Chap 5 système linéaire

Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 5 : Systèmes linéaires

Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007

1

CHAPITRE 5 : SYSTEME LINEAIRE

I- Généralités.................................................................................................................................................2

I-1 Définition d’un système linéaire......................................................................................................................2

I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire .....................................................................................................2

I-3 Rang d’un système linéaire..............................................................................................................................3

II- Résolution d’un système linéaire triangulaire .......................................................................................4

II-1 Résolution d’un système triangulaire supérieur par montée......................................................................4

II-2 Résolution d’un système triangulaire inférieur par descente .....................................................................5

III- Résolution d’un système linéaire de Cramer........................................................................................7

III-1 Définition d’un système de Cramer.............................................................................................................7

III-2 Résolution par l’inversion de la matrice du système..................................................................................7

III-3 Résolution par la méthode de Cramer ........................................................................................................9

IV- Résolution d’un système linéaire non de Cramer...............................................................................11

IV-1 Résolution d’un système avec second membre .........................................................................................11

IV-2 Cas particulier d’un système homogène....................................................................................................14

V- Complément : résolution d’un système linéaire par la méthode d’élimination de Gauss ..................17

V-1 Etapes de la résolution :................................................................................................................................17

V-2 Exemple : .......................................................................................................................................................21



2

I- Généralités

I-1 Définition d’un système linéaire Définition :

• On appelle système linéaire de n équations à m inconnues tout système de la forme :

=++

=++

nmnmn

mm

bxaxa

bxaxa

S

L

M

L

11

11111

)(

• Les coefficients )11(, mjetniba iij ≤≤≤≤ sont des réels donnés.

• Le n -uplet ),,( 1 nbb L est dit second membre du système )(S .

• mxx ,,1 L sont les inconnues du système.

• Tout m -uplet ),,( 1 mxx L de réels qui vérifie les équations du système )(S est dit

solution du système. • Le système )(S est dit homogène si 01 === nbb L .

Exemple :

♦

−=−−+−=−+

=+−+

1322

02

132

)(

4321

321

4321

xxxx

xxx

xxxx

S est un système linéaire de 3 équations à 4 inconnues

I-2 Ecriture matricielle d’un système linéaire

♦ Tout système linéaire

=++

=++

nmnmn

mm

bxaxa

bxaxa

S

L

M

L

11

11111

)( peut s’écrire sous la forme

matricielle bXA =. , avec :

=

nmn

m

aa

aa

A

L

MMM

L

1

111

,

=

mx

x

X M

1

et

=

nb

b

b M

1

♦

=

⇔

=++

=++

nmnmn

m

nmnmn

mm

b

b

x

x

aa

aa

bxaxa

bxaxa

S MM

L

MMM

L

L

M

L 11

1

111

11

11111

.)(



3

Définition : (Matrice d’un système linéaire)

Soit le système linéaire :

=++

=++

nmnmn

mm

bxaxa

bxaxa

S

L

M

L

11

11111

)(

• La matrice mjniijaA ≤≤≤≤= 1,1)( s’appelle la matrice du système )(S .

Exemple :

♦ Le système )(S est donné par :

−=−−+−=−+

=+−+

1322

02

132

)(

4321

321

4321

xxxx

xxx

xxxx

S

♦ La matrice du système )(S est égale à :

−−−−−

=3221

0312

1321

A

♦ L’écriture matricielle du système )(S est alors :

−=

−−−−−

1

0

1

.

3221

0312

1321

4

3

2

1

x

x

x

x

I-3 Rang d’un système linéaire Définition :

• On appelle le rang d’un système linéaire, celui de sa matrice.

Exemple :


−=−−+−=−+

=+−+

1322

02

132

)(

4321

321

4321

xxxx

xxx

xxxx

S


−−−−−

=3221

0312

1321

A

♦ 3)( =Srg car 3)( =Arg : 0

221

312

321

det ≠

−−−−



4

II- Résolution d’un système linéaire triangulaire Définition :

• Un système triangulaire supérieur c’est un système linéaire dont la matrice est triangulaire supérieure.

