, couplée à des travaux
expérimentaux ont permis d’identifier la
fonction 𝜆
𝜆 = 𝑓𝑘
𝐷, 𝑅𝑒
■ Cette fonction permet le calcul de la perte de
charge par la formule de Darcy et Weisbach
𝐽 =𝜆
𝐷
𝑈2
2𝑔
Henry Darcy(1803 – 1858)
Julius Ludwig Weisbach(1806 – 1871)
34
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Calcul de 𝜆: cas du régime laminaire
■ En régime laminaire, la loi de Hagen (1839)
et Poiseuille (1841) lie la chute de pression
aux paramètres de l’écoulement :
𝐽 =128𝜈
𝑔𝜋
𝑄
𝐷4
■ On en déduit pour 𝑅𝑒 < 2000
𝜆 =64
𝑅𝑒
Jean-Louis Marie Poiseuille(1797-1869)
Gotthilf Hagen(1797-1884)
35
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Calcul de 𝜆: cas du régime turbulent lisse
■ Le régime d’écoulement est turbulent, mais les effets de la rugosité de la conduite sont négligeables : « tuyau lisse »
■ 𝜆 est exprimé par la formule de Prandtl-Von Karman
1
𝜆= −2 log10
2,51
𝑅𝑒 𝜆
■ Formulation implicite en 𝜆
■ Approximation de Blasius (1911)
𝜆 =0,3164
𝑅𝑒 1 4
Pour 104 < 𝑅𝑒 < 105
Ludwig Prandtl(1875-1953)
Théodore Von Karman(1881-1963)
Heinrich Blasius(1883-1970)
36
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Calcul de 𝜆: cas du régime turbulent rugueux
■ Le régime d’écoulement est turbulent, mais
les effets de la rugosité de la conduite sont
prédominants
■ 𝜆 est exprimé par la formule de Nikuradse
1
𝜆= −2 log10
𝑘
3,71𝐷
■ Rugosité ∝ hauteur des aspérités de
conduites
■ 𝑘 est la hauteur des aspérités : rugosité
absolue, en [mm].
■ 𝜖 = 𝑘/𝐷 est la rugosité relative
Johann Nikuradse(1894-1979)
37
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Calcul de 𝜆 : généralisation de Colebrook-White
■ Colebrook et White proposent une généralisation des formules de Prandtl-Von Karman et Nikuradse en 1839, applicable aux régimes transitoires et turbulents
1
𝜆= −2 log10
𝑘
3,71𝐷+2,51
𝑅𝑒 𝜆
■ Implicite en 𝜆, résolution par recherche itérative
■ Méthode trial & error
■ Méthode de convergence (Newton-Raphson,…)
■ Méthode de l’abaque: diagramme de Moody-Stanton
■ Approximations : Moody (1947), Swamee et Jain (1976), Haaland (1983), Chen (1984)…
Cyril Frank Colebrook(1910-1997)
Cedric Masey White(1898-1993)
38
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Calcul de 𝜆 : diagramme de Moody et Stanton (1944)
39
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Formules empiriques : formule de Gauckler-Manning-Strickler
■ Plus couramment appelée « formule de Manning-Strickler »
■ Très employée dans l’étude des écoulements à surface libre
■ Réécriture du coefficient de Chézy
■ Initialement proposée par Philippe Gauckler (1867)
■ Redécouverte par Manning (1885) : 𝐶 =1
𝑛𝑅ℎ1/6
■ Puis par Strickler : 𝐶 = 𝐾𝑠𝑅ℎ1/6
■ On en déduit, pour une conduite en charge
𝐽 =4103 𝑄2
𝜋2𝐾𝑠2𝐷163
≈10,29𝑄2
𝐾𝑠2𝐷5,33
Robert Manning(1816-1897)
40
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Formules empiriques : formule de Hazen et Williams
■ Très employée aux USA
■ Introduction d’un coefficient de rugosité noté 𝐶𝐻𝑊
Allen Hazen(1869-1930)
Gardner Stewart Williams(1866-1931)
𝐽 =10,675𝑄1,852
𝐶𝐻𝑊1,852𝐷4,87
41
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Formules empiriques : formule de Calmon et Lechapt (1965)
■ Formule de type monôme d’expression simplifiée
■ Traduit les influences relatives des paramètres 𝑄, 𝐿, 𝐷 sur la perte de
charge
■ Le triplet de coefficients {𝑎, 𝑛,𝑚} représente la rugosité de conduite
𝐽 = 𝑎𝑄𝑛
𝐷𝑚
42
02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE
27.03.15
Correspondances entre facteurs de rugosité
Correspondances entre 𝐾𝑠, 𝑘, 𝐶𝐻𝑊
Correspondances entre
𝑘 𝑒𝑡 {𝑎, 𝑛,𝑚}
43
03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE
27.03.15
Notion de singularité (1/2)
• Courbure des lignes de courant, qui décollent de la paroi
• Formation de zones de recirculation
44
03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE
27.03.15
Notion de singularité (2/2)
Comportement des lignes de courant au passage à travers une vanne (Idel’Cik, 1986)
45
03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE
27.03.15
Expression de la perte de charge singulière
■ La perte de charge singulière (ou locale) est liée à la charge cinétique de l’écoulement, prise en une section de référence
∆𝐻𝑠 ∝𝑈2
2𝑔
■ On définit un coefficient adimensionnel 𝐾, appelé coefficient de débit, dont la valeur dépend de la singularité.
