Hydraulique en Charge

HYDRAULIQUE EN CHARGEEcoulement en régime permanent des fluides incompressibles

v1.1.1

Roland O. YONABAING. M. Sc. Eau & EnvironnementAssistant d’Enseignement et de RechercheDépartement Hydraulique et Assainissement/LEAH - 2iEEmail: [email protected]

mailto:[email protected]

OBJECTIFS DE COURS ~ HEC

■ Comprendre et maîtriser les lois essentielles régissant la

dynamique des écoulements en charge

■ Equation de continuité

■ Equation des quantités de mouvement

■ Equation de l’énergie

■ Maîtriser la résolution des problèmes types en HEC :

■ Calcul de débit, de diamètre, de rugosité, de longueur,…

■ Comprendre le comportement énergétique des machines

hydrauliques génératrices (pompes) et réceptrices (turbine)

■ Maîtriser le calcul des réseaux ramifiés et maillés

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PLAN DE COURS

I. Généralités sur les écoulements en charge

II. Energie des écoulements

III. Etude des pertes de charge

IV. Pompes et turbines

V. Théorème des quantités de mouvement

VI. Procédés de calcul de l’écoulement en charge

VII. Calcul des réseaux

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BIBLIOGRAPHIE

27.03.15 4

■ Biaou, Chabi Angelbert. 2009. Cours d'Hydraulique en Charge. Ouagadougou : 2iE, 2009.

■ Carlier, Michel. 1972. Hydraulique Générale et Appliquée. Paris : Eyrolles, 1972.

■ Class, Holger et Walter, Lena. 2011. Environmental Fluid Mechanics - Part I : Hydromechanics.

Stuttgart : Universität Stuttgart, 2011.

■ Dufresne, Matthieu et Vazquez, José. 2013. Hydraulique pour le technicien et l'Ingénieur.

Strasbourg : ENGEES, 2013.

■ Graf, Walter et Mustafa, Altinakar. 1998. Hydraulique Fluviale. Lausanne : Presses

Polytechniques Romandes, 1998.

■ Idel'Cik. 1969. Memento de pertes de charges. Paris : Eyrolles, 1969.

■ Lencastre, A. 1996. Hydraulique Générale. Paris : Eyrolles, 1996.

■ Mar, Amadou Lamine. 2003. Cours d'Hydraulique - T1: Ecoulements en Charge. s.l. : Groupe

des Ecoles EIER-ETSHER, 2003. Vol. 1.

■ Mounirou, Adjadi Lawani. 2014. Essentiel d'Hydraulique Générale. Ouagadougou : 2iE, 2014.

GENERALITES SUR LES ECOULEMENTS EN CHARGE

Chapitre I

01. GENERALITES

■ Réseaux de distribution d’eau potable (AEP : Adduction en Eau

Potable)

■ calcul, conception, dimensionnement

■ gestion, optimisation, maintenance

■ Pompes et stations de pompage

■ Irrigation (sous pression)

■ Le système californien

■ L’irrigation localisée goutte à goutte

■ L’irrigation par aspersion

27.03.15

Domaines d’application

6

01. GENERALITES

■ Ecoulement en charge : écoulement à section pleine. La section

intérieure droite de conduite est entièrement remplie par la veine

liquide.

■ Formes rencontrées : circulaire, rectangulaire, triangulaire...

■ La forme circulaire est optimale et plus répandue : répartition

homogène de la pression à l’intérieur du tube.

27.03.15

Définition d’un écoulement en charge

Paroi de conduite

Section d’écoulement

7

01. GENERALITES

■ Variables caractéristiques des EC : débit 𝑄 et vitesse moyenne 𝑈

■ Au sens large, on admet dans l’étude des EC :

■ L’unidimensionnalité

■ 𝑄 = 𝑓 𝑥, 𝑡 et 𝑈 = 𝑓(𝑥, 𝑡)

■ Types d’écoulements

■ Ecoulements permanents

■ Eclt. Uniforme (et conservatif) : 𝑄 = 𝐶𝑡𝑒 et 𝑈 = 𝐶𝑡𝑒

■ Eclt. Variés :

■ EGV, EBV (conservatifs) : 𝑄 = 𝐶𝑡𝑒, 𝑈 = 𝑓(𝑥)

■ Eclt. Non conservatifs : 𝑄 = 𝑓 𝑥 , 𝑈 = 𝑓(𝑥)

■ Ecoulements non permanents (transitoires)

27.03.15

Classification des EC (Ecoulements en Charge)

8

01. GENERALITES

■ Section mouillée : 𝑆 = 𝜋𝑅2 = 𝜋𝐷2/4

■ Périmètre mouillé : 𝑃 = 2𝜋𝑅 = 𝜋𝐷

■ Rayon hydraulique :

𝑅ℎ =𝑆

𝑃=𝜋𝑅2

2𝜋𝑅=𝑅

2

■ Diamètre hydraulique :

