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Mathématiques Financières - Chapitre 1 Année universitaire 2012-2013 modrissi.org 1 Chapitre 1: Intérêt et capitalisation 1.1 Intérêt et capitalisation 1.2 Taux d’intérêt équivalent 1 2 1.1 Intérêt et capitalisation Définition: La capitalisation est la démarche qui permet de passer d’une valeur actuelle à une valeur future d’un montant d’argent. Capitaliser des intérêts reçus consiste à les transformer en capital, qui va rapporter d’autres intérêts. 3 La valeur future (VF) d’un montant d’argent investi pendant une certaine période est égale à la valeur présente du montant plus les intérêts accumulés sur cette période. Exemple: Montant placé: 1 000 dhs Taux d’intérêt annuel: 10% = 0,1 La valeur actuelle (VA) est 1 000 dhs. La somme obtenue après 5 ans est la valeur future (VF) de 1 000 dhs placés pendant 5 ans à 10%. 4 La valeur future de 1000 dhs après un an est: VF = 1 000 (1 + 0,1) = 1 000 1.1 = 1 100 Lors de la deuxième année, on obtient 10% de ce montant. La valeur future de 1000 dhs après deux ans est: VF = 1 100 (1 + 0,1) = 1 210 Le montant initial (le principal) rapporte 100 dhs la première année et 100 dhs la deuxième année. Ces intérêts sur le capital initial sont appelés intérêts simples. 5 Les 100 dhs de la première année rapportent 10 dhs la deuxième année. Les intérêts reçus sur d’autres intérêts placés sont appelés intérêts composés. L’intérêt total est la somme de l’intérêt simple et l’intérêt composé. Soit: 210 = 200 + 10 Les intérêts intermédiaires ont été capitalisés. Ils forment un capital qui rapporte de l’intérêt. 6 Lorsqu’on calcule la VF d’un placement, on ne s’intéresse pas généralement à la partie simple ou composée. Pour la VF après 2 ans, on utilise directement la formule: VF = 1 000 (1 + 0,1) (1 + 0,1) VF = 1 000 (1 + 0,1) 2 = 1 210 Pour la VF après 3 ans: VF = 1 000 (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1) VF = 1 000 (1 + 0.1) 3 = 1 331

Math financier Chapitre 1

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Chapitre 1:

Intérêt et capitalisation

1.1 Intérêt et capitalisation

1.2 Taux d’intérêt équivalent

1 2

1.1 Intérêt et capitalisation

Définition:

La capitalisation est la démarche qui permet de

passer d’une valeur actuelle à une valeur future

d’un montant d’argent.

Capitaliser des intérêts reçus consiste à les

transformer en capital, qui va rapporter d’autres

intérêts.

3

La valeur future (VF) d’un montant d’argent

investi pendant une certaine période est égale à la

valeur présente du montant plus les intérêts

accumulés sur cette période.

Exemple:

• Montant placé: 1 000 dhs

• Taux d’intérêt annuel: 10% = 0,1

• La valeur actuelle (VA) est 1 000 dhs.

• La somme obtenue après 5 ans est la valeur future

(VF) de 1 000 dhs placés pendant 5 ans à 10%.

4

La valeur future de 1000 dhs après un an est:

VF = 1 000 (1 + 0,1) = 1 000 1.1 = 1 100

Lors de la deuxième année, on obtient 10% de ce

montant.

La valeur future de 1000 dhs après deux ans est:

VF = 1 100 (1 + 0,1) = 1 210

Le montant initial (le principal) rapporte 100 dhs la

première année et 100 dhs la deuxième année.

Ces intérêts sur le capital initial sont appelés

intérêts simples.

5

Les 100 dhs de la première année rapportent 10 dhs

la deuxième année. Les intérêts reçus sur d’autres

intérêts placés sont appelés intérêts composés.

L’intérêt total est la somme de l’intérêt simple et

l’intérêt composé. Soit:

210 = 200 + 10

Les intérêts intermédiaires ont été capitalisés.

Ils forment un capital qui rapporte de l’intérêt.

6

Lorsqu’on calcule la VF d’un placement, on ne

s’intéresse pas généralement à la partie simple ou

composée.

Pour la VF après 2 ans, on utilise directement la

formule:

VF = 1 000 (1 + 0,1) (1 + 0,1)

VF = 1 000 (1 + 0,1)2 = 1 210

Pour la VF après 3 ans:

VF = 1 000 (1 + 0,1) (1 + 0,1) (1 + 0,1)

VF = 1 000 (1 + 0.1)3 = 1 331

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7

De la même manière, on peut montrer que la VF

après 5 ans est:

VF = 1 000 (1 + 0,1)5 = 1 610.51

La VF de 1 000 dhs placés sur 5 ans au taux de 10%

est 1 610,51 dhs.

L’intérêt total reçu est 610,51 dhs.

L’intérêt simple est 500 dhs.

L’intérêt composé est 110,51 dhs.

8

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

1 2 3 4 5

Nombre d'années

Va

leu

r f

utu

re

Capital Intérêt simple Intérêt composé

Graphique 1.1 : Valeur future de 1 000 dhs

9

Remarque:

À la différence de l’intérêt simple, qui est constant,

l’intérêt composé croît dans le temps.

Dans l’exemple précédent, l’intérêt composé

représente 10% du total des intérêts gagnés lors des

périodes précédentes.

De manière générale, si on note le montant initial

par A, le taux d’intérêt par i et le nombre d’années

de placement par n, alors la VF de A est:

10

VF = A(1 + i)n (1)

Le terme (1 + i)n est appelé coefficient de

capitalisation.

