1

Les trois Omégas de l’Universplus ou moins le Quatrième ?

Philippe Magne 2004

2

TABLE DES MATIERES

L’énergie répulsive du vide 46

Oméga de cette énergie 47Pression négative 48

Expansion exponentielle 50Création d’énergie et vide

quantique 51Synthèse des trois omégas

Synthèse 55Evolution et dominance 59Temps cosmique et facteur

d’échelle 60Le quatrième oméga 61Formule donnant 1/H0 63Le quatrième Oméga et la courbure de l’espace 66

Futur de l’Univers 69Conclusion 78

Les 3 énergies qui gouvernent l’expansion 26

Les 3 époques où chaque énergie fut dominante

Première 28Deuxième 29Troisième 30

Le rayonnement électromagnétique 31

Oméga du rayonnement 34Quelques chiffres 36A MEMORISER 38

La matière 39Conservation de la matière et nullité de la pression 41Oméga de la matière 45

IntroductionRappels

Principe cosmologique 5Loi vitesse distance 6Géométrie de l’espace 7Equivalent du plan 9Dynamique de l’expansion 8

EnergiesFacteur d’échelle et

Mécanique classique 11Support de calcul 12

Convention 13Calcul de R(t)et a(t) 14

Densité critique 17Exemple de calcul simple 18Pression du fluide cosmique

Quand la pression intervient-elle? 24

3

IntroductionTrois sortes d’énergies occupent

l’espace.Elles gouvernent l’expansion par le

truchement de l’interaction gravitationnelle

du fait de l’équivalence masse /énergie selon

la célèbre formule E=mc²Ce sont les sources du champ de

gravitation comme classiquement les masses.

Le fluide cosmique possède une pression exprimable comme une

densité d’énergie qui s’ajoute algébriquement aux

autres.

4

RAPPELS

5

Principe cosmologiqueHomogénéité et Isotropie

Les propriétés géométriques et physiques de l’Univers sont, à un

temps cosmique donné, les mêmes en tout point et dans

toutes les directions autour de chaque point.

1)Vraisemblance confortée par le projet

2dFGRS, 200000 galaxies observées.

2)Isotropie constatée parfaite du FDC

par le satellite COBE de la NASA (1989)

6

H : constante de Hubble

Elle l’emporte sur l’agitation locale des galaxies à partir d’une distance

de 100 millions d’AL

où la vitesse de récession est de l’ordre

de 2000 km / sAinsi, la limite inférieure de

l’univers relativiste est elle à100 millions d’AL ou environ 30 Mpc

Loi vitesse / distancevitesse récession = H x D

7

Géométrie de l’espace

Sa courbure dépend de son contenu énergétique

Il s’exprime localement par la somme:Energie cinétique + Energies

potentielles =-K K Géométrie

Positif Riemann Nul Euclide Négatif Lobatchevs

ky Bolyai

8

Dynamique de l’ExpansionFacteur d’échelle en fonction du

temps

9

Géométrie de l’espaceEquivalents du plan

10

ENERGIES

11

Facteur d’ échelleet Mécanique classique

En calculant la chute radiale libre d’une particule d’épreuve dans un champ de gravitation homogène on

obtient l’équation du Facteur d’échelle en fonction du temps.Ce calcul mène aux énergies qui

gouvernent l’expansionCela revient à prendre en compte un

petit échantillon d’univers,ce qui donne l’équation différentielle

concernant tout l’Univers

12

Support de calculLe champ dû aux couches extérieures au trait gras est nul, la force d’attraction agissant sur

la particule d’épreuve est due à la masse contenue dans les couches intérieures

13

Conventions

La petite particule d’épreuve de masse m, par exemple 1kg, est sur le cercle en trait gras, la mécanique

classique permet de calculer son mouvement par rapport au centre de

la figure. Par convention nous adoptons le même symbole pour

désigner la distance de la particule au centre de la figure et pour

désigner le facteur d’échelle R( t )m x accélération = Force attractive

14

Calcul de R ( t ) et de a ( t )

15

16

17

18

19

20

21

Pression du fluide cosmiquePrécisons que le mot fluide est un

générique qui convient assez bien pour évoquer les métamorphoses du cosmos

lorsque température et pression ont énormément évolué de

concert avec l’expansion de l’espace

RAPPELClassiquement, la pression est une

conséquence de l’impact des molécules sur les les

parois d’un récipient.Pour chiffrer cet effet la pression est définie

comme la force appliquée par unité de surface

22

Cette force n’existe que si la pression est plus grande d’un côté que de l’autre de la paroiDans l’Univers uniforme tous les endroits

sont pareils et la pression est partout la même, il

n’y a pas de gradient de pression, aucune force

comme celle évoquée ne peut se manifesterAlors, on peut se poser la question:

Comment la pression peut-elle affecterl’expansion?