𝐷ℎ = 4𝑅ℎ = 4𝑅

2= 2𝑅 = 𝐷

27.03.15

Eléments de géométrie pour la section circulaire

D

R

9

D = Diamètre intérieurR = Rayon Intérieur

02. REGIME D’ECOULEMENT

■ Viscosité: résistance à l’écoulement uniforme et non turbulent :

traduit la capacité du fluide à s’écouler → 𝑓 𝑇𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒

27.03.15

Viscosité dynamique

F

A= 𝜏 = 𝜂

𝑑𝑉

𝑑𝑦= 𝜇𝑑𝑉

𝑑𝑦

• Le facteur 𝜇 (aussi noté 𝜂), observé pour les fluides newtoniens est appelé viscosité dynamique

• Unité: poiseuille (PI) ou 𝑃𝑎. 𝑠 ou 𝐾𝑔/(𝑚. 𝑠)

10


■ Viscosité cinématique : notée 𝜈, s’exprime en 𝑚2. 𝑠−1

Quelques valeurs de viscosité pour l’eau pure (ASCE)

27.03.15

Viscosité cinématique

Temp (°C)

Masse

volumique

(Kg/m3)

Viscosité

dynamique

(PI)

Viscosité

cinématique

(m²/s)

0 999,9 1,972E-03 1,972E-06

15 999,1 1,140E-03 1,141E-06

20 998,2 1,005E-03 1,007E-06

25 997,1 8,940E-04 8,966E-07

50 988,1 5,490E-04 5,556E-07

100 958,4 2,840E-04 2,963E-07

𝜈 =𝜇

𝜌

11


27.03.15

Expérience de Reynolds : dispositif expérimental

Osborne Reynolds1842 - 1912

12


27.03.15

Expérience de Reynolds : observations

𝑄,𝑈 𝑡𝑟è𝑠 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠Ecoulement en minces

filets parallèles

𝑄,𝑈 ± 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠Filets de courant

sinueux

𝑄, 𝑈 é𝑙𝑒𝑣é𝑠Apparition de turbulence

13


27.03.15

Nombre de Reynolds

■ Nombre adimensionnel, représente le rapport entre les forces d’inertie et de viscosité

𝑅𝑒 =𝐹𝐼

𝐹𝜈=𝜌𝑈2𝐿2

𝜇𝑈𝐿=𝜌𝑈𝐿

𝜇=𝑈𝐿

𝜈

𝑅𝑒 =𝑈𝐷ℎ𝜈=4𝑄

𝜋𝐷ℎ𝜈

■ Permet la caractérisation du régime d’écoulement d’un fluide

■ 𝑅𝑒 < 2300 : régime laminaire

■ 2300 < 𝑅𝑒 < 4000 : régime transitoire (instable)

■ R𝑒 > 4000 : régime turbulent

14

03. PROFIL DE VITESSE

27.03.15

Vitesse moyenne temporelle dans une conduite d’écoulement

𝑣 𝑡 = 𝑉 + 𝑉′

𝑉(𝑟, 𝜃) =1

𝑇 𝑡

𝑡+𝑇

𝑣 𝑡 𝑑𝑡

15

03. PROFIL DE VITESSE

27.03.15

Expression algébrique du profil de vitesse

Ecoulement idéal𝑈 = 𝐶𝑡𝑒

Ecoulement laminaireProfil parabolique

𝑢(𝑟) = 𝑈0 1 −𝑟2

𝑅2

Ecoulement turbulentProfil parabolique

(Pernès, 2004)

𝑢(𝑟) = 𝑈0 1 −𝑟

𝑅

1/𝑛

Avec 𝑈0 = 2𝑈

16

04. CAVITATION

27.03.15

Tension de vapeur ℎ𝑣

Pression à

laquelle la phase

gazeuse d’une

substance est

en équilibre

avec sa phase

liquide et

solide, à une

température

donnée.

17

04. CAVITATION

27.03.15

Condition de cavitation

■ Formation de cavités (ou poches) remplies de vapeur et de gaz

dans un fluide en mouvement

Il y a cavitation lorsque : 𝑃𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑒,𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 < ℎ𝑣

18

ENERGIE DES ECOULEMENTS

Chapitre II

01. CHARGE HYDRAULIQUE

27.03.15

Expression de l’énergie en un point d’écoulement

■ Charge : énergie mécanique totale exprimée pour une masse

fluide en mouvement, en un point de l’écoulement :

■ Energie de pression : p𝒱

■ Energie de potentielle : 𝜌𝑔𝒱𝑧

■ Energie cinétique : ( 1 2)𝜌𝒱𝑉2

■ Energie par unité de poids

𝐻 =𝑝

𝜌𝑔+ 𝑧 +

𝑉2

2𝑔

20


27.03.15

Charge moyenne dans une section (1/2)

■ Dans une section droite de conduite:

𝐻𝑚 =1

𝑄 𝑃

𝜌𝑔+ 𝑧 +

𝑉2

2𝑔𝑑𝑄

■ Le terme 𝑃/𝜌𝑔 + 𝑧 est constant dans la section

■ Mais le terme 𝑉2/2𝑔 varie (cf. profils de vitesse)

■ On substitue à l’écoulement réel un écoulement fictif à

vitesse 𝑈 constante dan la section et l’on définit un coefficient 𝛼tel que: 𝛼𝐸𝑐𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 = 𝐸𝑐𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒

𝛼 =1

𝑈3𝑆 𝑉3𝑑𝑆

𝛼 est appelé coefficient de Coriolis.