∆𝐻𝑠 = 𝐾𝑈2
2𝑔=8𝐾𝑄2
𝑔𝜋2𝐷4
■ On peut assimiler une perte de charge singulière à une perte de charge linéaire de longueur équivalente 𝐿𝑒 = 𝐾𝐷/𝜆
46
POMPES ET TURBINES
Chapitre IV
01. POMPE
27.03.15
Définition
■ Pompe : générateur d’énergie, permet de déplacer un liquide
d’un point d’énergie faible à un point d’énergie plus élevé.
𝐻𝑝 = 𝐻𝑀𝑇 = 𝐻𝑠 − 𝐻𝑒 = 𝐻𝑔𝑒𝑜 + ∆𝐻
𝐻𝑝 = 𝑍2 − 𝑍1 +𝑃2 − 𝑃1𝜌𝑔
+ ∆𝐻𝑎𝑠𝑝 + ∆𝐻𝑟𝑒𝑓
𝑃ℎ = 𝜂𝑝. 𝑃𝑒𝑙 = 𝜌𝑔𝑄𝐻𝑝
P
𝑃𝑒𝑙 𝑃ℎ
48
02. TURBINE
27.03.15
Définition
■ Turbine : consommatrice d’énergie, prélève de l’énergie à
l’écoulement pour transformer (production d’électricité).
𝐻𝑇 = 𝐻𝑒 −𝐻𝑠
𝑃ℎ =𝑃𝑒𝑙𝜂𝑝= 𝜌𝑔𝑄𝐻𝑇
T
𝑃ℎ 𝑃𝑒𝑙
49
03. EQUATION D’ENERGIE GENERALISEE
27.03.15
Théorème de Bernoulli généralisé aux machines hydrauliques
■ Entre les sections 1 et 2 de l’écoulement :
𝐻1 + 𝐻𝑝 = 𝐻𝑇 + 𝐻2 + ∆𝐻1−2 +1
𝑔 1
2𝜕𝑉
𝜕𝑡𝑑𝑠
■ En régime permanent :
𝐻1 − 𝐻2 + 𝐻𝑝 − 𝐻𝑇 = ∆𝐻1−2
Représente les forces
d’inertie par unité de
poids
50
04. POMPE ET CAVITATION
27.03.15
Hauteur maximale d’aspiration d’une pompe de surface
■ La hauteur maximale d’aspiration pour une pompe de surface est donnée par la condition de non cavitation à l’entrée de la pompe
𝑍𝑒 − 𝑍1 <𝑃1𝜌𝑔− ∆𝐻1−𝑒 − ℎ𝑣
■ En pratique, la valeur de 7 m est utilisée, en admettant que le plan d’eau à l’aspiration est libre.
