05/11/20131 Master 1 Outils statistiques. 05/11/20132 Plan du cours Introduction aux plans dexpriences Problmatique Notion despace exprimental Plans.

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  • 05/11/20131 Master 1 Outils statistiques
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  • 05/11/20132 Plan du cours Introduction aux plans dexpriences Problmatique Notion despace exprimental Plans factoriels complets deux niveaux: 2 k Plan deux facteurs Plan trois facteurs Un exemple de plan cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des gnrateurs daliases Calcul des contrastes Technique pour dsaliaser
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  • 05/11/20133 Problmatique Les systmes peuvent tre complexes. Ils sont pilots par de nombreux paramtres de conception et de rglages (X 1, X 2, X i,). L'objet des plans dexpriences (experimental designs) est de quantifier l'influence des paramtres sur la rponse partir de rsultats d'exprimentations.
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  • 05/11/20134 Pour cela, il existe plusieurs stratgies d'exprimentation : Les plans complets : Cette stratgie consiste tester toutes les combinaisons des paramtres slectionns (trs long et coteux) Les plans rduits : Cette stratgie consiste tester une partie de toutes les combinaisons des paramtres. Les plans Taguchi : Gnichi Taguchi a propos une slection de plans rduits (non trait ici). Problmatique
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  • 05/11/20135 Cette catapulte a t conue de manire ce que lon puisse facilement modifier 5 des paramtres de construction ou dutilisation : 1. bandage de llastique 2. accrochage de llastique 3. position du bol sur le bras 4. angle de bute de percussion 5. angle darmement Catapulte et ses diffrents rglages Problmatique
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  • 05/11/20136 En rsum Problmatique But: Optimiser la distance de tir!
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  • 05/11/20137 Problmatique Mthode classique: on fixe le niveau de toutes les variables sauf une et on mesure la rponse y en fonction de plusieurs valeurs non fixes x 1
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  • 05/11/20138 Problmatique Mthode des plans dexpriences On fait varier les niveaux de tous les facteurs la fois chaque exprience, mais de manire programme et raisonne. Choquant? Non!! Avantages (mais pas toujours intuitifs): Diminution du nombre dessais. Nombre de facteurs tudis trs grand Dtection des interactions entre facteurs Dtection des optimaux Meilleure prcision sur les rsultats Optimisation des rsultats Modlisation des rsultats DANS CE COURS, LE BUT SERA SURTOUT LA RECHERCHE DES FACTEURS INFLUENTS (PAS FORCEMMENT DE LOPTIMAL)
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  • 05/11/20139 Plan du cours Introduction aux plans dexpriences Problmatique Notion despace exprimental Plans factoriels complets deux niveaux: 2 k Plan deux facteurs Plan trois facteurs Un exemple de plan cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des gnrateurs daliases Calcul des contrastes Technique pour dsaliaser
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  • 05/11/201310 Notion despace exprimental La valeur donne un facteur pour raliser un essai est appele niveau. Lorsqu'on tudie l'influence d'un facteur, en gnral, on limite ses variations entre deux bornes. La borne infrieure est le niveau bas. La borne suprieure est le niveau haut.
