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Ec2. maîtrise de l'eurocode 2, jean roux [eyrolles]

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  • Jean Roux Jean Roux 2 Maîtrise de l’eurocode 2 Guide d’application E U R O C O D E G ui de d ’a pp lic at io n 12160 TAG Typewriter
  • 2 J. Roux EURO CODE M aî tr is e de l’ eu ro co de 2 G ui de d ’a pp lic at io n C od e éd it eu r : E yr ol le s : G 12 16 0 IS B N E YR O LL ES : 97 8- 2- 21 2- 12 16 0- 5 C od e éd it eu r : A fn or 3 27 32 12 IS B N A FN O R : 9 78 -2 -1 2- 2 73 21 2- 0 ba rb ar y- co ur te .c om | P ho to s : P at ri ce L EF EB VR E | En tr ep ris e Q U IL LE (q ui lle .fr ) www.boutique-livres.afnor.org Afi n d’harmoniser les règles de concepti on des structures en béton entre les états membres de l’Union européenne, les règles de calcul ont été unifi ées avec la publicati on de l’eurocode 2. La phase fi nale de la rédacti on des Annexes françaises de la norme NF EN 1992-1-1, « Eurocode 2 : Calcul des structures en béton - Parti e 1-1 : Règles générales et règles pour les bâti ments » publiée par AFNOR en octobre 2005, a été achevée en 2007. Appliquer les méthodes de calcul de l’eurocode 2 Maîtrise de l’eurocode 2 complète l’ouvrage Pratique de l’eurocode 2 qui traite notamment du dimensionnement des éléments de base d’une structure en béton armé (ti rant, poteau, poutre, dalle) par l’étude des eff orts normal et tranchant, et des moments fl échissant et de torsion. Maîtrise de l’eurocode 2 présente, à parti r des lois classiques de la résistance des matériaux et des méthodes d’analyse des structures préconisées par l’eurocode 2, les justi fi cati ons complémentaires à faire vis-à-vis du poinçonnement et des états limites d’instabilité de forme, de maîtrise de la fi ssurati on, de déformati on et de fati gue. Chaque chapitre comporte des rappels théoriques suivis d’une ou plusieurs applicati ons traitées en détail. Les applicati ons sont accompagnées de nombreuses informati ons uti les pour les calculs. Permett re une transiti on entre l’applicati on des règles françaises BAEL 91 et de l’eurocode 2 L’organisati on de l’ouvrage s’apparente à celle de l’ouvrage Maîtrise du BAEL 91 paru chez le même éditeur, ce qui permet d’assurer la transition entre les Règles françaises amenées à disparaître et l’eurocode 2 desti né à les remplacer, en y introduisant les spécifi cités propres à ces nouvelles règles (ouverture des fi ssures, corbeaux, dispositi ons constructi ves, etc.). Chapitre 1 — Analyse structurale Chapitre 2 — Instabilité de forme - Flambement Chapitre 3 — État limite de service de maîtrise de la fi ssurati on Chapitre 4 — État limite de service de déformati on Chapitre 5 — Poinçonnement Chapitre 6 — Corbeaux Chapitre 7 — État limite ulti me de fati gue Les fichiers relatifs à certaines annexes (méthodes simplifiées pour la double intégration de la courbure, analyse non linéaire – diagramme contraintes – déformati ons du béton) au format pdf sont disponibles à l’adresse suivante : www.editi ons-eyrolles.com Cet ouvrage s’adresse aux étudiants en bâtiment et génie civil, aux techniciens, ingénieurs et projeteurs désireux d’acquérir les mécanismes et ordres de grandeur couramment prati qués en calcul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour et approfondir leurs connaissances dans ce domaine.
  • Maîtrise de l’eurocode 2
  • Dans la même collection EurocodE 2 J.-M. Paillé. – Calcul des structures en béton, G12043, 2009. J. Roux. – Pratique de l’eurocode 2, G12044, 2009. EurocodE 5 Y. Benoit, B. legRand, V. tastet. – Calcul des structures en bois, 2e édition, G12481, (à paraître en 2009). EurocodE 6 M. HuRez, n. JuRaszek, M. Pelcé. – Dimensionner les ouvrages de maçonnerie, G12280, 2009. EurocodE 8 V. daVidoVici. – Constructions parasismiques (à paraître en 2009). Le programme des Eurocodes structuraux comprend les normes suivantes, chacune étant en général constituée d’un certain nombre de parties : EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton EN 1995 Eurocode 5 : Calcul des structures en bois EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie EN 1997 Eurocode 7 : Calcul géotechnique EN 1998 Eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes EN 1999 Eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium Les normes Eurocodes reconnaissent la responsabilité des autorités réglementaires dans chaque État membre et ont sauvegardé le droit de celles-ci de déterminer, au niveau national, des valeurs relatives aux questions réglementaires de sécurité, là où ces valeurs continuent à différer d’un État à un autre.
  • Maîtrise de l’eurocode 2 Jean Roux
  • ÉDITIONS EYROLLES 61, bd Saint-Germain 75240 Paris Cedex 05 www.editions-eyrolles.com AFNOR ÉDITIONS 11, rue Francis-de-Pressensé 93571 La Plaine Saint-Denis Cedex www.boutique-livres.afnor.org Le code de la propriété intellectuelle du 1er juillet 1992 interdit en effet expressément la photocopie à usage collectif sans autorisation des ayants droit. Or, cette pratique s’est généralisée notamment dans les établissements d’enseignement, provoquant une baisse brutale des achats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de créer des œuvres nouvelles et de les faire éditer correctement est aujourd’hui menacée. En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que ce soit, sans l’autorisation de l’Éditeur ou du Centre Français d’exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands Augustins, 75006 Paris. © AFNOR et Groupe Eyrolles, 2009. ISBN AFNOR : 978-2-12-273212-0 ISBN Eyrolles : 978-2-212-12160-5
  • T ABLE DES MATIÈRES Avant-propos .......................................................................................... 1 1. Présentation des eurocodes et de l’ouvrage .................................. 1 2. Références règlementaires ............................................................ 2 3. Numérotation des formules ........................................................... 3 4. Couleurs des figures ...................................................................... 4 5. Notations et symboles particuliers ................................................ 4 Notations et symboles ......................................................................... 7 1. Majuscules romaines ..................................................................... 7 2. Minuscules romaines .................................................................... 10 3. Majuscules ou minuscules grecques ............................................. 14 1 Analyse structurale ....................................................................... 17 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 17 1. Définition ...................................................................................... 17 2. Modélisation des structures ........................................................... 17 2.1 Éléments de structures .................................................................... 18 2.1.1 Poutre et poutre-cloison ..................................................... 18 2.1.2 Poteaux et voiles ................................................................ 18 2.1.3 Dalles .................................................................................. 18 2.2 Largeur participante des poutres en T ............................................ 19 2.3 Portées utiles des poutres et dalles .................................................. 20 2.3.1 Définitions – Principes ....................................................... 20 2.3.2 Portées à prendre en compte dans les calculs ..................... 22 2.4 Imperfections géométriques ............................................................ 22 2.4.1 Cas des éléments isolés et des ponts .................................. 24 2.4.2 Cas des structures ............................................................... 26 2.5 Moments sur appuis – Vérifications ............................................... 26 3. Méthodes de calcul ....................................................................... 27 3.1 Types d’analyse structurale ............................................................ 28 3.1.1 Analyse vis-à-vis des états limites de service .................... 28 3.1.2 Analyse vis-à-vis de l’état limite ultime ............................ 28 3.2 Analyse élastique linéaire ............................................................... 28 3.3 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ............. 29 3.4 Analyse plastique ............................................................................ 30 3.4.1 Dispense de la vérification de la capacité de rotation ........ 31 3.4.2 Vérification de la capacité de rotation ............................... 31 3.4.3 Analyse par la méthode avec bielles et tirants ................... 33 3.5 Analyse non linéaire ...................................................................... 34
  • VI 4. Analyse structurale des poutres et des portiques .......................... 34 4.1 Analyse élastique et linéaire .......................................................... 34 4.2 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ............. 35 4.3 Analyse plastique ........................................................................... 35 4.4 Analyse non linéaire ...................................................................... 35 4.5 Dispositions constructives – Aciers en chapeau ............................ 35 4.5.1 Chapeaux sur appuis de rive .............................................. 35 4.5.2 Chapeaux sur appuis intermédiaires .................................. 36 5. Analyse structurale des dalles ....................................................... 36 5.1 Analyse élastique et linéaire .......................................................... 37 5.2 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ............. 37 5.3 Analyse plastique ........................................................................... 37 5.4 Analyse non linéaire ...................................................................... 38 5.5 Dispositions constructives ............................................................. 38 5.5.1 Armatures de flexion ......................................................... 38 5.5.2 Armatures d’effort tranchant ............................................. 41 II. APPLICATIONS .......................................................................... 42 Application n˚ 1 : analyse d’une poutre ........................................ 42 –Énoncé– .................................................................................................. 42 –Corrigé– ................................................................................................. 43 Application n˚ 2 : analyse d’une poutre continue ......................... 52 –Énoncé– .................................................................................................. 52 –Corrigé– ................................................................................................. 53 2 Instabilité de forme – Flambement ....................................... 69 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 69 1. Rappels de résistance des matériaux ............................................. 69 1.1 Force critique d’Euler .................................................................... 69 1.2 Amplification de la déformée d’une poutre comprimée ................ 70 1.2.1 Équation différentielle de la ligne moyenne déformée ..... 71 1.2.2 Solution de l’équation de la ligne moyenne déformée – Coefficient d’amplification ............................................ 71 1.2.3 Excentricités du premier et du second ordre ..................... 73 2. Classification des structures et des éléments structuraux ............. 75 2.1 Éléments contreventés et non contreventés ................................... 75 2.2 Cas des poteaux isolés ................................................................... 75 2.2.1 Élancement ........................................................................ 75 2.2.2 Cas des sections rectangulaires ......................................... 76 2.2.3 Cas des sections circulaires ............................................... 76 2.3 Cas des éléments de structure isolés .............................................. 76 3. Imperfections géométriques .......................................................... 78 4. Méthode générale .......................................................................... 78 4.1 Domaine d’application ................................................................... 79 4.2 Hypothèses complémentaires ......................................................... 80 4.2.1 Hypothèses mécaniques .................................................... 80 4.2.2 Hypothèse géométrique supplémentaire ........................... 82 4.3 Excentricité « externe » ................................................................. 83
  • Table des matières VII 4.4 Excentricité « interne » ................................................................... 84 4.5 Étude de l’équilibre ......................................................................... 85 4.6 Méthode de l’équilibre – Méthode des déformations internes ....... 87 4.6.1 Méthode générale ............................................................... 87 4.6.2 Méthode simplifiée ............................................................. 87 4.6.3 Remarque ........................................................................... 88 4.7 Cas des sections rectangulaires à deux nappes d’armatures ........... 88 5. Dispense de la vérification de l’état limite ultime de stabilité de forme (flambement) ................................................................. 92 5.1 Cas des éléments isolés ................................................................... 92 5.2 Cas des structures ........................................................................... 94 6. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section – Méthode de la rigidité ............................. 95 6.1 Domaine de validité ........................................................................ 95 6.2 Rigidité nominale ............................................................................ 95 6.2.1 Cas où ......................................... 96 6.2.2 Cas où ...................................................... 96 6.3 Principe de la méthode .................................................................... 97 6.4 Cas des poteaux isolés avec excentricités du premier ordre différentes aux deux extrémités ...................................................... 99 6.5 Processus d’application de la méthode de la rigidité ...................... 99 7. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section – Méthode de l’estimation de la courbure ................................................................................ 101 7.1 Domaine de validité ........................................................................ 101 7.2 Principe de la méthode .................................................................... 101 7.2.1 Introduction ........................................................................ 101 7.2.2 Moment de calcul de l’élément .......................................... 106 7.2.3 Courbure ............................................................................. 107 7.3 Processus d’application de la méthode de l’estimation de la courbure ................................................................................. 109 II. APPLICATIONS .......................................................................... 111 Application n˚ 1 : vérification au flambement par la méthode de l’équilibre (charges quelconques) ............................................ 111 –Énoncé– .................................................................................................. 111 –Corrigé– .................................................................................................. 112 Application n˚ 2 : dimensionnement des armatures par la méthode de la rigidité .................................................................................. 124 –Énoncé– .................................................................................................. 124 –Corrigé– .................................................................................................. 125 Application n˚ 3 : vérification au flambement par la méthode de l’estimation de la courbure ....................................................... 138 –Énoncé– .................................................................................................. 138 –Corrigé– .................................................................................................. 139 0,002 ρ≤ As Ac ------ 0,01
  • VIII Application n˚ 4 : dimensionnement des armatures par la méthode de l’estimation de la courbure .............................. 148 –Énoncé– .................................................................................................. 148 –Corrigé– ................................................................................................. 149 3 État limite de service de maîtrise de la fissuration ........... 161 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 161 1. Considérations générales ............................................................... 161 2. Exigences ...................................................................................... 162 3. Section minimale d’armatures ...................................................... 163 3.1 Cas général ..................................................................................... 163 3.2 Cas des sections rectangulaires ...................................................... 165 4. Calcul des ouvertures de fissures .................................................. 166 4.1 Introduction .................................................................................... 166 4.2 Principe du calcul ........................................................................... 169 4.2.1 Ouverture moyenne des fissures ........................................ 169 4.2.2 Distance moyenne s rm entre fissures ................................. 170 4.2.3 Allongement relatif de l’armature par rapport au béton .... 170 4.3 Espacement maximal des fissures s r, max ...................................... 174 4.3.1 Armatures tendues avec faible espacement ....................... 174 4.3.2 Armatures tendues avec espacement important ................ 175 4.3.3 Éléments armés dans deux directions orthogonales .......... 176 4.4 Ouverture calculée des fissures ..................................................... 176 4.5 Vérification .................................................................................... 178 5. Contrôle de la fissuration sans calcul direct .................................. 178 5.1 Cas des dalles de bâtiment ............................................................. 178 5.2 Autres cas ....................................................................................... 178 5.2.1 Fissuration due principalement aux déformations gênées ... 179 5.2.2 Fissuration due principalement aux charges ..................... 180 6. Armatures de peau ........................................................................ 181 6.1 Domaine d’application ................................................................... 181 6.2 Armatures de peau supplémentaires .............................................. 181 II. APPLICATION ............................................................................ 182 Application : section rectangulaire – Maîtrise de la fissuration .... 182 –Énoncé– .................................................................................................. 182 –Corrigé– ................................................................................................. 182 4 État limite de service de déformation ................................... 197 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 197 1. Généralités .................................................................................... 197 1.1 Influence de la fissuration sur la flèche ......................................... 197 1.2 Influence de la durée d’application des charges sur la déformée .. 198 1.3 Influence de l’inertie ...................................................................... 198 1.3.1 Rappels de résistance des matériaux ................................. 198 1.3.2 Particularités du béton armé .............................................. 199
  • Table des matières IX 2. Calcul des flèches à l’état limite de service de déformation ......... 200 2.1 Section entièrement comprimée ..................................................... 200 2.2 Section partiellement tendue ........................................................... 200 2.2.1 Courbure dans l’état fissuré .............................................. 200 2.2.2 Courbure dans l’état non fissuré ........................................ 203 2.2.3 Déformations ..................................................................... 205 2.2.4 Méthode de la double intégration de la courbure ............... 205 2.2.5 Paramètres de déformation ................................................. 208 2.2.6 Calcul des flèches ............................................................... 209 2.3 Méthodes simplifiées ...................................................................... 210 2.3.1 Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure .. 210 2.3.2 Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant ............................................ 212 3. Bâtiments courants ........................................................................ 217 3.1 Vérification de la flèche .................................................................. 217 3.2 Vérification des flèches par le calcul .............................................. 218 3.3 Dispense de la vérification .............................................................. 218 3.3.1 Rapports de base portée sur hauteur utile .......................... 218 3.3.2 Corrections des valeurs � /d ................................................ 224 4. Prise en compte du retrait et du fluage .......................................... 225 4.1 Module d’élasticité du béton .......................................................... 225 4.2 Effets du retrait ............................................................................... 226 II. APPLICATIONS .......................................................................... 227 Application n˚ 1 : poutre sur deux appuis simples – Flèche ......... 227 –Énoncé– .................................................................................................. 227 –Corrigé– .................................................................................................. 228 Application n˚ 2 : flèche d’une dalle de plancher ......................... 240 –Énoncé– .................................................................................................. 240 –Corrigé– .................................................................................................. 241 5 Poinçonnement ............................................................................ 245 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 245 1. Contours de référence ................................................................... 247 1.1 Définitions ...................................................................................... 247 1.2 Aire chargée éloignée d’un bord libre ............................................ 248 1.3 Aire chargée près d’une ouverture .................................................. 249 1.4 Aire chargée proche de bords libres ............................................... 249 1.5 Cas des poteaux avec chapiteaux (planchers-dalles) ...................... 250 1.5.1 Cas des poteaux circulaires ................................................ 250 1.5.2 Cas des poteaux rectangulaires .......................................... 251 2. Résistances au poinçonnement ..................................................... 253 2.1 Contraintes tangentes résistantes .................................................... 253 2.1.1 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement .............................................................. 253
  • X 2.1.2 Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement ....... 255 2.1.3 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec armatures de poinçonnement .............................................................. 255 2.2 Vérification de la valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement .......................................................................... 256 2.2.1 Contrainte maximale de poinçonnement ........................... 256 2.2.2 Vérification ........................................................................ 263 2.3 Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement ..... 264 2.3.1 Contrainte maximale de poinçonnement ........................... 264 2.3.2 Vérification ........................................................................ 264 2.4 Dalles ou semelles de poteaux avec armatures de poinçonnement ..... 265 2.4.1 Contrainte maximale de poinçonnement ........................... 265 2.4.2 Calcul des armatures de poinçonnement ........................... 265 2.4.3 Contour de la zone avec armatures de poinçonnement ..... 265 2.4.4 Dispositions constructives ................................................. 266 2.4.5 Section minimale d’armatures de poinçonnement ............ 267 2.4.6 Barres relevées utilisées comme armatures de poinçonnement .............................................................. 267 II. APPLICATIONS .......................................................................... 269 Application n˚ 1 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire chargée circulaire .......................................................................... 269 –Énoncé– .................................................................................................. 269 –Corrigé– ................................................................................................. 269 Application n˚ 2 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire chargée rectangulaire .................................................................... 272 –Énoncé– .................................................................................................. 272 –Corrigé– ................................................................................................. 273 6 Corbeaux ........................................................................................ 281 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 281 1. Définition ...................................................................................... 281 2. Vérification de la compression des bielles de béton ..................... 283 3. Armatures ...................................................................................... 285 3.1 Armatures supérieures tendues ...................................................... 285 3.2 Armatures horizontales de répartition ............................................ 286 3.3 Armatures verticales ...................................................................... 287 3.3.1 Cas où ac ≤ 0,5.hc ............................................................. 287 3.3.2 Cas où ac > 0,5.hc ............................................................. 287 4. Dispositions constructives ............................................................. 288 II. APPLICATION ............................................................................ 290 Application : console courte ......................................................... 290 –Énoncé– .................................................................................................. 290 –Corrigé– ................................................................................................. 291
  • Table des matières XI 7 État limite ultime de fatigue ..................................................... 297 I. RAPPELS THÉORIQUES ........................................................... 297 1. Introduction ................................................................................... 297 2. Combinaisons d’actions ................................................................ 297 2.1 Combinaison de base ...................................................................... 298 2.2 Combinaison de base plus action cyclique ..................................... 298 3. Calcul des contraintes ................................................................... 299 4. Vérification pour les armatures ..................................................... 299 4.1 Vérification explicite de l’endommagement .................................. 299 4.1.1 Principe de la vérification .................................................. 299 4.1.2 Caractéristiques de la courbe S-N ...................................... 300 4.1.3 Processus de vérification .................................................... 301 4.1.4 Remarque ........................................................................... 302 4.2 Cas de cycles multiples d’étendue variable .................................... 303 4.3 Méthode de l’étendue de contrainte équivalente ............................ 303 4.4 Cas particuliers ............................................................................... 303 4.5 Cas des armatures d’âme ................................................................ 304 4.5.1 Inclinaison des armatures d’âme à prendre en compte ...... 304 4.5.2 Vérification ........................................................................ 305 5. Vérification pour le béton comprimé ............................................ 305 5.1 Éléments pour lesquels aucune armature d’âme n’est requise ....... 305 5.2 Éléments comportant des armatures d’âme .................................... 306 II. APPLICATION ............................................................................ 309 Application : section rectangulaire sans aciers comprimés .......... 309 –Énoncé– .................................................................................................. 309 –Corrigé– .................................................................................................. 310 Annexe ....................................................................................................... 317 Bibliographie............................................................................................ 333 Index........................................................................................................... 335
  • Avant-propos 1. Présentation des eurocodes et de l’ouvrage Le programme des eurocodes structuraux constitue un ensemble de textes cohérents dans le domaine de la construction. Il comporte les normes suivantes, chacune étant, en général, constituée d’un certain nombre de parties : EN 1990 eurocode 0 : Bases de calcul des structures, EN 1991 eurocode 1 : Actions sur les structures, EN 1992 eurocode 2 : Calcul des structures en béton, EN 1993 eurocode 3 : Calcul des structures en acier, EN 1994 eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton, EN 1995 eurocode 5 : Calcul des structures en bois, EN 1996 eurocode 6 : Calcul des structures en maçonnerie, EN 1997 eurocode 7 : Calcul géotechnique, EN 1998 eurocode 8 : Calcul des structures pour leur résistance aux séismes, EN 1999 eurocode 9 : Calcul des structures en aluminium. L’eurocode 2, pour sa part, comporte les parties suivantes : Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments, Partie 1-2 : règles générales – Calcul du comportement au feu, Partie 2 : ponts en béton – Calcul et dispositions constructives, Partie 3 : silos et réservoirs. Les eurocodes structuraux constituent des normes européennes transposables en normes nationales dans les pays suivants : Allemagne, Autriche, Belgique, Chypre, Danemark, Espagne, Estonie, Finlande, France, Grèce, Hongrie, Irlande, Islande, Italie, Lettonie, Lituanie, Luxembourg, Malte, Norvège, Pays- Bas, Pologne, Portugal, République Tchèque, Royaume-Uni, Slovaquie, Slovénie, Suède et Suisse. Les normes nationales transposant les eurocodes comprennent la totalité du texte des eurocodes (toutes annexes incluses). Ce texte peut être : • précédé d’une page nationale de titres et par un avant-propos national, • et eventuellement suivi d’une Annexe nationale. Ces normes nationales sont amenées à se substituer aux textes réglementaires correspondants en vigueur dans les pays européens cités ci-dessus. Ainsi, en France, l’eurocode 2 remplacera définitivement les Règles BAEL 91 pour le béton armé et BPEL 91 pour le béton précontraint en mars 2010.
  • 2 Le présent ouvrage est établi à partir des normes européennes et de leurs Annexes nationales françaises suivantes : • EN 1992-1-1 : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 1-1 : règles générales et règles pour les bâtiments (décembre 2004), • EN 1992-2 : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 2 : ponts en béton – calcul et dispositions constructives (mai 2006), • NF EN 1992-1-1/NA : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 1- 1 : règles générales et règles pour les bâtiments – Annexe nationale à la NF EN 1992-1-1 : 2005 (mars 2007), • NF EN 1992-2/NA : eurocode 2 : calcul des structures en béton – Partie 2 : ponts en béton – calcul et dispositions constructives – Annexe nationale à la NF EN 1992-2 (avril 2007). Le lecteur est invité à s’assurer que les documents de référence n’ont pas évolué depuis ces versions. Nous ne développerons, dans cet ouvrage que les parties de l’eurocode 2 relatives au béton armé, en laissant de côté celles applicables au béton précon- traint. Certaines données et formules ont été volontairement répétées dans plusieurs chapitres pour éviter au lecteur d’effectuer des recherches dans le premier chapitre où elles ont été définies (c’est le cas par exemle de la longueur de flambement qui intervient dans le calcul des poteaux et dans la vérification au flambement). Le texte qui suit a été rédigé en adoptant les principes énumérés ci-après. 2. Références règlementaires Les références réglementaires relatives à l’eurocode 2 (parties 1 ou 2), sont indiqués dans des notes de bas de page reprenant les numéros des articles de l’eurocode 2 après le sigle « EC 2 ». La différenciation entre les deux parties s’effectuant par le numéro entre parenthèses qui est supérieur à 100 pour la partie 2 relative aux ponts. Lorsque ces références ne concernent pas l’eurocode 2, elles sont indiquées de la même façon, sans le sigle « EC 2 ». Lorsque le texte réglementaire renvoie à une annexe nationale, la référence, portée en bas de page, est : « voir AN » après le sigle « EC 2 ».
  • Avant-propos 3 3. Numérotation des formules Les numéros des formules figurant dans l’eurocode 2 (ou dans tout autre texte réglementaire) sont indiqués, entre parenthèses et en gras, en regard de la formule concernée. Pour les besoins de l’exposé, lorsqu’il a été nécessaire de numéroter des formules, cette numérotation est indiquée, en caractères normaux placés entre crochets, à la suite de la formule visée. Cette numérotation comporte deux nombres, séparés par un point : • le premier correspond au numéro du chapitre de l’ouvrage, • le second est un numéro d’ordre à l’intérieur de ce chapitre. Exemple : 60 2. Disposition des armatures 2.1 Enrobage On appelle enrobage la distance du nu d’une armature à l’arrase de béton la plus proche (c = cover en anglais). L’« enrobage nominal » doit être spécifié sur les plans1 : (7.8) avec : = enrobage minimal, = marge pour tolérances d’exécution. 2.2 Enrobage minimal L’« enrobage minimal » doit être assuré afin de garantir2 : • une transmission correcte des forces d’adhérence ; • la protection de l’acier contre la corrosion ; • une résistance au feu convenable. 3 [4.1] o o oooo c c 1. EC 2 – 4.4.1.1 c c cnom dev min cmin cdev 2. EC 2 – 4.4.1.2 (1)P 3. EC 2 – 4.4.1.2 (2)P c c c c c c b dur dur dur stmin min, min, , , , Max ddur add, , 10 mm. Corps du texte et formules Numéro de la formule du chapitre Références au texte de l’EC 2 en note de bas de page Références de la formule dans l’EC 2
  • 4 Les annexes sont repérées de la façon suivante par des renvois situés en bas de page : • [Annexe A1] : pour celles relatives au texte de l’ouvrage (repérage par la lettre A suivi d’un chiffre arabe), • [Annexe 1] : pour celles disponibles en ligne sur www.editions-eyrolles.com sur la fiche de l’ouvrage (repérage par un chiffre arabe), • EC 2 – Annexe J 3.2 : pour celles figurant dans les textes règlementaires (repérage, après le sigle EC2, par la lettre de l’annexe suivie éventuellement de chiffres arabes renvoyant au paragraphe de la dite annexe). 4. Couleurs des figures Les couleurs utilisées pour les figures illustrant cet ouvrage respectent autant que faire se peut les règles suivantes : 1/ pour la résistance des matériaux : – rouge : moment fléchissant, – bleu : effort tranchant, – vert : effort normal, centre de pression. 2/ pour le béton armé : – rouge : armatures longitudinales tendues, parties tendues des diagram- mes des contraintes ou des déformations, – bleu : parties comprimées des diagrammes des contraintes ou des défor- mations, bielles de béton comprimé, – vert : armatures d’âme et armatures transversales. 5. Notations et symboles particuliers Les symboles et notations utilisés dans cet ouvrage sont conformes aux symboles et notations utilisés dans l’eurocode 2. Néanmoins, pour plus de clarté, d’autres notations sont apparues nécessaires ; La symbolisation adoptée alors respecte les principes énoncés par ces Règles pour les notations. La terminologie employée a été parfois volontairement simplifiée pour éviter d’avoir des définitions trop longues. Par exemple, on utilise « section » (ou « aire ») pour désigner « l’aire d’une section droite » ; de même, les termes « moment d’inertie » ou même « inertie » sans autre précision, désignent le « moment d’inertie d’une section à plan moyen par rapport à l’axe perpendicu- laire au plan moyen passant par le centre de gravité de celle-ci », etc. Les sigles ELU et ELS signifient respectivement « état-limite ultime » et « état limite de service ». Le sigle AN signifie « axe neutre ».
  • Avant-propos 5 Pour ne pas alourdir les formules, le signe multiplié (x) a été systématiquement remplacé par un point (.). Les symboles utilisés sont les suivants : • valeur absolue de X, • cf confer, • Cste valeur constante, • O.K. vérification assurée, • , • implique, • équivalent à, • pas inférieur à, • pas supérieur à, • < < très inférieur à, • > > très supérieur à, • > < comparé à, • sensiblement égal à, • quel que soit, • différent de, • max maximal, • min minimal. Le surlignage est utilisé pour distinguer une valeur limite (par exemple une contrainte) définissant un état limite de service. X Ak k n = ∑ 1 A A A A Ak k n k n = ∑ = + + + + + 1 1 2 ... ... ⇒ ⇔ /< /> ≈ ∀ ≠
  • Notations et symboles Dans le tableau ci-dessous : • la première colonne comporte les notations et symboles extraits des Règles eurocode 2 et utilisés dans le présent ouvrage, • la seconde colonne reprend les définitions attachées aux symboles précédents, • la troisième colonne indique les notations correspondantes des Règles françaises BAEL 91. Remarque Lorsqu’une grandeur figurant dans les Règles EC 2 n’est pas utilisée dans les Règles BAEL 91, la ligne correspondante ne comporte pas de symbole dans la troisième colonne. 1. Majuscules romaines Notations EC 2 Signification Notations BAEL 91 A surface totale d’une section délimitée par le périmètre exté- rieur, aires des parties creuses comprises (torsion), aire de la section droite (béton seul), ou B aire de la section effective de béton autour des armatures ten- dues, aire de contrôle de référence, aire de la zone de béton éventuellement tendu, aire de la zone de béton tendu avant la formation de la pre- mière fissure, valeur représentative d’une action accidentelle, valeur représentative d’une action sismique, aire du contour tracé à mi-épaisseur des parois d’une section creuse, Ω aire chargée, AN axe neutre = axe des déformations (ou des contraintes) nul- les, AN Ac B0 Ac eff, Acont Act Bt Ad FA AEd FA Ak Aload
  • 8 aire totale des armatures longitudinales tendues, section des barres longitudinales situées dans le talon d’une poutre à talon, A section d’un cours d’armatures de liaison (jonction hourdis- nervure), aciers inférieurs d’une dalle, section complémentaire d’armatures longitudinales néces- saire pour la torsion, section minimale d’armatures dans la zone tendue pour la maîtrise de la fissuration, section d’armatures effectivement prévue, section d’armatures requise par le calcul, aciers supérieurs d’une dalle, section des armatures de peau, section d’une nappe d’armatures d’âme, aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un péri- mètre autour d’une aire chargée, section d’une nappe de barres relevées, aire d’une armature longitudinale, aire totale des armatures longitudinales tendues, A section des barres longitudinales situées dans une saillie de table, aire totale des armatures longitudinales comprimées, A’ Section totale d’armatures de répartition d’une console courte : • horizontales, • ou verticales, armatures supérieures tendues d’une console courte, A module d’élasticité de calcul du béton, module d’élasticité effectif tangent du béton, module de déformation instantanée du béton, module d’élasticité de l’acier, résultante des efforts de compression dans le béton, effort vertical ultime (consoles courtes), As Asf A As i+ As, inf Asl∑ Al∑ As, min Amin As prov, As req, As, sup As surf, Asw At Aswr Ar Asl As1 A1 As2 As, ink∑ Ar∑ Atv∑ As, main Ecd Ec eff, Evj Ecm Ebi Es Es Fc Fbc FEd Vu
  • Notations et symboles 9 réaction d’appui, résultante des efforts dans la zone comprimée d’une section, résultante des efforts dans les armatures tendues, résultante des efforts dans les aciers comprimés, valeur caractéristique de l’action permanente défavorable, valeur caractéristique de l’action permanente favorable, effort horizontal ultime (consoles courtes), moment d’inertie de la section droite fissurée (section homogène réduite), moment d’inertie de la section droite non fissurée (section homogène non réduite), moment de fissuration, moment limite ultime, moment résistant béton, moment fléchissant de service de référence pour le calcul des sections en T, moment fléchissant ultime de référence pour le calcul des sections en T, moment fléchissant ultime, moment du premier ordre équivalent, moment du premier ordre (à l’ELU) tenant compte des imperfections géométriques, moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente (ELS), charge de flambement évaluée sur la base de la méthode de la rigidité nominale, effort normal de compression à l’ELU, valeur caractéristique d’une action variable, valeur caractéristique des actions variables « d’accompagnement », valeur caractéristique de l’action variable « dominante », couple de torsion, FEd, sup Fsc Fbsc Fs1 Fs Fs2 Fsc Gkj, sup Gmax Gkj, inf Gmin HEd Hu Icf I1 Ich Mcr Mf Mlu Mlu Mrc Mrb MTser MTser MTu MTu MEd Mu M e0 M Ed0 MOEqp NB NEd Nu Qk i, Qi Qk, 1 Q1 TEd Tu
  • 10 2. Minuscules romaines couple maximal de torsion auquel peuvent résister les bielles de béton comprimées, composante parallèle à VRd, s de la force de compression dans la membrure comprimée d’une poutre de hauteur variable, effort tranchant de calcul à l’ELU dû aux charges appliquées, effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant, effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté sans provoquer l’écrasement des bielles de béton comprimé, effort tranchant de calcul pouvant être supporté par un élément avec armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité, composante parallèle à VRd, s de la force de traction dans les armatures tendues d’une poutre de hauteur variable. Notations EC 2 Signification Notations BAEL 91 a distances libres verticale ou horizontale entre barres et/ou paquets de barres, distance de la ligne d’application de FEd à la face la plus proche du poteau (consoles courtes), a distance de la face supérieure du dispositif d’appui à la ligne moyenne des armatures les plus proches de la face supé- rieure d’une console courte, largeur participante de la table de compression d’une section en T, b largeur moyenne de la zone tendue d’une section, largeur d’une section rectangulaire, largeur de l’âme d’une section en T, c diamètre d’un poteau, distance des barres longitudinales à la paroi la plus proche (torsion), enrobage minimal, enrobage minimal vis-à-vis des exigences d’adhérence, enrobage minimal vis-à-vis des conditions d’environnement, TRd, max Vccd VEd Vu VRd c, VRd, max VRd s, Vtd e ev h, ac aH beff bt b0 bw b0 cmin c bmin, c durmin,
  • Notations et symboles 11 enrobage nominal, d distance du centre de gravité des armatures tendues à la fibre la plus comprimée d’une section droite, hauteur utile des armatures les plus proches de la face supé- rieure d’une console courte, d grosseur maximale des granulats, d’ distance du centre de gravité des aciers comprimés à la fibre de béton la plus comprimée, d’ contrainte d’adhérence moyenne, contrainte ultime d’adhérence, contrainte de compression du béton correspondant à la partie rectiligne du diagramme parabole-rectangle, résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours, résistance moyenne à la compression du béton à 28 jours, résistance de calcul en traction du béton, résistance caractéristique à la compression d’ordre 0,05, résistance caractéristique à la compression d’ordre 0,95, résistance à la traction du béton à 28 jours, contrainte uniforme de compression du béton, résistance à la traction, résistance de calcul des armatures (limite d’élasticité), limite d’élasticité des aciers, résistance de calcul des armatures d’âme (limite d’élasticité), limite d’élasticité des aciers transversaux limite caractéristique d’élasticité conventionnelle à 0,2 % d’allongement rémanant de l’acier, h hauteur totale d’une section, h hauteur de la console au niveau de son encastrement dans le poteau, hauteur de la section effective de béton autour des armatures tendues pour le calcul de l’ouverture des fissures, cnom dg cg fb τs fbd τsu fcd fbu fck fc28 fcm fctd fctk , ,0 05 fctk, ,0 95 fctm ft28 fcu fbu ft fyd fed fyk fe fywd fetd fywk fet f k0 2, hc hc ef,
  • 12 épaisseur de la table de compression d’une section en T i rayon de giration d’une section droite (béton non fissuré), i longueur d’ancrage de référence, longueur d’ancrage de calcul, longueur d’ancrage équivalente (ancrages courbes), longueur d’ancrage requise, portée utile (de calcul) d’une poutre, d’une travée, l portée entre nus d’appuis, l hauteur utile d’un poteau (longueur de flambement), longueur de recouvrement, n effort normal relatif, courbure, s espacement des cours d’armatures d’âme espacement des armatures transversales d’un poteau, ou espacement maximal des armatures transversales d’un poteau, , stmax espacement des armatures transversales d’un poteau, espacement des armatures de couture, espacement longitudinal maximal des armatures d’effort tranchant, espacement longitudinal maximal des armatures d’effort tranchant ou des barres relevées dans une dalle, espacement des armatures de flexion d’une dalle, espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement, espacement maximal des fissures, espacement tangentiel des cours d’armatures de poinçonne- ment, espacement transversal maximal des armatures d’effort tran- chant, hf h0 lb lbd lb eq, la lb rqd, leff ln l0 lf l0 lr 1 r 1 r st scl t, st s t' scl t, max st scl t, st sf st sl, max smax s slabsmax, sr sr, max st st, max
  • Notations et symboles 13 écartement initial des armatures d’âme pour l’application de la méthode Caquot, écartement de départ des armatures d’âme pour l’application de la méthode Caquot, t profondeur d’appui, épaisseur d’un tube creux, épaisseur équivalente du tube creux associé à une section pleine, e u périmètre extérieur d’une section (torsion), périmètre du contour de contrôle de référence, périmètre du contour de contrôle de référence réduit, périmètre de l’aire , u contrainte tangente pour l’effort tranchant, Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’un semelle sans armatures de poinçonnement, valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle sans armatures de poinçonnement, valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec armatures de poinçonnement, valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonne- ment d’une dalle, x hauteur de la zone comprimée d’une section droite fléchie, y hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée à l’ELU, hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée à l’ELS, v contrainte tangente, t ouverture calculée des fissures, valeur limite de l’ouverture calculée des fissures, z bras de levier des forces élastiques = distance entre et , z distance du pied de la bielle à l’axe horizontal des aciers supérieurs tendus (consoles courtes), z bras de levier de la résultante des contraintes de compression du béton par rapport aux aciers tendus à l’ELU = distance entre et , bras de levier de la résultante des contraintes de compression du béton par rapport aux aciers tendus à l’ELS = distance entre et . s0 st0 s1 st1 tef i, u1 u1* uk Ak vR τR vRd vRd c, vRd cs, vRd, max xu yu x1 y1 wk wmax Fsc Fs1 z0 zc Fc Fs1 zb zc1 Fc Fs1 zb1
  • 14 3. Majuscules ou minuscules grecques Notations EC 2 Signification Notations BAEL 91 α inclinaison des armatures d’âme sur la ligne moyenne, α coefficient d’équivalence, n hauteur relative de l’axe neutre à l’ELU, a coefficient de dilatation thermique moyen du béton armé, hauteur relative de l’axe neutre à l’ELS, marge pour tolérances d’exécution, réduction de l’enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire, réduction de l’enrobage minimal dans le cas d’acier inoxy- dable, marge de sécurité sur l’enrobage, raccourcissement de la fibre la plus comprimée d’une sec- tion, déformation unitaire de fluage, allongement unitaire moyen du béton sur , ou déformation unitaire de retrait, raccourcissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme parabole-rectangle, raccourcissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme bi-linéaire, raccourcissement relatif maximal en compression simple du béton correspondant à la contrainte dans le diagramme parabole-rectangle, raccourcissement relatif maximal en compression simple du béton correspondant à la contrainte dans le diagramme bi-linéaire, déformation moyenne de l’armature de béton armé sous la combinaison de charges considérée, allongement des aciers tendus lorsque leur contrainte est égale à leur limite d’élasticité, allongement des aciers tendus, αe αu αθ αθ α1 α1 Δcdev Δcdur add, Δcdur st, Δcdur, γ εc εbc εcc t( ) εcm sr, max εcs εcs� εcu2 εcu3 εc2 fcd εc3 fcd εsm εyd εsl εs1 εs
  • Notations et symboles 15 raccourcissement des aciers comprimés, allongement maximal relatif de l’acier tendu dans le cas du diagramme σ−ε à palier incliné, coefficient de fluage, ϕ coefficient de fluage effectif, φ diamètre d’une barre d’acier, φ diamètre équivalent d’un groupe de barres pour le calcul de l’ouverture des fissures, diamètre maximal des barres de faible diamètre, diamètre du mandrin de cintrage, D diamètre fictif équivalent d’un paquet de barres, coefficient de sécurité affectant la résistance de calcul du béton, coefficient de sécurité affectant la résistance de calcul des aciers, λ hauteur relative de la zone de béton uniformément compri- mée du diagramme rectangulaire simplifié en flexion simple, 0,8 λ élancement, λ Elancement limite d’une pièce comprimée, moment fléchissant ultime réduit, moment fléchissant limite ultime réduit, moment résistant béton réduit, valeur de combinaison d’une action variable, valeur fréquente d’une action variable, valeur quasi permanente d’une action variable, pourcentage d’armatures longitudinales, pourcentage d’armatures dans la section effective de béton autour des armatures tendues : , pourcentage d’armatures transversales, contrainte limite de compression du béton à l’ELS, contrainte limite de traction de l’acier à l’ELS, εs2 εsc εud ϕ t t, 0( ) ϕef φeq φlarge φm φn γ c γ b γ s γ s λlim μcu μbu μlu μlu μrc μrb ψ0, ,.i k iQ ψ0, .i iQ ψ1, ,.i k iQ ψ1, .i iQ ψ2, ,.i k iQ ψ2, .i iQ ρl ρp eff, Ac eff, ρw σc σbc σs σs
  • 16 Contrainte maximale de compression d’une bielle de béton, valeur de la contrainte dans une armature métallique, contrainte tangente due à la torsion. σRd, max σs σs τt i, τu
  • 1 Analyse structurale I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Définition Le but de l’analyse structurale est de déterminer soit la répartition des sollicita- tions, soit celle des contraintes, déformations et déplacements, pour l’ensemble ou pour un élément d’une structure1. Lorsque l’hypothèse d’une distribution linéaire des déformations unitaires ne s’applique plus, une analyse locale complémentaire est à faire2 : • à proximité des appuis ; • au droit des points d’application des charges concentrées ; • aux nœuds entre poutres et poteaux ; • dans les zones d’ancrage ; • aux changements de section transversale. L’analyse peut être basée sur un modèle de comportement3 : • élastique linéaire (sollicitations proportionnelles aux actions) ; • élastique linéaire avec redistribution limitée ; • plastique (avec ou sans modélisation par bielles et tirants) ; • non linéaire. Pour les ponts, des méthodes d’analyse reconnues peuvent être utilisées pour les effets dépendants du temps4 : 2. Modélisation des structures Les éléments constitutifs d’une structure sont normalement classés d’après leur nature et leur fonction en5 : poutres, poteaux, dalles, voiles, etc. 1. EC 2 – 5.1.1 (1)P 2. EC 2 – 5.1.1 (2) 3. EC 2 – 5.1.1 (7) 4. EC 2 – 5.1.1 (108) + annexe KK 5. EC 2 – 5.3
  • 18 2.1 Éléments de structures Dans le cas des bâtiments, on applique les dispositions énumérées ci-après6. 2.1.1 Poutre et poutre-cloison 2.1.2 Poteaux et voiles7 2.1.3 Dalles Définition8 : 6. EC 2 – 5.3.1 (3) Pour les poutres : Pour les poutres-cloisons : Pour les poteaux7 : et Pour les voiles : ou 7. EC 2 – 5.3.1 (7) h l � 3.h≥ � 3.h< h A A b h (>b) COUPE AA l � h --- 3≥ h b< 4. � h --- 3< h b≥ 4. 8. EC 2 – 5.3.1 (4) h lx ( ly ) ly �x �y≤ �x 5.h≥
  • Analyse structurale 19 Une dalle soumise en majeure partie à des charges uniformes porte dans un seul sens si9 : 2.2 Largeur participante des poutres en T Valable pour tous les états limites. La largeur participante de la table de compression (c’est-à-dire la partie de dalle associée à la nervure d’une poutre pour constituer une section en T) est définie comme indiqué ci-dessous. Dans les cas courants, la distance �0 entre points de moment nul est obtenue par10 : • La dalle est appuyée sur deux côtés avec deux bords libres sensiblement paral- lèles. ou • La dalle est appuyée sur son contour lorsque : 9. EC 2 – 5.3.1 (5) l Sens de flexion �x �y ----- 0,5< Sens de flexion ly lx (≤ly ) 10. EC 2 – 5.3.2.1 (2) ll0 = 0,85 /1 l0 = 0,7 / 2 l0 = 0,15 (l1 +l2 ) l0 = 0,15 l2 +l3 l2l1 l3
  • 20 avec : pour deux travées consécutives, et pour les consoles. Largeur participante de la table de compression des poutres en T (zone sur laquelle on peut admettre une distribution uniforme des contraintes11) : (5.7) avec : (5.7a et 5.7b) Lorsqu’une grande précision des calculs n’est pas exigée (poutres continues des bâtiments par exemple), l’analyse peut être faite en admettant une largeur de table beff constante sur toute la portée12 : 2.3 Portées utiles des poutres et dalles 2.3.1 Définitions – Principes La portée utile (de calcul) �eff est donnée par13 : 11. EC 2 – 9.3.2.1 3 12. EC 2 – 5.3.2.1 4 2 3 --- �1 �2 ----- 3 2 ---≤ ≤ �3 �2 2 -----< b h b1 b1 b2 b2 bw beff 1 beff 2 beff hf b b b beff eff i w = +⎧⎨⎪⎩⎪ ∑Min , beff, i Min 0,2.bi 0,10.�0+ 0,2.�0 bi⎩⎪ ⎨⎪ ⎧ = 13. EC 2 – 5.3.2.2 (1)