■ Cette condition n’est pas limitante pour les pompes aspirant en charge
51
THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT
Chapitre V
01. QUANTITE DE MOUVEMENT
27.03.15
Théorème de Quantité de Mouvement (ou Théorème d‘Euler) (1/2)
■ S’applique aux changement de
direction d’un écoulement
■ Calcul action eau/joint
■ Norme, direction et sens
■ S’applique au calcul de butée
53
Leonhard Euler1707-1783
01. QUANTITE DE MOUVEMENT
27.03.15
Théorème de Quantité de Mouvement (ou Théorème d‘Euler) (2/2)
■ Soit 𝑰 le vecteur impulsion (quantité de mouvement) d’une masse fluide en mouvement :
𝐼 = 𝑚𝑈 = 𝜌𝒱𝑈
■ Le théorème d’Euler énonce alors que:
∆ 𝐼
∆𝑡= 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 + 𝐹𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 − 𝑅
■ Pour un système à plusieurs branches (entrées et sorties) :
𝑖
𝜌𝑄𝑖𝑈𝑖𝑛𝑖 =
𝑖
𝐹𝑖 + 𝜌𝑑𝒱 𝑔 − 𝑅
54
02. APPLICATION
27.03.15
Cas d’un coude
𝑅𝑥 = −𝜌𝑄𝑈2 − 𝐹2
𝑅𝑦 = 𝜌𝑄𝑈1 + 𝐹1
𝑅 = 𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦
2
𝜃 = atan𝑅𝑦𝑅𝑥
𝜃𝐹1
𝐹2
𝑈1
𝑈2
𝑅
𝑅𝑥
𝑅𝑦 𝑅
𝑛1
𝑛2
𝑥
𝑦
𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝑃𝑒𝑓𝑓𝑆
𝑃𝑒𝑓𝑓 = 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑎𝑡𝑚
55
PROCEDES DE CALCUL DE L’ECOULEMENT EN CHARGE
Chapitre VI
01. SYSTÈME D’ECOULEMENT
27.03.15
Définition
■ Système d’écoulement : ensemble de nœuds (ou sommets)
connectés par des tronçons de conduite (arcs)
■ Modélisable par un graphe
■ Le réseau hydraulique est un système d’écoulement dans lequel
■ Les nœuds sont des points de desserte (distribution)
■ Les tronçons sont des conduites qui transitent la demande au
nœuds.
57
01. SYSTÈME D’ECOULEMENT
27.03.15
Lois applicables
■ Loi des nœuds : conservation de masse
■ Loi des tronçons : traduit la conservation de l’énergie mécanique
(théorème de Bernoulli)
𝑄𝑒1
𝑄𝑒2
𝑄𝑠1
𝑄𝑠2 𝑄𝑒 = 𝑄𝑠
𝑖
𝑗
𝐻𝑖 −𝐻𝑗 = 𝑓𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑗
58
02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX
27.03.15
Conditions les plus défavorables
■ Réseau conçu avec l’esprit du « qui peut le plus peut le moins ».
■ Dimensionnement mené en situation de pointe (situation la plus
défavorable)
■ Débits maximaux écoulés dans les tronçons
■ Pressions minimales à tous les nœuds de distribution
■ Possibilité de concevoir avec une qualité de service (loi de
Clément)
■ Mais nécessité de connaitre les fréquences d’occurrence des
débits de pointe
59
02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX
27.03.15
Conditions de vitesse
■ Si la vitesse d’écoulement est trop forte
■ Pertes de charge élevées
■ Seuil limite pour le matériau canalisant l’écoulement
■ Si la vitesse d’écoulement est trop faible
■ Risque de dépôts (loi de décantation de Stokes)
■ Nécessité de définir une plage admissible de vitesses, selon les
domaines d’applications
■ AEP : 0,5 𝑚/𝑠 − 1,5 𝑚/𝑠 (vitesse économique 1 𝑚/𝑠)
60
02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX
27.03.15
Conditions de pression (1/3)
Conduite en dépression
61
02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX
27.03.15
Conditions de pression (2/3)
Problème de cavitation
62
02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX
27.03.15
Conditions de pression (3/3)
Profil idéal
63
03. PROCEDES DE CALCUL
27.03.15
Association de conduites en série
∆𝐻𝑒𝑞 = JL =
𝑖
𝐽𝑖𝐿𝑖 𝑄𝑒𝑞 = 𝑄𝑖 = 𝑄
64
03. PROCEDES DE CALCUL
27.03.15
Association de conduites en parallèle
∆𝐻1 = ∆𝐻2 = ⋯ = ∆𝐻𝑛
𝑄𝑒𝑞 =
𝑖
𝑛
𝑄𝑖
𝐿1, 𝐷1, 𝑄1
𝐿2, 𝐷2, 𝑄2
𝐿3, 𝐷3, 𝑄3
𝐿𝑛, 𝐷𝑛, 𝑄𝑛
𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑄𝑖
𝐴 𝐵
65
03. PROCEDES DE CALCUL
27.03.15
Desserte de débits unitaires égaux à égales distance (1/2)
66
03. PROCEDES DE CALCUL
27.03.15
Desserte de débits unitaires égaux à égales distance (2/2)
𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑
𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞
𝑄1𝑄0
∆𝐻 = 𝑎𝑑
𝐷𝑚
𝑖
𝑁
𝑄1 + 𝑖𝑞𝑛
𝑄𝑒𝑞 ≈1
3𝑄0
Si 𝑄1 = 0, ∆𝐻 = 𝑓 𝑄2 et
𝑁 assez grand, alors :
67
03. PROCEDES DE CALCUL
27.03.15
Desserte en route
𝑑𝑥
𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞
𝑄1𝑄0
… . . . … . . . … . . . … . . . … . . . … . . .