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  • 05/11/201311 Notion despace exprimental
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  • 05/11/201312 Eventuellement: modliser la rponse Notion despace exprimental
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  • 05/11/201313 Plan du cours Introduction aux plans dexpriences Problmatique Notion despace exprimental Plans factoriels complets deux niveaux: 2 k Plan deux facteurs Plan trois facteurs Un exemple de plan cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des gnrateurs daliases Calcul des contrastes Technique pour dsaliaser
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  • 05/11/201314 PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX Ces plans possdent un nombre de niveaux limit deux pour chaque facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectues au cours de l'exprimentation. Ces plans peuvent tre utiliss indistinctement pour les variables continus et pour les variables discrtes. Plans factoriels complets deux niveaux Exemple: Le rendement dune raction dpend de t et de P. ABCD 60C80C60C80C 1 bar1bar2 bars2 bars
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  • 05/11/201315 P 2 1 6080 t C AB D On peut dmontrer que la meilleure stratgie consiste choisir les 4 points aux extrmits du domaine exprimental. Plans factoriels complets deux niveaux
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  • 05/11/201316 N essaisT (facteur 1)P(facteur 2)rendement 12341234 -+-+-+-+ --++--++ 60 70 80 90 Niveau -60C1 bar Niveau +80C2 bars Facile: meilleur rendement 80C, 2 bars Plans factoriels complets deux niveaux
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  • 05/11/201317 Plans factoriels complets deux niveaux P +1 +1 t y3y3 y1y1 y2y2 y4y4 60% 80%90% 70% 80% Moyenne des rponses au niveau bas de t Effet moyen de t Effet moyen de P Moyenne des rponses au niveau haut de t
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  • 05/11/201318 Plans factoriels complets deux niveaux Ajoutons la moyenne
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  • 05/11/201319 Plans factoriels complets deux niveaux N essaisT (facteur 1)P(facteur 2)rendement 12341234 -+-+-+-+ --++--++ 60 70 80 95 Niveau -60C1 bar Niveau +80C2 bars Autre exemple, mais cette fois avec un catalyseur
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  • 05/11/201320 Effet moyen de t Effet moyen de P Interaction temprature pression Plans factoriels complets deux niveaux
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  • 05/11/201321 N essaisMoyenneT (facteur 1)P(facteur 2)Interactionrendement 12341234 ++++++++ -+-+-+-+ --++--++ +--++--+ 60 70 80 95 diviseur4444 Effet76,56,2511,251,25 Plans factoriels complets deux niveaux
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  • 05/11/201322 Plans factoriels complets deux niveaux N essai MF1F2F3Rep. 1234567812345678 ++++++++++++++++ -+-+-+-+-+-+-+-+ --++--++--++--++ ----++++----++++ 38 37 26 24 30 28 19 16 Plan complet trois facteurs 2 3
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  • 05/11/201323 N essai MF1F2F3I12I13I23I123 1234567812345678 ++++++++++++++++ -+-+-+-+-+-+-+-+ --++--++--++--++ ----++++----++++ +--++--++--++--+ +-+--+-++-+--+-+ ++----++++----++ -++-+--+-++-+--+ div.88888888 Effet27,5-6-4-0,25 0,250 Plans factoriels complets deux niveaux Sans effet
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  • 05/11/201324 Plans factoriels complets deux niveaux Construction des plans dexpriences Signes du facteur 1: - + - + - + Signes du facteur 2: - - + + - - + + Signes du facteur 3: - - - - + + + + Etc
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  • 05/11/201325 Plans factoriels complets deux niveaux
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  • 05/11/201326 Plans factoriels complets deux niveaux Sans influence
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  • 05/11/201327 Plans factoriels complets deux niveaux 1,3,9,11 identiques puisque les facteurs 2 et 4 sont sans influence
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  • 05/11/201328 Plans factoriels complets deux niveaux Tout se passe comme si lon avait rpt quatre fois un plan trois facteurs
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  • 05/11/201329 Plans factoriels complets deux niveaux Meilleur rsultat: Concentration mas faible Prsence de prcurseur Absence de glucose
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  • 05/11/201330 Plans factoriels complets deux niveaux Notation matricielle N essaisMoyenneT (facteur 1)P(facteur 2)Interaction TP 12341234 ++++++++ -+-+-+-+ --++--++ +--++--+ transpose
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  • 05/11/201331 Plans factoriels complets deux niveaux Matrice vecteur Y des rponses Matrice vecteur E des effets soit X t Y=4E E=X t Y/n Une fois gnralise:
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  • 05/11/201332 Plan du cours Introduction aux plans dexpriences Problmatique Notion despace exprimental Plans factoriels complets deux niveaux: 2 k Plan deux facteurs Plan trois facteurs Un exemple de plan cinq facteurs Notation matricielle Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Construction des plans fractionnaires Groupe des gnrateurs daliases Calcul des contrastes Technique pour dsaliaser
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  • 05/11/201333 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Pour 7 facteur, 2 7 = 128 essais!!! Pour diminuer le nombre des essais en conservant la possibilit d'tudier tous les facteurs, les plans factoriels fractionnaires deux niveaux sont introduits.