  • Analyse structurale 21 (5.8) avec : �n= portée entre nus d’appuis, t = profondeur de l’appui, et = distances définies ci-dessous : a2a1 ln leff �eff �n a1 a2+ += a1 a2 Éléments isostatiques Éléments continus Appuis considérés comme encastrements parfaits Cas d’appareils d’appui ai ln leff h t a t hi = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥Min 1 2 1 2 ; ai ln leff h t a t hi = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥Min 1 2 1 2 ; h ln leff ai t a t hi = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥Min 1 2 1 2 ; ht Axe de l'appareil d'appui ln leff ai
  • 22 Ces dispositions s’appliquent aussi bien aux bâtiments qu’aux ponts. 2.3.2 Portées à prendre en compte dans les calculs Le calcul des sollicitations est effectué sur la base des portées utiles. Les sollicitations aux nus d’appui sont déduites des précédentes : • pour les vérifications à l’effort tranchant (sauf dans le cas de transmission directe des charges aux appuis lorsque les charges permanentes sont prédomi- nantes où l’effort tranchant est calculé dans la section à la distance d du nu d’appui comme nous l’avons vu au § 2.3.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) ; • pour le moment sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir § 2.5). Le calcul des sollicitations est effectué sur la base des portées entre nus d’appuis : • par simplification de calcul pour les travées isostatiques (absence des termes hyperstatiques ΔM/�eff) ; • pour les moments d’encastrement parfaits sur appuis lors des vérifications sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir § 2.5). 2.4 Imperfections géométriques Il faut tenir compte des incertitudes sur la mise en œuvre et sur la position du point de passage de la force extérieure. Les imperfections géométriques ne sont à prendre en compte qu’à l’ELU dans les situations de projet durables et dans les situations de projet accidentelles14. Extrémité en porte-à-faux h ln t ai leff a t hi = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥Min 1 2 1 2 ; 14. EC 2 – 5.2 (2)P & (3) Charly Osongo Highlight
  • Analyse structurale 23 Elles concernent15 : • les éléments soumis à une compression axiale ; • les structures soumises à des charges verticales (bâtiments). Pour les bâtiments, les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle défini par16 : (5.1) avec : = valeur de base recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française17, = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur, où : � = longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage (voir § 2.4.1 et 2.4.2) en mètres, = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments, où : m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total. La définition de � et de m dépend de l’effet considéré18. • Effet sur un élément isolé (voir § 2.4.1) : – � = longueur réelle de l’élément, – m = 1. • Effet sur un système de contreventement (voir § 2.4.2) : – � = hauteur du bâtiment, – m = nombre d’éléments verticaux transmettant la force horizontale appliquée au système de contreventement. • Effet sur les planchers de contreventement ou les diaphragmes des toitures (voir § 2.4.2) : – � = hauteur de l’étage, – m = nombre d’éléments verticaux dans l’étage transmettant la force hori- zontale totale appliquée au plancher. 15. EC 2 – 5.2 (4) 16. EC 2 – 5.2 (5) 17. EC 2 – voir AN 18. EC 2 – 5.2 (6) θi θ θ α αi h m= 0 . . θ0 1 200 = αh 2 � -------= 2 3 1≤ ≤αh αm m = +⎛⎝ ⎞⎠0 5 1 1 ,
  • 24 Pour les ponts, les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle défini par19 : (5.101) avec : = valeur de base recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française20, = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur, � = longueur ou hauteur en mètres. 2.4.1 Cas des éléments isolés et des ponts Il s’agit d’éléments effectivement isolés ou d’éléments d’une structure pouvant être traités comme tels pour les besoins du calcul. Ces éléments sont considérés comme21 : • contreventés, lorsqu’ils ne contribuent pas à la stabilité horizontale d’ensemble de la structure à laquelle ils appartiennent ; • non contreventés, dans le cas contraire. On a le choix entre les deux méthodes ci-dessous (qui conduisent au même moment extrême dans l’élément22) : • ajout d’une excentricité additionnelle à l’excentricité (du premier ordre) de la force extérieure : (5.2) où �0 = longueur efficace (de flambement) de l’élément (voir § 2.1, chapitre 6 : « Compression centrée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). • ou remplacement de l’inclinaison par une force transversale dans la position conduisant au moment maximal : : éléments non contreventés, (5.3a) : éléments contreventés, (5.3b) 19. EC 2 – 5.2 (105) 20. EC 2 – voir AN θi θ θ αi h= 0 . θ0 1 200 = αh Min 2 � ------- 1⎩⎪ ⎨⎪ ⎧ = 21. EC 2 – 5.8.1 22. EC 2 – 5.2 (7) e1 ei θi �0 2 -----= H Ni i= θ . H Ni i= 2. .θ
  • Analyse structurale 25 où N = effort normal. Remarque Une solution alternative simplifiée, applicable aux voiles et aux poteaux isolés dans les structures contreventées consiste à prendre23 : ⇒ Cette simplification ne s’applique pas aux ponts. Pour les ponts en arc, il convient d’établir la forme des imperfections dans les plans horizontal et vertical à partir de la déformée du premier mode de flambement horizontal et vertical respectivement. Chaque déformée modale peut être représentée par un profil sinusoïdal. Il convient de prendre l’amplitude égale à , où l est la demi-longueur d’onde24. En pied : ou À mi-travée : ou Élément isolé non contreventé Élément isolé contreventé ou N N i iH ie 0 /2l l= M N.ei N.θi �0 2 -----= = M Hi �0 2 ----- N.θi �0 2 -----= = ou iH N Nie 0l l= M N.ei N.θi �0 2 -----= = M Hi 2 -----. �0 2 ----- N.θi �0 2 -----= = 23. EC 2 – 5.2 (9) 24. EC 2 – 5.2 (106) αh 1= m 1= ⎭⎬ ⎫ α m ⇒ 0,5 1 1 1 - - - + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 θ i ⇒ 1 200 - - - - - - - - - - 1.1 e i ⇒ 1 200 - - - - - - - - - - . � 0 2 - - - - - ⇒ = = = = ei �0 400 ----------= a θi � 2 ---=
  • 26 2.4.2 Cas des structures On remplace l’inclinaison globale par une force transversale égale aux composantes horizontales des efforts normaux dans les éléments inclinés 25 : : système de contreventement, (5.4) : plancher de contre v entement, (5.5) : diaphragme de toiture. (5.6) Remarque Pour les figures ci-dessus : H représente la réaction de la structure s’opposant à l’inclinaison , et sont les forces action poteau sur nœud. 2.5 Moments sur appuis – Vérifications Dans certaines configurations d’appuis, une poutre (ou une dalle) continue peut être considérée comme simplement posée sur ses appuis. Dans ce cas, pour ne pas créer de gêne à la rotation, il faut « écrêter » la courbe des moments sur appuis, tracée en considérant les portées entre axes des éléments, de la quantité26 : 25. EC 2 – 5.2 (8) θi H N Ni i b a= −( )θ H N Ni i b a= +θ 2 H Ni i a= θ . Système de contreventement Plancher de contreventement Diaphragme de toiture iθ iH iH bN aN l iH bN aN l l / 2 iθ / 2 iθ iH iH aN aN l iθ θi Na Nb 26. EC 2 – 5.3.2.2 (4)
  • Analyse structurale 27 Dans le cas où la poutre (ou la dalle) est solidaire des poteaux (ou murs) qui la supportent, le moment critique de calcul peut être pris égal au moment du nu d’appui sans que la valeur retenue puisse être inférieure à 65 % du moment d’encastrement parfait de la même poutre (de portée �n entre nus d’appuis27). 3. Méthodes de calcul Toutes les méthodes d’analyse doivent satisfaire les conditions d’équilibre – ce qui, normalement, est à vérifier pour la structure non déformée (premier ordre). Si les conditions de compatibilité ne sont pas vérifiées directement pour les états limites considérés, il convient de prendre des mesures pour que : • à l’état limite ultime, l’ouvrage ait une capacité de déformation suffisante ; • dans les conditions de service, son comportement soit satisfaisant. avec : = réaction d’appui, t = profondeur de l’appui ou largeur de l’appareil d’appui, = moment calculé à partir des portées entre axes des appuis. C’est le cas, par exemple, des poutres reposant : • sur des voiles ; • sur des poteaux métalliques ou en bois ; • sur des appareils d’appuis. 27. EC 2 – 5.3.2.2 (3) ΔM F t Ed Ed = ⇒ , sup . 2 4 ΔMEd FEd, sup t 8 ---= FEd, sup MEd EdMΔ , sup 2 EdF 4 t t
  • 28 3.1 Types d’analyse structurale 3.1.1 Analyse vis-à-vis des états limites de service L’analyse est normalement faite sur la base de l’élasticité linéaire, en prenant en compte la rigidité initiale, correspondant à la section non fissurée28. Si la fissuration a un effet défavorable, elle doit être prise en compte. On peut aussi avoir recours à l’analyse non linéaire (voir § 3.5). 3.1.2 Analyse vis-à-vis de l’état limite ultime Dans ce cas, l’analyse peut être29 : • élastique linéaire sans redistribution ; • élastique linéaire avec redistribution limitée ; • plastique (avec ou sans modélisation par bielles et tirants) ; • non linéaire. Pour l’application de la théorie élastique et linéaire, aucune mesure spécifique n’est à prendre pour assurer une ductilité convenable, sauf celle d’éviter les pourcentages élevés. Bien entendu, si l’on effectue une redistribution des moments, il convient de s’assurer que les sections critiques ont une capacité de rotation suffisante pour permettre la redistribution (angles des portiques précontraints par exemple30). Dans l’analyse non linéaire, on tient compte du comportement non linéaire des sections en béton armé ou en béton précontraint (ne pas confondre avec l’analyse au second ordre qui tient compte du comportement non linéaire dû à la déformation des éléments eux-mêmes). On ne peut recourir à l’analyse plastique que pour des éléments très ductiles, armés d’aciers eux-mêmes de haute ductilité31. 3.2 Analyse élastique linéaire Le calcul des éléments aux états limites de service comme aux états limites ultimes peut être effectué selon une analyse linéaire basée sur la théorie de l’élasticité32. 28. EC 2 – 5.4 (1) 29. EC 2 – 5.1.1 (7) 30. EC 2 – 5.5 (5) 31. EC 2 – 5.6.1 (2)P 32. EC 2 – 5.4 (1) Charly Osongo Highlight Charly Osongo Highlight
  • Analyse structurale 29 L’analyse linéaire peut être utilisée pour la détermination des sollicitations, moyennant les hypothèses suivantes33 : 1/ sections non fissurées ; 2/ relations contraintes-déformations linéaires ; 3/ et valeurs moyennes du module d’élasticité. Pour les effets des déformations d’origine thermique, des tassements et du retrait à l’état limite ultime (ELU), on peut admettre une rigidité réduite, corres- pondant aux sections fissurées, en négligeant la participation du béton tendu mais en incluant les effets du fluage34. Pour l’état limite de service (ELS), il convient de considérer une évolution graduelle de la fissuration35. 3.3 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments Pour les calculs à l’état limite ultime, les moments de flexion déterminés par une analyse linéaire élastique peuvent être redistribués, c’est-à-dire que les moments dans les sections les plus sollicitées (sur appuis) sont alors multipliés par un coefficient réducteur δ, les moments dans les autres sections étant augmentés en conséquence pour assurer l’équilibre36. Pour les dalles et les poutres continues telles que , un contrôle de la capacité de rotation des sections critiques n’est pas nécessaire si37 : vérifie les valeurs recommandées et à utiliser pour l’Annexe nationale française : 33. EC 2 – 5.4 (2) 34. EC 2 – 5.4 (3) 35. EC 2 – 5.4 (3) 36. EC 2 – 5.5 (3) 37. EC 2 – 5.5 (4) + (104) 0,5 �i �i 1+ ---------- 2≤ ≤ δ = M M red cal si fck ≤ 50 MPa, si , 1 0 44 1 25 0 6 0 0014 2 ≥ ≥ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟δ ε, , , , cu ux d 1 0 54 1 25 0 6 0 0014 2 ≥ ≥ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟δ ε, , , , cu ux d fck > 50 MPa AN d As xu Charly Osongo Highlight Charly Osongo Highlight
  • 30 avec : = hauteur de l’axe neutre à l’ELU dans la section critique après redistri- bution, d = hauteur utile dans la section critique. Remarque Pour les ponts, les aciers de classe de ductilité A ne sont pas recommandés (voir § 1.3.1, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Toutes les conséquences de la redistribution supposée et de la dispersion possible doivent être prises en compte dans le calcul, à toutes les étapes de la vérification : • effort tranchant ; • ancrages et arrêt des barres ; • fissuration. En particulier, les longueurs des armatures doivent être suffisantes pour qu’aucune autre section ne devienne critique. Aux nus d’appuis d’une poutre ou d’une dalle formant un ensemble monoli- thique avec ses appuis, le moment pris en compte doit être au moins égal à 65 % du moment d’encastrement parfait38. Pour le calcul des poteaux (moments et réactions d’appuis), il n’y a pas lieu de tenir compte de la redistribution des moments39. Il convient de ne pas effectuer de redistribution pour les ponts courbes ou biais par exemple40. 3.4 Analyse plastique L’analyse plastique n’est utilisée qu’à l’ELU41. Pour les ponts, ce type d’analyse n’est à utiliser que si les autorités nationales le permettent. L’analyse plastique est basée42 : • soit sur le théorème de la borne inférieure (méthode statique) : – méthode des bandes pour les dalles ; 38. EC 2 – 5.3.2.2 (3) 39. EC 2 – 5.5.(6) 40. EC 2 – 5.5.(105) δ /< 0 7, (pour des aciers de classe B ou C haute ou très hhaute ductilité), pour des aciers de classe A0 8, (dductilité normale). ⎧⎨⎩ xu 41. EC 2 – 5.6.1 (1)P + (101)P 42. EC 2 – 5.6.1 (3) P Charly Osongo Highlight Charly Osongo Highlight Charly Osongo Highlight Charly Osongo Highlight Charly Osongo Highlight
  • Analyse structurale 31 – méthode des bielles et tirants pour les poutres-cloisons, consoles courtes, ancrages et voiles chargés dans leur plan ; • soit sur le théorème de la borne supérieure (méthode cinématique) : – rotules plastiques pour les poutres, portiques et dalles portant dans un seul sens ; – théorie des lignes de rupture pour les dalles. Les effets des chargements antérieurs peuvent généralement être négligés et on peut admettre une croissance monotone de l’intensité des actions43. 3.4.1 Dispense de la vérification de la capacité de rotation La ductilité des sections critiques est suffisante, sans vérification explicite de la capacité de rotation, si44 : • l’aire de la section des armatures tendues est telle que, dans toute section : pour des bétons de classe inférieure ou égale à C50/60 (0,15 pour les ponts en dehors des dalles pleines), pour des bétons de classe supérieure à C50/60 (0,10 pour les ponts en dehors des dalles pleines) ; • seuls les aciers à haute ou très haute ductilité (classes B ou C) sont utilisés (vérification de la capacité de rotation non nécessaire) ; • les moments sur appuis intermédiaires et en travée doivent vérifier : 3.4.2 Vérification de la capacité de rotation Pour les poutres et les dalles continues portant dans un seul sens45 : • dans la région des rotules plastiques, il faut vérifier : pour des bétons de classe inférieure ou égale à C50/60 (0,30 pour les ponts), 43. EC 2 – 5.6.1 (4) 44. EC 2 – 5.6.2 (2) + (102)P αu ux d = ≤ 0 25, αu ux d = ≤ 0 15, 0 5 2, ≤ ≤M M a t 45. EC 2 – 5.6.3 + (102)P αu ux d = ≤ 0 45,
  • 32 pour des bétons de classe supérieure à C50/60 (0,23 pour les ponts) ; • la rotation plastique calculée sous l’action considérée est mesurée sur une longueur 1,2.h et doit vérifier : = coefficient multiplicateur à prendre en compte lorsque , (5.11N) h = hauteur de l’élément, = rotation plastique admissible tirée du tableau ci-dessous (valeur recom- mandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française46) : Pour les classes intermédiaires de béton comprises entre C50/60 et C 90/105, on opère par interpolation linéaire. avec : λ = élancement vis-à-vis de l’effort tranchant (c’est-à-dire distance entre le point de moment nul et le point de moment maximal après redistri- bution rapportée à la hauteur utile d), 46. EC 2 – voir AN αu ux d = ≤ 0 35, θs θ θλs pl dk≤ . , h 0,6.h0,6.h sθ kλ λ = 3 λ ≠ 3 θpl d, 35 30 25 20 15 10 0 5 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 ≤ C 50/60 θpl,d (mrad) ≤ C 50/60 C 90/105 Classe C Classe B C 90/105 0,40 0,45 Rotation plastique admissible θpl, d pour λ = 3 (Xu/d)
  • Analyse structurale 33 Remarque Par simplification, on peut prendre pour les valeurs concomitantes de et de : . (5.12N) 3.4.3 Analyse par la méthode avec bielles et tirants Cette méthode est utilisée pour47 : • le dimensionnement à l’ELU des régions sans discontinuité dans lesquelles les sections droites restent planes (soit au-delà d’une distance à la disconti- nuité supérieure à la hauteur h de l’élément) ; • le dimensionnement et les dispositions constructives des régions présentant des discontinuités (nœuds des portiques par exemple). La méthode est basée sur la modélisation48 : • par des bielles représentant les zones où transitent les contraintes de compression ; • par des tirants qui représentent les armatures tendues ; • et par les nœuds qui assurent leurs liaisons. Les modèles bielles-tirants peuvent être définis49 : • à partir des isostatiques des contraintes et des répartitions de contraintes obtenues par la théorie de l’élasticité linéaire ; • ou en partant du cheminement des charges. MSd VSd λ MSd VSd.d --------------= 47. EC 2 – 5.6.4 (1) 48. EC 2 – 5.6.4 (3) 49. EC 2 – 5.6.4 (5) Bielle Massif d'appui Console courte F Fc F/2 F/2 h = l Fc Ft Fc 0 Fc Fsd Fsd Hsd Ft l Tirant
  • 34 3.5 Analyse non linéaire Méthodes utilisées aussi bien à l’ELU qu’à l’ELS, en admettant un compor- tement non linéaire adapté pour les matériaux. L’analyse peut être du premier ou du second ordre50. À l’état limite ultime, il convient de vérifier, pour les sections critiques localisées, leur capacité à résister à toutes les déformations inélastiques résultant de l’analyse, en tenant convenablement compte des incertitudes51. Pour des structures principalement soumises à des charges statiques52 : • les effets des chargements antérieurs peuvent généralement être négligés ; • et on peut admettre une croissance monotone de l’intensité des actions. Pour les structures élancées des bâtiments, dans lesquelles les effets du second ordre ne peuvent être négligés, il est possible d’utiliser une méthode générale de calcul incluant la non-linéarité géométrique53 (voir la méthode de l’équilibre ou des déformations internes au § 4, chapitre 2 : « Instabilité de forme – Flambement »). Pour les ponts, l’analyse non linéaire peut être utilisée à condition54 : • que le modèle puisse couvrir de manière appropriée tous les modes de ruine (flexion, effort normal, cisaillement, ruine par compression influencée par la réduction de la résistance effective du béton, etc.) ; • et que la résistance en traction du béton ne soit pas utilisée dans le schéma principal de résistance. En cas d’insuffisance de l’analyse pour vérifier tous les mécanismes de ruine, il convient d’effectuer des analyses complémentaires séparées. 4. Analyse structurale des poutres et des portiques Toutes les méthodes énumérées au § 3 peuvent être utilisées. 4.1 Analyse élastique et linéaire Voir § 3.2. 50. EC 2 – 5.7 (1) 51. EC 2 – 5.7 (2) 52. EC 2 – 5.7 (3) 53. EC 2 - 5.7 (5) + 5.8.6 (1)P 54. EC 2 – 5.7 (105)
  • Analyse structurale 35 Hormis les programmes de calcul sur ordinateurs, ce type d’analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la résistance des matériaux : • théorème des trois moments ; • méthode des forces (formule de Bertrand de Fontviolant) ; • méthode des déplacements (méthode des rotations ou méthode de relaxation de Hardy-Cross pour les ossatures et portiques) ; • etc. 4.2 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments Voir § 3.3. 4.3 Analyse plastique Voir § 3.4. Hormis les programmes de calcul sur ordinateurs, ce type d’analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la théorie de la plasticité (résistance des matériaux) : • théorème de la borne inférieure ; • théorème de la borne supérieure ; • méthode des lignes de rupture pour les dalles (méthode de Haas Jacobsen) ; • etc. 4.4 Analyse non linéaire Voir § 3.5. 4.5 Dispositions constructives – Aciers en chapeau Les armatures équilibrant les moments négatifs sur appuis sont dites « armatures en chapeau » ou plus simplement « chapeaux ». 4.5.1 Chapeaux sur appuis de rive Lorsqu’une poutre forme une construction monolithique avec ses appuis (y compris lorsque, dans le calcul, on a adopté un appui simple), il faut disposer sur ceux-ci des aciers supérieurs calculés pour équilibrer un moment55 : 55. EC 2 – 9.2.1.2 (1)
  • 36 avec : = moment maximal en travée, : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française56). Il faut, de plus, vérifier que donné au § 7, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles. 4.5.2 Chapeaux sur appuis intermédiaires57 5. Analyse structurale des dalles Toutes les méthodes énumérées au § 3 peuvent être utilisées. 56. EC 2 – voir AN As Mt M Mt= β1. Mt β1 0 15= , A As s≥ , min Répartition des aciers tendus sur appui intermédiaire sur la largeur participante pour les sections en T. Une partie de ces armatures peut être concentrée au droit de l’âme57 : 57. EC 2 – 9.2.1.2 (2) beff beff 1 bw hf As beff 2
  • Analyse structurale 37 5.1 Analyse élastique et linéaire Voir § 3.2. Les calculs manuels ne sont possibles que pour : • les dalles rectangulaires isolées portant dans un seul sens ( ) ; • les dalles rectangulaires continues dans le sens parallèle à leur petit côté et portant dans un seul sens ( ) ; • les dalles rectangulaires isolées portant dans un ou deux sens, soumises à des charges concentrées. Dans ce cas, pour des charges uniformément réparties, la dalle est découpée en bandes de largeur unité fléchissant dans le sens �x et l’on peut utiliser les méthodes usuelles de la résistance des matériaux : • calcul en travée isostatique pour un panneau de dalle isolé ; • utilisation du théorème des trois moments pour les dalles continues ; • etc. Pour des charges concentrées appliquées sur des panneaux isolés, la dalle est découpée en bandes de largeur unité fléchissant dans chaque sens et l’on peut utiliser les abaques de l’inspecteur général Pigeaud, par exemple. 5.2 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments Voir § 3.3. 5.3 Analyse plastique Voir § 3.4. Hormis les programmes de calcul sur ordinateur, ce type d’analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la théorie de la plasticité (résistance des matériaux) : • méthode des lignes de rupture pour les dalles isolées ou continues et de forme quelconque (méthode de Haas Jacobsen) ; • etc. �x �y ----- 0,5< �x �y ----- 0,5
  • 38 5.4 Analyse non linéaire Voir § 3.5. 5.5 Dispositions constructives 5.5.1 Armatures de flexion 5.5.1.1 Section minimale d’armatures Pour les armatures disposées suivant la direction principale (c’est-a-dire paral- lèles au petit côté), il faut vérifier les limites suivantes recommandées et à utiliser par l’Annexe nationale française58 : . (9.1N) avec59 : (3.23) h = hauteur de la section droite en mm, = largeur moyenne de la zone tendue = 1,00 m si l’on raisonne par bandes de dalle de largeur unité. En dehors des zones de recouvrement, il faut vérifier60 :61 Lorsque la maîtrise de la fissuration est requise, la section effective des armatures longitudinales de traction ne doit pas être inférieure à la section 58. EC 2 – 9.3.1.1 (1) 59. EC 2 – 7.1 (2) valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française61. = aire de la section transversale de béton. 60. EC 2 – 9.2.1.1 (3) 61. EC 2 – voir AN A A f f b d b d s s ct eff yk t t 1 0 26 0 0013 ≥ = , min , , . , . . Max ⎧⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ f f ct eff ctm , : = si la maîtrise de la fissuration est rrequise, Maxf h f f ctm fl ctm ctm , , = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 6 1 000 ⎧⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ : ,dans les autres cas bt As 2 As 1 AN AN As1 et As2 0,04.Ac≤ Ac
  • Analyse structurale 39 nécessaire au contrôle de la fissuration (voir § 3.1, chapitre 3 : « État limite de service de maîtrise de la fissuration62 »). 5.5.1.2 Armatures transversales Dans les dalles portant dans un seul sens, il y a lieu de prévoir une section d’armatures transversales au moins égale à 20 % de la section des armatures longitudinales63. Au voisinage des appuis, des armatures transversales aux barres principales supérieures ne sont pas nécessaires lorsqu’il n’existe aucun moment fléchissant transversal64. 5.5.1.3 Espacements maximaux Dans la suite, nous désignerons par65 : h = épaisseur de la dalle, �x (≤ �y) = sens principal de flexion de la dalle, �y (≥ �x) = sens secondaire de flexion de la dalle. a) Cas des zones sollicitées par des charges concentrées et des zones de moment maximal : : armatures dans le sens lx, : armatures dans le sens ly. b) Autres cas : : armatures dans le sens lx, : armatures dans le sens ly. 5.5.1.4 Arrêts des barres Le décalage de la courbe des moments est pris égal à66 : 62. EC 2 – 9.2.1.1 (1) 63. EC 2 – 9.3.1.1 (2) 64. EC 2 – 9.3.1.1 (2) 65. EC 2 – 9.3.1.1 (3) s h slabs xmax, , . , . ≤ ⎧⎨⎩Min cm 2 25 s h slabs ymax, , . , . ≤ ⎧⎨⎩Min cm 3 40 s h slabs xmax, , . , . ≤ ⎧⎨⎩Min 0 cm 3 4 s h slabs ymax, , , . , . ≤ ⎧⎨⎩Min cm 3 5 45 66. EC 2 – 9.3.1.1 (4) + 9.2.1.3
  • 40 Dans les dalles sur appuis simples, la moitié de la section d’aciers en travée est prolongée et ancrée sur appuis67. Aciers inférieurs sur appuis de rive68 : • voir § 9.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles. Aciers inférieurs sur appuis intermédiaires69 : • voir § 9.3, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles. 5.5.1.5 Aciers supérieurs sur appuis Lorsqu’une dalle présente un encastrement partiel non pris en compte dans le calcul sur une ligne d’appuis, il faut disposer sur ceux-ci des aciers supérieurs calculés pour équilibrer un moment70 : avec : = moment maximal en travée, : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française71. Les armatures correspondantes doivent : • se prolonger, à partir du nu d’appui sur une longueur au moins égale à 0,2 fois la portée de la travée adjacente ; • être continues au droit des appuis intermédiaires ; 67. EC 2 – 9.3.1.2 (1) 68. EC 2 – 9.3.1.1 (4) + 9.2.1.4 69. EC 2 – 9.3.1.1 (4) a dl = 70. EC 2 – 9.3.1.2 (2) 71. EC 2 – voir AN As Mt M Mt= β1. Mt β1 0 25 0 15 = , , : appui intermédiaire, : appui d'extréémité, ⎧⎨⎩
  • Analyse structurale 41 • ancrées aux appuis de rive. 5.5.1.6 Armatures de bords libres Le long d’un bord libre, il convient de prévoir des armatures de rive particulières72 : Les armatures courantes peuvent jouer le rôle d’armatures de rive. 5.5.2 Armatures d’effort tranchant Les armatures d’effort tranchant ne peuvent être disposées que dans des dalles telles que73 : Lorsque , les armatures d’effort tranchant peuvent être entiè- rement constituées74 : • de barres relevées ; • ou de cadres, étriers ou épingles. L’espacement longitudinal maximal vaut75 : pour les cadres, étriers ou épingles : (9.9) avec : α = inclinaison des armatures d’effort tranchant, pour les barres relevées : (9.10) L’espacement transversal maximal vaut76 : 72. EC 2 – 9.3.1.4 h ≥ 2.h 73. EC 2 – 9.3.2 (1) 74. EC 2 – 9.3.2 (3) 75. EC 2 – 9.3.2 (4) 76. EC 2 – 9.3.2 (5) h ≥ 200 mm V VEd Rd≤ 1 3. , max s dmax , .= +( )0 75 1 cotgα s dmax = s dt, max , .= 1 5
  • 42 II. APPLICATIONS Application n˚ 1 : analyse d’une poutre –Énoncé– On considère la poutre à travées égales schématisée ci-dessous reposant sur des voiles de 30 cm d’épaisseur : • Matériaux : • béton : = 25 MPa ; • aciers : S 500 avec diagramme σ−ε à palier horizontal et de classe de ductilité B. Maîtrise de la fissuration non requise. Classe d’exposition : XC2. On se propose de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU résultant : 1/ d’une analyse linéaire sans redistribution ; 2/ d’une analyse linéaire avec redistribution ; 3/ d’une analyse plastique. A A 0,30m 0,30 m 0,50 m 6,00 m q = 45 kN/m ÉLÉVATION COUPE AA 0,30m fck
  • Analyse structurale 43 –Corrigé– 1. Analyse linéaire sans redistribution 1.1 Portée utile de calcul Poutre continue �ef = �n + a1 + a2 = �n + 2.a �eff = 6,00 + 2.0,15 = 6,30 m 1.2 Moment fléchissant théorique sur appui g = 25.0,3.0,5 = 3,75 kN/m 1.3 Écrêtage de la courbe des moments sur appui Réaction d’appui (poutre multi-travées) : Réduction du moment sur appui : 1.4 Diagramme des moments à l’ELU En utilisant l’exposant « * » pour distinguer le moment « écrêté » du moment résultant des calculs RdM : ⇒ = ⎧ ⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ a t h Min 1 2 1 2 a = = = = ⎧ ⎨⎪⎪ ⎩⎪ 0 15 1 2 0 30 0 15 1 2 0 50 0 25 , , , , , m Min m m⎪⎪ g b hw= ϖ. . p g qu = +1 35 1 5, . , . pu = + =1 35 3 75 1 5 45 72 56, . , , . , kN/m MEdth, a pu �eff 2 12 -------= MEdth a, , , = =72 56 6 30 12 240 2 mkN FEd, sup 2 pu.�eff 2 --------------- pu.�eff= = FEd, sup , . , ,= =72 56 6 30 457 13 kN ΔM F tEd Ed= , sup 8 ΔMEd = =457 13 0 30 8 17 14, , , mkN M M MEd a Edth a Ed, * , = − Δ MEd a, * , ,= − =240 17 14 222 86 mkN MEd, t pu �eff 2 24 -------= MEd t, , , = =72 56 6 30 24 120 2 mkN M M MEd Ed a Ed t0 = +, * , MEd0 222 86 120 342 86= + =, , mkN
  • 44 1.5 Remarque 1 Si l’on considère que la poutre forme un ensemble monolithique avec ses appuis (ce qui n’est pas le cas ici), il faut faire la vérification ci-dessous. Moment au nu d’appui : 239,18 mkN Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln : 217,68 mkN Vérification : 1.6 Remarque 2 En considérant la portée entre nus d’appuis : à 5 % près. 2. Analyse linéaire avec redistribution 2.1 Caractéristiques des matériaux 120 240 222,86 RdM RdM corrigée MEd MEd 0 = 342,86 (mkN) 3,15 2 effl m= M M p aEd Edth a u= −, 2 2 MEd = − =240 72 56 0 15 2 2 , , MEd, enc pu �n 2 12 ------= MEd enc, , , = =72 56 6 00 12 2 M MEd Ed enc>< 0 65, . , M MEd E= > = =239 18 141 49 0 65 217 68 0 65, , , . , , .mkN mkN dd enc, O.K. MEd pu �n 2 8 -----= M mkN MEd Ed= = =72 56 6 00 8 326 52 2 0, , , f fcd cc ck c = α γ fcd = =1 25 1 5 16 7 , , MPa
  • Analyse structurale 45 2.2 Coefficient réducteur du moment sur appui Travées de portées égales O.K. en posant : , avec = moment sur appui : on obtient à l’ELU sous l’effet du moment « redistribué »77 : , , d’où : f f yd yk s = γ fyd = = 500 1 15 435 , MPa 77. Pour différencier les sollicitations (M, V) résultant de la redistribution limitée des moments des autres sol- licitations, nous leur adjoignons une apostrophe (M’, V’). �i �i 1+ ---------- >< 2 0,5 � i � i 1 + - - - - - - - - - - < ⇒ 1 2 < = fck >< ⇒50 MPa δ f xck cu = ⇒ = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟25 0 44 1 25 0 6 0 0014 2 MPa δ ε , , , , . uu d ⎛⎝ ⎞⎠ αu ux d = fck >< ⇒ ⎧⎨⎩50 MPa λ η , fck = < ⇒ = = ⎧⎨⎩25 50 0 8 1 MPa MPa λ η , f fcu cd= η. fcu = =1 16 7 16 7. , , MPa μcu th Edth a w cu M b d f, , . . = 2 MEdth a, μcu th, , , . , . , ,= = 0 240 0 30 0 45 16 7 0 2372 M MEd a Edth a' ., ,= δ μ μ δcu cu th= , . αu 1 λ--- 1 1 2.δ.μcu, th––[ ]= δ ε ≥ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +0 44 1 25 0 6 0 0014 0 44 1 2 2 , , , , , , cu ux d 55 0 6 0 0014 3 5 10 0 44 1 253, , , . , , .+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +− α αu u
  • 46 et en supprimant le radical (en remarquant que δ – 2 < 0) : d’où l’inéquation du second degré en δ : Le trinôme étant du signe du coefficient multiplicateur de δ 2 en dehors des racines, il est nég atif si . Prenons δ = 0,76 > δ δ μ≥ + ⎛⎝ ⎞⎠ − −⎡⎣ ⎤⎦0 44 5 4 1 1 2 2 , . . ,cu th 16 25 0 44 1 1 2δ δ μ−[ ] ≥ − −, . . ,cu th 16 25 ------ δ 0,44– 25 16 ------– δ 2– – 1 2.δ.μcu, th–≥ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 16 25 4 4 1 2 2 2⎛⎝ ⎞⎠ − +⎡⎣ ⎤⎦ ≤ −δ δ δ μ. . . ,cu th δ2 4.δ 4 25 16 ------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 2,44 2 25 16 ------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 δ.μcu, th–≤+– ⎧ ⎨ ⎩ δ μ δ2 4 1 1 22 1 56 0− −( ) + ≤, . ,,cu th ⇒ Δ ' , . , , = −( ) −4 1 1 22 1 562μcu th ⇒ δ μ μ= −( ) ± −( ) −2 1 1 22 4 1 1 22 1 562, . , . ,, ,cu th cu th δ = −( ) ± −( ) − =2 1 1 22 0 237 4 1 1 22 0 237 1 56 2 12, . , , . , , , 001 0 743, ⎧⎨⎩ δ ∈[ ]0 743 2 101, , ⇒ 0,7 pour aciers de classe B ou C, 0,743⎩⎨ ⎧ M MEd a Edth, a' ., = δ M Ed a' , ., = =0 76 240 182 mkN μcu Ed a w cu M b d f = ' . . , 2 μcu = = 0 182 0 30 0 45 16 7 0 1792 , , . , . , ,
  • Analyse structurale 47 On vérifie que : 2.3 Diagramme des moments à l’ELU Moment élastique théorique redistribué sur appui : Moment élastique redistribué réduit : et comme le moment sur appui est négatif, nous obtenons à mi-travée : α λ μu cu= − − ⎡⎣ ⎤⎦ 1 1 1 2. αu = − −⎡⎣ ⎤⎦ = 1 0 8 1 1 2 0 179 0 248 , . , , f x dck u = < ⇒ = + ⎛⎝ ⎞⎠ = +25 50 0 44 1 25 0 44MPa MPa δlim , , , 11 25, .αu δlim , , . , ,= + =0 44 1 25 0 248 0 75 δ δ>< lim δ δ= > =0 76 0 75, , lim O.K. M MEd a Edth a' ., ,= δ M Ed a' , . , ,, = =0 76 240 00 182 00 mkN M M MEd a Ed a Ed, '* , '= − Δ MEd a, '* , , ,= − =182 00 17 14 164 86 mkN M M MEd t Ed a Ed, '* , '* = + 0 MEd t, '* , , ,= − + =164 86 342 86 178 00 mkN MEd 0 = 342,86 MEd MEd 0 = 342,86 RdM avec redistribution RdM sans redistribution MEd , t = 120,00 (mkN) 3,15 2 effl m= 164,86= 222,86= = 178,00 , 240,00EdthM a = M'*Ed, a M'*Ed, t M*Ed, a
  • 48 2.4 Remarque Si l’on considère que la poutre forme un ensemble monolithique avec ses appuis (ce qui n’est pas le cas ici), il faut faire la vérification ci-dessous. Moment au nu d’appui : 181,18 mkN Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln : 217,68 mkN (voir § 1.5) Vérification : 3. Analyse plastique 3.1 Introduction – Moments à prendre en compte Aciers S500 classe B à haute ductilité O.K. Moments fléchissants : Prenons = = 0,5. 3.2 Armatures calculées sur appui μcu = 0,169 < 0,3717 = μcu ⇒ As2 = M M p aEd Ed a u= −' , 2 2 MEd = − =182 72 56 0 15 2 2 , , MEd, enc pu �n 2 12 ------= MEd enc, = M MEd Ed enc>< 0 65, . , M MEd E= > = =181 18 141 49 0 65 217 68 0 65, , , . , , .mkN mkN dd enc, O.K. 0 5 2, ≤ ≤M M a t MEd a, MEd t, MEd0 ⇒ = =MEd a, , . , ,0 5 342 86 171 43 mkN ⇒ = =M MEdt Eda 171 43, mkN μcu Ed a w cu M b d f = , . . 2 μcu = = −171 43 10 0 30 0 45 16 7 0 169 3 2 , . , . , . , , f M M ck Ed ser lu ls = ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ ∀ = = = 25 0 MPa S 500 XC2 γ μ μ: ,33717 μ μcu lu>
  • Analyse structurale 49 3.3 Section minimale d’armatures As1 et As2 >< 0,04.Ac As1 O.K. 3.4 Dispense de la vérification de la rotation des rotules plastiques si Aciers de classe B ou C S 500 B O.K. α λ μu cu= − − ⎡⎣ ⎤⎦ 1 1 1 2. αu = − −⎡⎣ ⎤⎦ = 1 0 8 1 1 2 0 169 0 233 , . , , z dc u= − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥1 2 λ α zc = − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =0 45 1 0 8 2 0 233 0 408, , , , m A M z fs u Ed a c yd 1, , . = As u1 4 20 17143 0 408 435 10 9 66 , , , . ,= = cm f f fck ctm ck≤ ⇒ = [ ]50 0 3 23MPa , fctm = [ ] =0 3 25 2 5623, , MPa Maîtrise de la fissuration non requise ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ fct, eeff ctm fl ctm ctm f h f f = = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎧ ⎨⎪ ⎩ , , Max 1 6 1 000 ⎪⎪ fct eff, , , , , = = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =2 82 1 6 500 1 000 2 56 2 MPa Max 882 2 56 MPa MPafctm = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ , A f f b d b d s ct eff yk t t , min , , . , . . = ⎧ ⎨⎪ ⎩ Max 0 26 0 0013⎪⎪ As, min , , , . , = = = 1 98 0 26 2 82 500 30 45 1 98 0 2 2 cm Max cm ,, . . ,0013 30 45 1 76 2= ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ cm A As s1 >< , min A As s1 2 29 66 1 98= > =, , , mincm cm 2 29 66 54 0 0 04 30 45= < =, , , . .cm cm αu ux d = >< 0 25, fck ≤ 50 MPa αu =
  • 50 O.K. Dispense de la vérification de la rotation des rotules plastiques. 3.5 Diagramme des moments à l’ELU 3.6 Remarque – Contraintes à l’ELS dans la section sur appui Sur la base des valeurs théoriques de et d trouvées ci-dessus. En adoptant un coefficient d’équivalence moyen : . 3.6.1 Calcul en section non fissurée v = h - v’ v = 50 - 26,76 = 23,24 cm 0 5 2, ≤ ≤M M a t M MEd a Ed t, ,= ⇒ 120 Analyse Analyse 240,00 222,86 171,43 MEd 0 = 342,86 MEd plastique élastique linéaire 171,43 MEd 0 = 342,86 (mkN) 3,15 2 effl m= As u1, αe s c eff E E = = , 15 A b h A Aw w e s s= + +( ). α 1 2 Ach = + =30 50 15 9 66 1 644 9 2. . , , cm v b h A d A d A w e s s ch ' . . ' = + +( )2 1 22 α v ' . . , . , ,= + = 30 50 2 15 9 66 45 1 644 9 26 76 2 cm I b h A d A d A vch w e s s ch= + +( ) −. . . ' '3 1 2 2 2 23 α
  • Analyse structurale 51 du § 1.4, le calcul à l’ELS n’étant pas conduit par analyse plastique. Maîtrise de la fissuration non requise (pour la même contrainte de traction du béton que celle utilisée pour la section minimale d’armatures) : Calcul en section fissurée. 3.6.2 Calcul en section fissurée Ich = + − 30 50 3 15 9 66 45 1 644 9 26 76 3 2 2. . , . , . , Ich = 365 514 4cm p g qser = + pser = + =3 75 45 48 75, , kN/m M MEd Ed a= , * M M p pser Ed ser u = Mser = =222 86 48 75 72 56 149 73, , , , mkN σct ser ch M v I = . σct = = − − 149 73 10 0 2324 365 514 10 9 52 3 8 , . . , . , MPa σct ct efff>< , σct ct efff= > =9 52 2 82, , ,MPa MPa ⇒ b x A x A dw e s e s . . . . . 1 2 1 1 12 0+ − =α α 15 15 9 66 15 9 66 45 012 1. . , . . , .x x+ − = x x1 2 19 66 434 7 0+ − =, . , Δ = ⇒ = − + =42 80 9 66 42 80 2 16 572 1, , , ,x cm I b x A d xcf w e s= + −( ). .1 3 1 1 2 3 α Icf = + −( ) =30 16 573 15 9 66 45 16 57 162 613 3 2 4. , . , , cm K M I ser cf = K = = − − 149 73 10 162 613 10 92 08 3 8 3, . . , MN/m σc K x= . 1 σc = = −92 08 16 57 10 15 32, . , . , MPa σc ckf= ≈ = =15 3 0 6 0 6 25 15, , . , .MPa MPa
  • 52 d’autant plus que la section d’aciers utilisée est la section calculée et non la section réelle (qui lui est supérieure). Application n˚ 2 : analyse d’une poutre continue –Énoncé– On considère la dalle constituée de deux panneaux ne portant que dans un seul sens, schématisée ci-dessous : Matériaux : • béton : = 20 MPa ; • aciers : S 500 A, diagramme à palier horizontal. Charges : • revêtements divers : 1,1 kN/m2 ; • exploitation : 5,0 kN/m2 ; Classe d’exposition : XC2. On se propose : 1/ de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU résultant d’une analyse linéaire sans redistribution ; 2/ de tracer le diagramme des moments fléchissants à l’ELU résultant d’une analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ; 3/ de calculer les armatures longitudinales sur appuis et en travée dans le cas de l’analyse linéaire avec redistribution limitée des moments ; 4/ de faire les vérifications à l’effort tranchant. σ αs e K d x= −( ). 1 σs = −( ) =−15 92 08 45 16 57 10 3932. , , MPa σs ykf= ≈ = =393 0 8 0 8 500 400MPa MPa, . , . C B A 0,185 m 0,185 m 0,20 m 3,81 m 4,00 m 0,24 m4,81 m 5,00 m fck
  • Analyse structurale 53 –Corrigé– 1. Introduction 1.1 Portées à prendre en compte Appuis de rive : Appui central : Travée AB : �eff = 4,81 + 0,0925 + 0,10 = 5,00 m Travée BC : �eff = 3,81 + 0,0925 + 0,10 = 4,00 m 1.2 Charges Permanentes : • poids propre : 25 kN/m3.0,20 = 5,0 kN/m2 • revêtements : 1,1 kN/m2 ____________ Total : g = 6,1 kN/m2 Exploitation : q = 5,0 kN/m2 ⇒ = ⎧ ⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ a t h 1 1 2 1 2 Min a1 0 0925 1 2 0 185 0 0925 1 2 0 20 0 10 = = = = ⎧ ⎨, , , , , m Min m m ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪ ⇒ = ⎧ ⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ a t h 2 1 2 1 2 Min a2 0 10 1 2 0 24 0 12 1 2 0 20 0 10 = = = = ⎧ ⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ , , , , , m Min m m �eff �n a1 a2+ += �eff �n a1 a2+ +=
  • 54 2. Analyse linéaire sans redistribution 2.1 Rappels de RdM Le théorème des trois moments appliqué à l’appui B s’écrit : Les moments maximaux en travée s’obtiennent de la façon suivante : • pour la travée AB : • pour la travée BC : P2 C x1 x2 l1 l2 P1 A B �1 3EI -------- �2 3EI --------+ MB p2.�2 3 24EI ------------– p1.�1 3 24EI ------------ – M B ⇒ p 1 . � 1 3 p + 2 . � 2 3 8 � 1 � 2 + ( ) - - - - - - - - - - - - - - - - ----------------–= = V1 p1 �1 2 ----- x1–⎝ ⎠⎛ ⎞ MB MA–�1----------------------+ 0= = MA 0= ⎭⎪ ⎬⎪ ⎫ x1⇒ �1 2 ----- MB p1.�1 ------------+= Mt1 p1.x1 �1 x1–( ) 2 ---------------------------------- MA 1 x1 �1 -----–⎝ ⎠⎛ ⎞ MBx1�1-----+ += MA 0= ⎭⎪ ⎬⎪ ⎫ Mt1⇒ p1.x1 �1 x1–( ) 2 ---------------------------------- MB x1 �1 -----+= V2 p2 �1 2 ----- x2–⎝ ⎠⎛ ⎞ MC MB–�2----------------------+ 0= = MC 0= ⎭⎪ ⎬⎪ ⎫ x2⇒ �2 2 ----- MB p2.�2 ------------–= Mt2 p2.x2 �2 x2–( ) 2 ---------------------------------- MB 1 x2 �2 -----–⎝ ⎠⎛ ⎞ MCx2�2-----+ += MC 0= ⎭⎪ ⎬⎪ ⎫ M t2 ⇒ p 2 .x 2 � 2 x 2 – ( ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M B 1 x 2 � 2 - - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + =
  • Analyse structurale 55 Remar que Pour les cas de charge faisant intervenir à la fois les charges per manentes et les charges variables, il n’est pas possible d’obtenir par superposition la position et la valeur des moments extrêmes en travée lorsque le chargement n’est pas symétrique. 2.2 Moments sur appuis Les calculs sont conduits pour une bande de dalle de lar geur unité portant sur les appuis A, B et C (sens de la petite portée). 2.2.1 Char ges permanentes 6,1 kN/m 2 mkN/m 2.2.2 Char ge d’exploitation totale 5,0 kN/m 2 mkN/m 2.2.3 Char ge d’exploitation sur la tra vée AB p 2 C p 1 x1 x2 l1 l2 A B p p g1 2= = p p1 2= = MB, g p1.�1 3 p2.�2 3 + 8 �1 �2+( ) --------------------------------–= MB g, , . , , . , , , ,= − + +( ) = − 6 1 5 00 6 1 4 00 8 5 00 4 00 16 0 3 3 11 p 2 C p 1 x1 x2 l1 l2 A B p p q1 2= = p p1 2= = MB, q p1.�1 3 p2.�2 3 + 8 �1 �2+( ) --------------------------------–= MB q, , . , , . , , , ,= − + +( ) = − 5 0 5 00 5 0 4 00 8 5 00 4 00 13 1 3 3 22 C p 1 x1 x2 l1 l2 A B
  • 56 ; 5,0 kN/m2 ; mkN/m 2.2.4 Charge d’exploitation sur la travée BC ; ; 5,0 kN/m2 mkN/m 2.3 Superposition des cas de charge 2.3.1 Travée AB p q1 = p2 0= p1 = p2 0= MB, qw p1.�1 3 p2.�2 3 + 8 �1 �2+( ) --------------------------------–= MB qw, , . , , , ,= − +( ) = − 5 0 5 00 8 5 00 4 00 8 68 3 p 2 C x1 x2 l1 l2 A B p1 0= p q2 = p1 0= p2 = MB, qe p1.�1 3 p2.�2 3 + 8 �1 �2+( ) --------------------------------–= MB qe, , . , , , ,= − +( ) = − 5 0 4 00 8 5 00 4 00 4 44 3 p g q gu = +1 35 1 5 1 35 , . , . : , , . : travées chargées travéées non chargées, ⎧⎨⎩ pu = + =1 35 6 1 1 5 5 0 15 735, . , , . , , :kN/m travées char2 ggées kN/m travées non chargée2 , , . , , :1 35 6 1 8 235= ss, ⎧⎨⎪⎩⎪
  • Analyse structurale 57 Ca s d e ch ar ge – 1, 35 .1 6, 01 – 1 ,5 .1 3, 12 = – 41 ,2 9 m kN /m 1, 97 5 m 30 ,6 9 m kN /m – 1, 35 .1 6, 01 – 1 ,5 .8 ,6 8 = – 34 ,6 3 m kN /m 2, 06 0 m 33 ,3 8 m kN /m – 1, 35 .1 6, 01 – 1 ,5 .4 ,4 4 = – 28 ,2 7 m kN /m 1, 81 3 m 13 ,5 4 m kN /m M B – p 1 . � 13 p 2 . � 23 + 8 � 1 � 2 + ( ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = x 1 � 1 2 - - - -- M B p 1 . � 1 - - - - - - - - - - - -- + = M t1 p 1 . x 1 � 1 x 1 – ( ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M B x 1 � 1 - - - -- + = A B C 1 Ca s x 1 1, 35 .g + 1 ,5 .q 1, 35 .g + 1 ,5 .q l 1 x 2 l 2 x 1 5, 00 2 - - - - - - - - - - 41 ,2 9 15 ,7 35 .5 ,0 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = – = M t1 15 ,7 35 .1 ,9 75 (5 ,00 – 1,9 75 ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 41 ,2 9 1 ,9 75 5, 00 - - - - - - - - - - - - - = – = 1, 35 .g A B C 2 Ca s x 1 1, 35 .g + 1 ,5 .q l 1 x 2 l 2 x 1 5, 00 2 - - - - - - - - - - 34 63 , 15 ,7 35 .5 ,0 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = – = M t1 15 ,7 35 .2 ,0 60 (5 ,00 – 2,0 60 ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 34 ,6 3 2 ,0 60 5, 00 - - - - - - - - - - - - - = – = A B C 3 Ca s x 1 1, 35 .g + 1 ,5 .q 1, 35 .g l 1 x 2 l 2 x 1 5, 00 2 - - - - - - - - - - 28 ,2 7 8, 23 5. 5, 00 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = – = M t1 8, 23 5. 1, 81 3 (5, 00 – 1,8 13 ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 28 ,2 7 1 ,8 13 5, 00 - - - - - - - - - - - - - = – =
  • 58 2. 3. 2 Tr av ée B C Ca s d e ch ar ge – 41 ,2 9 m kN /m = 2, 65 6 m 14 ,2 1 m kN /m – 34 ,6 3 m kN /m = 3, 05 1 m 3, 71 m kN /m – 28 ,2 7 m kN /m = 2, 45 6 m 18 ,9 2 m kN /m M B – p 1 . � 13 p 2 . � 23 + 8 � 1 � 2 + ( ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = x 2 � 2 2 - - - -- M B p 2 . � 2 - - - - - - - - - - - -- – = M t2 p 2 . x 2 � 2 x 2 – ( ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - M B 1 x 2 � 2 - - - -- – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + = A B C 1 Ca s x 1 1, 35 .g + 1 ,5 .q 1, 35 .g + 1 ,5 .q l 1 x 2 l 2 x 2 4, 00 2 - - - - - - - - - - 41 ,2 9 15 ,7 35 . 4, 00 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + = M t2 = 15 ,7 35 .2 ,6 56 (4 ,00 – 2,6 56 ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 41 ,2 9 1 2, 65 6 4, 00 - - - - - - - - - - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = – 1, 35 .g A B C 2 Ca s x 1 1, 35 .g + 1 ,5 .q l 1 x 2 l 2 x 2 4, 00 2 - - - - - - - - - - 34 ,6 3 8, 23 5. 4, 00 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + = M t2 = 8, 23 5. 3, 05 1 (4, 00 – 3,0 51 ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 34 ,6 3 1 3, 05 1 4, 00 - - - - - - - - - - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = – 1, 35 .g A B C 3 Ca s x 1 1, 35 .g + 1 ,5 .q l 1 x 2 l 2 x 2 4, 00 2 - - - - - - - - - - 28 ,2 7 15 ,7 35 . 4, 00 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + = M t2 = 15 ,7 35 .2 ,4 56 (4 ,00 – 2,4 56 ) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 28 ,2 7 1 2, 45 6 4, 00 - - - - - - - - - - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = –
  • Analyse structurale 59 D’où le diagramme des moments fléchissants : 3. Analyse linéaire avec redistribution 3.1 Caractéristiques des matériaux 3.2 Coefficient réducteur du moment sur appui O.K. ⇒ δ en posant : , C B A 13,54 : cas 1 Echelles : 10 mkN/m 1 m : cas 2 : cas 3 30,69 18,92 14,21 -41,29 -34,63 -28,27 3,71 33,38 l1 l2 + + + + + f fcd cc ck c = α γ fcd = =1 20 1 5 13 33 , , MPa f f yd yk s = γ fyd = = 500 1 15 435 , MPa �i �i 1+ ---------- >< 2 0,5 �i �i 1+ ----------< 5,00 4,00 ---------- 1,25 2< 50 MPa f x ck cu = ⇒ = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟20 0 44 1 25 0 6 0 0014 2 MPa δ ε , , , , . uu d ⎛⎝ ⎞⎠ αu ux d =
  • 60 avec = moment sur appui on obtient à l’ELU sous l’effet du moment « redistribué78 » : , d’où : et en supprimant le radical (en remarquant que 2 – δ < 0) : 78. Pour différencier les sollicitations (M, V) résultant de la redistribution limitée des moments des autres sol- licitations, nous leur adjoignons une apostrophe (M’, V’). fck >< 50 MPa λ , η⎩⎨ ⎧ ⇒ fck 20 MPa 50 MPa λ 0,8= η 1=⎩⎨ ⎧ ⇒
  • Analyse structurale 61 d’où l’inéquation du second degré en δ : Le trinôme étant du signe du coefficient multiplicateur de δ2 en dehors des racines, il est négatif si . Prenons δ = 0,85 > mkN/m On vérifie que : 3.3 Diagramme des moments redistribués à l’ELU 3.3.1 Moment fléchissant maximal dans la travée AB Effort tranchant sur l’appui A lorsque (cas de charge � du § 2.3.1) : δ2 4.δ 4 25 16 ------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 2,44 2 25 16 ------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 δ.μcu, th–≤+– ⎧ ⎨ ⎩ δ μ δ2 4 1 1 22 1 56 0− −( ) + ≤, . ,,cu th ⇒ Δ ' , . , , = −( ) −4 1 1 22 1 562μcu th ⇒ δ μ μ= −( ) ± −( ) −2 1 1 22 4 1 1 22 1 562, . , . ,, ,cu th cu th δ = −( ) ± −( ) − =2 1 1 22 0 107 4 1 1 22 0 107 1 56 2 92, . , , . , , , 449 0 529, ⎧⎨⎩ δ ∈[ ]0 529 2 949, , ⇒ 0,8 pour aciers de classe , 0,529. A⎧⎨⎩ M MEd B Ed a' ., ,= δ M Ed B' , . , ,, = =0 85 41 29 35 10 μcu Ed B w cu M b d f = ' . . , 2 μcu = = 0 0351 1 00 0 17 13 33 0 0912 , , . , . , , α λ μu cu= − − ⎡⎣ ⎤⎦ 1 1 1 2. αu = − −⎡⎣ ⎤⎦ = 1 0 8 1 1 2 0 091 0 119 , . , , fck = < ⇒ = +20 50 0 44 1 25MPa MPa δlim , , xu d -----⎝ ⎠⎛ ⎞ 0,44 + 1,25.αu= δlim , , . , ,= + =0 44 1 25 0 119 0 589 δ δ>< lim δ δ= > =0 85 0 589, , lim O.K. M MB Ed B= ' ,
  • 62 32,3 kN/m Abscisse de la section soumise au moment maximal en travée : 2,054 m Moment maximal redistribué en travée : 33,19 mkN/m non retenu pour le calcul de la section d’aciers dans la travée AB. 3.3.2 Moment fléchissant maximal dans la travée BC Abscisse de la section soumise au moment maximal en travée (cas de charge � du § 2.3.2) : 2,558 m Moment maximal redistribué en travée : 16,37 mkN/m non retenu pour le calcul de la section d’aciers dans la travée BC. 4. Armatures longitudinales 4.1 Caractéristiques des matériaux Voir § 3.1. V’Ed, A pu �1 2 ----- MB �1 --------+= V Ed A' , , , , , = − =15 735 5 00 2 35 1 5 00 x0 �1 2 ----- MB pu.�1 ------------+ V’Ed, A pu ----------------= = x0 5 00 2 35 1 15 735 5 00 = − = , , , . , M’Ed, AB pu.x0 �1 x0–( ) 2 ---------------------------------- M’Ed, B x0 �1 -----+= M Ed AB' , . , , , , , , = −( ) − 15 735 2 054 5 00 2 054 2 35 10 2 0544 5 00, M Ed AB' , = < =33 38, ,mkN/m MEd AB ⇒ M Ed AB' , x0 �2 2 ----- MB pu.�2 ------------–= x0 4 00 2 35 1 15 735 4 00 = + = , , , . , M’Ed, BC pu.x0 �2 x0–( ) 2 ---------------------------------- M’Ed, B 1 x0 �2 -----–⎝ ⎠⎛ ⎞+= M Ed BC' , . , , , , , , = −( ) − − 15 735 2 558 4 00 2 558 2 35 10 1 2 5558 4 00, ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ M Ed BC' , = < =18 92, ,mkN/m MEd BC ⇒ ' , M Ed BC
  • Analyse structurale 63 4.2 Aciers sur appui B 4.2.1 Écrêtage des moments sur appui Efforts tranchants de part et d’autre de l’appui central (indices w = ouest pour gauche, et e = est pour droite) : – 46,36 kN/m + 40,25 kN/m Réaction d’appui sur l’appui central : 86,61 kN/m Écrêtage du moment sur l’appui central : t = profondeur d’appui : t = 0,24 m 2,60 mkN/m Moment fléchissant à prendre en compte sur l’appui central : En utilisant l’exposant « * » pour distinguer le moment « écrêté » du moment résultant des calculs RdM : – 32,50 mkN/m 4.2.2 Vérification – Valeur minimale du moment en B Moment au nu d’appui : 32,42 mkN Moment d’encastrement parfait pour la travée de portée ln : 30,34 mkN Vérification : p g qu = +1 35 1 5, . , . pu = + =1 35 6 1 1 5 5 0 15 735, . , , . , , kN/m2 V’Ed, Bw p– u �1 2 ----- M’Ed, B �1 -----------------+= V Ed Bw' , , , , , = − − =15 735 5 00 2 35 1 5 00 V’Ed, Be pu �2 2 ----- M’Ed, B �2 -----------------–= V Ed Be' , , , , , = + =15 735 4 00 2 35 1 4 00 F V VEd Ed B Ed Be w, sup , ,' '= − FEd, sup , ,= + =40 25 46 36 ΔM F tEd Ed= , sup 8 ΔMEd = =86 61 0 24 8 , , M M MEd B Ed B Ed, '* , '= + Δ MEd B, '* , ,= − + =35 10 2 60 M M p aEd Ed B u= −, '* 2 2 MEd = − =32 5 15 735 0 10 2 2 , , , MEd, enc pu �n 2 12 ------= MEd enc, , , = =15 735 4 81 8 2 M MEd Ed enc>< 0 65, . , M MEd Ed e= > = =32 42 19 72 0 65 30 34 0 65, , , . , , . ,mkN mkN nnc O.K.
  • 64 Remarque Cette vérification est en fait inutile ici, car la dalle n’est pas solidaire de l’appui B. 4.2.3 Armatures 0,162 m 4.2.4 Contrôle du coefficient de redistribution d O.K. O.K. μcu Ed B w cu M b d f = , '* . . 2 μcu = = −32 5 10 1 00 0 17 13 33 0 085 3 2 , . , . , . , , f M M ck Ed ser lu ls = ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ ∀ = = = 20 0 MPa S 500 XC2 γ μ μ: ,33717 μ μcu lu>< μ μcu lu= < =0 085 0 3717, , ⇒ =As2 0 α λ μu cu= − − ⎡⎣ ⎤⎦ 1 1 1 2. αu = − −⎡⎣ ⎤⎦ = 1 0 8 1 1 2 0 085 0 111 , . , , z dc u= − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥1 2 λ α zc = − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =0 17 1 0 8 2 0 111, , , A M z fs u Ed B c yd 1, , '* . = As u1 3 432 5 10 0 162 435 10 4 61 , , . , . ,= = − cm /m2 �i �i 1+ ---------- >< 2 0,5 �i �i 1+ ----------< 5,00 4,00 ---------- 1,25 2< ⇒50 MPa δ fck 20 MPa δ 0,44 1,25 0,6 0,0014 ε cu2 - - - - - - - - - - - - - - - - + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ . x u d - - - - - ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ α u + = ⇒ = ⎧ ⎨ ⎩ δ = + +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =0 44 1 25 0 6 0 0014 0 0035 0 111 0 5, , , , , . , , 779 δ = > ⎧⎨⎩0 85 0 579 0 8 , , , classe A
  • Analyse structurale 65 Remar que Du fait de l’« écrêtage » du moment sur appui, sa valeur absolue a diminué, donc aussi, et le contrôle du coef fi cient de r edistribution est assuré sans qu’il soit nécessair e d’ef fectuer les calculs ci-dessus. 4.3 Armatures en travée 4.3.1 T ra vée AB Comme : (voir § 3.3.1), nous retenons cette dernière valeur pour le calcul des armatures. 0,162 m 4.3.2 T ra vée BC Comme (v oir § 3.3.2), nous retenons cette dernière valeur pour le calcul des armatures. αu M MEd AB Ed AB' , ,< μcu Ed AB w cu M b d f = , . . 2 μcu = = −33 38 10 1 00 0 17 13 33 0 087 3 2 , . , . , . , , f M M ck Ed ser lu ls = ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ ∀ = = = 20 0 MPa S 500 XC2 γ μ μ: ,33717 μ μcu lu>< μ μcu lu= < =0 087 0 3717, , ⇒ =As2 0 α λ μu cu= − − ⎡⎣ ⎤⎦ 1 1 1 2. αu = − −⎡⎣ ⎤⎦ = 1 0 8 1 1 2 0 087 0 114 , . , , z dc u= − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥1 2 λ α zc = − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =0 17 1 0 8 2 0 114, , , A M z fs u Ed AB c yd 1, , . = As u1 3 433 38 10 0 162 435 10 4 74 , , . , . ,= = − cm /m2 M MEd BC Ed BC' , ,< μcu Ed BC w cu M b d f = , . . 2 μcu = = −18 92 10 1 00 0 17 13 33 0 049 3 2 , . , . , . , , f M M ck Ed ser lu ls = ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ ∀ = = = 20 0 MPa S 500 XC2 γ μ μ: ,33717 μ μcu lu>< μ μcu lu= < =0 049 0 3717, , ⇒ =As2 0
  • 66 0,166 m 5. Vérifi cation à l’effort tranchant 5.1 Effor t tranchant à prendre en compte Ef fort tranchant maximum obtenu à gauche de l’axe de l’appui B, compte tenu du moment redistribué : – 46,36 kN/m Effort tranchant réduit pour transmission directe des charges aux appuis (à la distance d du nu d’appui pour des charges réparties) : 41,80 kN/m Effort tranchant résistant de calcul de l’élément sans armatures d’âme : = aire de l’armature longitudinale dans la section distante de de celle étudiée : (TS HA ST 50 ADETS) = effort normal = 0 (flexion simple) < 0,2.f cd α λ μu cu= − − ⎡⎣ ⎤⎦ 1 1 1 2. αu = − −⎡⎣ ⎤⎦ = 1 0 8 1 1 2 0 049 0 063 , . , , z dc u= − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥1 2 λ α zc = − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =0 17 1 0 8 2 0 063, , , A M z fs u Ed BC c yd 1, , . = As u1 3 418 92 10 0 166 435 10 2 62 , , . , . ,= = − cm /m2 V’Ed, Bw p– u �1 2 ----- M’Ed, B �1 -----------------+= V Ed Bw' , , , , , = − − =15 735 5 00 2 35 10 5 00 V V p t dEd B Ed B uw w' ', ,0 2 = − +⎛⎝ ⎞⎠ V Ed Bw' , , , , ,0 46 36 15 735 0 24 2 0 17= − +⎛⎝ ⎞⎠ = Asl d lbd+ Asl = 5 03 2, /cm m ρl sl w A b d = /> . %2 ρl = = < 5 03 100 17 0 003 2, . , % NEd NEd σcp Ed c N A = σcp = 0
  • Analyse structurale 67 Ef fort tranchant pouvant être supporté sans armatures d’âme : avec : k 1 = 0,15 Remarque pour l’Annexe nationale française Dalle portant dans un seul sens : Soit sensiblement la même valeur que celle recommandée par l’EC 2. ( ) 5.2 Vérification armatures d’effort tranchant non nécessaires. V C k f k b d Rd c Rd c l ck cp w , , . . . . . . = +⎡⎣ ⎤⎦ Max 1003 1ρ σ == +⎡⎣ ⎤⎦ = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ V v k b d V Rd c cp w Rd c , min ,. . 1 1 2σ CRd c c , , = 0 18 γ CRd c, , , ,= = 0 18 1 5 0 12 k d= + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min mm1 200 2 k = = + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 1 200 170 2 08 2 Min , vmin 0,035.k 3/2 . fck= vmin 0,035.2 3/2 . 20 0,443= = k1 0 15= , k1 0 15= , v k fckmin , . .= 0 035 3 2 vmin , . . ,= =0 035 2 20 0 443 3 2VRd c, , . , . , = + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥Min 0 12 2 100 3 1 000 20 0 15 0 1 003 .. , , , , . , . , , 0 17 0 074 0 443 0 15 0 1 00 0 17 0 0 = +( ) = MN/m 775 MN/m ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ v f c ck min , = 0 34 γ dalles bénéficiant d'un ef: ffet de redistribution transversale sous lee cas de charge considéré, : 0 053 32, . γ c ckk f poutres et autres dalles, : voil 0 35, γ c ckf ees. ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ ⇒ = = =v k f c ckmin , . , , . , 0 053 0 053 1 5 2 20 0 447 3 2 3 2 γ 0 053 0 053 1 5 0 0353 0 035 , , , , , γ c = = ≈ V VEd B Rd cw' , ,0 >< V VEd B Rd cw' , ,, ,0 0 0418 0 074= < =MN/m MN/m ⇒
  • 68 6. Vérifications à l’ELS On trouvera ci-après la liste des vérifications complémentaires à effectuer pour que l’application soit complète. 6.1 Contraintes à l’ELS Pour mémoire. 6.2 Fissuration Pour mémoire. 6.3 Flèches Pour mémoire. 7. Dispositions constructives On trouvera ci-après la liste des calculs complémentaires à effectuer pour compléter cette application. 7.1 Longueurs d’ancrage Pour mémoire. 7.2 Ancrages sur l’appui A Pour mémoire. 7.3 Ancrages sur l’appui B Pour mémoire. 7.4 Espacements des barres Pour mémoire. 7.5 Armatures minimales Pour mémoire. 7.6 Recouvrement des armatures Pour mémoire.