• Un système triangulaire inférieur c’est un système linéaire dont la matrice est triangulaire inférieure.

Remarque :

♦ Un système triangulaire admet une solution unique ssi sa matrice est inversible ssi ses éléments diagonaux sont non nuls.

Exemples :

1)

==+=+

33

232

131

2

3

2

)(

bx

bxx

bxx

S

=⇒

200

310

201

A

A est une matrice triangulaire supérieure, )(S est alors un système triangulaire supérieur.

2)

=++=+

=

3321

221

11

23

2

3

)(

bxxx

bxx

bx

S

=⇒

123

012

003

A

A est une matrice triangulaire inférieure, )(S est alors un système triangulaire inférieur.

II-1 Résolution d’un système triangulaire supérieur par montée

♦ Soit le système triangulaire supérieur

=++

=+

=++

−

+=∑

nnnnnn

i

n

ijjijiii

nn

bxaxx

bxaxa

bxaxa

S

1,1

1

11111

.0.0

)(

L

MM

MM

LLLL


=−

nn

nn

n

a

a

aaa

A

00

0

1

11211

L

OOM

MOO

L



5

♦ La solution du système triangulaire supérieur )(S est donnée par :

11),(1

,1

1

−≤≤−== ∑+=

nixaba

xba

xn

ijjiji

iiin

nnn

♦ On dit qu’on résolu le système par une méthode de montée.

Exemple :

−=⇒

==+

=+−

200

310

211

22

03

12

)(

3

32

321

A

x

xx

xxx

S

♦ 111 =a , 122 =a et 233 =a : 31,0 ≤≤∀≠ iaii 0det ≠⇒ A

♦ La matrice A est alors inversible et le système admet une unique solution, donnée par :

−=−+=−−=

−=−=−=

==

421)(1

33)(1

11

32313212111

1

3323222

2

333

3

xxxaxaba

x

xxaba

x

ba

x

♦

−−

=1

3

4

X est alors l’unique solution du système )(S .

II-2 Résolution d’un système triangulaire inférieur par descente

♦ Soit le système triangulaire inférieur

=++

=+

=+++

∑−

=

nnnnn

iiii

i

jjij

n

bxaxa

bxaxa

bxxxa

S

LLLL

MM

MM

L

11

1

1

112111 .0.0

)(


=

− nnnnn aaa

a

a

A

11

21

11

0

00

L

OOM

MOO

L



6

♦ La solution du système triangulaire inférieur )(S est donnée par :

nixaba

xba

xi

jjiji

iii ≤≤−== ∑

−

=

2),(1

,1 1

11

111

♦ On dit qu’on résolu le système par une méthode de descente.

Exemple :

−=⇒

=−+=+

=

223

012

003

1223

42

33

)(

321

21

1

A

xxx

xx

x

S

♦ 311 =a , 122 =a et 233 −=a : 31,0 ≤≤∀≠ iaii 0det ≠⇒ A

♦ La matrice A est alors inversible et le système admet une unique solution, donnée par :

=−−−

=−−=

=−=−=

==

3)231(2

1)(

1

224)(1

11

21232131333

3

1121222

2

111

1

xxxaxaba

x

xxaba

x

ba

x

♦

=3

2

1

X est alors l’unique solution du système )(S .



7

III- Résolution d’un système linéaire de Cramer

III-1 Définition d’un système de Cramer Définition :

Un système linéaire est dit de Cramer si le nombre de ses inconnues m est égal au nombre de ces équations n et est égal à son rang r )( rmn == .

Théorème :

� Un système linéaire est de Cramer ssi sa matrice associée est carrée )( mn = et inversible )( nr = .

� Un système linéaire de Cramer admet une unique solution. � L’unique solution d’un système linéaire homogène de Cramer est le vecteur nul.