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  • 05/11/201334 N essai MF1F2F3Rep. 1234567812345678 ++++++++++++++++ -+-+-+-+-+-+-+-+ --++--++--++--++ ----++++----++++ 38 37 26 24 30 28 19 16 Plan complet trois facteurs 2 3 N essai MF1F2F3Rep. 23582358 ++++++++ +--++--+ -+-+-+-+ --++--++ 37 26 30 16 Plan fract. 2 3-1 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p On expliquera ce choix plus tard
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  • 05/11/201335 Plan complet Plan fract. I Fact1 Fact 2 Fact 3 27,5 -6 -4 27,5 -0,75 -6,25 -4,25 Trs proches finalement mais quel est le prix payer?? Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p
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  • 05/11/201336 Reprenons les calculs de E 3 et E 12 e 3 = E 3 + E 12 E 3 et E 12 sont dits aliass, e 3 peut tre appel aliase ou contraste ou simplement effet. Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p
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  • 05/11/201337 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Nombre dexpriences divis par 2. Prix payer: Les effets calculs ne sont plus purs , ils sont mlangs ou aliass avec les interactions. Ici les interactions taient ngligeables donc Interprtations dune faon gnrale plus complexe!! e 3 E 3
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  • 05/11/201338 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Hypothses dinterprtation 1. Les interactions du troisime ordre ou plus sont considres comme ngligeables. 2. Si un contraste est nul, cela peut signifier : que les effets aliass sont nuls que les effets aliass se compensent (cas rare) 3. Si deux effets sont faibles, on supposera que leur interaction lest aussi 4. Si deux effets sont forts, on se mefiera de leur interaction qui peut galement tre forte.
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  • 05/11/201339 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p N essai IF1F2F3I12I13I23I123 52385238 ++++++++ -+-+-+-+ --++--++ +--++--+ +--++--+ --++--++ -+-+-+-+ +++++++++ 16741674 ++++++++ -+-+-+-+ --++--++ -++--++- +--++--+ ++--++-- +-+-+-+- -------- 1 er demi plan 2 e demi plan Identiques pour les facteurs 1 et 2 Si on considre le plan sup. 3 = 12 quivalent e 3 =E 3 +E 12 Si on considre le plan inf. 3 = -12 quivalent e 3 =E 3 -E 12 Notation de Box
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  • 05/11/201340 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Sur le premier plan: e 1 = E 1 + E 23 e 2 = E 2 + E 13 e 3 = E 3 + E 12 e M = I + E 123 Sur le deuxime plan: e 1 = E 1 - E 23 e 2 = E 2 - E 13 e 3 = E 3 - E 12 e M = I - E 123 Une colonne de signes multiplie par elle-mme donne une colonne de signes + I = 1 2 = 2 2 = 3 2
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  • 05/11/201341 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Gnrateur daliases Pour le plan sup. I = 123 I x 1 = 123 x 1 1 = 1 2 23 1 = 23 2 = 13 3 = 12 gnrateur daliases On comprend maintenant le choix des essais 5, 2, 3, 8. On a pris les essais correspondant aux signes + de linteraction 123.