  • 2 Instabilité de forme – Flambement I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Rappels de résistance des matériaux 1.1 Force critique d’Euler Considérons une poutre articulée à ses deux extrémités. �0 : longueur de la poutre, S : aire de la section droite supposée constante, xy : repère associé à la pièce de telle sorte que l’axe x supporte le segment , F : forces axiales de compression appliquées à chacune des extrémités de la poutre, y(x) : déplacement de la section d’abscisse x par rapport à la ligne d’action de F. Pour que la déformée y(x) corresponde à une déformée stable, il faut que : F et EI étant constants, posons . Dans ces conditions, nous obtenons l’équation différentielle : dont l’intégrale générale est : Les constantes d’intégration A et B s’obtiennent en exprimant les conditions aux limites : x x F F y y (S) G1 G0 l0 G G0 1 G0 G0 G G0 1 d dx d y dx M EI M F y d y dx F EI y ω = = = − ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ + = 2 2 2 2 0 . γ 2 = F EI d y dx y F EI 2 2 2 2 0+ = = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ γ γ . y A x B x= +. sin . cosγ γ
  • 70 La seconde relation conduit à : Nous en déduisons qu’il y a une infinité de déformées non rectilignes stables vérifiant : Les valeurs correspondantes de la force F sont données par : La forme rectiligne cesse d’être une forme d’équilibre stable lorsque l’intensité de la force F atteint la plus petite de ces valeurs soit : = force critique d’Euler. �0 est appelée longueur de flambement de la poutre. Sa valeur dépend des liaisons aux deux extrémités de cette dernière (voir § 2.2 et 2.3). 1.2 Amplification de la déformée d’une poutre comprimée Considérons une poutre articulée à ses deux extrémités : �0 : longueur de la poutre, S : section droite constante, F : forces axiales de compression appliquées à chacune des extrémités de la poutre, : défaut de rectitude initial, y(x) : déplacement de la section d’abscisse x par rapport à la ligne déformée initiale de la poutre. y[ ]x 0= 0= y[ ]x �0= 0 = ⎩ ⎨ ⎧ B 0 = A. sin γ � 0 0 = ⎩ ⎨ ⎧ ⇒ A 0 forme rectiligne stable, ⇒ = ou γ � 0 n π forme non rectiligne stable. ⇒ = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ y A= . sin nπ x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞ F EI F n= ⇒ =γ π2 2 2 EI �0 2 ------ Fc π 2 EI �0 2 ------= G G0 1 y0 a.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞=
  • Instabilité de forme – Flambement 71 1.2.1 Équation différentielle de la ligne moyenne déformée Moment fl échissant dans la section d’abscisse x : Pour que la déformée soit stable, il faut que : soit : Équation que l’on écrit : 1.2.2 Solution de l’équation de la ligne moyenne déformée – Coefficient d’amplification L ’intégrale générale de l’équation différentielle précédente s’écrit : La constante d’intégration C est déterminée en écrivant que est solution de l’équation différentielle avec second membre : ce qui donne : x F F y y(S) x G1 G0 l0y0 M x F y y( ) = − +( )0 d y dx M EI 2 2 = d y dx F EI y y 2 2 0= − +( ) d2y dx2 -------- γ 2.y γ 2a.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞–=+ γ 2 F EI ------= ⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ y A.sin γx B.cos γx+ y1 C.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞ y0 += ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ y0 C.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞= π 2 �0 2 ----- C.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞– γ 2C.sin π x�0-----⎝ ⎠ ⎛ ⎞ γ 2a.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞–=+ C a π γ �0 --------⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 1– -------------------------=
  • 72 et, en remarquant que : , on obtient : Il en résulte que la solution de l’équation différentielle complète s’écrit : Les constantes d’intégration A et B sont déterminées par les conditions aux limites : d’où : Si l’on suppose que F < Fc , nous avons : sin λ�0 ≠ 0 ⇒ A = 0 et la solution de l’équation différentielle de la ligne moyenne déformée s’écrit : Nous en déduisons : d’où en posant , moment résultant de la déformée initiale : π 2 γ 2.�0 2 ------------ π 2 F EI ------�0 2 ----------- π 2EI �0 2 ------ F ------------ Fc F -----= = = C aF F Fc = − y A x B x aF F Fc = + + − . sin . cos sinγ γ π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞ y[ ]x 0= 0= y[ ]x �0= 0=⎩ ⎨⎧ B 0= A.sin γ �0 0 = ⎩ ⎨ ⎧ γ � 0 ⇒ n π F ⇒ EI γ 2 n 2 π 2 EI � 0 2 - - - - - - - - - - - - n 2 F c F ⇒ F c = = = = = y F Fc F– -------------- a.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞ FFc F–-------------- y0= = y y F F F y F F F y c c c + = − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − 0 0 01 M F y y F F F F yc c = − +( ) = − − 0 0 M F y0 0= − .
  • Instabilité de forme – Flambement 73 Il en résulte qu’une déformation initiale de la ligne mo yenne engendre, sous l’effet d’une compression : • une augmentation du moment fléchissant ; • une force critique de flambement inchangée. Remar que Dans le cas où la poutr e est soumise à un moment variant sinusoïdalement, il suf fi t de r emplacer , dans le calcul précédent, par , ce qui conduit au même coefficient d’amplification du moment du premier ordre. 1.2.3 Excentricités du premier et du second ordre Considérons une potence verticale soumise à l’action : • d’une force verticale P d’excentricité structurale en tête ; • d’une force horizontale H en tête. Charges Moments fléchissants Déformations Le moment du second ordre résulte du supplément d’excentricité provenant de l’apparition de la flèche f. M Fc Fc F– -------------- M0 M0≥= K Fc Fc F– -------------- 1 est appelé coefficient d’amplification≥= y0 a.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞= y0 M0 F ------- a.sin π x �0 -----⎝ ⎠⎛ ⎞= = e0 P H f P + = e0 e0 l0 2 P.e0 H.l0 2 M1 M2 P.f M1 + M2
  • 74 Sollicitations en pied de poteau avant déformation : Sollicitations du second ordre dues à la déformation : Sollicitations totales (1er + 2e ordre) : On appelle : • excentricité du premier ordre : l’excentricité évaluée sans tenir compte des déformations (résultat des calculs de RdM) ; • excentricité du second ordre : l’excentricité représentant les déformations de l’élément (influence des déformations sur le moment fléchissant). Remarque L’excentricité additionnelle et le supplément d’excentricité pour les sections droites avec ferraillage symétrique (voir § 1.2.1, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) doivent être ajoutées à l’excentricité du premier ordre. N P= M1 P.e0 H �0 2 -----+= e1 M1 N ------- e0 H P ----. �0 2 -----+= =⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ N P M P f e M N f = = = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ 2 2 2 . N P= M M1 M2 P e0 f+[ ] H �0 2 -----+=+= e M N ----- e0 H P ----. �0 2 -----+ e1 f e2 += = ⎩⎪ ⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎧ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ { e1 e2 ei Δe0
  • Instabilité de forme – Flambement 75 2. Classification des structures et des éléments structuraux 2.1 Éléments contreventés et non contreventés Voir § 2.4.1, chapitre 1 : « Analyse structurale » pour leur définition. 2.2 Cas des poteaux isolés Voir § 2.4.1, chapitre 1 : « Analyse structurale » pour leur définition. 2.2.1 Élancement L’élancement est défini par1 : (5.14) avec : = rayon de giration de la section droite, moment d’inertie de la section transversale (béton seul) dans le plan de flambement (c’est-à-dire par rapport à un axe perpendiculaire à celui-ci), aire de la section transversale (béton seul). La longueur efficace �0 d’un poteau est égale à sa longueur de flambement2 : a) b) c) d) e) f) g) 1. EC 2 – 5.8.3.2 (1) 2. EC 2 – 5.8.3.2 (2) λ �0 i -----= i I A c c = Ic = Ac l l l l l l l l 0 = 2. 2 ≃0,7. 2 l 2 2.l
  • 76 2.2.2 Cas des sections rectangulaires Il faut normalement envisager les deux possibilités : • flambement dans le plan parallèle au petit côté ; • et flambement dans le plan parallèle au grand côté. En désignant par �0b et �0h les longueurs efficaces (de flambement) corres- pondant aux liaisons d’extrémité dans le sens b (parallèle à la dimension b) et h (parallèle à la dimension h), on retiendra : 2.2.3 Cas des sections circulaires 2.3 Cas des éléments de structure isolés h b λ Max �0b 12 b ------------------ I h. b 3 12 - - - - - - - - - - , B = h.b, i = b 12 - - - - - - - - - - = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ � 0h 12 h - - - - - - - - - - -------- I h. b 3 12 - - - - - - - - - - , B = h.b, i = h 12 - - - - - - - - - - = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ = a Ic π.a 4 64 ----------= Ac π.a 2 4 ----------= ⎭⎪ ⎪⎬ ⎪⎪ ⎫ i ⇒ a 4 - - - ⇒= λ 4. � 0 a - - - - - - - - - - = l
  • Instabilité de forme – Flambement 77 Éléments de portiques non intégrés au contre ventement (donc contreventés 3 ) : (5.15) Éléments de portiques intégrés au contre ventement (donc non contreventés) : (5.16) a vec : coefficients de souplesse aux extrémités 1 et 2 respectivement tels que : où : θ = rotation des éléments s’opposant à la rotation pour le moment fl échissant M, EI = rigidité à la flexion de la colonne, � = longueur libre de la colonne entre les liaisons d’extrémité. Remar que Pour un encastr ement par fait : , pour une extrémité libr e : , les encastr ements par faits n’existant pas dans la pratique, la valeur minimale à considér er pour les coef fi cients de souplesse est : . Dans le cas où le nœud comporte un autre poteau pouv ant infl uencer la rotation d’e xtrémité, il f aut remplacer par , a et b désignant respec - ti v ement le poteau supérieur et le poteau inférieur 4 . Dans le cas où l’ef fort normal et/ou la section du poteau n’est pas constant sur toute sa hauteur, la longueur efficace est obtenue par la théorie du flambement (RdM) 5 : (5.17) 3. EC 2 – 5.8.3.2 (3) 4. EC 2 – 5.8.3.2 (4) 5. EC 2 – 5.8.3.2 (6) �0 0,5.1 1 k1 0,45 k1+ ----------------------+⎝ ⎠⎛ ⎞ . 1 k20,45 k2+----------------------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = �0 �.Max 1 10 k1.k2 k1 k2+ -----------------+ 1 k1 1 k1+ --------------+⎝ ⎠⎛ ⎞ . 1 k21 k2+--------------+⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ = k k1 2, = θ K.M k.� EI -------- M k ⇒ EI � - - - - - - . θ M - - - - - = = = θ = ⇒ =0 0k M k= ⇒ →0 � k k1 2 0 1ou = , EI � ------ EI � ------⎝ ⎠⎛ ⎞ a EI � ------⎝ ⎠⎛ ⎞ b+ �0 π EI NB -------=
  • 78 a vec : charge critique de flambement. Dans l’évaluation de la longueur efficace, il convient de tenir compte de la fissu- ration à moins que les éléments s’opposant à la déformation restent non fissurés à l’ELU 6 . 3. Imperfections géométriques V oir § 2.4, chapitre 1 : « Analyse structurale ». 4. Méthode générale La méthode générale, appelée méthode de l’équilibre ou méthode des déforma - tions internes, est basée sur une analyse non linéaire, incluant 7 : • la non-linéarité géométrique (effets du second ordre) ; • la non-linéarité des lois de comportement des matériaux (diagrammes σ−ε ). La méthode de calcul peut être schématisée par l’or ganigramme ci-dessous : 6. EC 2 – 5.8.3.2 (5) NB = 7. EC 2 - 5.8.6 (1)P
  • Instabilité de forme – Flambement 79 On dispose ég alement de méthodes simplifiées 8 : • la méthode de la rigidité décrite au § 6 ; • la méthode de la courbure décrite au § 7. 4.1 Domaine d’application Poteaux char gés de façon excentrée et d’élancement géométrique élevé : 8. EC 2 – 5.8.5 λ �0 i ----- λlim>=
  • 80 a vec : � 0 = hauteur efficace (longueur de flambement) de l’élément vertical généralement déduite de la théorie du flambement élastique (voir § 2), = rayon de giration de la section droite, = aire de la section droite (béton seul), = moment d’inertie de la section droite (béton seul) dans le plan de flambement (c’est-à-dire par rapport à un axe perpendiculaire à ce plan), = valeur limite de l’élancement du poteau (voir § 5.1). Poteaux de section constante (béton et armatures). La ligne moyenne est symétrique par rapport à la section médiane. Poteaux articulés à leurs deux extrémités ou en console (mâts). Poteaux soumis à un effort normal constant. Poteaux soumis à un moment du premier ordre de signe constant dont la valeur maximale se produit dans la section à �0 / 2 du sommet. 4.2 Hypothèses complémentaires 4.2.1 Hypothèses mécaniques Les sections droites restent planes. Il n’y a pas de glissement relatif entre l’acier et le béton. On néglige le béton tendu par sécurité. Les armatures sont caractérisées par leur diagramme contraintes-déformations de calcul (voir § 2.4.2.1, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Dans le cas des ponts, et sont remplacés par les valeurs recommandées suivantes : et 9. i I A c c = Ac Ic λlim l0 l0 2 9. EC 2 – 5.7 (105) – note 1 fyk k fyk. 1 1, .fyk 1 1, . .k fyk
  • Instabilité de forme – Flambement 81 Le béton est caractérisé par le diagramme contraintes-déformations de calcul défini au § 2.4.2.3, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, en corrigeant le coefficient k de la façon suivante10 : est remplacé par avec 11, est remplacé par (5.20) avec : , valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française12. Prise en compte du fluage en effectuant sur un diagramme contraintes-déformations réaliste du béton une affinité parallèle à l’axe , de rapport avec13 : = coefficient de fluage effectif, (5.19) où : valeur finale du coefficient de fluage14 (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). moment de service du premier ordre sous la combinaison de charges quasi permanente15 (ELS), moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques16), 10. EC 2 – 5.8.6 (3) 11. EC 2 – 5.7 (105) – note 1 12. EC 2 – voir AN 13. EC 2 – 5.8.4 (2) 14. EC 2 – 3.1.4 (4) 15. EC 2 – 5.8.4 (2) 16. EC 2 – voir A.NF fcm f f cd cf ck : bâtiments, : ponts.γ . ⎧⎨⎩ γ γ γcf s c = 1 1, Ecm E E cd cm cE = γ γ cE = 1 2, εc 1+[ ]ϕef ϕ ϕef OEqp OEd t M M = ( )�, 0 ϕ �, t0( ) = MOEqp = MOEd = Chargement de courte durée Chargement de durée quelconque Arctg c E cm c c c 1+ ef( )
  • 82 Remarque 1 On peut négliger le fluage lorsque les trois conditions suivantes sont réunies17 : , , , avec : h = hauteur de la section dans la direction correspondante. Remarque 2 Si le rapport varie dans l’élément, on peut18 : – soit utiliser le rapport correspondant au moment maximal ; – soit adopter une valeur moyenne représentative. Remarque 3 Pour les ponts, une méthode d’évaluation plus précise du fluage peut être appliquée19. 4.2.2 Hypothèse géométrique supplémentaire Cas général On se donne la déformée du poteau de façon arbitraire mais raisonnable. Cas de base On assimile la déformée à : • une demi-onde de sinusoïde pour un poteau bi-articulé ; • un quart d’onde de sinusoïde pour un poteau en console. 17. EC 2 – 5.8.4 (4) 18. EC 2 – 5.8.4 (3) 19. EC 2 – 5.8.4 (105) + annexe KK ϕef =( )0 ϕ �, t0 2( ) ≤ λ ≤ 75 M N hEd Ed 0 ≥ M N Eqp Ed 0 0 f f l0 2 l0 2
  • Instabilité de forme – Flambement 83 4.3 Excentricité « externe » Pour un poteau encastré en pied et libre en tête (mât) : Chargement Sollicitations du premier ordre Total en pied Dans le repère Oxy lié à l’extrémité libre du poteau, la déformée a pour équation : La courbure est donnée par la relation : soit, en pied du poteau et en valeur absolue : L’excentricité « externe » ou excentricité de l’effort normal dans la section la plus sollicitée (en pied de poteau) vaut donc : [16.1] D’où sa représentation dans le repère (e, ) : x f P P O P H yH ei e0 P e0 + ei( ) M1 = P e0 + ei( )+Hl02 l0 2 l0 2 M1 P = e1 y f .sin π.x �0 --------= f flèche maximale en tête=⎩⎪ ⎨⎪ ⎧ 1 1 2 3 2r y y y= +( ) ≈ " ' " 1 r --- f π 2 �0 2 ----- sin π.x �0 --------–= 1 r --- f π 2 �0 2 ----- f ⇒ e 2 � 0 2 π 2 - - - - - . 1 r - - - = = = NEd eext e1 e2 e1 �0 2 π 2 -----. 1 r ---+=+= 1 r
  • 84 4.4 Excentricité « interne » Dans la section la plus sollicitée, tout état de déformation défi ni par sa courbure 1/r et une déformation relative ε en un point particulier de la section, conduit aux équations de compatibilité et d’équilibre (moments rapportés au centre de gravité G 0 du béton seul) : e 0 e1 eext l 0 2 2 1 r Déformations Contraintes AN x G0 Aj dj b v' x+ c +dj + sj c 1 r sj c + c 1 r x x v d c sj j = = − −( ) ε ε ' N b di c x = ∫ ξ ξσ ξ. .0 +∑ A j sj n .σ 1 M b v di c x = −( )∫ ξ ξσ ξ ξ. . ' .0 + =∑ A d N ej sj j i n . .σ . int 1
  • Instabilité de forme – Flambement 85 D’après les diagrammes contraintes-déformations de l’acier et du béton, les contraintes sont fonction des déformations relatives, donc de la courbure 1/r d’après les relations de compatibilité. D’où, en éliminant les contraintes, puis les déformations, on obtient une relation de la forme : [16.2] Cette relation se traduit, dans le plan (e, 1/r) par : Remar que Dans ce cas, le diagramme des défor mations n’est pas tenu de passer par les pivots A, B ou C, sans toutefois que les défor mations limites puissent êtr e dépassées. 4.5 Étude de l’équilibre Dans le plan (e, 1/r) : • la relation géométrique [16.1] est représentée par une droite ; • la relation mécanique [16.2] est représentée par un réseau de courbes corres- pondant à . D’où, ces deux types de courbes peuvent : • n’avoir aucun point commun il n’y a pas d’équilibre possible ; • avoir au moins un point commun il y a une position d’équilibre qui peut être stable ou instable. La charge critique de calcul correspond à celle des courbes qui est tangente à la droite . Φ N e r i , ,int 1 0⎛⎝ ⎞⎠ = Limite de résistance par : - plastification des aciers ; - ou écrasement du béton. N1
  • 86 Il suf fit de remarquer que si, en , on écarte le poteau de sa position d’équilibre par augmentation de la courbure 1/r : croît plus vite que , d’où la réaction du poteau à la déformation complé- mentaire tend à le ramener à la position d’équilibre qui est par conséquent une position d’équilibre stable. C’est l’inverse qui se produit au point qui caractérise un équilibre instable. 1 r Pas d’équilibre 1 position d’équilibre 2 positions d’équilibre e instable 0 stable f c e1 E1 1 r c N3 N2 N1 E2 N u, c = charge critique de calcul Ni = Cste E1 e 0 1 r 1 r1 r + Δ 1 r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ eint e ext E1 eint eext E1 E2
  • Instabilité de forme – Flambement 87 4.6 Méthode de l’équilibre – Méthode des déformations internes 4.6.1 Méthode générale Pour les poteaux dont la section a une forme quelconque, la stabilité est assurée, si l’on peut trouver dans chaque section, compte tenu de la déformée que l’on s’est donnée, un état de déformation tel que l’on ait simultanément : avec : = effort normal dû aux actions appliquées à la structure, = sollicitations internes, intégrales des contraintes développées par la déformation. 4.6.2 Méthode simplifiée Dans le cas des poteaux articulés aux deux e xtrémités ou des mâts, l’étude de l’équilibre consiste à rechercher un point situé à l’intérieur de la zone colorée dans le plan (e, 1/r) pour la section la plus sollicitée (à mi-hauteur du poteau bi- articulé ou à l’encastrement du mât), c’est-à-dire, à vérifier simultanément : avec : , et définis au § 4.6.1, � 0 = longueur de fl ambement de la pièce. N r N e r M r N i ext i i ε ε ε ε , , , , 1 1 1 1 ⎛⎝ ⎞⎠ ≥ ⎛⎝ ⎞⎠ = ⎛⎝ ⎞⎠ int rr e e f⎛⎝ ⎞⎠ ≥ = + ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ ext 1 Next M r N r i i ε ε , , 1 1 ⎛⎝ ⎞⎠ ⎛⎝ ⎞⎠ ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ Ni ε, 1 r ---⎝ ⎠⎛ ⎞ Next≥ eint ε, 1 r ---⎝ ⎠⎛ ⎞ Mi ε, 1 r ---⎝ ⎠⎛ ⎞ Ni ε, 1 r ---⎝ ⎠⎛ ⎞ ---------------------- eext e1 �0 2 π 2 -----. 1 r ---+=≥= ⎩⎪ ⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎧ Ni Next Mi
  • 88 4.6.3 Remarque La méthode de l’équilibre présente des avantages et des inconvénients. 4.6.3.1 Avantages Elle est valable quelle que soit la forme de la section. Elle ne nécessite pas l’utilisation de tables. 4.6.3.2 Inconvénients Le calcul est long car itératif, en particulier dans le cas où l’effort normal de calcul est proche de l’effort normal critique (réduction de l’aire colorée sur le diagramme, d’où la courbure d’équilibre est plus difficile à trouver. Il faut partir d’une valeur de 1/r fixée a priori et progresser avec un pas de variation très faible). 4.7 Cas des sections rectangulaires à deux nappes d’armatures 1/ On se donne, dans la section la plus sollicitée, un diagramme de déforma- tions défini par : 1 r 1 r f 0 e e1 eint N u e ext Ni > Nu ε ε ϕ ε ε c c ef s yd s yd f E = +( ) = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 1 1 1
  • Instabilité de forme – Flambement 89 avec : = coefficient de fluage effectif20, (5.19) où : = valeur finale du coefficient de fluage21 (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), = moment de service du premier ordre sous la combinaison de charges quasi permanentes (ELS)22, = moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques23), 2/ D’après l’hypothèse de la déformation plane : par le diagramme de calcul des aciers, que le diagramme contrainte-déformation des aciers soit à palier horizontal ou incliné. 3/ On en déduit la valeur de l’effort normal interne : soit : 20. EC 2 – 5.8.4 (2) 21. EC 2 – 3.1.4 (4) 22. EC 2 – 5.8.4 (2) 23. EC 2 – voir ANF ϕ ϕef Eqp Ed t M M = ( )�, 0 0 0 ϕ �, t0( ) M Eqp0 M Ed0 AN d A s2 A s1 b w d' = '.d x u = u .d c s2 s1 Fs1 F s2 F c Gxu x du c c s = + ε ε ε 1 ε ε σs c u u s x d x 2 2= − ⇒ ' ε ε σs yd s ydf1 1= ⇒ = N F F Fi c s s= + −2 1 N b x f A A fi w u cd s s s yd= + −ψ σ. . . . .2 2 1
  • 90 avec, compte tenu du fluage par le biais du coefficient ϕef : où : , avec , valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française24. 4/ Si , on réduit en gardant : et on recommence les étapes 2 et 3 (avec la même formule pour ψ et ) jusqu’à ce que mais avec 5/ Si , on réduit en gardant pour l’armature tendue et on refait les calculs des étapes 2 et 3 jusqu’à ce que mais avec , (avec la même formule pour ψ et ). 6/ On calcule le moment des forces , et au centre de gravité du béton seul. D’où l’on obtient l’excentricité interne : avec : pour les étapes 3 ou 5 : 24. EC 2 – voir AN ψ ε ε ϕ = − − +⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − − + k k a a k c c ef2 1 1 1 1 2 11 . .Log (( ) − + + ⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 1 12a a a .Log a k c ef c = − +( )1 2 11 . ε ϕ ε k E f cm c ef cE cd = +( ) 1 05 11 , . . ε ϕ γ γ cE = 1 2, N Ni ext N Ni ext≈ N Ni ext>> εc ε εs yd yd s f E1 = = N Ni ext> N Ni ext≈ F A fs s yd1 1= . Mi Fc Fs1 Fs1 e M N i i int = M b x f h x A h di w u cd G u s s= − ⎛⎝ ⎞⎠ + −⎛⎝ ⎞⎠ψ δ σ. . . . . '2 22 2 ++ − ⎛⎝ ⎞⎠A f d h s yd1 2 .
  • Instabilité de forme – Flambement 91 avec : où : et avec , pour l’étape 4 : 7/ On cherche à réaliser, puisque : S’il en est ainsi, l’équilibre du poteau est assuré. S’il n’en est pas ainsi ( ) il faut explorer d’autres couples ou : 8/ Si est faible et �0 élevé (sans qu’il soit possible de quantifier les valeurs limites), on peut partir de : δ ψ ψ G k k a a a k = − −( ) − + + ⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + − 1 2 1 2 1 1 1 2 2 .Log (( ) +( ) − + − +⎛⎝ ⎞⎠ ⎡ . . . . ε ε ϕ c c ef a a a a1 2 3 1 6 3 2 6 1 1Log ⎣⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ a k c ef c = − +( )1 2 11 . ε ϕ ε k E f cm c ef cE cd = +( ) 1 05 11 , . . ε ϕ γ γ cE = 1 2, M b x f h x A h di w u cd G u s s= − ⎛⎝ ⎞⎠ + −⎛⎝ ⎞⎠ψ δ σ. . . . . '2 22 2 ++ −⎛⎝ ⎞⎠A E d h s s s1 1 2 . .ε N Ni ext> eint eext> e0 ei Δe0+ +( ) e1 �0 2 π 2 -----. 1 r ---+= 1 r --- εc εs1+ d -----------------=⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ e eint < ext 1 r ---, εc⎝ ⎠⎛ ⎞ 1r---, εs1⎝ ⎠⎛ ⎞ e1 ε ε ϕ ε ε c c ef s uk = +( )1 1 1 croissant jusqu'à ou l'infinni suivant le diagramme d'acier utilisé σ ε− ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪
  • 92 9/ Si est élevé et �0 faible, on peut partir de : 5. Dispense de la vérification de l’état limite ultime de stabilité de forme (flambement) Il est inutile de vérifier la pièce au flambement et l’on peut se contenter d’un calcul en flexion composée (sans tenir compte des effets du second ordre) dans les cas ci-après. 5.1 Cas des éléments isolés Il faut vérifier25 : (5.13N) valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française, avec : �0 = longueur efficace (longueur de flambement de la pièce) définie aux § 2.2 et 2.3, i = rayon de giration de la section de béton non fissurée, = 0,7 si est inconnu, = 1,1 si ω est inconnu, = 0,7 si est inconnu, effort normal relatif, où : = coefficient de fluage effectif, (5.19) valeur finale du coefficient de fluage26 (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), e1 ε ε ε s yd s c cu f E1 1 = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ croissant jusqu'à 25. EC 2 – 5.8.3.1 (1) + voir AN 26. EC 2 – 3.1.4 (4) λ �0 i ----- λlim< 20.A.B.C n ----------------------= = A ef = + 1 1 0 2, .ϕ ϕef B = +1 2.ω C rm= −1 7, rm n N A f Ed c cd = = . ϕ ϕef t= ( )�, 0 MOEqpMOEd---------------- ϕ �, t0( ) =
  • Instabilité de forme – Flambement 93 moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente (ELS27), = moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques28), pourcentage mécanique d’armatures, aire totale des armatures longitudinales, aire de la section droite (béton seul), ( valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française), , valeurs algébriques des moments du premier ordre aux deux extrémités de l’élément avec : . Remarque Dans les cas courants où A = 0,7, B = 1,1 et C = 0,7, on obtient en fonction des valeurs de n : 27. EC 2 – 5.8.4 (2) 28. EC 2 – voir AN MOEqp = M Ed0 ω = = A f A f s yd c cd . . As = Ac = f fcd cc ck c = α γ αcc = 1 f f yd yk s = γ rm = 1 1 : : éléments non contreventés en général, élémments contreventés avec moments du premier ordre ddus principalement à des imperfections ou à des chaarges transversales, autres cas. M M 01 02 : ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪⎪⎪ M M01 02et = M M02 01≥ 40 35 30 25 20 15 10 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 n 5 0 λ lim
  • 94 5.2 Cas des structures Les dispositions de ce paragraphe ne s’appliquent pas au cas des ponts29. Lorsque les conditions suivantes sont remplies30 : • la structure est raisonnablement symétrique (absence de torsion) ; • les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables (contreven- tement assuré par des voiles sans grandes ouvertures) ; • les éléments de contreventement sont fixés rigidement à leur base ; • la rigidité des éléments de contreventement est raisonnablement constante sur toute leur hauteur ; • la charge verticale totale augmente approximativement de la même quantité à chaque étage ; il faut vérifier : (5.18) avec : charge verticale totale (sur les éléments contreventés et sur les éléments de contreventement), nombre d’étages, L = hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d’encastrement du moment, valeur de calcul du module d’élasticité du béton (voir § 4.2.1), moment d’inertie de l’élément de contreventement (béton non fissuré), : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française31. Remarque Lorsque l’on peut montrer que les éléments de contreventement sont non fissurés à l’ELU, on peut prendre32 : : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française33. 29. EC 2 – 5.8.3.3 (101) 30. EC 2 – 5.8.3.3 (1) 31. EC 2 – voir AN 32. EC 2 – 5.8.3.3 (2) 33. EC 2 – voir AN F k n n E I LV Ed s s cd c , , . . ≤ + ∑ 1 21 6 FV Ed, = ns = Ecd = Ic = k1 0 31= , k k1 2 0 62= = ,
  • Instabilité de forme – Flambement 95 6. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section – Méthode de la rigidité 6.1 Domaine de validité La méthode de la rigidité consiste à tenir compte des effets du second ordre par amplification du moment du premier ordre34. Cette méthode s’applique aux ossatures et aux poteaux isolés à condition que leur rigidité soit estimée d’une façon appropriée35 (voir § 6.2). Pour les structures hyperstatiques, il faut tenir compte des effets défavorables de la fissuration des éléments adjacents à l’élément considéré. Pour simplifier, à défaut d’un calcul plus précis, on peut admettre36 : que les sections sont entièrement fissurées ; que le module du béton vaut : (5.27) avec : = valeur de calcul du module d’élasticité donnée au § 6.2, = coefficient de fluage effectif figurant au § 6.2. Cette méthode n’est à retenir que si l’Annexe nationale d’un pays l’autorise (ce qui est le cas de l’Annexe nationale française37). 6.2 Rigidité nominale La rigidité nominale d’un poteau ou d’un élément d’ossature est donnée par la formule38 : (5.21) avec : = valeur de calcul du module de déformation du béton, (5.20) 34. EC 2 – 5.8.7.3 (1) 35. EC 2 – 5.8.5 (2) 36. EC 2 – 5.8.7.2 (4) 37. C 2 – voir AN E Ecd eff cd ef , = +1 ϕ Ecd ϕef 38. EC 2 – 5.8.7.2 (1) EI K E I K E Ic cd c s s s= +. . . . E Ecd cm cE = γ
  • 96 où valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française39, = moment d’inertie de la section de béton, = valeur de calcul du module d’élasticité de l’acier, = moment d’inertie de la section des armatures par rapport au centre de gravité de la section de béton seul, = coefficient tenant compte de la contribution des armatures défini ci-après, = coefficient tenant compte de la fissuration et du fluage défini ci-après. 6.2.1 Cas où 40 (5.22) avec : (MPa) = coefficient dépendant de la classe du béton, (5.23) = coefficient dépendant de l’effort normal et de l’élancement, (5.24) où : effort normal relatif, = élancement géométrique (si λ est inconnu, on peut prendre ), (5.25) = coefficient de fluage (voir § 5.1). 6.2.2 Cas où Pour une première itération, on peut partir de41 : (5.26) 39. EC 2 – 5.8.6.(3) + voir AN γ cE = 1 2, Ic Es Is Ks Kc 40. EC 2 – 5.8.7.2 (2) 0,002 ρρρρ£ As Ac ----- 0,01
  • Instabilité de forme – Flambement 97 Les itérations suivantes sont conduites avec les coefficients correspondant au cas où . 6.3 Principe de la méthode D’après les résultats du § 1.2.2, dans le cas d’un élément soumis à l’action d’un moment du premier ordre de forme sinusoïdale, l’augmentation du moment du premier ordre peut s’écrire : Ce qui conduit à un moment total (premier + second ordre) : Le moment de calcul total (premier et second ordre) proposé par l’EC 2 est pris égal à42 : (5.28) avec : = moment du premier ordre (à l’ELU) tenant compte des imperfections géométriques (dans le cas où l’élément n’est pas soumis au même moment en tête et en pied, on peut prendre le moment équivalent défini au § 6.4 ci-après43), = effort normal agissant à l’ELU, = charge de flambement évaluée sur la base de la méthode de la rigidité nominale, Kc ef = + 0 3 1 0 5 , , .ϕ 0 002 0 01, ,≤
  • 98 β = coefficient relatif à la distribution des moments du premier et du second ordre44 : • pour des poteaux isolés, de section constante et soumis à un effort normal constant sur leur hauteur, l’allure de la déformée peut être assimilée à une sinusoïde et où : (5.29) • pour les cas où la détermination de et/ou du moment équivalent ne serait pas possible, on prend β = 1 et l’expression (5.28) se réduit à45 : (5.30) Remarque 1 L’augmentation du moment du premier ordre n’a de sens que si : ce qui fournit une condition supplémentaire à vérifier pour l’application de la méthode des rigidités (à adjoindre aux conditions du § 6.1). Remarque 2 En écrivant la relation (5.28) sous la forme : la méthode de la rigidité conduit donc à prendre une excentricité du second ordre donnée par la formule : 44. EC 2 – 5.8.7.3 (2) 45. EC 2 – 5.8.7.3 (4) β π= 2 0c c0 8 9 6 = : , , : moment du premier ordre constant momentt du premier ordre parabolique moment du prem , :12 iier ordre triangulaire symétrique, etc. ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ c0 M MN N Ed Ed Ed B = − 0 1 β N N N NB Ed B Ed − > ⇒ − > ⇒ 1 0 1 0 N NEd B< MEd M0Ed M0Ed β NB NEd --------- 1– ------------------+= M0Ed NEd.e1= ⎭ ⎪⎬ ⎪⎫ M Ed ⇒ N Ed e 1 e 1 β N B N Ed - - - - - - - - - 1 – - - - - - - - - - - - - - - - - - - e 2 + = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ e e N N B Ed 2 1 1 = − β
  • Instabilité de forme – Flambement 99 6.4 Cas des poteaux isolés avec excentricités du premier ordre différentes aux deux extrémités Pour des poteaux soumis à des moments du premier ordre dif férents à leurs extrémités, et , on peut considérer un moment du premier ordre équivalent constant défini par 46 : (5.31) a vec : et de même signe s’ils donnent des tractions du même côté de l’élément, de signe opposé dans le cas contraire, . Remar que Dans ce cas, pour r ester cohér ent avec l’hypothèse sur le moment du pr emier or dr e équivalent, on peut, pour l’application de la for mule (5.29) du § 6.3, pr endr e 47 : . 6.5 Processus d’application de la méthode de la rigidité Le mode opératoire est décrit ci-dessous. 1/ se fixer la section d’aciers : ou valeur estimée a priori si les armatures sont inconnues (détermi- nation des armatures), si les armatures sont données (vérification au flambement), 2/ calculer l’élancement de l’élément : 3/ vérifier s’il est nécessaire de prendre en compte les effets du second ordre : : élément isolé (voir § 5.1), 46. EC 2 – 5.8.8.2 (2) 47. EC 2 – 5.8.7.3 (3) M01 M02 M e0 M M M Me0 02 01 02 0 6 0 4 0 4 = +⎧⎨⎩Max , . , . , . M01 M02 M M02 01≥ c0 8= As = 0 A As s prov= , λ �0 i -----= λ �0 i ----- λlim< 20.A.B.C n ----------------------= =
  • 100 : élément d’une structure (voir § 5.2), 4/ évaluer les sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques : (voir § 3), 5/ calculer la rigidité nominale de l’élément : (voir § 6.2), 6/ en déduire le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : (voir § 6.3 et éventuellement 6.4 si ), 7/ calculer les armatures équilibrant ce moment en flexion composée : (voir chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), 8/ si l’on cherche à déterminer la section d’armatures : recalculer à l’aide des étapes 3/ à 6/ et compte tenu de la section d’aciers déterminée à l’étape 7/ le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : et recommencer les étapes 3/ à 7/ jusqu’à ce que 9/ si l’on cherche à vérifier au flambement un élément dont les armatures sont connues, vérifier que : . F k n n E I LV Ed s s cd c , , . . ≤ + ∑ 1 21 6 M Ed0 EI K E I K E Ic cd c s s s= +. . . . M M N N Ed Ed B Ed = + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟0 1 1 β M M01 02≠ A A As s s = ⎧⎨⎩ 1 2 M M N N Ed Ed B Ed ' = + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟0 1 1 β M MEd Ed' ≈ A A A A A As s s s prov s prov s prov = ⎧⎨⎩ ≤ = ⎧⎨1 2 1 2 , , , ⎪⎪ ⎩⎪
  • Instabilité de forme – Flambement 101 7. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section – Méthode de l’estimation de la courbure 7.1 Domaine de validité La méthode de la courbure consiste à tenir compte des effets du second ordre en se donnant la valeur de l’excentricité du second ordre de façon forfaitaire48. Cette méthode s’applique aux éléments isolés dans lesquels l’effort normal est constant sur toute leur hauteur et pour lesquels la longueur efficace est connue49. Cette méthode n’est à retenir que si l’Annexe nationale d’un pays l’autorise (ce qui est le cas de l’Annexe nationale française50). 7.2 Principe de la méthode Le principe de la méthode consiste à ramener la vérification au flambement à un calcul à l’ELU de résistance en se donnant la valeur de l’excentricité du second ordre de façon forfaitaire51. 7.2.1 Introduction 7.2.1.1 Excentricité du second ordre Pour le poteau de section constante encastré en pied et libre en tête (mât) envisagé au § 4.3 : 7.2.1.2 Courbure correspondant à la charge critique de flambement En faisant abstraction du fluage, on admet que la charge critique de flambement correspond au cas où les deux nappes d’armatures atteignent simultanément 48. EC 2 – 5.8.8 49. EC 2 – 5.8.5 (3) 50. EC 2 – voir AN e2 51. EC 2 – 5.8.8.2 (1) e2 1 r --- f π 2 �0 2 ----- ⇒= f e 2 � 0 2 π 2 - - - - - . 1 r - - - = =
  • 102 leur résistance de calcul , c’est-à-dire la même déformation unitaire . La représentation graphique de P . F aessel (v oir § 4.5) montre que, pour une section donnée, dans l’h ypothèse de la déformée sinusoïdale du poteau, la char ge critique de fl ambement est obtenue lorsque la droite représentati v e de l’e xcentricité e xterne ( ) est tangente à la ligne de ni v eau de la surf ace défi nie par la relation . Du f ait du changement de pente du diagramme contraintes-déformations de l’acier au point E de coordonnées ( , ), la courbe correspondant à présente une brusque v ariation de pente a v ec un « genou » de raccordement. Le point de tangence de n’importe quelle droite Δ et de la courbe ne peut se trouv er que sur le « genou », au v oisinage de la courb ure qui correspond au point E. fyd εyd yd s f E = eext e1 e2 e1 �0 2 π 2 -----. 1 r ---+=+= Φ N e r i , ,int 1 0⎛⎝ ⎞⎠ = 0 charge critique de calcul 1 r e e1 e ext 1 r0 N u, c = εyd fyd Nu c, Nu c, 1 0r
  • Instabilité de forme – Flambement 103 Cette courb ure est d’autre part obtenue par la pente du diagramme des déforma- tions qui vaut, dans le cas d’une section symétrique armée symétriquement : soit en prenant , lorsque la charge appliquée correspond à la charge critique de calcul, il vient : 7 .2.1.3 Courbure correspondant à la charge de calcul On pose : = effort normal agissant à l’ELU, = effort normal centré maximal que peut équilibrer la section droite en pied de poteau : E Palier incliné Palier horizontalfyd Arctg E s σ s ε ud ε s E s = 2.105 MPa h d AN 0,80.h 0,10.h d = 0,10.h Diagramme déformations A s2 = As1 A s1 b w c s1 = fyd / Es = yd s2 = fyd / Es = yd pente : 1 r0 1 0 40r h yd = ε , . d h h d= ⇒ ≈0 9 1 1, . , . 1 0 44 0 450r d d yd yd = ≈ ε ε , . , . NEd Nud
  • 104 , a v ec , = effort normal qui, appliqué à une section, maximalise sa capacité de moment ultime. Cet effort correspond au point A du diagramme d’inter- action de la section qui correspond lui-même à ‰ (bétons tels que C < 50/60) et simultanément à que les Anglo-Saxons appellent « l’état de déformations balancées », d’où l’indice « bal ». L’examen d’un diagramme d’interaction (tel que celui figurant au § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) montre que la courbure prise sous l’effet de la force peut être déterminée par une règle de proportionnalité : N A f A f n N A f A f A fud c cd s yd u ud c cd s yd c = + ⇒ = = +. . . . . 1 ccd n N A fu ud c cd = = + . 1 ω ω = A f A f s yd c cd . . Nbal εc = 3 5, εs yd s f E1 = NEd 1 1 0r K r r= 1 r ou 1 r0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ N u N ud NEd ϖtot Nbal M u max M u ou 1 r ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ A Simplification K r r r = ⇒ 1 1 0 K N N N Nr ud Ed ud bal = − − ≤ 1
  • Instabilité de forme – Flambement 105 7.2.1.4 Valeur de Nbal Dans le cas d’une section rectangulaire à armatures symétriques, pour et des aciers S 500 à palier horizontal : L’équilibre des forces s’écrit : les valeurs ‰ et sont simultanément atteintes pour : puisque Es = 200 000 MPa La condition pour qu’alors l’acier comprimé atteigne aussi le raccourcissement s’écrit : comme les armatures sont symétriques d + d’ = h et la condition s’écrit : ou fck ≤ 50 MPa d Diagramme déformations Diagramme contraintes Forces internes A s2 = As1 A s1 b w ε s1 = fyd / Es ε s2 σ s1 σ s2 f cu z c F c F s2 λ.x u / 2 F s1 = As1.σ s1 λ.x u ε c = 3,5 ‰ x u = α u .d ′d AN N b x f A Abal w u cu s s s s= + −λ σ σ. . . . .2 2 1 1 εc = 3 5, εs yd s f E1 = x d f E u c c s yd s = + = + = + − − ε ε ε 1 3 3 3 5 10 3 5 10 700 700 , . , . ffyd f E yd s ε ε ε s c u u yd s u yd c x d x f E d x f 2 51 2 10 = − ≥ ⇒ ≤ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦ ' ' . . ⎥⎥ d f f d f fyd yd yd yd ' ≤ + − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = − + 700 700 1 700 700 700 dd d f f h d d h f yd yd yd ' ' '≤ − + −( ) ⇒ ≤ −⎡⎣⎢ ⎤1 700 1 700 2 1 700 ⎦⎦⎥ d h fyd≥ +⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥2 1 700
  • 106 les deux nappes d’armatures sont alors soumises − dans le cas du diagramme bi- linéaire avec palier horizontal − à et : pour , 50 MPa et des aciers S 500 : Les règles EC 2 adoptent par sécurité : Remarque Pour le diagramme d’interaction du § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, on a pour : 7.2.2 Moment de calcul de l’élément Le moment de calcul de l’élément est défini par la relation52 : (5.31) avec : = moment du premier ordre tenant compte des imperfections géométriques (dans le cas où l’élément n’est pas soumis au même moment en tête et en pied, on peut prendre le moment équivalent défini au § 6.4 ci-devant), = moment du second ordre, (5.33) où53 : = effort normal agissant de calcul, σ σs s2 1= N b x f x f d N bal w u cu u yd bal = = + ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ = λ λ . . . 700 700 7000 700 + f f b d yd cu w. . d h≈ 0 9, . fck ≤ f A b h f f f yd c w cu cd cd = = = = = = 500 1 15 435 0 8 , . . , MPa η λ ⎫⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ ⇒ = + N f b hbal cd w0 8 700 700 435 1 0 9, . . , . . == 0 444, . .f Acd c N A fbal c cd= ⇒0 4, . . n N A fbal bal c cd = = . ,0 4 μmax ,= 0 5 nbal = ≈νmax ,0 40 52. EC 2 – 5.8.8.2 (1) 53. EC 2 – 5.8.8.2 (3) M M MEd Ed= +0 2 M Ed0 M N eEd2 2= . NEd
  • Instabilité de forme – Flambement 107 = excentricité du second ordre, = courbure de l’élément (voir § 7.2.3), �0 = longueur efficace54, c = coefficient dépendant de la distribution de la courbure totale (premier + second ordre) : 7.2.3 Courbure Dans le cas d’éléments de section droite symétrique (y compris armatures), elle est donnée par la relation55 : (5.34) avec : = coefficient de correction dépendant de l’effort normal, = coefficient de correction tenant compte du fluage, , (5.35) , d = hauteur utile de la section. Remarque Dans le cas où les armatures ne sont pas disposées sur deux faces opposées, mais aussi, pour partie, sur les autres faces, on peut prendre56 : (5.35) où = rayon de giration de la section totale des armatures. 54. EC 2 – 5.8.8.2 (4) e2 �0 2 c ----- 1 r ---= 1 r c = ≈ ⎧⎨⎩ 8 : ,courbure constante 10 : autres cas.2π 55. EC 2 – 5.8.8.3 (1) 56. EC 2 – 5.8.8.3 (2) 1 1 0r K K r r= . ϕ Kr Kϕ 1 0 450r d yd = ε , . εyd yd s f E = d h is= +2 is
  • 108 Le coefficient est donné par la relation57 : (5.36) avec : effort normal relatif, = effort normal agissant à l’ELU, = valeur de n correspondant au moment fléchissant résistant maximal. On peut prendre la valeur 0,4 (voir § 7.2.1.4), (voir § 7.2.1.3), pourcentage mécanique d’armatures, aire totale des armatures longitudinales, aire de la section droite (béton seul). Le coefficient est donné par la relation58 : (5.37) avec : , λ = élancement mécanique. = coefficient de fluage effectif, (5.19) où : valeur finale du coefficient de fluage59 (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), moment de service du premier ordre sous la combinaison d’actions quasi permanente (ELS)60, 57. EC 2 – 5.8.8.3 (3) 58. EC 2 – 5.8.8.3 (4) 59. EC 2 – 3.1.4 (4) 60. EC 2 – 5.8.4 (2) Kr K n n n n r u u bal= − − ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min 1 n N A f Ed c cd = = . NEd nbal nu = +1 ω ω = = A f A f s yd c cd . . As = Ac = Kϕ K efϕ β ϕ = +⎧⎨⎩Max 1 1 . β λ= + −0 35 200 150 , fck ϕ ϕef OEqp OEd t M M = ( )�, 0 ϕ �, t0( ) = MOEqp =
  • Instabilité de forme – Flambement 109 = moment ultime du premier ordre sous la combinaison de charges de calcul (y compris imperfections géométriques61), Remarque On peut négliger le fluage lorsque les trois conditions de la remarque 1 faite au § 4.2.1 sont réunies. 7.3 Processus d’application de la méthode de l’estimation de la courbure Le mode opératoire est décrit ci-dessous. 1/ se fixer la section d’aciers : ou valeur estimée a priori si les armatures sont inconnues (détermi- nation des armatures), si les armatures sont données (vérification au flambement), 2/ calculer l’élancement de l’élément : 3/ vérifier s’il est nécessaire de prendre en compte les effets du second ordre : : élément isolé (voir § 5.1), : élément d’une structure (voir § 5.2), 4/ évaluer les sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques : (voir § 3), 5/ calculer la courbure : (voir § 7.2.3), 6/ en déduire le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : (voir § 7.2.2 et éventuellement 6.4 si ), 61. EC 2 – voir ANF M Ed0 ϕef =( )0 As = 0 A As s prov= , λ �0 i -----= λ �0 i ----- λlim< 20.A.B.C n ----------------------= = F k n n E I LV Ed s s cd c , , . . ≤ + ∑ 1 21 6 M Ed0 1 1 1 0 0 r K K r K K r r r ϕ ϕ ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪ ⇒ = . M M MEd Ed= +0 2 M M01 02≠
