14
27/08/22 1 TEST d’ADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 1

TEST d’ADEQUATIONA UNE LOI EQUIREPARTIE

Problème :

Ce dé est suspect :est-il bien équilibré ?

Page 2: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 2

1. Expérimentation

On lance le dé un certain nombre de fois… 200 fois

Face 1 2 3 4 5 6

Fréquence 0,195 0,11 0,19 0,195 0,16 0,15

On note les résultats obtenus :

Page 3: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 3

Remarques

On sait que le modèle théorique associé à un dé équilibré est la loi d’équirépartition où la probabilité de chaque événement élémentaire est 1/6 0,17

Sur un échantillon, on observe évidemment toujours un petit écart entre les fréquences obtenues et ce modèle.

1. Expérimentation

Page 4: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 4

2. Définir un critère qui permet de décider si le dé est pipé ou non

On mesure l’écart entre la distribution des fréquences observées et la loi de probabilité :d ² = ( f1– 1/6)² + ( f2– 1/6)² + ( f3 – 1/6)²

+ ( f4 – 1/6)² + (f5 – 1/6)² + ( f6 – 1/6)².

Dans notre exemple, d ²obs 0,005 68.

1. Expérimentation

2. Définir un critère

Page 5: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 5

« Astuce pratique » :

On calcule d ² ou nd ² (avec n le nombre de lancers)ou 1 000d ² pour obtenir une valeur « lisible » : on note 1 000 d ²obs la valeur

calculée.

Dans notre expérience, on a 1 000 d ²obs 5,68.

1. Expérimentation

2. Définir un critère

Page 6: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 6

Remarques

Si les valeurs observées sont éloignées des valeurs théoriques, d²obs sera « grand »

et, s’il est « trop grand » on considérera qu’il n’y a pas adéquation entre les données et la loi équirépartie :

l’expérience permettra alors de rejeter l’hypothèse que le dé est équilibré.

1. Expérimentation

2. Définir un critère

Page 7: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 7

Question :A partir de quelle valeur dira-t-on que

d ²obs est trop grand pour que l’on puisse

imputer cet écart à une fluctuationd’échantillonnage ordinaire ? Simulation.xls

Il s’agit de déterminer un seuil tel que :

  Si on observe que ce seuil est dépassé par le d²obs, on décidera de rejeter l’hypothèse que le dé est équilibré.

  Sinon, on ne pourra pas rejeter l’hypothèse que le dé est équilibré.

1. Expérimentation

2. Définir un critère

Page 8: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 8

Déterminer le seuil : une méthode expérimentale

SIMULATIONSIMULATION

RANDOM ALEA()

????

1. Expérimentation

2. Définir un critère

Page 9: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 9

Concrètement, simulons…

Avec un dé bien équilibré,on fait une simulation de 200 lancers,pour obtenir une valeur « normale » du d².

En recommençant N fois (N > 100) cette simulation, on obtient un échantillon de N valeurs de d² (plus N est grand, plus l’échantillon est fiable).

On détermine alors le 9ème décile ( D9 ) de la série des N valeurs (seules 10% des simulations ont donné une valeur supérieure).

simuler de2.xls

1. Expérimentation

2. Définir un critère

Page 10: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

Résultats de la simulation

On a simulé au moins 100 séries de 200 lancers avec un dé bien équilibré.

Pour chaque série, on a noté la valeur du 1 000d² .

On a donc une liste d’au moins 100 valeurs de 1 000d² obtenues avec un dé équilibré.

11/04/23 10

1. Expérimentation

2. Définir un critère

Page 11: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 11

Dans cet échantillon de valeurs de 1 000 d ²,le 9ème décile est 8,105.

Cela signifie que, dans cet échantillon fabriqué avec un dé équilibré,seulement 10 % des valeurs sont supérieures à 8,105

et90 % des valeurs sont inférieures à 8,105.

On décide de prendre comme seuil de décision cette valeur 8,105.

1. Expérimentation

2. Définir un critère

Page 12: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 12

3. Utiliser le critère pour conclure

Dans l’expérience réalisée avec notre dé suspect,on avait trouvé 1 000 d ²obs 5,68.

CONCLUSION DU TEST:Comme 5,68 < 8,105, on ne peut pas rejeter l’hypothèse que ce dé est équilibré.

1. Expérimentation

2. Définir un critère

3. Conclusion

Page 13: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 13

4. En pratique : que retenir ?

Pour tester si on a une situation d’équirépartition:

On fait une expérience de n répétitions et on note les résultats.

On calcule d²0BS (somme des carrés des distances entre les observations et le modèle théorique) ou nd²OBS ou 1000d²OBS.

On compare au critère fourni par une simulation (9ème décile).

On conclut… en rejetant ou pas l’hypothèse d’équirépartition.

1. Expérimentation

2. Définir un critère

3. Conclusion

4. A retenir

Page 14: 08/06/20141 TEST dADEQUATION A UNE LOI EQUIREPARTIE Problème : Ce dé est suspect : est-il bien équilibré ?

11/04/23 14

Limites de la méthode… On ne prouve pas que le dé est

équilibré (on se contente de tester une hypothèse).

Avec cette méthode, on risque de rejeter l’hypothèse que le dé est équilibré à tort dans 10 % des cas.

Pour diminuer ce risque d’erreur à5 %, il faudrait prendre le 95ème centile de la série des d². Mais alors, on augmente le seuil, et donc le risque d’accepter le dé, alors qu’il est pipé… simuler de2.xls

1. Expérimentation

2. Définir un critère

3. Conclusion

4. A retenir