tre en évidence les

de fonctionnement

arbre.

La hantise du répondeur

Chaque soir, Léo appelle Clara une fois sur son portable. Hélas, il tombe souvent sur son

répondeur ! Léo estime que cela se produit avec une chance sur cinq lors d'un appel en

semaine (du lundi au vendredi) et trois chances sur quatre le week-end (samedi ou

dimanche). On cherche la probabilité qu'un soir pris au hasard dans I'année, Léo soit mis

en relation avec ce maudit répondeur.

On désigne par S lévénement < Lappel a lieu un soir de semaine >

et par R lévénement < Léo tombe sur le répondeurde Clara >.

1. Quelle alternative illustre l'amorce d'arbre ?

Déterminer p(s)et p(5). necopier le schéma etinscrire ces deux valeurs le long des branches.

2. On prolonge le schéma à partir de S avec les

deux éventualités qui sbffrent à Léo : R ou R.

Recopier et compléter avec les probabilitésattendues.

3. Achever I'arbre

;i.l l,' I,,/ l:"i;)

r,9Ëxpérience

i ' nrrnéro

?1.1l

ISanraine ccl$eek-e*d T

s

.çRépondeur

su Clara ?

R

fi

C

U=

co*age;el'issue réalisée

\{JR

!vâSC

?

--r'-i-=\=

5

7

et vérifier qu'il résume bien, à lui seul, tout lénoncé.

tjll,, I,itt+,;gt:iË.:1:ii"rilrii;.i|lr.* iiil,'rrr- Ï+:i,ii tl'ii+il*t.li,i,.r:i'iiii;ii!.1i

On a simulé à l'aide d'un tableur 10 000 appels (autres simulations disponibles sur le site.)

En déduire, à 10-2 près,les fréquences des événements SnR, SnR et R.

ssffiaine Week-encl Total

RÉpondeur I 431 ! 183 :t 98rl

llara 5 657 74S 6 4S6

folâl 3 û88 2 *12 10 ss8

l,il,, iii+,i:;1,,*,;,riir';t ï'tiii.i{i'ilr jrT,i rù,i.:"{+,tl:,: +;Jit f.ii+ttç!,.]i+'i'il't,,tfitllt+,inll

1. ll existe, sur l'arbre, quatre chemins menant du départ aux extrémités de l'arbre.

a. Repasser d'une autre couleur le chemin qui correspond à lévénement S n R.

b. A partir des probabilités lues sur ce chemin, Rèole I La orobabilité de lévénementtrouver une méthode de calcul de p(S n R) qui .Sri"rronaunt à un cheminsoit en accord avec lêxpérimentation (partie B). est obtenue en .... ......... les

c. Recopier et compléter la règle 1. probabilités portées par ses branches.

2. Dans l'arbre, un second chemin conduit à R.

a. Quel événement représente-t-il ? Quelle est

sa probabirité ? Règre 2 La probabirité de révénement

b. comment peut-on, à partir des probabilités correspondant à plusieurs chemins

desdeuxchemins-"or[u",Jn,.liJÀ'ptni z "'] :P:Î..|Y:.en ""'"""' les

Recopier et compléter la règle 2.

Chapitre 8. Probabilités

ilffie Àercicer

Sans crayon, sans calculatrice

Ces activités sont à faire mentalement.

Calculer O,++95

Factoriser puis simplifier ' 211 -210

;$ t" triangle ABC tel que AB = G, ec =2G ,

CA = 3 rE est-il rectangle ?

# Quette est l'image du nombre -définie par f (x) = - x2 +O ,25 ?

ff Resoudre a.3x+4=8 Lt.- 2x+1=3x+6

t;fl LorsOu'on tire au hasard un entier compris entre 0 et

10, quelle est la probabilité dbbtenir le carré d'un entier ?

# "

y a86o/odélèves droitiers dans un lycée.