  • 110 7/ calculer les armatures équilibrant ce moment en flexion composée62 : (voir chapitre 11 « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), 8/ si l’on cherche à déterminer la section d’armatures : recalculer à l’aide des étapes 3/ à 5/ et compte tenu de la section d’aciers déterminée à l’étape 7/ le moment ultime de calcul total (premier + second ordre) par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : et recommencer les étapes 3/ à 6/ jusqu’à ce que 9/ si l’on cherche à vérifier au flambement un élément dont les armatures sont connues, vérifier que : . 62. EC 2 – 5.8.8.1 (2) A A As s s = ⎧⎨⎩ 1 2 M M MEd Ed= +0 2 M MEd Ed' ≈ A A A A A As s s s prov s prov s prov = ⎧⎨⎩ ≤ = ⎧⎨1 2 1 2 , , , ⎪⎪ ⎩⎪
  • Instabilité de forme – Flambement 111 II. APPLICATIONS Application n˚ 1 : vérification au flambement par la méthode de l’équilibre (charges quelconques) –Énoncé– Sollicitations : excentrées de e = 6 cm, H = 8,3 kN, action variable d’accompagnement, avec , poids propre négligé, = 0 pour les valeurs quasi permanentes de et H. Poteau isolé contreventé. Matériaux : • béton : 25 MPa ; • aciers : S 400 à palier horizontal. On se propose de vérifier l’état limite ultime de stabilité de forme en utilisant la méthode de l’équilibre lorsque . COUPE AA 40 cm 40 cm 32 cm e e NEd HEd N Ed l= 6 ,00m AA 5 ∅ 20 HA 5 ∅ 20 HA N N G Q = = ⎫⎬⎭ 333 100 kN kN ψ0 0 77H = , ψ2i NQ fck = ϕ �, t0 2( ) =
  • 112 –Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton 1.2 Aciers 2. Nécessité du calcul au flambement 2.1 Longueur efficace �0 = 2.� �0 = 2.6,00 = 12,00 m 2.2 Élancement Pour un poteau de section rectangulaire : section carrée : 2.3 Excentricité à prendre en compte La section la plus sollicitée est vérifiée en supposant une excentricité corrigée du premier ordre égale à : avec : excentricité résultant des calculs de RdM, f fcd cc ck b = α γ ( )αcc = 1 fcd 1 251,5------- 16,7 MPa= = f fcm ck= + 8 ( )MPa fcm = + =25 8 33 MPa E fcm cm= ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥22 000 10 0 3, ( )MPa Ecm = ⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =22 000 33 10 31 476 0 3, MPa f f yd yk s = γ fyd = = 400 1 15 348 , MPa poteau mât ⎫⎬⎭ ⇒ λ Max �0b 12 b ------------------ �0h 12 h ------------------⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ = λ �0 12 b --------------- 12,00 12 0,40 ------------------------- 104= = = e e e etot i= + +0 0Δ e0 =
  • Instabilité de forme – Flambement 113 excentricité due aux imperfections géométriques, supplément d’excentricité pour une section symétrique (béton et armatures). 2.3.1 Excentricité résultant des calculs de RdM 600 KN avec 14,3 cm 2.3.2 Excentricité due aux imperfections géométriques Les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle défini par : avec : = valeur de base recommandée : = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur : où : � = longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage, O.K. = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments : où : m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total : ei = Δe0 = N N NEd G Q= +1 35 1 5, . , . NEd = + =1 35 333 1 5 100, . , . e e H l N Ed Ed 0 = + . H HEd H= 1 3 0, . .ψ e0 26 1 3 0 77 8 3 6 00 600 10= + =, . , . , . , θi θ θ α αi h m= 0 . . θ0 1 200 = θ0 1 200 = αh 2 � -------= αh = = 2 6 00 0 816 , , 2 3 1≤ ≤αh 2 3 0 816 1< =
  • 114 Excentricité additionnelle pour l’élément isolé : 0,024 m 2.3.3 Supplément d’excentricité pour une section symétrique 2.3.4 Excentricité du premier ordre corrigée en pied de poteau 14,3 + 2,4 + 2 = 18,7 cm. 2.4 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme Poteau isolé : avec : = 0,7 si est inconnu : inconnu = 1,1 si ω est inconnu : = 0,7 si est inconnu : : 600 kN (voir § 2.3.1) 10,4 cm en tête de poteau 62,4 mkN 112,25 mkN θi = = 1 200 0 816 1 0 00408. , . , ei θi �0 2 ----- θi.�= = ei = =0 00408 6 00, . , Δe h0 20 30 = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Max mm Δe0 20 20 400 30 13 33 = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ mm Max mm mm, e e e ei1 0 0= + + Δ e1 = λ �0 i ----- >< λlim 20.A.B.C n ----------------------= = A ef = + 1 1 0 2, .ϕ ϕef ϕef ⇒ A = 0 7, B = +1 2.ω ω = A f A f s yd c cd . . ω = = −2 5 3 14 10 348 0 40 0 40 16 7 0 409 4 . . , . . , . , . , , ⇒ = + =B 1 2 0 409 1 348. , , C rm= −1 7, rm N N NEd G Q= +1 35 1 5, . , . NEd = e e e ei= + +0 0Δ e = + + =6 2 4 2, M N eEd01 = . M01 600 0 104= =. , M N e H lEd H02 01 3= +. , . . .ψ M02 600 0 104 1 3 0 77 8 3 6 00= + =. , , . , . , . ,
  • Instabilité de forme – Flambement 115 avec effort normal réduit : nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. 3. Méthode de l’équilibre 3.1 Première itération 3.1.1 Déformations de départ (étapes 1 et 2) • Pour les aciers : = 1,74/1 000 • Pour le béton : = coefficient de fluage effectif, coefficient final de fluage : 2 moment de service du premier ordre sous la combinaison de charges quasi permanente (ELS) : 19,98 mkN moment ultime du premier ordre tenant compte des imperfections géométriques : 112,25 mkN ⇒ r M Mm = 01 02 M M02 01> rm = = 62 4 112 25 0 556, , , ⇒ = − =C 1 7 0 556 1 144, , , n N A f Ed c cd = = . n = = 0 600 0 40 16 7 0 2252 , , . , , λ λ= > = =104 45 51 20 0 70 1 348 1 144 0 225 , . , . , . , , lim ⇒ εs yd s f E1 = εs1 348 200 000 = ϕ ϕef OEqp OEd t M M = ( )�, 0 ϕ �, t0( ) = ϕ �, t0( ) = MOEqp = M M G QOEqp L i i i = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟≥∑1 21 ψ . MOEqp = =333 0 06. , MOEd = M M G Q QOEd L Q i i i = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟≥∑1 1 021 35 1 31, . , . .γ ψ MOEqp = + +( ) +600 0 06 0 024 0 02 1 3 0 77 8 3 6 0, , , , . , . , . , 00 = ϕef = =2 19 98 112 25 0 356, , ,
  • 116 εc1 = raccourcissement relatif corres- pondant à la contrainte maximale fcm du diagramme contrainte-déformation du béton utilisé pour l’analyse du second ordre (voir § 2.4.2.3, chapitre 3 « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : = 2,85/1 000 3.1.2 Contrainte des aciers comprimés = 0,224 m = 2,34/1 000 par le diagramme de calcul des aciers : fck c= ⇒ =25 2 1 1 0001 MPa ε , ε ε ϕc c ef= +( )1 1 εc = +( )2 11 000 1 0 356 , , d d' c s2 s1 x u x du c c s = + ε ε ε 1 xu = + 0 36 2 85 1 000 2 85 1 000 1 74 1 000 , , , , ε εs c u u x d x 2 = − ' εs2 2 85 1 000 0 224 0 04 0 224 = −, . , , , ⇒ σs2 Diagramme caractéristique simplifié Diagramme de calcul fyk E s = 2.105 MPa Arctg E s uk fyd = fyk ys fyd E s
  • Instabilité de forme – Flambement 117 348 MPa 3.1.3 Effort normal interne (étape 3) • Béton comprimé : avec = 1,172 MN • Aciers comprimés : = 0,5464 MN • Aciers tendus : = − 0,5464 MN • Effort normal interne : 1,172 + 0,5464 − 0,5464 = 1,172 MN • Effort normal externe : = 600 kN (voir § 2.3.1) = 1,172 MN > = 0,600 MN ε εs yd2 2 34 1 000 1 74 1 000 = > = , , ⇒ σs ydf2 = = k E f cm c ef cE cd = +( ) 1 05 11 , . . ε ϕ γ γ cE = 1 2, k = +( ) = − 1 05 31 476 2 1 10 1 0 356 1 2 16 7 4 70 3 , . , . , , . , , a k c ef c = − +( )1 2 11 . ε ϕ ε a = − +( ) = − − 1 4 70 2 2 1 10 1 0 356 2 85 10 0 370 3 3 , . , . , , . , ψ ε ε ϕ = − − +⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − − + k k a a k c c ef2 1 1 1 1 2 11 . .Log (( ) − + + ⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 1 12a a a .Log ψ = − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 4 70 4 70 2 1 0 370 1 1 0 370 , , , . , Log −− − +( ) − − − 1 4 70 2 2 85 10 2 10 10 1 0 356 1 2 0 3 3 3 , . , . , . , , 770 0 370 1 1 0 370 2+ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥, . ,Log ψ = 0 783, F b x fc w u cd= ψ. . . Fc = 0 783 0 40 0 224 16 7, . , . , . , F As s s2 2 2= .σ Fs2 45 3 14 10 348= −. , . . − = − .F As s s1 1 1σ − = − − . , . .Fs1 45 3 14 10 348 N F F Fc s si = + −2 1 Ni = N N Next G Q= +1 35 1 5, . , . Next Ni Next
  • 118 3.1.4 Moment fléchissant interne (étape 6) • Béton comprimé : = 0,1252 mMN • Aciers comprimés : = 0,0874 mMN • Aciers tendus : = 0,0874 mMN • Total : 0,1252 + 0,0874 + 0,0874 = 0,3000 mMN A s2 A s1 AN d b w s1 Fs1 s2 c Gxu F s2 F c x u u .d d' = '.d δ ψ ψ G k k a a a k = − −( ) − + + ⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + − 1 2 1 2 1 1 1 2 2 .Log (( ) +( ) − + − +⎛⎝ ⎞⎠ ⎡ . . . . ε ε ϕ c c ef a a a a1 2 3 1 6 3 2 6 1 1Log ⎣⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ δG = − −( ) − + +1 4 70 0 783 4 70 2 1 2 0 370 0 370 12, , , , , .Log 11 0 370 1 0 783 4 70 2 2 85 2 1 1 , , , . , , ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + −( ) ++( ) − + − + 0 356 6 0 370 3 0 370 2 6 0 370 1 1 0 2 3 , . , . , , .Log ,,370 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ δG = 0 416, M F h xc c G u= − ⎛⎝ ⎞⎠2 δ . Mc = − ⎛⎝ ⎞⎠1 172 0 40 2 0 416 0 224, , , . , M F h ds s2 2 2 = − ⎛⎝ ⎞⎠' Ms2 0 5464 0 40 2 0 04= −⎛⎝ ⎞⎠, , , M F d hs s1 1 2 = − ⎛⎝ ⎞⎠ Ms1 0 5464 0 40 0 04 0 40 2 = − − ⎛⎝ ⎞⎠, , , , M M M Mi c s s= + +2 1 Mi =
  • Instabilité de forme – Flambement 119 3.1.5 Excentricité interne 0,256 m 3.1.6 Excentricité externe • Flèche ultime correspondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde : = 0,0128 m−1 = 0,1868 m • Excentricité externe en pied de poteau : = 0,187 + 0,187 = 0,374 m 3.1.7 Conclusion L’équilibre est assuré si : eint < eext Il faut augmenter Mi et diminuer en diminuant . e M N i i int = eint = = 0 3000 1 172 , , 1 1 r d c s = +ε ε 1 2 85 1 74 0 36 10 3 r = + − , , , f l r = 0 2 2 1 π . f = 12 00 0 0128 2 2 , , π e e fext = +1 eext Ni > Nu Nu eint e ext e f e1 0 1 r 1 r N N e e i ext> > ⎧⎨⎩ int ext Ni 1,172 MN 0,600 MN> Next= = eint 0,256 m 0,374 m< eext= =⎩⎨ ⎧ ⇒ Ni εc
  • 120 3.2 Seconde itération 3.2.1 Déformations de départ • Pour les aciers : inchangé (voir § 3.1.1) • Pour le béton : diminué Prenons 3.2.2 Contrainte des aciers comprimés = 0,188 m = 1,50/1 000 par le diagramme de calcul des aciers : εs1 εs1 1 74 1 000 = , εc ⇒ εc = 1 9 1 000 , d d' c s2 s1 x u x du c c s = + ε ε ε 1 xu = + 0 36 1 9 1 000 1 9 1 000 1 74 1 000 , , , , ε εs c u u x d x 2 = − ' εs2 1 9 1 000 0 188 0 04 0 188 = −, . , , , ⇒ σs2 Diagramme caractéristique simplifié Diagramme de calcul fyk E s = 2.105 MPa Arctg E s uk fyd = fyk ys fyd E s
  • Instabilité de forme – Flambement 121 300 MPa 3.2.3 Effort normal interne • Béton comprimé : le diagramme des contraintes est constitué par une fraction de sa partie croissante, d’où : avec (voir § 3.1.3) = 0,8552 MN • Aciers comprimés : = 0,4710 MN • Aciers tendus : = − 0,5464 MN • Effort normal interne : 0,8552 + 0,4710 − 0,5464 = 0,7798 MN • Effort normal externe : = 600 kN (voir § 2.3.1) = 0,780 MN > = 0,600 MN ε εs yd2 1 50 1 000 1 74 1 000 = < = , , ⇒ σ εs s sE2 5 3 2 2 10 1 50 10= = =−. . . , . ε ε ϕc c eff< +( )1 1 ⇒ k E f cm c ef cE cd = +( ) 1 05 11 , . . ε ϕ γ γ cE = 1 2, k = 4 70, a k c ef c = − +( )1 2 11 . ε ϕ ε a = − +( ) = − − 1 4 70 2 2 1 10 1 0 356 1 9 10 0 555 3 3 , . , . , , . , ψ ε ε ϕ = − − +⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − − + k k a a k c c ef2 1 1 1 1 2 11 . .Log (( ) − + + ⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 2 1 12a a a .Log ψ = − − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 4 70 4 70 2 1 0 555 1 1 0 555 , , , . , Log −− − +( ) − − − 1 4 70 2 1 90 10 2 10 10 1 0 356 1 2 0 5 3 3 , . , . , . , , 555 0 555 1 1 0 555 2+ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥, . ,Log ψ = 0 681, F b x fc w u cd= ψ. . . Fc = 0 681 0 40 0 188 16 7, . , . , . , F As s s2 2 2= .σ Fs2 45 3 14 10 300= −. , . . − = − .F As s s1 1 1σ − = − − . , . .Fs1 45 3 14 10 348 N F F Fi c s s= + −2 1 Ni = N N Next G Q= +1 35 1 5, . , . Next Ni Next
  • 122 3.2.4 Moment fléchissant interne • Béton comprimé : = 0,1071 mMN • Aciers comprimés : = 0,0754 mMN • Aciers tendus : = 0,0874 mMN • Total : 0,1071 + 0,0754 + 0,0874 = 0,2699 mMN 3.2.5 Excentricité interne 0,346 m A s2 A s1 AN d b w s1 Fs1 s2 c Gxu F s2 F c x u u .d d' = '.d δ ψ ψ G k k a a a k = − −( ) − + + ⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + − 1 2 1 2 1 1 1 2 2 .Log (( ) +( ) − + − +⎛⎝ ⎞⎠ ⎡ . . . . ε ε ϕ c c ef a a a a1 2 3 1 6 3 2 6 1 1Log ⎣⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ δG = − −( ) − + +1 4 70 0 681 4 70 2 1 2 0 555 0 555 12, , , , , .Log 11 0 555 1 0 681 4 70 2 1 90 2 1 1 , , , . , , ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + −( ) ++( ) − + − + 0 356 6 0 555 3 0 555 2 6 0 555 1 1 0 2 3 , . , . , , .Log ,,555 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ δG = 0 398, M F h xc c G u= − ⎛⎝ ⎞⎠2 δ . Mc = − ⎛⎝ ⎞⎠0 8552 0 40 2 0 398 0 188, , , . , M F h ds s2 2 2 = − ⎛⎝ ⎞⎠' Ms2 0 4710 0 40 2 0 04= −⎛⎝ ⎞⎠, , , M F d hs s1 1 2 = − ⎛⎝ ⎞⎠ Ms1 0 5464 0 40 0 04 0 40 2 = − − ⎛⎝ ⎞⎠, , , , M M M Mi c s s= + +2 1 Mi = e M N i i int = eint = = 0 2699 0 7798 , ,
  • Instabilité de forme – Flambement 123 3.2.6 Excentricité externe • Flèche ultime correspondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde : = 0,0101 m−1 = 0,1474 m • Excentricité externe : = 0,187 + 0,147 = 0,334 m 3.2.7 Conclusion L’équilibre est assuré si : la stabilité au flambement est assurée. 1 1 r d c s = +ε ε 1 1 90 1 74 0 36 10 3 r = + − , , , f l r = 0 2 2 1 π . f = 12 00 0 0101 2 2 , , π e e fext = +1 eext Ni > Nu Nu eint e ext e f e1 0 1 r 1 r N N e e i ext> > ⎧⎨⎩ int ext N N e i ext= > = = > 0 780 0 600 0 346 0 334 , , , , mMN mMN m mint = exte ⎧⎨⎩ ⇒
  • 124 Application n˚ 2 : dimensionnement des armatures par la méthode de la rigidité –Énoncé– Sollicitations : et excentrées de = 9,6 cm, poids propre négligé. Poteau isolé contreventé. Matériaux : • béton : , ; • aciers : S 500 à palier horizontal. On se propose : 1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant inconnu ; 2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode de la rigidité ; 3/ de calculer les armatures longitudinales dans le cas où la section est armée symétriquement ; 4/ de vérifier le poteau au flambement. A e0 P u A COUPE AA A ? 40 cm 40 cm 30 cm c l = 6,00 m Pu = 0 300, MN Pser = 0 105, MN e0 fck = 25 MPa ϕef = 2 ϕef
  • Instabilité de forme – Flambement 125 –Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton = 16,7 MPa = 16,7 MPa 2,56 MPa 1.2 Aciers = 435 MPa 2. Nécessité du calcul au flambement 2.1 Section initiale d’armatures (étape 1) Section d’armatures non encore déterminée : 2.2 Élancement (étape 2) Longueur efficace : �0 = 2.1 �0 = = 12,00 m fck >< ⇒ ⎧⎨⎩50 MPa λ η , fck = < ⇒ = = ⎧⎨⎩25 50 0 8 1 MPa MPa λ η , f fcd cc ck c = α γ fcd = 1 25 1 5, f f fcu cd cc ck c = =η η α γ . . fcu = 1 1 25 1 5 . , f fcm ck= + 8 ( )MPa fcm = + =25 8 33 MPa E fcm cm= ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥22 000 10 0 3, ( )MPa Ecm = ⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =22 000 33 10 31 476 0 3, MPa f f fck ctm ck≤ ⇒ = [ ]50 0 3 23MPa , fctm = [ ] =0 3 25 23, f f yd yk s = γ fyd = 500 1 15, As1 As1 20 00= , cm poteau isolé encastré en pied libre en tête ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ 2 6 00. ,
  • 126 Pour un poteau de section rectangulaire : section carrée : 2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3) Poteau isolé : avec : = 0,7 si est inconnu : inconnu A = 0,7 = 1,1 si ω est inconnu : ω inconnu B = 1,1 = 0,7 si est inconnu : inconnu effort normal réduit : , 0,300 MN nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. λ Max �0b 12 b ------------------ �0h 12 h ------------------⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ = λ �0 12 b --------------- 12,00 12 0,40 ------------------------- 104= = = λ �0 i ----- >< λlim 20.A.B.C n ----------------------= = A ef = + 1 1 0 2, .ϕ ϕef ϕef ⇒ B = +1 2.ω ω = A f A f s yd c cd . . C rm= −1 7, rm rm ⇒ =C 0 7, n N A f Ed c cd = = . N PEd u= N PEd u= = n = = 0 300 0 40 16 7 0 1122 , , . , , λ λ= > = =104 32 21 20 0 7 1 1 0 7 0 112 , . , . , . , , lim ⇒
  • Instabilité de forme – Flambement 127 3. Sollicitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4) 3.1 État limite ultime 3.1.1 Sollicitations de calcul = 0,300 MN = 0,0288 mMN 3.1.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques Puisque est une compression. Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée poteau isolé d’une structure contreventée : 0,03 m sollicitations au centre de gravité de la section de béton seul : 3.2 État limite de service On remarque que à l’ELU est différent de à l’ELS. 4. Sollicitations du second ordre par la méthode de la rigidité La méthode de la rigidité est imposée par l’énoncé. γ i i Ed uN N P. = =∑ γ i iN.∑ γ j jG uM P e. .0 0=∑ γ j jGM. , . ,0 0 300 0 096∑ = e M N j jG i i 1 0 = ∑ ∑ γ γ . . e1 0 0288 0 300 0 096= =, , , m NEd > 0 ⇒ =e l i 0 400 ⇒ = =ei 12 00 400 , N N M N e e e e e Ed i i EdG Ed i i = = +( ) = + ⎧ ⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ ∑ γ . 0 1 0 1 N M Ed EdG = = +( ) = 0 300 0 300 0 096 0 03 0 038 0 , , , , , MN mMN ee0 0 096 0 03 0 126= + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ , , , m N N N M M M e M N ser g q serG g q ser serG ser = + = + = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ 0 0 0⎩⎩ ⎪⎪⎪ N M N e ser serG ser ser = = = = 0 105 0 105 0 096 0 0 0 , . , . , MN ,, , , , 0101 0 0101 0 105 0 0960 mMN me ser = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ e0 e ser0
  • 128 4.1 Rigidité nominale (étape 5) 4.1.1 Section d’armatures initiale La section d’armatures étant inconnue à ce stade de l’étude, nous prendrons une section de départ, symétrique, obtenue en négligeant les effets du second ordre à partir des diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Pour une section symétrique (béton et armatures), il convient de prendre en compte le supplément d’excentricité : Arguments d’entrée dans les abaques : 0,044 mMN 0,300 MN 0,112 (voir § 2.3) Pourcentage d’armatures sorti des abaques : Section d’armatures : Δe h0 20 30 = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Max mm Δe0 20 20 400 30 13 3 = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ mm Max mm mm, M M N ed EdG Ed= +0 0.Δ Md = + =0 038 0 300 0 02, , . , μ = M b h f d cd. . 2 μ = = 0 044 0 40 0 40 16 7 0 0412 , , . , . , , N Nd Ed= Nd = ν = N b h f d cd. . ν = =n μ μ ν ν ϖtot μ ν ϖ = = ⎫⎬⎭ ⇒ ≈ 0 041 0 112 0 , , tot
  • Instabilité de forme – Flambement 129 4.1.2 Rigidité nominale correspondante avec : où : = moment d’inertie de la section de béton : = valeur de calcul du module de déformation de l’acier : = moment d’inertie de la section des armatures par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : donc, pour rester dans les limites permettant de calculer les coefficients et , nous retiendrons : , d’où : A A A b h f f A A A A s s tot cd yd s s s ∑ = + = = ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ = 1 2 1 2 1 ϖ . . ss tot cd yd b h f f2 1 2 = ϖ . . A As s1 2 20 00= = , cm EI K E I K E Ic cd c s s s= +. . . . E Ecd cm cE = γ γ cE = 1 2, Ecd = = 31 476 1 2 26 230 , MPa Ic Ic = = − 0 40 12 2 133 10 4 3 4, , . m Es Es = 200 000 MPa Is ρ = A A s c ρ =
  • 130 avec : (MPa) = coefficient dépendant de la classe du béton : = coefficient dépendant de l’effort normal et de l’élancement, où : effort normal relatif : (voir § 2.3) = coefficient de fluage : Remarque d’où le moment corrigé sera supérieur au moment du premier ordre . 4.2 Moment de calcul total (premier + second ordre) à l’ELU (étape 6) Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre : avec : = effort normal agissant à l’ELU : = 0,300 MN (voir § 2.3) K k kc ef = + 1 2 1 . ϕ k fck1 20 = k1 25 20 1 12= = , k n 2 170 20 = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min λ n N A f Ed c cd = = . n = 0 112, ϕef ϕef = 2 k2 0 069 0 112 104 170 0 069 0 20 = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ , , , , Min Kc = + = 1 12 0 069 1 2 0 026, . , , EI = +− −0 026 26 230 2 133 10 1 200 000 1 80 103, . . , . . . , . 55 EI = 5 055 2, MNm N N EI lEd B >< = π2 0 2 N NEd B= < = =0 300 5 055 12 00 0 3462 2 , , , ,MN MNπ MEd M MEd EdG0 0= MEd M0Ed 1 β NB NEd --------- 1– ------------------+ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ = NEd NEd
  • Instabilité de forme – Flambement 131 = moment du premier ordre : = 0,044 mMN (voir § 4.1.1) = charge de flambement : = 0,346 MN où : Moment du premier ordre constant = 1,234 0,398 mMN Moment de calcul à l’ELU par rapport aux aciers tendus : M Ed0 M MEd d0 = NB = π 2 EI �0 2 ------ NB = π 2 2 5 055 12 00 , , β π= 2 0c c0 8 9 6 = : , , : moment du premier ordre constant momentt du premier ordre parabolique moment du prem , :12 iier ordre triangulaire symétrique, etc. ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⇒ =c0 8 β π= 2 8 MEd = + − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟ =0 044 1 1 2340 346 0 300 1 , , , , N C h/2 d MG0 G0 G0 eA e0 A s1 N e M N e e d h M N e Ed Ed A EdA Ed A 0 0 2 = = + −⎛⎝ ⎞⎠ = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ . e eA 0 0 398 0 300 1 327 1 327 0 35 0 40 2 1 4 = = = + − = , , , , , , , m 777 0 300 1 477 0 443 m mMNMEdA = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ , . , ,
  • 132 5. Calcul des armatures (étape 7) 5.1 Introduction Moment réduit de référence à l’ELU : Moment réduit agissant : Conclusion : Section entièrement comprimée. La section étant entièrement comprimée, nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Nous supposerons donc que la section est armée symétriquement. 5.2 Armatures 5.2.1 Arguments d’entrée dans les abaques = 0,398 mMN (voir § 4.2) Nd = NEd 0,112 (voir § 2.3) Allongement Raccourcissement h d A s1 f cu fcu F c z c x u = h O C B 0 ‰ 2 ‰ 3,5 ‰ λ.x u λ 2 x u μ λ λBC h d h d = − ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟1 2 . μBC = − ⎛⎝ ⎞⎠ =0 8 35 40 1 0 4 35 40 0 455, , , μcu EdA w cu M b d f = . . 2 μcu = = 0 443 0 40 0 35 16 7 0 5412 , , . , . , , μ μcu BC>< μ μcu BC= > =0 541 0 455, , ⇒ M Md Ed= Md μ = M b h f d cd. . 2 μ = = 0 398 0 40 0 40 16 7 0 3722 , , . , . , , ν = N b h f d cd. . ν = =n
  • Instabilité de forme – Flambement 133 5.2.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques 5.2.3 Section d’armatures comme As1 = As2 > As, prov = 0,00 cm2 (voir § 4.1.1), nous effectuons une vérifi- cation au flambement pour la section d’armatures que nous venons de déter- miner et que nous adopterons comme section réelle. 6. Vérification au flambement 6.1 Section d’armatures de départ (étape 1) 6.2 Dispense de vérification au flambement (voir § 2.3) (étapes 2 et 3) En ne mentionnant que les paramètres qui sont affectés par la donnée de la section d’armatures, il vient : = 0,7 si est inconnu : μ μ ν ν ϖtot μ ν ϖ = = ⎫⎬⎭ ⇒ = 0 372 0 112 0 79 , , ,tot A A A b h f f A A A A s s tot cd yd s s s ∑ = + = = ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ = 1 2 1 2 1 ϖ . . ss tot cd yd b h f f2 1 2 = ϖ . . A As s1 2 21 2 0 79 40 40 16 7 435 24 26= = =, . . , , cm A As prov s prov1 2 224 26 , , ,= = cm A ef = + 1 1 0 2, .ϕ ϕef ϕef = 2 ⇒ A = + = 1 1 0 2 2 0 714 , . ,
  • 134 = 1,1 si ω est inconnu : avec = 0,7 si est inconnu : nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. 6.3 Sollicitations du second ordre par la méthode de la rigidité 6.3.1 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques (étape 4) 6.3.2 Rigidité nominale (voir § 4.1.2) (étape 5) (voir § 4.1.2) = moment d’inertie de la section de béton : (voir § 4.1.2) = valeur de calcul du module de déformation de l’acier : (voir § 4.1.2) = moment d’inertie des aciers par rapport au centre de gravité de la section de béton seul : ω = A f A f s yd c cd . . ω = = 2 24 26 435 40 40 16 7 0 790. , . . . , , B = +1 2.ω B = + =1 2 0 790 1 606. , , r M Mm = 01 02 M M02 01> M M P e ru m01 02 0 1= = ⇒ =. C rm= −1 7, rm ⇒ = − =C 1 7 1 0 7, , λ λ= >< =l i A B C n 0 20 lim . . . λ λ= > = =104 47 97 20 0 714 1 606 0 7 0 112 , . , . , . , , lim ⇒ N N M N e e e e e e e Ed i i EdG Ed i i = = + +( ) = + + ⎧ ∑ γ . 0 1 0 0 1 0 Δ Δ ⎨⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ N M Ed EdG = = + +( ) = 0 300 0 300 0 096 0 03 0 02 0 0 0 , , , , , , MN 444 0 096 0 03 0 02 0 1460 mMN me = + + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ , , , , E Ecd cm CE = γ Ecd = 26 230 MPa Ic Ic = −2 133 10 3 4, . m Es Es = 200 000 MPa Is Is = = − −2 24 26 10 0 15 1 092 104 2 4 4. , . . , , . m
  • Instabilité de forme – Flambement 135 EI = 8,392 MNm2 6.3.3 Moment de calcul total (premier + second ordre) à l’ELU (étape 6) Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre : = effort normal agissant à l’ELU : = 0,300 MN (voir § 6.3.1) = moment du premier ordre : = 0,044 mMN = charge de flambement : = 0,575 MN = 1,234 (voir § 4.2) = 0,103 mMN Moment de calcul à l’ELU par rapport aux aciers tendus : ρ = A A s c ρ = =2 24 26 40 40 0 030. , . , ρ ϕ > ⇒ = = + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 0 01 0 0 3 1 0 5 , , , . K K s c ef K K s c = = + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 0 0 3 1 0 5 2 0 15, , . , EI K E I K E Ic cd c s s s= +. . . . EI = +− −0 15 26 230 2 133 10 0 200 000 1 092 103, . . , . . . , . 44 NEd NEd M Ed0 M MEd EdG0 0= N EI lB = π2 0 2 NB = π 2 2 8 392 12 00 , , β π= 2 0c β π= 2 8 MEd M0Ed 1 β NB NEd --------- 1– ------------------+ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞ = MEd 0,044 1 1,234 0,575 0,300 ------------- 1– ----------------------+ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ = e M N e e d h M N e Ed Ed A EdA Ed A 0 0 2 = = + −⎛⎝ ⎞⎠ = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ . e eA 0 0 103 0 300 0 343 0 343 0 35 0 40 2 0 4 = = = + − = , , , , , , , m 993 0 300 0 493 0 148 m mMNMEdA = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ , . , ,
  • 136 6.4 Calcul des armatures (étape 7) 6.4.1 Introduction (voir § 5.1) Section partiellement tendue. La section étant partiellement tendue, pour une section armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). 6.4.2 Arguments d’entrée dans les abaques = 0,103 mMN Nd = NEd 0,112 (voir § 2.3) 6.4.3 Pourcentage d’armatures sorti des abaques μ λ λBC h d h d = − ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟1 2 . μBC = 0 455, μcu EdA w cu M b d f = . . 2 μcu = = 0 148 0 40 0 35 16 7 0 1812 , , . , . , , μ μcu BC>< μ μcu BC= < =0 181 0 455, , ⇒ M Md Ed= Md μ = M b h f d cd. . 2 μ = = 0 103 0 40 0 40 16 7 0 0962 , , . , . , , ν = N b h f d cd. . ν = =n μ μ ν ν ϖtot μ ν ϖ = = ⎫⎬⎭ ⇒ = 0 096 0 112 0 12 , , ,tot
  • Instabilité de forme – Flambement 137 6.4.4 Section d’armatures 6.4.5 Conclusion (étape 8) As1 et As2 Nous avons alors deux possibilités : 1/ si nous voulons affiner le ferraillage, il nous faut recommencer les calculs développés dans le présent § 6, en partant de ; 2/ si nous voulons vérifier la stabilité du poteau armé avec déterminées au § 5.2.3 ci-devant, il suffit de vérifier les conditions : O.K. A A b h f fs s tot cd yd 1 2 1 2 = = ϖ . . A As s1 2 21 2 0 12 40 40 16 7 435 3 69= = =, . . , , cm As prov>< , A A A As s s prov s prov1 2 2 1 2 23 69 24 26= = < = =, , , , cm cm A As prov s prov1 2 23 69 , , ,= > cm A As prov s prov1 2 224 26 , , ,= = cm A A A A s s prov s s prov 1 1 2 2 ≤ ≤ ⎧⎨⎪⎩⎪ , , A A A s s prov s 1 2 2 1 2 2 3 69 24 26 3 69 24 = < = = < , , , , cm cm cm ,, , 26 2 2cm = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ As prov
  • 138 Application n˚ 3 : vérification au flambement par la méthode de l’estimation de la courbure –Énoncé– Sollicitations : et excentrées de e0 = 9,6 cm, poids propre négligé. Poteau isolé contreventé. Matériaux : • béton : , ; • aciers : S 500 à palier horizontal. On se propose : 1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant inconnu ; 2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode de l’estimation de la courbure ; 3/ de calculer les armatures longitudinales dans le cas où la section est armée symétriquement ; 4/ de vérifier le poteau au flambement. e0 P u l = 6,00 m AA COUPE AA A ? 40 cm 40 cm 30 cm Pu = 0 300, MN Pser = 0 105, MN fck = 25 MPa ϕef = 2 ϕef
  • Instabilité de forme – Flambement 139 –Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton = 16,7 MPa = 16,7 MPa 2,56 MPa 1.2 Aciers = 435 MPa 2. Nécessité du calcul au flambement 2.1 Section initiale d’armatures (étape 1) Section d’armatures non encore déterminée : 2.2 Élancement (étape 2) Longueur efficace : �0 = 2.� �0 = = 12,00 m fck >< ⇒ ⎧⎨⎩50 MPa λ η , fck = < ⇒ = = ⎧⎨⎩25 50 0 8 1 MPa MPa λ η , f fcd cc ck c = α γ fcd = 1 25 1 5, f f fcu cd cc ck c = =η η α γ . . fcu = 1 1 25 1 5 . , f fcm ck= + 8 ( )MPa fcm = + =25 8 33 MPa E fcm cm= ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥22 000 10 0 3, ( )MPa Ecm = ⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =22 000 33 10 31 476 0 3, MPa f f fck ctm ck≤ ⇒ = [ ]50 0 3 23MPa , fctm = [ ] =0 3 25 23, f f yd yk s = γ fyd = 500 1 15, As1 As1 20 00= , cm poteau isolé encastré en pied libre en tête ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ 2 6 00. ,
  • 140 Pour un poteau de section rectangulaire : section carrée : 2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3) Poteau isolé : avec : = 0,7 si est inconnu : inconnu = 1,1 si ω est inconnu : ω inconnu = 0,7 si est inconnu : inconnu effort normal réduit : , NEd = Pu = 0,300 MN nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. 3. Sollicitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4) 3.1 État limite ultime 3.1.1 Sollicitations de calcul = 0,300 MN λ Max �0b 12 b ------------------ �0h 12 h ------------------⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ = λ �0 12 b --------------- 12,00 12 0,40 ------------------------- 104= = = λ �0 i ----- >< λlim 20.A.B.C n ----------------------= = A ef = + 1 1 0 2, .ϕ ϕef ϕef ⇒ A = 0 7, B = +1 2.ω ω = A f A f s yd c cd . . B = 1 1, C rm= −1 7, rm rm ⇒ =C 0 7, n N A f Ed c cd = = . N PEd u= n = = 0 300 0 40 16 7 0 1122 , , . , , λ λ= > = =104 32 21 20 0 7 1 1 0 7 0 112 , . , . , . , , lim ⇒ γ i i Ed uN N P. = =∑ γ i iN.∑
  • Instabilité de forme – Flambement 141 = 0,0288 mMN 3.1.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques Puisque est une compression. Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée poteau isolé d’une structure contreventée : 0,03 m sollicitations au centre de gravité de la section de béton seul : 3.2 État limite de service On remarque que à l’ELU est différent de à l’ELS. 4. Courbure (étape 5) La méthode de l’estimation de la courbure est imposée par l’énoncé. La courbure est obtenue par la formule : 4.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal γ j jG uM P e. .0 0=∑ γ j jGM. , . ,0 0 300 0 096∑ = e M N j jG i i 1 0 = ∑ ∑ γ γ . . e1 0 0288 0 300 0 096= =, , , m NEd > 0 ⇒ =e l i 0 400 ⇒ = =ei 12 00 400 , N N M N e e e e e Ed i i EdG Ed i i = = +( ) = + ⎧ ⎨⎪⎪ ⎩⎪⎪ ∑ γ . 0 1 0 1 N M Ed EdG = = +( ) = 0 300 0 300 0 096 0 03 0 038 0 , , , , , MN mMN ee0 0 096 0 03 0 126= + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ , , , m N N N M M M e M N ser g q serG g q ser serG ser = + = + = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ 0 0 0⎩⎩ ⎪⎪⎪ N M N e ser serG ser ser = = = = 0 105 0 105 0 096 0 0 0 , . , . , MN ,, , , , 0101 0 0101 0 105 0 0960 mMN me ser = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ e0 e ser0 1 1 0r K K r r= . ϕ εyd yd s f E = εyd = = − 435 200 000 2 175 10 3, .
  • 142 4.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal où : n = 0,112 (voir § 2.3) = 0,40 avec inconnu Remarque soit : d’où : ce qui est le cas ici. 4.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage avec : 1 0 450r d yd = ε , . 1 2 175 10 0 45 0 35 0 0138 0 3 1 r = = − − , . , . , , m K n n n n r u u bal= − − ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min 1 n N A f Ed c cd = . nbal nbal nu = +1 ω ω = A f A f s yd c cd . . As ⇒ = ⇒ =ω 0 1nu Kr = = − − = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 1 00 1 0 112 1 0 40 1 480 1 , , , , Min K n n n n n nr u u bal bal≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ =1 1 0 40, n N A f nEd c cd bal= ≤ =. ,0 40 N A fEd c cd≤ 0 40, . . NEd = ≤ =0 300 0 40 0 40 16 7 106 2, , . , . , ,MN MN K efϕ β ϕ = +⎧⎨⎩Max 1 1 . β λ= + −0 35 200 150 , fck β = + − = −0 35 25 200 104 150 0 218, ,
  • Instabilité de forme – Flambement 143 4.4 Courbure 5. Moment ultime de calcul total (étape 6) 5.1 Excentricité du second ordre à l’ELU = excentricité du second ordre avec : �0 = longueur efficace �0 = 12,00 m c = 10 m 5.2 Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre avec : = moment du premier ordre : = 0,038 mMN (voir § 3.1.2) = moment du second ordre où : effort normal agissant de calcul : 0,300 MN 0,0597 mMN 0,0977 mMN ϕ ϕef Eqp Ed t M M = ( )�, 0 0 0 ϕef = 2 Kϕ = = − =⎧⎨⎩1 00 1 0 218 2 0 564 1 , , . , Max 1 1 0r K K r r= . ϕ 1 1 00 1 00 0 0138 0 0138 1 r = = − , . , . , , m e2 �0 2 c -----. 1 r ---= c = ≈ ⎧⎨⎩ 8 : ,courbure constante 10 : autres cas.2π e2 212 00 10 0 0138 0 199= =, . , , M M MEd Ed= +0 2 M Ed0 M MEd EdG0 0= M N eEd2 2= . NEd = NEd = M2 0 300 0 199= =, . , MEd = + =0 038 0 0597, ,
  • 144 6. Calcul des armatures (étape 7) 6.1 Moment par rapport aux aciers tendus à l’ELU 6.2 Introduction Moment réduit de référence à l’ELU : Moment réduit agissant : Conclusion : Section partiellement tendue. N N C A s1 G0 G0 eA e0 h/2 d MG0 e M N e e d h M N e Ed Ed A EdA Ed A 0 0 2 = = + −⎛⎝ ⎞⎠ = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ . e eA 0 0 0977 0 300 0 326 0 326 0 35 0 40 2 0 = = = + − = , , , , , , , m 4476 0 300 0 476 0 143 m mMNMEdA = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ , . , , O C B h d Allongement Raccourcissement A s1 f cu f cu F c z c x u = h 0 ‰ 2 ‰ 3,5 ‰ .x u 2 x u μ λ λBC h d h d = − ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟1 2 . μBC = − ⎛⎝ ⎞⎠ =0 8 35 40 1 0 4 35 40 0 455, , , μcu EdA w cu M b d f = . . 2 μcu = = 0 143 0 40 0 35 16 7 0 1752 , , . , . , , μ μcu BC>< μ μcu BC= < =0 175 0 455, , ⇒
  • Instabilité de forme – Flambement 145 La section étant partiellement tendue et armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Pour une section symétrique (béton et armatures), il convient de prendre en compte le supplément d’excentricité : 6.3 Armatures 6.3.1 Arguments d’entrée dans les abaques = 0,1037 mMN (voir § 5.2) Nd = NEd 0,112 (voir § 2.3) 6.3.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques Δe h0 20 30 = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Max mm Δe0 20 20 400 30 13 3 = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ mm Max mm mm, M M N ed Ed Ed= + .Δ 0 Md = +0 0977 0 300 0 02, , . , μ = M b h f d cd. . 2 μ = = 0 1037 0 40 0 40 16 7 0 0972 , , . , . , , ν = N b h f d cd. . ν = =n tot μ ν ϖ = = ⎫⎬⎭ ⇒ = 0 097 0 112 0 130 , , ,tot
  • 146 6.3.3 Section d’armatures comme (voir § 2.1), nous effectuons une vérifi- cation au flambement pour la section d’armatures que nous venons de déter- miner et que nous adopterons comme section réelle. 7. Vérification au flambement 7.1 Section d’armatures de départ (étape 1) 7.2 Dispense de vérification au flambement (étapes 2 et 3) En ne mentionnant que les paramètres qui sont affectés par la donnée de la section d’armatures, il vient : = 0,7 si est inconnu : = 1,1 si ω est inconnu : avec = 0,7 si est inconnu : nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. A A A b h f f A A A A s s tot cd yd s s s ∑ = + = = ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ = 1 2 1 2 1 ϖ . . ss tot cd yd b h f f2 1 2 = ϖ . . A As s1 2 21 2 0 130 40 40 16 7 435 3 99= = =, . . , , cm A A As s s prov1 2 20 00+ > = , , cm A As prov s prov1 2 23 99 , , ,= = cm A ef = + 1 1 0 2, .ϕ ϕef ϕef = 2 ⇒ A = + = 1 1 0 2 2 0 714 , . , ω = A f A f s yd c cd . . ω = = 2 3 99 435 40 40 16 7 0 130. , . . . , , B = +1 2.ω B = + =1 2 0 130 1 122. , , r M Mm = 01 02 M M02 01> M M P e ru m01 02 0 1= = ⇒ =. C rm= −1 7, rm ⇒ = − =C 1 7 1 0 7, , λ λ= >< =l i A B C n 0 20 lim . . . λ λ= > = =104 33 51 20 0 714 1 122 0 7 0 112 , . , . , . , , lim ⇒
  • Instabilité de forme – Flambement 147 7.3 Sollicitations du second ordre par la méthode de l’estimation de la courbure (étapes 4, 5, 6 et 7) Pour cette itération, la section d’armatures n’intervient que pour le calcul du coefficient où elle est prise en compte par le biais du coefficient . Comme, d’après la remarque du § 4.2 : NEd = 0,300 MN ≤ 0,40.402.16,7 = 1,06 MN, et le moment de calcul total (premier + second ordre) sont inchangés et on peut conserver : . 7.4 Conclusion As1 et As2 > < As, prov As1 = O.K. Kr nu = +1 ω Kr A As s1 2 23 99= = , cm A cm A A cs s prov s prov2 2 1 23 99 3 99= = = =, ,, , mm 2
  • 148 Application n˚ 4 : dimensionnement des armatures par la méthode de l’estimation de la courbure –Énoncé– Sollicitations : excentrées de = 10,0 cm en tête de poteau et de = 0,0 cm en pied de poteau, poids propre négligé. Poteau isolé contreventé. Matériaux : • béton : ; • aciers : S 500 à palier horizontal. On se propose : 1/ d’examiner la nécessité du calcul au flambement en supposant ; 2/ de calculer le moment total (premier ordre et second ordre) par la méthode de l’estimation de la courbure lorsque ; 3/ d’en déduire les armatures longitudinales du poteau. AA COUPE AA 30 cmx 30 cm 24 cm NG, NQ e01 = 0 e02 = 10 l = 6, 50 m A s 2 A s 2 N N G Q = = ⎫⎬⎭ 600 300 kN kN e02 e01 fck = 35 MPa ϕef = 2 ϕ �, t0 2( ) =
  • Instabilité de forme – Flambement 149 –Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton 1.2 Aciers 2. Nécessité du calcul au flambement 2.1 Section initiale d’armatures (étape 1) Section d’armatures non encore déterminée : 2.2 Élancement (étape 2) Longueur efficace �0 = � �0 = 6,50 m Pour un poteau de section rectangulaire : section carrée : 2.3 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3) Poteau isolé : f fcd cc ck b = α γ ( )αcc = 1 fcd = =1 35 1 5 23 3 , , MPa f f yd yk s = γ fyd = = 500 1 15 435 , MPa As1 As1 20 00= , cm poteau isolé bi articulé− ⎫⎬⎭ ⇒ λ Max �0b 12 b ------------------ �0h 12 h ------------------⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ = λ �0 12 b --------------- 6,50 12 0,30 ---------------------- 75= = = λ �0 i ----- >< λlim 20.A.B.C n ----------------------= =
  • 150 avec : = 0,7 si est inconnu : = 2 = 1,1 si ω est inconnu : ω est inconnu = 0,7 si est inconnu : avec : effort normal réduit : : 1 260 kN nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. 3. Sollicitations corrigées des imperfections géométriques (étape 4) On suppose que le poteau est astreint à se déformer uniquement dans le sens x (voir coupe AA, figure de l’énoncé). 3.1 Excentricité à prendre en compte La section la plus sollicitée est vérifiée en supposant, à l’ELU, une excentricité totale égale à : A ef = + 1 1 0 2, .ϕ ϕef ϕef ⇒ A = + = 1 1 0 2 2 0 71 , . , B = +1 2.ω ω = A f A f s yd c cd . . ⇒ =B 1 1, C rm= −1 7, rm r M Mm = 01 02 M M02 01> M M N e r M Mu m 01 02 02 01 02 0 0 = = ⎫⎬⎭ ⇒ = =. ⇒ = − =C 1 7 0 1 7, , n N A f Ed c cd = = . N N NEd G Q= +1 35 1 5, . , . NEd = + =1 35 600 1 5 300, . , . n = = 1 260 0 30 23 3 0 6012 , , . , , λ λ= > = =75 34 25 20 0 71 1 10 1 7 0 601 , . , . , . , , lim ⇒ e e e e etot i= + + +0 0 2Δ
  • Instabilité de forme – Flambement 151 avec : excentricité résultant des calculs de RdM, excentricité due aux imperfections géométriques, supplément d’excentricité pour une section symétrique (béton et armatures), excentricité du deuxième ordre. 3.1.1 Excentricité résultant des calculs de RdM Les excentricités aux deux extrémités du poteau étant différentes, on prend une excentricité équivalente donnée par : avec : 3.1.2 Excentricité due aux imperfections géométriques Les imperfections sont représentées par une inclinaison globale d’un angle défini par : avec : = valeur de base recommandée : = coefficient de réduction relatif à la longueur ou à la hauteur : où : l = longueur ou hauteur du bâtiment ou de l’étage, O.K. = coefficient de réduction relatif au nombre d’éléments, e0 = ei = Δe0 = e2 = M M M Me0 02 01 02 0 6 0 4 0 4 = +⎧⎨⎩Max , . , . , . ⇒ = +⎧⎨⎩e e e e e0 02 01 02 0 6 0 4 0 4 Max , . , . , . e e02 01≥ e e0 0 06 0 6 0 10 0 4 0 0 06 0 4 0 10 0 = = + = = , , . , , . , , . , m Max m ,,04 m ⎧⎨⎩ θi θ θ α αi h m= 0 . . θ0 1 200 = θ0 1 200 = αh l = 2 αh = = 2 6 50 0 784 , , 2 3 1≤ ≤αh 2 3 0 784 1< =
  • 152 où : m = nombre d’éléments verticaux contribuant à l’effet total : Excentricité additionnelle pour l’élément isolé : 0,0127 m 3.1.3 Supplément d’excentricité pour une section symétrique 3.2 Sollicitations du premier ordre 0,117 mMN 4. Courbure (étape 5) La méthode de l’estimation de la courbure est imposée par l’énoncé. La courbure est obtenue par la formule : 4.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal αm = + ⎛⎝ ⎞⎠ =0 5 1 1 1 1, θi = = 1 200 0 784 1 0 00392. , . , ei θi �0 2 -----= ei = =0 00392 6 50 2 , , Δe h0 20 30 = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Max mm Δe0 20 20 300 30 10 = = = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ mm Max mm mm e e e ei1 0 0= + + Δ e1 0 06 0 0127 0 02 0 0927= + + =, , , , m M N eEd Ed0 1= . M Ed0 1 260 0 0927= =, . , 1 1 0r K K r r= . ϕ εyd yd s f E = εyd = = − 435 200 000 2 175 10 3, . 1 0 450r d yd = ε , . 1 2 175 10 0 45 0 27 0 0179 0 3 1 r = = − − , . , . , , m
  • Instabilité de forme – Flambement 153 4.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal où : n = 0,601 (voir § 2.3) = 0,40 avec inconnu prenons, quitte à faire une itération ultérieure : Remarque Kr soit : d’où : ce qui n’est pas le cas ici. 4.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage avec : K n n n n r u u bal= − − ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min 1 n N A f Ed c cd = . nbal nbal nu = +1 ω ω = A f A f s yd c cd . . As ⇒ A As c= 3 100 ω = = 3 100 435 23 3 0 560. , , ⇒ = + =nu 1 0 560 1 560, , Kr = = − − = ⎧ ⎨⎪0 827 1 560 0 601 1 560 0 40 0 827 1 , , , , , , Min ⎩⎩⎪ n n n n n nu u bal bal≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ =1 1 0 40, n N A f nEd c cd bal= ≤ =. ,0 40 N A fEd c cd≤ 0 40, . . NEd = > =1260 0 40 0 30 23 3 0 839 2, , . , . , ,MN MN K efϕ β ϕ = +⎧⎨⎩Max 1 1 . β λ= + −0 35 200 150 , fck β = + − =0 35 35 200 75 150 0 025, ,
  • 154 0,036 mMN 0,117 mMN 4.4 Courbure 5. Moment ultime de calcul total (étape 6) 5.1 Excentricité du second ordre à l’ELU = excentricité du second ordre avec : �0 = longueur efficace �0 = 6,50 m c = 10 (déformée sinusoïdale) m 5.2 Moment corrigé compte tenu des effets du second ordre avec : = moment du premier ordre : = 0,117 mMN (voir § 3.2) = moment du second ordre M N eEqp G0 0= . M Eqp0 0 600 0 06= =, . , M N N eEd G Q0 11 35 1 5= +( ), . , . . M Ed0 1 35 0 600 1 5 0 300 0 0927= +( ), . , , . , , M Ed0 = ϕ ϕef Eqp Ed t M M = ( )�, 0 0 0 ϕef = =2 0 036 0 117 0 615, , , Kϕ = = + =⎧⎨⎩1 015 1 0 025 0 615 1 015 1 , , . , , Max 1 1 0r K K r r= . ϕ 1 0 827 1 015 0 0179 0 0150 1 r = = − , . , . , , m e l c r 2 0 2 1 = . c = ≈ ⎧⎨⎩ 8 : ,courbure constante 10 : autres cas.2π e2 26 50 10 0 0150 0 0634= =, . , , M M MEd Ed= +0 2 M Ed0 M MEd EdG0 0= M N eEd2 2= .
  • Instabilité de forme – Flambement 155 où : effort normal agissant de calcul : 1,260 MN 0,0799 mMN 0,197 mMN 6. Détermination des armatures (étape 7) La section étant armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d’interaction (voir § 5.8, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). 6.1 Arguments d’entrée dans les abaques = 0,197 mMN (voir § 5.2) 0,601 (voir § 2.3) 6.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques NEd = NEd = M2 1 260 0 0634= =, . , MEd = + =0 117 0 0799, , M Md Ed= Md μ = M b h f d cd. . 2 μ = = 0 197 0 30 0 30 23 3 0 3132 , , . , . , , N Nd Ed= ν = N b h f d cd. . ν = =n tot μ ν ϖ = = ⎫⎬⎭ ⇒ = 0 313 0 601 0 67 , , ,tot
  • 156 6.3 Section d’armatures en vérifiant (voir hypothèse faite au § 4.2) : O.K. 7. Itérations suivantes 7.1 Dispense de la vérification de l’état limite de stabilité de forme (étape 3) A = 0,71 (voir § 2.3) (voir § 2.3) n = 0,601 (voir § 2.3) nécessité de prendre en compte les effets du second ordre. 7.2 Sollicitations ultimes corrigées des imperfections géométriques (étape 4) 0,117 mMN (voir § 3.2) 7.3 Courbure (étape 5) 7.3.1 Courbure correspondant à l’effort normal Nbal (voir § 4.1) A A A b h f f A A A A s s tot cd yd s s s ∑ = + = = ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ = 1 2 1 2 1 ϖ . . ss tot cd yd b h f f2 1 2 = ϖ . . A As s1 2 21 2 0 67 30 30 23 3 435 16 15= = =, . . , , cm A As c= 3 100 A A s c = = ≠ 2 16 15 30 30 0 037 3 100 . , . , ω = A f A f s yd c cd . . ω 2.16,15.435 30.30.23,3 ---------------------------- 0,670= = B = +1 2.ω B 1 2.0,670+ 1,53= = C = 1 7, λ �0 i ----- >< λlim 20.A.B.C n ----------------------= = λ 75 47,64> λlim 20.0,71.1,53.1,7 0,601 ---------------------------------------= = = ⇒ M Ed0 = εyd = −2 175 10 3, .