21


27.03.15

Charge moyenne dans une section (2/2)

■ La charge moyenne s’écrit donc :

𝐻 =𝑃

𝜌𝑔+ 𝑧 + 𝛼

𝑈2

2𝑔

Valeurs de 𝛼 en fonction du nombre de Reynolds

Régime Reynolds α

Laminaire 𝑅𝑒 < 4 000 2

Turbulent

𝑅𝑒 ≈ 4 000 1,076

𝑅𝑒 ≈ 100 000 1,058

𝑅𝑒 ≈ 2 000 000 1,030

22

02. FLUIDE PARFAIT – FLUIDE REEL

27.03.15

Définition

■ Fluide parfait : mouvement descriptible sans prise en compte

des effets de viscosité et de conductivité thermique

■ 𝐹𝜈 = 𝜇𝛻𝑉 → 0 ⇒ 𝑅𝑒 = 𝐹𝐼 𝐹𝜈 → ∞

■ Concept : aucun fluide existant n’est parfait

■ Fluide s’écoulant sans perte d’énergie

■ Fluide réel: fluide ayant une viscosité. Leur mouvement est

assujetti aux frottements

■ Contre la paroi d’écoulement

■ Intermoléculaires (internes)

Ces frottements induisent des pertes d’énergie.

23

03. THEOREME DE BERNOULLI

27.03.15

Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits (1/2)

■ Daniel Bernoulli (1700 – 1782)

■ Médecin, physicien, mathématicien suisse

■ Hypothèses :

■ Fluide incompressible

■ Régime d’écoulement permanent

■ Ecoulement non tourbillonnaire

■ Fluide supposé parfait

■ Aucune machine hydraulique impliquée

■ Application du théorème de l’énergie cinétique :

∆𝐸𝑐1→2 = 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠 = 𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠.𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 +𝑊𝑓𝑐𝑒𝑠.𝑠𝑢𝑟𝑓𝑎𝑐𝑒

Daniel Bernoulli(1700-1782)

24


27.03.15

Théorème de Bernoulli pour les fluides parfaits (2/2)

𝐻1 = 𝐻2 →𝑃1𝜌𝑔+ 𝑧1 + 𝛼

𝑈12

2𝑔=𝑃2𝜌𝑔+ 𝑧2 + 𝛼

𝑈22

2𝑔

Enoncé du principe

Pour un fluide parfait en mouvement entre deux sections d’écoulements, l’énergie mécanique se

conserve

25


27.03.15

Lignes de charge et ligne piézométrique

■ Ligne piézométrique : 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 =𝑃

𝜌𝑔+ 𝑧

■ Ligne de charge : 𝐻 = 𝐻𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 + 𝐻𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 =𝑃

𝜌𝑔+ 𝑧 + 𝛼

𝑈2

2𝑔

𝑧

𝑃

𝜌𝑔

𝛼𝑈2

2𝑔Ligne de charge

Ligne piézométrique

26


27.03.15

Mise en évidence de la perte de charge de charge pour les fluides réels

■ Vanne fermée (𝑄 = 0). La ligne de charge

est horizontale

■ Vanne ouverte (𝑄 > 0). L’écoulement se fait

avec des frottements

induisant une perte

d’énergie ∆𝐻. La ligne

de charge adopte une

pente J

27


27.03.15

Théorème de Bernoulli pour les fluides réels (1/2)

■ RFD sur le volume 𝑑𝒱 en mouvement : 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝑚a

■ Section de conduite constante : 𝑎 = 0

𝑃1𝜌𝑔+ 𝑧1 + 𝛼

𝑈2

2𝑔−𝑃2𝜌𝑔+ 𝑧2 + 𝛼

𝑈2

2𝑔=𝜏0𝜌𝑔𝑅ℎ𝑑𝑥

Référence

𝐹𝑃2

𝐹𝑃1

𝑃 = 𝜌𝒱 𝑔

𝜏0

𝑑𝑥

𝑧1

1

𝑧2 𝑖

2 𝑥

28


27.03.15

Théorème de Bernoulli pour les fluides réels (2/2)

■ En définissant 𝐽 la perte de charge unitaire (pente de la ligne

d’énergie)

𝐽 = −𝑑𝐻

𝑑𝑥=𝜏0𝜌𝑔𝑅ℎ

■ La contrainte de frottement à la paroi est alors donnée par :

𝜏0 = 𝜌𝑔𝐽𝑅ℎ = 𝜌𝑔𝜑(𝑈)

■ Quelle est la relation : 𝜏0 ∝ 𝜑(𝑈) ? (Cf. Etude des pertes de charge)

29

ETUDE DES PERTES DE CHARGE

Chapitre III

01. PERTE DE CHARGE

27.03.15

Définition et types de perte de charge

■ Tout fluide réel qui s’écoule perd de l’énergie

■ frottement contre les parois de la section d’écoulement

■ action des forces de viscosité

■ turbulence

■ obstacles induisant une courbure prononcée des lignes de

courants,…

■ La perte d’énergie, ou perte de charge, peut être :

■ Linéaire (ou régulière) : frottement du fluide contre la paroi

interne de la conduite, sur une longueur 𝐿

■ Singulière (ou locale) : du fait de singularités (variation brusque

du diamètre, changement de direction, robinetterie,…)

31

02. PERTE DE CHARGE LINEAIRE

27.03.15

Formulation générale

■ La perte de charge linéaire se met sous la forme

∆𝐻 = 𝐽𝐿

■ 𝐽 est la perte de charge unitaire : pente de la ligne d’énergie.

𝐽 = −𝑑𝐻

𝑑𝑥=𝜏0𝜌𝑔𝑅ℎ

𝜏0 = 𝜌𝑔𝐽𝑅ℎ = 𝜌𝑔𝜑(𝑈)

32


27.03.15

Formule de Chézy

■ Postulat de Chézy (1775)

𝜑 𝑈 =𝑈2

𝐶2

■ 𝐶 est le coefficient de Chézy

𝑈 = 𝐶 𝑅ℎ𝐽

𝐽 =𝑈2

𝐶2𝑅ℎ

Antoine de Chézy(1718 – 1798)

33


27.03.15

Formulation moderne de Darcy-Weisbach

■ Analyse dimensionnelle, couplée à des travaux

expérimentaux ont permis d’identifier la

fonction 𝜆

𝜆 = 𝑓𝑘

𝐷, 𝑅𝑒

■ Cette fonction permet le calcul de la perte de

charge par la formule de Darcy et Weisbach

𝐽 =𝜆

𝐷

𝑈2

2𝑔

Henry Darcy(1803 – 1858)

Julius Ludwig Weisbach(1806 – 1871)

34


27.03.15

Calcul de 𝜆: cas du régime laminaire

■ En régime laminaire, la loi de Hagen (1839)

et Poiseuille (1841) lie la chute de pression

aux paramètres de l’écoulement :

𝐽 =128𝜈

𝑔𝜋

𝑄

𝐷4

■ On en déduit pour 𝑅𝑒 < 2000

𝜆 =64

𝑅𝑒

Jean-Louis Marie Poiseuille(1797-1869)

Gotthilf Hagen(1797-1884)

35


27.03.15

Calcul de 𝜆: cas du régime turbulent lisse

■ Le régime d’écoulement est turbulent, mais les effets de la rugosité de la conduite sont négligeables : « tuyau lisse »

■ 𝜆 est exprimé par la formule de Prandtl-Von Karman

1

𝜆= −2 log10

2,51

𝑅𝑒 𝜆

■ Formulation implicite en 𝜆

■ Approximation de Blasius (1911)

𝜆 =0,3164

𝑅𝑒 1 4

Pour 104 < 𝑅𝑒 < 105

Ludwig Prandtl(1875-1953)

Théodore Von Karman(1881-1963)

Heinrich Blasius(1883-1970)

36


27.03.15

Calcul de 𝜆: cas du régime turbulent rugueux

■ Le régime d’écoulement est turbulent, mais

les effets de la rugosité de la conduite sont

prédominants

■ 𝜆 est exprimé par la formule de Nikuradse

1

𝜆= −2 log10

𝑘

3,71𝐷

■ Rugosité ∝ hauteur des aspérités de

conduites

■ 𝑘 est la hauteur des aspérités : rugosité

absolue, en [mm].

■ 𝜖 = 𝑘/𝐷 est la rugosité relative

Johann Nikuradse(1894-1979)

37


27.03.15

Calcul de 𝜆 : généralisation de Colebrook-White

■ Colebrook et White proposent une généralisation des formules de Prandtl-Von Karman et Nikuradse en 1839, applicable aux régimes transitoires et turbulents

1

𝜆= −2 log10

𝑘

3,71𝐷+2,51

𝑅𝑒 𝜆

■ Implicite en 𝜆, résolution par recherche itérative

■ Méthode trial & error

■ Méthode de convergence (Newton-Raphson,…)

■ Méthode de l’abaque: diagramme de Moody-Stanton

■ Approximations : Moody (1947), Swamee et Jain (1976), Haaland (1983), Chen (1984)…

Cyril Frank Colebrook(1910-1997)

Cedric Masey White(1898-1993)

38


27.03.15

Calcul de 𝜆 : diagramme de Moody et Stanton (1944)

39


27.03.15

Formules empiriques : formule de Gauckler-Manning-Strickler

■ Plus couramment appelée « formule de Manning-Strickler »

■ Très employée dans l’étude des écoulements à surface libre

■ Réécriture du coefficient de Chézy

■ Initialement proposée par Philippe Gauckler (1867)