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑄𝑒𝑞 =𝑄0𝑛+1 − 𝑄1
𝑛+1
𝑄0 − 𝑄1 (𝑛 + 1)
1𝑛
𝑄𝑒𝑞 =1
𝑛 + 11𝑛
𝑄0 𝑄𝑒𝑞 = 0,55𝑄0 + 0,45𝑄1
Si 𝑸𝟏 est nul : Si 𝒒 ≪ 𝑸𝟎, 𝑸𝟏 :
68
03. PROCEDES DE CALCUL
27.03.15
Méthode des approximations successives
Objectif : trouver les 𝑄𝑖Données : Le débit total 𝑄, les 𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑡é𝑠
Critère d’arrêt: 𝜀 ≈ 10−1, 10−2, 10−3, …
Algorithme :
Répéter:
Fixer 𝑄′1Calculer ∆𝐻1Calculer les 𝑄′𝑖 𝑖≠1 (les ∆𝑯𝒊 sont égaux)
Calculer 𝑄′ = 𝑄′𝑖
Jusqu’à ce que 𝑄′ − 𝑄 < 𝜀
𝐿1, 𝐷1, 𝑄1
𝐿2, 𝐷2, 𝑄2
𝐿3, 𝐷3, 𝑄3
𝐿𝑛, 𝐷𝑛, 𝑄𝑛
𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑄𝑖
𝑄
69
CALCUL DES RESEAUX
Chapitre VII
01. RESEAUX HYDRAULIQUES
27.03.15
Fonctions des réseaux hydrauliques
■ Acheminer le fluide d’un réservoir vers des abonnés
■ Doit satisfaire des exigences
■ Débits demandé par l’abonné
■ Pression de service
■ Vitesse d’écoulement dans la gamme de valeurs admise
71
01. RESEAUX HYDRAULIQUES
27.03.15
Typologie des réseaux hydrauliques
Réseau ramifié Réseau maillé
72
01. RESEAUX HYDRAULIQUES
27.03.15
Problèmes types de calcul
■ Objectif : calculer les
charges et les pressions
à tous les nœuds
■ Calcul amont-aval
■ Objectif : calculer la
côte du plan d’eau au
réservoir
■ Calcul aval-amont
73
02. RESEAUX RAMIFIES
27.03.15
Calcul amont-aval (1/2)
■ Evaluer les débits de dimensionnement par tronçon en
situation de pointe
■ Choisir les diamètres de conduite (sur la base d’une
vitesse idéale)
𝐷𝑡ℎ =4𝑄𝑑𝑖𝑚𝜋𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
𝑒𝑡 𝐷𝑠𝑡𝑑 ≥ 𝐷𝑡ℎ
■ Calculer les pertes de charge par tronçon
∆𝐻𝑖𝑗 = 𝑓 𝑄𝑖𝑗 , 𝐿𝑖𝑗 , 𝐷𝑠𝑡𝑑𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗
74
02. RESEAUX RAMIFIES
27.03.15
Calcul amont-aval (2/2)
■ Evaluer les charges sur chaque nœud par le Théorème de
Bernoulli
𝐻𝑗 = 𝐻𝑖 − ∆𝐻𝑖𝑗 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑄𝑖→𝑗
■ Calculer les pressions statiques (ou maximales) et
dynamiques (ou réelles)
𝑃𝑚𝑎𝑥,𝑖 = 𝐻𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 − 𝑍𝑖 et 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 = 𝐻𝑖 − 𝑍𝑖 −𝑈𝑖2
2𝑔
■ S’assurer qu’en tout point 𝑖, 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 ≥ 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖
Terme souvent négligé pour son ordre de grandeur dans les réseaux
75
02. RESEAUX RAMIFIES
27.03.15
Calcul aval-amont (1/3)
■ Evaluer les débits de dimensionnement par tronçon en
situation de pointe
■ Choisir les diamètres de conduite (sur la base d’une
vitesse idéale)
𝐷𝑡ℎ =4𝑄𝑑𝑖𝑚𝜋𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙
𝑒𝑡 𝐷𝑠𝑡𝑑 ≥ 𝐷𝑡ℎ
■ Calculer les pertes de charge par tronçon
∆𝐻𝑖𝑗 = 𝑓 𝑄𝑖𝑗 , 𝐿𝑖𝑗 , 𝐷𝑠𝑡𝑑𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗
76
02. RESEAUX RAMIFIES
27.03.15
Calcul aval-amont (2/3)
■ Calculer la charge minimale imposée au réservoir par
chaque nœud de desserte
𝐻𝑖𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝
= 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖 + 𝑍𝑖 +
𝑖
𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟
∆𝐻
■ On retiendra comme ligne de charge la valeur maximale
des charges 𝐻𝑖𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝
𝐻𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 = max(𝐻𝑖𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝
)
77
02. RESEAUX RAMIFIES
27.03.15
Calcul aval-amont (3/3)
■ On effectue un calcul retour (amont aval) afin de retrouver
les charges et pressions (dynamiques et statiques)
𝐻𝑗 = 𝐻𝑖 − ∆𝐻𝑖𝑗 (𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑄𝑖→𝑗)
𝑃𝑚𝑎𝑥,𝑖 = 𝐻𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 − 𝑍𝑖 et 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 = 𝐻𝑖 − 𝑍𝑖
■ Vérifier aussi qu’en tout point 𝑖, 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 > 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖.