Exemple :

=⇒

=++=++=++

123

312

231

23

32

23

)(

3321

2321

1321

A

bxxx

bxxx

bxxx

S

♦ ⇒== 3mn A est une matrice carrée d’ordre 3 .

♦ 18

123

312

231

det ==A : 0det ≠A et A est alors une matrice inversible )3( =r .

♦ Le système )(S est alors un système linéaire de Cramer.

III-2 Résolution par l’inversion de la matrice du système

On propose de résoudre un système linéaire )(S de n équations à n inconnues, écrit sous sa forme matricielle bXA =. .

Etapes de la résolution :

♦ On vérifie si le système )(S est de Cramer :

• Si 0det =A alors le système )(S n’est pas de Cramer.

• Si 0det ≠A alors le système )(S est de Cramer, et on passe à sa résolution.

♦ Un vecteur X est solution du système )(S ssi bXA =. ssi bAX 1−= car A est inversible.

• On calcule 1−A : ))((det

11 ACA

A t=−

• bAX .1−= est alors l’unique solution du système )(S .



8

Exemple :


−=++=++=++

1223

632

623

)(

321

321

321

xxx

xxx

xxx

S

♦ L’écriture matricielle du système )(S est :

−=

12

6

6

123

312

231

3

2

1

x

x

x

=123

312

231

A et

−=

12

6

6

b

♦ le système )(S est de Cramer :

18

123

312

231

det ==A : 0det ≠A A est alors une matrice inversible

♦ Le vecteur X est solution du système )(S ssi bXA =. ssi bAX 1−= .

• Calcul de 1−A : ))((det

11 ACA

A t=−

�

−−

−=

+−+

−+−

+−+

=517

751

175

12

31

32

21

31

2323

31

13

21

12

2323

12

13

32

12

31

)(AC

�

−−

−=

571

157

715

))(( ACt

�

−−

−=

−−

−=−

18/518/718/1

18/118/518/7

18/718/118/5

571

157

715

1811A

• bAX .1−=

−=

−

−−

−=

=⇒

6

0

6

12

6

6

.

571

157

715

181

3

2

1

x

x

x

X

♦

−=

6

0

6

X est alors l’unique solution su système )(S



9

III-3 Résolution par la méthode de Cramer

On propose de résoudre un système linéaire )(S de n équations à n inconnues, écrit sous sa forme matricielle bXA =. .


♦ On calcule le déterminant de la matrice A : Adet

• Si 0det =A alors le système )(S n’est pas de Cramer.

• Si 0det ≠A alors le système )(S est de Cramer, et on passe à sa résolution.

♦ On calcule les déterminants, dits de Cramer niDix ≤≤1, , où

ixD est le déterminant de

la matrice A où l’on a remplacé la colonne i par le vecteur b :

=

+−

+−

nnninnin

nii

x

aabaa

aabaa

Di

LL

MMMMMMM

LL

111

11111111

det , ni ≤≤1

♦ On calcule le vecteur solution

=

nx

x

X M

1

: niA

Dx ix

i ≤≤= 1,det

♦

=

A

D

A

D

Xnx

x

det

det1

M est alors l’unique solution du système )(S .

Exemple :


−=++=++=++

1223

632

623

)(

321

321

321

xxx

xxx

xxx

S

♦ L’écriture matricielle du système )(S est :

−=

12

6

6

123

312

231

3

2

1

x

x

x

=123

312

231

A et

−=

12

6

6

b



10

♦ le système )(S est de Cramer :

18

123

312

231

det ==A : 0det ≠A A est alors une matrice inversible

♦ Calcul des déterminants de Cramer

1xD , 2xD et

3xD :

• 10858

126

580

120

236)2,(

1212

316

236133122

1−=

−×=−

+→−→=

−=

LLLLLLDx

• 0530

161

5300

160

261)3,2(

1123

362

261133122

2=

−−−−

×=−−−−

−→−→=

−=

LLLLLLDx

• 108307

651

3070

650

631)3,2(

1223

612

631133122

3=

−−−−

×=−−−−

−→−→=

−=

LLLLLLDx

♦ Calcul du vecteur solution

=

3

2

1

x

x

x

X : ( 31,det/ ≤≤= iADxixi )

