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08/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Vingtième cours

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Vingtième cours

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Rappel du dernier cours

• Seconde situation de réinvestissement

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Rappel du dernier cours

• Seconde situation de réinvestissement• Taux de rendement d’un fonds de placement

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Rappel du dernier cours

• Seconde situation de réinvestissement• Taux de rendement d’un fonds de placement• Taux de rendement pondéré par le temps

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Rappel du dernier cours

• Seconde situation de réinvestissement• Taux de rendement d’un fonds de placement• Taux de rendement pondéré par le temps• Règles de base pour l’amortissement

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Rappel: Réinvestissement (deuxième

situation):

Dans celle-ci, l’investisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux d’intérêt i par période de paiement de l’annuité. Les versements d’intérêt sont réinvestis au taux d’intérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de l’annuité.

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Rappel: Réinvestissement (2e situation)

La valeur accumulée par l’annuité et les versements d’intérêt à la fin de la ne période de paiement est

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Rappel: Réinvestissement (2e situation)

Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons l’équation

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Rappel: Taux de rendement d’un fonds

A: le montant dans le fonds au début de la période; B: le montant dans le fonds à la fin de la période;I: le montant d’intérêt gagné pendant la période; Ct: le montant net versé ou retiré du fonds au temps t

(Nous supposons que la durée d’une période est 1. De plus Ct > 0 s’il s’agit d’un dépôt et Ct < 0 s’il s’agit d’un

retrait);i: le taux de rendement du fonds.

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Rappel: Taux de rendement d’un fonds

Nous avons

B = A + C + I

où C = t Ct est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus.

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Rappel: Taux de rendement d’un fonds

Hypothèse: (Intérêt composé)

Nous pouvons déterminer i en considérant l’équation

iA + [t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C - I = 0

Hypothèse: (Intérêt simple)

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Rappel: Taux de rendement d’un fonds

Hypothèse: (Intérêt simple et approche simplifiée)

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Rappel: Taux de rendement i pondéré par le temps est défini par l’équation

où C1 , C2 , ... , Cm sont les m contributions nettes dans le fonds, Bk est le solde dans le fonds avant la contribution Ck , B0 est le solde initial et Bm le solde final.

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Rappel: Règles pour l’amortissement

• Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû

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Rappel: Règles pour l’amortissement

• Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû

• Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté

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Rappel: Règles pour l’amortissement

• Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû

• Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté

• Si le paiement est inférieur à ce montant d’intérêt, alors l’intérêt qui n’aura pas été versé s’ajoutera au capital à rembourser

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Solde restant d’un prêt:

Étant donné un prêt de L dollars remboursé par n paiements: P1, P2, ... , Pn faits respectivement aux temps t1, t2, ... , tn , alors le solde restant du prêt immédiatement après le ke paiement est noté Bk .

Notons aussi L par B0

Nous pouvons calculer Bk soit rétrospectivement, soit prospectivement.

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Solde restant d’un prêt: (suite)

Rétrospectivement

Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk

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Solde restant d’un prêt: (suite)

Rétrospectivement

Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk

Prospectivement

Bk est la somme des valeurs actuelles au temps tk des (n - k) derniers paiements: Pk+1 , Pk+2 , ... , Pn

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Portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk:

Cette portion de principal remboursé est

Bk-1 - Bk .

En effet, nous devions avant le ke paiement: Bk-1 et, une fois le ke paiement fait, nous ne devons plus que Bk .

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Portion d’intérêt du ke paiement Pk:

Cette portion d’intérêt est

Pk - (Bk-1 - Bk) .

En effet, la portion de principal remboursé dans le ke paiement est (Bk-1 - Bk) et ce qui reste du paiement , à savoir Pk - (Bk-1 - Bk) doit être de l’intérêt .

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Autre approche pour déterminer les portions d’intérêt et de principal

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Portion d’intérêt du ke paiement Pk:

Nous devons au début de la ke période, celle immédiatement après le (k - 1)e paiement, Bk - 1 dollars. Le montant d’intérêt à payer à la fin de la ke période est

où i est le taux d’intérêt pour une période. Ceci est donc la portion d’intérêt du ke paiement Pk, si ce paiement est supérieur à ce montant d’intérêt.

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Portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk:

Cette portion sera ce qui reste du paiement une fois la portion d’intérêt soustraite du ke paiement . Donc la portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk

où i est le taux d’intérêt pour une période.

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Exemple 1:

Un prêt au taux nominal d’intérêt i(12) = 6% capitalisé mensuellement est remboursé par 48 paiements à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Les 20 premiers paiements sont au montant de 400$, les vingt suivants au montant de 500$ et les 8 derniers au montant de 600$. Donc le montant emprunté est

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Exemple 1: (suite)

Déterminons le solde restant immédiatement après le 23e paiement.

Prospectivement

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Exemple 1: (suite)

Déterminons le solde restant immédiatement après le 23e paiement.

Prospectivement

Retrospectivement

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Exemple 1: (suite)

Déterminons la portion d’intérêt du 24e paiement

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Exemple 1: (suite)

Déterminons la portion d’intérêt du 24e paiement

Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24e paiement

car le 24e paiement est de 500$

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Exemple 1: (suite) Autre approche

Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24e paiement. Nous avons déjà calculé

B23 = 12441.52$. D’autre part nous avons prospectivement que

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Exemple 1: (suite) Autre approche

Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24e paiement. Nous avons déjà calculé

B23 = 12441.52$. D’autre part nous avons prospectivement que

Donc la portion de principal remboursé dans le 24e paiement est B23 - B24 = 12441.52 - 12003.73 = 437.79$et la portion d’intérêt sera 500 - 437.79 = 62.21$. Notons que le 24e paiement est de 500$.

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Exemple 1: (suite) Autre approche

Nous aurions aussi pu déterminer B24 retrospectivement. Nous aurions alors que

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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par

période de paiement. Le montant emprunté est alors

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Nous pouvons noter dans cette table que la portion de principal des paiements

forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i).

Conséquemment si nous connaissons la portion de principal d’un paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou

accumulant selon le cas.

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Exemple 2:

Un prêt de 5000$ est remboursé par 5 paiements égaux. Le taux d’intérêt du prêt est le taux nominal i(2) = 8% par année capitalisé à tous les semestres. Les paiements sont faits à la fin de chaque semestre, le premier étant fait six mois après le prêt. Si nous notons par R: les paiements de ce prêt, nous avons

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Période de paiement

PaiementPortion d’intérêt

Portion de principal

Solde restant du

prêt

5000

1 1123.14 200 923.14 4076.86

2 1123.14 163.07 960.07 3116.79

3 1123.14 124.67 998.47 2118.32

4 1123.14 84.73 1038.41 1079.91

5 1123.14 43.20 1079.94 0

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Dans certaines situations, il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif, c’est-à-dire plutôt que le solde restant diminue

avec un paiement, il augmente. Nous illustrons ceci dans l’exemple suivant

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Exemple 3:

Un prêt de 1082.64$ est remboursé par 2 paiements: le premier au montant de 100$ un an après le prêt et un second au montant de 1200$ deux ans après le prêt. Le taux d’intérêt du prêt est le taux effetif i = 10% par année. Nous avons alors le tableau suivant

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Période de paiement

PaiementPortion d’intérêt

payé

Portion d’intérêt à

payer

Portion de principal payé

Solde restant du

prêt

1082.64

1 100 100 108.26 -8.26 1090.90

2 1200 109.09 109.09 1090.91 0