Modélisation en évolution et génétique quantitative

Patrice DAVID

Le problème : modéliser l’évolution d’un ou plusieurs caractères sous diverses conditions

• 3 méthodes

Phénotypique

OptimisationThéorie des jeuxDynamique adaptative

Génétique des pops

locusModifieursFréquences, déséquilibres de liaison

Génétique quanti

Variance génétiqueHéritabilitéGradient de sélection

3 façons de représenter la transmission des caractères

Phénotypique

Hérédité uniparentale clonale

Génétique des pops

Lois de Mendel

Génétique quanti

Hérédité quantitative

• 1) La GQ comme modèle de transmission des phénotypes

• 2) Un exemple de modèle d’évolution formalisé en GQ

• 3) Le gros avantage de la GQ : le lien avec des paramètres mesurables

• 4) Les limites; évolution à long terme

• 5) Résumé

PLAN

• 1) La GQ comme modèle de transmission des phénotypes

• 2) Un exemple de modèle d’évolution formalisé en GQ

• 3) Le gros avantage de la GQ : le lien avec des paramètres mesurables

• 4) Les limites; évolution à long terme

• 5) Résumé

• Les débuts de la GQ : Les biométriciens

Francis Galton (1822-1911)

-Accent sur les distributions continues des caractères (opposé aux mendéliens)- va de pair avec une vision de l’évolution par décalage progressif (id)

portrait

La GQ en une équation, et en plus elle est pas compliquée

P = G + E

La déviationPhénotypique(1 individu par rapport à sa pop)

La déviationGénotypique(1 individu par rapport à sa pop)

La déviationEnvironnementale(1 individu par rapport à sa pop)

Jusqu’ici, un exercice purement formel; ça ne sert à rien si G et E restent indéterminés

VP = VG + VE

(Cov(G,E)=0)

P = G + E

Cov(PX,PY; X et Y jumeaux) = Cov(Gx+Ex,Gy+Ey) =Cov(Gx,Gy)+Cov(Gx,Ey)+Cov(Ex,Gy)+Cov(Ex,Ey) =Cov(Gx,Gy) =

(sachant que Gx=Gy…)Cov(Gx,Gx) = V(Gx) =VG

G est la moyenne d’un même génotype répliqué (cloné) et distribué au hasard dans les environnements

Déterminer G

Autre écriture de la même chose : ressemblance entre clones

Généralisation = L’hérédité en GQ se représente comme une ressemblance (=covariance) entre apparentés dans une population

• Cohérence de la GQ avec Mendel : le modèle allélique de Fisher

- Covariances entre apparentés autres que des jumeaux ou clones (repro sexuée)

Cov(PX,PY; X parent et Y enfant) = .. = ½ VA

Mendel = parent et enfant partagent la moitié de leurs gènes

Fisher (1916)

G = i + j +i,j

V(G)= 2 V() + V() = VA + VD

Cov(PX,PY) = 4 cov(iX,iY) + cov(ijX,ijY)

= 2 A VA + D VDEffets additifs des allèles

InteractionNon additive(eg dominance)

Var additiveVar de dominance

Probas d’identités entre allèles ou paires d’allèles entre les deux individus X et Y; dépend de leur apparentement

Quelques aspects du modèle de Fisher

-Le modèles peut intégrer autant de locus qu’on veut et rester valide, pour peu que les effets des locus s’additionnent entre eux…

-Une famille n’est pas un génotype : plus de la moitié de la VA ségrège à l’intérieur d’une famille de plein frères

-On ressemble plus à son plein-frère qu’à ses parents…

L’évolution en GQ : une deuxième équation, pas beaucoup plus compliquée que la première, et quelques variantes

R= h² S

= (VA / VP) S

= VA (S/VP)

= VA.

-3 -2 -1 0 1 2 3 mid-parent

enfant

0h2

Parentsrejetés

Parentsconservés

S

R

Réponse à la sélection

héritabilitéDifférentiel de sélection

Gradient de sélection

= dLn(W) / dX

Extension à plusieurs caractères

-La covariance génétique / La corrélation génétique entre deux caractères (eg trade-off)

-Bases de ces corrélations : déséquilibres de liaison + pléiotropie

-L’effet d’entraînement ou sélection indirecte

Rx = VA(x) X) + CovA(X,Y) Y)

Généralisation

R = G.

Vecteurévolution

Matrice de var-covargénétique ou« matrice G »

VecteurGradient desélection

Caractère X

Caractère

Y

• 1) La GQ comme modèle de transmission des phénotypes

• 2) Un exemple de modèle d’évolution formalisé en GQ

• 3) Le gros avantage de la GQ : le lien avec des paramètres mesurables

• 4) Les limites; évolution à long terme

• 5) Résumé

Ex: le Runaway de Fisher (1935) en sélection sexuelle : coévolution ornement-préférence

w(préférence / femelle) = F+(ornement du partenaire, préférence des femelles)

- the "sexy son hypothesis"

Feed-back positif, Fisher's Runaway process

w(ornement / mâle) = F+(préférence des femelles) - coût

+

+

* Le modèle monogénique haploïde de Kirkpatrick (1982)T,t exprimé uniquement chez les mâlesP,p exprimé uniquement chez les femellesviabilité : t = 1, T = 1-c

Proba (T x p / p ) = freq (T)Proba (T x P / P) > freq (T)

* coévolution due à une association (déséquilibre gamétique) entre P et T* résultat dépend des fréquences de départ

Freq(T)

freq(P)

0 10

1

Ligne d'équilibres neutres

-b Px

Pas d'évolution

* Le modèle continu de Lande (1981), Pomiankowski et al 1991

TP G sel(T)

sel(P)=

variation du trait et de la préférence moyens en une génération

matrice devariance-covariancegénétique de T et Psupposée constante aveccovariances positives

Gradients de sélection pour T et P =gains relatifs en fitness par unité de T (chez les mâles) ou P (chez les femelles), tout étant constant par ailleurs

ln W(mâle)= a P (T - T) - c T 2

bénéfice coût

ln W(femelle)= 0

Ligne d'équilibres neutres P = 2c/a T

P

T

-u 0

* Comment sauver le processus de Fisher ? le biais de mutation

* idée : les mutations tendent en moyenne à détériorer l'ornement

TP G sel(T)

sel(P)= +

Biais de mutation

P

Tau point d'équilibre

- la fitness des femelles n'est pasmaximisée (coût)

- la fitness des mâles n'est pas maximisée (id.)

• 1) La GQ comme modèle de transmission des phénotypes

• 2) Un exemple de modèle d’évolution formalisé en GQ

• 3) Le gros avantage de la GQ : le lien avec des paramètres mesurables

• 4) Les limites; évolution à long terme

• 5) Résumé

Les variances et covariances génétiques peuvent se mesurer !!!

(c’est pénible mais ça se fait)

Le principe = mesurer des covariances entre individus dont les relations d’apparentement sont connues ( pédigrées in natura ) ou fabriquées (pédigrées contrôlées au labo, croisements)

Méthodes statistiques basées sur les modèles aléatoires

Ex familles de demi-frères :Variance inter-familles = covariance intra-famille = ¼ VA

Autre façon : mesurer l’héritabilité réalisée grâce à la réponse à une sélection artificielle

H² = S / R

Ex de la sélection sexuelle : la matrice de variance-covariance génétique a-t-elle la forme spécifiée dans les modèles ?

Gasterosteus aculeatus Cyrtodiopsis whiteicorrélation frère-soeur sélection artificielle

ornement (frère)

préférence (soeur)

nb de femelles m

âle L - m

âle S

L Snon sél.

On peut aussi mesurer les gradients de sélection dans la nature

-Avoir une mesure décente de la fitness W-Avoir une mesure de caractères x, y, z-Obtenir une fonction W(x,y,z) et plus précisément les coefficients de régression partiels de ln(W) sur x, y , z (gradient de sélection)

Ex : plante Polemonium viscosum , gradient de sélection sur la taille de corolle

R= h² S marche bien

Exemples : sélection sur la teneur en gras du maïs

R= h² S marche bien, à court terme !!!

Exemples : sélection sur la masse protéique de souris

• 1) La GQ comme modèle de transmission des phénotypes

• 2) Un exemple de modèle d’évolution formalisé en GQ

• 3) Le gros avantage de la GQ : le lien avec des paramètres mesurables

• 4) Les limites; évolution à long terme

• 5) Résumé

-démarche typique d’un modèle de GQ

1) exprimer en termes simples les gradients de sélection

2) supposer la matrice G constante, éventuellement d’une forme contrainte

3) annuler le gradient de sélection pour trouver des équilibres s’il y en a; sinon rechercher des cycles-limites

Pb : la matrice G (ou la variance génétique) n’est pas une constante fixée dans la nature

Elle résulte d’un processus de mutation + sélection + recombinaison + dérive

… dont le résultat dépend de l’architecture génétique du trait (nombre, position, effets des allèles)

-exemple d’architecture : modèle infinitésimal (Kimura, Bulmer)

-Une infinité de locus à effets très petits, additifs-Distribution gaussienne des valeurs de G (Loi normale)-VG ne diminue pas avec la sélection directionnelle

-exemple d’architecture : modèle gaussien (Lande)

-Un nombre fini de locus, additifs; effets des allèles sur le phénotype = valeurs aléatoires gaussiennes-Distribution gaussienne des valeurs de G-VG dépend de la variance de mutation, de la sélection, et de la recombinaison et peut atteindre une valeur stationnaire

-exemple : traiter un problème de trade-off

Modèle phénotypique

Modèle mendélien(génet pop)

Modèle quantitatif

Fécondité FTai

lle d

e G

rain

e

Fonction très contrainten’évoluant pas

Fécondité FTai

lle d

e G

rain

e*

*

Allèle 1

Allèle 2

Fécondité FTai

lle d

e G

rain

e

Allèles prédéfinis Matrice G fixée

Les trois types de modèles partagent la même limite : restriction des devenirspossibles liée au champ de variation défini au départ

Le paradoxe du trade-off

Modèle quantitatif (le seul vraiment mesurable en général)

Fécondité FTai

lle d

e G

rain

e

Fécondité FTai

lle d

e G

rain

e

attendu observé

-Variation de « qualité générale » des individus affectant à la fois fécondité-et taille de graine…- ex : mutations délétères ségrégeantes affectant les deux à la fois; quel est leur poids dans la trajectoire évolutive réelle de la pop- intégrer une matrice de variance mutationnelle avec pléiotropie + sélection…

• 1) La GQ comme modèle de transmission des phénotypes

• 2) Un exemple de modèle d’évolution formalisé en GQ

• 3) Le gros avantage de la GQ : le lien avec des paramètres mesurables

• 4) Les limites; évolution à long terme

• 5) Résumé

La GQ c’est

-Assez facile mais il faut aimer les variances et les covariances

-Un mode de représentation des l’hérédité adapté aux caractères continus à déterminisme multilocus plus ou moins « boîte noire » dans des espèces sexuées

-Avantageux pour pouvoir comparer les modèles avec de vraies mesures : il est possible (mais coûteux en temps et en énergie) de mesurer des variances génétiques en labo et dans la nature, et l’évolution de traits / la sélection sur des traits… mais essayez donc de mesurer des fréquences d’allèles modifieurs…

-Limité par des hypothèses passe-partout (constance de la variance génétique fixée de l’extérieur) qui sont super pratiques pour les calculs mais insatisfaisantes (c’est un peu vrai de tous les modèles d’évolution)

L’évolution de la matrice G peut être considérée comme un problème ouvert en biologie de l’évolution

3 façons de mater la matrice G dans un modèle

A l’anglaiseA l’américaine A la bourrin

-on suppose G constante, d’un trait de plume, et on y croit

(méthode culottée mais élégante et facile, produit des formules compactes et simples)

-on bricole un modèle multilocus (eg infinitésimal, gaussien) et on se lance dans les calculs

(méthode compliquée, mais on obtient des formules qui épatent la galerie avec plein de et de )

-on simule un million d’allèles et de locus avec des simuls individu-centrées

(bourrin et efficace, la grosse Bertha, on n’a pas besoin d’avoir sucé les maths au biberon, mais attention à ne pas s’égarer dans la jungle des paramètres)