• 618108

det1

1 −=−==A

Dx x

• 0det

2

2 ==A

Dx x

• 618108

det3

3 ===A

Dx x

♦

−=

6

0

6

X est alors l’unique solution su système )(S



11

IV- Résolution d’un système linéaire non de Cramer Définition :

Un système linéaire non cramien ou non de Cramer c’est un système dont le nombre des inconnues m n’est pas égal au nombre des équations n ou dont le nombre des inconnues m est égal au nombre des équations n mais dont le rang r ne leur est pas égal

)( mn ≠ ou )( nretmn ≠= .

Exemples :

1) ⇒

=+−=−−−=++=+++

222

222

222

2432

)(

31

421

432

4321

xx

xxx

xxx

xxxx

S

−−−−

=

0202

2012

2210

4321

A et

=

2

2

2

2

b

)(S est un système linéaire non de Cramer : )4(MA∈ et 42)( ≠=Arg , )4( nretmn ≠==

2) ⇒

=+=−=+−=−+

223

235

2

232

)(

21

32

321

321

xx

xx

xxx

xxx

S

−−

−

=

023

350

111

132

A et

=

2

2

2

2

b

Le système )(S est un système linéaire non de Cramer : )3,4(MA∈ , )( mn ≠

IV-1 Résolution d’un système avec second membre

On propose de résoudre un système linéaire non de Cramer )(S de n équations à m inconnues, écrit sous sa forme matricielle bXA =. .

=

nmn

m

aa

aa

A

L

MMM

L

1

111

,

=

mx

x

X M

1

et

=

nb

b

b M

1


♦ On cherche le rang r de la matrice A : rArg =)(

• Si )( rmn == alors le système est un système linéaire de Cramer et sa résolution se

fait par l’une des méthodes développées au paragraphe précédent. • Sinon, le système est alors un système linéaire non de Cramer. Pour le résoudre, on suit

les étapes suivantes .



12

♦ On suppose que la matrice rA formée par les r premières lignes et les r premières

colonnes de la matrice A a un déterminant non nul r∆ :

rrr

r

r

mnrnrnn

mrrrrrr

mrrrrrr

mrr

aa

aa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

,1,

,11,1

,1,,1,

,11,1,11,1

,1,,1,

,11,1,11,1

L

MMM

L

LL

MMMMMM

LL

LL

MMMMMM

LL

=∆⇒

=

+

+++++

+

+

• Cette hypothèse peut toujours être vérifiée, à un changement près de l’ordre des

équations et/ou de l’ordre des inconnues. Elle ne restreint donc pas l’étude qui suit mais en simplifie seulement l’exposé.

• r∆ s’appelle le déterminant principal. On en déduit :

� Les inconnues principales rxx ,,1 L , dont les coefficients sont les colonnes de rA

� les autres inconnues mr xx ,,1 L+ sont dites non principales ou arbitraires.

� Les équations principales, qui sont les lignes du déterminant principal : ce sont les r premières équations du système.

� Les autres équations sont dites équations non principales.

♦ On écrit les matrices )1,( rnhM h −≤≤ de type )1,1( ++ rr définies par :

rnh

baa

baa

baa

M

hrrhrhr

rrrr

r

h −≤≤

=

+++

1,

,1,

,1,

1,11,1

L

L

MMMM

L

• Les déterminants des matrices )1,( rnhM h −≤≤ s’appellent les déterminants

caractéristiques du système bXA =. . On note rnhM hh −≤≤=∆ 1),det(

♦ On vérifie les conditions, dites conditions de compatibilité du système bXA =. :

rnhh −≤≤=∆ 1,0

• 1er cas : rnh −≤≤∃1 avec 0≠∆h

Les équations sont dites incompatibles et le système bXA =. est impossible ou insoluble.

