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08/11/07
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Vingtième cours
08/11/07
Rappel du dernier cours
• Seconde situation de réinvestissement
08/11/07
Rappel du dernier cours
• Seconde situation de réinvestissement• Taux de rendement d’un fonds de placement
08/11/07
Rappel du dernier cours
• Seconde situation de réinvestissement• Taux de rendement d’un fonds de placement• Taux de rendement pondéré par le temps
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Rappel du dernier cours
• Seconde situation de réinvestissement• Taux de rendement d’un fonds de placement• Taux de rendement pondéré par le temps• Règles de base pour l’amortissement
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Rappel: Réinvestissement (deuxième
situation):
Dans celle-ci, l’investisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux d’intérêt i par période de paiement de l’annuité. Les versements d’intérêt sont réinvestis au taux d’intérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de l’annuité.
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Rappel: Réinvestissement (2e situation)
La valeur accumulée par l’annuité et les versements d’intérêt à la fin de la ne période de paiement est
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Rappel: Réinvestissement (2e situation)
Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons l’équation
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Rappel: Taux de rendement d’un fonds
A: le montant dans le fonds au début de la période; B: le montant dans le fonds à la fin de la période;I: le montant d’intérêt gagné pendant la période; Ct: le montant net versé ou retiré du fonds au temps t
(Nous supposons que la durée d’une période est 1. De plus Ct > 0 s’il s’agit d’un dépôt et Ct < 0 s’il s’agit d’un
retrait);i: le taux de rendement du fonds.
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Rappel: Taux de rendement d’un fonds
Nous avons
B = A + C + I
où C = t Ct est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus.
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Rappel: Taux de rendement d’un fonds
Hypothèse: (Intérêt composé)
Nous pouvons déterminer i en considérant l’équation
iA + [t Ct (1 + i)(1 - t) ] - C - I = 0
Hypothèse: (Intérêt simple)
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Rappel: Taux de rendement d’un fonds
Hypothèse: (Intérêt simple et approche simplifiée)
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Rappel: Taux de rendement i pondéré par le temps est défini par l’équation
où C1 , C2 , ... , Cm sont les m contributions nettes dans le fonds, Bk est le solde dans le fonds avant la contribution Ck , B0 est le solde initial et Bm le solde final.
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Rappel: Règles pour l’amortissement
• Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû
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Rappel: Règles pour l’amortissement
• Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû
• Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté
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Rappel: Règles pour l’amortissement
• Dans chacun des remboursements d’un prêt, la première chose à être payé est l’intérêt dû
• Si le paiement est supérieur à ce montant d’intérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté
• Si le paiement est inférieur à ce montant d’intérêt, alors l’intérêt qui n’aura pas été versé s’ajoutera au capital à rembourser
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Solde restant d’un prêt:
Étant donné un prêt de L dollars remboursé par n paiements: P1, P2, ... , Pn faits respectivement aux temps t1, t2, ... , tn , alors le solde restant du prêt immédiatement après le ke paiement est noté Bk .
Notons aussi L par B0
Nous pouvons calculer Bk soit rétrospectivement, soit prospectivement.
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Solde restant d’un prêt: (suite)
Rétrospectivement
Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk
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Solde restant d’un prêt: (suite)
Rétrospectivement
Bk est la valeur accumulée par L au temps tk moins la somme des valeurs accumulées au temps tk des k premiers paiements: P1, P2, ... , Pk
Prospectivement
Bk est la somme des valeurs actuelles au temps tk des (n - k) derniers paiements: Pk+1 , Pk+2 , ... , Pn
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Portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk:
Cette portion de principal remboursé est
Bk-1 - Bk .
En effet, nous devions avant le ke paiement: Bk-1 et, une fois le ke paiement fait, nous ne devons plus que Bk .
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Portion d’intérêt du ke paiement Pk:
Cette portion d’intérêt est
Pk - (Bk-1 - Bk) .
En effet, la portion de principal remboursé dans le ke paiement est (Bk-1 - Bk) et ce qui reste du paiement , à savoir Pk - (Bk-1 - Bk) doit être de l’intérêt .
