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SYSTEMESD’EQUATIONS

Bruno DELACOTE

Collège de MASEVAUX

Type d ’activité : leçon illustrée

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Conseils et méthode de travail

Une feuille s’ouvre sur une ou plusieurs questions :

A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.

Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement

Prépare l’exercice avant de visionner la solution.Vérifie (sans tricher !)

Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.

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Sommaire

Enoncé d ’un exercice

Traduction du problème

Méthode de résolution par substitution

Méthode de résolution par combinaisons linéaires

Méthode de résolution graphique

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Position du problème :

certains exercices nécessitent l ’emploi de plusieurs variables inconnues. Celles-ci apparaissent alors dans plusieurs équations qui composent le

système.

Exercice :

550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.

Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre

d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

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Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.

Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre

d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

Exemple de rédaction :

J ’appelle x le nombre d ’adultes qui ont et y le nombre d ’enfants qui ont assisté au spectacle. Je traduis l ’énoncé :

550 personnes ont assisté à un spectacle x + y =550

Les enfants paient demi tarif : donc 8€ par enfant,

l ’ensemble des y enfants a payé 8y €l ’ensemble des x adultes a payé 16x €

16x + 8y = 6960€

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550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.

Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre

d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

x + y =55016x + 8y = 6960

Ces équations traduisent ce problème, pour indiquer qu’elles forment un système on place une accolade.

Il existe trois méthodes de résolution :- par substitution, - par combinaison linéaires- en utilisant un graphique.

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Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.

Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle .

x + y =55016x + 8y = 6960

Méthode par substitution principe : on exprime l ’une des inconnues en fonction de l’autre. x = 550 - y

Puis on remplace l ’inconnue ainsi exprimée dans l ’autre équation.

16x + 8y = 6960

16(550 - y) + 8y = 6960

D ’où y = 230

x = 550 -230 =320

320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

Finalement

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x + y =55016x + 8y = 6960

x = 550 - y

2x + y = 870

2(550 - y) + y = 870

D ’où y = 230

Astuce de calcul...On divise tous les termes de cette équation par 8.

Vérifie que le résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870

x = 550 -230 =320

320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle .

x + y =5502x + y = 870

Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.

Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle .

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x + y =55016x + 8y = 6960

Méthode par combinaisons linéaires principe : on construit deux combinaisons linéaires qui permettent d ’éliminer alternativement chaque inconnue.Il est conseillé de regrouper tous les termes de chaque équation dans un seul membre.

x + y -550 = 016x + 8y - 6960 = 0

Pour éliminer x je calcule16( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0 ( 16 x 0 - 0 = 0 )

550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.

Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

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Pour éliminer x je calcule

16( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0

x + y =55016x + 8y = 6960

Pour éliminer y je calcule

8( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0

16x + 16 y - 8800 - 16x - 8y + 6960 = 08y - 1840 = 0y = 1840 / 8

y = 230

8x + 8 y - 4400 - 16x - 8y + 6960 = 0-8x + 2560 = 0x = -2560 / (-8)

x = 320

320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.

Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre

d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

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Pour éliminer x je calcule

2( x + y - 550) - (2 x + y -870) = 0

x + y =5502x + y = 870

Pour éliminer y je calcule

( x + y - 550) - (2 x + y - 870) = 0

320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

Astuce de calcul...On divise tous les termes de la deuxième équation par 8. Vérifie que le

résultat est identique si on remplace la deuxième équation par 2x + y =870

x + y =55016x + 8y = 6960

550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.Les enfants paient demi tarif.

Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

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x + y =55016x + 8y = 6960

16 x + 8y =6960 est une équation dont on peut diviser tous les termes par 8 ! Elle s ’écrit alors2x + y = 870 ou encore y = 870 - 2xPar ailleurs x + y = 550 peut s’écrire y = 550 - x

Nous allons donc rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations :

y = 870 - 2x et y = 550 - x

Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.

Les enfants paient demi tarif. Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre

d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.

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Nous allons rechercher graphiquement les coordonnées du point d ’intersection des droites qui ont pour équations

y = 870 - 2x et y = 550 - x

Conseils : si l ’énoncé n’impose pas d’unité, il faut réfléchir !Comment choisir des unités adaptées dans un repère bien placé ?

Dans cet exercice x et y désignent un nombre d ’entrées.Ce sont donc des nombres positifs et les axes seront disposés en bas à gauche d ’une feuille de papier ( millimétré de préférence. )Les valeurs possibles de y sont comprises entre 0 et 550 .Les valeurs possibles de x sont comprises entre 0 et 435. ( 870 / 2 = 435 )

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Tracer ces deux droites dans un repère placé en bas, à gauche d ’une feuille de papier millimétré, prendre 1 cm pour 25 entrées.

y = 870 - 2x et y = 550 - x sont les équations de deux droites

Conseils : aucune méthode n ’est imposée, MAIS à titre de révision

vous pouvez tracer la première droite à l ’aide de la méthode des trois points.

Et la seconde en utilisant la méthode de la pente et de l ’ordonnée à l ’origine.

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0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

650

600

550

500

450

350

300

250

200

150

100

50

400

La droite d ’équation y = 550 - x a pour pente -1 et pour ordonnée à l ’origine 550 donc

y nombre d ’entrées enfant

x nombre d ’entrées adulte

La droite d ’équation y = 870 - 2x passe par les points :si x =200 alors y =470

Si le graphique est bien fait on retrouve :320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.

si x =300 alors y =270

si x =100 alors y =670donc