• 2ème cas : rnh −≤≤∀ 1 , 0=∆h

Le système est possible. Pour le résoudre, on résout le système formé des r équations principales dont les inconnues sont les inconnues principales et où les inconnues arbitraires sont considérées comme des paramètres et sont ajoutées au second membre du système.



13

Exemples :

1) ⇒

−=+−−=−−−

=++=+++

222

222

022

1432

)(

31

421

432

4321

xx

xxx

xxx

xxxx

S

−−−−

=

0202

2012

2210

4321

A et

−−

=

2

2

0

1

b

♦ )4(MA∈ et 22)(2)( =⇒=⇒= rSrgArg

♦ Un déterminant principal est : 10

212 =∆ . On en déduit :

• Les inconnues principales : 1x et 2x

• Les inconnues arbitraires : 3x et 4x

• Les équations principales :

=++=+++

022

1432

432

4321

xxx

xxxx

♦ Les conditions de compatibilité sont : 21,0 ≤≤=∆ hh

• 0

212

010

121

1 =−−−

=∆ et 0

202

010

121

2 =−−

=∆

• Les conditions de compatibilité sont alors vérifiées et le système est possible.

� Sa résolution revient à résoudre le système de Cramer suivant :

+−=+−=+

)22(

)43(12)(

342

43211 xxx

xxxxS

� La solution du système )( 1S est donnée par :

+−=−+−=

)22(

2)43(1

342

2431

xxx

xxxx

♦ La solution du système )(S est alors égale à l’ensemble :

( ){ }24343231

4321 , ,22,1/),,,()( IRxxxxxxxIRxxxxSE ∈−−=+=∈=

♦ Vérification :

−=++−−=−−−−+−

=++−−=++−−++

22)1.(2

22)22()1.(2

022)22(

143)22.(2)1(

33

4433

4343

43433

xx

xxxx

xxxx

xxxxx



14

2) ⇒

=+−−=−−−

=++=+++

222

222

022

1432

)(

31

421

432

4321

xx

xxx

xxx

xxxx

S

−−−−

=

0202

2012

2210

4321

A et

−=

2

2

0

1

b

♦ )4,4(MA∈ et 22)(2)( =⇒=⇒= rSrgArg

♦ Un déterminant principal est : 10


• Les inconnues principales : 1x et 2x

• Les inconnues arbitraires : 3x et 4x

• Les équations principales :

=++=+++

022

1432

432

4321

xxx

xxxx

♦ Les conditions de compatibilité sont : 21,0 ≤≤=∆ hh

• 0

212

010

121

1 =−−−

=∆ et 04

202

010

121

22 ≠∆⇒=−

=∆

• Les conditions de compatibilité ne sont alors pas vérifiées et le système est impossible.

IV-2 Cas particulier d’un système homogène

On propose de résoudre un système linéaire homogène non de Cramer )(S de n équations à m inconnues, écrit sous sa forme matricielle 0. =XA .


♦ On cherche le rang r de la matrice A : rArg =)(

• Si )( rmn == alors le système est un système linéaire de Cramer et son unique

solution est le vecteur nul. • Sinon, le système est alors un système linéaire non de Cramer. Pour le résoudre, on suit

les mêmes étapes que pour un système linéaire non de Cramer avec second membre (Les conditions de compatibilité étant toujours vérifiées).



15

♦ On cherche le déterminant principal r∆ :

rrr

r

r

aa

aa

,1,

,11,1

L

MMM

L

=∆

♦ On en déduit : � Les r inconnues principales rxx ,,1 L .

� Les rm − inconnues arbitraires mr xx ,,1 L+ .

� Les r équations principales correspondantes à r∆ .

♦ Les conditions de compatibilité sont toujours vérifiées ( rnhh −≤≤=∆ 1,0 ) :

rnh

aa

aa

aa

baa

baa

baa

M

rhrhr

rrr

r

hrrhrhr

rrrr

r

hh −≤≤==

==∆

+++++

1,0

0

0

0

det)det(

,1,

,1,

,11,1

,1,

,1,

1,11,1

L

L

MMMM

L

L

L

MMMM

L

♦ On résout le système de Cramer formé par les r équations principales, dont les inconnues

sont les r inconnues principales et où l’on fait passer les rm − inconnues arbitraires au second membre du système bXA =. .

