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MODELISATION DE LA TURBULENCE : MODELISATION DE LA TURBULENCE : Développement de modèles algébriques valables en proche paroi Développement de modèles algébriques valables en proche paroi

Abdou Gafari OCENI, PhD, Ing,jr

UNIVERSITE LAVAL Québec, Le 12 Février 2010

http://rechercheetdev.blogspot.com/

Développement de modèles Algébriques Explicites Méthodologie de la

modélisation algébrique

Résultats

Conclusions et perspectives

Prise en compte des effets de paroi par pondération elliptique

Ecoulement Couette – Poiseuille Couche limite sans cisaillement

Modélisation de la turbulence

Modèle EB-EASM : études analytiques en canal

Simulation numérique en Canal

Extension 3D des modèles Algébriques explicites

2

3

MODELISATION DE LA MODELISATION DE LA TURBULENCE TURBULENCE

La Turbulence Phénomène très complexe impliquant une large gamme d’échelle de longueur et de temps

La plupart des écoulements rencontrés par les ingénieurs sont turbulents

Quelquescaractérisques :

• caractère aléatoire, chaotique, désordonné, fluctuant • imprévisibilité, non déterminisme, •très larges gammes de longueur d’ondes ( i.e tourbillons # tailles)• bruit : sources acoustiques crées par les fluctuations•etc

Images ou vidéo

3

4

Faire de la simulation numérique

Tenter de prédire ses aspects comportementaux

Répondre à certaines questions

► Quelles équations résoudre ?► Quelle discrétisation utiliser ?► Quel modèle de turbulence choisir ?

Simulation numérique

4

5

Quelles équations résoudre ?

Equations de Navier Stokes (EDP)

Différentes selon les cas

Equations paraboliques:Equations elliptiquesEquations hyperboliques

Quelle discrétisation utilisée ?

Les outils numériques pour résoudre chaque type d’équations sont différents

Choisir le schéma et le maillage en conséquence

DF, VF, EF

La complexité de la géométrie

Pas de solutions analytiques

5

66

Maillages Mixtes = hexaèdres dans la couche limite et tétraèdre ailleurs

7

DF fonctionne sur les maillages réguliers permet d ’atteindre des précisions élevées ne traite pas des géométries complexes ne respecte pas le caractère conservatif des équations VF conservation des flux traite des géométries complexes difficile d’augmenter l’ordre des schémas utiliser en mécanique des fluides utile pour trouver les solutions exactes des équations approchéesmoins gourmande en esp mémoire que les EF

EF attaquent les géométries complexes chercher des solutions approchées des équations exactes beaucoup utilisé en mécanique des solides ne respecte pas le caractère conservatif des équations 7

8

Quel modèle choisir ?

DNS , LES , RANS, HYBRIDES

DNS

On cherche à représenter la totalité des phénomènes physiques

le nombre de mailles est prop à Re 9/4

Re = 10000 109 mailles

! LES

• On ne résout que les échelles supérieure à une taille de coupure donnée• En dessous de cette taille , on suppose que la turbulence est isotrope et les échelles seront modélisés

RANS

Consiste à simuler l’écoulement moyen. Toutes les fluctuations sont filtrées et modélisées.

Hybrides

On combine les deux derniers , les gros tourbillons sont uniquement résolus

Applications industrielles : standard actuel = RANS

8

9

Quelques applications industrielles Quelques applications industrielles (RANS)(RANS)Aéronautique

Turbine Vega2

AS28G

AS28G

Aérospatial

Tuyère

Nucléaire

Industrie Automobile

Refroidissement moteur

9

10

Méthode statistique (RANS)Méthode statistique (RANS) Problème de fermeture Problème de fermeture

Décomposition de Reynolds

Equations de Navier Stokes moyennées

En dehors des inconnues classiques , U, V, W, P , elles font apparaitre des supplémentaires : le tenseur de Reynolds

Construire un modèle = Construire un modèle = fournir des équations pour le tenseur de Reynolds

10

11

Fermeture au premier ordreFermeture au premier ordre

On suppose que l’on peut écrire le tenseur de Reynolds comme une fonction du gradient de vitesse et des échelles caractéristiques de la turbulence

( , , , )ij ij ij

f S W k • linéaire •Cubique•Quadratique •etc..