■ Redécouverte par Manning (1885) : 𝐶 =1

𝑛𝑅ℎ1/6

■ Puis par Strickler : 𝐶 = 𝐾𝑠𝑅ℎ1/6

■ On en déduit, pour une conduite en charge

𝐽 =4103 𝑄2

𝜋2𝐾𝑠2𝐷163

≈10,29𝑄2

𝐾𝑠2𝐷5,33

Robert Manning(1816-1897)

40


27.03.15

Formules empiriques : formule de Hazen et Williams

■ Très employée aux USA

■ Introduction d’un coefficient de rugosité noté 𝐶𝐻𝑊

Allen Hazen(1869-1930)

Gardner Stewart Williams(1866-1931)

𝐽 =10,675𝑄1,852

𝐶𝐻𝑊1,852𝐷4,87

41


27.03.15

Formules empiriques : formule de Calmon et Lechapt (1965)

■ Formule de type monôme d’expression simplifiée

■ Traduit les influences relatives des paramètres 𝑄, 𝐿, 𝐷 sur la perte de

charge

■ Le triplet de coefficients {𝑎, 𝑛,𝑚} représente la rugosité de conduite

𝐽 = 𝑎𝑄𝑛

𝐷𝑚

42


27.03.15

Correspondances entre facteurs de rugosité

Correspondances entre 𝐾𝑠, 𝑘, 𝐶𝐻𝑊

Correspondances entre

𝑘 𝑒𝑡 {𝑎, 𝑛,𝑚}

43

03. PERTE DE CHARGE SINGULIERE

27.03.15

Notion de singularité (1/2)

• Courbure des lignes de courant, qui décollent de la paroi

• Formation de zones de recirculation

44


27.03.15

Notion de singularité (2/2)

Comportement des lignes de courant au passage à travers une vanne (Idel’Cik, 1986)

45


27.03.15

Expression de la perte de charge singulière

■ La perte de charge singulière (ou locale) est liée à la charge cinétique de l’écoulement, prise en une section de référence

∆𝐻𝑠 ∝𝑈2

2𝑔

■ On définit un coefficient adimensionnel 𝐾, appelé coefficient de débit, dont la valeur dépend de la singularité.

∆𝐻𝑠 = 𝐾𝑈2

2𝑔=8𝐾𝑄2

𝑔𝜋2𝐷4

■ On peut assimiler une perte de charge singulière à une perte de charge linéaire de longueur équivalente 𝐿𝑒 = 𝐾𝐷/𝜆

46

POMPES ET TURBINES

Chapitre IV

01. POMPE

27.03.15

Définition

■ Pompe : générateur d’énergie, permet de déplacer un liquide

d’un point d’énergie faible à un point d’énergie plus élevé.

𝐻𝑝 = 𝐻𝑀𝑇 = 𝐻𝑠 − 𝐻𝑒 = 𝐻𝑔𝑒𝑜 + ∆𝐻

𝐻𝑝 = 𝑍2 − 𝑍1 +𝑃2 − 𝑃1𝜌𝑔

+ ∆𝐻𝑎𝑠𝑝 + ∆𝐻𝑟𝑒𝑓

𝑃ℎ = 𝜂𝑝. 𝑃𝑒𝑙 = 𝜌𝑔𝑄𝐻𝑝

P

𝑃𝑒𝑙 𝑃ℎ

48

02. TURBINE

27.03.15

Définition

■ Turbine : consommatrice d’énergie, prélève de l’énergie à

l’écoulement pour transformer (production d’électricité).

𝐻𝑇 = 𝐻𝑒 −𝐻𝑠

𝑃ℎ =𝑃𝑒𝑙𝜂𝑝= 𝜌𝑔𝑄𝐻𝑇

T

𝑃ℎ 𝑃𝑒𝑙

49

03. EQUATION D’ENERGIE GENERALISEE

27.03.15

Théorème de Bernoulli généralisé aux machines hydrauliques

■ Entre les sections 1 et 2 de l’écoulement :

𝐻1 + 𝐻𝑝 = 𝐻𝑇 + 𝐻2 + ∆𝐻1−2 +1

𝑔 1

2𝜕𝑉

𝜕𝑡𝑑𝑠

■ En régime permanent :

𝐻1 − 𝐻2 + 𝐻𝑝 − 𝐻𝑇 = ∆𝐻1−2

Représente les forces

d’inertie par unité de

poids

50

04. POMPE ET CAVITATION

27.03.15

Hauteur maximale d’aspiration d’une pompe de surface

■ La hauteur maximale d’aspiration pour une pompe de surface est donnée par la condition de non cavitation à l’entrée de la pompe

𝑍𝑒 − 𝑍1 <𝑃1𝜌𝑔− ∆𝐻1−𝑒 − ℎ𝑣

■ En pratique, la valeur de 7 m est utilisée, en admettant que le plan d’eau à l’aspiration est libre.