La réponse est que la pression est une forme de l’énergie, et que toute forme d’énergie est

une source de gravitation à cause de l’équivalence

masse énergie exprimée par la formule E = mc²

23

Traduite dans le langage de la Relativité Générale, la pression contribue à courber

l’espace-temps comme le fait la matière. Elle a aussi un effet exactement opposé à celui

auquel on pourrait s’attendre, la pression si elle est positive ralentit l’expansion en

accroissant la gravitation.Lorsqu’elle est négative elle accélère

l’expansion.Un moyen assez simple de mettre en évidence le caractère énergétique de la pression est de

prendre en compte l’analyse dimensionnelle suivante:

2 2

Force F F L EnergieP

Surface VolumeL L L

24

Au temps présent nous avons signalé que la vitesse de récession relativiste l’emporte

largement sur les vitesses d’agitation aléatoires des galaxies lorsque la distance

dépasse 100 millions d’AL.Cela veut dire que d’un point de vue

cosmologique,où les distances se chiffrent par dizaines de

milliards d’AL, on peut considérer que la pression est quasi nulle

Quand la pression intervient-elle dans la gouvernance de

l’expansion ?

25

Il en allait tout autrement dans un passé lointain où l’Univers était très chaud et peuplé de particules ultra-relativistes et

de photons comme nous le verrons.En ce qui concerne le futur, la découverte de l’accélération de l’expansion attribuée

à l’énergie répulsive du vide donne à penser que la pression du fluide est de ce fait obligatoirement négative ce qui sera

démontré

26

Les 3 énergies qui gouvernent l’expansionCe sont les 3 ingrédients du fluide

cosmique :le rayonnement électromagnétique, la

matière sous toutes ses formes,baryonique chaude et froide,

noire, l’énergie répulsive du vide. Leurs vestiges actuels et les lois de la

physiques permettent de reconstituer leurs influences respectives, leurs

dominances. On les exprime par les ”3 omégas”rapports de leurs équivalents

massiques à la densité critique.Un quatrième oméga est la différence

entre 1 et la somme des 3 autres omégas

27

Les résultats d’observations les plus récents et les plus précis ont été publiés

par la mission

Wilkinson Microwave Anisotropy Probe WMAP

http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm.html

parmi ceux-ci deux omégas et la température du bruit cosmique ( Cosmic

Microwave Background )Cette mission est très audacieuse, le

satellite d’observation a été placé au point L2 de Lagrange du système Terre Soleil

28

Rappel succinct des 3 époques où chaque énergie fut

dominantePremière époque ( tout de suite après le Big Bang )

Le milieu est assimilable à un nuage de photons et de particules ultra – relativistes en équilibre thermique. On l’appelle Corps

Noir CosmologiqueIl est à très haute température, sa

pression est extrêmement élevée sans commune mesure avec les pressions auxquelles nous sommes habitués

Il est opaque car le libre parcours des photons est très petit, en fait, c’est un

plasma ultra – dense.Ce corps noir se refroidit tandis que l’espace se dilate comme le facteur

d’échelle

29

Deuxième époque

Il s’agit du temps présent où l’Univers est devenu transparent. Elle commence

lorsque les électrons sont capturés par les protons pour former l’hydrogène primitif,

la température ayant suffisamment baissée pour que la désionisation se produise. Il s’ensuit la fragmentation du milieu pour

aboutir aux grandes structures et amas de galaxies que nous observons aujourd’hui

30

Troisième époque

Elle concerne le futur l’Univers.La découverte de l’accélération de l’expansion par les groupements :

Supernova CosmologyProject et High z Supernova Team conduit

à penser que l’expansion pourrait être gouvernée par une énergie répulsive du

vide ( quantique?) dont la pression serait négative . Il pourrait s’ensuivre une

croissance exponentielle de l’espace dont une conséquence surprenante est la

création concomitante d’énergie.Rappelons que densité d’énergie et

pression sont des paramètres qui entrent dans une équation d’état

thermodynamique faisant intervenir température et volume

31

Le rayonnement électromagnétique

Une de ses caractéristique, outre son énorme température ( peu après le Big

Bang ),c’est sa pression qui est égale au tiers de sa densité, alors que pour les gaz, dans notre environnement terrestre, elle

est plutôt de l’ordre de 10 –12 Cela résulte de l’isotropie du milieu

cosmique et des propriétés du photon. La figure de la page suivante montre, à partir

d’un volume virtuel unitaire et cubique comment il se peut que la pression soit le

tiers de densité d’énergie, on se souviendra aussi que la quantité de mouvement

transportée par le photon est égale à son énergie divisée par la vitesse de la lumière