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Autre approche pour déterminer les portions d’intérêt et de principal
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Portion d’intérêt du ke paiement Pk:
Nous devons au début de la ke période, celle immédiatement après le (k - 1)e paiement, Bk - 1 dollars. Le montant d’intérêt à payer à la fin de la ke période est
où i est le taux d’intérêt pour une période. Ceci est donc la portion d’intérêt du ke paiement Pk, si ce paiement est supérieur à ce montant d’intérêt.
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Portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk:
Cette portion sera ce qui reste du paiement une fois la portion d’intérêt soustraite du ke paiement . Donc la portion de principal remboursé dans le ke paiement Pk
où i est le taux d’intérêt pour une période.
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Exemple 1:
Un prêt au taux nominal d’intérêt i(12) = 6% capitalisé mensuellement est remboursé par 48 paiements à la fin de chaque mois, le premier étant fait un mois après le prêt. Les 20 premiers paiements sont au montant de 400$, les vingt suivants au montant de 500$ et les 8 derniers au montant de 600$. Donc le montant emprunté est
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Exemple 1: (suite)
Déterminons le solde restant immédiatement après le 23e paiement.
Prospectivement
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Exemple 1: (suite)
Déterminons le solde restant immédiatement après le 23e paiement.
Prospectivement
Retrospectivement
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Exemple 1: (suite)
Déterminons la portion d’intérêt du 24e paiement
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Exemple 1: (suite)
Déterminons la portion d’intérêt du 24e paiement
Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24e paiement
car le 24e paiement est de 500$
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Exemple 1: (suite) Autre approche
Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24e paiement. Nous avons déjà calculé
B23 = 12441.52$. D’autre part nous avons prospectivement que
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Exemple 1: (suite) Autre approche
Déterminons la portion de principal remboursé dans le 24e paiement. Nous avons déjà calculé
B23 = 12441.52$. D’autre part nous avons prospectivement que
Donc la portion de principal remboursé dans le 24e paiement est B23 - B24 = 12441.52 - 12003.73 = 437.79$et la portion d’intérêt sera 500 - 437.79 = 62.21$. Notons que le 24e paiement est de 500$.
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Exemple 1: (suite) Autre approche
Nous aurions aussi pu déterminer B24 retrospectivement. Nous aurions alors que
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Considérons maintenant la situation d’un prêt remboursé par n paiements égaux au montant de 1$ à la fin de chaque période. Notons par i: le taux d’intérêt du prêt par
période de paiement. Le montant emprunté est alors
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Nous pouvons noter dans cette table que la portion de principal des paiements
forment une suite en progression géométrique de raison (1 + i).
Conséquemment si nous connaissons la portion de principal d’un paiement, nous pouvons alors calculer tous les autres portions de principal en escomptant ou
accumulant selon le cas.
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Exemple 2:
Un prêt de 5000$ est remboursé par 5 paiements égaux. Le taux d’intérêt du prêt est le taux nominal i(2) = 8% par année capitalisé à tous les semestres. Les paiements sont faits à la fin de chaque semestre, le premier étant fait six mois après le prêt. Si nous notons par R: les paiements de ce prêt, nous avons
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Période de paiement
PaiementPortion d’intérêt
Portion de principal
Solde restant du
prêt
5000
1 1123.14 200 923.14 4076.86
2 1123.14 163.07 960.07 3116.79
3 1123.14 124.67 998.47 2118.32
4 1123.14 84.73 1038.41 1079.91
5 1123.14 43.20 1079.94 0
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Dans certaines situations, il est possible qu’il y ait de l’amortissement négatif, c’est-à-dire plutôt que le solde restant diminue
avec un paiement, il augmente. Nous illustrons ceci dans l’exemple suivant
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Exemple 3:
Un prêt de 1082.64$ est remboursé par 2 paiements: le premier au montant de 100$ un an après le prêt et un second au montant de 1200$ deux ans après le prêt. Le taux d’intérêt du prêt est le taux effetif i = 10% par année. Nous avons alors le tableau suivant
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Période de paiement
PaiementPortion d’intérêt
payé
Portion d’intérêt à
payer
Portion de principal payé
Solde restant du
prêt
1082.64
1 100 100 108.26 -8.26 1090.90
2 1200 109.09 109.09 1090.91 0