Quelle est la probabilité de tomber par hasard sur un

élève qui ne le soit pas ?

f Couleurs de bonbons (d'après PISA)

Victoria aime les bonbons rouges. Elle prend au hasard un

bonbon dans un sac opaque. Le nombre de bonbons de

chaque couleur s'y trouvant est illustré ci-dessous :

Rouge Orange .laune Vert Bleu Rose Violet Marron

Quelle probabilitéVictoria a-t-elle dbbtenir un bonbonrouge ?

206\I

I

_1

2par la fonction f

n(- 3 ; 3) est-il un point de la courbre'6 9ui

représente la fonction g telle que g(*)= ï ,

r::. rr:f 6u'.u'"r a.31x29;;i*l;ê b. 512

4 est-il solution de léquation x3 -2 x2 = 4 x ?

Développer a.(z*-+)2 b.(ax-z)(ox+z)

ff oeveloRoer a.(x+1)(x++) u.1u x-:)(2x+3)

ffiw*fuæfu&$&eæ æmre qffi&&ffi dæ swm*

ff meteo (d'après PISA)

Le bulletin météo prévoit que, sur une zone donnée, la

probabilité de pluie pour demain est 0,4.

Laquelle des affirmations suivantes est la meilleure

interprétation de ce bulletin ?

A : ll va pleuvoir sur 40o/o de la zone concernée.B : Dans cette zone,40 personnes sur I 00 auront de lapluie.C : Si la même prévision était faite pour 100 jours, il

pleuvrait à peu près 40 jours sur 100.

D : Demain, il va pleuvoir pendant 40 o/o du temps.

l$ fremUlements de terre (d'après PISA)

Un géologue a affirmé : < Au cours des 20 prochaines

années, la probabilité que se produise un tremblement de

terre à Mathville est de 2 sur 3. >

Parmi les propositions suivantes, laquelle exprime lemieux ce que veut dire le géologue ?

A:Puisque Zx2O= l 3,3, un tremblement de terre se'3produira dans cette ville dans 13 à 14 ans.

B : Puisque Z, !,on est sûr qu'il y aura un tremblement'32de terre à Mathville dans les 20 ans.

C : La probabilité d'avoir un tremblement de terre dans

cette ville dans les 20 prochaines années est plus forteque la probabilité de ne pas en avoir.

D :On ne peut rien dire, car personne n'est sÛr du

moment où un tremblement de terre se produit.

ffimd&$æ dw prwfuffifu$fi&g*$

ffi nuec méthode, mais laquelle ?

Dans chacune des situations ci-dessous, indiquer par

quelle méthode on peut déterminer les probabilités (on

ne demapde pas de les déterminer).. Méthode 1 : par observation statistique.. Méthode 2 : par le calcul des issues, à partir d'unesituation déquiprobabilité.Quelle est la probabilité :

a. d'obtenir le secteur bleu avec

la roulette ci-contre ?

b, que la prochaine voitures'arrêtant devant le lycée soit demarque française ?

e. que lbn tire un as dans un jeu de 52 cartes ?

d, que Monsieur Dupont,40 ans, que lbn ne connaît pas,attrape la grippe l'hiver prochain ?

e. qu'après avoir lancé une punaise, comme celle ci-dessous, elle tombe sur le dos ?

ïki ii ri;i{i J g,o:il,"cit* l+,,:i:rfi.,,

pour roulettes

i

Pour chaque roulette, proposer une distribution deprobabilité modélisant les chances dbbtenir chacune destrois couleurs. On présentera les distributions dans troistableaux de ce type :

lrr r ':lrfl Ou t"uDepuis des années, chaque matin, Mehdi se présente à unfeu tricolore à la sortie de sa résidence.Et il n'a pas de chance : il trouve le feu au rouge 2 fois sur3 et à lbrange 1 fois sur I0.Proposer dans le tableau ci-dessous un modèle deprobabilité associé à cette situation.

lssue Vert Orange Rouge

Probabilité

Dé tétraédrique pipé

Jennifer possède un dé régulier, quicomporte quatre faces numérotéesde 1 à 4. Ce dé ne lui paraît pas

bien équilibré. Pour le tester, Jenniferl'a lancé 5 31 2 fois I

Le dé s'est stabilisé 635 fois sur lenuméro 1,640 fois sur le numéro 2

el 1 372 fois sur le numéro 3.

Proposer, dans un tableau, un modèle de probabilitépour ce dé (les probabilités auront une écriture décimalearrondie à 10-2).

Des modèles

+ffiryA

Roulette....lssue Vert Bleu Rouge

Probabilité

;îkq jii!l.:;ia : i?.'lÉiiiir:.et ::i:jijiir ;i

Exercice

S*rxru e,i $æ'tr**ms

ff Simuter pite ou face avec une calculatriceLa fonction Random (notée nnrrro, NbrAléat ou Ran#) dela calculatrice fournit un nombre décimal au hasard dansl'intervalle [0, t[.1. Entrer dans votrecalculatrice l'instruction2" NbrAléat ou 2"Ran#.Faire plusieurs fois Entrée.Dans quel intervalle se

trouvent les résultatspossibles ?

2. L'instruction lnt (ou ent)ne retient, pour un nombredécimal positif, que la partie( avant la virgule >.

Entrer dans votre calculatriceI'instruction I nt(2"Ran#)ou ent(2*NbrAléat).Taper plusieurs fois Entrée.

a. Expliquer pourquoi il y a autant de chances, à chaqueaffichage, d'avoir 1 ou 0.

b. Comment peut-on utiliser cette instruction poursimuler le lancer d'une pièce supposée équilibrée ?

3. a. Dans quel intervalle se trouvent les résultats fournispar l'instruction NbrAléat + 0.5 ou Ran# + 0.5 ?

b. En déduire une autre manière de simuler le pile ou faceavec une pièce supposée équilibrée.

li n{:, { l+r.ancl )ilÉrI :IIUI r,I llIHllllI

Simuler un tirage dans une urne de BernoulliUne urne de Bernoulli est une urnecontenant deux sortes de boules.Elle permet de modéliser denombreuses situations.

1. a. Dans quel intervalle l'instructionNbrAléat + 0.3 ou Ran# + 0.3d'une calculatrice fournit-elle unnombre au hasard ?

b, Quelle est la longueur de l'intervalle [0,3de l'intervalle [t ; 1,3 [ ?

0 0,1 0,3 0,5 0,7 1

1

c. L'instruction lnt (ou ent) ne conserve, pour un nombredécimal positif, que la partie < avant la virgule >. euelleest la probabilité que l'instruction lnt(Ran# + 0.3) ouent(NbrAléat + 0.3) fournisse 0 ? fournisse 1 ?

;1[?etcelle

-''1

130,3

chapitres.Probabitités

e-

] ll:lrlr,tlti'r]]1]',1::] ltilr l:r: r' 1..:,

FI

tHerctceri{l$$litfrilfillllllliitllli:lrll,l. l,'l,

2. a" Une urne contient 30 % de boules bleues eT70 o/o

de boules rouges. Comment peut-on simuler, avec une

calculatrice, le tirage au hasard d'une boule dans cette

urne ?

b. Reprendre la question précédente avec 90 o/o de boules

bleues et I0 o/o de boules rouges.

P",^S his$ot-afacques Bernoulli (1654-17 05)

D'une famille demathématiciens suisses,

Jacques Bernoulli est 1e

premier à donner uneversion de la n loi des grands

nombres >. Cèst cette loi quiaffirme quèn répétant de

façon indépendante ungrand nombre de fois une.nême expérience aléatoi re,

la fréquence d'un événement

se stabilise autour d'une valeur que lbn peut prendre

comme probabilité de lévénement.

Cèst cette vision de 1a probabilité qui permettra son

application aux questions de 1a vie quotidienne.

æ@\fffiwll existe cinq polyèdres réguliers (convexes) nommés

solides de Platon. On peut utiliser leurs propriétés de

symétrie pour en faire des dés à jouel supposés équilibrés.

La fonction ALEA0 du tableur fournit un nombre décimal

au hasard dans I'intervalle [0; 1[. La fonction ENTfournitla partie entière (avant la virgule) d'un nombre positif.

1. a. Que fournit I'instructionl= 6*ÀLEÂ0+TI?

b. Quels sont les résultats possibles de I'instruction

= ENT(6"ALEA0+1) ?

Cette instruction peut être utilisée pour simuler le lancer

d'un dé cubique supposé équilibré.

2. Donner une instruction de tableur permettant de

simuler un dé régulier équilibré en forme de :

a. tétraèdre, avec 4 faces numérotées 1, 2,3 et 4 ;

b. octaèdre, avec 8 faces numérotées de 1 à 8;c, dodécaèdre, avec l2 faces numérotées de 1 à 12 ;

d. icosaèdre, avec 20 faces numérotées de 1 à 20.

208

ffi O"t situations de la vie quotidienne (1)

Donner une instruction, de calculatrice ou de tableur,permettant de simuler les situations suivantes.

1. À l'intersection située à la sortie d'un péage

d'autoroute, 30 0/o des voitures tournent à droite eT70 o/o

tournent à gauche. Simuler le choix d'un automobilistepris au hasard.

2. Un restaurant propose dans ses menus, n fromageou dessert >. On sait qu'un cinquième des clientschoisissent < fromage ) et que les autres choisissent< dessert >. Simuler le choix du prochain client.

ffi Oes situations de la vie quotidienne (2)

Donner une instruction, de calculatrice ou de tableur,permettant de simuler les situations suivantes.

1. Une marque de céréales place, dans 10 0/o des paquets

fabriqués, un bon d'achat gratuit. Simuler si un paquet

acheté au hasard contient un bon d'achat.

2. Trois sortes de jouets, rouges, bleus et verts, sontplacés dans des paquets de lessive. ll y a un seuljouet par

paquet et autant de jouets de chaque sorte. Simuler la

couleur du jouet à lbuverture d'un paquet pris au hasard.

3. Laura a établi les statistiques de son équipe de footballpréférée : victoires 50 o/0, défaites30o/o, matchs nuls 20 %.

Simuler, à partir de ces données, le résultat du prochain

match. (On pourra utiliser une simulation fournissant les

entiersdelà10.)

ffi*s .fle"e*aqffi#$3{#s

'LstrË$ &#ffi # ptr#fu#fu$ &fi gé

.rc '&' Un segment aléatoireUne expérience aléatoire consiste à tirer < au hasard,dans [0 ; 1 [ deux nombres a et b et à placer aur une droitegraduée les points A et B d'abscisses a et b. On s'intéresse

à la réalisation de lévénement E : ( La longueur AB est

supérieure ou égale à 0,5 >.

l1. Simulation de l'expérience

a. À l'aide de la fonction ALEA$ du tableur, ou Rnruoorul de

la calculatrice, procéder au tirage de a et b, puis calculer

lécart positif d entre o et b.

Expliquer ce que lbn vient de simuler.

b. Répéter 4 fois cette simulation, soit avec la calculatrice,

soit sur le tableur, en appuyant sur la touche F9. Observer

si lévénement E est réalisé.

e. Que diriez vous, sans calcul, de la probabilité p de

lévénement E: p = g ,5 ou p < 0,5 ou p> 0 ,5 ?

0,5

2. Évaluation de pSur le graphique suivant est représentée lévolution de la

fréquence de lévénement E lors de la répétition de lêxpé-

rience 500 fois (autres simulations disponibles sur Ie site).

t.35

0.3

8,2

r1.15

t,1

û.05

û5[B

a" Vers quelle valeur tend à se stabiliser cette fréquence ?

b. À combien évaluez-vous la probabilité de E ? Comparez

votre réponse avec celle du 1r.

s Ë*aér çÉé*rpfars f*d;t ; exercice 67 page 215

'."r& " toi des séries > à pile ou face

On joue 200 fois de suite à pile ou face avec une pièce que

lbn suppose bien équilibrée. On s'intéresse à lévénement E :

< ll y a une série de plus de 6 résultats consécutifs égaux >

(au moins 6 < pile > ou 6 < face, à la suite).

On examine la fréquence de lévénement E sur un grand

nombre de simulations (simulations : disponibles sur le site).

Sur 5 séries de 100 simulations, lévénement E a été réalisé

96,97,95,94eT97 fois.

Pensez-vous que la probabilité p de E est telle que :

a.p<0,01 ? b. P=0,5?

Pou^S t^f"Il est généralement facile, entre deux iistes de 200 chiffres

0 et 1 < au hasard > de détecter celle qui a été imaginée

par un être humain et celle qui a réellement été générée

au hasard ...Vous voulez essayer ? Testez-vous sur Ie site !

ffi ou dodécaédriqueUn dé, en forme de dodécaèdre régulier, a ses faces

numérotées de 1 à 12. On le suppose bien équilibré'

On lance le dé et on considère les événements :

A < On obtient un nombre imPair >

B < On obtient un multiple de 3 >

C < On obtient un diviseur de 12 >.

Donner lécriture ensembliste et calculer la probabilité de

chaque événement.

e. p> 0,9 ?

.l r,t lillirr'ii:lli.rtl.tt:tl::,'.lt.l

exercicei]ililil,,

,,1 I tillt,,ttr,lt,;llil:,i

Dans une compagnie qui assure

À la StRtwtUl à partir des fiches de 1 000 assurés, on a

dressé le tableau d'effectifs suivant.

On tire au hasard l'une des 1 000 fiches.

Quelle est la probabilité que la fiche tirée soit :

a. celle d'un homme ? b. celle d'une femme ?

c. celle d'une personne de moins de 65 ans ?

,.qiei* ; *:xi:iïlt'e r"d:rr"liai :ii

ff ctounes sanguins

Ce tableau donne la répartition des groupes sanguins

dans la population française. Une personne < au hasard >,

Monsieur X, se présente pour donner son sang.

1. Quelle est la probabilité que Monsieur X appartienneau groupe O- (donneur universel) ?

2. Un patient du groupe A- ne peut recevoir du sang que

des groupes O- et A-. Quelle est la probabilité qu'i! puisse

recevoir du sang de Monsieur X ?

3. Un patient du groupe B+ ne peut recevoir du sang que

des groupes O-, O+, B- et B+. A-t-il plus d'une chance sur

deux de pouvoir recevoir du sang de Monsieur X ?

Une urne de composition (in)connue !

On tire au hasard une boule dans une urne contenant 20

boules indiscernables au toucher.

l. Parmi les 20 boules, il y a : 6 rouges, 10 noires et

4 vertes. Calculer la probabilité des événements : R < La

boule est rouge ) ; N < La boule est noire >.

2. Parmi les 20 boules, r sont rouges, n sont noires et v

sont vertes. Retrouver la composition de l'urne sachant

que p(n) = o ,25 et p(n)= 0,1 5.

ffi O"u*tiragesUne urne contient 2 boules bleues B.', B, et 3 boulesjaunes J1, J2, J3. On prend au hasard une boule, on note

de quelle boule il s'agit, on la remet dans l'urne et on

recommence une deuxième fois.

Associer un modèle déquiprobabilité à cette situation'Calculer la probabilité de lévénement A < Les 2 boules

sont de couleurs différentes >.

3d lii:i* r e,';*l,::i** idsr::ii; l

Âg" Homme Femme

2sl[18 121 79

3sl12s 83 ôô

4sl[3s 82 a4

[as ; ssl BO B3

6sl[ss B1 B5

65 ans ou plus 70 64

Groupe A B+ B- AB+ AB_ o+ o-o/o 39 6 7 2 2 1 37 6

6-Chapitre 8. Probabilites

;--"Egercicer# un enchaînement logique ?

Aziz,Bill et Clara disposent chacun d'une urne

comprenant trois boules numérotées.

\BN 3 5 7

(r,3)B

(1; s;B

(t',2)B

66, 3)

A

6, 5)A

6,7)-:B

8s, 3)

A

8, 5)A

8,7)A

\cB\ f.iù,1i.i:::,*:''.::

3z, z)'B

3, 4)c

3, 9)c

55, 2)

B

5' 4B

5,9L

77,,2)

8.. r'

7,4B'

7 ,9)L

ilÆffiffiAziz Bill Clara

Les joueurs se rencontrent deux par deux : chacun tire au

hasard une boule de son urne. Le gagnant est celui qui a

obtenu le numéro le plus grand.

1. Aziz contre BillOn a croisé, dans un tableau,les issues possibles du tiragede Azizet du tirage de Bill.

Onaobtenu9coupleséquiprobables, auxquels on

a associé un gagnant.

Quelle est la probabilitéque Aziz lêmporte sur Bill ?

2. Bill contre Clara

llétude des chances degain de Bill et de Clara

lorsqu'ils se rencontrent,est donnée par ce second

tableau.

Quelle est la probabilitéque Bill lêmporte sur Clara ?

3. A.ztzcontre Clara

a. ConjectureÀ partir des résultats précédents, que pensez vous - dpriori - des chances de gagner respectives de Aziz et de

Clara lors d'une rencontre ?

Que pouvez vous attendre de la probabilité que Aziz

l'emporte sur Clara ?

b" Vers une preuve ?

Construire le tableau, semblable aux précédents, illustrant

une rencontre entre Aziz et Clara.

Qubbtenez vous comme probabilité de victoire de

Azizsur Clara ? En quoi, la situation révèle-t-elle ici un

paradoxe ? Avez-vous une explication ?

Fr,-t t^{"Il paraît rationnel de considérer que si A prend le plus

souvent lâscendant sur B, et B sur C, cèst A qui lèmpor-

tera sur C avec les plus grandes chances. Le marquis de

Condorcet (1743-1794) a prouvé qubn ne pouvait pas

ainsi < ordonner les préférences >.

La situation précédente vient illustrer ce que lbn appelle

< Le paradoxe de Condorcet >.

210

j toterieUne roue de loterie est divisée en

trois secteurs : un rouge (R), un

noir (N) et un bleu (B), d'angles au

centre respectifs '. 120',60" et 180'.Lorsquêlle s'arrête de tourner,un repère fléché indique l'unedes trois couleurs avec uneprobabilité proportionnèl le à

l'angle du secteur concerné.

1. Montrer que cette expérience aléatoire peut se

modéliser par le tirage d'une boule dans une urne

comprenant des boules de couleur rouge, noire ou bleue.

Préciser le nombre de boules de chaque couleur. Y a-t-ilplusieurs possibilités ?

2. En déduire une distribution de probabilité sur

l'ensemble des issues {n, ru, A} de ce jeu.

ffi eia."rdéfectueusesDeux ateliers de production ont fabriqué 300 pièces.

llatelier A a une cadence de production double de celle

de l'atelier B. Le pourcentage de pièces défectueuses est

de 3 % dans la production de l'atelier A et dè 4o/o dans

celle de l'atelier B.

On prélève au hasard une pièce dans la production totale.

1. Combien l'atelier A a-t-il produit de pièces ? Quelle est

la probabilité que la pièce tirée provienne de l'atelier A ?

2. Combien y a-t-il de pièces défectueuses ? Quelle est la

probabilité que la pièce tirée soit défectueuse ?

3. Combien y a-t-il de pièces défectueuses dans la

production de l'atelier A ?

Quelle est la probabilité que la pièce tirée soit

défectueuse et provienne de l'atelier A ?

# pe*r'æ€&{peru s eë e&wç*m æsë.ï#ffi gs

:,',' ,f On considère deux événements A et B tels que:p(A)= 0,3 ; p(B)= 0,5 et r(Ana)= 3,2.

calculer p(À), p(a) et p(nua).,S.;ii#*: *. *l,rcir::É: r*:irljir -,;i

Que vaut la quatrième probabllité ?

E et F sont deux événements associés à une même

expérience aléatoire. Recopier et compléter les lignes du

tableau suivant lorsque cela est possible :

p(E) p(F) p(EnF) p(EuF)

Cas 1 0,6 0,7 0,5

Cas 2 0,6 0,5 4,7

Cas 3 0,7 0,5 0,1