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  • 05/11/201342 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Mthode dangereuse? Non, on peut toujours raliser la deuxime moiti du plan sil y a un doute. Au mieux, seulement la moiti des expriences est ralise. Outils qui sadapte parfaitement lacquisition progressive des donnes
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  • 05/11/201343 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Contruction des plans fractionnaires 2 facteurs -> 3 facteurs (2 3-1 fractionnaire) N essai MF1F2I12 12341234 ++++++++ -+-+-+-+ --++--++ +--++--+ N essai MF1F2F3 12341234 ++++++++ -+-+-+-+ --++--++ +--++--+ 3 = 12 On prend une interaction dordre lev. Ici I 12 Gnrateur daliases : 123
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  • 05/11/201344 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p IF1F2F3I23I123 ++++++++++++++++ -+-+-+-+-+-+-+-+ --++--++--++--++ ----++++----++++ ++----++++----++ -++-+--+-++-+--+ Contruction des plans fractionnaires 3 facteurs -> 5 facteurs (2 5-2 fractionnaire) IF1F2F3F4F52341235 ++++++++++++++++ -+-+-+-+-+-+-+-+ --++--++--++--++ ----++++----++++ ++----++++----++ -++-+--+-++-+--+ ++++++++++++++++ ++++++++++++++++ 4 = 23 5=123 On prend deux interactions dordre lev. Ici I23 et I23 Deux gnrateurs daliases : I = 234 et I = 1235
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  • 05/11/201345 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p
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  • 05/11/201346 Ces deux gnrateurs daliases : I = 234 et I = 1235 sont dits indpendants. Ils traduisent le fait que 234 = 1235 = I Si lon multiplie entre eux les gnrateurs daliases indpendants, on obtient: I x I = 1235 x 234 I = 12 2 3 2 45 = 145 I = 234 = 1235 = 145 Tous ne prsentent que des signes + Le gnrateur I = 145 est dit dpendant Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Groupe des gnrateurs daliases des plans 2 k-p
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  • 05/11/201347 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Calcul des contrastes I = 234 = 1235 = 145 I x 1 = 234 x 1 = 1235 x 1 = 145 x 1 1 = 1234 = 235 = 45 e 1 = E 1 + E 1234 + E 235 + E 45
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  • 05/11/201348 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Gnrateur daliases: faisons une parenthse Imaginons 4 = 123 5 = 12 6 = 23 7 = 13 Ce qui donne comme GA indpendants I = 1234 = 125 = 236 = 137 Les gnrateurs daliases dpendants se calculent partir des gnrateurs indpendants en les multipliant 2 2, 3 3, et 4 4
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  • 05/11/201349 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Multiplication 2 2 1234 x 125 = 345 1234 x 236 = 146 1234 x 137 = 247 125 x 236 = 1356 125 x 137 = 1267 Multiplication 3 3 1234 x 125 x 236 = 2456 1234 x 125 x 137 = 567 125 x 236 x 137 = 567 1234 x 236 x 137 = 3467 Multiplication 4 4 1234 x 125 x 236 x 137 = 1234567
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  • 05/11/201350 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Le GGA devient: I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 1356 = 2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 567 = 3467 = 1234567 Ouf! Heureusement on nglige les interactions dordre suprieur 2 dans les calculs des contrastes.
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  • 05/11/201351 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Notion de rsolution: On appellera plan de rsolution III, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliass aux interactions dordre 2. Cest le cas dun plan 2 3-1 dfini par I = 123 e 1 = E 1 + E 23 e 2 = E 2 + E 13 e 3 = E 3 + E 12 On appellera plan de rsolution IV, un plan fractionnaire dans lequel les facteurs principaux seront aliass aux interactions dordre 3. Cest le cas dun plan 2 4-1 dfini par I = 1234 Exemple
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  • 05/11/201352 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Un exemple: le gteau danniversaire La rponse est la hauteur du cake mesure en millimtres. Plus, il sera haut meilleur sera le rsultat. Comme on ne veut pas prparer 32 gteaux, on dcide d'excuter un plan factoriel fractionnaire 2 5-2 en aliasant le facteur 4 sur l'interaction 123 et le facteur 5 sur l'interaction 13.
