10. Additionner des ondes électromagnétiques - …€¦ · Lorsque l’on superpose des ondes électromagnétiques, ce sont les ... une diﬀérence de fréquence entre les deux

10. Additionner des ondesélectromagnétiques

10.1. Position du problème

Lorsque l’on superpose des ondes électromagnétiques, ce sont les amplitudes deschamps qui s’ajoutent. Il s’agit donc d’une addition de vecteurs. Pour étudier les dif-férents effets physiques résultant de cette addition, on est amené à se poser plusieursquestions :

– Quelle est la dépendance temporelle de la superposition ? En particulier, que se passet il lorsque l’on superpose deux ondes monochromatiques de fréquences diférentes ?

– Quelle est la polarisation du champ résultant ?– Quelle est la dépendance spatiale ?Pour chacune de ces questions, nous nous intéresserons au champ électrique et à l’éner-

gie. Nous considérerons l’addition de deux ondes planes progressives monochromatique~E1 et ~E2 polarisées linéairement,

~E1 (~r, t) = E1 cos(~k1 · ~r − ω1t+ ϕ1

)~u1 (10.1)

~E2 (~r, t) = E2 cos(~k2 · ~r − ω2t+ ϕ2

)~u2 (10.2)

10.2. Battements entre deux ondes

Nous considérons l’effet d’une différence de fréquence entre les deux ondes. Nous sup-posons la direction de propagation, et l’amplitude et polarisation identiques : la propa-gation se fait selon ~uz, la polarisation est linéaire et alignée selon ~ux et les amplitudessont E1 = E2 = E0

~E (~r, t) = E0

(cos[ω1

(zc− t)

+ ϕ1

]+ cos

[ω2

(zc− t)

+ ϕ2

])~ux (10.3)

La trigonometrie nous permet d’obtenir l’expression de ce champ sous la forme d’unproduit :

~E (~r, t) = 2E0

(cos[ω1 + ω2

2c(z − ct) +

ϕ1 + ϕ2

2

]cos[ω1 − ω2

2c(z − ct) +

ϕ1 − ϕ2

2

])~ux

(10.4)

95

96 10. Addition d’ondes electromagnetiques

Cette onde est une fonction de (z − ct) c’est donc une onde plane progressive. Son champmagnétique est alors :

~B =1c~uz × ~E. (10.5)

Le vecteur de Poynting est donc :

~Π = ε0c∣∣∣ ~E∣∣∣2 ~uz (10.6)

Si ω1 = ω2 = ω0 les deux ondes interfèrent.

Dans le cas où les deux ondes ont la même pulsation, le champ électrique est :

~E (~r, t) = 2E0 cos(ϕ1 − ϕ2

2

)(cos[ω0

c(z − ct) +

ϕ1 + ϕ2

2

])~ux (10.7)

Le résultat est une onde de même pulsation que les deux ondes que l’on a ajoutées.L’amplitude de cette onde est 2E0 cos

(ϕ1−ϕ2

2

), cette amplitude dépend de la différence

de phase ϕ1 − ϕ2 entre les deux ondes.Déterminons le vecteur de Poynting associé à cette onde. