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GENERALITES SUR LES SUITES NUMERIQUES EXERCICES CORRIGES Exercice n°1. Les suites (u n ) sont définies par u n =f(n) Donner la fonction numérique f correspondante, indiquer le terme initial de la suite, puis calculer les termes u 3 et u 8 1) 2) 3) Exercice n°2. Pour chacune des suites de terme général u n , indiquer à partir de quel rang elles sont définies, puis calculer les trois premiers termes 1) 2) Exercice n°3. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n par v n =n 2 +n+1 Exprimer en fonction de n les termes suivants : v n+1 ; v n ; v 2n ; v 3n-1 et la différence v n+1 -v n . Exercice n°4. Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n par . Vérifier que le rapport est indépendant de n. Exercice n°5.

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GENERALITES SUR LES SUITES NUMERIQUES

EXERCICES CORRIGES

Exercice n°1.

Les suites (un) sont définies par un=f(n)

Donner la fonction numérique f correspondante, indiquer le terme initial de la suite, puis calculer les termes u3 et u8

1) 2) 3)

Exercice n°2.

Pour chacune des suites de terme général un, indiquer à partir de quel rang elles sont définies, puis calculer les trois premiers termes

1) 2)

Exercice n°3.

Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par vn=n2+n+1

Exprimer en fonction de n les termes suivants : vn+1 ; vn ; v2n ; v3n-1 et la différence vn+1-vn.

Exercice n°4.

Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel n par .

Vérifier que le rapport  est indépendant de n.

Exercice n°5.

Les suites (un) sont définies par une relation de récurrence un+1=f(un).

Donner la fonction numérique f correspondante, puis les quatre premiers termes de la suite

1) 2) 3)

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Exercice n°6.

Montrer que la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un=n2n, vérifie la relation de récurrence un+2=4(un+1-un)

Exercice n°7.

Compléter le tableau suivant pour n entier égal à  0,1, 2, et 3

  v0 v1 v2 v3

vn+1=4vn-3 2       vn+1=(vn-1)2 4       vn+2=2vn+1-vn 1 2    

3 5    

Exercice n°8.

1) Résoudre l’inéquation x+2 3x+3

2) Déterminer le sens de variation de la suite (un) définie par

Exercice n°9.

Etudier le sens de variation des suites suivantes :

1) un=2n-42)

3) un=2n3+n 4) 5)

6) 7) un=2n-n

8) 9) un=- 

Exercice n°10.

Démontrez que les suites suivantes sont périodiques, en déterminant une période :

1) 2)

Exercice n°11.

Soit (un) la suite définie par la liste de ses termes :

Démontrez que (un) est constituée de deux suites extraites décroissantes

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GENERALITES SUR LES SUITES NUMERIQUES

CORRECTION

Exercice n°1

1) Si  alors un=f(n) avec  définie sur .

On définira donc la suite pour n 2.

Ainsi  et

2) Si  alors un=f(n) avec  définie sur .

On définira donc la suite pour n 3.

Ainsi  et

3) Si  alors un=f(n) avec  définie sur .

On définira donc la suite pour n .

Ainsi  et

Exercice n°2

1) La suite de terme général  est définie pour tout n .

Ainsi ,  et

2) La suite de terme général  est définie si et seulement si 2n-1 0.

Or 2n-1=0<=>2n=1<=>n=0

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(un) n’est donc définie que pour n 1.

On calcule ,  et

Exercice n°3

Si, pour tout n , vn=n2+n+1, alors

vn+1=(n+1)2+n+1+1=n2+2n+1+n+1+1=n2+3n+3

vn-1=(n-1)2+(n-1)+1=n2-2n+1+n-1+1=n2-n+1

v2n=(2n)2+2n+1=4n2+2n+1

v3n-1=(3n-1)2+(3n-1)+1=9n2-6n+1+3n-1+1=9n2-3n+1

Enfin, vn+1-vn=n2+3n+3-(n2+n+1)=2n+2

Exercice n°4

Pour tout n ,

Le rapport  est bien indépendant de n.

Exercice n°5

1) La suite définie par  est donc définie par  avec f(x)= x+3

On calcule ainsi  puis

 et enfin

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2) La suite définie par  est donc définie par  avec

On calcule  ,  

et

Exercice n°6

Pour tout n , on calcule

Ainsi, pour tout n , un+2=4(un+1-un)

Exercice n°7

Compléter le tableau suivant pour n entier égal à  0,1, 2, et 3

  v0 v1 v2 v3

vn+1=4vn-3 2 v1=4v0-3=4x2-3=5

v2=4v1-3=4x5-3=17 v3=4v2-3=4x17-3=65

vn+1=(vn-1)2 4 v1=(v0-1)2=(4-1)2=9

v2=(v1-1)2=(9-1)2=64 v3=(v2-1)2=(64-1)2=3969

vn+2=2vn+1-vn 1 2 v2=2v1-v0=2x2-1=3 v3=2v2-v1=2x3-2=43 5

Exercice n°8

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1) x+2 3x+3<=>-1 2x<=>- x. S=[- ; [

2) On remarque d’abord que pour tout entier n , un>0.

De plus, pour tout entier n , un>0,

On résout

D’après la question précédente, , ce qui est assuré puisque n

Ainsi .

Comme pour tout n , un>0, ceci entraîne un+1<un, et nous permet d’affirmer que la suite ( u n)   est strictement décroissante .

Exercice n°9

1) Si pour tout n , un=2n-4, on calcule un+1-un=2n+1-4-(2n-4)=2n+1-2n=2n(2-1)=2n

Or pour tout entier n , 2n>0, c’est-à-dire un+1-un>0<=>un+1>un.

La suite (un)  est donc strictement croissante.

2) Si pour tout n 1, , on calcule

Or pour tout entier n 1,  et puisque 0<0,75<1, on en déduit

que .

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Puisque pour tout n 1, un>0, ceci entraîne un+1<un donc la suite (un)  est strictement décroissante.

3) 1 ère méthode

Si pour tout n , un=2n3+n, on calcule :

Puisque le calcul du discriminant du polynôme P(n)=2n2+2n+1 fournit :

=22-4x2x1=-4<0, on peut affirmer que pour tout n , un+1-un>0<=>un+1>un, donc la suite (un)  est donc strictement croissante .

2 ème méthode

Puisque pour tout n , un=2n3+n=f(n) avec f(x)=2x3+x, le sens de variation de f nous renseignera sur celui de (un).

Or f est dérivable sur , et pour tout x , f '(x)=6x2+1>0, donc f est strictement croissante sur , et on retrouve bien le résultat :

La suite (un)  est donc strictement croissante .

4) Si pour tout n , , on peut affirmer que la suite (un)  n’est pas monotone .

En effet n pair=>un>0 et n impair=>un<0

La suite (un) n’est donc ni croissante ni décroissante

5) Si pour tout n , , il est préférable d’étudier la fonction f définie par

Puisque n , il suffit d’étudier f sur [0; [.

Si on note P(x)=x2+x+1, le calcul du discriminant fournit =12-4x1x1=-3<0, donc P(x)>0 pour tout x .

Ainsi la fonction f est définie sur .

Elle est également dérivable sur  car P l’est, et puisque pour tout x , P(x)>0.

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Pour tout x , .

Puisque l’on se restreint à [0; [, on peut affirmer que pour tout x [0; [, 2x+1>0=>f'(x)=>0, donc f est strictement croissante sur [0; [ et ainsi,

la suite (un)  est strictement croissante.

6) Si pour tout n , , il est préférable d’étudier la fonction f définie sur [0;

[ par

f est dérivable sur ]0; [, et pour tout x ]0; [, .

Pour tout x ]0; [, f'(x)>0, donc f est strictement croissante sur [0; [ et ainsi,

la suite (un)  est strictement croissante .

7) Si pour tout n , un=2n-n, on calcule :

un+1-un=2n+1-(n+1)-(2n-n)=2n+1-2n-n-1+n=2n(2-1)-1=2n-1

Pour n=0, u1-u0=20-1=1-1=0 donc u1=u0. Dès que n 1, un+1-un=2n-1>0

Ainsi, mis à part u1=u0, la suite (un)  est strictement croissante à partir de n 1

8) Si pour tout n , ,

on calcule, pour tout n 1,  

Pour comparer  à 1, on calcule .

Or pour tout n 1, , ce qui signifie que u1=u2.

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De plus pour tout n>1, . Ainsi pour tout n>1, .

Comme pour tout n , 0, l’inégalité  équivaut à un+1<un.

Ainsi, mis à part u1=u2, la suite (un)  est strictement croissante à partir de n 2

9) Si pour tout n 1, un=- , la suite (un) aura le même sens de variation que la fonction

définie sur ]0; [ par f(x)=- .

Cette fonction est strictement croissante sur ]0; [ (en tant qu’opposé d’une fonction strictement décroissante sur ]0; [),

donc la suite (un)  est strictement croissante

Exercice n°10

1) Si pour tout n , , on calcule ,

,

 et

.

Il semblerait que (un) soit périodique de période 3.

Pour le vérifier, on calcule, pour tout n ,

Ains, la suite (un) est périodique de période 3.

2) Si pour tout n , , on calcule ,

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puis  et enfin .

On retombe sur v0 et il semblerait que la suite (vn) soit périodique de période 3.

Démontrons que pour tout n , vn+3=vn.

Soit n . Effectuons la division euclidienne de n par 3, et écrivons n=3q+r avec 0 r<2

Montrons par récurrence sur n  que vn=vr (où r est le reste de la division euclidienne de n par 3)

La propriété est vraie pour n=0,1,2,3

Supposons là vraie pour un entier n  fixé, c’est-à-dire vn=vr (où r est le reste de la division euclidienne de n par 3), et montrons que vn+1=vs (où s est le reste de la division euclidienne de n+1 par 3)

Si n=3q+r avec 0 r<2 , alors n+1=3q+r+1.

De trois choses l’une :

Si n=3q, c’est-à-dire r=0, alors vn=v0 (hypothèse de récurrence ) donc

.

Comme n+1=3q+1, c’est-à-dire s=1, alors on pourra bien affirmer que vn+1=vs

Si n=3q+1, c’est-à-dire r=1, alors vn=v1 (hypothèse de récurrence ) donc

.

Comme n+1=3q+2, c’est-à-dire s=2, alors on pourra encore affirmer quevn+1=vs

Si n=3q+2, c’est-à-dire r=2, alors vn=v2 (hypothèse de récurrence ) donc

.

Comme n+1=3q+3=3(q+1), c’est-à-dire s=0, alors on pourra bien affirmer que vn+1=vs.

Dans tous les cas, vn+1=vs (où s est le reste de la division euclidienne de n+1 par 3)

La phase d’hérédité est achevée, et la propriété est donc vraie pour tout n .

La périodicité de période 3 de la suite sur ses trois premiers termes entraîne donc sa périodicité de période 3 sur .

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Exercice n°11

(un) est constituée de deux sous-suites de rang pair et impair :

Pour tout entier n ,

Pour tout entier n ,

Notons, pour tout n , .

Il est évident que pour tout n , vn>0.

De plus, pour tout n , .

Ainsi  donc la (sous)-suite ( v n)   est strictement décroissante .

Notons, pour tout n , .

Il est évident que pour tout n , wn>0.

De plus, pour tout n , .

Ainsi  donc la (sous)-suite ( w n)   est strictement décroissante .