Remarque :

♦ La solution de tout système linéaire non de Cramer homogène est un sous espace vectoriel de dimension égale au nombre de ses inconnues arbitraires égale au rang de sa matice

Exemple :

⇒

=+−=−−−=++=+++

022

022

022

0432

)(

31

421

432

4321

xx

xxx

xxx

xxxx

S

−−−−

=

0202

2012

2210

4321

A et

=

0

0

0

0

b

♦ )4(MA∈ et 22)(2)( =⇒=⇒= rSrgArg

♦ Un déterminant principal : 10


� Les inconnues principales : 1x et 2x

� Les inconnues arbitraires : 3x et 4x

� Les équations principales :

=++=+++

022

0432

432

4321

xxx

xxxx



16

♦ Le système étant homogène, les conditions de compatibilité sont vérifiées.

� La résolution du système )(S revient alors à résoudre le système de Cramer

suivant :

+−=+−=+

)22(

)43(2)(

342

43211 xxx

xxxxS

� La solution du système )( 1S est donnée par :

+−=−+−=

)22(

2)43(

342

2431

xxx

xxxx

♦ La solution du système 0. =XA est alors égale au sous espace vectoriel :

{ } >−−=<∈−−==∈= )1,0,2,0(),0,1,2,1(),(,22,/),,,()( 2

43432314

4321 IRxxxxxxxIRxxxxSE

♦ Vérification :

=+−=−−−−−=++−−=++−−+

02).(2

02)22().(2

022)22(

043)22.(2)(

33

4433

4343

43433

xx

xxxx

xxxx

xxxxx



17

V- Complément : résolution d’un système linéaire par la méthode d’élimination de Gauss

♦ On considère un système linéaire )(S de n équations à n inconnues :

=++

=++

nnnnn

nn

bxaxa

bxaxa

S

L

M

L

11

11111

)(

♦ On l’écrit sous sa forme matricielle bXA =. :

=

nnn

n

aa

aa

A

L

MMM

L

1

111

,

=

nx

x

X M

1

et

=

nb

b

b M

1

La méthode d’élimination de Gauss consiste à construire un système linéaire triangulaire

(supérieur si on effectue les changements sur les lignes de la matrice du système ou inférieur si on effectue les changements sur les colonnes de la matrice du système) équivalent au système linéaire )(S et le résoudre par montée (système triangulaire supérieur) ou descente (système triangulaire inférieur).

V-1 Etapes de la résolution :

V-1-1 Etape 1

♦ On note AA =)1( et bb =)1( , le système s’écrit alors : )1()1( . bXA =

V-1-2 Etape 2 : 0)1(11 ≠a

♦ L’hypothèse 0)1(11 ≠a peut toujours être vérifiée, à un changement près de l’ordre des

équations et/ou de l’ordre des inconnues.

♦ On définit des nouveaux coefficients njiaij ≤≤ ,1,)2( et nibi ≤≤1,)2( par :

≤≤≤≤+⋅−=

≤≤=

njniaaa

aa

njaa

ijji

ij

jj

1,2

1

)1()1(1)1(

11

)1(1)2(

)1(1

)2(1

et :

≤≤+⋅−=

=

nibba

ab

bb

ii

i 2)1()1(1)1(

11

)1(1)2(

)1(1

)2(1



18

♦ Ce qui revient à effectuer pour la matrice A et le vecteur b les changements en lignes

suivantes :

≤≤⋅−=

=

niLa

aLL

LL

iii 2,)1(

1)1(11

)1(1)1()2(

)1(1

)2(1

♦ Le système )2()2( . bXA = ainsi obtenu est alors équivalent au système )1()1( . bXA = :

=

)2()2(2

)2(2

)2(22

)2(1

)2(12

)2(11

)2(

0

0

nnn

n

n

aa

aa

aaa

AMMMM

L

L

et

=

)2(

)2(2

)2(1

)2(

nb

b

b

bM

En effet :

o

=

nx

x

X M

1

est solution du système )2()2( . bXA =

o ssi nibxa i

n

jjij ≤≤=∑

=

1,. )2(

1

)2(

o ssi

≤≤⋅−=⋅−

=

∑

∑

=

=

niba

abxa

a

aa

bxa

ii

n

jjj

iij

n

jjj

2,)(

.