32

33

Nous allons maintenant calculer la densité et la pression avec, comme

donnée de départ, la température T du CMB au temps présent mesurée par

WMAP 2.725K

34

35

36

Quelques chiffres concernant le rayonnement

A ne pas confondre avec la contribution au potentiel gravitationnel

Red Shift

za

DensitéJ / m3

Pression J / m3

Epoque Température

° K

0 1 4.17x10-14 1.39x10-14 Présent 2.725

1089 0.92x10-3 5.89x10-2 1.96x10-2 378000ans

2971

3276R=M

3.05x10-4 4.81 1.6 55000ans

8934

4.87x109

2.05x10-

10

2.36x1025 7.87x1024 1 seconde

1.3x1010

37

Pression du rayonnement en fonction de a

38

A MEMORISEREn gros la température du corps

noir cosmologique décroît comme l’inverse du facteur d’échelle

Ou comme l’inverse de la racine carré du temps cosmique exprimé

en secondes

2.725T

a

101.3 10

s

Tt

39

La matière

40

41

42

43

44

45

46

L’énergie répulsive du vide

La nature de cette énergie est encore inconnue, c’est un grand chantier pour la physique

On peut néanmoins modéliser sa contribution au potentiel gravitationnel par la constante

cosmologiqueEinstein l’avait introduit dans l’intention

d’annuler la gravitation par une force répulsive qui devait être proportionnelle à la

distance pour établir un équilibre

47

Cet équilibre est instable !

En ajustant on peut obtenir exactement l’effet répulsif qui accélère l’expansion en

conformité avec les observations.Constatons que si cette force est

proportionnelle à la distance, elle l’est aussi au facteur d’échelle

Le potentiel dont elle dérive est enPar une méthode de concordance WMAP a

trouvé l’oméga de cette énergie : 0.73 La contribution au potentiel gravitationnel

estdonc :

a2a

2 20.73a a

48

2

2

49

50

51

52

53

Transition de la dominanceMatière Energie répulsive du vide

54

2 20.270.73m a a

a a

Somme

55

Synthèse des trois omégas

C’est la somme S des trois contributions au potentiel gravitationnel.

Elles sont exprimées par un oméga (nombre

pur) et par le facteur d’échelle normalisé à l’unité

2 2

2 2

0.27 0.0000823920.73m rS a a

a aa a

56

Cette somme S est minimum lorsque sa dérivée par rapport à est nulle

Il est possible de situer ce minimum dans le temps cosmique, la façon de mener le

calcul sera montrée un peu plus loin. Cela s’est produit il y a 6.593 x 10 9 ans,

c’est à dire à peu près à la moitié de l’âge de l’Univers

a

2 3

0.27 0.0001647841.46 0a

a a

0.569769a

57

Il est également possible de connaitre le red shift de la lumiére qui fut émise à

cette époque sachant que :

L’égalité Rayonnement = Matière s’obtient en résolvant l’équation :

Cela s’est produit 55000 ans après le Big Bang

1 11 0.755

1a z z

z a

2

0.000082392 0.27

aa

43.05 10 3276a z

58

L’égalité Matière = Energie répulsive du vide

s’obtient en résolvant l’équation :

Cela s’est produit il ya 4 x 10 9 années

Voir, page suivante l’évolution des trois contributions au potentiel gravitationnel et leur

somme S.Dominance dans l’ordre, après le Big Bang,le

rayonnement, la matière, l’énergie répulsive du vide

20.270.73a

a

0.7178 0.393a z

59

60

Temps cosmique et Facteur d’échelle

Pour obtenir le temps cosmique compte tenu des trois omégas, il suffit de compléter

l’équation ( 6 )

61

62

63

64

L’ordinateur calcule facilement l’intégrale ( 30 )

65

66

Le quatrième Oméga Rappel

WMAP donne pour

Donc le quatrième Oméga est négatif

1 1k m r t

t

1 1.04t

(33)

k

67

Quelle en est la conséquence ?