  • Instabilité de forme – Flambement 157 (voir § 4.1) 7.3.2 Coefficient de correction dépendant de l’effort normal n = 0,601 (voir § 6.1) = 0,40 (voir § 4.2) 7.3.3 Coefficient de correction tenant compte du fluage (voir § 4.3) (voir § 4.3) (voir § 4.3) 7.3.4 Courbure 7.4 Moment ultime de calcul total (étape 6) 7.4.1 Excentricité du second ordre à l’ELU m 7.4.2 Moment ultime de calcul total M2 = 1,260.0,0646 = 0,0814 mMN MEd = 0,117 + 0,0814 = 0,198 mMN 1 0 0179 0 1 r = − , m nbal ω = A f A f s yd c cd . . ω 2.16,15.435 30.30.23,3 ---------------------------- 0,670= = nu = +1 ω nu 1 + 0,670 = 1,670= K n n n n r u u bal= − − ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min 1 Kr 0,842 Min 1,670 – 0,601 1,670 – 0,40 --------------------------------- 0,842= 1⎩⎪ ⎨⎪ ⎧ = = β = 0 025, ϕef = 0 615, Kϕ = 1 015, 1 1 0r K K r r= . ϕ 1 r --- 0,842.1,015.0,0179 = 0,0153 m 1–= e2 �0 2 c -----. 1 r ---= e2 6,502 10 ------------.0,0153 = 0,0646= M N eEd2 2= . M M MEd Ed= +0 2
  • 158 7.5 Détermination des armatures (étape 7) 7.5.1 Arguments d’entrée dans les abaques = 0,198 mMN Nd = NEd 0,601 (voir § 6.1) 7.5.2 Pourcentage d’armatures sorti des abaques 7.5.3 Section d’armatures M Md Ed= Md μ = M b h f d cd. . 2 μ 0,198 0,30.0,302.23,3 ------------------------------------- 0,315= = ν = N b h f d cd. . ν = =n tot μ 0,315= ν 0,601= ⎭⎬ ⎫ ϖtot⇒ 0,68= A A b h f fs s tot cd yd 1 2 1 2 = = ϖ . . As1 As2 1 2 --- 0,68.30.30 23,3 435 ---------- 16,39 cm2= = =
  • Instabilité de forme – Flambement 159 7.6 Schéma de ferraillage En prenant deux nappes de 4 φ 20 HA et 2 φ 16 HA : As1 = As2 = 4.3,14 + 2.2,01 = 16,58 cm2 24 cm 30 cm 4 ∅ 20 HA 2 ∅ 16 HA 4 ∅ 20 HA 2 ∅ 16 HA 30 cm
  • 3 État limite de service de maîtrise de la fissuration I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Considérations générales La fissuration doit être limitée de façon à1 : • ne pas porter préjudice au bon fonctionnement de la structure ; • ne pas rendre son aspect inacceptable. La fissuration est normale pour les ouvrages en béton armé soumis2 : • à la flexion ; • à l’effort tranchant ; • à la torsion ; • ou à la traction ; sous l’action d’un chargement direct ou de déformations gênées ou imposées. On peut admettre les fissures sans même tenter de contrôler leur largeur ou de les éviter en prenant des mesures (création de joints) pourvu qu’elles ne soient pas préjudiciables au bon fonctionnement de la structure3. Il convient d’établir, en accord avec le client, des limites appropriées tenant compte4 : • de la nature de la structure ; • de sa destination finale ; • du coût de la limitation de la fissuration. Les fissures résultant du retrait plastique ou des réactions chimiques expansives internes au béton ne sont pas couvertes par les règles ci-après5. 1. EC 2 – 7.3.1 (1)P 2. EC 2 – 7.3.1 (2) 3. EC 2 – 7.3.1 (4) 4. EC 2 – 7.3.1 (5) 5. EC 2 – 7.3.1 (3)
  • 162 2. Exigences En l’absence d’exigences spécifiques (étanchéité par exemple), il faut vérifier6 : avec : = ouverture calculée des fissures, = valeur limite de l’ouverture calculée des fissures. À défaut de valeurs données par l’Annexe nationale, les valeurs recommandées pour sont les suivantes7 : L’Annexe nationale française apporte les compléments suivants : (1) : sauf demande spécifique des documents du marché, le calcul de n’est pas requis si les dispositions constructives autres que celles du présent chapitre sont respectées ; (2) : comme précédemment pour les bâtiments des catégories d’usage A à D8 ; (3) : en l’absence d’autres dispositions particulières9. Dans le cas des ponts, à défaut de valeurs données par l’Annexe nationale, les valeurs recommandées pour sont les suivantes10 : Lorsque la maîtrise de la fissuration est exigée, la méthode de calcul de est celle indiquée au § 4. Une option simplifiée consiste à limiter le diamètre ou l’espacement des barres11 (voir § 5). 6. EC 2 – 7.3.1 (5) Classes d’exposition Sous combinaison quasi permanente des charges X0, XC1 (1) s’il y a une exigence vis-à-vis de l’aspect XC2, XC3, XC4 (2) XD1, XD2, XS1, XS2, XS3 (0,2 mm pour l’Annexe nationale française) XD3 Dispositions particulières fonction de la nature de l’agent agressif impliqué(3). 7. EC 2 – tableau 7.1N + voir AN 8. EN 1991-1-1 9. EC 2 – 7.3.1 (7) Classes d’exposition Sous combinaison quasi permanente des charges X0, XC1 XC2, XC3, XC4 XD1, XD2, XD3, XS1, XS2, XS3 10. EC 2 – 7.3.1 (105) + tableau 7.101N w wk ≤ max wk wmax wmax wmax ,= 0 4 mm wmax ,= 0 3 mm wmax ,= 0 3 mm wmax wmax ,= 0 2 mm wmax wmax ,= 0 3 mm wmax ,= 0 3 mm wmax ,= 0 3 mm wk
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 163 Il y a lieu de respecter un pourcentage minimal d’armatures dans les zones tendues si la maîtrise de la fissuration est requise12. 3. Section minimale d’armatures Si la maîtrise de la fissuration est requise (à moins d’un calcul plus rigoureux), la section minimale d’armatures à disposer dans les zones tendues des éléments est celle donnée ci-après13. Dans le cas des sections profilées (exemple : poutres en T et poutres-caissons), il faut déterminer séparément le ferraillage minimal pour les membrures et pour les âmes. Dans le cas des ponts, la décomposition suivante des sections en T est recommandée : 3.1 Cas général [14.1] (7.1) avec : = section minimale d’armatures dans la zone tendue, = aire de la zone de béton tendu avant la formation de la première fissure (section homogène non fissurée avec ) : 11. EC 2 – 7.3.1 (9) 12. EC 2 – 7.3.2 (1)P 13. EC 2 – 7.3.2 (2) A A A B = élément de section « âme » = élément de section « membrure » B A B A s2 A s1 A s2 A s1 A k k f As c ct eff ct s , min ,. . .= σ As, min Act σct ct efff= ,
  • 164 ou valeur inférieure si l’on veut maîtriser la fissuration sans calcul direct, calculée après formation de la première fissure dans la section homogène fissurée (voir § 5.2.1, étape 3) ; l’Annexe nationale française préconise 14, ou à l’âge où se produit la première fissure, à l’âge où se produit la première fissure pour les ponts15, k = coefficient prenant en compte l’effet des contraintes non uniformes auto- équilibrées conduisant à une réduction des efforts dus aux déformations gênées : = coefficient prenant en compte la nature de la distribution des contraintes dans la section immédiatement avant la fissuration : • en traction pure : ; 14. EC 2 – voir ANF 15. EC 2 – 7.3.2 (105) AN A ct f ct, eff σs ykf= σs ykf= f fct eff ctm, = f tctm ( ) f f t ct eff ctm , , = ( )⎧⎨⎩Max MPa2 9 h h (cm) : âmes b w (cm) : membrures k 0,65 30 80 1 b w kc kc = 1
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 165 • en flexion simple ou composée : a) pour les sections rectangulaires et les âmes des caissons et des sections en T : (7.2) b) pour les membrures des caissons et des sections en T : (7.3) où : = contrainte moyenne du béton régnant dans la partie de section considérée, (7.4) = effort normal, à l’ELS dans la partie de section considérée (membrures, âmes des sections en T et des caissons), = valeur absolue de l’effort de traction dans la membrure juste avant la fissuration résultant du moment de fissuration calculé avec . 3.2 Cas des sections rectangulaires Flexion simple : k k h h f c c ct eff = − ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ ≤0 4 1 1 1 , * , σ k F A fc cr ct ct eff = ≥0 9 0 5, . , , σc EdN b h = . NEd h h * , = ⎧⎨⎩Min m1 00 k N h h N Ed Ed 1 1 5 2 3 = , . . * si est une compression, si estt une traction, ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Fcr fct eff, σs yk ct eff ctm f f f k h h k = = = ≤ ≥ ⎧⎨⎩ , : , : 1 30 0 65 80 cm cm cc c ct w s A b h A = =( ) = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⇒ = 0 4 0 2 0 , . , min σ ,, . , . . . : , . , , min 4 1 0 2 30 0 4 0 65 f b h f h A ctm w yk s ≤ = cm .. . . :f b h f hctm w yk2 80≥ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ cm
  • 166 [14.2] Remarque Cette section minimale est inférieure à celle exigée au titre des dispositions constructives pour les poutres (voir § 7, chapitre 7 « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Traction simple : [14.3] Remarque La prise en compte des aciers tendus préexistants dans le calcul des caractéris- tiques géométriques des sections droites non fissurées conduit à augmenter la profondeur x de l’axe neutre et corrélativement à diminuer l’aire de la zone tendue, donc aussi la section minimale d’armatures . 4. Calcul des ouvertures de fissures 4.1 Introduction Pour comprendre le mode opératoire, il est nécessaire de faire appel à quelques notions concernant la fissuration d’un tirant, auquel peut être assimilée localement, sur une distance comportant deux à trois fissures, la zone de béton entourant les armatures d’une poutre fléchie. ⇒ A f f b h h f f b s ctm yk w ctm yk w , min , . , = ≤0 20 30 0 13 si cm ..h hsi cm≥ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ 80 σs yk ct eff ctm f f f k h h k = = = ≤ ≥ ⎧⎨⎩ , : , : 1 30 0 65 80 cm cm cc ct w s ctm A b h A f b = = ⎫ ⎬ ⎪⎪⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎪⎪ ⇒ = 1 00 1 1 , . . . , min ww yk s ctm w yk h f h A f b h f h . : . , . . : , min ≤ = ≥ 30 1 0 65 8 cm 00 cm ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⇒ A f f b h h f f b h s ctm yk w ctm yk w , min . , . = ≤si cm si 30 0 65 hh ≥ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ 80 cm Act As, min
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 167 Si l’on soumet un tronçon de tirant, comportant un pourcentage d’armatures supérieur au pourcentage minimal, à une force de traction axiale F progressi- vement croissante, pour une certaine valeur de F, une première fissure apparaît dans une section (dont la position relève du hasard). À l’emplacement de , la contrainte de rupture par traction du béton a été atteinte. Dans cette section, l’acier doit donc équilibrer seul la force de traction ; sa contrainte y atteint sa valeur maximale. Les sections situées à proximité de la fissure sont dans un état intermédiaire entre : • l’état homogène non fissuré, encore appelé « état I » où l’effort de traction est équilibré à la fois par le béton et par les armatures tendues : , • l’état totalement fissuré, encore appelé « état II nu » où l’effort de traction est équilibré par les seules armatures tendues : (avec ). De part et d’autre de la fissure, du fait de la mise en jeu de l’adhérence, la part de l’effort équilibrée par l’acier diminue, tandis que celle équilibrée par le béton augmente, de sorte que l’on ait toujours : si F = Cste. avec : = aire de la zone de béton tendu entourant les armatures. « Tirant » de section droite A c Fissure f2 Fissure f1 Contraintes dans le béton 1,8.s r 0 = srmoy Contraintes dans les aciers 0 x 0 F F A s σ s1, moy σ s 2σs2 σ s1 σ s1x σ ctx σ ct < f ct s rmoy 4 s rmoy 2 { { f1 f1 fct F A Ac ct s s= +. .σ σ 1 F As s= .σ 2 σ σs s2 1> A A F A d A dc ct s s s s c ct. . . .σ σ σ σ+ = ⇒ =1 1 Ac
  • 168 Comme entre deux sections A et B d’une barre infiniment voisines (voir § 3.5, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : On a donc, en partant de la fissure (section B de la barre pour l’application de la formule précédente) : soit : Il vient donc : ou, en supposant que est constant le long des barres, et en posant , on obtient pour le béton, par intégration de la formule précédente à partir de la section où s’est produit la fissure : Ainsi, de part et d’autre des lèvres d’une fissure, l’hypothèse faite sur entraîne que la contrainte de traction du béton croît linéairement et, en contre- partie, la contrainte de traction de l’acier décroît linéairement. La contrainte de traction du béton ne peut atteindre à nouveau la valeur (valeur moyenne) qu’à une distance de la première fissure telle que : [14.4] est la distance minimale entre deux fissures successives. Pour , , et l’état mécanique du tirant est le même que si la fissure ne s’était pas produite. De nouvelles fissures , … peuvent apparaître. Le béton du tirant se découpe en tronçons de longueur , mais il ne peut y avoir de tronçon de longueur supérieure à . Quand la relation : F F f dxB A bd= + π φ. . . dF F F A d f dxB A s s bd= − = =. . . .σ π φ1 π φ σ π φ. . . . 2 14 d f dxs bd= ⇒ d f dxs bdσ φ1 4 = . A f dx A ds bd c ct 4. .φ σ= fbd ρ = A A s c f1 σ ρ φctx bdf x= 4. . fbd fct sr0 x s f fr ct bd 0 0 4 = = φ ρ. . sr0 x sr0 0> σc ctf= f1 f2 f3 s sr r≥ 0 2 0sr s s sr r r0 02≤ ≤
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 169 est satisfaite pour tous les tronçons, il ne peut plus apparaître de nouvelles fissures et l’état de fissuration atteint est qualifié de fissuration complète . L’expérience montre qu’il y a davantage de fissures distantes de 2.sr0 que de fissures distantes de et que la distance moyenne entre deux fissures est de l’ordre de . La contrainte moyenne des aciers correspond à la contrainte à l’abscisse : . Un tel développement de la fissuration ne s’observe que si l’effort de traction est suffisant pour provoquer la fissuration du béton par traction. C’est-à-dire si : avec : = section des aciers du tirant, = section du béton du tirant, = contrainte de l’armature, = résistance à la traction du béton. Si une fissure apparaît alors que cette condition n’est pas remplie, elle ne peut être qu’accidentelle (reprises de bétonnage, effets thermohygrométriques par exemple). Dans ce cas, on se trouve dans un état de fissuration non systéma- tique, les barres se comportent comme si elles étaient scellées entre deux blocs de béton. 4.2 Principe du calcul 4.2.1 Ouverture moyenne des fissures Les sections d’un élément tendu ou fléchi n’étant pas toutes fissurées, la présence de zones non fissurées d’une certaine longueur rend le comportement de l’élément considéré discontinu. Nous sommes donc conduits à nous référer à des valeurs moyennes. En désignant par : = distance moyenne finale entre fissures, = allongement unitaire moyen de l’armature seule sur la distance , = allongement unitaire moyen du béton sur cette même distance, l’allongement unitaire moyen de l’armature par rapport à celui du béton adjacent vaut : sr0 s sr rmoy ≈ 1 8 0, . x s s r r0 04 0 45= =moy , . A A f A A f s s c ct s c ct s . .σ ρ σ1 1 ≥ ⇒ = ≥ As Ac σs s F A1 = fct srm εsm srm εcm
  • 170 [14.5] L’ouverture moyenne des fissures est égale à l’allongement que subit l’armature par rapport au béton sur la distance : [14.6] Du point de vue pratique, seule la distance est directement mesurable. 4.2.2 Distance moyenne srm entre fissures Les résultats des essais concernant la distance moyenne entre fissures montrent une grande dispersion dus aux paramètres affectant cette longueur : • diamètre φ des barres ; • enrobage c des armatures ; • pourcentage d’armatures généralement rapporté à une section d’enrobage ; • espacement a entre axes des barres ; • etc. 4.2.3 Allongement relatif de l’armature par rapport au béton On désigne par : = contrainte de l’armature dans une section fissurée sous la combinaison d’actions considérée, = contrainte de l’armature au moment où le béton se fissure (calcul en section fissurée soumise au moment de fissuration correspondant à l’atteinte de la contrainte pour le béton tendu de la section non fissurée), = déformation relative de l’armature dans l’état I (section homogène non fissurée), = déformation relative de l’armature dans l’état II nu en négligeant la contribution du béton tendu entre les fissures (section homogène fissurée), et = déformations relatives de l’armature correspondant à la contrainte dans les états I et II nu respectivement. Dans l’exemple du tirant, l’effort de traction qui provoque la fissuration du béton est donné par la formule : Comme, par adhérence : ε ε εsm r sm cm, = − wm srm w s sm rm sm r rm sm cm= = −[ ]. ,ε ε ε srm srm ρr σs2 σsr fct εs1 εs2 εs r1 εs r2 σsr F A f Ar c ct s s= +. .σ 1 ε ε σ σ αc s ct c s s s s c ct e ct f E E E E f f= ⇒ = ⇒ = =1 1 1 .
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 171 il vient : [14.7] avec : coefficient d’équivalence. Il lui correspond, après apparition de la première fissure, dans l’acier tendu, une contrainte qui a pour valeur : [14.8] Pour une force de traction , l’allongement du tirant vaut Δl et la défor- mation relative moyenne de l’armature vaut : avec : = contribution du béton tendu entre les fissures. La représentation graphique de l’état de déformation, dans le repère est donc le suivant : • tant que le tirant n’est pas fissuré (état I avec ), le point représentatif décrit la droite passant par l’origine ; • lorsque le tirant est entièrement fissuré (état II nu, fissuration complète), le point représentatif décrit la droite de pente passant par l’origine ; • entre ces deux états, le point représentatif décrit une courbe admettant pour asymptote la droite de pente passant par l’origine. F A A fr c e s ct= +( )α . αe s c E E = = σ αsr r s c s e ct F A A A f= = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ F Fr> εsm Δ� � ------- εs2 Δεs–= = ε ε εs sm s1 2< < Δεs ε σs s,( ) σ σs sr≤ εs1 εs2 Es εs2 Es « Acier nu » Arctg E s σ s σ s2 σ sr ε s2 ε s ε s2εsmεs2rεs1r εs1 ε s1 Δε s max Δε s
  • 172 Dans l’état intermédiaire entre les états I et II nu, la contrainte dans les armatures vaut et la déformation relative . Le point représen- tatif de la déformation des armatures est décalé vers l’origine de sur l’horizontale d’ordonnée par rapport à la droite de Hooke. On peut admettre (simplification plausible) que pour (ou ) la courbe représentant la variation de en fonction de est un arc d’hyperbole asymptote à la droite représentant la variation de pour l’acier nu. Cet arc d’hyperbole est défini par : (il suffit de remarquer que : et ) On en déduit : [14.9] Comme, d’après les relations entre triangles semblables, on a : [14.10] [14.11] on obtient, en fonction de et : En posant : , l’expression précédente s’écrit : [14.12] σs2 ε ε εsm s s= −2 Δ Δεs σs2 σ σs sr> F Fr> εsm σs2 σs2 Δ Δε ε σ σs s sr s = max 2 σ σ ε εs sr s s2 = ⇒ =Δ Δ max lim σ ε s s 2 0 → = � Δ ε ε ε ε ε ε σ σsm s s s s r s r sr s = − = − −( )2 2 2 1 2 Δ ε ε ε σ σ ε σ σsm s s r sr s s r sr s = − +2 2 2 1 2 ε σ ε σ ε ε σ σ s r sr s s s r s sr s 1 1 2 1 1 2 = ⇒ = ε σ ε σ ε ε σ σ s r sr s s s r s sr s 2 2 2 2 2 2 = ⇒ = εs1 εs2 ε ε ε σ σ ε σ σsm s s sr s s sr s = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 2 2 2 1 2 2 ε ε σ σ ε σ σsm s sr s s sr s = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ + ⎛ ⎝⎜2 2 2 1 2 1 ⎞⎞ ⎠⎟ 2 ξ σ σ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≤1 12 2 sr s ε ξ ε ξ εsm s s= −( ) +1 1 2. .
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 173 Établie dans le cas d’un tirant, donc de la traction pure, cette expression demeure valable pour la flexion si l’on considère que la zone tendue de la poutre est assimilable à un tirant de section . résulte de l’équilibre des forces au moment où le « tirant » de section se fissure et où l’effort équilibré par la section homogène est transmis à l’acier : En posant : [14.13] il vient : d’où : . [14.14] Pour déterminer la différence à utiliser pour le calcul de l’ouverture des fissures, en ne prenant pas en compte le coefficient ξ et en considérant que l’allongement unitaire moyen du béton est proportionnel à , l’eurocode 2 donne la formule : avec : = coefficient empirique permettant une évaluation de la déformation moyenne sur la distance maximale entre fissures en fonction de la durée du chargement. D’où : [14.15] Comme la contribution du béton tendu est donnée par : (voir figure précédente), (formule règlementaire de l’EC 2), Ac eff, σsr Ac eff, A A A fs sr c eff e s ctm. .,σ α= +( ) ρp eff s c eff A A, , = ρ σ α ρp eff sr e p eff ctmf, ,. .= +( )1 σ ρ α ρsr ctm p eff e p eff f = +( ) , , .1 ε εsm cm− ε εsr s r= 2 ε ε ε ε σ σsm cm s t sr s s t srk E k− = − = −( )2 21. . kt ε ε σ ρ α ρ sm cm s t ctm p eff e p eff s k f E − = − +( )2 1 , , . Δε ε εs s sm= −2 Δε ε εs cm t srk= = .
  • 174 cela revient à substituer à la variation hyperbolique de la figure précédente une variation linéaire : 4.3 Espacement maximal des fissures sr, max 4.3.1 Armatures tendues avec faible espacement Lorsque (voir figure du § 2, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), l’espacement maximal des fissures est donné par l’expression16 : (mm) [14.16] (7.11) avec : φ = diamètre de la barre ou diamètre équivalent des barres en mm : (7.12) c = enrobage des armatures longitudinales, « Acier nu » Arctg E s σ s2 σ sr ε s2 ε s2 ε s ε sm ε s2rεs1r σ s ε s1 Δε s = kt ⋅ εsr 16. EC 2 – 7.3.4 (3) a c+ ≤ +⎛⎝ ⎞⎠φ φ5 2 s k c k k kr p eff , max , . . .= +3 1 2 4 φ ρ φ φ φ φ φφ φ = = + + : . . . . barre isolée eq n n n n 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 :: n n1 2+ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ barres
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 175 = facteur caractérisant l’adhérence des armatures, = coefficient tenant compte de la distribution des déformations : (7.13) = 3,4 valeur recommandée17, pour l’Annexe nationale française, = 0,425 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française18, pour la section effective de béton définie au § 4.4. 4.3.2 Armatures tendues avec espacement important Lorsque (voir figure du § 2, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), l’espacement maximal des fissures est donné par l’expression19 : [14.17] (7.14) 17. EC 2 – voir AN 18. EC 2 – voir AN k1 0 8 1 6 = ⎧⎨⎩ , : , , : barres HA ronds lisses k2 k2 1 2 1 0 5 2 = + + , : , . : flexion flexion traction avε ε ε eec section entièrement tendue traction simpl , :1 ee ε ε1 2=( ) ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ . ε2 ε1(≥ ε2) pour la section fissurée, k3 k c 3 23 3 4 25 3 4 25 = ≤ ⎛⎝ ⎞⎠ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ , , , si mm mm c sinon k4 ρp eff s c eff A A, , = 19. EC 2 – 7.3.4 (3) a c+ > +⎛⎝ ⎞⎠φ φ5 2 s h xr, max ,= −( )1 3
  • 176 L’Annexe nationale française stipule que cette valeur n’est à retenir que si elle est supérieure à celle obtenue par la formule [14.16]20. 4.3.3 Éléments armés dans deux directions orthogonales Lorsque l’angle entre les directions des contraintes principales et les directions des armatures est significatif (> 15˚), l’espacement maximal des fissures est donné par l’expression21 : [14.18] (7.15) avec : θ = angle entre les armatures dans la direction y et la direction de la contrainte principale de traction, = espacements des fissures calculés respectivement dans les directions y et z pour les valeurs de choisies suivant le cas comme indiqué aux § 4.3.1 ou 4.3.2. 4.4 Ouverture calculée des fissures L’ouverture calculée des fissures (différente de l’ouverture réelle des fissures) est obtenue par la formule22 : [14.19] (7.8) avec : = ouverture calculée des fissures, = espacement maximal des fissures calculé au § 4.3 ci-dessus, = allongement unitaire moyen du béton sur cette même distance, = déformation moyenne de l’armature de béton armé sous la combi- naison de charges considérée, incluant l’effet des déformations imposées et en tenant compte de la participation du béton tendu. Seul est pris en compte l’allongement relatif au-delà de l’état correspondant à l’absence de déformation du béton au même niveau23 : 20. EC 2 – voir AN 21. EC 2 – 7.3.4 (4) s s s r r y r z , max , max, , max, cos sin= + 1 θ θ s sr y r z, max, , max,et sr, max 22. EC 2 – 7.3.4 (1) 23. EC 2 – 7.3.4 (2) w sk r sm cm= −( ), max ε ε wk sr, max εcm εsm
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 177 [14.20] (7.9) où : = contrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la section fissurée, = coefficient d’équivalence acier/béton, en béton armé ( ), (7.10) = aire de la section effective de béton autour des armatures tendues (de hauteur , grisée sur les figures ci-après) : Poutre Dalle Élément sollicité en traction ε ε σ ρ α ρ sm cm s t ct eff p eff e p eff s k f E − = − +( ) ≥ , , , .1 0,,6 σs sE σs αe s cm E E = ρ ξ p eff s p c eff s c eff A A A A A, , , . ' = − = 1 2 A p' = 0 kt = 0 6 0 4 , : , : chargement de courte durée, chargemennt de longue durée, ⎧⎨⎩ Ac eff, hc ef, h c, ef ε1 ε2 = 0h d x h d x ε2 = 0 ε1hc, ef h d ε1 ε2 h c, ef h c, ef d
  • 178 dans tous les cas : avec x correspondant à 4.5 Vérification Il faut s’assurer que24 : Cette méthode est également recommandée pour les ponts25 : 5. Contrôle de la fissuration sans calcul direct 5.1 Cas des dalles de bâtiment Aucune disposition particulière n’est nécessaire pour la maîtrise de la fissu- ration lorsque26 : • l’épaisseur totale de la dalle est telle que : ; • les dispositions constructives de la dalle sont vérifiées (voir § 5.5, chapitre 1 : « Analyse structurale »). 5.2 Autres cas Les méthodes décrites ci-après, s’appliquent aussi bien aux ponts, qu’aux bâtiments27. Les largeurs de fissures ne sont en général pas considérées comme excessives ( ) si28 : 1/ le pourcentage minimal d’armatures du § 3 est vérifié ; h h d h x h c ef, , = −( ) − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ Min 2 5 3 2 σs 24. EC 2 – 7.3.1 (5) 25. EC 2 – 7.3.4 (101) w wk ≤ max 26. EC 2 – 7.3.3 (1) h ≤ 200 mm 27. EC 2 – 7.3.3 (101) 28. EC 2 – 7.3.3 (2) w wk ≤ max
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 179 2/ les diamètres et espacements des barres respectent des valeurs limites sui- vant que la fissuration est due principalement : – aux déformations gênées, ce qui limite le diamètre des armatures (voir § 5.2.1) ; – ou aux charges, ce qui limite l’espacement des barres (voir § 5.2.2) ou le diamètre des armatures (voir § 5.2.1). Dans la pratique, on a toujours les deux origines de fissuration. 5.2.1 Fissuration due principalement aux déformations gênées Le diamètre maximal des armatures est déterminé en fonction29 : • de la contrainte des armatures tendues (calculée pour la section homogène fissurée à l’ELS) ; • de l’ouverture maximale des fissures. La méthode est la suivante : 1/ déterminer la sollicitation immédiatement après fissuration dans la section homogène non fissurée lorsque la contrainte maximale de traction du béton vaut ; 2/ en déduire la hauteur de la zone tendue de la section ; 3/ calculer, dans la section homogène fissurée, la contrainte de l’acier à l’ELS sous charges quasi permanentes ; 4/ tirer du tableau ci-dessus, par interpolation linéaire si nécessaire, le diamètre maximal correspondant à la contrainte σs obtenue à l’étape précédente ; 5/ corriger le diamètre maximal obtenu à l’étape précédente : [14.21] (6.6N & 7.7N) 29. EC 2 – 7.3.3 (2) Contrainte de l’acier Diamètre maximal des barres q*s(mm) (MPa) 160 40 32 25 200 32 25 16 240 20 16 12 280 16 12 8 320 12 10 6 360 10 8 5 400 8 6 4 450 6 5 – σs wk = 0 4, mm wk = 0 3, mm wk = 0 2, mm fctm hcr σs φs* φ φ s s ct eff c crf k h h d = −( ) * , , . . : 2 9 8 section non entiièrement tendue, secφs ct eff cr f h h d * , , . ( ) :2 9 8 − ttion entièrement tendue. ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪
  • 180 où : = diamètre maximal modifié de la barre, = diamètre maximal de la barre, tiré du tableau ci-dessus, = coefficient prenant en compte la nature de la distribution des contraintes dans la section immédiatement avant la fissuration donné au § 3.1, h = hauteur totale de la section, =hauteur de la zone tendue, juste avant fissuration, d = hauteur utile du lit extérieur d’armatures, 6/ vérifier que : avec : = diamètre maximal des armatures utilisées ; 7/ vérifier que la section minimale d’armatures du § 3 est respectée en prenant la valeur de trouvée à l’étape 3, au lieu de . 5.2.2 Fissuration due principalement aux charges L’espacement ou le diamètre maximal des armatures sont déterminés en fonction30 : • de la contrainte des armatures tendues ; • de l’ouverture maximale des fissures. Même méthode qu’au § 5.2.1 en utilisant : • soit le tableau du diamètre maximal des armatures ; • soit le tableau des espacements maximaux ci-dessous : φs φs* kc hcr φ φréel ≤ s φréel σs fyk 30. EC 2 – 7.3.3 (2) Contrainte de l’acier Espacement maximal des barres (mm) (MPa) 160 300 300 200 200 300 250 150 240 250 200 100 280 200 150 50 320 150 100 – 360 100 50 – σs wk = 0 4, mm wk = 0 3, mm wk = 0 2, mm
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 181 6. Armatures de peau 6.1 Domaine d’application Poutres de grande hauteur ( ). Armatures tendues concentrées sur une petite portion de la hauteur31. 6.2 Armatures de peau supplémentaires En plus des armatures de peau (voir § 10, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), il faut prévoir, sur chaque face de la section, une section d’armatures de peau supplé- mentaires régulièrement disposées entre l’axe neutre et les aciers tendus, à l’intérieur de cadres, telle que : [14.22] (7.1) avec les paramètres du § 3.1 modifiés comme suit : k = 0,5, . Le diamètre et l’espacement des armatures de peau sont choisis comme indiqué aux § 5.2.1 et 5.2.2 : • avec égal à la moitié de la contrainte des aciers tendus ; • et en se plaçant dans le cas d’une traction simple (voir § 5.2.1, étape 5 pour le calcul de ). 31. EC 2 – 7.3.3 (3) h ≥ 1 00, m A s, min x1 b w (∅) A k k f As c ct eff ct s , min ,. . .= σ σs ykf= σs φs
  • 182 II. APPLICATION Application : section rectangulaire – Maîtrise de la fissuration –Énoncé– Moment de service : 160 mkN, charges de longue durée . . Enrobage nominal : = 35 mm. Ouverture maximale calculée des fissures : = 0,3 mm. On se propose : 1/ de vérifier que la section équilibre bien le moment appliqué ; 2/ de déterminer la contrainte dans les armatures : – dans le cas où la section n’est pas fissurée (béton tendu pris en compte) ; – dans le cas où la section est fissurée (béton tendu négligé) ; 3/ d’effectuer le contrôle de la fissuration sans calcul direct ; 4/ de déterminer l’ouverture calculée des fissures. –Corrigé– 1. Vérifications 1.1 Conditions d’enrobage Voir application n˚ 1, chapitre 4 : « Dispositions constructives », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles. On considère la section droite rectangulaire figurée ci-contre. Classe structurale : S4 Classe d’exposition : XC2 Granulats : 25 mm Matériaux : • acier : S 500 B ; • béton : 30 MPa. d = 60 cm b w = 24 cm 4 ∅ 20 HA h = 65 cm dg = fck = Mser = ϕ ϕ= ( ) =( )�, t0 2 γ = =M M Ed ser 1 45, cnom wmax
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 183 Enrobage nominal : = 35 mm. 1.2 Vérification de la résistance de la section • Caractéristiques des matériaux : = 20 MPa = 435 MPa • Position de l’axe neutre : en écrivant l’égalité des forces dans la section, il vient : 0,142 m • Moment ultime équilibré par la section : 0,543 m 0,297 mMN • Vérification : 0,232 mMN cnom fck >< ⇒ ⎧⎨⎩50 MPa λ η , fck = < ⇒ = = ⎧⎨⎩30 50 0 8 1 MPa MPa λ η , f fcu cc ck c = η α γ . fcu = 1 1 30 1 5 . , f f yd yk s = γ fyd = 500 1 15, F b x fc w u cu= λ. . . F A fs s u yd= 1, . F F A f b x f x A f bs c s u yd w u cu u s u yd = ⇒ = ⇒ =1 1 , , . . . . . . λ λ ww cuf. xu = = −4 3 14 10 435 0 8 0 24 20 4 . , . . , . , . z d xc u= − λ 2 zc = − =0 60 0 8 2 0 142, , , M A f zRd s u yd c= 1, . . MRd = = −4 3 14 10 435 0 5434. , . . . , γ γ= ⇒ =M M M MEd ser Ed ser. MEd = =1 45 0 160, . , M MRd Ed>< M MRd Ed= > =0 297 0 232, , .mMN mMN O.K
  • 184 2. Contrainte des aciers tendus 2.1 Section non fissurée immédiatement avant fissuration 2.1.1 Caractéristiques des matériaux 2,9 MPa Es = 2.105 MPa (MPa) 32 837 MPa • Charges de courte durée d’application : • Charges de longue durée d’application : 2.1.2 Paramètres f f fck ctm ck≤ ⇒ = [ ]50 0 3 23MPa , fctm = [ ] =0 3 30 23, Es f fcm ck= + 8 MPa fcm = + =30 8 38 MPa E fcm cm= ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥22 000 10 0 3, Ecm = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =22 000 38 10 0 3, E E t tc eff cm , , = ( ) + ( )1 0ϕ � αe s c eff E E = , ϕ α= ⇒ = = =0 2 10 32 837 6 09 5 e s cm E E . , ⇒ =αe 6 αe s c eff E E = , ϕ α ϕ = ⇒ = + = =2 1 2 10 32 837 3 18 27 5 e s cm E E . , ⇒ =αe 18 As1 4 24 3 14 10 12 56= =−. , . , cm ρ = A b d s w 1 . ρ = =12 56 24 60 0 0087, . , η = h d η = =65 60 1 083,
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 185 2.1.3 Hauteur de l’axe neutre (voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, les valeurs numériques correspondant au cas des charges de longue durée d’application figurent, entre parenthèses, dans les formules) : 2.1.4 Moment d’inertie de la section droite homogène par rapport à l’axe neutre (voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) 2.1.5 Moment fléchissant provoquant l’apparition de la première fissure x v b h A d A A b h A w e s ch ch w e s = = + = + ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭ ' . . . . . 2 1 1 2 α α ⎪⎪⎪ ⇒ = = + + x v b h A d b h A w e s w e s ' . . . . . 2 1 1 2 α α x b d h d A b d b d h d A b w e s w w e s w = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + . . . . 2 2 2 1 1 2 α α .. . . d d e e⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = + + η α ρ η α ρ 2 2 x = + + = ( ) ( ) 1 083 2 6 0 0087 1 083 6 0 0087 60 2 18 18 , . , , . , 333 75 35 97 , ,( ) cm A b h Ach w e s= +. .α 1 Ach = + = ( ) −0 24 0 65 6 12 56 10 0 1635 18 4 0 1786 , . , . , . , ,(( ) m2 I b h A d A xch w e s ch= + − . . . . 3 1 2 2 3 α Ich = + − ( ) − 0 24 0 65 3 6 12 56 10 0 60 0 16 3 18 4 2, . , . , . . , , 335 0 33752 0 1786 0 35972 . , , . ,( ) Ich = ( ) 0 00606 0 00700 4 , , m f M h x I M I h x fctm cr ch cr ch ctm= −( ) ⇒ = − Mcr = − = ( ) ( ) 0 00606 0 65 0 3375 2 9 0 00700 0 3597 , , , , , , 00 0562 0 0699 , ,( ) mMN
  • 186 Remarque Plus rapidement, en négligeant les armatures, nous avons : 0,049 mMN 2.1.6 Contrainte de l’acier au moment de la fissuration 2.2 Section fissurée sous chargement appliqué 2.2.1 Paramètres 2.2.2 Hauteur de l’axe neutre (voir § 8.3.2.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, les valeurs numériques correspondant au cas des charges de courte durée d’application figurent, entre parenthèses, dans les formules) : (racine positive) M b h fcr w ctm= . 2 6 Mcr = = 0 24 0 65 6 2 9 2, . , , σ αsr e cr ch M d x I = −( ) σsr = − ⎛ ( ) ( ) ( ) 6 0 0562 0 60 0 337518 0 0699 0 3597 , , , , , ⎝⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ( ) ( ) 0 00606 14 6 0 00700 43 2 , , , , MPa As1 24 3 14 12 56= =. , , cm ρ = A b d s w 1 . ρ = =12 56 24 60 0 0087, . , η = h d η = =65 60 1 083, b x A x A dw e s e s . . . . . 1 2 1 1 12 0+ − =α α ⇒ = +Δ α αe s w e sA b A d 2 1 2 12. . . . ⇒ = − + + x A A b A d b e s e s w e s w 1 1 2 1 2 12α α α. . . . . ⇒ = − + + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =x A b b d A de s w w e s e1 1 1 1 1 2 1α α α ρ. . . . . . ++ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 2 1 α ρe .
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 187 2.2.3 Contrainte dans les armatures à l’ELS Bras de levier des forces élastiques : Contrainte de l’acier : Remarque En prenant une valeur forfaitaire du bras de levier, on trouve plus rapidement : 0,54 m 2.3 Conclusion La contrainte des aciers tendus sous charges de longue durée est toujours plus élevée que celle obtenue sous charges instantanées. C’est par conséquent sous l’effet des charges de longue durée que nous effectuerons le contrôle de la fissu- ration (voir maximal conduit au diamètre et à l’espacement minimaux dans les tableaux des § 5.2.1 et 5.2.2 des rappels théoriques). 3. Contrôle de la fissuration sans calcul direct 3.1 Diamètre maximal des armatures L’ouverture maximale des fissures vaut : = 0,3 mm. 1/ Sollicitation immédiatement après fissuration (section homogène non fissurée) : 0,0699 mMN (voir § 2.1.5 pour = 18) 2/ Hauteur de la zone tendue correspondante dans la section droite : cm (voir § 2.1.3 pour = 18) x1 6 6 18 0 0087 0 60 1 2 18 0 0087 1= + − ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤( ) ( ) . , . , . , ⎦⎦ ⎥⎥⎥ = ( ) 0 255 0 165 , , m z d xc = − 13 zc = − = ( ) ( ) 0 60 0 255 3 0 515 0 165 0 545 , , , , , m M A z M A zser s c s s ser s c = ⇒ =1 2 2 1 . . . σ σ σs2 4 0 545 2340 160 12 56 10 0 515 247= = − ( ) ( ) , , . . , , MPaa z dc = 0 9, . zc = =0 9 0 60, . , σs ser s c M A z2 1 = . σs2 4 0 160 12 56 10 0 54 236= = − , , . . , MPa σs w wk = max M I h x fcr ch ctm= − Mcr = αe h h xcr = − hcr = − =65 35 97 29 03, , αe
  • 188 3/ Contrainte des armatures, à l’ELS, sous charges quasi permanentes (section homogène fissurée) : (voir § 2.2.3 pour = 18) 4/ Diamètre maximal correspondant à la contrainte obtenue à l’étape précédente : le tableau du § 5.2.1 des rappels théoriques donne : 5/ Diamètre maximal corrigé (section rectangulaire non entièrement tendue) : = 0 MN (flexion simple) =0 (section rectangulaire sollicitée en flexion simple) = 2,9 MPa Pour : mm Pour : mm σ σs s= =2 247 MPa αe φs* σs σ φs k s w = = ⎫⎬⎭ ⇒ = 240 0 3 16 MPa mm mm , * σ φs k s w = = ⎫⎬⎭ ⇒ = 280 0 3 12 MPa mm mm , * φs* φ φs s ct eff c cr f k h h d = −( ) * , , . . 2 9 8 NEd NEd σc EdN b h = . σc EdN b h = . k k h h f c c ct eff = − ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ ≤0 4 1 1 1 , * , σ kc = 0 4, f fct eff ctm, = f fct eff ctm, = σs = 240 MPa φs = −( ) =16 2 9 2 9 0 4 0 2903 8 0 65 0 60 4 64, , . , . , , , , σs = 280 MPa φs = −( ) =12 2 9 2 9 0 4 0 2903 8 0 65 0 60 3 48, , . , . , , , ,
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 189 D’où pour : mm 6/ Vérification : Condition non vérifiée. La condition sur le diamètre maximal des armatures n’étant pas vérifiée et la fissuration étant due aux charges, on peut vérifier l’espacement maximal des armatures (au lieu de leur diamètre maximal). 3.2 Espacement maximal des armatures L’ouverture maximale des fissures vaut : = 0,3 mm. La contrainte des armatures vaut (voir § 2.2.3) : sous charges de longue durée d’application dans la section de béton fissurée. Le tableau du § 5.2.2 des rappels théoriques donne : L’espacement réel des armatures vaut : σs = 247 MPa φs = − − − =4 64 4 64 3 48 280 240 7 4 44, , , , φ φréel >< s φ φréel mm mm= /< =20 4 44, s ⇒ w wk = max σ σs s= =2 247 MPa σs kw a = = ⎫⎬⎭ ⇒ = 240 0 3 200 MPa mm mm , σs kw a = = ⎫⎬⎭ ⇒ = 280 0 3 150 MPa mm mm , σs kw a = = ⎫⎬⎭ ⇒ = − − − = 247 0 3 200 200 150 280 240 7 MPa mm, 1191 mm c nom c nom bw aaa ∅∅∅∅
  • 190 30 mm Vérification : Comme l’une ou l’autre des conditions (diamètre ou espacement) doit être vérifiée, le contrôle de la fissu- ration sans calcul direct est assuré. 3.3 Section minimale d’armatures = 0 MN (flexion simple) = 0 pour une section rectangulaire sollicitée en flexion simple : = 2,9 MPa = 247 MPa (maîtrise de la fissuration sans calcul direct, voir § 3.1, étape 3, ou § 2.2.3), (voir remarque ci-après) a b c réel w nom = − −2 4 3 . .φ aréel = − − = 240 2 35 4 20 3 . . a aréel >< a aréel = < =30 191mm mm O.K. ⇒ NEd NEd σc EdN b h = . σc EdN b h = . k k h h f c c ct eff = − ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ ≤0 4 1 1 1 , * , σ kc = 0 4, h k>< ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ⇒ 300 800 mm et mm 800 650 300mm mm mm> = >h 0 65 0 35 15 50 0 76⇒ = + =k , , , f fct eff ctm, = f fct eff ctm, = σs σs A b hct w= . 2 Act = = 0 24 0 65 2 0 078 2, . , , m A k k f As c ct eff ct s , min ,. . .= σ As, min , . , . , . , ,= =0 4 0 76 2 9 0 078 247 10 2 784 2cm A As s1 >< , min A As s1 2 212 56 2 78= > =, , , mincm cm O.K.
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 191 Remarque Compte tenu de la section d’aciers tendus en place dans la section, l’aire minimale de béton tendu juste avant la formation de la première fissure est obtenue en considérant la section droite homogène non fissurée (avec = 18 correspondant à la contrainte prise en compte) : D’où le fait de négliger les aciers tendus préexistants va dans le sens de la sécurité. 4. Calcul de l’ouverture des fissures Bien que la fissuration soit contrôlée sans calcul de l’ouverture des fissures (voir § 3), nous calculerons ci-après l’ouverture des fissures. 4.1 Espacement final maximal entre fissures • Espacement latéral entre axes des armatures : avec = 35 mm • Espacement maximal entre fissures : barres de même diamètre : φ = 20 mm barres HA flexion simple αe σs A b h xct w= −( ) Act = −( ) = < +⎛⎝ ⎞⎠φ φ5 2 c cnom= a + = + = < = +⎛⎝ ⎞⎠φ 30 20 50 225 5 35 20 2 mm mm s k c k k kr p eff , max , . . .= +3 1 2 4 φ ρ φ φ φ φ φφ φ = = + + : . . . . barre isolée eq n n n n 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 :: n n1 2+ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ barres k1 0 8 1 6 = ⎧⎨⎩ , : , , : barres HA ronds lisses. ⇒ =k1 0 8, k2 1 2 1 0 5 2 = + + , : , . : flexion flexion traction avε ε ε eec section entièrement tendue traction simpl , :1 ee ε ε1 2=( ) ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ . ⇒ =k2 0 5,
  • 192 x correspondant à 0,255 m pour = 247 MPa à l’ELS (voir § 2.2.3 et 2.2.2, section homogène fissurée avec = 18) c = 35 mm • Pour l’Annexe nationale française : Poutre h h d h x h c ef, , = −( ) − ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ Min 2 5 3 2 hc, ef ε1 ε2 = 0h d x σs x x= =1 σs αe h h xc ef, , = = −( ) = − = −125 2 5 650 600 125 3 650 2 mm Min mm 555 3 132 2 650 2 325 = = = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ mm mm h A b hc eff w c ef, ,.= Ac eff, , . , ,= =0 24 0 125 0 0300 2m c cnom= k3 3 4= , ⇒ =k3 3 4, k4 0 425= , ⇒ =k4 0 425, ρp eff s c eff A A, , = ρp eff, , . , ,= = −12 56 10 0 0300 0 0419 4 sr, max , . , . , . , , = + =3 4 35 0 8 0 5 0 425 20 0 0419 200 mm k c 3 23 3 4 25 3 4 25 = ≤ ⎛⎝ ⎞⎠ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ , , , si mm mm c sinon c k= ⇒ = = ⎛⎝ ⎞⎠35 2 72 3 4 25 353 2 3 mm , , sr, max , . , . , . , , = + =2 72 35 0 8 0 5 0 425 20 0 0419 176 mm
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 193 4.2 Allongement relatif des aciers charges de longue durée d’appli- cation = 2,9 MPa (voir § 2.2.3 avec = 18) (voir § 2.3) 4.3 Ouverture calculée des fissures 4.4 Vérification 4.5 Section minimale d’armatures = 0 MN (flexion simple) = 0 ε ε σ ρ α ρ sm cm s t ct eff p eff e p eff s k f E − = − +( ) ≥ , , , .1 0,,6 σs sE kt = 0 6 0 4 , : , : chargement de courte durée, chargemennt de longue durée, ⎧⎨⎩ ⇒ =kt 0 4, f fct eff ctm, = f fct eff ctm, = σ σs s= 2 σs = 247 MPa αe αe s c eff E E = , αe = 18 ε εsm cm− = − +( ) = 247 0 4 2 9 0 0419 1 18 0 0419 2 105 , , , . , . 00 99 10 3, . − 0 99 10 7 41 10 0 6 247 2 10 3 4 5, . , . , . − −> = O.K. w sk r sm cm= −( ), max ε ε wk = =−200 0 99 10 0 1983. , . , mm w wk ≤ max w wk = < =0 198 0 3, , maxmm mm O.K. NEd NEd σc EdN b h = . σc EdN b h = .
  • 194 pour une section rectangulaire sollicitée en flexion simple : = 2,9 MPa = 500 MPa (maîtrise de la fissuration avec calcul direct) Cette valeur est différente de celle établie dans le cas du contrôle de la fissu- ration sans calcul direct (voir § 3.3 avec ). Remarque Compte tenu de la section d’aciers tendus en place dans la section, l’aire minimale de béton tendu juste avant la formation de la première fissure est obtenue en considérant la section droite homogène non fissurée (voir § 2.1.3 avec maximum pour x minimum, soit pour = 6) : D’où le fait de négliger les aciers tendus préexistants va dans le sens de la sécurité. 4.6 Remarque Bien que l’Eurocode 2 ne le demande pas, assurons-nous que la fissuration est bien systématique, c’est-à-dire vérifions (voir § 4.2.3 des rappels théoriques, formule [14.14] donnant ) : , k k h h f c c ct eff = − ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ ≤0 4 1 1 1 , * , σ kc = 0 4, h k>< ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ ⇒ 300 800 mm et mm 800 650 300mm mm mm> = >h 0 65 0 35 15 50 0 76⇒ = + =k , , , f fct eff ctm, = f fct eff ctm, = σs ykf= σs ykf= A b hct w= . 2 Act = = 0 24 0 65 2 0 078 2, . , , m A k k f As c ct eff ct s , min ,. . .= σ As, min , . , . , . , ,= =0 4 0 76 2 9 0 078 500 10 1 384 2cm A As s1 >< , min A As s1 2 212 56 1 38= > =, , , mincm cm O.K. σs ykf< Act αe A b h xct w= −( ) Act = −( ) =
  • État limite de service de maîtrise de la fissuration 195 soit en posant : vérifions : et la fissuration est bien systématique. ρp eff s c eff A A, , = 1 ρ σ α ρp eff s e p eff ctmf, ,. .2 1≥ +( ) ⇒ ≥ + σ α ρ ρs e p eff p eff ctmf2 1 . , , σs2 1 18 0 0419 0 0419 2 9 121≥ + =. , , , MPa σs2 247 121= >MPa MPa O.K.
  • 4 État limite de service de déformation I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Généralités 1.1 Influence de la fissuration sur la flèche Avant fissuration, le béton armé se comporte comme un matériau homogène. Après fissuration, en négligeant le béton tendu, nous obtenons un matériau hétérogène. Les sollicitations provoquant la fissuration ( , ) correspondent à l’atteinte de la contrainte de traction limite sur la fibre de béton la plus tendue dans la section homogène non fissurée (c’est-à-dire à l’apparition de la première fissure). Cette contrainte limite a pour valeur1 : La flèche réelle − y − est, par conséquent, intermédiaire entre : • la flèche correspondant à la condition non fissurée, état dans lequel l’acier et le béton agissent ensemble de manière élastique en traction et en compression ; • la flèche associée à la condition entièrement fissurée, état dans lequel l’influence du béton tendu est négligée. 1. EC 2 – 7.4.3 (4) Mcr Ncr f f ctm ctm fl en général, en l'absence de contraint , ees provoquées par le retrait ou les effets thermiquues. ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ yI yII y y M cr y I y II 0 Charge ou moment ylly II pour M > M cr ylly I pour M ≤ M cr Condition non fissurée Condition entièrement fissurée
  • 198 1.2 Influence de la durée d’application des charges sur la déformée Les déformations sous charges de longue durée d’application étant plus impor- tantes que celles obtenues pour des charges de courte durée d’action, il faut envisager deux courbes de déformation. En tenant compte : • de la nature du matériau (fissuré ou non) ; • de la durée d’application des charges ; nous avons : 1.3 Influence de l’inertie 1.3.1 Rappels de résistance des matériaux 1.3.1.1 Travée isostatique uniformément chargée y Charge ou momentSection homogène fissurée Section homogène A c + α e . A s M cr Charges de longue durée d'application Charges de courte durée d'application l p (EI ) A B M0 p.�2 8 ----------= f 5.p.� 4 384.EI ---------------- 5 48 ------. p.�2 8 ---------- � 2 EI ------------------ 1 9,6 -------. M0.� 2 EI --------------- ⇒= = = f 1 10 - - - - - - . M 0 . � 2 EI - - - - - ----------≈
  • État limite de service de déformation 199 1.3.1.2 T ravée isostatique soumise à l’action d’un couple sur appui 1.3.1.3 Travée continue uniformément chargée or : d’où : (très peu inférieur à). 1.3.2 Particularités du béton armé En béton armé, l’inertie n’est pas constante le long des tra vées des poutres du fait : • des arrêts de barres et de la hauteur de la zone comprimée des sections droites ; • de la prise en compte ou non du béton tendu suivant que M < ou non. Donc, les formules de la RdM ne sont pas directement applicables. ⇒ l C A (EI ) B f 3 27 -------. C.�2 EI -----------= f 1 16 ------. C.�2 EI -----------= (EI ) i +1i M0 Mi Mi +1 Mt p l M0 p.�2 8 ----------= f M0.� 2 10.EI --------------- Mi .� 2 16.EI ----------------- Mi 1+ .� 2 16.EI -----------------------––= f � 2 10.EI ------------- M0 5 4 ---. Mi Mi 1++ 2 --------------------------------–= M M M M M M M t i i i i = − + > − ++ + 0 1 0 1 2 5 4 2 . f 1 10 ------. Mt.� 2 EI --------------≈ Mcr
  • 200 2. Calcul des flèches à l’état limite de service de déformation 2.1 Section entièrement comprimée La détermination des flèches se fait par les méthodes classiques de la résistance des matériaux (double intégration de l’équation différentielle où I = moment d’inertie de la section homogène non fissurée). 2.2 Section partiellement tendue La flèche réelle (et donc la courbure) est intermédiaire entre : • la flèche associée à la condition entièrement fissurée ; • la flèche correspondant à la condition non fissurée. 2.2.1 Courbure dans l’état fissuré 2.2.1.1 Équation de la courbure Pour deux sections droites (Σ1) et (Σ2) distantes de dξ et soumises à l’action d’un moment fléchissant M : d y dx M x EI 2 2 = ( ) yII yI 0 dθ dθ d r y M x Mx1 z A s1( )Σ1 ( )Σ2 ε s1. dξ ε c . dξ dξ
  • État limite de service de déformation 201 La section (Σ2) subit, vis-à-vis de la section (Σ1), une rotation dθ sous l’effet du moment fléchissant M. En désignant par r le rayon de courbure de la ligne moyenne, on a : D’autre part, le diagramme des déformations de la section (Σ2) donne : D’où : Ce qui donne l’équation de la courbure : Remarque Les déformations s’écrivent en fonction du moment fléchissant de service : avec : avec : d’où la courbure : [15.1] 2.2.1.2 Cas des sections rectangulaires La position de l’axe neutre est fournie par l’équation des moments statiques (voir § 8.3.2.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : d r dξ θ= . d d d c sθ ε ε ξ = +( )1 d d r d dc sθ ξ ε ε ξ= = + 1 1 1 r d c s = +ε ε εc σc Ec, eff ------------ Mser �cf ----------x1 Ec, eff ---------------- Mser.x1 Ec, eff .�cf ---------------------= = = E E t tc eff c , , = ( ) + ( ) 0 01 ϕ � εs1 σs1 Es ------- Mser �cf ---------- d x– 1( ) αe.Ec, eff ------------------------------ Mser d x– 1( ) Ec, eff .�cf ------------------------------= = = αe s c eff E E = , 1 r --- εc εs1+ d ------------------ Mser Ec, eff .�cf --------------------- . x1 d x1–( )+ d -------------------------------- ⇒= = y” 1 r - - - ε c ε s1 + d - - - - - - - - - - - - - - - - - - M ser E c, eff . � cf - - - - - - - - - - - - ---------= = = ANAN d' d b w A s1 A s 2 x1 E s E c, eff α e =
  • 202 En l’absence d’aciers comprimés, le bras de le vier s’obtient par : [15.2] D’où les contraintes : [15.3] [15.4] Puis les déformations : avec : [15.5] [15.6] Et enfin la courbure : Remar que Que la section dr oite compor te ou non des aciers comprimés, la courbur e peut également êtr e obtenue par la for mule : [15.7] avec : 2.2.1.3 Cas des sections en T La position de l’ax e neutre est fournie par l’équation des moments statiques (voir § 8.3.2.1, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2 , J. Roux, Éditions Eyrolles) : b x A x d A d xw e s e s . . ' . 1 2 2 1 1 12 0+ −( ) − −( ) =α α ⇒ x1 z d xc = − 13 F M z F b x M b x c ser c c w c c ser w = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⇒ = 1 2 2 1. . . . σ σ 11.zc A M z M A zs ser c s s ser s c 1 1 1 1 = ⇒ = . .σ σ ε σ c c c effE = , E E t t tc eff c , , = ( ) + ( ) 0 01 ϕ ε σ s s sE 1 1 = y r d c s " = = +1 1ε ε y” 1 r --- Mser Ec, eff .�cf ---------------------= = I b x A x d A d xcf w e s e s= + −( ) + −( ). . ' .1 3 2 1 2 1 1 2 3 α α
  • État limite de service de déformation 203 Si on se ramène à une section rectangulaire de largeur et il suffit d’appliquer la méthode du § 2.2.1.2 avec : . Si , on a une section en T : • le moment d’inertie est obtenu par la formule : • la courbure est donnée par : [15.8] 2.2.2 Courbure dans l’état non fissuré 2.2.2.1 Équation de la courbure [15.9] = moment d’inertie de la section homogène non fissurée. 2.2.2.2 Cas des sections rectangulaires Caractéristiques géométriques (voir § 8.2.2, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : AN AN d' dh x1 b w A s1 b eff hf E s E c, eff α e = A s2 b x b b h A A x bw eff w f e s s eff . 1 2 1 2 12 + −( ) + +( )⎡⎣ ⎤⎦ − −α bb h A d A dw f e s s( ) + +( )⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = 2 1 22 0α . . ' ⇒ x1 x hf1 ≤ beff b bw eff= x hf1 > I b x b b x h A x dcf eff eff w f e s= − −( ) −( ) + −. .1 3 1 3 2 13 3 α '' .( ) + −( )2 1 1 2αe sA d x y r M E I ser c eff cf " . , = = 1 y r M E .I ser c eff ch " , = = 1 Ich
  • 204 Courbure : [15.10] 2.2.2.3 Cas des sections en T Caractéristiques géométriques (voir § 8.2.1 chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : ANAN d' d h b w A s1 A s 2 ν' ν E s E c, eff α e = A b h A Ach w e s s= + +( ). α 1 2 v b h A d A d A w e s s ch ' . . . ' = + +( )2 1 22 α I b h A d A d A vch w e s s ch= + +( ) −. . . ' . '3 1 2 2 2 23 α y r M E I ser c eff ch " . , = = 1 AN AN d' dh b w A s1 b eff hfAs2 ν' ν E s E c, eff α e = A b h b b h A Ach w eff w f e s s= + −( ) + +( ). α 1 2 v b h b b h A d A d A w eff w f e s s ch ' . . . ' = + −( ) + +( )2 2 1 22 2 α
  • État limite de service de déformation 205 Courbure : [15.11] 2.2.3 Déformations Pour chaque condition (non fissurée ou entièrement fissurée), on obtient la flèche par double intégration de la courbure puisque : avec selon le cas. 2.2.4 Méthode de la double intégration de la courbure On obtient successivement par double intégration sur la portée � de la poutre : 1/ à partir de la courbure : 2/ par intégration de la courbure 1/r (1re intégration) : I b h b b h A d A dch w eff w f e s s= + −( ) + +( ). . . '3 3 1 2 2 23 3 α −− A vch . '2 y r M E .I ser c, eff ch " = = 1 d y dx M E.I r ser 2 2 1 = = I I Ich cf= ou 0 1 "y r = 1 x x l r 0 x x l ' d r y ξθ= = ∫ 0 x d r ξ
  • 206 3/ par intégration de la dérivée de la flèche y’ (2e intégration) : La droite OA d’équation permet de déterminer les constantes d’intégration résultant des calculs précédents : • sur l’appui origine I (x = 0) : • sur l’appui extrémité I + 1 (x = �) : • d’où la valeur de la flèche : La première intégration numérique donnant les rotations peut être conduite par la méthode consistant à assimiler sur deux intervalles successifs de longueur a la courbe à des arcs de parabole : 0 x x A f y (l) y (l) l 0 x ξ x l y = y '.dξ = θ.dξ∫∫ y’.d y x y= +ω0 0. l +1 0 I I y y y x = ≠ ⎫⎬⎭ ⇒ = ⇒ = 0 0 0 0 0 0ω ω . y �( ) ω0.� ω 0 ⇒ y � ( ) � - - - - - - - - - - - = = f y x( ) y �( ) � -----------x–= y r " = 1
  • État limite de service de déformation 207 On remarquera que : [ γ ] C’est la formule dite des « trois niveaux ». La seconde intégration numérique donnant les flèches peut être menée en utilisant la formule des trapèzes complétée par le premier terme du dévelop- pement d’Euler-Maclaurin : La flèche devant être nulle sur les appuis, il convient de corriger les valeurs trouvées à la fin de la seconde intégration en retranchant pour trouver la valeur de la flèche f dans chaque section de calcul : [ α ] [ β ] y'' y''i 1 y''i +1y''i a a x y dx a y y y i i i i i". , . " . " , . " − − +∫ = + −[ ]1 1 13 1 25 2 0 25 y dx a y y y i i i i i". , . " . " , . " + − +∫ = − + +[ ]1 1 13 0 25 2 1 25 y dx y dx y dx a y i i i i i i i". ". ". " − + − + −∫ ∫ ∫= + = +11 1 1 13 44 1. " "y yi i+[ ]+ soit : [ δ ] a a y' = f (x) y' x y'i y'i + 1 f x dx a f f a f x f x i i i i i i( ) = +[ ] + ( ) − − − −∫ . ' '(1 1 2 12 12 ))⎡⎣ ⎤⎦ y dx a y y a y y i i i i i i' . ' ' " " − − −∫ = +[ ] + −[ ]1 1 2 12 12 y �( )x � --- f y x( ) y �( ) � -----------x–=
  • 208 2.2.5 Paramètres de déformation On désigne par paramètre de déformation 2 : • la déformation ; • ou la courb ure ; • ou la rotation ; • ou, dans le cas général, la fl èche. Le paramètre de déformation correspondant à une condition intermédiaire entre les conditions entièrement fissurée et non fissurée est obtenu par la relation : [15.12] (7.18) a vec : α = paramètre de déformation, = paramètre dans la condition non fi ssurée, = paramètre dans la condition entièrement fissurée, = coefficient de distribution, (7.19) où : = paramètre prenant en compte la durée de chargement, = contrainte de l’acier tendu calculée en supposant la section fissurée sous l’effet du chargement appliqué, = contrainte de l’acier tendu calculée pour la section fissurée sous l’effet du chargement provoquant la première fissure dans la section. Remar que 1 en fl exion simple, en traction simple, avec : M et N = sollicitations agissantes, 2. EC 2 – 7.4.3 (3) α ζ α ζ α= + −( ). .II I1 α I α II ζ β σ σ= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 0 2 sr s : : section fissurée, section nnon fissurée, ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ β = 1: : charge unique de courte durée, 0,5 chargementt à long terme ou fréquemment répété, ⎧⎨⎩ σs σsr σ σ sr s crM M = σ σ sr s crN N =
  • État limite de service de déformation 209 et = sollicitations provoquant la fissuration. Remarque 2 La formule donnant le paramètre de déformation correspondant à une condition intermédiaire est à rapprocher de la formule [14.12], chapitre 3 : « État limite de service de maîtrise de la fissuration ». 2.2.6 Calcul des flèches Pour le calcul des flèches, la méthode de calcul rigoureuse par intégration de la courbure le long de l’élément compte tenu de l’équation : est laborieuse. Il est admis d’opérer comme suit3 : • calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la poutre non fissurée ; • calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la poutre fissurée ; • en déduire la flèche par double intégration en supposant la poutre non fissurée ; • en déduire la flèche par double intégration en supposant la poutre fissurée ; • déterminer la flèche pour la condition intermédiaire : Remarque Il revient au même et il est plus simple d’opérer comme suit (on n’effectue qu’une seule double intégration) : 1) calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la poutre non fissurée ; 2) calculer la courbure totale sous chargement et retrait (voir § 4) en supposant la poutre fissurée ; 3) déterminer la courbure totale par la condition intermédiaire : 4) en déduire la flèche y par double intégration. Cette méthode n’est pas directement applicable aux sections fissurées soumises à un effort normal significatif. Mcr Ncr 3. EC 2 – 7.4.3 (7) 1 11 r d y r dxc s= + ⇒ = ⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥∫∫ ε ε yI yII y y yII I= + −( )ζ ζ. 1 1 1 1 1 r r rII I = + −( )ζ ζ
  • 210 2.3 Méthodes simplifiées 2.3.1 Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure Cette méthode permet de s’affranchir de la double intégration de la courbure 1/r. Elle suppose que, sur la base d’un découpage de la poutre en un nombre pair de tronçons, la variation de la courbure est linéaire sur chaque tronçon et, par suite, que l’équation correspondante de la flèche sur chacun des tronçons est un polynôme du troisième degré4. La flèche est obtenue par la formule : où [15.13] avec : et I = ou selon le cas. Les valeurs de N et étant données ci-après. Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive dans le sens ascendant. Les coefficients donnés ci-après ont été déterminés à partir des conditions aux limites (continuité de la courbure, des rotations et des flèches) aux extrémités des tronçons successifs de poutre. 2.3.1.1 Découpage en 2 tronçons N = 48 ; , 4. Voir l’annexe 1 en fin d’ouvrage. yi � 2 N ----- ki, j 1 r j --- j 1= n ∑–= i j = = indice de la section où l'on calcule la flèche, iindice de la section dont on connaît la courbure, n == ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ nombre (impair) de sections du découpage. 1 r M x E Ij ser j c eff = ( ) , Ich Icf ki j, 321 l /2 l /2 y1 0= y3 0= y r r r 2 1 2 3 1 4 1 1 1 1 = ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ .
  • État limite de service de déformation 211 2.3.1.2 Découpage en 4 tronçons N = 384 ; , 2.3.1.3 Découpage en 6 tronçons N = 1 296 ; , 2.3.1.4 Découpage en 8 tronçons N = 3 072 ; , 54321 l /4 l /4 l /4 l /4 y1 0= y5 0= y y y 2 3 4 3 14 12 6 1 2 12 20 12 2 1 6 12 14 3 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ = ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ . 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 r r r r r 74 5 6321 l /6l /6l /6l/6l/6l /6 y1 0= y7 0= y y y y y 2 3 4 5 6 5 24 24 18 12 6 1 4 24 42 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ = 336 24 12 2 3 18 36 48 36 18 3 2 12 24 36 42 24 4 1 6 12 18 24 24 5 ⎡⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 r r r r r r r ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 97 84 5 6321 l /8l /8 l /8 l /8l /8l /8l /8l /8 y1 0= y9 0=
  • 212 2.3.1.5 Découpage en 10 tronçons N = 6 000 ; , Remarque Cette méthode s’applique aussi aux poutres continues, à condition de considérer que les courbures des sections soumises à des moments fléchissants négatifs sont elles aussi négatives. 2.3.2 Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant Cette méthode permet de s’affranchir : • de la double intégration de la courbure 1/r ; y y y y y y y 2 3 4 5 6 7 8 7 34 36 3⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ = 00 24 18 12 6 1 6 36 64 60 48 36 24 12 2 5 30 60 82 72 54 36 18 3 4 224 48 72 88 72 48 24 4 3 18 36 54 72 82 60 30 5 2 12 24 36 48 60 664 36 6 1 6 12 18 24 30 36 34 7 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r r r r r r r r r ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 11107 8 94 5 6321 l /10l /10l /10l /10l /10l /10l /10l /10l /10 l /10 y1 0= y11 0= y y y y y y y y y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ = 9 44 48 42 36 30 24 18 12 6 1 8 48 86 84 72 60 48 36 24 122 2 7 42 84 116 108 90 72 54 36 18 3 6 36 72 108 134 120 96 72 448 24 4 5 30 60 90 120 140 120 90 60 30 5 4 24 48 72 96 120 1344 108 72 36 6 3 18 36 54 72 90 108 116 84 42 7 2 12 24 36 48 60 772 84 86 48 8 1 6 12 18 24 30 36 42 48 44 9 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r r r r r r r r r rr r 10 111 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
  • État limite de service de déformation 213 • du calcul de la courbure 1/r dans plusieurs sections le long de la travée consi- dérée. Elle suppose que la forme du diagramme des courbures et celle du moment fléchissant sont les mêmes ( ). La flèche maximale est obtenue, à partir de la courbure dans la section soumise au moment maximal, par la formule : [15.14] avec : k = coefficient fonction du diagramme des moments, = courbure dans la section la plus sollicitée, � = portée de la poutre. Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive dans le sens ascendant. Le coefficient k dépend de la forme du diagramme des moments fléchissants. Il est donné par le tableau ci-après : 1 r M x EI = ( ) f k.�2 1 r0 ----–= 1 0r
  • 214 Ch ar ge m en t D ia gr am m e d u m om en t fl éc h is sa n t k 0, 12 5 si : 0, 06 25 l M 0 M 0 lM 0 l P . l l P M m a x = P (1– )l 3 4. α 2 – 48 1 α – ( ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- α 1 2--- = 1 12------ l M 0 l M 0
  • État limite de service de déformation 215 0, 10 4 0, 10 2 av ec : l . l . l P/ 2 P/ 2 l2 P. α . l 0, 12 5 α 2 6 - - - - -- – lp l8P. l2 l p 0 l 2 . 15 , 6 p l l p M A M B l M A M B M t 0, 10 4 1 β 10------ – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ β M A M B + M t - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - =
  • 216 si : si : av ec : l P α . l l P. α . l α 3 α – ( ) 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - α 1 = 1 3--- l pα. l l 2 2 . . 2 p l α α 4 α – ( ) 12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - α 1 = 1 4--- l P l/ 2 M A M B l M A M B M t 0, 08 3 1 β 4--- – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ β M A M B + M t - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = l α . l α . l p l ( ) 2 2 . 3 4. 24p l α − 1 80------ . 5 4. α 2 – ( )2 3 4. α 2 – - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
  • État limite de service de déformation 217 3. Bâtiments courants Les dispositions décrites dans ce paragraphe ne s’appliquent pas aux ponts5 : 3.1 Vérification de la flèche Les déformations ne doivent pas excéder les valeurs que peuvent supporter les éléments liés à la structure6 : • cloisons ; • vitrages ; • bardages ; • appareillages ; • finitions. Pour l’aspect et les conditions d’utilisation, il faut vérifier7 : [15.15] f = flèche calculée sous charges quasi permanentes, � = portée de l’élément (poutre, dalle ou console). Une contreflèche peut être prévue pour compenser en totalité ou en partie les déformations. Sa valeur ne doit pas excéder8 : . Pour les cloisonnements et autres éléments en contact avec l’élément fléchi, il faut vérifier9 : [15.16] f = flèche calculée après construction. L’ELS de déformation peut être vérifié : • en comparant une déformation calculée à une valeur limite (voir § 3.2) ; • en limitant le rapport portée/hauteur (voir § 3.3). 5. EC 2 partie 2 (ponts) – 7.4.1 et 7.4.2 6. EC 2 – 7.4.1.(2) & (3) 7. EC 2 – 7.4.1.(4) 8. EC 2 – 7.4.1.(4) 9. EC 2 – 7.4.1.(5) f � 250 ---------≤ � 250 --------- f � 500 ---------≤
  • 218 3.2 Vérification des flèches par le calcul Le calcul est alors conduit suivant les indications10 du § 2. 3.3 Dispense de la vérification 3.3.1 Rapports de base portée sur hauteur utile Un élément dont le béton est faiblement sollicité est tel que11 : Un élément dont le béton est fortement sollicité est tel que : On peut admettre que les flèches des poutres et dalles ne dépassent pas les limites figurant au § 3.1 lorsque leur rapport portée/hauteur vérifie les condi- tions ci-dessous, corrigées suivant les indications du § 3.3.2 : si ρ ≤ ρ0 [15.17a] (7.16a) si ρ > ρ0 [15.17b] (7.16b) avec : en MPa, � = portée de l’élément, d = hauteur utile de l’élément, K = coefficient tenant compte des différents systèmes structuraux, fixé par l’Annexe nationale12 (voir tableaux ci-après), = pourcentage d’armatures de référence, ρ = pourcentage d’armatures de traction nécessaires : • à mi-portée (travées) ; • ou sur appuis (consoles) ; 10. EC 2 – 7.4.3 11. EC 2 – 7.4.2.(2) 12. EC 2 – voir AN ρ = A b d s w. , %1 5 � d --- K 11 1,5 fck ρ0 ρ----- 3,2 fck ρ0 ρ----- 1–⎝ ⎠⎛ ⎞ 3 2⁄ + +≤ � d --- K 11 1,5 fck ρ0 ρ ρ’–-------------- 1 12 ------ fck. ρ’ ρ0 -----+ +≤ fck ρ0 310= −fck .
  • État limite de service de déformation 219 ρ’ = pourcentage d’armatures de compression nécessaires : • à mi-portée (travées) ; • ou sur appuis (consoles). Ces formules ont été établies en admettant que dans la section fissurée à mi- portée (dalles ou poutres) ou sur appuis (consoles), sous charges de calcul à l’ELS : • la contrainte de l’acier à l’ELS est égale à 310 MPa (ce qui correspond sensi- blement à = 500 MPa) ; • le béton est de la classe C30/35. Les correctifs à appliquer aux valeurs de �/d trouvées ci-dessus, compte tenu : • du niveau de contrainte ; • de la forme de la section droite ; • etc. figurent au paragraphe 3.3.2. Les formules [15.17a] et [15.17b] conduisent aux valeurs recommandées du tableau ci-dessous13 : 13. EC 2 – tableau 7.4 N fyk
  • 220 R ap p or t p or té e su r h au te u r : Sy st èm e st ru ct u ra l K B ét on f or te m en t so ll ic it é B ét on f ai b le m en t so ll ic it é Po ut re su r d eu x ap pu is sim pl es . D al le s s ur a pp ui s s im pl es p or ta nt d an s u ne o u de ux di re ct io ns . 1, 0 � = p et ite p or té e po ur le s d al le s 14 20 Tr av ée d e riv e : – d’ un e po ut re c on tin ue ; – d’ un e da lle c on tin ue p or ta nt d an s u ne d ire ct io n ; – d’ un e da lle c on tin ue le lo ng d ’u n gr an d cô té p or - ta nt d an s d eu x di re ct io ns . 1, 3 � = p et ite p or té e po ur le s d al le s 18 26 Tr av ée in te rm éd ia ire : – d’ un e po ut re ; – d’ un e da lle p or ta nt d an s u ne o u de ux d ire ct io ns . 1, 5 � = p et ite p or té e po ur le s d al le s 20 30 D al le sa ns n er vu re s s ur p ot ea ux (p lan ch ers -da lle s). 1, 2 � = p or té e la p lu s l on gu e 17 24 1 d--- ρρρρ A s b w .d ---- ---- --- 1, 5 % = = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ρρρρ A s b w .d ---- ---- --- 0, 5 % = = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ l l l
  • État limite de service de déformation 221 L’ A nn ex e n at io na le fr an ça ise p ré co ni se le s v al eu rs d u ta bl ea u ci -d es so us 14 : Co ns ol e. 0, 4 6 8 l 14 . Vo ir A N R ap p or t p or té e su r h au te u r : Sy st èm e st ru ct u ra l K B ét on f or te m en t so ll ic it é B ét on f ai b le m en t so ll ic it é Po ut re su r d eu x ap pu is sim pl es . 1, 0 14 20 D al le su r a pp ui s s im pl es p or ta nt d an s u ne d ire ct io n. 1, 0 � = p et ite p or té e po ur le s d al le s 25 30 Tr av ée d e riv e d’ un e po ut re c on tin ue . 1, 3 18 26 1 d--- ρρρρ A s b w .d ---- ---- --- 1, 5 % ≥ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ρρρρ A s b w .d ---- ---- --- 0, 5 % ≤ = ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ l l l
  • 222 Tr av ée d e riv e – d’ un e da lle c on tin ue p or ta nt d an s u ne d ire ct io n ; – d’ un e da lle c on tin ue le lo ng d ’u n gr an d cô té p or - ta nt d an s d eu x di re ct io ns . 1, 3 � = p et ite p or té e po ur le s d al le s 30 35 Tr av ée in te rm éd ia ire d ’u ne p ou tre 1, 5 20 30 Tr av ée in te rm éd ia ire d ’u ne d al le p or ta nt d an s u ne o u d eu x di re ct io ns . 1, 5 � = p et ite p or té e po ur le s d al le s 35 40 D al le sa ns n er vu re s s ur p ot ea ux (p lan ch ers − da lle s). 1, 2 � = p or té e la p lu s l on gu e 17 24 l l l
  • État limite de service de déformation 223 Po ut re e n co ns ol e. 0, 4 6 8 D al le e n co ns ol e. 0, 4 10 12 l l
  • 224 Si le pourcentage d’armatures est connu, on peut interpoler entre les deux limites du tableau. Les valeurs de �/d ainsi obtenues, même corrigées (voir § 3.2.2) sont souvent « conservatives », c’est-à-dire qu’un calcul précis montrerait que des éléments plus élancés donnent encore des flèches acceptables. 3.3.2 Corrections des valeurs �/d Le rapport portée sur hauteur utile à retenir est obtenu par correction de celui extrait des tableaux précédents ou des formules [15.17a] et [15.17b] de la façon suivante15 : [15.18] le coefficient β est donné ci-dessous. Dans le cas de plusieurs corrections, le coefficient résultant β est obtenu par multiplication des différents coefficients partiels β donnés ci-après. Cas des sections en T : Cas des poutres et des dalles supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées : �eff > 7,00 m ⇒ [15.20] �eff = plus petite portée pour une dalle. Cas des planchers-dalles supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées : �eff > 8,50 m ⇒ [15.21] �eff = plus grande portée de la dalle. 15. EC 2 – 7.4.2.(2) [15.19] � d --- β. � d --- tableau = b eff b w b b eff w > ⇒3 β = 0 8, β 7,00 m �eff ----------------= β 8,50 m �eff -----------------=
  • État limite de service de déformation 225 Cas où la contrainte des aciers tendus dans la section de moment maximal (à mi-portée d’une poutre ou d’une dalle ou à l’encastrement d’une console), à l’ELS, est différente de 310 MPa (valeur de base pour l’établissement des tableaux du § 3.3.1) : [15.22] ou en prenant la valeur plus restrictive donnée par : [15.23] (7.17) avec, dans la section considérée : = contrainte de traction de l’acier à mi-portée (ou sur appui pour les consoles) sous les charges de calcul à l’ELS, = section d’acier prévue, = section d’aciers nécessaire à l’ELU. 4. Prise en compte du retrait et du fluage Il y a lieu de prendre en compte, en plus des déformations produites par le chargement appliqué, les déformations résultant des effets du retrait et du fluage. 4.1 Module d’élasticité du béton Pour tenir compte du fluage, la déformation totale, fluage inclus, peut être calculée en utilisant le module d’élasticité effectif du béton16 : [15.24] (7.20) avec : (voir § 2.3.2.2, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles), = coefficient de fluage (voir § 2.3.3.4, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). β σ = 310 MPa s 310 500MPa MPa σs yk s prov s reqf A A = . , , σs As prov, As req, 16. EC 2 – 7.4.3.(5) E E tc eff cm , , = + ( )1 0ϕ � E fcm cm= ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥22 000 10 0 3, ( )MPa ϕ �, t0( )
  • 226 4.2 Effets du retrait Le raccourcissement du béton est gêné par la présence des armatures. L’effet du retrait agissant seul peut être assimilé à un effort normal de traction (fictif) appliqué au centre de gravité de la section de béton seul et de valeur : [15.25] avec : = déformation de retrait considérée, = module d’élasticité du béton, = aire de la section droite de béton seul. Les armatures, en s’opposant au retrait, exercent un effort égal et directement opposé à Nc dans la section homogène. D’où les éléments de réduction au centre de gravité de la section homogène : : effort normal de compression, : moment fléchissant positif, en désignant par la distance du centre de gravité du béton seul au centre de gravité de la section homogène. Par définition du centre de gravité de la section homogène, on a : [15.26] en désignant par la distance du centre de gravité des aciers tendus au centre de gravité de la section homogène. On en déduit : en posant = moment statique des armatures tendues par rapport au centre de gravité de la section homogène. N E Ac cs c c= ε . . εcs Ec Ac AN N c N c h/ 2 h/ 2 dc d s b w N cs N cs A s b w Section de béton seul Section homogène h N Ncs c= − M N dcs cs c= . dc A d A dc c e s s. . .= α ds M E A d E A d Ecs cs c c c cs c e s s cs c= ( ) = =ε ε α ε α. . . . . . . . . ee S. S A ds s= .
  • État limite de service de déformation 227 D’où, la courbure due au retrait s’écrit17 : [15.27] (7.21) avec : = déformation de retrait considérée, I = moment d’inertie de la section droite homogène par rapport au centre de gravité de cette section, = coefficient d’équivalence, S = moment statique de la section d’armatures par rapport à l’axe passant par le centre de gravité de la section homogène. La courbure étant un paramètre de la déformation (voir § 2.2.5), le calcul de S et de I sont à faire deux fois18 : • pour la section homogène non fissurée ; • pour la section homogène totalement fissurée ; la courbure finale étant obtenue en appliquant la formule [15.12] : . (7.18) II. APPLICATIONS Application n˚ 1 : poutre sur deux appuis simples – Flèche –Énoncé– 17. EC 2 – 7.4.3 (6) 18. EC 2 – 7.4.3 (7) 1 r M E I S Ics cs c cs e= = . .ε α εcs αe s c eff E E = , 1 1 1 1 r r rcs csII csI = + −( )ζ ζ l eff = 5,10 m A s = 4 ∅ 16 HA A s A A 45 cm 50 cm 30 cm COUPE AA
  • 228 Actions uniformément réparties : • permanentes : = 6,25 kN/m (hors poids propre) ; • variables : q = 10 kN/m ; • ; • retrait : . Matériaux : • béton : 20 MPa, ‰ ; • aciers : S 500 A. On se propose : 1/ dans la section à mi-travée : – de déterminer la courbure sous chargement appliqué ; – de calculer la courbure due au retrait ; 2/ de déterminer la courbure dans chacune des sections de la poutre (décou- page en dix tronçons d’égale longueur) ; 3/ de calculer la flèche le long de la poutre en supposant que les 4 φ 16 HA sont conduits sur appuis ; 4/ de vérifier l’ELS de déformation vis-à-vis des conditions d’utilisation. –Corrigé– 1. Caractéristiques des matériaux 1.1 Béton = 28 MPa 29 962 MPa 9 987 MPa 1.2 Aciers = 500 MPa g1 ϕ �, t0 2( ) = εcs = 3 10 000/ fck = ε εcu cu2 3 3 5= = , f fcm ck= + 8 fcm = +20 8 f f fck ctm ck≤ ⇒ = [ ]50 0 3 23MPa , fctm = [ ] =0 3 20 2 223, , MPa E fcm cm= ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥22 000 10 0 3, Ecm = ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =22 000 28 10 0 3, E E tc eff cm , , = + ( )1 0ϕ � Ec eff, = + = 29 962 1 2 αe s c eff E E = , αe = = ≈ 200 000 9 987 20 07 20, fyk fyk
  • État limite de service de déformation 229 2. Sollicitations de flexion Les calculs sont conduits à l’état limite de service. Actions au ml : ϖ = poids volumique du béton armé ϖ = 25 kN/m3 g = 6,25 + 25.0,30.0,50 = 10,00 kN/m = 10 + 10 = 20 kN/m Moment fléchissant maximal : = 65 mkN 3. Courbures dues au chargement 3.1 Section non fissurée 3.1.1 Caractéristiques géométriques de la section non fissurée 4 φ 16 HA 4.2,01= 8,04 cm2 0,16608 m2 0,26936 m = 0,231 m g g b hw= +1 ϖ. . p g qser = + pser pser M p leffser ser= 2 8 Mser = 20 5 10 8 2 , Mser ⇒ =As A b h A Ach w e s s= + +( ). α 1 2 Ach = + =−0 30 0 50 20 8 04 10 4, . , . , . v b h A d A d A w e s s ch ' . . . ' = + +( )2 1 22 α v ' , . , . , . . , , = + = − 0 30 0 50 2 20 8 04 10 0 45 0 16608 2 4 v h v= − ' v = −0 50 0 269, , I b h A d A d A vch w e s s ch= + +( ) −. . . ' . '3 1 2 2 2 23 α Ich = + − − 0 30 0 50 3 20 8 04 10 0 45 0 16608 3 4 2, . , . , . . , , .00 269362, Ich = −3 70629 10 3 4, . m
  • 230 3.1.2 Courbure 3.1.3 Sollicitation provoquant la fissuration 0,035 mMN Remarque Comme , nous sommes certains que la section médiane sera fissurée. 3.2 Section fissurée 3.2.1 Caractéristiques géométriques de la section fissurée 0,172 m = 0,393 m 3.2.2 Courbure = 6,41 MPa y r M E .I ser c eff ch " , = = 1 y r . I I " . , . , .= = = − − − 1 65 10 9 987 3 70629 10 1 756 10 3 3 3 σ t cr ch ctm cr ctm chM v I f M f I v = = ⇒ = . Mcr = = − 2 2 3 70629 10 0 231 3 , , . , M Mcr ser< b x A x d A d xw e s e s . . ' . 1 2 2 1 1 12 0+ −( ) − −( ) =α α 0 30 2 20 8 04 10 0 45 01 2 4 1 , . . , . , x x− −( ) =− 0 15 0 01608 0 007236 012 1, . , . ,x x+ − = Δ = + =0 01608 4 0 15 0 007236 0 06782 2, . , . , , x1 0 01608 0 0678 2 0 15 = − + = , , . , z d xc = − 13 zc = −0 45 0 172 3 , , σc ser w c M b x z = 2 1 . . . σc = −2 65 10 0 30 0 172 0 393 3 . . , . , . , ε σ c c c effE = , εc = = − 6 41 9 987 6 42 10 4, , .
  • État limite de service de déformation 231 = 206 MPa 3.2.3 Remarque valeur établie au § 3.2.2. 3.3 Courbure due aux charges = paramètre dans la condition non fissurée : = paramètre dans la condition entièrement fissurée : = coefficient de distribution : σs ser s c M A z1 1 = . σs1 3 4 65 10 8 04 10 0 393 = − − . , . . , ε σ s s sE 1 1 = εs1 3206 200 000 1 03 10= = −, . 1 1 r d c s = +ε ε 1 6 42 10 1 03 10 0 45 3 71 10 4 3 3 1 rII = + = − − − − , . , . , , . m I b x A x d A d xcf w e s e s= + −( ) + −( ). . ' .1 3 2 1 2 1 1 2 3 α α Icf = + −( )−0 30 0 1723 20 8 04 10 0 45 0 172 3 4 2, . , . , . , , Icf = −1 752 10 3 4, . m y r M E .I ser c eff cf " , = = 1 y r . II II " . , . , .= = = − − − 1 65 10 9 987 1 752 10 3 71 10 3 3 3 m−−1 α ζ α ζ α= + −( ). .II I1 α I α I Ir = = − − 1 1 756 10 3 1, . m α II α II IIr = = − − 1 3 71 10 3 1, . m ζ β σ σ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 2 sr s β = 1: : charge unique de courte durée, 0,5 chargementt à long terme ou fréquemment répété, ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ β = 0 5,
  • 232 = contrainte de l’acier tendu calculée en supposant la section fissurée : = 206 MPa (voir § 3.2.2) = contrainte de l’acier tendu calculée pour la section fissurée sous l’effet du chargement provo- quant la première fissure dans la section : = 111 MPa 4. Courbure due au retrait 4.1 Section non fissurée Distance du centre de gravité des armatures tendues au centre de gravité de la section homogène non fissurée : = 0,181 m Moment statique des armatures tendues par rapport au centre de gravité de la section homogène : Courbure due au retrait : 4.2 Section fissurée Distance du centre de gravité des armatures tendues au centre de gravité de la section homogène réduite : = 0,278 m Moment statique des armatures tendues par rapport au centre de gravité de la section homogène réduite : σs σ σs s= 1 σsr σsr cr s c M A z = = − . , , . . , 0 035 8 04 10 0 3934 ζ = − ⎛⎝ ⎞⎠ =1 0 5 111 206 0 85 2 , , ⇒ = + −( ) =− −1 0 85 3 71 10 1 0 85 1 756 10 3 423 3 r , . , . , . , . , ..10 3 1− −m d d vs = − ' ds = −0 45 0 269, , S A ds s= . S = = − −8 04 10 0 181 1 46 104 4 4, . . , , . m 1 r M E I S IcsI cs c cs e ch = = . .ε α 1 3 10 20 1 46 10 3 70629 10 0 2364 4 3rcsI = = − − − . . , . , . , .110 3 1− −m d d xs = − 1 ds = −0 45 0 172, , S A ds s= . S = = − −8 04 10 0 278 2 24 104 4 4, . . , , . m
  • État limite de service de déformation 233 Moment d’inertie de la section homogène : Courbure due au retrait : 4.3 Courbure totale due au retrait = paramètre dans la condition non fissurée : = paramètre dans la condition entièrement fissurée : = coefficient de distribution : (voir § 3.3) 5. Calcul de la flèche par double intégration numérique Pour chaque condition (non fissurée ou entièrement fissurée), on obtient la flèche par double intégration de la courbure puisque : La poutre est découpée en dix intervalles de longueur 0,1.�. I b x A x d A d xcf w e s e s= + −( ) + −( ). . ' .1 3 2 1 2 1 1 2 3 α α Icf = + −( )−0 30 0 1723 20 8 04 10 0 45 0 172 3 4 2, . , . , . , , Icf = −1 752 10 3 4, . m 1 r M E I S IcsII cs c cs e cf = = . .ε α 1 3 10 20 2 24 10 1 752 10 0 767 14 4 3rcsII = = − − − . . , . , . , . 00 3 1− −m α ζ α ζ α= + −( ). .II I1 α I αI 1 rcsI ------- 0,236.10 3– m 1–= = α II αII 1 rcsII -------- 0,767.10 3– m 1–= = ζ β σ σ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 2 sr s ζ = 0 85, ⇒ = + −( ) =− −1 0 85 0 767 10 1 0 85 0 236 10 03 3 rcs , . , . , . , . ,, .687 10 3 1− −m d y dx M E.I r ser 2 2 1 = =
  • 234 5.1 Courbures dues au chargement 5.1.1 État non fissuré Données : (voir § 3.1.1) 9 987 MPa (voir § 1.1) Équations utilisées : 5.1.2 État fissuré Données : 0,30 m d = 0,45 m MPa 0,172 m (voir § 3.2.1) 0,393 m (voir § 3.2.1) Équations utilisées : Ich = −3 70629 10 3 4, . m Ec eff, = M x( ) p.x. � x–( ) 2 --------------------------= y r M E .II ser c eff ch " , = = 1 bw = As1 4 28 04 10= −, . m Es = 2 10 5 . x1 = zc = σc ser w c M b x z = 2 1 . . . ε σ c c c effE = , σs ser s c M A z1 1 = . ε σ s s sE 1 1 =
  • État limite de service de déformation 235 5.1.3 Courbure due aux charges Donnée : = 111 MPa (voir § 3.3) Équations utilisées : avec β = 0,5 5.2 Courbures dues au retrait 5.2.1 État non fissuré Équation utilisée : (voir § 4.1) 5.2.2 État fissuré Équation utilisée : (voir § 4.2) 5.2.3 Courbure due au retrait Équation utilisée : 1 1 r dII c s = +ε ε σsr ζ β σ σ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 1 2 sr s 1 1 1 1 r r rII I = + −( )ζ ζ 1 r M E I S IcsI cs c cs e ch = = . .ε α 1 0 236 10 3 1 rcsI = − − , . m 1 r M E I S IcsII cs c cs e cf = = . .ε α 1 rcsII -------- 0,767.10 3– m 1–= 1 1 1 1 r r rcs csII csI = + −( )ζ ζ
  • 236 5. 3 Ta bl ea u ré ca pi tu la tif d es c ou rb ur es R em ar qu e 1 P ou r x = 0 ,1 .l et x = 0 ,9 .l (c as es g ris ée s) , o n a M (x ) = 0 ,0 23 m M N < 0 ,0 35 m M N = M cr e t l a se ct io n n’ es t p as fi ss ur ée . O n p re nd a lo rs ζ = 0 . R em ar qu e 2 Le s co ur b ur es o b te nu es s on t s ym ét riq ue s p ar r ap p or t à la s ec tio n m éd ia ne . R em ar qu e 3 O n re tro uv e b ie n, p ou r la s ec tio n m éd ia ne , l es r és ul ta ts é ta b lis : – au § 3 p ou r l’e ffe t d u ch ar g em en t ; – au § 4 p ou r l’e ffe t d u re tr ai t. A b sc is se M om en t Ét at n on f is su ré To ta l x /l M (x) (m M N) 1/ r I (10 - 3 m - 1 ) σ c (M pa ) σ s1 (M pa ) ε c (10 - 3 ) ε s1 (10 - 3 ) 1/ r II (10 - 3 m - 1 ) ζ 1/ r (10 - 3 m - 1 ) 1/ r cs I (10 - 3 m - 1 ) 1/ r cs II (10 - 3 m - 1 ) 1/ r cs (10 - 3 m - 1 ) 1/ r to t (10 - 3 m - 1 ) 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 23 6 0, 76 7 0, 23 6 0, 23 6 0, 1 0, 02 3 0, 63 2 2, 31 74 0, 23 1 0, 37 0 1, 33 7 0, 00 0 0, 63 2 0, 23 6 0, 76 7 0, 23 6 0, 86 8 0, 2 0, 04 2 1, 12 4 4, 10 13 2 0, 41 1 0, 65 9 2, 37 7 0, 64 0 1, 92 6 0, 23 6 0, 76 7 0, 57 6 2, 50 2 0, 3 0, 05 5 1, 47 6 5, 39 17 3 0, 53 9 0, 86 4 3, 11 9 0, 79 1 2, 77 6 0, 23 6 0, 76 7 0, 65 6 3, 43 2 0, 4 0, 06 2 1, 68 6 6, 16 19 8 0, 61 6 0, 98 8 3, 56 5 0, 84 0 3, 26 5 0, 23 6 0, 76 7 0, 68 2 3, 94 7 0, 5 0, 06 5 1, 75 7 6, 41 20 6 0, 64 2 1, 02 9 3, 71 4 0, 85 3 3, 42 5 0, 23 6 0, 76 7 0, 68 9 4, 11 4 0, 6 0, 06 2 1, 68 6 6, 16 19 8 0, 61 6 0, 98 8 3, 56 5 0, 84 0 3, 26 5 0, 23 6 0, 76 7 0, 68 2 3, 94 7 0, 7 0, 05 5 1, 47 6 5, 39 17 3 0, 53 9 0, 86 4 3, 11 9 0, 79 1 2, 77 6 0, 23 6 0, 76 7 0, 65 6 3, 43 2 0, 8 0, 04 2 1, 12 4 4, 10 13 2 0, 41 1 0, 65 9 2, 37 7 0, 64 0 1, 92 6 0, 23 6 0, 76 7 0, 57 6 2, 50 2 0, 9 0, 02 3 0, 63 2 2, 31 74 0, 23 1 0, 37 0 1, 33 7 0, 00 0 0, 63 2 0, 23 6 0, 76 7 0, 23 6 0, 86 8 1 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 00 0 0, 23 6 0, 76 7 0, 23 6 0, 23 6 Ét at f is su ré R et ra it & F lu ag e Co u rb u re s ou s ch ar ge s
  • État limite de service de déformation 237 5. 4 Ta bl ea u de c al cu l d es fl èc he s Se ct io ns A bs ci ss e C ou rb ur e x/ l y" i = 1/ r to t (1 0- 3 m -1 ) (α ) in te rv al le s im pa ir s (1 0- 3 ) (β) in te rv al le s pa ir s (1 0- 3 ) y' i C um ul (1 0- 3 ) y" i- 1 -y " i (1 0- 3 m -1 ) y' i -1 + y' i (1 0- 3 ) (δ ) (1 0- 3 m ) y i C um ul (1 0- 3 m ) y( l) /l *x (1 0- 3 m ) y = f (1 0- 3 m = m m ) 1 0 0. 23 60 0. 00 00 0. 00 00 0. 00 00 0. 00 00 0. 23 91 -0 .6 32 4 0. 23 91 0. 04 73 2 0. 1 0. 86 84 0. 23 91 0. 04 73 3. 34 36 -3 .2 96 3 0. 81 70 -1 .6 33 8 1. 29 51 0. 29 48 3 0. 2 2. 50 22 1. 05 60 0. 34 21 6. 68 72 -6 .3 45 1 1. 53 10 -0 .9 30 1 3. 64 30 0. 90 88 4 0. 3 3. 43 23 2. 58 70 1. 25 09 10 .0 30 8 -8 .7 79 9 1. 89 93 -0 .5 14 5 7. 07 33 1. 79 25 5 0. 4 3. 94 68 4. 48 63 3. 04 34 13 .3 74 3 -1 0. 33 09 2. 06 97 -0 .1 67 2 11 .0 42 4 2. 81 22 6 0. 5 4. 11 40 6. 55 61 5. 85 56 16 .7 17 9 -1 0. 86 23 2. 06 97 0. 16 72 15 .1 81 8 3. 87 50 7 0. 6 3. 94 68 8. 62 58 9. 73 06 20 .0 61 5 -1 0. 33 09 1. 89 93 0. 51 45 19 .1 50 9 4. 89 46 8 0. 7 3. 43 23 10 .5 25 1 14 .6 25 2 23 .4 05 1 -8 .7 79 9 1. 53 10 0. 93 01 22 .5 81 2 5. 77 84 9 0. 8 2. 50 22 12 .0 56 1 20 .4 03 6 26 .7 48 7 -6 .3 45 1 0. 81 70 1. 63 38 24 .9 29 1 6. 39 23 10 0. 9 0. 86 84 12 .8 73 0 26 .7 95 9 30 .0 92 3 -3 .2 96 3 0. 23 91 0. 63 24 25 .9 85 1 6. 63 99 11 1 0. 23 60 13 .1 12 1 33 .4 35 9 33 .4 35 9 0. 00 00 (α ) (δ ) (β) Pr em iè re in té gr at io n S ec on de in té gr at io n C or re ct io n [ ] 1 1 1 " . 25, 0 " . 2 " . 25,1 3 ". + − − − + = ∫ i i i i i y y y a dx y [ ] 1 1 1 " . 25,1 " .2 " . 25,0 3 ". + − + + + − = ∫ i i i i i y y y a dx y [ ] [ ] i i i i i i y y a y y a dx y " " 12 ' ' 2 . 1 2 1 1 − + + = − − −∫
  • 238 Remarque 1 Les calculs conduisent bien à une déformée symétrique par rapport à la section médiane. Remarque 2 Pour la première intégration, la formule des trois niveaux donne dans la section d’extrémité (compte tenu de la symétrie) : Soit la valeur établie par double intégration. 5.5 Méthodes simplifiées 5.5.1 Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure Nous avons (voir § 2.3.1 des rappels théoriques) pour le découpage de la poutre en dix intervalles égaux : où avec : et I = ou selon le cas, N = 6 000 ; , Soit, compte tenu de la symétrie : et on retrouve quasiment la valeur de la flèche établie par double intégration de la courbure : à 4 ‰ près par défaut. y i’ , . . , . , . , .= + + + 5 10 10 1 3 2 1 0 2360 4 0 8684 2 2 5022 4 33 4323 2 3 9468 4 4 1140 13 1120, . , . , ,+[ ] +{ } = yi � 2 N ----- ki, j 1 r j --- j 1= n ∑–= i j = = indice de la section où l'on calcule la flèche, iindice de la section dont on connaît la courbure, n == ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ nombre (impair) de sections du découpage. 1 r M x E Ij ser j c eff = ( ) , Ich Icf y1 0= y11 0= y6 � 2 6 000 ------------- 2 5 1 r1 ---- 30 1 r2 ---- 60 1 r3 ---- 90 1 r4 ---- 120 1 r5 ----+ + + + 140 1 r6 ----+ ⎩ ⎭⎨ ⎬ ⎧ ⎫ –= y6 25 10 6 000 2 5 0 236 30 0 8684 60 2 5022 9= − + + +, . , . , . , 00 3 4323 120 3 9468 140 4 1140. , . , . ,+[ ] +{ } y6 10 819= − , mm y6 10 819= − ≈ −, mm 10,862 mm
  • État limite de service de déformation 239 5.5.2 Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant Nous avons (voir § 2.3.2 des rappels théoriques) à partir de la courbure de la section à mi-portée de la poutre : avec : k = coefficient fonction du diagramme des moments : chargement uniforme complet = courbure dans la section la plus sollicitée : pour . � = portée de la poutre : � = 5,10 m Soit : et on retrouve quasiment la valeur de la flèche établie par double intégration de la courbure : à 2,4 % près par excès. f k.�2 1 r0 ----= ⇒ =k 0 104, 1 0r 1 4 1140 10 0 3 1 r = − − , . m x � 2 ---= f = − = −−0 104 5 10 4 1140 10 0 0111292 3, . , . , . , m y6 11 129= − ≈ −, mm 10,862 mm
  • 240 Application n˚ 2 : flèche d’une dalle de plancher –Énoncé– On considère le panneau intermédiaire rectangulaire de dalle représenté ci- dessus. Le panneau de dalle supporte des cloisons susceptibles d’être endommagées. Matériaux : • béton : 25 MPa ; • aciers : S 500. On se propose de vérifier la flèche à l’ELS à partir des rapports portée/hauteur en utilisant : 1/ les valeurs tirées du tableau ; 2/ les formules. ly = 13,00 m l x = 5,00 m 5 ∅ 12 HA pm 5 ∅ 12 HA pm A A 20 cm COUPE AA fck =
  • État limite de service de déformation 241 –Corrigé– 1. Valeurs tirées du tableau Sens de flexion de la dalle : le panneau de dalle porte dans le sens �x. Pourcentage d’armatures : le panneau de dalle est faiblement sollicité. Rapport portée/hauteur sorti du tableau : Corrections : • panneau de dalle supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées avec : �eff = �x ≥ 7,00 m ⇒ �eff = �x = 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1 • contrainte des aciers tendus dans la section à mi-travée : α �x �y ----- >< 0,5= α = =
  • 242 a vec : Valeur du rapport portée/hauteur retenue : O.K. dispense de calcul de la flèche. Remar que pour l’Anne x e nationale française � ef f = � x ≥ 7,00 m ⇒ � ef f = � x ≥ 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1 avec : 310 500MPa MPa σs yk s prov s reqf A A = . , , f A yk s, req = ⎫⎬⎪⎭⎪ ⇒ = 500 1 MPa inconnu β � d --- β. � d --- tableau = � d --- 1.1.30 = 30= d � 30 - - - - - - ≥ ⇒ 500 30 - - - - - - - - - 16,7 cm = = ⇒ = >d 17 16 7cm cm, ⇒ ρ = ⎫⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ A b d s w. système structural � d --- tableau ρ As bw.d ------------ 0,5 %≤= dalle intermédiaire portant dans le sens �x ⎭⎪ ⎪⎬ ⎪⎪ ⎫ � d - - - tableau ⇒ 40 = β 7,00 m �eff ------------------= β σ = 310 MPa s 310 500 . , , MPa MPa σs yk s prov s reqf A A = fyk 500 MPa= As, req inconnu ⎭⎬ ⎫ β ⇒ 1 = � d --- β. � d --- tableau = � d --- 1.1.40 = 40= d � 40 - - - - - - ≥ ⇒ 500 40 - - - - - - - - - - 12,5 cm = =
  • État limite de service de déformation 243 V aleur plus favorable que celle r ecom - mandée par l’EC 2. O.K. dispense de calcul de la fl èche. 2. Utilisation des formules Sens de fl exion de la dalle : le panneau de dalle porte dans le sens � x Pourcentage d’armatures : Pourcentage d’armatures de référence : (en MPa) Coefficient tenant compte des différents systèmes structuraux tiré du tableau : Remar que pour l’Anne x e nationale française La valeur du coef fi cient K est celle r ecom - mandée. Rapport portée/hauteur obtenu par les formules : Formule à utiliser ⇒ = >d 17 12 5,cm cm ⇒ α �x �y ----- >< 0,5= α = = < ⇒0 ρ ρ= < =0 33 0 50, % , % ρ ρ0 � d - - - K 1 1 1 ,5 f ck ρ 0 ρ - - - - - 3,2 f ck ρ 0 ρ - - - - - 1 – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 3 2 ⁄ + + ≤ ⇒ < � d --- 1,5 11 1,5 25 0,5 0,33 ---------- 3,2 25 0,5 0,33 ---------- 1–⎝ ⎠⎛ ⎞ 3 2⁄ + +≤ 42=
  • 244 Corrections : • panneau de dalle supportant des cloisons susceptibles d’être endommagées avec : � ef f = � x ≥ 7,00 m ⇒ � ef f = � x = 5,00 m < 7,00 m ⇒ β = 1 • contrainte des aciers tendus dans la section à mi-tra vée : a v ec : V aleur du rapport portée/hauteur retenue : O.K. dispense de calcul de la fl èche. Remar que ce qui corr obor e le fait que les valeurs extraites du tableau soient plus « conservatives » que celles obtenues par les formules (et, par suite, que celles résultant d’un calcul de la flèche par double intégration de la courbure). β 7,00 m �eff ----------------= β σ = 310 MPa s 310 500MPa MPa σs yk s prov s reqf A A = . , , f A yk s, req = ⎫⎬⎪⎭⎪ ⇒ = 500 1 MPa inconnu β � d --- β. � d --- tableau = � d --- 1.1.42 = 42= d � 42 - - - - - - ≥ ⇒ 500 42 - - - - - - - - - 11,9 cm = = ⇒ = >d 17 11 9cm cm, ⇒ � d --- Tableau >< � d --- Formules � d --- Tableau = 30 ou 40 < 42 = � d --- Formules
  • 5 P oinçonnement I. RAPPELS THÉORIQUES Le poinçonnement est un phénomène qui est susceptible de se produire au voisinage des zones d’application des charges concentrées sur les faces supérieures ou inférieures des dalles (ou des appuis des poteaux sur les semelles de fondation 1 ). La transmission de la char ge concentrée à la dalle (ou à la semelle) s’effectue par l’intermédiaire de bielles de béton : • partant du contour de l’aire chargée ; • formant un angle θ a v ec le feuillet mo yen de l’élément. Si la char ge concentrée est trop importante et/ou si l’aire d’application de cette charge est trop petite, il risque de se produire un « arrachement » d’une portion de la dalle entourant la zone de chargement par rapport au reste de la dalle : Ce phénomène peut se rencontrer dans les cas suivants : 1. EC 2 – 6.4.1 (2)P • Char ge concentrée à la surf ace d’une dalle, Aire chargée Revêtement h 2 Bielle de béton h1 P u Feuillet moyen h Revêtement h1 θ θh 2 Feuillet moyen hd
  • 246 Il con vient alors de vérifier la résistance au poinçonnement de la dalle 2 : • à l’origine de la bielle de béton partant du contour de l’aire chargée ; • à l’extrémité de cette bielle, à son intersection avec le plan contenant les armatures tendues sur la face de la dalle opposée à l’aire chargée (soit en prenant θ = arctg1/2 : à la distance 2.d du contour de l’aire char gée) ; • éventuellement, au-delà de l’extrémité de la bielle, si la vérification précé- dente conduit à prévoir des armatures de poinçonnement, pour délimiter la zone où doivent être disposées ces armatures. Ce qui conduit à considérer trois contours de vérification : = contour confondu avec la limite de l’aire chargée, = contour excentré de 2.d par rapport au contour de l’aire chargée, ou = contour excentré par rapport au contour , délimitant la zone où sont disposées les armatures de poinçonnement éventuelles. • Appui d’une dalle sur un poteau avec ou sans chapiteau, • Appui d’un poteau sur une semelle de fondation. 2. EC 2 – 6.4.1 (4) h hHθ θ θ hd u0 u1 uout, ef uout u1 θ = Arctg 1 2 Aire chargée u0 u1 uout, ef uout θ θ hd ou
  • Poinçonnement 247 1. Contours de référence 1.1 Définitions On désigne par : • aire chargée ( ) : l’aire d’application, à la surface d’une dalle, d’une charge concentrée (appliquée ou réaction d’appui) ; • contour de contrôle de référence ( ) : le contour entourant une aire chargée à une distance donnée de celle-ci. Cette distance est prise égale à 2.d ; • aire de contrôle de référence ( ) : l’aire délimitée par le contour de contrôle de référence3 ; • section de contrôle de référence : la section qui suit le contour de contrôle de référence et s’étend sur la hauteur utile d ; • contour de contrôle : un contour de même forme et parallèle au contour de contrôle de référence4. 3. EC 2 – 6.4.1 (3) 4. EC 2 – 6.4.2 (7) Aload u1 Acont Aire chargée h θ θ d 2.d Aire de contrôle de référence A s1y A s1z A cont u1 Aload Aire de contrôle de référence: Autre contour de contrôle Aire chargée : 2.d Contour de contrôle de référence : Trace de la section de contrôle de référence θ = Arctg 1 2 ⇒ θ = 26,6°
  • 248 La hauteur utile de la dalle est considérée comme constante et prise égale à5 : (6.32) avec : et = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions perpen- diculaires. Pour des dalles ou semelles de fondation de hauteur variable, mais pas à redans, la hauteur utile peut être prise égale à l’épaisseur le long du contour de l’aire chargée6 : 1.2 Aire chargée éloignée d’un bord libre Il convient de minimiser la longueur du contour de contrôle de référence tout en respectant la distance 2.d à l’aire chargée7 : 5. EC 2 – 6.4.2 (1) 6. EC 2 – 6.4.2 (6) d d d eff y z = + 2 dy dz hd Section de contrôle de référence 2.d2.d d0 Aire chargée θ θ θ = Arctg 1 2 7. EC 2 – 6.4.2 (1) 2.d u1 u1 u12.d 2.d 2.d
  • Poinçonnement 249 1.3 Aire chargée près d’une ouverture8 1.4 Aire chargée proche de bords libres Remplacer les contours de contrôle de référence obtenus au § 1.2 par ceux indiqués ci-dessous si le périmètre qui en résulte (bords libres déduits) est plus faible9 : Pour une charge située à une distance inférieure à d d’un bord libre, il convient de prévoir des armatures de rive particulières10 : La partie du contour de contrôle comprise entre les deux tangentes à la trémie issues du centre de l’aire chargée est considérée comme non participante8. Pour �1 > �2, remplacer �2 par : . 8. EC 2 – 6.4.2 (3) 2.d u1 Aire chargée Trémie 2 ≤ 6.d l l1 ≤ 2( ) l �1.�2 9. EC 2 – 6.4.2 (4) 2.d u1 u1 u1 2.d 2.d2.d 2.d 2.d Bord libre Bord libre Bord libre Bord libre 10. EC 2 – 6.4.2 (5) + 9.3.1.4 ≤ d ≥ 2.h h
  • 250 1.5 Cas des poteaux avec chapiteaux (planchers-dalles) 1.5.1 Cas des poteaux circulaires On désigne par : �H = distance du nu du poteau au bord du chapiteau, = hauteur du chapiteau, c = diamètre du poteau. Suivant que la face latérale du chapiteau est située en deçà ou au-delà de la bielle de béton partant du contour de l’aire chargée, on distingue les deux cas ci- après. 1.5.1.1 Cas où �H < 2.hh La vérification des contraintes de poinçonnement n’est exigée que pour une section de contrôle située à l’extérieur du chapiteau à la distance 2.d du contour du sommet du chapiteau, soit à une distance de la ligne moyenne du poteau telle que11 : . (6.33) = section de contrôle de référence, = aire chargée. hH 11. EC 2 – 6.4.2 (8) rcont 2.d �H 0,5.c+ += B A c θ θ θθ d r cont r cont lH lH h H θ = Arctg 1 2 ⇒ θ = 26,6° A B
  • Poinçonnement 251 1.5.1.2 Cas où �h ≥ 2.hH La vérification des contraintes de poinçonnement est exigée pour les deux sections de contrôle situées12 : • à l’extérieur du chapiteau (ce qui correspond à la bielle de béton partant du sommet du chapiteau, comme pour le cas du § 1.5.1.1) ; • et à l’intérieur du chapiteau (ce qui correspond à la bielle de béton partant de la base du chapiteau) ; soit aux distances de la ligne moyenne du poteau suivantes13 : (contour à l’extérieur du chapiteau), (6.36) (contour à l’intérieur du chapiteau). (6.37) = sections de contrôle de référence, = aire chargée. Pour la vérification des contraintes de poinçonnement à l’intérieur du chapiteau la hauteur utile à prendre en compte est égale à 14. 1.5.2 Cas des poteaux rectangulaires On désigne par : = hauteur du chapiteau, et = dimensions du poteau, 12. EC 2 – 6.4.2 (9) 13. EC 2 – 6.4.2 (11) rcont, ext 2.d �H 0,5.c+ += r d h cHcont, int = +( ) +2 0 5, . d c d A AA B A d H l H lH h H h H d H r cont, ext r cont, int r cont, int r cont, ext = Arctg 1 2 = 26,6 ⇒ 14. EC 2 – 6.4.2 (10) A B dH hH c1 c2
  • 252 �H1 et �H2 = distances du nu du poteau au bord du chapiteau, parallèlement à et respectivement. Les dimensions du chapiteau au niveau de la sous-face de la dalle sont obtenues par : �1 = c1 + 2.�H1 = largeur parallèle à , �2 = c2 + 2.�H2 = largeur parallèle à , avec �1 ≤ �2. 1.5.2.1 Cas des chapiteaux rectangulaires avec �H < 2.hH La vérification des contraintes de poinçonnement n’est exigée que pour une section de contrôle située à l’extérieur du chapiteau (voir figure § 1.5.1.1) à la distance de la ligne moyenne du poteau15 : . (6.34 & 6.35) Remarque Pour les Règles EC 2, le domaine d’application de ce cas est : �H < 2.d. Le cas où 2.d ≤ �H ≤ 2.hH n’est, par conséquent, pas couvert lorsque . 1.5.2.2 Cas où �H > 2.hH La vérification des contraintes de poinçonnement est exigée pour les deux sections de contrôle situées à l’extérieur et à l’intérieur du chapiteau16 (voir figure § 1.5.1.2). c1 c2 c1 c2 lH1 lH1 c1 H2(l ) H2(l ) c 2( ) l 2( ) l 1 < l 2( ) 15. EC 2 – 6.4.2 (8) rcont Min 2.d 0,56 �1.�2+ 2.d 0,69.�1+⎩ ⎨⎧= d hH≤ 16. EC 2 – 6.4.2 (9)
  • Poinçonnement 253 2. Résistances au poinçonnement 2.1 Contraintes tangentes résistantes Les valeurs de calcul des résistances au poinçonnement le long des sections de contrôle sont17 : = valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle sans armatures de poinçonnement, = valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec armatures de poinçonnement, = valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle. 2.1.1 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement 2.1.1.1 Cas des dalles La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule18 : (MPa) (6.47) avec : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française19, en MPa, où d est en mm, , 17. EC 2 – 6.4.3 (1)P vRd c, vRd cs, vRd, max 18. EC 2 – 6.4.4 (1) 19. EC 2 – voir AN v C k f k v Rd c Rd c l ck cp , , min . . . . . = ( ) + + Max 100 13 1ρ σ kk cp1.σ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ CRd c c , , = 0 18 γ fck k d= + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min 1 200 2 ρ ρ ρ l ly lz = ⎧⎨⎪ ⎩⎪ Min . ,0 02
  • 254 où : = pourcentages d’armatures tendues dans les directions y et z respectivement. Il s’agit des valeurs moyennes calculées pour une largeur de dalle égale à la largeur du poteau augmentée de 3.d de part et d’autre de celui-ci, (6.3N) valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française20, valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française21, où : = contraintes normales supportées par le béton dans la section critique suivant les directions y et z respecti- vement (MPa, positives en compression), , = efforts normaux agissant sur les largeurs de dalle participante associées aux poteaux, = aires des sections de béton qui correspondent aux efforts normaux pris en compte. Remarque La formule de est identique à celle figurant au § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles. 2.1.1.2 Cas des semelles de poteaux La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule22 : (MPa) (6.49) et (6.50) avec : a = distance du nu du poteau au contour de contrôle considéré, 20. EC 2 – voir AN 21. EC 2 – voir AN ρ ρly lzet v k fckmin , . .= 0 035 3 2 k1 0 1= , σ σ σ cp cy cz = + 2 σ σcy czet σcy Ed y cy N A = , σcz Ed z cz N A = , N NEd y Ed z, ,et A Acy czet N NEd y Ed z, ,et vRd c, 22. EC 2 – 6.4.4 (2) v C k f d a v d a Rd Rd c ck = ( )⎧ ⎨Max , min . . . . . . . 100 2 2 13ρ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎪
  • Poinçonnement 255 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française23, (6.3N) valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française24, où d est en mm. 2.1.2 Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement La valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule25 : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française26 où : (6.6N) valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française avec en MPa27. 2.1.3 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec armatures de poinçonnement La valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec armatures de poinçonnement est donnée par la formule28 : (MPa) (6.52) 23. EC 2 – voir AN 24. EC 2 – voir AN CRd c c , , = 0 18 γ v k fckmin , . .= 0 035 3 2 k d= + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min 1 200 2 25. EC 2 – 6.4.5 (3) 26. EC 2 – voir AN 27. EC 2 – voir AN v fRd cd, max , . .= 0 5 ν ν = −⎛⎝ ⎞⎠0 6 1 250, fck fck 28. EC 2 – 6.4.5 (1) v v d s A f u dRd cs Rd c r sw ywd ef, , ,, . , . . sin= +0 75 1 5 1 1 αα
  • 256 avec : = aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre autour du poteau ou du contour chargé en mm2, = espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement en mm, d = hauteur utile moyenne en mm, = limite d’élasticité de calcul efficace des armatures de poinçonnement : en MPa, α = angle des armatures de poinçonnement avec le feuillet moyen de la dalle. 2.2 Vérification de la valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement 2.2.1 Contrainte maximale de poinçonnement 2.2.1.1 Cas d’une charge localisée centrée par rapport au contour de con- trôle à la surface d’une dalle La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le contour de contrôle considéré29 : (6.38) avec : = périmètre du contour de contrôle, = effort agissant (charge poinçonnante), d = hauteur utile moyenne de la dalle : (6.32) et = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions perpendiculaires. Asw sr fywd ef, f d fywd ef ywd, , . = +⎧⎨⎩Min 250 0 25 29. EC 2 – 6.4.3 (3) v V u dEd Ed i = . ui VEd d d dy z = + 2 dy dz
  • Poinçonnement 257 2.2.1.2 Cas d’une semelle de fondation La valeur nette de l’effort agissant vaut30 : (6.48) avec : = effort tranchant appliqué, = valeur nette de la force de réaction verticale à l’intérieur du contour de contrôle considéré (réaction du sol moins poids propre de la fondation). � Cas d’une charge centrée La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le contour de contrôle considéré31 : (6.49) avec : = périmètre du contour de contrôle, d = hauteur utile moyenne de la semelle : (6.32) et = hauteurs utiles des armatures dans les deux directions perpendiculaires. � Cas d’une charge excentrée La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le contour de contrôle considéré32 : (6.51) avec : k = coefficient déterminé par le tableau du § 2.2.1.3, cas général W = coefficient donné au § 2.2.1.3, cas général, 2.2.1.4 ou 2.2.1.5 ci- après suivant la position du poteau considéré (courant, de rive ou d’angle) calculé sur le périmètre du contour de contrôle u. 30. EC 2 – 6.4.1 (5) + 6.4.4 (2) + 6.4.3 (8) V V VEd red Ed Ed, = − Δ VEd ΔVEd 31. EC 2 – 6.4.3 (1) & 6.4.4 (2) v V u dEd Ed red i = , . ui d d dy z = + 2 dy dz 32. EC 2 – 6.4.4 (2) v V u d k M u V WEd Ed red Ed Ed red = + ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ , , . . . 1 W1
  • 258 2.2.1.3 Cas d’une charge localisée excentrée par rapport au contour de contrôle à la surface d’une dalle � Cas général La contrainte maximale de poinçonnement est la contrainte tangente sur le contour de contrôle considéré33 : (6.38) avec : d = hauteur utile moyenne de la dalle, = périmètre du contour de contrôle considéré, β donné par la formule : (6.39) où : = périmètre du contour de contrôle de référence, k = coefficient fonction des dimensions et du poteau prenant en compte la proportion du moment non équilibré transmis par cisaillement non uniforme et par flexion et torsion : correspond à une répartition des contraintes de cisaillement telle que représentée ci-dessous et dépend du périmètre du contour de contrôle de référence : 33. EC 2 – 6.4.3 (3) ≤ 0,5 1,0 2,0 ≥ 3,0 k 0,45 0,60 0,70 0,80 v V u dEd Ed i = β . ui β = +1 1 1 k M V u W Ed Ed . u1 c1 c2 c1 c2 ---- W1 e .d�0 u1∫= u1
  • Poinçonnement 259 d� = longueur élémentaire du contour, e = distance de d� à l’axe autour duquel le moment agit. � Cas d’un poteau rectangulaire La formule générale s’applique avec : (6.41) où : = dimension du poteau parallèle à l’excentricité de la charge, = dimension du poteau perpendiculaire à l’excentricité de la charge. � Cas d’un poteau circulaire intérieur La formule générale s’applique avec : (6.42) où : D = diamètre du poteau circulaire. � Cas d’un poteau rectangulaire intérieur avec charge excentrée dans les deux directions La formule générale s’applique avec : (6.43) e dl 2.d 2.d c 1 c 2 c 2 M Ed MEd W c c c c d d d c1 1 2 1 2 2 2 12 4 16 2= + + + +. . . . . . .π c1 c2 β π= + + 1 0 6 4 , . . e D d β = + ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟1 1 8 2 2 , e b e b y z z y
  • 260 où : et = excentricités de ,suivant les axes y et z respectivement, et = dimensions du contour de contrôle : 2.2.1.4 Cas des poteaux de rive soumis à des moments fléchissants On pose : = excentricité dans le sens perpendiculaire au bord libre, = excentricité dans le sens parallèle au bord libre, = effort normal à l’ELU. ey ez M V Ed Ed by bz z y 2.d e z ey b z by VEd u1 eper epar NEd 2.d 2.d epar eper Bord libre c1 c2 u1* NEd Min 1,5.d 0,5.c1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
  • Poinçonnement 261 � Poteau sollicité en flexion composée avec un moment fléchissant d’axe parallèle au bord libre de la dalle Dans le cas où34 : est dirigée vers l’intérieur, = 0, l’effort de poinçonnement peut être considéré comme uniformément réparti le long du contour de contrôle réduit défini sur la figure ci-dessus. La contrainte maximale de poinçonnement est obtenue par la formule : Dans le cas où est dirigée vers l’extérieur, les formules (6.38) et (6.39) du § 2.2.1.3 s’appliquent : avec, pour l’évaluation du coefficient , l’excentricité e mesurée depuis l’axe du contour de contrôle (et non pas depuis l’axe du moment). � Poteau sollicité en flexion déviée La formule (6.38) du § 2.2.1.3, cas général, donnant la contrainte maximale de poinçonnement s’applique avec35 : (6.44) où : = périmètre du contour de contrôle de référence (voir figures du § 1.4), = périmètre du contour de contrôle de référence réduit (voir figure ci- devant), k = coefficient déterminé par le tableau du § 2.2.1.3, cas général, en remplaçant par , = coefficient calculé sur le périmètre du contour de contrôle de référence . Dans le cas d’un poteau rectangulaire (voir figure ci-devant) : (6.45) 34. EC 2 – 6.4.3 (4) eper epar u1* v V u dEd Ed = 1 * . eper v V u dEd Ed = β 1. W1 35. EC 2 – 6.4.3 (4) β = +u u k u W epar 1 1 1 1* u1 u1* c c1 2 c c1 22. W1 u1 W c c c c d d d c1 2 2 1 2 1 2 24 4 8= + + + +. . . . . .π
  • 262 2.2.1.5 Cas des poteaux d’angle soumis à des moments fléchissants La formule (6.38) du § 2.2.1.3, cas général, donnant la contrainte maximale de poinçonnement s’applique avec36 : • si l’excentricité est dirigée vers l’intérieur de la dalle : (6.46) où : = périmètre du contour de contrôle de référence (voir figure de droite au § 1.4), = périmètre du contour de contrôle de référence réduit suivant lequel la répartition de l’effort de poinçonnement est uniforme (voir figure ci-devant), • si l’excentricité est dirigée vers l’extérieur de la dalle : (6.39) 2.2.1.6 Cas des structures contreventées Pour les structures37 : • dont la stabilité latérale ne dépend pas du fonctionnement en portique des dalles et des poteaux ; • et où les longueurs des travées adjacentes ne diffèrent pas de plus de 25 % : 2.d 2.dBord libre Bord libre u1* c1 c2 Min 1,5.d 0,5.c1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ Min 1,5.d 0,5.c2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 36. EC 2 – 6.4.3 (5) β = u u 1 1* u1 u1* β = +1 1 1 k M V u W Ed Ed . 37. EC 2 – 6.4.3 (6)
  • Poinçonnement 263 on peut prendre en compte les valeurs approchées suivantes du coefficient β, recommandées et à utiliser pour l’Annexe nationale française38 : 2.2.1.7 Cas des planchers-dalles Lorsqu’une charge concentrée est appliquée au voisinage d’un poteau, il n’y a pas lieu de tenir compte de la réduction d’effort tranchant pour transmission directe des charges aux appuis39. 2.2.2 Vérification Il convient de vérifier le long du contour de l’aire chargée ou du poteau la condition40 : (6.53) où : • pour une charge concentrée à la surface d’une dalle41 : 38. EC 2 – voir AN 0,8 �i �i 1+ ---------- 1,25≤ ≤ Bord libre Bord libre = 1,5 1, = 1,15= 4 β = 1 5 1 4 1 15 , : , : , : poteau d'angle, poteau de rive, pooteau intérieur. ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 39. EC 2 – 6.4.3 (7) 40. EC 2 – 6.4.3 (2) 41. EC 2 – 6.4.3 (2a) v V u d vEd Ed Rd= ≤β 0 . , max
  • 264 = contour de l’aire chargée, • pour une semelle de poteau42 : Si cette condition n’est pas satisfaite, il convient : • soit d’augmenter l’épaisseur de la dalle : ; • soit d’utiliser un béton de résistance supérieure ; • soit d’augmenter l’aire de chargement (interposition d’une plaque entre la charge et la dalle). 2.3 Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement 2.3.1 Contrainte maximale de poinçonnement Voir § 2.2.1 pour la contrainte maximale de poinçonnement et § 2.1.1 pour la valeur de calcul de la résistance au poinçonnement. 2.3.2 Vérification 2.3.2.1 Cas des dalles Aucune armature de poinçonnement n’est requise si, pour la section de contrôle de référence (à l’intérieur ou à l’extérieur des chapiteaux pour les planchers- champignons43) : Si cette condition n’est pas satisfaite, il y a lieu de prévoir des armatures de poinçonnement calculées comme indiqué au § 2.4. 42. EC 2 – 6.4.5 (3) u0 u c 0 2 = + périmètre du poteau : poteau intérieur, Min 33 2 3 2 1 1 2 . . . d c c d c c + ⎧⎨⎩ + ⎧⎨⎩ : poteau de rive, Min : ppoteau d'angle. ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ v V u d v f u d VEd Ed Rd cd Ed= ≤ = ⇒ ≥β ν β 0 00 5 0. , . . . . , , max 55. .ν fcd 43. EC 2 – 6.4.3 (2) + 6.4.2 (10) v vEd Rd c≤ ,
  • Poinçonnement 265 2.3.2.2 Cas des semelles de poteaux Aucune armature de poinçonnement n’est requise si, pour les contours de contrôle situés au plus à 2.d du nu du poteau44 : Si cette condition n’est pas satisfaite, il y a lieu de prévoir des armatures de poinçonnement calculées comme indiqué au § 2.4. 2.4 Dalles ou semelles de poteaux avec armatures de poinçonnement 2.4.1 Contrainte maximale de poinçonnement Voir § 2.2.1 pour la contrainte maximale de poinçonnement. 2.4.2 Calcul des armatures de poinçonnement La condition à vérifier pour une dalle avec armatures de poinçonnement s’écrit (voir § 2.1.3) : On en déduit la section des armatures de poinçonnement : avec : = aire d’un cours d’armatures de poinçonnement sur un périmètre autour du poteau en mm2, = espacement radial des cours d’armatures de poinçonnement en mm. 2.4.3 Contour de la zone avec armatures de poinçonnement Le contour de contrôle au-delà duquel aucune armature de poinçonnement n’est requise est défini par45 : (6.54) 44. EC 2 – 6.4.3 (2) + 6.4.4 (2) v vEd Rd≤ v v v d s A f u Ed Rd cs Rd c r sw ywd ef≤ = +, , ,, . , . . 0 75 1 5 1 1 dd sin α A s f v v u d d sw r ywd ef Ed Rd c . , . . , . . sin, ,≥ −( )0 75 1 5 1 αα Asw sr 45. EC 2 – 6.4.5 (4) v V u d vEd Ed Rd c= ≤ ⇒β out, ef . , u V v d Ed Rd c out, ef = β , .