)1(1)1(

11

)1(1)1(

1

)1(1)1(

11

)1(1)1(

)1(1

1

)1(1

o ssi

≤≤⋅−=⋅−

=

∑∑

∑

==

=

niba

abxa

a

axa

bxa

ii

n

jjj

in

jjij

n

jjj

2,

.

)1(1)1(

11

)1(1)1(

1

)1(1)1(

11

)1(1

1

)1(

)1(1

1

)1(1

o ssi )1(1)1(

11

)1(1

1

)1(1)1(

11

)1(1 b

a

axa

a

a in

jjj

i ⋅=⋅∑=

ssi nibxa i

n

jjij ≤≤=∑

=

1,. )1(

1

)1(

o ssi

=

nx

x

X M

1

est solution du système )1()1( . bXA =

♦ On continue la même démarche jusqu’à construire le système )()( . kk bXA = à l’étape k .



19

V-1-3 Etape k : 0)1(1,1 ≠−

−−k

kka

♦ L’hypothèse 0)1(1,1 ≠−

−−k

kka peut toujours être vérifiée, à un changement près de l’ordre

des équations et/ou de l’ordre des inconnues.

♦ On définit des nouveaux coefficients njia kij ≤≤ ,1,)( et nib k

i ≤≤1,)( par :

≤≤≤≤+⋅−=

≤≤−≤≤=

−−−−

−−

−−

−

njnikaaa

aa

njkiaa

kij

kjkk

kk

kkik

ij

kij

kij

1,

1,11

)1()1(,1)1(

1,1

)1(1,)(

)1()(

et :

≤≤+⋅−=

−≤≤=−−

−−−−

−−

−

nikbba

ab

kibb

ki

kkk

kk

kkik

i

ki

ki

)1()1(1)1(

1,1

)1(1,)(

)1()( 11


suivantes :

≤≤⋅−=

−≤≤=−

−−−−

−−−

−

nikLa

aLL

kiLL

kkk

kk

kkik

ik

i

ki

ki

,

11

)1(1)1(

1,1

)1(1,)1()(

)1()(

♦ On montre de même que le système )()( . kk bXA = ainsi obtenu est équivalent au système

)1()1( . −− = kk bXA , donc au système bXA =. :

=

)(,

)(,

)(,

)(,

)(,1

)(,1

)(1,1

)(

00

0

0

knn

kkn

knk

kkk

kn

kk

k

k

aa

aa

aaa

A

L

MMMMM

LM

MMMO

LL

et

=

)(

)(2

)(1

)(

kn

k

k

k

b

b

b

bM

♦ On continue encore jusqu’à la dernière étape :



20

V-1-4 Etape n : 0)1(1,1 ≠−

−−n

nna

♦ On construit à cette étape, le système : )()( . nn bXA = , où :

=

)(,

)(,1

)(1,1

)(

0000

0

0

0

nnn

nn

n

n

a

aa

A

MOMM

MLOM

MLLO

LLL

et

=

)(

)(2

)(1

)(

nn

n

n

n

b

b

b

bM

avec :

≤≤−=+⋅−=

−≤≤=

−−−−

−−

−−

−

njnniaaa

aa

njiaa

nij

njnn

nn

nnin

ij

nij

nij

1,

1,1

)1()1(,1)1(

1,1

)1(1,)(

)1()(

et :

=+⋅−=

−≤≤=−−

−−−−

−−

−

nibba

ab

nibb

ni

nnn

nn

nnin

i

ni

ni

)1()1(1)1(

1,1

)1(1,)(

)1()( 11


suivantes :

=⋅−=

−≤≤=−

−−−−

−−−

−

niLa

aLL

niLL

nnn

nn

nnin

in

i

ni

ni

,

11

)1(1)1(

1,1

)1(1,)1()(

)1()(

♦ Le système )()( . nn bXA = ainsi obtenu est un système triangulaire supérieur dont la

résolution se fait simplement par une méthode de montée.