■ Cette condition n’est pas limitante pour les pompes aspirant en charge

51

THEOREME DES QUANTITES DE MOUVEMENT

Chapitre V

01. QUANTITE DE MOUVEMENT

27.03.15

Théorème de Quantité de Mouvement (ou Théorème d‘Euler) (1/2)

■ S’applique aux changement de

direction d’un écoulement

■ Calcul action eau/joint

■ Norme, direction et sens

■ S’applique au calcul de butée

53

Leonhard Euler1707-1783

01. QUANTITE DE MOUVEMENT

27.03.15

Théorème de Quantité de Mouvement (ou Théorème d‘Euler) (2/2)

■ Soit 𝑰 le vecteur impulsion (quantité de mouvement) d’une masse fluide en mouvement :

𝐼 = 𝑚𝑈 = 𝜌𝒱𝑈

■ Le théorème d’Euler énonce alors que:

∆ 𝐼

∆𝑡= 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 + 𝐹𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 − 𝑅

■ Pour un système à plusieurs branches (entrées et sorties) :

𝑖

𝜌𝑄𝑖𝑈𝑖𝑛𝑖 =

𝑖

𝐹𝑖 + 𝜌𝑑𝒱 𝑔 − 𝑅

54

02. APPLICATION

27.03.15

Cas d’un coude

𝑅𝑥 = −𝜌𝑄𝑈2 − 𝐹2

𝑅𝑦 = 𝜌𝑄𝑈1 + 𝐹1

𝑅 = 𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦

2

𝜃 = atan𝑅𝑦𝑅𝑥

𝜃𝐹1

𝐹2

𝑈1

𝑈2

𝑅

𝑅𝑥

𝑅𝑦 𝑅

𝑛1

𝑛2

𝑥

𝑦

𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝑃𝑒𝑓𝑓𝑆

𝑃𝑒𝑓𝑓 = 𝑃𝑎𝑏𝑠 − 𝑃𝑎𝑡𝑚

55

PROCEDES DE CALCUL DE L’ECOULEMENT EN CHARGE

Chapitre VI

01. SYSTÈME D’ECOULEMENT

27.03.15

Définition

■ Système d’écoulement : ensemble de nœuds (ou sommets)

connectés par des tronçons de conduite (arcs)

■ Modélisable par un graphe

■ Le réseau hydraulique est un système d’écoulement dans lequel

■ Les nœuds sont des points de desserte (distribution)

■ Les tronçons sont des conduites qui transitent la demande au

nœuds.

57

01. SYSTÈME D’ECOULEMENT

27.03.15

Lois applicables

■ Loi des nœuds : conservation de masse

■ Loi des tronçons : traduit la conservation de l’énergie mécanique

(théorème de Bernoulli)

𝑄𝑒1

𝑄𝑒2

𝑄𝑠1

𝑄𝑠2 𝑄𝑒 = 𝑄𝑠

𝑖

𝑗

𝐻𝑖 −𝐻𝑗 = 𝑓𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑗

58

02. NORMES DE CALCUL DES RESEAUX

27.03.15

Conditions les plus défavorables

■ Réseau conçu avec l’esprit du « qui peut le plus peut le moins ».

■ Dimensionnement mené en situation de pointe (situation la plus

défavorable)

■ Débits maximaux écoulés dans les tronçons

■ Pressions minimales à tous les nœuds de distribution

■ Possibilité de concevoir avec une qualité de service (loi de

Clément)

■ Mais nécessité de connaitre les fréquences d’occurrence des

débits de pointe

59


27.03.15

Conditions de vitesse

■ Si la vitesse d’écoulement est trop forte

■ Pertes de charge élevées

■ Seuil limite pour le matériau canalisant l’écoulement

■ Si la vitesse d’écoulement est trop faible

■ Risque de dépôts (loi de décantation de Stokes)

■ Nécessité de définir une plage admissible de vitesses, selon les

domaines d’applications

■ AEP : 0,5 𝑚/𝑠 − 1,5 𝑚/𝑠 (vitesse économique 1 𝑚/𝑠)

60


27.03.15

Conditions de pression (1/3)

Conduite en dépression

61


27.03.15


Problème de cavitation

62


27.03.15


Profil idéal

63

03. PROCEDES DE CALCUL

27.03.15

Association de conduites en série

∆𝐻𝑒𝑞 = JL =

𝑖

𝐽𝑖𝐿𝑖 𝑄𝑒𝑞 = 𝑄𝑖 = 𝑄

64


27.03.15

Association de conduites en parallèle

∆𝐻1 = ∆𝐻2 = ⋯ = ∆𝐻𝑛

𝑄𝑒𝑞 =

𝑖

𝑛

𝑄𝑖

𝐿1, 𝐷1, 𝑄1

𝐿2, 𝐷2, 𝑄2

𝐿3, 𝐷3, 𝑄3

𝐿𝑛, 𝐷𝑛, 𝑄𝑛

𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑄𝑖

𝐴 𝐵

65


27.03.15

Desserte de débits unitaires égaux à égales distance (1/2)

66


27.03.15

Desserte de débits unitaires égaux à égales distance (2/2)

𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑

𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞

𝑄1𝑄0

∆𝐻 = 𝑎𝑑

𝐷𝑚

𝑖

𝑁

𝑄1 + 𝑖𝑞𝑛

𝑄𝑒𝑞 ≈1

3𝑄0

Si 𝑄1 = 0, ∆𝐻 = 𝑓 𝑄2 et

𝑁 assez grand, alors :

67


27.03.15

Desserte en route

𝑑𝑥

𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞

𝑄1𝑄0

… . . . … . . . … . . . … . . . … . . . … . . .

𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑄𝑒𝑞 =𝑄0𝑛+1 − 𝑄1

𝑛+1

𝑄0 − 𝑄1 (𝑛 + 1)

1𝑛

𝑄𝑒𝑞 =1

𝑛 + 11𝑛

𝑄0 𝑄𝑒𝑞 = 0,55𝑄0 + 0,45𝑄1

Si 𝑸𝟏 est nul : Si 𝒒 ≪ 𝑸𝟎, 𝑸𝟏 :

68


27.03.15

Méthode des approximations successives

Objectif : trouver les 𝑄𝑖Données : Le débit total 𝑄, les 𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑟𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑡é𝑠

Critère d’arrêt: 𝜀 ≈ 10−1, 10−2, 10−3, …

Algorithme :

Répéter:

Fixer 𝑄′1Calculer ∆𝐻1Calculer les 𝑄′𝑖 𝑖≠1 (les ∆𝑯𝒊 sont égaux)

Calculer 𝑄′ = 𝑄′𝑖

Jusqu’à ce que 𝑄′ − 𝑄 < 𝜀

𝐿1, 𝐷1, 𝑄1

𝐿2, 𝐷2, 𝑄2

𝐿3, 𝐷3, 𝑄3

𝐿𝑛, 𝐷𝑛, 𝑄𝑛

𝐿𝑖 , 𝐷𝑖 , 𝑄𝑖

𝑄

69

CALCUL DES RESEAUX

Chapitre VII

01. RESEAUX HYDRAULIQUES

27.03.15

Fonctions des réseaux hydrauliques

■ Acheminer le fluide d’un réservoir vers des abonnés

■ Doit satisfaire des exigences

■ Débits demandé par l’abonné

■ Pression de service

■ Vitesse d’écoulement dans la gamme de valeurs admise

71


27.03.15

Typologie des réseaux hydrauliques

Réseau ramifié Réseau maillé

72


27.03.15

Problèmes types de calcul

■ Objectif : calculer les

charges et les pressions

à tous les nœuds

■ Calcul amont-aval

■ Objectif : calculer la

côte du plan d’eau au

réservoir

■ Calcul aval-amont

73

02. RESEAUX RAMIFIES

27.03.15

Calcul amont-aval (1/2)

■ Evaluer les débits de dimensionnement par tronçon en

situation de pointe

■ Choisir les diamètres de conduite (sur la base d’une

vitesse idéale)

𝐷𝑡ℎ =4𝑄𝑑𝑖𝑚𝜋𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

𝑒𝑡 𝐷𝑠𝑡𝑑 ≥ 𝐷𝑡ℎ

■ Calculer les pertes de charge par tronçon

∆𝐻𝑖𝑗 = 𝑓 𝑄𝑖𝑗 , 𝐿𝑖𝑗 , 𝐷𝑠𝑡𝑑𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗

74


27.03.15

Calcul amont-aval (2/2)

■ Evaluer les charges sur chaque nœud par le Théorème de

Bernoulli

𝐻𝑗 = 𝐻𝑖 − ∆𝐻𝑖𝑗 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑄𝑖→𝑗

■ Calculer les pressions statiques (ou maximales) et

dynamiques (ou réelles)

𝑃𝑚𝑎𝑥,𝑖 = 𝐻𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 − 𝑍𝑖 et 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 = 𝐻𝑖 − 𝑍𝑖 −𝑈𝑖2

2𝑔

■ S’assurer qu’en tout point 𝑖, 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 ≥ 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖

Terme souvent négligé pour son ordre de grandeur dans les réseaux

75


27.03.15

Calcul aval-amont (1/3)

■ Evaluer les débits de dimensionnement par tronçon en

situation de pointe

■ Choisir les diamètres de conduite (sur la base d’une

vitesse idéale)

𝐷𝑡ℎ =4𝑄𝑑𝑖𝑚𝜋𝑈𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙

𝑒𝑡 𝐷𝑠𝑡𝑑 ≥ 𝐷𝑡ℎ

■ Calculer les pertes de charge par tronçon

∆𝐻𝑖𝑗 = 𝑓 𝑄𝑖𝑗 , 𝐿𝑖𝑗 , 𝐷𝑠𝑡𝑑𝑖𝑗 , 𝑘𝑖𝑗

76


27.03.15


■ Calculer la charge minimale imposée au réservoir par

chaque nœud de desserte

𝐻𝑖𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝

= 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖 + 𝑍𝑖 +

𝑖

𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟

∆𝐻

■ On retiendra comme ligne de charge la valeur maximale

des charges 𝐻𝑖𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝

𝐻𝑟é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 = max(𝐻𝑖𝑚𝑖𝑛,𝑖𝑚𝑝

)