  • 266 Il convient de placer la file périphérique extérieure des armatures de poinçon- nement à une distance inférieure ou égale à k.d à l’intérieur de ou de : Contour uout Contour uout, ef k = 1,5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française46. 2.4.4 Dispositions constructives Les armatures de poinçonnement sont disposées entre l’aire chargée (ou le poteau support) et le contour à la distance k.d à l’intérieur du contour à partir duquel les armatures d’effort tranchant ne sont plus exigées47 : k = 1,5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française48. uout, ef uout > 2.d ≤ 2.d k.d k.d d u out u out, of 46. EC 2 – voir AN 47. EC 2 – 9.4.5 (2) +9.4.3 (1) et (4) 48. EC 2 – voir AN Armatures de poinçonnement A B ≤ 0,75.d ≤ 0,75.d ≤ 0,75.d ≤ k.d 0,5.d > x > 0,3.d A B x
  • Poinçonnement 267 Espacement radial (2 cours au moins) : Espacement tangentiel le long d’un contour (voir figure § 2.4.3) : 2.4.5 Section minimale d’armatures de poinçonnement Elle est donnée par la formule49 : (9.11) avec : = aire du brin d’un étrier, α = angle entre les armatures de poinçonnement et les armatures principales (c’est-à-dire α = 90˚ pour des cadres verticaux), = espacement dans la direction radiale, = espacement dans la direction tangentielle, et en MPa. 2.4.6 Barres relevées utilisées comme armatures de poinçonnement Les barres relevées traversant l’aire chargée ou se trouvant à une distance de cette aire inférieure à 0,25.d peuvent jouer le rôle d’armatures de poinçon- nement50. Pour des barres relevées disposées comme indiqué sur la figure ci-dessous, une seule file périphérique de cadres et étriers est suffisante51. s dr ≤ 0 75, . s d t ≤ 1 5, . : contour à l'intérieur du contour de référrence, contour à l'extérieur du premier cont2. :d oour où les armatures de poinçonnement sont nécessaaires. ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 49. EC 2 – 9.4.3 (2) A s s f f sw r t ck yk , min . , .sin cos ,1 5 0 08α α+( ) ≥ Asw, min sr st fck fyk 50. EC 2 – 9.4.3 (3) 51. EC 2 – 9.4.3 (1)
  • 268 Lorsqu’une seule file de barres relevées est prévue : • leur angle de pliage52 peut être réduit à 30˚ ; • l’expression (6.52) du § 2.1.3 donnant s’applique en prenant53 . A A 0,25.d Barres relevées utilisées comme armatures de poinçonnement A < 0,5.d 2.d 52. EC 2 – 9.4.3 (4) 53. EC 2 – 9.4.5 (1) vRd cs, d sr = 0 67,
  • Poinçonnement 269 II. APPLICATIONS Application n˚ 1 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire chargée circulaire –Énoncé– On considère la dalle supportant une charge concentrée P = 52 kN, éloignée des bords de la dalle, figurée ci-dessous : Matériaux : • acier : S 500 ; • béton : 25 MPa. On se propose de vérifier la dalle au poinçonnement. –Corrigé– 1. Contour de référence La charge concentrée étant centrée et éloignée des bords de la dalle : h 20 cm P d z = 9 cm dy = 10 cm 20 cm A s1y : 5 ∅ 12 HA p.m. A s1z : 3 ∅ 8 HA p.m. - ÉLÉVATION - - VUE EN PLAN - fck = u1 2.d c = 20 cm
  • 270 Périmètre de l’aire chargée : 0,628 m Hauteur utile de la dalle : 9,5 cm Périmètre du contour de référence : 1,822 m 2. Contrainte tangente de référence Charge poinçonnante : 78 KN Contrainte maximale de poinçonnement : 0,451 MPa 3. Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement de la dalle sans armatures de poinçonnement avec : en MPa, = 25 MPa où d est en mm, u c0 = π. u0 0 20= =π. , d d dy z = + 2 d = + =10 9 2 u c d1 2 2= +( )π . . u1 0 20 4 0 095= +( ) =π , . , V QEd = 1 5, . VEd = =1 5 52, . v V u dEd Ed = 1. vEd = = −78 10 1 822 0 095 3 . , . , v Max C k f k v Rd c Rd c l ck cp , , mi . . . . . = ( ) +100 13 1ρ σ nn .+ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ k cp1 σ fck fck k d= + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min 1 200 2 k = = + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 1 200 95 2 45 2 Min , ρly As1y 1,00 m.dy -----------------------= ρly = = 5 1 13 100 10 0 00565. , . , ρlz As1z 1,00 m.dz -----------------------= ρlz = = 3 0 5 100 9 0 0017. , . ,
  • Poinçonnement 271 (dalle fléchie uniquement) MPa 4. Nécessité d’armatures de poinçonnement 4.1 Au voisinage de l’aire chargée Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de l’aire chargée : 1,307 MPa (β = 1 pour une charge localisée centrée par rapport au contour de contrôle). Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec ou sans armatures de poinçonnement : vRd, max = 0,5.ν.fcd = 16,7 MPa 4,51 MPa ρ ρ ρ l ly lzMin= ⎧⎨⎪⎩⎪ . ,0 02 ρl = = =⎧⎨⎩ 0 0031 0 00565 0 0017 0 0031 0 02 , , . , , , Min σ σ σ cp cy cz = + 2 σcp = 0 CRd c c , , = 0 18 γ CRd c, , , ,= = 0 18 1 5 0 12 k1 0 1= , v k fckmin , . .= 0 035 3 2 vmin , . . ,= =0 035 2 25 0 495 3 2 vRd c, , . . . , . , . , = ( ) + =Max 0 12 2 100 0 0031 25 0 1 0 0 4 13 775 0 495 0 1 0 0 495, , . ,+ = ⎧⎨⎪⎩⎪ v MPaRd c, ,= 0 495 v V u dEd Ed = β 0 . vEd = = − 1 78 10 0 628 0 095 3 . , . , ν = −⎛⎝ ⎞⎠0 6 1 250, fck ν = −⎛⎝ ⎞⎠ =0 6 1 25 250 0 54, , f fcd cc ck c = α γ fcd = 1 25 1 5, vRd, max , . , . ,= =0 5 0 54 16 7
  • 272 Vérification : 4.2 Sur le contour de référence Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de référence : 0,451 MPa (voir § 2) Vérification : armatures de poinçonnement non nécessaires. Application n˚ 2 : étude au poinçonnement d’une dalle – Aire chargée rectangulaire –Énoncé– On considère la dalle supportant une charge concentrée P = 75 KN, éloignée des bords de la dalle, figurée ci-dessous : Matériaux : • acier : S 500 ; • béton : 25 MPa. On se propose de vérifier la dalle au poinçonnement. v vEd Rd>< , max v vEd Rd= < =1 307 4 51, , , maxMPa MPa O.K. v V u dEd Ed = 1. vEd = = −78 10 1 822 0 095 3 . , . , v vEd Rd c>< , v vEd Rd c= < =0 451 0 495, , ,MPa MPa ⇒ h 12 cm x 12 cm p d z = 9 cm dy = 10 cm 12 cm 12 cm A s1y : 5 ∅ 12 HA p.m. A s1z : 5 ∅ 8 HA p.m. - ÉLÉVATION - - VUE EN PLAN - fck =
  • Poinçonnement 273 –Corrigé– 1. Contour de référence La charge concentrée étant centrée et éloignée des bords de la dalle : Périmètre de l’aire chargée : 0,48 m Hauteur utile de la dalle : 9,5 cm Périmètre du contour de référence : 1,674 m 2. Contrainte tangente de référence Charge poinçonnante : 112,5 KN Contrainte maximale de poinçonnement : 0,707 MPa 3. Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement de la dalle sans armatures de poinçonnement u1 c1 = 0,12 m 0,12 m 2.d u c0 14= . u0 4 0 12= =. , d d dy z = + 2 d = + =10 9 2 u c d 1 14 4 2 2 4 = + ( ) . . . .π u1 4 0 12 4 2 2 0 095 4 = + ( ) =. , . . . ,π V QEd = 1 5, . VEd = =1 5 75, . v V u dEd Ed = 1. vEd = = −112 5 10 1 674 0 095 3 , . , . , v Max C k f k v Rd c Rd c l ck cp , , mi . . . . . = ( ) +100 13 1ρ σ nn .+ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ k cp1 σ
  • 274 avec : en MPa, = 25 MPa où d est en mm, (dalle fléchie uniquement) 4. Nécessité d’armatures de poinçonnement 4.1 Au voisinage de l’aire chargée Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de l’aire chargée : 2,47 MPa (β = 1 pour une charge localisée centrée par rapport au contour de contrôle). Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle avec ou sans armatures de poinçonnement : fck fck k d= + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min 1 200 2 k = = + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 2 1 200 95 2 45 2 Min , ρly As1y 1,00 m.dy -----------------------= ρly = = 5 1 13 100 10 0 00565. , . , ρlz As1z 1,00 m.dz -----------------------= ρlz = = 5 0 5 100 9 0 00278. , . , ρ ρ ρ l ly lz = ⎧⎨⎪⎩⎪ Min . ,0 02 ρl = = =⎧⎨⎩ 0 0040 0 00565 0 00278 0 0040 0 02 , , . , , , Min σ σ σ cp cy cz = + 2 σcp = 0 CRd c c , , = 0 18 γ CRd c, , , ,= = 0 18 1 5 0 12 k1 0 1= , v k fckmin , . .= 0 035 3 2 vmin , . . ,= =0 035 2 25 0 495 3 2 vRd c, , . . . , . , . , = ( ) + =Max 0 12 2 100 0 0040 25 0 1 0 0 5 13 117 0 495 0 1 0 0 495, , . ,+ = ⎧⎨⎪⎩⎪ v MPaRd c, ,= 0 517 v V u dEd Ed = β 0 . vEd = = − 1112 5 10 0 48 0 095 3 , . , . , v fRd cd, max , . .= 0 5 ν
  • Poinçonnement 275 = 16,7 MPa 4,51 MPa Vérification : 4.2 Sur le contour de référence Contrainte maximale de poinçonnement sur le contour de référence : 0,707 MPa (voir § 2) Vérification : armatures de poinçonnement nécessaires. 5. Armatures de poinçonnement 5.1 Armatures calculées Armatures résistantes : (MPa, mm) α = angle des armatures de poinçonnement avec le feuillet moyen de la dalle : α = 90˚ (armatures droites) ν = −⎛⎝ ⎞⎠0 6 1 250, fck ν = −⎛⎝ ⎞⎠ =0 6 1 25 250 0 54, , f fcd cc ck c = α γ fcd = 1 25 1 5, vRd, max , . , . ,= =0 5 0 54 16 7 v vEd Rd>< , max v vEd Rd= < =2 47 4 51, , , maxMPa MPa O.K. v V u dEd Ed = 1. vEd = = −112 5 10 1 674 0 095 3 , . , . , v vEd Rd c>< , v vEd Rd c= > =0 707 0 517, , ,MPa MPa ⇒ A s f v v u d d sw r ywd ef Ed Rd c . , . . , . . sin, ,≥ −( )0 75 1 5 1 αα f d fywd ef ywd, , . = +⎧⎨⎩Min 250 0 25 fywd ef, , . , = = + = 274 250 0 25 95 274 500 1 15 MPa Min MPa == ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 435 MPa A s sw r ≥ −( )0 707 0 75 0 517 1 674 0 095 1 5 0 09 , , . , , . , , . , 55 1 274 102 . . A s sw r ≥ 1 7 69, cm /cm de contour2
  • 276 Contour de la zone contenant les armatures de poinçonnement : 2,291 m 0,288 m 5.2 Dispositions constructives 5.2.1 Espacement radial des armatures de poinçonnement En disposant les nappes d’armatures de poinçonnement parallèlement aux côtés de l’aire chargée : u V v d Ed Rd c out, ef = β , . uout, ef = = − 1 112 5 10 0 517 0 095 3 , . , . , u c d out, ef = + ( )4 4 2 2 41 . . . . 'π u c d d u c out, ef out, ef = + ( ) ⇒ = −4 2 2 2 4 21 1 . . . . ' . ' . . π ππ 2 2 291 4 0 12 2 . ' , . , . d = − = π Armatures de poinçonnement A x sr sr sr st ≤ k.d 2.d 20 cm 12 cm 4 cm 2.d = 19 cm 2.d' = 28,8 cm ou 5 ∅ 12 HA p.m. 5 ∅ 8 HA p.m. 2.d' B 100 20 cm 5 =
  • Poinçonnement 277 O.K. O.K. Pour deux cours d’armatures de poinçonnement : prenons 4 cours (ce qui imposera de prévoir des barres de montage, parallèles au feuillet moyen de la dalle et de faible diamètre) : cm O.K. vérification de la section d’armatures de poinçonnement calculée pour des épingles φ 6 HA, le long du contour : 8.0,28 = 2,24 cm2 2,24.7,69 = 17,23 cm > 5 cm O.K. 5.2.2 Espacement tangentiel des armatures de poinçonnement st = 12 cm < 14,25 cm = 1,5.9,5 O.K. x d>< 0 3, . x = > =4 2 85 0 3 9 5cm cm, , . , 2 2. ' . .d d k d− >< 28 8 19 9 8 14 25 1 5 9 5, , , , . ,− = < =cm cm s d x dr = − > =19 4 15 7 125 0 75 9 5cm cm, , . , ⇒ sr = = < 15 3 5 7 125cm , ⇒ uout, ef Asw = sr = k.d = 14,25 cm > 9,8 cm 28,8 1914 9 4 st = 12 cm d = 9,5 cm = 26,87 cm > 19 cm = 2.9,5 = 2.d19 2 st 1,5.d : contour à l’intérieur du contour de référence, 2.d : contour à l’extérieur du premier contour où les armatures de poinçonnement sont nécessaires⎩⎪ ⎨⎪ ⎧ ≤
  • 278 5.2.3 Section minimale 6. Schéma de ferraillage A s s f f sw r t ck yk , min . , .sin cos ,1 5 0 08α α+( ) ≥ A f s s fsw ck r t yk , min , . . , . sin cos ≥ ( ) +( ) 0 08 1 5 α α Asw, min 0,08 25.5.12 1,5 + 0( ).500---------------------------------≥ 0,032 cm 2 = A Asw sw= > =0 28 0 032 2 2 , , , mincm cm O.K. - COUPE AA - - VUE EN PLAN - 4 3 1 2 4 5 A 3 54 3 2 3 5 3 1 3 A
  • Poinçonnement 279 Repère Armature Nombre Observations � φ 12 HA 5 pm Armatures inférieures dalle � φ 8 5 pm Armatures inférieures dalle � Cadres φ 6 HA 4 × 4 Armatures de poinçonnement � φ 6 HA 2 × 2 Aciers de montage supérieurs � φ 6 HA 2 × 2 Aciers de montage inférieurs
  • 6 Corbeaux I. RAPPELS THÉORIQUES L’eurocode 2 traite des corbeaux dans une annexe informative. 1. Définition On désigne par1 : = effort vertical ultime, = effort horizontal ultime, = distance horizontale de la ligne d’action de à la face la plus proche du poteau, = hauteur de la console au niveau de son encastrement dans le poteau, d = hauteur utile des armatures les plus proches de la face supérieure de la console, = distance de la face supérieure du dispositif d’appui à la ligne moyenne des armatures les plus proches de la face supérieure de la console. Les consoles courtes peuvent être étudiées au moyen d’un modèle de « bielle – tirant » défini comme suit2 : • tirant = armatures les plus proches de la face supérieure de la console ; • bielle = élément de béton comprimé incliné d’un angle θ sur l’horizontale, partant de l’intersection de l’axe de l’effort vertical avec l’axe horizontal des aciers supérieurs tendus et coupant le plan de la face verticale du poteau ; = distance du pied de la bielle à l’axe horizontal des aciers supérieurs tendus. Un corbeau ou console courte est une console telle que : [17.1] et [17.2] 1. EC 2 – annexe J 3 (1) 2. EC 2 – 6.5 FEd HEd ac FEd hc aH FEd z0 a zc < 0 1 2 5≤ ≤tgθ ,
  • 282 La hauteur du corbeau peut être constante ou variable le long de sa portée. L’équilibre des moments au droit de la face du poteau s’écrit : [17.3] [17.4] Nous en déduisons : [17.5] [17.6] ac a H FEd HEd d z0 hc bw θAs, main ac aH FEd HEd d A B BielleTirant bw Fs Fc z0 θ MB t FEd.ac HEd aH z0+( )+ Fs.z0= = MA t FEd.ac HEd.aH+ Fc.ac.sin θ= = 17 3.[ ] ⇒ F F a z H a z s Ed c Ed H = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 01 17 4.[ ] ⇒ F F H a a c Ed Ed H c = + sinθ
  • Corbeaux 283 Les consoles pour lesquelles sont considérées comme des poutres en console (portes-à-faux). Lorsque la charge est directement appliquée au niveau de l’extrados de la console, on a un « appui direct » ; dans le cas contraire, on a un « appui indirect ». C’est le cas par exemple, d’une console courte supportant une poutre, lorsque le volume de la console est noyé dans la poutre : « Appui direct » « Appui indirect » 2. Vérification de la compression des bielles de béton Limitation de la contrainte de compression des bielles de béton (en l’absence de traction transversale3) : [17.7] (6.55) avec : , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française4 dans le cas des bâtiments, , valeur recommandée dans le cas des ponts. L’Annexe nationale française préconise αcc = 1 (voir § 2.4.2.2, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). Dans la section droite a.bw de la bielle, nous avons : a zc ≥ 0 3. EC 2 – 6.5.2 (1) 4. EC 2 – voir AN f f fc Rd cd cc ck c ≤ = =σ α γ, max αcc = 1 αcc = 0 85,
  • 284 D’où la vérification de la compression de la bielle de béton : choix de l’angle θ d’inclinaison de la bielle [17.8] [17.9] (profondeur de l’appui) [17.10] sinon, la structure envisagée est à considérer comme une poutre-console. D’où la condition à satisfaire pour avoir une console courte, en respectant la compression de la bielle de béton : f cd−z 0 a ν θ a h t d b p b w a F c π 2 − θ z 0 A s, main θ a c F Ed H Ed a H cosθ = − a d z 2 0 F F H a a c Ed Ed H c = + sinθ f F a bc c w Rd= ≤ . , maxσ 1 2 5≤ ≤ ⇒tgθ , ⇒ F F H a a c Ed Ed H c = + sinθ ⇒ a F b c w Rd ≥ . , maxσ ⇒ a a th = ≤. sin θ ⇒ z d a ac0 2 = − > cosθ z ac0 >
  • Corbeaux 285 Remarque Contraintes sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton comprimée : – sur la facette « verticale » : avec et en désignant par bp l’épaisseur du poteau ; – sur la facette « horizontale » : avec . 3. Armatures 3.1 Armatures supérieures tendues Elles peuvent être constituées5 : • de cadres horizontaux ; • de barres avec crochet d’extrémité, ancrées : d a ac− > 2 cosθ d F b ac w Rd c− >2. . . cos , maxσ θ d F H a a b d F HEd Ed H c w Rd Ed − + = − + 2. . . cos . , maxσ θ θsin EEd H c w Rd c a a b a . . , maxσ θsin2 > d a F H a a bc Ed Ed H c w Rd − > + . . , maxσ θsin2 sin2θ σ θ> + −( ) ⇒ F H a a b d a Ed Ed H c w c Rd. , max f F b ac c p v = .cos . θ a av = .cosθ f F b ac c p h = .sin . θ a ah = .sinθ 5. EC 2 – annexe J 3 (4)
  • 286 – dans l’élément porteur, sur la paroi opposée et à partir des armatures du poteau les plus proches de cette paroi ; – au voisinage du nez de la console, au-delà du bord intérieur de la zone chargée. Les armatures supérieures tendues équilibrent les efforts de traction dans le tirant avec une contrainte : D’où leur section : [17.11] 3.2 Armatures horizontales de répartition Si , elles sont constituées de cadres fermés horizontaux ou inclinés, de section donnée par6 : [17.12] avec : , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française7. Ancrage Ancrage FEd HEd ac As, main f f f s yd yk s ≤ = γ F F a z H a z A F f s Ed c H s s yd Ed = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 0 0 1 , main 6. EC 2 – annexe J 3 (2) 7. EC 2 – voir AN a hc c< 0 5, . A k As s, ,.ink main∑ = 1 k1 0 25= ,
  • Corbeaux 287 Dans le cas contraire, les armatures horizontales de répartition ne sont pas imposées. 3.3 Armatures verticales Elles sont constituées de cadres et étriers verticaux non calculés pour8 : • équilibrer les efforts de torsion (décentrement accidentel des charges, ou décentrement de construction) ; • équilibrer les efforts de fendage lorsque les aciers horizontaux sont de diamètre relativement gros et ancrés par courbure en nez de console ; • maintenir les aciers horizontaux. Dans le cas « d’appuis indirects », ces armatures servent d’armatures de suspension et doivent donc être calculées en conséquence. 3.3.1 Cas où ac ≤ 0,5.hc Aucune armature verticale n’est requise. 3.3.2 Cas où ac > 0,5.hc Effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant (voir § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles)9 : ∑ A s, ink A s, main 8. EC 2 – annexe J 3 (3) 9. EC 2 – 6.2.2 (1)
  • 288 Si , on dispose une section d’armatures verticales constituée de cadres fermés verticaux de section totale : [17.14] avec : , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française10. Si , les armatures verticales ne sont pas requises. 4. Dispositions constructives L’armature supérieure doit être amenée suffisamment près du nez de console pour éviter la rupture de l’angle supérieur de la console. [17.13] (MN, MPa, m) (6.2.a) (6.2.b) 10. EC 2 – voir AN V Max C k f k b Rd c Rd c l ck cp w , , . . . . . = +⎡⎣ ⎤⎦1003 1ρ σ .. . . , min , d V v k b d V Rd c cp w Rd c = +⎡⎣ ⎤⎦ = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 1 1 2σ F VEd Rd c> , A k F fs Ed yd , ink∑ = 2 k2 0 5= , F VEd Rd c≤ , ∑ A s, ink A s, main
  • Corbeaux 289 De même, pour éviter les risques de désordre au voisinage du nez de la console par écrasement du béton ou par fissuration, il faut prévoir un décalage entre le dispositif d’appui et l’extrémité de la console. As, main As, main bw bw FEd FEd hc hc NON OUI ou bw hc Décalage d’appui HEdA s, main
  • 290 Disposition des armatures : Remarque Dans le cas où , contrairement aux indications du § 3.2 et par sécurité, on disposera des armatures horizontales de répartition. II. APPLICATION Application : console courte –Énoncé– On considère les consoles d’appui de la poutre, figurée ci-dessous : = si A s, main As, main ∑ A s, ink = k1.As, main ∑ As, ink = k1.As, main k2.As, main ∑ A s, ink FEd > VRD, c a hc c≤ 0 5, . a hc c> 0 5, . a hc c> 0 5, . Actions sur la poutre : • charges permanentes (poids propre compris) : g = 10 kN/m ; • charges d’exploitation : – composante verticale (assimila- ble à une charge uniforme) : q = 15 kN/m ; – résultante des composantes horizontales : H = + 24 kN. Matériaux : • béton : 25 MPa ; • aciers : S 500 HA. 25 10 cm 50 cm 10 m 25 15 35 cm cm cm H 2 cm cm 40 cm fck =
  • Corbeaux 291 On se propose : 1/ de vérifier le béton ; 2/ de calculer les armatures. –Corrigé– 1. Sollicitations en tête de console Réaction verticale : L = longueur totale de la poutre L = 10,00 + 2.0,25 = 10,50 m 189 kN Réaction horizontale : 36 kN = 0,036 MN 2. Vérification de la compression des bielles de béton 2.1 Type de console d = 0,9.0,35 = 0,315 m 16,7 MPa prenons θ = 45˚ = 271,36 kN F g q LEd = +( )1 35 1 5 2, . , . FEd = +( ) =1 35 10 1 5 15 10 50 2 , . , . , H HEd = 1 5, . HEd = =1 5 24, . d hc= 0 9, . σ α γRd cd cc ck c f f , max = = σRd, max , = =1 25 1 5 sin2θ σ θ> + −( ) ⇒ F H a a b d a Ed Ed H c w c Rd. , max sin2θ > + −( ) 189 36 0 02 0 25 0 40 0 315 0 25 16 7 10 , , , , , . , −− =
  • 292 = 0,0406 m O.K. La vérification du béton de la bielle est assurée et on a une console courte. 2.2 Remarque : contraintes sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton comprimé • sur la facette « verticale » : av = 0,0406.cos 45° = 0,0287 m épaisseur du poteau 0,40 m (en l’absence d’indication de l’énoncé) 16,71 MPa O.K. • sur la facette « horizontale » : ah = 0,0406. sin 45° = 0,0287 m 16,71 MPa O.K. Conclusion Pour pouvoir satisfaire la vérification du béton sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton comprimé, il faut augmenter l’épaisseur du poteau (et éventuellement celle de la console). En partant de la plus grande contrainte (ici, θ = 45˚ et les contraintes sur les côtés de l’angle droit du prisme à base triangulaire sont égales) : = 0,4003 m a F b c w Rd ≥ . , maxσ a ≥ − 271 36 0 40 16 7 10 3, , . , a a th = >< cosθ z0 0,315 0,0406 2 ---------------- cos 45° ----------------- 0,286 m 0,25 m>=– ac= = ⇒ a av = . cosθ bp = bp = f F b ac c p v = . cos . θ fc 271,36.10 3– .cos 45° 0,40.0,0287 ------------------------------------------------= = fc Rd>< σ , max fc Rd= ≈ =16 71 16 7, , , maxMPa MPa σ a ah = . sin θ f F b ac c p h = . sin . θ fc 271,36.10 3– .sin 45° 0,40.0,0287 -----------------------------------------------= = fc Rd>< σ , max fc Rd= ≈ =16 71 16 7, , , maxMPa MPa σ fc f F b a b F a c c p h Rd p c h Rd = ≤ ⇒ ≥ . sin . .sin . , max , ma θ σ θ σ xx bp 271,36.10 3– .sin 45° 0,0287.16,7 -----------------------------------------------≥
  • Corbeaux 293 45 cm 3. Armatures 3.1 Armatures supérieures tendues Section : 435 MPa 203,73 kN 2 boucles φ 14 HA : 2.2.1,54 = 6,16 cm2 Ancrages aux deux extrémités : pour mémoire. 3.2 Armatures horizontales de répartition Cadres fermés horizontaux : pas d’armatures horizontales de répar- tition requises. Néanmoins, nous garderons par sécurité, la section minimale requise : , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française : 2.2 boucles φ 6 HA : ⇒ =bp f f f s yd yk s ≤ = γ fs = = 500 1 15, F F a z H a z s Ed c Ed H = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 01 Fs = + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =189 0 25 0 286 36 1 0 02 0 286 , , , , A F fs s yd , main = As, , . ,main cm= = −203 73 10 435 10 4 68 3 4 2 ⇒ As, main = 1 U ∅ 14 HA 1 U ∅ 14 HA a hc c>< 0 5, . a hc c= > = =0 25 0 175 0 5 0 35 0 5, , , . , , .m m ⇒ k1 0 25= , k1 0 25= , A k As s, ,.ink main∑ = 1 As, , . , ,ink cm∑ = =0 25 6 16 1 54 2 ⇒ As, . . , ,ink cm= =2 2 0 28 1 12 2
  • 294 2.1,12 = 2,24 cm2 3.3 Armatures verticales nécessité de comparer à . Effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant : = aire de l’armature longitudinale tendue dans la section distante de de celle étudiée : (2 boucles supérieures). = effort normal = 0 (flexion) avec : As, ink∑ = 1 U ∅ 6 HA 1 U ∅ 6 HA 1 U ∅ 6 HA 1 U ∅ 6 HA a hc c>< 0 5, . a hc c= > = =0 25 0 175 0 5 0 35 0 5, , , . , , .m m ⇒ FEd VRd c, Asl d lbd+ Asl = =2 2 1 54 6 16 2. . , , cm ρl sl w A b d = /> . %2 ρl = = < 6 16 40 31 5 0 0049 2, . , , % NEd NEd σcp Ed c N A = σcp = 0 V C k f k b d Rd c Rd c l ck cp w , , . . . . . . = +⎡⎣ ⎤⎦ Max 1003 1ρ σ == +⎡⎣ ⎤⎦ = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ V v k b d V Rd c cp w Rd c , min ,. . 1 1 2σ CRd c c , , = 0 18 γ CRd c, , , ,= = 0 18 1 5 0 12
  • Corbeaux 295 Nécessité d’armatures verticales : nécessité d’armatures verticales. Armatures verticales : , valeur recommandée et à utiliser par l’Annexe nationale française : 2.2 cadres φ 6 HA : 2.2.2.0,28 = 2,24 cm2 k d= + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Min mm1 200 2 k = = + = ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 1 8 1 200 315 1 8 2 , , Min k1 0 15= , k1 0 15= , v k fckmin , . .= 0 035 3 2 vmin , . , . ,= =0 035 1 8 25 0 423 3 2 VRd c, , . , , , . ,1 30 12 1 8 100 4 9 1 000 25 0 15 0 0= + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 440 0 315 0 063. , ,= MN VRd c, , , . , . , ,2 0 423 0 15 0 0 40 0 315 0 053= +( ) = MN V V VRd c Rd c Rd , , , , , , = = = = 0 063 0 063 0 053 1 MN Max MN MN cc2 ⎧⎨⎪⎩⎪ F VEd Rd c>< , F VEd Rd c= > =0 189 0 063, , ,MN MN ⇒ k2 0 5= , k2 0 5= , A k F fs Ed yd , ink∑ = 2 As, , . ,ink cm∑ = = − 0 50 189 10 435 10 2 17 3 4 2 ⇒ As, ink∑ = 1 cadre 1 cadre ∅ 6 HA ∅ 6 HA
  • 296 4. Schéma de ferraillage 40 cm horizontaux horizontaux 35 cm 40 horizontaux cm 2 U ∅14 HA 2 U ∅ 6 HA 2 U∅ 6 HA 2.2 cadres∅6 HA
  • 7 État limite ultime de fatigue I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Introduction Il convient d’effectuer une vérification à la fatigue pour les structures et les éléments de structure soumis à des cycles de chargement réguliers comme par exemple1 : • les chemins de roulement des grues ; • les ponts soumis à des charges de trafic élevées. L’Annexe nationale française exclut de la vérification à la fatigue les ouvrages suivants2 : • bâtiments ; • fondations et murs de soutènement ; • structures enterrées avec une couverture minimale de 1,00 m de terre ; • piles et poteaux non rigidement reliés aux superstructures ; • culées de voûtes et ponts à l’exception des culées creuses. Pour les ponts, la liste précédente est complétée par3 : • les passerelles, à l’exception des éléments de structure très sensibles au vent ; • les structures enterrées avec couverture de terre minimale de 1,50 m pour les ouvrages ferroviaires ; • les piles et poteaux non rigidement liés au tablier. La vérification à la fatigue est effectuée séparément pour le béton et pour l’acier4. 2. Combinaisons d’actions Les actions cycliques potentiellement génératrices de fatigue dans les structures sont définies par : 1. EC 2 – 6.8.1 (2) 2. EC 2 – voir AN 3. EC 2 – 6.8.1 (102) 4. EC 2 – 6.8.1 (1)P
  • 298 • une intensité maximale ; • une intensité minimale ; • un nombre de cycles (occurrences) pendant lequels elles agissent, sur une période donnée (un an en général pour les charges routières par exemple). Pour le calcul des étendues de contrainte, on doit faire la distinction entre5 : • les actions non cycliques ; • et les actions cycliques génératrices de fatigue. 2.1 Combinaison de base Cette combinaison d’action ne prend en compte que les actions non cycliques. Symboliquement, elle se formule de la façon suivante (c’est une combinaison fréquente à l’ELS telle que définie au § 1.3.4, chapitre 3 : « Béton armé – Généralités », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : (6.67) avec : actions non cycliques et non permanentes. Bien que la combinaison d’actions précédente corresponde aux ELS, la fatigue est considérée comme un ELU. 2.2 Combinaison de base plus action cyclique Cette combinaison d’actions prend en compte toutes les actions (cycliques et non cycliques). Symboliquement, elle se formule de la façon suivante : (6.69) avec : = charge de fatigue considérée (charge de trafic telle que définie dans l’EN 1991 par exemple, ou tout autre charge cyclique6). 5. EC 2 – 6.8.3 G Q Qk j j k i k i i , , , , , . . ≥ > ∑ ∑+ + 1 1 1 1 2 1 ψ ψ Q Qk k i, ,1 et 6. EN 1991 G Q Q Qk j j k i k i i fat, , , , ,. . ≥ > ∑ ∑+ + + 1 1 1 1 2 1 ψ ψ Qfat
  • État limite ultime de fatique 299 3. Calcul des contraintes Le calcul des contraintes doit être conduit dans l’hypothèse des sections fissurées7 (voir § 8.3, chapitre 7 : « Flexion simple », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles, et § 2.4.3, 3.4 et 4.2.2, chapitre 11 : « Flexion composée », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles). On appelle étendue de contrainte, la différence de contrainte, dans l’acier ou le béton, entre les contraintes calculées sous les deux combinaisons d’actions définies au § 2. 4. Vérification pour les armatures 4.1 Vérification explicite de l’endommagement 4.1.1 Principe de la vérification Le principe de la vérification pour les armatures consiste à comparer l’étendue de contraintes agissante (entre les combinaisons de base et de base plus action cyclique) à une étendue de contraintes résistante correspondant au type de barres utilisées. L’étendue de contraintes résistante est obtenue pour un nombre N* de cycles défini à partir d’une courbe caractéristique de résistance en fatigue8 (aussi appelée courbe S-N) : Pour cette courbe : N* = nombre de cycles de référence, = étendue de contraintes résistante, 7. EC 2 – 6.8.2 (1)P 8. EC 2 – 6.8.4 (1) A A 1 log ΔσRsk log N N* 1 b = k 1 b = k 2 : armatures à la limite d’élasticité ΔσRsk
  • 300 caractérisent les pentes des segments inclinés de la courbe, correspond au cas des armatures soumises à la limite élastique sous la combinaison de base plus action cyclique. Les valeurs recommandées et à utiliser par l’Annexe nationale française des paramètres de la courbe S-N des armatures de béton armé sont données dans le tableau ci-dessous : 4.1.2 Caractéristiques de la courbe S-N Ordonnée du point correspondant à la limite d’élasticité des armatures : Type d’armatures N* Exposant de la contrainte DsRsk(MPa) Pour N* cyclesk1 k2 Barres droites et barres pliées1 106 5 9 162,52 Barres soudées et treillis soudé 107 3 5 58,5 Dispositifs de couplage 107 3 5 35 Note 1 Pour les barres pliées, il convient de multiplier par le coefficient de réduction : avec : D = diamètre du mandrin de cintrage, φ = diamètre de la barre. Note 2 L’Annexe nationale française préconise : avec interpolation linéaire pour 16 mm < φ < 40 mm b k b k= =1 2ou A ΔσRsk ξ φ= +0 35 0 026, , D ΔσRsk 160 MPa : φ 40 mm≥ 210 MPa : φ 16 mm≤⎩⎨ ⎧ = Notations : = ordonnée de , avec : = contrainte des arma- tures sous combinaison de base, = nombre de cycles correspondant au point , = étendue de contrainte résistante correspondant à N* cycles, N = nombre de cycles de l’action cyclique consi- dérée. Δσ σA yk sbf= − A σsb NB B ΔσRsk * log Δσ Rsk log Δσ* Rsk log Δσ A log N log N B log N* 1 1 b = k 1 b = k 2 A : armatures à la limite d’élasticité A B A log logΔσ σA yk sbf= −( )
  • État limite ultime de fatique 301 Abscisse du point : Étendues de contraintes résistantes : 1/ 2/ 3/ 4.1.3 Processus de vérification La vérification à la fatigue pour l’acier est réalisée de la façon suivante : 1/ déterminer les caractéristiques géométriques de la section la plus sollicitée considérée comme étant fissurée ; 2/ établir la combinaison de base et en déduire les contraintes des armatures ; 3/ établir la combinaison de base plus action cyclique et en déduire les contraintes des armatures ; 4/ en déduire, par différence, l’étendue de contraintes appliquée dans les arma- tures 9 avec : = 1,0 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française10 ; 5/ déterminer les caractéristiques de la courbe S-N correspondant aux aciers utilisés ( , , N* et correspondant à N*) dans le tableau du § 4.1.1 et tracer la courbe S-N avec : B log log log log * * N N kB A Rsk − − = Δ Δσ σ 1 1 ⇒ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⇒ N NB A Rsk k* * Δ Δ σ σ 1 N NB Rsk A k = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ * *Δ Δ σ σ 1 N NB≤ ⇒ Δ Δσ σRsk A= N N NB < ≤ ⇒ * N N Rsk Rsk k = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⇒ * *Δ Δ σ σ 1 Δ Δσ σRsk Rsk kN N = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ * * 1 1 N N> ⇒* log log log log * * N N k Rsk Rsk − − = ⇒ Δ Δσ σ 2 1 N N Rsk Rsk k * * = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⇒ Δ Δ σ σ 2 Δ Δσ σRsk Rsk kN N = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ * * 1 2 9. EC 2 – 6.8.4 (1) 10. EC 2 – voir AN σsb σsc Δσ γ σ σs F fat sc sb= −, . γ F fat, k1 k2 ΔσRsk *
  • 302 ; 6/ en déduire sur cette courbe l’étendue de la contrainte résistante cor- respondant au nombre N de cycles de l’action cyclique appliquée : 7/ vérifier11 : avec : = 1,15 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française12. 8/ On appelle endommagement des armatures dû à la fatigue, le rapport : Il faut vérifier de plus13 : 4.1.4 Remarque Pour évaluer la durée de vie résiduelle de structures existantes ou la nécessité d’un renforcement une fois la corrosion amorcée, l’étendue de contrainte peut être déterminée en réduisant l’exposant pour des barres droites ou pliées14 : 11. EC 2 – 6.8.4 (1) 12. EC 2 – 2.4.2.4 (1) note et voir AN 13. EC 2 – 6.8.4 (2) Δσ σA yk sbf= − N NB Rsk A k = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ * *Δ Δ σ σ 1 ΔσRsk N NB≤ ⇒ Δ Δσ σRsk A= N N NB < ≤ ⇒ * Δ Δσ σRsk Rsk kN N = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ * * 1 1 N N> ⇒* Δ Δσ σRsk Rsk kN N = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ * * 1 2 Δ Δσ σ γs Rsk s fat ≤ , γ s fat, D N NEd = * D N NEd = ≤ * 1 14. EC 2 – 6.8.4 (5) k2
  • État limite ultime de fatique 303 = 5 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française15. 4.2 Cas de cycles multiples d’étendue variable L’endommagement total des armatures dû à la fatigue est calculé en appliquant la règle de cumul de Palmgren-Miner et doit vérifier16 : (6.70) avec pour l’étendue de contrainte appliquée : nombre de cycles, nombre de cycles à la rupture. 4.3 Méthode de l’étendue de contrainte équivalente La résistance en fatigue est satisfaisante si l’on vérifie17 : (6.71) avec : = étendue de contraintes pour N* cycles, donnée par les courbes S- N (voir § 4.1), = étendue de contraintes équivalente pour N* cycles, donnée par les procédures de l’EN 1992-2 pour les ponts routiers et ferro- viaires18, = étendue de contraintes équivalente pour N* cycles, pour les bâtiments sous les combinaisons de charge appropriées. 4.4 Cas particuliers La résistance en fatigue des barres d’armatures non soudées tendues est satisfai- sante si19 : 15. EC 2 – voir AN k2 16. EC 2 – 6.8.4 (2) D n NEd i ii = ( ) ( ) ≤∑ Δ Δ σ σ* 1 Δσ i( ) n iΔσ( ) = N i * Δσ( ) = 17. EC 2 – 6.8.5 (3) 18. EN 1992-2 γ σ σ γF fat s equ Rsk s fat N N , , * * , .Δ Δ( ) ≤ ( ) ΔσRsk N *( ) Δσs equ N, *( ) Δσ σs equ sN, * , max( ) = 19. EC 2 – 6.8.6 (1) Δσs k≤ 1
  • 304 avec : = 70 MPa valeur recommandée et k1 = 100 MPa valeurs à utiliser pour l’Annexe nationale française20, = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente. La résistance en fatigue des barres d’armatures soudées tendues est satisfaisante si21 : avec : = 35 MPa valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française22, = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente. 4.5 Cas des armatures d’âme 4.5.1 Inclinaison des armatures d’âme à prendre en compte L’inclinaison θ des bielles sur la ligne moyenne est choisie de telle sorte que23 : (6.7N) ou valeur fixée par l’Annexe nationale24 L’Annexe nationale française préconise : (flexion simple ou compression), (6.7aNF) (traction). (6.7bNF) avec : : contrainte de traction au niveau du centre de gravité de la section. L’inclinaison des bielles à retenir pour la vérification à la fatigue est telle que25 : . (6.65) 20. EC 2 – voir AN 21. EC 2 – 6.8.6 (1) 22. EC 2 – voir AN k1 Δσs Δσs k≤ 2 k2 Δσs 23. EC 2 – 6.2.3 (2) 24. EC 2 – voir AN 25. EC 2 – 6.8.2 (3) 1 2 5≤ ≤cotgθ , ⇔ ≤ ≤21 8 45, ° °θ 1 2 5≤ ≤cotgθ , ⇔ ≤ ≤21 8 45, ° °θ 1 2 5 1+ ≤ ≤ +σ θ σct ctm ct ctmf f cotg , σct
  • État limite ultime de fatique 305 4.5.2 Vérification Les armatures d’effort tranchant26 doivent être telles que (voir § 4.4.3, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : 5. Vérification pour le béton comprimé 5.1 Éléments pour lesquels aucune armature d’âme n’est requise On désigne par27 : = valeur de calcul de l’effort tranchant agissant maximal sous la combi- naison fréquente de charges, = valeur de calcul de l’effort tranchant agissant minimal sous la combi- naison fréquente de charges, = effort tranchant résistant de calcul d’un élément sans armatures d’effort tranchant (voir § 3.2.1, chapitre 8 : « Effort tranchant », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : (MN, MPa, m) (6.2.a) Le béton résiste à la fatigue due aux sollicitations d’effort tranchant si : pour on vérifie : (6.78) 26. EC 2 – 6.2.3 (2) A s V z f V sw Rd s ywd fat Rd s ≥ +( ) = , , . . sincotg cotgθ α α VV V V z d Ed Ed Ed, ' , . 0 0 0 9 ou = ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪ 27. EC 2 – 6.8.7 (4) VEd, max VEd, min VRd c, V C k f k b dRd c Rd c l ck cp w, , . . . . . .= +⎡⎣ ⎤⎦1003 1ρ σ V V Ed Ed , min , max ≥ 0 V V V V fEd Rd c Ed Rd c c , max , , min , , , ,≤ + Min si 0 5 0 45 0 9 kk ckf ≤ > ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ 50 0 8 50 MPa si MPa,
  • 306 pour on vérifie : (6.79) Remarque En général, le second cas correspond aux appuis des poutres continues (pour lesquelles VEd, min et VEd, max sont de signes contraires), alors que le premier cas relève des appuis des poutres droites isostatiques (pour lesquelles VEd, max et VEd, min ont le même signe). 5.2 Éléments comportant des armatures d’âme On désigne par28 : = borne supérieure de l’étendue de contraintes pour N cycles, = borne inférieure de l’étendue de contraintes pour N cycles, = résistance à la fatigue du béton ( en MPa), (6.76) avec (voir § 2.2.2, chapitre 2 : « Matériaux », Pratique de l’eurocode 2, J. Roux, Éditions Eyrolles) : pour cycles, valeurs recommandées et à utiliser pour l’Annexe nationale française29, = date de début du chargement cyclique en jours, (3.2) où : avec : 30 valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française31. V V Ed Ed , min , max < 0 V V V V Ed Rd c Ed Rd c , max , , min , ,≤ −0 5 28. EC 2 – 6.8.7 (1) & (2) 29. EC 2 – voir AN 30. EC 2 – 3.1.6 (1)P & 2.4.2.4 (1) 31. EC 2 – voir AN σcd equ, max, σcd equ, min, fcd fat, fck f k t f fcd fat cc cd ck, . .= ( ) −⎛⎝ ⎞⎠1 0 1 250β k1 0 85= , N = 106 t0 βcc t0( ) e s 1 28 t0 ------– = s 0,20 : ciment de classe R (CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R) 0,25 : ciment de classe N (CEM 32,5 R et CEM 42,5 N) 0,38 : ciment de classe S (CEM 32,5 N)⎩⎪ ⎨⎪ ⎧ = f fcd cc ck c = α γ γ c s = 1 2 1 5 , , pour les ituations accidentelles, danss les autres cas. ⎧⎨⎩ αcc = 1
  • État limite ultime de fatique 307 On définit : = niveau minimal des contraintes de compression, = niveau maximal des contraintes de compression, = rapport des contraintes. On peut admettre une résistance en fatigue satisfaisante pour le béton travaillant en compression si : 1/ pour les contraintes de flexion32 : (6.72) 2/ pour les contraintes de flexion et pour la compression des bielles33 : (6.77) où, dans la même fibre, sous la combinaison fréquente de charges : = contrainte de compression maximale, = contrainte minimale (prise comme nulle s’il s’agit d’une traction), 34 avec comme valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française35 : où en MPa, (6.6N) 32. EC 2 – 6.8.7 (1) 33. EC 2 – 6.8.7 (2) & (3) 34. EC 2 – 6.8.7 (3) 35. EC 2 – voir AN E fcd equ cd equ cd fat , min, , min, , = σ E fcd equ cd equ cd fat , max, , max, , = σ R E Eequ cd equ cd equ = , min, , max, E Rcd equ equ, max, ,+ − ≤0 43 1 1 σ σ c cd fat c cd fat f f , max , , min , , , ,≤ + Min si 0 5 0 45 0 9 ff f ck ck ≤ > ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ 50 0 8 50 MPa si MPa, σc, max σc, min f f fcd fat cd fat cd , , , : . = contraintes de flexion, ν ffat : compression des bielles. ⎧⎨⎪⎩⎪ ν 0 6 1 250 = − ⎛⎝ ⎞⎠, fck fck
  • 308 Pour les ponts, la première vérification précédente est remplacée par36 : (6.105) avec : m = nombre d’intervalles d’amplitude constante, (6.106) = nombre réel de cycles d’amplitude constante dans l’intervalle i, où : = rapport des contraintes, (6.107) = niveau minimal des contraintes de compression, = niveau maximal des contraintes de compression, = contrainte maximale pour un cycle, = contrainte minimale pour un cycle, = résistance de calcul à la fatigue du béton (formule (6.76) ci-devant). Pour les ponts routiers et ferroviaires, une méthode simplifiée, basée sur des abaques, figure en annexe des Règles EC 2, partie 237. 36. EC 2 – 6.8.7 (101) 37. EC 2 – 6.8.7 (101) + annexe NN n N i ii m = ∑ ≤ 1 1 Ni E R cd i i = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟10 14 1 1 , max, ni R E Ei cd i cd i = , min, , max, E fcd i cd i cd fat , min, , min, , = σ E fcd i cd i cd fat , max, , max, , = σ σcd i, max, σcd i, min, fcd fat,
  • État limite ultime de fatique 309 II. APPLICATION Application : section rectangulaire sans aciers comprimés –Énoncé– Actions uniformément réparties : • permanentes : = 15,40 kN/m (hors poids propre) ; • variables : q = 3 kN/m avec et ; • cycliques : avec N = 105 cycles, et = 28 jours, 15. La poutre considérée comporte des armatures d’âme. Matériaux : • béton : 40 MPa, ciment de classe N, ‰ ; • aciers : S 500 A. On se propose, pour la vérification à la fatigue : 1/ de déterminer les sollicitations dans la section médiane ; 2/ de vérifier la résistance des armatures longitudinales ; 3/ de vérifier la résistance du béton comprimé. A 3 cm 5 cm 18 cm 60 cm 1 ∅ 20 HA 3 ∅ 12 HA (montage) COUPE AA 2 ∅ 25 HA A l eff = 6,85 m Q g, q 2 l eff g1 ψ1 1 0 77, ,= ψ2 1 0 77, ,= 0 20≤ ≤Qfat kN ψ2 0 77, ,i = t0 αe s c eff E E = = , fck = ε εcu cu2 3 3 5= = ,
  • 310 –Corrigé– 1. Sollicitations de flexion pour la vérification à la fatigue dans la section médiane 1.1 Combinaison de base Actions au ml : ϖ = poids volumique du béton armé ϖ = 25 kN/m3 g = 15,40 + 25.0,18.0,60 = 18,10 kN/m = 18,10 + 0,77.3 = 20,41 kN/m Moment fléchissant maximal : = 119,71 mkN 1.2 Combinaison de base plus action cyclique Actions : = 18,10 + 0,77.3 = 20,41 kN/m = 20 kN Moment fléchissant maximal : = 153,96 mkN 2. Vérification de la résistance à la fatigue des armatures tendues 2.1 Caractéristiques géométriques de la section droite fissurée 2.1.1 Position de l’axe neutre Pour la section d’armatures en place : g g b hw= +1 ϖ. . p g qb = + ψ1 1, . pb pb M p lb b eff= 2 8 Mb = 20 41 6 85 8 2 , , Mb p g qc = + ψ1 1, . pc pc Qfat Qfat Mc pc �eff 2 8 ------- Qfat �eff 4 -------+= Mc = +20 41 6 85 8 20 6 85 4 2 , , , Mc As1 212 96 2 4 91 3 14= = +, . , ,cm b x A x A dw e s e s . . . . 1 2 1 1 12 0+ − =α α
  • État limite ultime de fatique 311 2.1.2 Moment d’inertie de la section fissurée 2.2 Contraintes des armatures sous la combinaison de base 2.3 Contraintes des armatures sous la combinaison de base plus action cyclique 2.4 Étendue de contraintes sous l’action cyclique considérée 0 18 2 15 12 96 10 15 12 96 10 01 2 4 1 4, . . , . . . , . . , x x+ −− − 555 0= 0 09 0 01944 0 01069 01 2 1, . , . ,x x+ − = Δ = + =0 01944 4 0 09 0 01069 0 06502 2, . , . , , x1 0 01944 0 0650 2 0 09 0 253= − + =, , . , , m α1 0 253 0 55 0 4599= =, , , I b x A d xcf w e s= + −( ). .1 3 1 1 2 3 α Icf = + −( )−0 18 0 2533 15 12 96 10 0 55 0 253 3 4 2, . , . , . , , == 0 002664 4, m K M I b cf = K = =0 11971 0 002664 44 94 3, , , MN/m σc K x= . 1 σc = =44 94 0 253 11 37, . , , MPa σ αsb e K d x= −( ). 1 σsb = −( ) =15 44 94 0 55 0 253 200. , , , MPa K M I c cf = K = =0 15396 0 002664 57 79 3, , , MN/m σc K x= . 1 σc = =57 79 0 253 14 62, . , , MPa σ αsc e K d x= −( ). 1 σsc = −( ) =15 57 79 0 55 0 253 257. , , , MPa Δσ γ σ σs F fat sc sb= −, .