78
03. RESEAUX MAILLES
27.03.15
Problématique de calcul
■ Dans le cas des réseaux ramifiés, le sens d’écoulement
est implicite
■ Les débits en tronçon sont facilement déterminés
■ Mais pas dans le cas des réseaux maillés
■ Sens d’écoulement en tronçon ?
■ Débits fictifs de dimensionnement ?
■ Résolution des boucles
■ Méthodes itératives, méthodes matricielles
79
03. RESEAUX MAILLES
27.03.15
Méthode de Hardy Cross
■ Hardy Cross : méthode itérative de calcul de réseau maillé en
régime permanent
■ Relativement simple à mettre en œuvre
■ Convergence rapide (selon la graine initiale)
■ Facile à implémenter (programmation)
■ Deux approches
■ Approche aux nœuds : égalisation des débits
■ Approches aux boucles : égalisation des charges
■ Autres méthodes itératives : Newton-Raphson, Wood-Charles, …
80
Hardy Cross1885-1950
03. RESEAUX MAILLES
27.03.15
Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (1/3)
■ Objectif : pour une maille, ou plusieurs mailles contiguës,
retrouver les débits de dimensionnement dans les tronçons et
leur sens d’écoulement en régime permanent
■ Principe : trouver une répartition de débits qui annule la
perte de charge dans la maille
𝑎𝐿𝑖𝐷𝑖𝑚
𝑖=1
𝑁
𝑄𝑖𝑛−1 𝑄𝑖 = 0
𝐼𝐼𝐼
𝑄1
𝑄2
𝑄3
𝑄4
81
03. RESEAUX MAILLES
27.03.15
Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (2/3)
■ Identifier et numéroter les mailles
■ Fixer une convention de parcours de parcours de maille
■ Répartir arbitrairement les débits par tronçon
■ Evaluer une correction 𝑑𝑞 telle que
𝑎𝐿𝑖𝐷𝑖𝑚
𝑖=1
𝑁
𝑄𝑖 + 𝑑𝑞𝑛−1(𝑄𝑖 + 𝑑𝑞) = 0
Soit donc :
𝑑𝑞 = − 𝑖=1𝑁 ∆𝐻𝑖
𝑛 𝑖=1𝑁 ∆𝐻𝑖𝑄𝑖
82
03. RESEAUX MAILLES
27.03.15
Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (3/3)
■ Calculer les débits corrigés 𝑄′𝑖 = 𝑄𝑖 + 𝑑𝑞
■ Pour les tronçons appartenant à deux mailles, effectuer
une double correction.
■ Reprendre la procédure en itération 𝒏 + 𝟏 avec les nouveaux
débits 𝑄′𝑖■ critère d’arrêt des itérations : 𝑑𝑞 < 10−1 ~ 10−3 𝑙 𝑠
■ Conduire alors un calcul amont-aval ou aval-amont suivant
les paramètres recherchés
■ Calcul de charges réelles, pressions,…
83
04. CORRECTION DE PRESSION
27.03.15
Méthodes de correction des insuffisances de pression
■ Problème: 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 < 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖
■ Quelques moyens de correction
■ Augmenter les diamètres de conduite,
■ Choisir des conduites de plus faible rugosité,
■ Relever la ligne de charge (surélévation du radier du
réservoir, surpresseurs,…)
■ Retenir une ou plusieurs solutions selon
■ La facilité de mise en œuvre, le coût…
84
QUELQUES LOGICIELS…
LOGICIELS
27.03.15
Outils de simulation des réseaux en charge
86