TES A-B Devoir n° 7 mardi 10 mars 2015

Exercice 1. sur 2.5 points

Dans un terrain de camping il y a 32% de français et 68% d’étrangers. 70% des français et 30% des étrangers

savent jouer à la pétanque.

On rencontre, au hasard, une personne de ce camping.

On définit les événements : F : « cette personne est française » et P : « cette personne sait jouer à la pétanque ».

1°) Traduire les données par un arbre de probabilités.

2°) La personne rencontrée sait jouer à la pétanque. Quelle est la probabilité qu’elle soit française ?

Exercice 2. sur 2 points

On donne la courbe représentative d’une fonction f définie sur R.

Soit F une primitive de f sur R.

Parmi les trois courbes proposées ci-dessous, une est la courbe de F. Laquelle ? Justifier.

courbe n° 1 courbe n° 2 courbe n° 3

Exercice 3. sur 3 points

Les deux questions sont indépendantes.

1°) On donne ci-contre la représentation graphique d’une fonction f

définie

sur [–2 ; 4]

Par simple lecture graphique, et sans justifications, donner :

a) le tableau de signes de f(x)

b) le tableau de signes de f (x)

c) le tableau de signes de ( )f x .

2°) On admet que la fonction f est définie par 3 2( ) 0.25 0.75f x x x .

Déterminer la primitive F de f qui s’annule pour x = 1.

2 3 4-1-2-3

2

3

4

-1

-2

-3

-4

0 1

1

Exercice 4. sur 2.5 points

Dans chaque cas, déterminer une primitive F de f sur l’intervalle I indiqué

a) 1

( )f x xx

sur I = ]0 ;+[

b) ( ) 1xf x e x sur I = ]- ; +[

c) 0.5( ) 210 xf x e sur I = ]- ; +[

d) ² 5( ) 2 xf x xe sur I = ]- ; +[

Exercice 5. sur 3.5 points

On considère une fonction g définie sur [0.5 ; +[ par g (x) = 10x −8ln(x)

1. Calculer g ′(x).

2. Dresser le tableau de variations de g sur l’intervalle [0,5 ; +∞[.

3. Justifier que la fonction G définie sur [0,5 ; +∞[ par G(x) = 5x2+8x−8x ln(x) est une primitive de g

sur [0,5 ; +∞[.

4. On pose (9) (3)I G G

Montrer que la valeur exacte de I peut s’écrire sous la forme a+b ln(3) où a et b sont deux entiers que l’on

déterminera.

Exercice 6. sur 6.5 points

Soit Cm la fonction définie sur [0 ;40] par Cm(q) = 1.5 e0,05 q

Cette fonction traduit le coût marginal d’une usine pour la fabrication d’un produit chimique sous forme

liquide, q étant la quantité de produit exprimée en milliers de litres et Cm(q) exprimé en milliers d’euros.

1) a) Calculer Cm’ (q) et en déduire le tableau de variations de Cm sur [0 ;40].

b) En déduire le signe de Cm(q) sur [0 ;40]

2) On désigne par C la fonction traduisant le coût total en fonction de la quantité q. On rappelle que le coût

marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total.

a) En utilisant la question 1, déterminer les variations de C sur [0 ; 40].

b) Sachant que les coûts fixes s’élèvent à 30 milliers d’euros, déterminer la fonction C.

3) Le prix de vente de ce produit est de 5 € par litre. La fabrication quotidienne est vendue en totalité.

On admet que le bénéfice noté B(q) s’exprime par B(q) = 5q – 30 e 0,05q

.

On définit la fonction h sur [0 ;40] par h(q) = 5 – Cm(q).

a) Etudier les variations de h.

b) Justifier que l’équation h(q) = 0 a une unique solution α dans [0 ;40] et en donner une valeur approchée au

centième.

c) Déduire des questions précédentes le signe de h(q) sur [0 ;40] puis les variations de B

d) Donner une valeur approchée de B(α) avec deux décimales. Que représente cette valeur pour cette usine ?

Corrigé du n° 1

1°) D’après le texte : ( ) 0.32 ; ( ) 0.68 ; ( ) 0.7 ; ( ) 0.3F Fp F p F p P p P

2°) On doit calculer pP(F).

Or, ( )

( )( )

P

p F Pp F

p P

( ) 0.32 0.7 0.224p F P

( ) ( ) ( ) 0.224 0.68 0.3 0.428p P p F P p F P

( ) 0.224( ) 0.523

( ) 0.428P

p F Pp F

p P

La probabilité que cette personne soit française, sachant qu’elle sait jouer à la pétanque, est 0.523.