  • 312 avec : = 1,0 Δσs = 1.0,257 – 200 = 57 MPa 2.5 Caractéristiques de la courbe S-N correspondant aux aciers utilisés 300 MPa 2.6 Étendue de la contrainte résistante DsRsk 258 MPa 2.7 Vérification Étendue de contrainte : avec : = 1,15 O.K. Endommagement des armatures dû à la fatigue : O.K. ⇒ la résistance en fatique des armatures est satisfaisante. γ F fat, Δσ σA yk sbf= − ΔσA = − =500 200 Armatures utilisées ⎫⎬⎭ ⇒ ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ N k k * Rsk 1 2 Δσ* Barres droites tendues ⎫ ⎬⎪ ⎭⎪ ⇒ = = = N k k * R 10 5 9 6 1 2 Δσ ssk * ,= ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ 162 5 MPa N NB Rsk A k = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ * *Δ Δ σ σ 1 NB = ⎛⎝ ⎞⎠ = =10 162 5 300 0 047 10 4 7 106 5 6 4, , . , . N NB≤ ⇒ Δ Δσ σRsk A= N NB= > =10 4 7 10 5 4 , . N N NB < ≤ ⇒ * Δ Δσ σRsk Rsk kN N = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ * * 1 1 N N= < = ⇒10 105 6 * ΔσRsk = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =162 5 10 10 6 5 1 5 , Δ Δσ σ γs Rsk s fat ≤ , γ s fat, Δσs 57 MPa 224 MPa≤ 258 1,15 ----------= = D N NEd = >< * 1 DEd = = < 10 10 0 1 1 5 6 ,
  • État limite ultime de fatique 313 2.8 Remarque Pour des barres non soudées : avec : = 70 MPa = étendue de contrainte sous une charge cyclique fréquente : et la résistance en fatigue des armatures est satisfaisante. 2.9 Cas de l’Annexe nationale française 2.9.1 Vérification En prenant par sécurité : φ = φmax φ = 25 mm Il vient : 2.9.2 Vérification simplifiée k1 = 100 MPa Δσs = 57 MPa < 100 MPa OK 3. Vérification de la résistance à la fatigue du béton La poutre considérée comporte des armatures d’âme. 3.1 Première vérification 3.1.1 Caractéristiques des matériaux Δσs k>< 1 k1 Δσs Δσs =
  • 314 fck = 40 = 26,7 MPa = 26,7 MPa avec : valeur recommandée et à utiliser pour l’Annexe nationale française : = date de début du chargement cyclique en jours : = 28 jours où : Ciment de classe N s = 0,25 = 19,06 MPa 3.1.2 Vérification Contraintes extrêmes et niveau de contraintes dans le béton comprimé : borne supérieure de l’étendue de contraintes : (voir § 2.3) borne inférieure de l’étendue de contraintes : (voir § 2.2) fck >< ⇒ ⎧⎨⎩50 MPa λ η , < ⇒ = = ⎧⎨⎩50 0 8 1 MPa MPa λ η , f fcd cc ck c = α γ fcd = 1 40 1 5, f fcu cc ck c = η α γ . fcu = 1 1 40 1 5 . , f k t f fcd fat cc cd ck, . .= ( ) −⎛⎝ ⎞⎠1 0 1 250β k1 0 85= , k1 0 85= , t0 t0 βcc t0( ) e s 1 28 t0 ------– = s 0,20 : ciment de classe R (CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R) 0,25 : ciment de classe N (CEM 32,5 R et CEM 42,5 N) 0,38 : ciment de classe S (CEM 32,5 N)⎩⎪ ⎨⎪ ⎧ = ⇒ βcc t e0 0 25 1 28 28 1( ) = =− ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ , fcd fat, , . . ,= − ⎛⎝ ⎞⎠0 85 1 26 7 1 40 250 σcd equ, max, = σcd equ, max, ,= 14 62 MPa σcd equ, min, = σcd equ, min, ,= 11 37 MPa
  • État limite ultime de fatique 315 Vérification : ⇒ résistance à la fatigue satisfaisante. 3.2 Seconde vérification 3.2.1 Contraintes extrêmes de compression du béton On considère la section de béton fissurée. 3.2.1.1 Contrainte maximale Moment fléchissant maximal sous la combinaison fréquente : = 18,10 + 0,77.3 = 20,41 kN/m = 0,77.20 = 15,4 KN = 146,08 mkN Contrainte maximale sous la combinaison fréquente (voir § 2.2) : 3.2.1.2 Contrainte minimale Moment fléchissant minimal (obtenu sous l’effet du poids propre et des charges d’exploitation quasi permanentes) : = 18,10 + 0,77.3 E fcd equ cd equ cd fat , max, , max, , = σ Ecd equ, max, , , ,= = 14 62 19 06 0 77 E fcd equ cd equ cd fat , min, , min, , = σ Ecd equ, min, , , ,= = 11 37 19 06 0 60 R E Eequ cd equ cd equ = , min, , max, Requ = = 0 60 0 77 0 78, , , E Rcd equ equ, max, ,+ − >
  • 316 = 20,41 kN/m = 0,77. 0 = 0 kN = 119,71 mkN Contrainte minimale : 3.2.2 Vérification ⇒ résistance à la fatigue satisfaisante. pb ψ2, min.i Q ψ2, min.i Q Mb pb �eff 2 8 ------- ψ2, i.Qmin �eff 4 -------+= Mb = +20 41 6 85 8 0 6 85 4 2 , , , Mb K M I b cf = K = =0 11971 0 002664 44 94 3, , , MN/m σc K x, min .= 1 σc, min , . , ,= =44 94 0 253 11 37 MPa σ σ c cd fat c cd fat f f , max , , min , , , ,>< + Min s 0 5 0 45 0 9 ii MPa si MPa f f ck ck ≤ > ⎧ ⎨ ⎪⎪⎪⎪ ⎩ ⎪⎪⎪⎪ 50 0 8 50, 13 87 19 06 0 73 0 77 0 5 0 45 11 37 19 06, , , , , , , , = < = + = Min 00 77 0 9 , , ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪
  • ANNEXE
  • A2 Analyse non linéaire – Diagramme contraintes- déformations du béton 1. Préambule � Soit à rechercher les primiti v es des fonctions : , , et . � Nous obtenons : 1 a x+ x a x+ x a x 2 + x a x 3 + 1 1 a x dx a x K + = +( ) +∫ Log x a x dx a x a a x dx a a x dx x a + = + − + = − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = −∫ ∫ ∫ 1 .Log aa x K+( ) + 2 x a x dx a x a x a a x dx a x x a x 2 2 2 2 2 2 2 + = +( ) − − + = + − ∫ ∫ . . . . −− +( )[ ] − +( ) + = − + + a a x a a x K a x x a . . Log .Log .L 2 3 2 2 2 oog a x K+( ) + 3 x a x dx a x a x a x a a x dx 3 3 2 2 33 3 + = +( ) − − − +∫ ∫ . . . . = +( ) − + − + − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥∫ a x a x a x a x a x a a x dx2 2 2 3 3 3. . = + + − − +( )[ ] − −a x a x x a x a a x a a x2 2 3 22 2 3 3 3. . . . . .Log ++ + +( )⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − +( ) + x a a x a a x K 2 2 3 4 2 .Log Log. = + + − + +( ) + −a x a x x a x a a x a x2 2 3 2 3 2 3 3 3 3. . . . . . . .Log 33 2 32 3 3 4 a x a a x a a x K . . . − +( ) − +( ) + .Log Log = − + − +( ) +a x a x x a a x K2 2 3 3 4 1 2 3 . . .Log = − + − +( ) +6 3 2 6 2 2 3 3 4 . . . . . . a x a x x a a x KLog
  • 334 2. Diagramme contraintes-déformations du béton � Pour le calcul des effets du second ordre et pour des charges de courte durée d’application, on utilise le diagramme de calcul défini de la manière suivante 1 : � L’EC 2 laisse la possibilité d’utiliser un autre diagramme contraintes- déformations dans la mesure où celui-ci représente bien le comportement du béton 2 . 1. EC 2 – 3.1.5 (3.14) a vec : où et sont pris en valeur absolue, = déformation correspondant au pic de la courbe σ−ε , Classe de résistance du béton C1 2/ 15 C1 6/ 20 C2 0/ 25 C2 5/ 30 C3 0/ 37 C3 5/ 45 C4 0/ 50 C4 5/ 55 C5 0/ 60 C5 5/ 67 C6 0/ 75 C7 0/ 85 C8 0/ 95 C9 0/ 10 5 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 3,2 3,4 3,5 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 6,0 6,3 6,6 ε c1 (‰) 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,25 2,3 2,4 2,45 2,5 2,6 2,7 2,8 2,8 ε cu1 (‰) 3,5 3,2 3,0 2,8 2,8 2,8 ε c2 (‰) 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 ε cu2 (‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 ε c3 (‰) 1,75 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3 ε cu3 (‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 σ η η η c cmf k k = − + −( ) . 2 1 2 η ε ε = c c1 εc εc1 εc cmf1 0 310 7= , . , k E f cm c cm = 1 05 1, . ε σc εc εcl εcul fcm k.fcm (k = 0,4) Arctg Ecm fck fctm fctk 0 05, fctk 0 95, 2. EC 2 – 5.8.6 (2)P
  • Annexe 335 � Pour la méthode générale d’évaluation des effets du second ordre, le diagramme ci-dessus est modifié comme suit 3 : • est remplacé par , • est remplacé par 4 a vec : valeur recommandée et à utiliser pour l’annexe nationale française. 3. Coefficients de remplissage et de centre de gravité du diagramme contraintes- déformations du béton (analyse non linéaire) 3.1. Diagramme contraintes-d éformations envisagé � Le diagramme contraintes-déformations du béton pour une analyse non linéaire et des charges de courte durée d’application est celui figurant au paragraphe 2.4.2.3. du chapitre 3 : « Béton armé – Généralités » 5 . � Dans le cas d’une section rectangulaire, nous avons : avec : 3. EC 2 – 5.8.6 (3) 4. EC 2 – 5.8.4 (4) fcm fcd Ecm E E cd cm cE = γ γ cE = 1 2, 5. EC 2 – 3.1.5 + 5.8.6 (3) σcξ σs1σs1εs1 As1 AN bw Diagramme déformations Diagramme réelles contraintes de référence xu = αu.d ξd εc δG.xu fcd fcd Fc0 Fc = ψ.Fc0 εcξ = εc ξ xu σ η η η ξc cdf k k = − + −( ) . 2 1 2
  • 336 , , a v ec . 3.2. Coeffi cient de remplissage � Résultante des efforts de compression dans le béton : � Compte tenu des primitives calculées au paragraphe 1, il vient : η ε ε ε ε ξξ = = c c c c ux1 1 . εc cmf1 0 310 7= , . , k E f cm c cE cd = 1 05 1, . . ε γ γ cE = 1 2, Fc bw.σcξ.dξ bw.fcd k.η η 2 – 1 k 2–( )η+------------------------------.dξ0 xu∫=0xu∫= bw.fcd k. εc εc1 ------. ξ xu ----- εc εc1 ------. ξ xu -----⎝ ⎠⎛ ⎞– 1 k 2–( ) εc εc1 ------. ξ xu -----+ ----------------------------------------------.dξ0 xu∫= bw.xu.fcd 1 k 2– ------------. k. ξ xu ----- εc εc1 ------– ξ xu -----⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 1 k 2– ------------. εc1 εc ------ a ξ xu ----- u + ------------------------------------------.d ξ xu -----⎝ ⎠⎛ ⎞0xu∫= ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ { F b x f k k u a u du b x f kc w u cd w u cd = − + − − ∫. . . . . . .2 1 20 1 εcc c u a u du ε 1 2 0 1 . . +∫ F b x f k k u a a u K b x f c w u cd w u = − − +( ) +[ ] − . . . . . 2 2 0 1Log ccd c ck a u u a a u K1 2 21 2 2 3 0− − + + +( ) +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ . . . ε ε Log 11 = − − +( ) +[ ] − b x f k k a a a a b x f w u cd w u . . . . . . 2 1 1Log Log ccd c ck a a a a a 1 2 1 2 1 1 2 2 − − + + +( ) −⎡⎣⎢ ⎤ ⎦. . . ε ε Log Log ⎥⎥
  • Annexe 337 � D’où le coefficient de remplissage : soit : avec : 3.3. Coefficient de centre de gravité � Le moment des forces internes, pris par rapport à l’axe neutre, donne : F b x f k k a a b x c w u cd w u = − − +⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − . . . . 2 1 1 1Log .. . .f k a a a cd c c 1 2 1 2 1 1 1 2 − − + +⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ε ε Log F F b x fc c w u cd= =ψ ψ. . . .0 ψ ε ε = − − +⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − − − + k k a a k ac c2 1 1 1 1 2 1 21 . .Log aa a 2 1 1.Log +⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ a k c c = − 1 2 1 . ε ε xu δG.xu–( )Fc bw.σcξ.ξ.dξ bw.fcd k.η η 2 – 1 k 2–( )η+------------------------------.ξ.dξ0 xu∫=0xu∫= bw.fcd k. εc εc1 ------. ξ xu ----- εc εc1 ------. ξ xu -----⎝ ⎠⎛ ⎞– 1 k 2–( ) εc εc1 ------. ξ xu -----+ ----------------------------------------------.ξ.dξ0 xu∫= bw.xu.fcd 1 k 2– ------------. k. ξ xu ----- εc εc1 ------– ξ xu -----⎝ ⎠⎛ ⎞ 2 1 k 2– ------------. εc1 εc ------ a ξ xu ----- u + ------------------------------------------.ξ.d ξ xu -----⎝ ⎠⎛ ⎞0xu∫= ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ { = − + − − ∫b x f k xk ua u du b x f xkw u cd u w u cd u. . . . . . .2 2 0 1 22 1 3 0 1 . . . ε ε c c u a u du +∫
  • 338 � Compte tenu des primitives calculées au paragraphe 1, il vient : � D’où le coefficient de centre de gravité : 4. Remarque Pour les charges de durée d’application quelconque : • εc est remplacé par , • εc1 est remplacé par , • avec , dans les expressions de ψ et de . x x F b x f k x k a u u au G u c w u cd u −( ) = − − + +δ . . . . . . 2 2 2 2 Logg a u K b x f x k a w u cd u c c +( ) +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − − 3 0 1 1 2 2 6 . . . .ε ε .. . . . . u a u u a a u K− + − +( ) +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 3 2 6 2 3 3 4 0 1 Log = − − + +( ) −⎡⎣b x f k x k a a a a aw u cd u . . . . . 2 1 2 12 2Log Log⎢⎢ ⎤⎦⎥ − − − + −b x f x k a a aw u cd u c c . . . . . . 2 6 3 2 61 2 3ε ε Logg Loga a a+( ) +⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 1 3. xu δG.xu–( ) Fc ψ .bw.xu.fcd = bw.xu.fcd k.xu k 2– ------------ 1 2 --- a a 2 .Log 1 1 a ---+⎝ ⎠⎛ ⎞+– b– w.xu.fcd xu k 2– ------------. εc εc1 ------ 6.a2 3.a + 2– 6 -------------------------------- a 3 .Log 1 1 a ---+⎝ ⎠⎛ ⎞– { ψ δx x k x k a a a u G u u −( ) = − − + +⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦. . . 2 1 2 1 12 Log ⎥⎥ − − − + − +⎛⎝ ⎞⎠ ⎡ ⎣⎢ x k a a a a u c c2 6 3 2 6 1 1 1 2 3 . . . . ε ε Log ⎤⎤ ⎦⎥ δ ψ ψ G k k a a a k = − −( ) − + + ⎛⎝ ⎞⎠⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ + − 1 2 1 2 1 1 1 2 2 .Log (( ) − + − +⎛⎝ ⎞⎠ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ . . . . ε ε c c a a a a1 2 36 3 2 6 1 1Log ε ϕc ef1+( ) ε ϕc ef1 1+( ) k E f cm c ef cE cd = +( ) 1 05 11 , . . ε ϕ γ γ cE = 1 2, δG
  • A1 Calcul numérique des déformations 1. Pose du problème Soit à rechercher l’aire limitée : • par l’axe des abscisses (x), • par la courbe y = f(x), • entre les abscisses et . 2. Arc de parabole circonscrit � En remplaçant la courbe réelle par un arc de parabole : • d’équation , • passant par les points ; et , on obtient, en se plaçant dans le repère (x, y’), passant par le point : x0 x x0 2+ Δ y = f(x) x x 0 x0 + � x x0 + 2� x y' y 0 y 1 y 2 y a x b x c= + +. .2 x y0 0,( ) x x y0 1+( )Δ , x x y0 22+( )Δ , x0 0,( ) y c y a x b x c y a x b x c 0 1 2 2 22 2 = = + + = ( ) + + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ . . . . Δ Δ Δ Δ
  • 320 � D’où les coefficients de l’équation de l’arc de parabole : 3. Calcul numérique des intégrales � La primitive de la fonction s’écrit dans le repère (x, y’) : avec d = 0 � D’où, par intégration de y(x) sur l’intervalle du plan (x, y) : � Soit, en remplaçant les constantes a, b et c par leurs valeurs : a y y x y x x x x x y x = ( ) ( ) = 0 1 2 2 2 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 4 2 1 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ −−( ) − −( ) + −( ) − ⇒ = −2 2 2 4 21 2 3 3 0Δ Δ Δ Δ Δ x y x y x x x a y . . .yy y x 1 2 22 + .Δ b y x y x y x x x x = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 4 1 0 0 1 1 4 2 0 2 1 2 2 2 2 Δ Δ Δ Δ Δ Δ 11 4 4 2 0 2 2 1 2 2 2 3= − −( ) + −( ) − −( ) − ⇒ y x x y x y x x b Δ Δ Δ Δ Δ. == − −4 3 2 1 0 2. . . y y y xΔ c y x x y x x y x x x = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 4 2 0 0 1 1 4 0 2 1 2 2 2 2 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 22 1 2 4 0 0 2 0 3 3 1 2 3 0 Δ Δ Δ Δ x y x x y y x c y= −( ) − ( ) + ( ) − ⇒ = . y a x b x c= + +. .2 Y a x b x c x d= + + +. . . 3 2 3 2 x x x0 0, +[ ]Δ y x dx y x dx a x b x c x x x x( ). ( ). . . 0 0 0 3 2 3 2 +∫ ∫= = + +Δ Δ Δ Δ ..Δx y x dx y y y x x y x x x ( ). . . . . 0 0 0 1 2 2 3 12 2 3 4 3+∫ = − + + −Δ Δ Δ .. . . . y y x x y x0 2 2 02 2 − + Δ Δ Δ
  • Annexe 321 [1] � Et par intégration de y(x) sur l’intervalle du plan (x, y) : � Soit, en remplaçant les constantes a, b et c par leurs valeurs : [2] Cette formule est appelée « formule des trois niveaux ». � Pour calculer l’intégrale de y(x) entre et (le nombre d’ordonnées étant impair ⇔ le nombre d’intervalles étant pair), on considère les arcs de parabole successifs correspondant à y(x) sur les paires d’intervalles successives. On obtient ainsi de proche en proche : y x dx x y y y y y y x x x ( ). . 0 0 13 2 2 3 9 4 3 4 0 2 1 0 +∫ = − + + − −Δ Δ 22 03+⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥.y y x dx x x x x ( ). 0 0 3 1 2 9 4 3 2 9 12 4 5 4 + − + = ∫ = − +⎛⎝ ⎞⎠Δ Δ y y y0 1 21 3 12 34+ − +( ) + −⎛⎝ ⎞⎠ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥ x x x0 0 2, +[ ]Δ y x dx y x dx a x b x x x x x( ). ( ). . . 0 0 2 0 2 38 3 4+∫ ∫= = +Δ Δ Δ Δ 222 2+ c x. Δ y x dx y y y x x y x x x ( ). . . . . 0 0 2 0 1 2 2 3 12 2 8 3 4+∫ = − + +Δ Δ Δ −− − + 3 2 4 2 20 2 2 0 . . . . y y x x y x Δ Δ Δ y x dx x y y y y x x x ( ). . . . . . 0 0 2 0 1 2 13 4 8 4 12 9+∫ = − + + −Δ Δ yy y y0 2 03 6− +[ ]. . y x dx x y y x x x ( ). 0 0 2 0 13 4 9 6 8 12 4 3+∫ = − +( ) + − +( ) + −Δ Δ (( )[ ]y2 y x dx x y y y x x x ( ). . 0 0 2 0 1 23 4 +∫ = + +[ ]Δ Δ y0 y n2 y = f(x) x y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 2n – 2 y 2n – 1 y 2n I II N
  • 322 � Remarque : l’intégration de y(x) sur l’intervalle s’obtient en écrivant : D’où : � Soit une formule « symétrique » de celle relative à . 4. Méthodes simplifiées pour la double intégration de la courbure 4.1. Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure 4.1.1. Introduction � Considérons une poutre sur deux appuis simples, de portée �, découpée en deux tronçons de longueur �/2 : I II ... …… N Total : y y y0 1 24+ +. y y y2 3 44+ +. y y yn n n2 2 2 1 24− −+ +. y x dx x y y y y y n n( ) = + + + + + +∫ −. . . ...02 0 1 2 3 2 23 4 2 4 2Δ 44 2 1 2.y yn n− +[ ] x x x x0 0 2+ +[ ]Δ Δ, y x dx y x dx y x dx x x x x x x x ( ). ( ). ( ). 0 0 0 0 0 2+ + +∫ ∫= +Δ Δ ΔΔ Δxx x0 2+∫ y x dx y x dx y x d x x x x x x x( ). ( ). ( ). 0 0 0 02 2 + + +∫ ∫= −Δ Δ Δ xxxx x00 +∫ Δ y x dx x y y y x x x x x ( ). . , 0 0 2 0 1 23 4 3 1 25 + +∫ = + +[ ] −Δ Δ Δ Δ .. . , .y y y0 1 22 0 25+ −[ ] y x dx x y y y x x x x ( ). , . . , . 0 0 2 0 13 0 25 2 1 25 + +∫ = − + +Δ Δ Δ 22[ ] y x dx x x x ( ). 0 0 +∫ Δ x x' 1 2 3 �/2 �/2
  • Annexe 323 � Sur chacune des demi-travées, en supposant que la variation de la courbure est linéaire, nous pouvons poser : � Les conditions aux limites à respecter s’écrivent : • pour les courbures : • pour les flèches : Demi-travée de gauche Demi-travée de droite y r a x b" .= = +1 y a x b x c' . .= = + +θ 1 2 2 y f a x b x c x d= = + + +1 6 1 2 3 2 . . . y r x" . '= = + 1 α β y x x' . ' . '= = + +θ α β γ1 2 2 y f x x x= = + + +1 6 1 2 3 2α β γ δ. ' . ' . ' y x b r " =( ) = =0 1 1 y x r " ' =( ) = =0 1 3 β y” x � 2 ---=⎝ ⎠⎛ ⎞ y” x’ �2---=⎝ ⎠⎛ ⎞ 1 r2 ---- ⇒= = 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 12 1 2 3 a b r a r r r . . . . � � � � + = + = ⇒ + = + = α β α 11 2r ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⇒ a 2 � --- 1 r2 ---- 1 r1 ----–⎝ ⎠⎛ ⎞= α 2 � --- 1 r2 ---- 1 r3 ----–⎝ ⎠⎛ ⎞=⎩⎪ ⎪⎨ ⎪⎪ ⎧ y x d=( ) = = ⇒0 0 d = 0 y x ' =( ) = = ⇒0 0δ δ = 0 y x � 2 ---=⎝ ⎠⎛ ⎞ y x’ �2---=⎝ ⎠⎛ ⎞ ⇒= 1 48 1 8 1 2 1 48 1 8 1 2 3 2 3 2a b c d. . . . . .� � � � � �+ + + = + +α β γ ++ δ � 2 24 - - - - - - 1 r 2 - - - - 1 r 1 - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 8 - - - . � 2 r 1 - - - - - 1 2 - - - c. � � 2 24 - - - - - - 1 r 2 - - - - 1 r 3 - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 8 - - - . � 2 r 3 - - - - - 1 2 - - - γ . � + +=+ +⇒
  • 324 [ α ] • pour les rotations : [ β ] • d’où les coef fi cients c et γ : � La flèche à mi-portée s’exprime alors en fonction des courbures par la relation : c. � γ . � � 2 12 - - - - - - 1 r 1 - - - - 1 r 3 - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ � 4 - - - � 2 r 3 - - - - - � 2 r 1 - - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ – � 2 6 - - - - - . 1 r 1 - - - - � 2 6 - - - - - . 1 r 3 - - - - + = + = – ⇒ y’ x � 2 ---=⎝ ⎠⎛ ⎞ y’ x’ �2---=⎝ ⎠⎛ ⎞ ⇒= 1 8 1 2 1 8 1 2 2 2a b c. . . .� � � �+ + = − − −α β γ � 4 - - - 1 r 2 - - - - 1 r 1 - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ � 2 - - - . 1 r 1 - - - - c + – � 4 - - - 1 r 2 - - - - 1 r 3 - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ – � 2 - - - . 1 r 3 - - - - γ –=+⇒ c γ – � 4 - - - 2 r 2 - - - - – 1 r 3 - - - - 1 r 1 - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = � 2 - - - – . 1 r 3 - - - - – � 2 - - - . 1 r 1 - ---+⇒ ⇒ + = − − −c r r r γ � � � 2 1 4 1 4 1 2 3 1 . . . α γ[ ] ⇒ − = − +c r r . . . .� � � �2 1 2 36 1 6 1 β γ[ ] ⇒ + = − − −c r r r � � � 2 1 4 1 4 1 2 3 1 . . . α[ ] �. β[ ] 2.c. � ⇒ + � 2 6 - - - - - � 4 - - - - - + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 r 1 - - - - – 1 2 - - - . � 2 r 2 - - - - - – � 2 6 - - - - - � 2 4 - - - - - – ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 r 3 - - - - += ⇒ = − − − ⇒ = −2 5 12 1 2 1 12 1 5 2 2 1 2 2 2 3 . . . . . . . c r r r c� � � � � 44 1 4 1 24 1 1 2 3 . . . r r r − − � � �. β[ ] α[ ] – 2. γ . � � 2 4 - - - - - – � 2 6 - - - - - + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 r 1 - - - - � 2 2 - - - - - . 1 r 2 - - - - – � 2 6 - - - - - � 2 4 - - - - - + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 r 3 - - - - – = ⇒ ⇒ = − − − ⇒ = −2 12 1 2 1 5 12 1 24 2 1 2 2 2 3 . . . . . . .γ γ� � � � � r r r 11 4 1 5 24 1 1 2 3r r r − − � � . . . y2 y � 2 ---⎝ ⎠⎛ ⎞ f 148------ a.� 3 1 8 --- b.�2 1 2 --- c.� d+ + += = = y2 1 48 ------. 2 � --- 1 r2 ---- 1 r1 ----–⎝ ⎠⎛ ⎞ .�3 18---. 1 r1 ----.� 2 1 2 --- 5.� 24 --------. 1 r1 ----– � 4 ---. 1 r2 ---- � 24 ------. 1 r3 ----––⎝ ⎠⎛ ⎞ .� 0+ + +=
  • Annexe 325 sur les appuis extrêmes : � Cette méthode peut être généralisée au cas de poutres dont la portée a été découpée en n parties égales (avec n pair). � Remarque : dans le cas d’une poutre découpée en deux tronçons, on retrouve la formule des trois niveaux (cf. § 3). 4.1.2. Généralisation � Nous pouvons évaluer la flèche à partir de la courbure , sans double intégration, en utilisant la formule : où avec : et I = ou selon le cas. Les valeurs de N et étant donnés ci après. � Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive dans le sens ascendant. y r r r r 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 24 1 24 1 8 1 5 48 1 8 = − + − − � � � � � . . . . . .. . 1 48 1 2 2 3r r − � y2 � 2 24 ------ � 2 8 -----–⎝ ⎠⎛ ⎞ . 1r2---- � 2 24 ------– � 2 8 ----- 5.�2 48 ----------–+⎝ ⎠⎛ ⎞ . 1r1---- � 2 48 ------. 1 r3 ----–+= y r r r 2 2 2 2 1 2 312 1 48 1 48 1 = − − − � � � . . . y2 � 2 48 ------ 1. 1 r1 ---- 4. 1 r2 ---- 1. 1 r3 ----+ +⎝ ⎠⎛ ⎞–= y y1 3 0= = 1 r y N k r i i j jj n = − = ∑� 2 1 1 , i j = = indice de la section où l’on calcule la flèche, iindice de la section dont on connaît la courbure, n == ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ nombre (impair) de sections du découpage. 1 r M x E Ij ser j c eff = ( ) , Ich Icf ki j,
  • 326 4.1.2.1. Découpage en 2 tronçons N = 48 ; , 4.1.2.2. Découpage en 4 tronçons N = 384 ; , 4.1.2.3. Découpage en 6 tronçons N = 1 296 ; , 1 2 3 �/2 �/2 y1 0= y3 0= y r r r 2 1 2 3 1 4 1 1 1 1 = [ ] ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ . 1 2 3 4 5 �/4 �/4 �/4 �/4 y1 0= y5 0= y y y 2 3 4 3 14 12 6 1 2 12 20 12 2 1 6 12 14 3 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ = ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ . 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 r r r r r 1 2 3 4 5 6 7 �/6 �/6 �/6 �/6 �/6 �/6 y1 0= y7 0= y y y y y 2 3 4 5 6 5 24 24 18 12 6 1 4 24 42 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ = 336 24 12 2 3 18 36 48 36 18 3 2 12 24 36 42 24 4 1 6 12 18 24 24 5 ⎡⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 r r r r r r r ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
  • Annexe 327 4.1.2.4. Découpage en 8 tronçons N = 3 072 ; , 4.1.2.5. Découpage en 10 tronçons N = 6 000 ; , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 �/8 �/8 �/8 �/8 �/8 �/8 �/8 �/8 y1 0= y9 0= y y y y y y y 2 3 4 5 6 7 8 7 34 36 3⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ = 00 24 18 12 6 1 6 36 64 60 48 36 24 12 2 5 30 60 82 72 54 36 18 3 4 224 48 72 88 72 48 24 4 3 18 36 54 72 82 60 30 5 2 12 24 36 48 60 664 36 6 1 6 12 18 24 30 36 34 7 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r r r r r r r r r ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 119 �/10 �/10 �/10 �/10 �/10 �/10 �/10 �/10 �/10 �/10 y1 0= y11 0= y y y y y y y y y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ = 9 44 48 42 36 30 24 18 12 6 1 8 48 86 84 72 60 48 36 24 122 2 7 42 84 116 108 90 72 54 36 18 3 6 36 72 108 134 120 96 72 448 24 4 5 30 60 90 120 140 120 90 60 30 5 4 24 48 72 96 120 1344 108 72 36 6 3 18 36 54 72 90 108 116 84 42 7 2 12 24 36 48 60 772 84 86 48 8 1 6 12 18 24 30 36 42 48 44 9 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 r r r r r r r r r rr r 10 111 ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
  • 328 4.1.3. Exemples 4.1.3.1. Charge concentrée à mi-portée d’une poutre sur deux appuis simples � Pour un découpage en quatre tronçons : ; ; ; ; � D’où la flèche à mi-portée (cf. § 4.1.2.b) : 4.1.3.2. Charge uniformément répartie sur une poutre sur deux appuis simples � Pour un découpage en dix tronçons : ; ; ; �/2 � P x M x P x( ) = 2 ⇒ = = ( ) = d dx r M x EI P EI x ω 1 2 1 0 1r = 1 82r P EI = . . � 1 43r P EI = . . � 1 1 84 2r r P EI = = . . � 1 1 0 5 1r r = = y r r r r r 3 2 1 2 3 4 5384 2 1 12 1 20 1 12 1 2 1= + + + + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ � y P EI3 2 384 2 0 12 1 8 20 1 4 12 1 8 20 8= + + + +⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = � � . . . .. . . . . P EI P EI � �3 3 384 48 = � P x M x p x x( ) = −( ). � 2 ⇒ = = ( ) = −( )d dx r M x EI p x x EI ω 1 2 . . � 1 1 0 1 11r r = = 1 1 0 09 22 10 2 r r p EI = = , . . � 1 1 0 16 23 9 2 r r p EI = = , . . �
  • Annexe 329 ; ; � D’où la flèche à mi-portée (cf. § 4.1.2.e) : par symétrie. � Écart : ‰. 4.2. Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant 4.2.1. Introduction � Considérons une poutre sur deux appuis simples, de portée �, uniformément chargée : � On peut donc écrire, en se plaçant à mi-travée : 1 1 0 21 24 8 2 r r p EI = = , . . � 1 1 0 24 25 7 2 r r p EI = = , . . � 1 1 0 21 24 8 2 r r p EI = = , . . � y r r r r r 6 2 1 2 3 4 56 000 2 5 1 30 1 60 1 90 1 120 1= + + + + ⎡ ⎣⎢ ⎤� ⎦⎦⎥ + ⎧⎨⎪⎩⎪ ⎫⎬⎪⎭⎪ 140 1 6r y p EI6 2 2 6 000 2 2 5 0 30 0 09 60 0 16 90 0= + + +� �. . . . . , . , . ,, . , . ,21 120 0 24 140 0 25+[ ] +{ } y p EI p EI p E6 4 4 477 5 6 000 5 387 5 384 = = ≈ , . . . . . . . . � � � II Δy y 6 6 5 384 5 387 5 384 8= − = M p0 2 8 = .� 1 0 0 r M EI = f y � 2 ---⎝ ⎠⎛ ⎞ 5.p.� 4 384.EI ----------------–= = f p EI M EI r = − = − = − 5 384 5 48 0 104 1 4 0 2 0 2. . . . , � � �
  • 330 4.2.2. Généralisation � Nous pouvons évaluer la flèche maximale, à partir de la courbure dans la section soumise au moment maximal, par la formule : avec : k = coefficient fonction du diagramme des moments, = courbure dans la section la plus sollicitée, � = portée de la poutre. � Le signe négatif provient du fait que la flèche est considérée comme positive dans le sens ascendant. � Le coefficient k dépend de la forme du diagramme des moments fléchissants. Il est donné par le tableau ci-après : f k.�2 1 r0 ----–= 1 0r Chargement Diagramme du moment fléchissant k 0,125 si : 0,0625 � M 0 M 0 � M 0 � �.� P � P M max = P�(1 – �)� 3 4 48 1 2 − − . ( ) α α α = 1 2 1 12 � M 0 � M 0
  • Annexe 331 0,104 0,102 avec : si : l P/2 P/2α.l α.l l P.α.l 2 0 125 6 2 , − α l p l p.l 2 8 l p 0 l P.l2 15,6 l p MB MA l MA MB Mt 0 104 1 10 , − ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ β β = +M M M A B t l α.l P l P.α.l α α3 6 −( ) α = 1 1 3
  • 332 si : avec : l α.l P l p.α2.l2 2 α 4 α–( ) 12 --------------------- α = 1 1 4 l / 2 l P MB MA l MB Mt MA 0 083 1 4 , − ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ β β = +M M M A B t l a.l a.l P l p.l 2 24 (3 − 4.α 2) 1 80 5 4 3 4 2 2 2. . . −( ) − α α
  • Bibliographie J.-A. Calgaro et J. Cortade, Applications de l’eurocode 2 : calcul des bâtiments en béton, Presses des Ponts-et-Chaussées, 2005. J. Perchat, Le calcul plastique, cours ESTP 1973. J. Roux, Résistance des matériaux par la pratique, tomes 1 à 4, Éditions Eyrolles 1995, 1998 et 1999.
  • Index Cette table alphabétique reprend les expressions courantes utilisées en béton armé en renvoyant à la page dans laquelle elles sont définies ou utilisées la première fois. – A – Actions cycliques.................................................................................... 297 Aire chargée............................................................................................ 247 Aire de contrôle de référence.................................................................. 247 Analyse élastique linéaire ....................................................................... 28 Analyse linéaire avec redistribution limitée ........................................... 29 Analyse non linéaire ............................................................................... 34 Analyse plastique.................................................................................... 30 Applui direct ........................................................................................... 283 Appui indirect ......................................................................................... 283 Armatures de peau .................................................................................. 181 Armatures en chapeau ............................................................................ 35 – B – Bielle....................................................................................................... 281 – C – Chapeaux ................................................................................................ 35 Coefficient d’amplification ..................................................................... 71 Condition entièrement fissurée ............................................................... 197 Condition non fissurée ............................................................................ 197 Console courte ........................................................................................ 281 Contour de contrôle de référence............................................................ 247 Contour de contrôle réduit ...................................................................... 261 Contour de contrôle ................................................................................ 247
  • 336 Corbeau.................................................................................................. 281 Courbe caractéristique de résistance en fatigue..................................... 299 Courbe S-N ............................................................................................ 299 – D – Dalles ..................................................................................................... 18 – E – Endommagement des armatures dû à la fatigue .................................... 302 Étendue de contrainte............................................................................. 299 Étendue de contraintes résistante........................................................... 299 Excentricité du premier ordre ................................................................ 74 Excentricité du second ordre.................................................................. 74 – F – Fissuration complète .............................................................................. 169 Fissuration non systématique................................................................. 169 Force critique d’Euler ............................................................................ 69 – L – Longueur de flambement ....................................................................... 70 Longueur efficace................................................................................... 75 – M – Méthode de l’équilibre........................................................................... 78 Méthode de la courbure ......................................................................... 79 Méthode de la rigidité ............................................................................ 79 Méthode des déformations internes ....................................................... 78 Moment du premier ordre équivalent .................................................... 99 – N – Nombre de cycles................................................................................... 298
  • Index 337 – O – Ouverture calculée des fissures............................................................... 162, 176 – P – Paramètre de déformation....................................................................... 208 Portée utile .............................................................................................. 20 Poteaux ................................................................................................... 18 Poutres .................................................................................................... 18 Poutres-cloisons...................................................................................... 18 – R – Rigidité nominale ................................................................................... 95 – S – Section de contrôle de référence............................................................. 247 – T – Tirant....................................................................................................... 281 – V – Valeur limite de l’ouverture calculée des fissures................................... 162 Voiles ...................................................................................................... 18
  • Table des matières Avant-propos 1. Présentation des eurocodes et de l’ouvrage 2. Références règlementaires 3. Numérotation des formules 4. Couleurs des figures 5. Notations et symboles particuliers Notations et symboles 1. Majuscules romaines 2. Minuscules romaines 3. Majuscules ou minuscules grecques 1 Analyse structurale I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Définition 2. Modélisation des structures 2.1 Éléments de structures 2.1.1 Poutre et poutre-cloison 2.1.2 Poteaux et voiles 2.1.3 Dalles 2.2 Largeur participante des poutres en T 2.3 Portées utiles des poutres et dalles 2.3.1 Définitions - Principes 2.3.2 Portées à prendre en compte dans les calculs 2.4 Imperfections géométriques 2.4.1 Cas des éléments isolés et des ponts 2.4.2 Cas des structures 2.5 Moments sur appuis - Vérifications 3. Méthodes de calcul 3.1 Types d’analyse structurale 3.1.1 Analyse vis-à-vis des états limites de service 3.1.2 Analyse vis-à-vis de l’état limite ultime 3.2 Analyse élastique linéaire 3.3 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments 3.4 Analyse plastique 3.4.1 Dispense de la vérification de la capacité de rotation 3.4.2 Vérification de la capacité de rotation 3.4.3 Analyse par la méthode avec bielles et tirants 3.5 Analyse non linéaire 4. Analyse structurale des poutres et des portiques 4.1 Analyse élastique et linéaire 4.2 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments 4.3 Analyse plastique 4.4 Analyse non linéaire 4.5 Dispositions constructives - Aciers en chapeau 4.5.1 Chapeaux sur appuis de rive 4.5.2 Chapeaux sur appuis intermédiaires 5. Analyse structurale des dalles 5.1 Analyse élastique et linéaire 5.2 Analyse linéaire avec redistribution limitée des moments 5.3 Analyse plastique 5.4 Analyse non linéaire 5.5 Dispositions constructives 5.5.1 Armatures de flexion 5.5.2 Armatures d’effort tranchant II. APPLICATIONS Application n˚ 1 : analyse d’une poutre -Énoncé- -Corrigé- 1. Analyse linéaire sans redistribution 2. Analyse linéaire avec redistribution 3. Analyse plastique Application n˚ 2 : analyse d’une poutre continue -Énoncé- -Corrigé- 1. Introduction 2. Analyse linéaire sans redistribution 3. Analyse linéaire avec redistribution 4. Armatures longitudinales 5. Vérification à l’effort tranchant 6. Vérifications à l’ELS 7. Dispositions constructives 2 Instabilité de forme - Flambement I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Rappels de résistance des matériaux 1.1 Force critique d’Euler 1.2 Amplification de la déformée d’une poutre comprimée 1.2.1 Équation différentielle de la ligne moyenne déformée 1.2.2 Solution de l’équation de la ligne moyenne déformée - Coefficient d’amplification 1.2.3 Excentricités du premier et du second ordre 2. Classification des structures et des éléments structuraux 2.1 Éléments contreventés et non contreventés 2.2 Cas des poteaux isolés 2.2.1 Élancement 2.2.2 Cas des sections rectangulaires 2.2.3 Cas des sections circulaires 2.3 Cas des éléments de structure isolés 3. Imperfections géométriques 4. Méthode générale 4.1 Domaine d’application 4.2 Hypothèses complémentaires 4.2.1 Hypothèses mécaniques 4.2.2 Hypothèse géométrique supplémentaire 4.3 Excentricité « externe » 4.4 Excentricité « interne » 4.5 Étude de l’équilibre 4.6 Méthode de l’équilibre - Méthode des déformations internes 4.6.1 Méthode générale 4.6.2 Méthode simplifiée 4.6.3 Remarque 4.7 Cas des sections rectangulaires à deux nappes d’armatures 5. Dispense de la vérification de l’état limite ultime de stabilité de forme (flambement) 5.1 Cas des éléments isolés 5.2 Cas des structures 6. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section - Méthode de la rigidité 6.1 Domaine de validité 6.2 Rigidité nominale 6.2.1 Cas où 6.2.2 Cas où 6.3 Principe de la méthode 6.4 Cas des poteaux isolés avec excentricités du premier ordre différentes aux deux extrémités 6.5 Processus d’application de la méthode de la rigidité 7. Méthodes ramenant la vérification de stabilité de forme à un calcul de section - Méthode de l’estimation de la courbure 7.1 Domaine de validité 7.2 Principe de la méthode 7.2.1 Introduction 7.2.2 Moment de calcul de l’élément 7.2.3 Courbure 7.3 Processus d’application de la méthode de l’estimation de la courbure II. APPLICATIONS Application n˚ 1 : vérification au flambement par la méthode de l’équilibre (charges quelconques) -Énoncé- -Corrigé- 1. Caractéristiques des matériaux 2. Nécessité du calcul au flambement 3. Méthode de l’équilibre Application n˚ 2 : dimensionnement des armatures par la méthode de la rigidité -Énoncé- -Corrigé- 1. Caractéristiques des matériaux 2. Nécessité du calcul au flambement 3. Sollicitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4) 4. Sollicitations du second ordre par la méthode de la rigidité 5. Calcul des armatures (étape 7) 6. Vérification au flambement Application n˚ 3 : vérification au flambement par la méthode de l’estimation de la courbure -Énoncé- -Corrigé- 1. Caractéristiques des matériaux 2. Nécessité du calcul au flambement 3. Sollicitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4) 4. Courbure (étape 5) 5. Moment ultime de calcul total (étape 6) 6. Calcul des armatures (étape 7) 7. Vérification au flambement Application n˚ 4 : dimensionnement des armatures par la méthode de l’estimation de la courbure -Énoncé- -Corrigé- 1. Caractéristiques des matériaux 2. Nécessité du calcul au flambement 3. Sollicitations corrigées des imperfections géométriques (étape 4) 4. Courbure (étape 5) 5. Moment ultime de calcul total (étape 6) 6. Détermination des armatures (étape 7) 7. Itérations suivantes 3 État limite de service de maîtrise de la fissuration I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Considérations générales 2. Exigences 3. Section minimale d’armatures 3.1 Cas général 3.2 Cas des sections rectangulaires 4. Calcul des ouvertures de fissures 4.1 Introduction 4.2 Principe du calcul 4.2.1 Ouverture moyenne des fissures 4.2.2 Distance moyenne srm entre fissures 4.2.3 Allongement relatif de l’armature par rapport au béton 4.3 Espacement maximal des fissures sr, max 4.3.1 Armatures tendues avec faible espacement 4.3.2 Armatures tendues avec espacement important 4.3.3 Éléments armés dans deux directions orthogonales 4.4 Ouverture calculée des fissures 4.5 Vérification 5. Contrôle de la fissuration sans calcul direct 5.1 Cas des dalles de bâtiment 5.2 Autres cas 5.2.1 Fissuration due principalement aux déformations gênées 5.2.2 Fissuration due principalement aux charges 6. Armatures de peau 6.1 Domaine d’application 6.2 Armatures de peau supplémentaires II. APPLICATION Application : section rectangulaire - Maîtrise de la fissuration -Énoncé- -Corrigé- 1. Vérifications 2. Contrainte des aciers tendus 3. Contrôle de la fissuration sans calcul direct 4. Calcul de l’ouverture des fissures 4 État limite de service de déformation I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Généralités 1.1 Influence de la fissuration sur la flèche 1.2 Influence de la durée d’application des charges sur la déformée 1.3 Influence de l’inertie 1.3.1 Rappels de résistance des matériaux 1.3.2 Particularités du béton armé 2. Calcul des flèches à l’état limite de service de déformation 2.1 Section entièrement comprimée 2.2 Section partiellement tendue 2.2.1 Courbure dans l’état fissuré 2.2.2 Courbure dans l’état non fissuré 2.2.3 Déformations 2.2.4 Méthode de la double intégration de la courbure 2.2.5 Paramètres de déformation 2.2.6 Calcul des flèches 2.3 Méthodes simplifiées 2.3.1 Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure 2.3.2 Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant 3. Bâtiments courants 3.1 Vérification de la flèche 3.2 Vérification des flèches par le calcul 3.3 Dispense de la vérification 3.3.1 Rapports de base portée sur hauteur utile 3.3.2 Corrections des valeurs ,/d 4. Prise en compte du retrait et du fluage 4.1 Module d’élasticité du béton 4.2 Effets du retrait II. APPLICATIONS Application n˚ 1 : poutre sur deux appuis simples - Flèche -Énoncé- -Corrigé- 1. Caractéristiques des matériaux 2. Sollicitations de flexion 3. Courbures dues au chargement 4. Courbure due au retrait 5. Calcul de la flèche par double intégration numérique Application n˚ 2 : flèche d’une dalle de plancher -Énoncé- -Corrigé- 1. Valeurs tirées du tableau 2. Utilisation des formules 5 Poinçonnement I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Contours de référence 1.1 Définitions 1.2 Aire chargée éloignée d’un bord libre 1.3 Aire chargée près d’une ouverture 1.4 Aire chargée proche de bords libres 1.5 Cas des poteaux avec chapiteaux (planchers-dalles) 1.5.1 Cas des poteaux circulaires 1.5.2 Cas des poteaux rectangulaires 2. Résistances au poinçonnement 2.1 Contraintes tangentes résistantes 2.1.1 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement 2.1.2 Valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec ou sans armatures de poinçonnement 2.1.3 Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement d’une dalle ou d’une semelle de poteau avec armatures de poinçonnement 2.2 Vérification de la valeur maximale de calcul de la résistance au poinçonnement 2.2.1 Contrainte maximale de poinçonnement 2.2.2 Vérification 2.3 Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement 2.3.1 Contrainte maximale de poinçonnement 2.3.2 Vérification 2.4 Dalles ou semelles de poteaux avec armatures de poinçonnement 2.4.1 Contrainte maximale de poinçonnement 2.4.2 Calcul des armatures de poinçonnement 2.4.3 Contour de la zone avec armatures de poinçonnement 2.4.4 Dispositions constructives 2.4.5 Section minimale d’armatures de poinçonnement 2.4.6 Barres relevées utilisées comme armatures de poinçonnement II. APPLICATIONS Application n˚ 1 : étude au poinçonnement d’une dalle - Aire chargée circulaire -Énoncé- -Corrigé- 1. Contour de référence 2. Contrainte tangente de référence 3. Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement de la dalle sans armatures de poinçonnement 4. Nécessité d’armatures de poinçonnement Application n˚ 2 : étude au poinçonnement d’une dalle - Aire chargée rectangulaire -Énoncé- -Corrigé- 1. Contour de référence 2. Contrainte tangente de référence 3. Valeur de calcul de la résistance au poinçonnement de la dalle sans armatures de poinçonnement 4. Nécessité d’armatures de poinçonnement 5. Armatures de poinçonnement 6. Schéma de ferraillage 6 Corbeaux I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Définition 2. Vérification de la compression des bielles de béton 3. Armatures 3.1 Armatures supérieures tendues 3.2 Armatures horizontales de répartition 3.3 Armatures verticales 3.3.1 Cas où ac ² 0,5.hc 3.3.2 Cas où ac > 0,5.hc 4. Dispositions constructives II. APPLICATION Application : console courte -Énoncé- -Corrigé- 1. Sollicitations en tête de console 2. Vérification de la compression des bielles de béton 3. Armatures 4. Schéma de ferraillage 7 État limite ultime de fatigue I. RAPPELS THÉORIQUES 1. Introduction 2. Combinaisons d’actions 2.1 Combinaison de base 2.2 Combinaison de base plus action cyclique 3. Calcul des contraintes 4. Vérification pour les armatures 4.1 Vérification explicite de l’endommagement 4.1.1 Principe de la vérification 4.1.2 Caractéristiques de la courbe S-N 4.1.3 Processus de vérification 4.1.4 Remarque 4.2 Cas de cycles multiples d’étendue variable 4.3 Méthode de l’étendue de contrainte équivalente 4.4 Cas particuliers 4.5 Cas des armatures d’âme 4.5.1 Inclinaison des armatures d’âme à prendre en compte 4.5.2 Vérification 5. Vérification pour le béton comprimé 5.1 Éléments pour lesquels aucune armature d’âme n’est requise 5.2 Éléments comportant des armatures d’âme II. APPLICATION Application : section rectangulaire sans aciers comprimés -Énoncé- -Corrigé- 1. Sollicitations de flexion pour la vérification à la fatigue dans la section médiane 2. Vérification de la résistance à la fatigue des armatures tendues 3. Vérification de la résistance à la fatigue du béton Annexe ANNEXE A1 Calcul numérique des déformations 1. Pose du problème 2. Arc de parabole circonscrit 3. Calcul numérique des intégrales 4. Méthodes simplifiées pour la double intégration de la courbure 4.1. Méthode basée sur une variation linéaire de la courbure 4.1.1. Introduction 4.1.2. Généralisation 4.1.3. Exemples 4.2. Méthode basée sur une variation de la courbure identique à celle du moment fléchissant 4.2.1. Introduction 4.2.2. Généralisation Bibliographie Index Annexe en ligne A2 Analyse non linéaire - Diagramme contraintes- déformations du béton 1. Préambule 2. Diagramme contraintes-déformations du béton 3. Coefficients de remplissage et de centre de gravité du diagramme contraintes- déformations du béton (analyse non linéaire) 3.1. Diagramme contraintes-déformations envisagé 3.2. Coefficient de remplissage 3.3. Coefficient de centre de gravité 4. Remarque
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