Relation

Résoudre les équations de transport des échelles k et

Relation linéaire (Boussinesq )

Modèle standard : modèle k -

Il existe d’autres basé sur d’autres échelles k -, k, kl etc…

Avantages/inconvénients (modèle 1er ordre ) • Robuste

• Facile à implémenter• Mauvais pour les écoulements en rotation•etc..

11

(1)

Dans ces équations, on voit apparaitre des mécanismesphysiques qui régissent l’évolution de la turbulence

Certains sont exactes, d’autres doivent être modélisés

On a une description beaucoup plus riche et surtout plus proche des mécanismes de la turbulence qu’au modèles du premier ordre

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Fermeture au second ordre Fermeture au second ordre (Reynold Stress Model : RSM) (Reynold Stress Model : RSM)

On résout les équation de transport du tenseur de Reynolds

Avantages / Inconvénients (modèle 2nd ordre )

• Mécanismes physiques prises en compte • prédire les effets de courbures, rotation • Présentent des pb d’instabilités numériques •etc..

12

Tij i

ij Pij ij ij j ij

dP D D

dD

t

(2)

modéliser ij ij Dij ?

13

Modélisation du terme de Modélisation du terme de pressionpression

Terme de Redistribution ( ou de pression ) : ij

+ important après + important après la production la production

Modélisé en 2 parties : lente et rapide

Deux hypothèses Deux hypothèses de Chou :de Chou :

Quasi Homogénéité

Localité

Le gradient de vitesse moyenne est constant . Justifiée (Bradshaw et al 1987 en utilisant les données de la DNS en Canal ) sauf dans la région de proche paroi

Remet en cause la non localité de ij (corrélation en un point (x)

Non valable en proche paroi

Forme algébrique générale : (1) resp (2) Termes lent resp rapide

Spezial et al (1978)

Lumley et al (1978)

13

14

Modélisation de la dissipation et de la Modélisation de la dissipation et de la diffusion diffusion

La dissipation est modélisée loin de paroi par sa forme isotrope : modèle de Kolmogorov

Plusieurs propositions pour la modélisation du terme de diffusion turbulente. On retient :Modèle de Daly & Harlow (+ utilisé)

14

(3)

(4)

15

Modèle 1er ordre Modèle 2nd ordre

Basés sur tBasés sur 2échelles : k - , k-..

Linéaires Non linéaires Linéaires Non linéaires

Représentation de la physique

Simplicité d’utilisation

Il n’y a pas de modèle qui sache tout faire et adapté à toutes les situations

Classification Classification

15

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Prise en compte de la paroi : les Prise en compte de la paroi : les fonctions fonctions

d’amortissements d’amortissements A la paroi :A la paroi :

Remise en cause des hypothèses de Chou

variation du gradient de vitesse amortissement de toutes les composantes fluctuantes écho de paroi :réflexion des fluctuations de pressionEffet de blocage : amortissement des fluctuations normales à la paroi via le terme de redistribution

Les lois de paroi ne sont toujours pas valables

Que faire ? Que faire ? Introduction des fonctions d’amortissements Introduction des fonctions d’amortissements

distance à la paroi distance à la paroi ReRey y = k= k1/21/2y/y/ actif uniquement en proche paroiactif uniquement en proche paroiReRet t = u= ut t dd/ / actif dans toute la zone bas Reynolds actif dans toute la zone bas Reynolds

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i.e i.e (1)

ModélisationModélisation Algébrique Algébrique

Détermination de ij

EB-EASM: , ,( , , , )ij ij ij i

k Pf S W

MODELES ALGEBRIQUES ,( , ),,

ij ij ij i

k Pf S W

Principal objectif

Méthodes empiriques Fonctions d’amortissements Particularise le modèle

Pondération elliptique : EB-

RSM

INFLUENCE DE LA PAROI

Nouvelle Approche

Approche standard

• Robustes numériquement• Simple à coder

Modèles 1er Ordre

( , , , )ij ij ij

f S W k Modèles 2nd ordre

.......ijd

dt

• prennent mieux en compte de la physique des écoulements • Moins robustes numériquement

• Bon compromis physique et robustesse numérique

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Equations des tensions de Reynolds Pour un fluide incompressible :