2 5 pts

0.5

0.5

0.5

1

Corrigé du n° 2

F primitive de f : le signe de f nous donne les variations de F.

x - –1 +

signe de F’= f – 0 +

variations

de F

La fonction F est représentée par la courbe n° 1, seule à correspondre à ces variations.

2 pts

Corrigé de l’exercice 3

a) On regarde la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

x -2 -1 2 4

signe de f(x) – 0 + 0 +

b) On regarde les variations de la fonction

x -2 0 2 4

signe de f (x) + 0 – 0 +

c) On s’intéresse à la convexité de la fonction

x -2 1 4

signe de ( )f x – 0 +

2°) 3 2( ) 0.25 0.75f x x x

4 3 4 31 1 1 1( ) 0.25 0.75

4 3 16 4F x x x k x x k

Comme F(1) = 0 on a : 1 1 3 3

0 016 4 16 16

k k k

D’où : 4 31 1 3( )

16 4 16F x x x

3 points

0.5

0.5

1

0.5

0.5

F

0,32

P0,7

P0,3

F

0,68 P0,3

P0,7

Corrigé du n° 4

a) 1

( )f x xx

sur I = ]0 ;+[ donc 1

( ) ² ln( )2

F x x x

b) ( ) 1xf x e x sur I = ]- ; +[ donc 1

( ) ²2

xF x e x x

c) 0.5( ) 210 xf x e sur I = ]- ; +[ donc 0.5 0.51( ) 210 420

0.5

x xF x e e

d) ² 5( ) 2 xf x xe sur I = ]- ; +[

On pose ² 5u x d’où ' 2u x . f est de la forme ' uu e donc F est de la forme eu.

² 5( ) xF x e

2.5 pts

0.5

0.5

0.75

0.75

Corrigé du n° 5

1°) 1 8 10 8

'( ) 10 8 10x

g xx x x

2°) 8

10 8 0 10 8 0.810

x x x

x 0.5 0.8 +

signe de 10x -8 – 0 +

signe de x + +

signe de g’(x) – 0 +

variations

de g 10.5

9.8

3°) 8 lnx x est de la forme uv avec 1

8 , ln , ' 8 ; 'u x v x u vx

1

8 ln ' 8ln 8 8ln 8x x x x xx

'( ) 5 2 8 8ln 8 10 8 8ln 8 10 8ln ( )G x x x x x x x g x : G est une primitive de g.

4°) I = G(9) – G(3) = (5×81+8×9-8×9ln9) - (5×9 + 8 × 3 – 8 × 3ln3) = 408 – 72 ln9 +24 ln3

Or, ln(9) = ln(3²) = 2ln(3)

D’où I = 408 – 72 × 2 ln3 + 24 ln 3 = 408 – 120 ln 3. On a : a = 408 et b = - 120

3.5 pts

0.5

1

1

0.25

0.75

Corrigé du n° 4

1°) ' 0,05 0.05( ) 1,5 0,05 0.075q q

mC q e e

Comme une exponentielle est toujours positive, C’m (q) > 0 et donc Cm est croissante sur [0,40]

Cm(0) est donc le minimum de Cm sur [0,40] et comme Cm(0) = 1.5 > 0, Cm est toujours strictement

positive sur [0,40]

2°) a) C’ = Cm et comme Cm est positive, C est strictement croissante sur [0,40]

b) C est une primitive de Cm sur [0,40].

On pose u = 0.05q u’ = 0.05

0.05 0.05 0.05

'

1.5 1.5'( ) 0.5 donc ( ) 30

0.5 0.5u

q q q

u e

C q e C q e k e k

On sait que C(0) = 30 (les coûts fixes) et C(0) = 030e k d’où k = 0.

On a donc C(q) = 30 e

0.05q

3°) a) 0.05

0.05 0.05

( ) 5 ( ) 5 1.5

'( ) 0 1.5 0.05 0.075

q

m

q q

h q C q e

h q e e

6.5 pts

0.5

0.5

0.5

0.5

1

Cette expression est toujours négative donc h est décroissante strictement sur [0,40]

b) On a donc le tableau de variations suivant :

q 0 40

h’(q) –

h 3.5

0

h(40) - 6.1

D’après ce tableau de variations et la propriété des valeurs intermédiaires, on peut affirmer que

l’équation h(q) = 0 admet une unique solution dans [0,40]

Avec la calculatrice, on a : 24.08

c) D’après ce tableau, on déduit :

q 0 40

signe de h(q) + 0 – 0.05 0.05 0.05( ) 5 30 donc '( ) 5 30 0.05 5 1.5 ( )q q qB q q e B q e e h q

q 0 40

signe de B’=h + 0 –

variations

de B

20.40

( ) (24.08) 20.40B B : ce nombre est le bénéfice maximal pour cette usine, en milliers d’euros.

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5