Le tableau 1.1 décrit comment ce coefficient varie

avec le taux d’intérêt et avec le nombre d’années de

placement.

Le graphique 1.2 représente les courbes du

coefficient de capitalisation pour les mêmes valeurs

du taux d’intérêt.

11

n \ i 2% 4% 6% 8% 10% 12%

1 1.0200 1.0400 1.0600 1.0800 1.1000 1.1200

2 1.0404 1.0816 1.1236 1.1664 1.2100 1.2544

3 1.0612 1.1249 1.1910 1.2597 1.3310 1.4049

4 1.0824 1.1699 1.2625 1.3605 1.4641 1.5735

5 1.1041 1.2167 1.3382 1.4693 1.6105 1.7623

10 1.2190 1.4802 1.7908 2.1589 2.5937 3.1058

15 1.3459 1.8009 2.3966 3.1722 4.1772 5.4736

20 1.4859 2.1911 3.2071 4.6610 6.7275 9.6463

Tableau 1.1 : Coefficient de capitalisation

12

Graphique 1.2 : Coefficient de capitalisation

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Calcul des valeurs futures

Il existe plusieurs méthodes pour calculer la VF

d’un placement. En voici trois:

1. On peut utiliser la formule (1) en multipliant le

montant initial par le coefficient de capitalisation.

2. On peut utiliser une calculatrice financière ou un

logiciel du type tableur (comme Excel).

14

Nombre

d’années, n

Taux

d’intérêt, i Valeur

actuelle, PV Valeur

future, FV

15

3. On peut utiliser les tableaux des coefficients de

capitalisation disponibles dans les livres de finance.

4. On peut utiliser la règle de 72:

72Temps de doublement

Taux d'intérêt

Avec un taux d’intérêt de 10%, cela prend 7,2

années à une somme pour doubler.

16

Exercice 1.1: Épargner pour sa retraite

Vous avez 20 ans et vous voulez placer 1 000 dhs

dans un compte d’épargne au taux annuel de 8%

pendant 45 ans.

1. Quel sera le solde du compte lorsque vous aurez

65 ans?

2. À combien s’élèvent les intérêts simples et les

intérêts composés?

3. Si vous trouvez un autre placement à 9% par an,

combien gagnerez-vous en plus?

4. Refaire l’exercice en utilisant la règle de 72.

17

Exercice 1.2: Réinvestir à un taux différent

Vous avez 10 000 dhs à placer sur 2 ans en

certificats de dépôt émis par des banques.

Aujourd’hui, les certificats de dépôt à deux ans

rapportent 7% par an alors que ceux à un an

rapportent 6%.

Vous estimez que le taux des certificats à un an sera

de 8% l’an prochain.

Quel placement allez-vous choisir?

18

1.2 Taux d’intérêt équivalent

Le taux d’intérêt sur un emprunt ou un placement

est généralement exprimé sous la forme d’un taux

d’intérêt nominal avec une fréquence de versement

des intérêts.

Par exemple: un taux d’intérêt annuel de 6% avec

capitalisation mensuelle (versement mensuel).

Le taux d’intérêt équivalent est le taux d’intérêt

avec capitalisation annuelle donnant le même

rendement.

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Si le taux d’intérêt annuel est de 6% avec

capitalisation mensuelle, alors un intérêt est versé

chaque mois pour un montant de 1/12e du taux

annuel de 6%.

Cet intérêt mensuel, qui est de 0,5%, est appelé

taux proportionnel.

Quel est le taux d’intérêt équivalent?

1 dh placé pendant 1 an rapportera:

121 1,005 1,0616778VF

20

Le taux d’intérêt équivalent est donc:

1,0616778 1 0,0616778Taux équivalent

c’est-à-dire 6,16778% par an.

De manière générale, on a:

Taux annuelTaux équivalent 1 1

m

m

(2)

où m est le nombre de périodes de versement des

intérêts par année.

21

Fréquence de capitalisation m Taux d'intérêt équivalent

Annuelle 1 6,00000%

Semestrielle 2 6,09000%

Trimestrielle 4 6,13614%

Mensuelle 12 6,16778%

Hebdomadaire 52 6,17998%

Quotidienne 365 6,18313%

Continue infini 6,18365%

Tableau 1.2 : Taux d’intérêt équivalents pour un

taux annuel de 6%

22

Le taux d’intérêt équivalent augmente avec la

fréquence de capitalisation, jusqu’à une certaine

limite.

Si la capitalisation se fait en continu, alors le taux

d’intérêt équivalent est appelé taux d’intérêt

continu.

Ce dernier n’est pas très différent du taux

équivalent avec capitalisation quotidienne.

Si le taux d’intérêt nominal est de 100%, alors le

taux d’intérêt continu est e – 1 = 2,71828 – 1 =

1,71828 (où e est l’exponentiel).

23

m

1 2.0

2 2,25

4 2,4414

10 2,59374

100 2,704814

1 000 2,7169239

10 000 2,7181459

100 000 2,71826824

10 000 000 2,718281693

11

m

m

1lim 1 2,7182818

m

me

m

24

On peut vérifier que:

lim 1

m

r

m

re

m

er – 1 est le taux d’intérêt continu lorsque le taux

d’intérêt nominal est r.

On a bien:

0.06 1 1,0618365 1 0,0618365e

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Exercice 1.3:

1. Vous avez emprunté un montant d’argent au taux

de 12% par an capitalisé mensuellement.

Quel est le taux d’intérêt équivalent de votre

emprunt?

2. Si le taux d’intérêt est de 12,5% par an capitalisé

annuellement, paieriez-vous plus ou moins

d’intérêt?