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  • 05/11/201353 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Gnrateur daliases indpendants: 1234 et 135 Gnrateur daliases dpendant: 1234 x 135 = 245 I = 135 = 245 = 1234 - - + +
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  • 05/11/201354 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p I = 135 = 245 = 1234 I x 1 = 135 x 1 = 245 x 1 = 1234 x 1 1 = 35 = 1245 = 234 e 0 = E 0 + E 135 + E 245 + E 1234 E 0 e 1 = E 1 + E 35 + E 1245 + E 234 E 1 + E 35 e 2 = E 2 + E 45 + E 134 + E 1235 E 2 + E 45 e 3 = E 3 + E 15 + E 124 + E 2345 E 3 + E 15 e 4 = E 4 + E 25 + E 123 + E 1345 E 4 + E 25 e 5 = E 5 + E 13 + E 24 + E 12345 E 5 + E 13 + E 24 e 12 = E 12 + E 34 + E 235 + E 145 E 12 + E 34 e 14 = E 14 + E 23 + E 125 + E 345 E 14 + E 23 Les contrastes sont simplifis en tenant compte des hypothses d'interprtation (Hypothse 1)
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  • 05/11/201355 e 0 E 0 = 30 e 1 E 1 + E 35 = -11 e 2 E 2 + E 45 = 1 e 3 E 3 + E 15 = -2 e 4 E 4 + E 25 = 1 e 5 E 5 + E 13 + E 24 = 12 e 12 E 12 + E 34 = 2 e 14 E 14 + E 23 = 1 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Cinq contrastes sont faibles. D'aprs l'hypothse 2, on peut conclure que les effets et les interactions aliass dans ces contrastes sont tous faibles. On nglige les facteurs Dure (2), Farine (3) et Sucre (4).
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  • 05/11/201356 En revanche les contrastes e 1 et e 5 ne sont pas ngligeables. Il faut donc se mfier de l'interaction E 15 qui pourrait tre forte (Hypothse 4). Cette interaction est aliase avec le facteur 3 dans le contraste e 3. Comme ce contraste est faible, l'interaction l'est aussi (Hypothse 2). On peut donc conclure qu'il y a 2 facteurs influents sur la hauteur du gteau, la Temprature (1) et le nombre d'oeufs (5). Il n'y a pas d'interaction entre ces deux facteurs. Si l'on veut un gteau de bonne hauteur, il faut travailler 160C (niveau bas) et avec 4 oeufs (niveau haut). Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p
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  • 05/11/201357 Technique pour dsaliaser Un exemple: Un plan fractionnaire 2 5-2 On construit un plan de base 23 que lon aliase avec les facteurs supplmentaires 4 = 123 et 5 = 13 Le groupe de gnrateur daliases devient I = 1234 = 135 = 245 On obtient aprs simplification Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p
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  • 05/11/201358 e 1 E 1 + E 35 = -2,18 e 3 E 3 + E 15 = -3,33 e 5 E 5 + E 13 + E 24 = -4,55 e 2 E 2 + E 45 0 soit E 2 0 et E 45 0 e 4 E 4 + E 25 0 soit E 4 0 et E 25 0 e 12 E 12 + E 34 0 soit E 12 0 et E 34 0 e 14 E 14 + E 23 0 soit E 14 0 et E 23 0 Semblent non significatifs Semblent significatifs Il est difficile de conclure car linteraction 35 peut tre diffrente de zro tant donn que les effets 3 et 5 sont influents. De mme pour les interactions 15 et 13 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p
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  • 05/11/201359 e 1 E 1 - E 35 e 3 E 3 - E 15 e 5 E 5 - E 13 Il faudrait pouvoir calculer les contrastes: E 1 = (e 1 + e 1 )/2 E 35 = (e 1 - e 1 )/2 parce quon obtiendrait: Nous devons donc btir un plan complmentaire 4 = 123 et 5 = -13 Avec comme GGA : I = 1234 = -135 = -245 Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p Gnrateur daliases I= -135
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  • 05/11/201360 E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 E 15 E 25 E 35 E 45 E 12 +E 34 E 13 +E 24 E 14 +E 23 I +E 1234 -1,34 1 -0,78 1 -0,07 1 -0,87 1 -3,84 1 -3,26 1 0,97 1 -0,84 1 0,22 1 0,09 1 -0,71 1 -0,68 1 25,45 1 Conclusion Seuls deux facteurs sont influents et une forte interaction existe entre ces deux facteurs Plans factoriels fractionnaires deux niveaux: 2 k-p

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