Tenseur d’anisotropie :

La combinaison de (5) et (6) donne

(6)

(7)

(5)

Pij : Production ; εij : tenseur de dissipation terme de pression , Dij : Diffusion * :ij

* ij

ij ij ij ij

dP D

dt

Tij ij ijD D D avec

18

avec

2

1

2 ij ij ijdb d dk

dt k dt k dt

*1

2

ij ij ij ij

ij ij ij ij

dbP D P D

dt k k k k

dk

P Ddt

Hypothèses d’équilibre faible :

Modèle algébrique ASM implicite :

Rodi 1976

(10)*( ) ( ) 0 ij ij

ij ij ijP Pk k

*ijChoix de modèles ijet

système fermé

0ijdb

dt

ij ij

kk kk

D

D

(9)(8

)

Prise en compte des effets de paroi

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Equations de transport de k et

EB-RSM

Développé par Manceau &Hanjalic (2002 )Permet une bonne reproduction à la paroi de l’effet de blocage Numériquement robuste et réduit le nombre d’équations par rapport à la la relaxation elliptique de Durbin ( 1991) sur laquelle est basé son concept

* 2 2(1 )

w hij ij ij

22 2(1 )

3ij

ij ijk

Info sur orientation de la paroi

n : Vecteur normal à la paroi

25 ( )

31 22 3

+M M I M Mτ τ- τ τ- w

jki k

(11)

Coefficient de pondération α • solution de l’équation elliptique :

2 2 1L 0 • CL à la

paroi : 1 • Loin de la paroi (12)

20

3/2 3/4

max 1/4

kL=C ( ,C )

Fermeture de l’équation implicite *

ijChoix modèles de ij de EB-RSM introduits dans et ASM

termes encadrés : introduits par l’EB-RSM

(13)

21 on retombe sur le modèle classique si

*( ) ( ) 0 ij ijij ij ijP P

k k

1

Modèle Algébrique Explicite Modèle ASM implicite et numériquement instable

Recherche des Solutions explicites

22

Modèle EB- EASMModèle EB- EASM

Equation implicite s’écrit sous forme f(b, S, W, M )= 0

Théorie des bases d’intégrité

N

i ii

b T

Solution du système est

(13)

(14)

Projection de Galerkine

i iX

( , , )i i

k Pf

(15)

XA BN

i ii

b T Injectée dans (13)

Solutions explicites

sont les invariants pouvant apparaître i

23

Puis projetée sur la base des Ti

Choix de bases

Modèles Correspondants

EB-EASM #1 b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

EB-EASM #2 b= β1S+β2M

EB-EASM #3 b= β1S+β2(SM+MS-2/3{SM}I)+β3M

EB-EASM #4 b= β1S+β2(SW-WS)+β3M

Non linéaire

Linéaire

Linéaire

Non linéaire

S SW-WS S²-1/3{S²}I

SM+MS-2/3{SM}I MMW-WM

EB-EASM #4 identique à EB-EASM #1 ( modèle standard ) en 1 D EB-EASM #3 dégénère vers EB-EASM #2 en 1 D (tenseurs linéairement dépendants : modèles simples )

(16)

24

Etude du modèle EB-EASM#1 en 2D Etude du modèle EB-EASM#1 en 2D planplan

b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

Fait apparaître 4 invariants

2 Nouveaux invariants introduits par l’EB-RSM par rapport au cas classique

et Q P

2 21 S η

2

2 22

1 S

Wη

η R

solutions ( , , , , , ),i

k Pf

QR P (17)

25

: Solution d’une équation quartique 1

Mécanismes de la turbulence prises en compte par k et Mécanismes de la turbulence prises en compte par k et

Mécanismes physiques transportés par les invariants Mécanismes physiques transportés par les invariants

EB-EASM #1

Modèles non linéaires

(18)

26

b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

β1 pilote seul la contrainte de cisaillement et donc -k β1 joue le rôle de la viscosité turbulente

β3 reproduit correctement b33 et facilite la comparaison entre b11 et b22

permet de distinguer les composantes diagonales ( cas EASM#1) β2

permet de distinguer la composante diagonale b22 des deux autres à la paroi ( cas EASM#2 )

EB-EASM #2

Modèles linéaires

b= β1S+β2M

y+

EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

Ecoulement en Canal

Résultats Simulation numérique Résultats Simulation numérique

27

EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

y+

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.)

Résultats Simulation numérique Résultats Simulation numérique

28

EB-EASM#1 : b= β1S+β2(SW-WS)+β3(S²-1/3{S²}I)

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser & al.)

29

13

EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M

y+

Ecoulement en canal

(Moser et al. ; Hoyas & Jiménez)

30

EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M

y+

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.)

31

EB-EASM#2 : b= β1S+β2 M

Ecoulement en Canal à Reτ= 590 (Moser et al.)

32

13

Ecoulement de Couette-Ecoulement de Couette-Poiseuille Poiseuille

Uw

-h

hy

x

y/h

PT : Poiseuille-type IT : Intermediate-type CT : Couette-type

Ecoulement en Canal (DNS P.ORLANDI)

33

y/h

PT : Uw = 0.75 Ub IT : Uw = 1.2 Ub

CT : Uw = 1.5 Ub

y/h

Intermediate- type (IT) à Reτ= 182

Poiseuille- type (PT) à Reτ= 204

Couette- type (CT) à Reτ= 207

34y/h

Intermediate- type (IT) à Reτ= 182

Ici le modèle distingue v2 des autres. C’est une

spécificité de ce modèle.

Tous les autres prévoient en

ce point l’égalité des

trois composantes

Couche limite sans Couche limite sans cisaillementcisaillement

S=W= 0 partout dans la couche limite

Ecoulement se déplaçant à la vitesse que la plaque la grille fixe génère la turb de grille

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loin de la paroi : 2 0

à la paroi :25 4 5

2 2 25 4 5 4

3( 3 ) 1

18 12 2 2

a a a

a a a a

10 0

32

0 03

10 0

3

M

1 0 06

10 03

10 06

b

36

Extension en 3D modèle EB-EASMExtension en 3D modèle EB-EASM• Solution de b

Solutions du système

b= β1 S+β2 (SW-WS)+ β3 (S²-1/3{S²}I)

Invariants apparus : 12

(19)

37

Cas du modèle EB- EASM# 1 à 3 tenseurs

Disque en rotation autour de z

z,w

x,u

y,v

Cas test

Test à priori d’un jet impactant sur disque en Rotation

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Test à priori modèleTest à priori modèle EB-EASM#1 : : jet impactant jet impactant

Ecoulement « 3D  » Calcul EB-RSM : R. Perrin & R.

Manceau (2009)Schéma et Exp : Minagawa et al.

(2004)

Etudes en système d’axes cartésien

Résultats test à priori en « 3D » Résultats test à priori en « 3D »

Composante normale du tenseur de Reynolds . Profils pour x = 4.8 39

z,w

x,u

y,v

EB-EASM_2D : utilisation des 4 invariants apparus en 2D

EB-EASM_3D : utilisation des 12 invariants apparus en 3D

Conclusions et perspectives Conclusions et perspectives

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Modélisation algébrique explicite

• Fait apparaitre un nouveau tenseur M

• Réduit à 3 le nombre d’équations différentielles à résoudre : k, et • Bonne reproduction de l’effet de blocage (sans fonction amortissements)

Modèles EB-EASM#1 en canal, Couette- Poiseuille

• Bonne reproduction de l’anisotropie en proche paroi

• Limite à deux composantes restituée

• Apparition probable des singularités

• Combine les avantages des deux approches• Meilleurs prise en compte des phénomènes physiques à travers les invariants

Introduction de la pondération elliptique

• Limite à deux composantes reproduite• Similaire à V2F mais plus physique

Perspectives

Extension EB-EASM en 3D

EB-EASM capables de reproduire les écoulements complexes et de rotations

• Nécessité de prendre en compte tous les invariants qui apparaissent

• Modifier les hypothèses faibles pour prendre en compte les effets de courbure et améliorer la diffusion ( EN COURS )• Tester les modèles sur d’autres configurations d’écoulements

Modèles EB-EASM#2 en canal, Couette- Poiseuille • Modèle linéaire à 2 tenseurs ( modèle simplifié)

• Bonne reproduction en proche paroi de b22 et b12 mais (b11=b33)

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Je vous remercie

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