77


27.03.15


■ On effectue un calcul retour (amont aval) afin de retrouver

les charges et pressions (dynamiques et statiques)

𝐻𝑗 = 𝐻𝑖 − ∆𝐻𝑖𝑗 (𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑄𝑖→𝑗)

𝑃𝑚𝑎𝑥,𝑖 = 𝐻𝑅é𝑠𝑒𝑟𝑣𝑜𝑖𝑟 − 𝑍𝑖 et 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 = 𝐻𝑖 − 𝑍𝑖

■ Vérifier aussi qu’en tout point 𝑖, 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 > 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖.

78

03. RESEAUX MAILLES

27.03.15

Problématique de calcul

■ Dans le cas des réseaux ramifiés, le sens d’écoulement

est implicite

■ Les débits en tronçon sont facilement déterminés

■ Mais pas dans le cas des réseaux maillés

■ Sens d’écoulement en tronçon ?

■ Débits fictifs de dimensionnement ?

■ Résolution des boucles

■ Méthodes itératives, méthodes matricielles

79

03. RESEAUX MAILLES

27.03.15

Méthode de Hardy Cross

■ Hardy Cross : méthode itérative de calcul de réseau maillé en

régime permanent

■ Relativement simple à mettre en œuvre

■ Convergence rapide (selon la graine initiale)

■ Facile à implémenter (programmation)

■ Deux approches

■ Approche aux nœuds : égalisation des débits

■ Approches aux boucles : égalisation des charges

■ Autres méthodes itératives : Newton-Raphson, Wood-Charles, …

80

Hardy Cross1885-1950

03. RESEAUX MAILLES

27.03.15

Hardy Cross : méthode d’égalisation des charges (1/3)

■ Objectif : pour une maille, ou plusieurs mailles contiguës,

retrouver les débits de dimensionnement dans les tronçons et

leur sens d’écoulement en régime permanent

■ Principe : trouver une répartition de débits qui annule la

perte de charge dans la maille

𝑎𝐿𝑖𝐷𝑖𝑚

𝑖=1

𝑁

𝑄𝑖𝑛−1 𝑄𝑖 = 0

𝐼𝐼𝐼

𝑄1

𝑄2

𝑄3

𝑄4

81

03. RESEAUX MAILLES

27.03.15


■ Identifier et numéroter les mailles

■ Fixer une convention de parcours de parcours de maille

■ Répartir arbitrairement les débits par tronçon

■ Evaluer une correction 𝑑𝑞 telle que

𝑎𝐿𝑖𝐷𝑖𝑚

𝑖=1

𝑁

𝑄𝑖 + 𝑑𝑞𝑛−1(𝑄𝑖 + 𝑑𝑞) = 0

Soit donc :

𝑑𝑞 = − 𝑖=1𝑁 ∆𝐻𝑖

𝑛 𝑖=1𝑁 ∆𝐻𝑖𝑄𝑖

82

03. RESEAUX MAILLES

27.03.15


■ Calculer les débits corrigés 𝑄′𝑖 = 𝑄𝑖 + 𝑑𝑞

■ Pour les tronçons appartenant à deux mailles, effectuer

une double correction.

■ Reprendre la procédure en itération 𝒏 + 𝟏 avec les nouveaux

débits 𝑄′𝑖■ critère d’arrêt des itérations : 𝑑𝑞 < 10−1 ~ 10−3 𝑙 𝑠

■ Conduire alors un calcul amont-aval ou aval-amont suivant

les paramètres recherchés

■ Calcul de charges réelles, pressions,…

83

04. CORRECTION DE PRESSION

27.03.15

Méthodes de correction des insuffisances de pression

■ Problème: 𝑃𝑑𝑦𝑛,𝑖 < 𝑃𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑒,𝑖

■ Quelques moyens de correction

■ Augmenter les diamètres de conduite,

■ Choisir des conduites de plus faible rugosité,

■ Relever la ligne de charge (surélévation du radier du

réservoir, surpresseurs,…)

■ Retenir une ou plusieurs solutions selon

■ La facilité de mise en œuvre, le coût…

84

QUELQUES LOGICIELS…

LOGICIELS

27.03.15

Outils de simulation des réseaux en charge

86

http://hydraulicad.com/

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http://www.innovyze.com/products/h2onet/

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http://www.bentley.com/en-US/Products/WaterGEMS

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http://www.kypipe.com/kypipe

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http://www.epa.gov/nrmrl/wswrd/dw/epanet.html

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http://porteau.irstea.fr/

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http://www.mikepoweredbydhi.com/products/mike-urban

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http://www.pipeflow.co.uk/public/control.php

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http://www.bentley.com/fr-fr/Products/WaterCAD/

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Engineering

Hydraulique en Charge