Si ce résultat est confirmé, il se pourrait alors que la géométrie

de l’univers soit courbe et fermée, bien que l’expansion soit

prévisiblement éternelle !

La courbure est cependant très faible comme nous allons le

montrer

68

Au temps présent la courbure est donnée par l’expression :

Pour et

on trouve: soit un rayon de courbure de l’ordre de :

202 k

H

c

0 71 /H km s Mpc 0.02k

54 210 m

100milliards 'd AL

69

FUTUR DE L’UNIVERS ? va devenir > 1, vraisemblablement très

supérieur à 1CONSEQUENCE POUR LA CONSTANTE DE

HUBBLE

est donnée par l’équation ( 29 )

a

1 daH

a dt

da

dt1

2

0 2 3 4k m rH H

a a a

70

SI alors

Rappelons que, dans le passé, cette constante dans tout l’espace décroissait en fonction du temps.

C’est ce qui permit à la lumière de gagner sa course avec l’expansion et de nous atteindre bien que les astres qui l’avaient émise aient pu avoir une vitesse de récession supérieure à celle de la lumière.

Dans le futur, elle pourrait devenir à la fois constante dans l’espace et dans le temps, cela en concordance avec l’expansion exponentielle ( voir 26 ).

La conséquence en est assez surprenante.

1a 0H H (34)

71

CONSEQUENCE POUR LA SPHERE DE HUBBLE

La sphère de Hubble détermine deux régions de l’espace, à l’intérieure la vitesse de récession est inférieure à la vitesse de la lumière, à l’extérieure elle est supérieure. Au centre de cette sphère se trouve l’observateur comobile.Son rayon est tel que sur cette sphère la vitesse de récession est exactement égale à c.Il s’ensuit que d’où sa limite:

sR

sH R c

0

16s

c cR GigaAL

H H

071/ HkmsMpc 0.73 Voir 63p et 72p

72

RAYON DE LA SPHERE DE HUBBLE EN FONCTION DE

sR

a

a0.7 10a

Présent 1a

73

TEMPS MIS PAR LA LUMIERE POUR ATTEINDRE L’OBSERVATEUR SITUE AU CENTRE DE LA SPHERE DE HUBBLE DANS LA CONDITION OU LA CONSTANTE DE HUBBLE EST EFFECTIVEMENT CONSTANTE DANS L’ESPACE ET DANS LE TEMPS

Il s’agit d’un futur très lointain!Soit la distance métrique séparant une source de lumière de l’observateur.La loi de Hubble implique que la vitesse de récession est proportionnelle à

La vitesse de la lumière par rapport à l’observateur est

rs

cv Hx x

R

x

x

rc v

74

On obtient l’équation différentielle du mouvement du front de l’onde lumineuse en exprimant le temps mis pour parcourir la distance

Soit :

dtdx

1r

s

dx dxdt

c v xc

R

(35)

75

Pour une distance le temps de

propagation est donné par l’intégrale :

0 sX R

0 011

16

X X

s

dx dxt

xx ccR

Gigaans

76

RESULTATS DE L’INTEGRALE

X en GigaAL t en Gigaans

X t8 11.09

10 15.6912 22.1814 33.2715 44.36

15.9999 191.7216

77

COMMENTAIRES

L’expansion accélérée et éternelle débouche sur de bien curieuses constatations qui rappellent l’inflation d’Allan Guth ( MIT 1979 ).Le calcul montre que dans le futur la lumière ne pourra pas se propager au delà de 16 milliards d’AL ( ou 4.9 Gigaparsecs ou 1.5x1026 mètres ), le temps de propagation devenant infini à cause de l’expansion de l’espace!Cette distance est à considérer comme un horizon des interactions, une frontière de la causalité.L’ Univers deviendrait ainsi parcellisé, rempli peut être de nouveaux univers en gestation, point de vue partagé par A.Albrecht, A. Linde, P.Steinhart.

78

CONCLUSION

Nous empruntons à A.Guth quelques idées qu’il a déduites du comportement que pourrait avoir un biologiste après la découverte d’une bactérie encore inconnue.Celui-ci la classerait dans une espèce baptisée d’un nouveau nom, ne douterait pas qu’elle est la progéniture d’une bactérie parente descendante d’une lignée, il ne pourrait admettre qu’elle soit le résultat d’une improbable occurrence au sein de la matière non vivante.De là A.Guth propose d’admettre que le Big Bang n’est pas un événement singulier, mais résulte d’un processus qui ressemble à la division cellulaire.L’Univers serait ainsi autoreproducteur.