♦ On montre de même que le système ainsi obtenu )()( . nn bXA = est équivalent au système )1()1( . −− = nn bXA , donc au système bXA =. .

♦ On a ainsi déterminer un système triangulaire supérieur équivalent au système bXA =. .



21

V-2 Exemple :

⇒

=−−−=+−+

−=−+−−=++

2123

2824

97324

242

)(

432

4321

4321

421

xxx

xxxx

xxxx

xxx

S

−−−−

−−−=

11230

8214

7324

4012

A et

−=

2

2

9

2

b

V-2-1 Etape 1 :

♦ On note AA =)1( et bb =)1( , le système s’écrit alors : )1()1( . bXA =

V-2-2 Etape 2 : 02)1(11 ≠=a

♦ On effectue pour la matrice A et le vecteur b les changements en lignes suivantes :

≤≤⋅−=

=

42,)1(1)1(

11

)1(1)1()2(

)1(1

)2(1

iLa

aLL

LL

iii

ou encore :

⋅−→

⋅−→

⋅−−→

→

144

133

122

11

202424

LLL

LLL

LLL

LL

ie :

→

−→

+→→

44

133

122

11

2

2

LL

LLL

LLLLL

♦ On obtient alors :

−−−−−

=

11230

0210

1300

4012

)2(A et

−−

=

2

2

5

2

)2(b



22

V-2-3 Etape 3 : 0)2(2,2 =a

♦ On est dans le cas où 0)2(2,2 =a : on effectue alors un changement de l’ordre des équations

pour obtenir )0( )2(2,2 ≠a , ce qui revient à échanger la ligne 2 et la ligne 3 :

−−−

−−=

11230

1300

0210

4012

)2(A et

−−

=

2

5

2

2

)2(b


≤≤⋅−=

≤≤=

43,

21

)2(2)2(

22

)2(2)2()3(

)2()3(

iLa

aLL

iLL

iii

ii

ou encore :

⋅−−−→

⋅−

−→

→→

244

233

22

11

131

0

LLL

LLL

LLLL

ie :

−→

→

→→

244

33

22

11

3LLL

LL

LLLL


−−

−−=

1600

1300

0210

4012

)3(A et

−−

=

8

5

2

2

)3(b



23

V-2-4 Etape 4 : 03)3(3,3 ≠=a


=⋅−=

≤≤=

4,

31

)3(3)3(

33

)3(3)3()4(

)3()4(

iLa

aLL

iLL

iii

ii

ou encore :

⋅−−→

→

→→

344

33

22

11

36

LLL

LL

LLLL

ie :

+→

→

→→

344

33

22

11

2LLL

LL

LLLL


−−=

1000

1300

0210

4012

)4(A et

−−−

=

2

5

2

2

)4(b

♦ Pour résoudre le système bXA =. , il suffit alors de résoudre le système triangulaire

supérieur )4()4( . bXA = par montée :

o Le système )4()4( . bXA = s’écrit :

⇒

−=−=+−=−−

=++

2

53

22

242

4

43

32

421

x

xx

xx

xxx

⇒

−=

−=−−=

=−=

=−−=

2

1)5(3

1422

3)42(21

4

43

32

421

x

xx

xx

xxx

−−

=

2

1

4

3

X

V-2-5 Vérification :

bXA =

−=

−−

−−−−

−−−=

2

2

9

2

2

1

4

3

.

11230

8214

7324

4012

.

Education

Chap 5 système linéaire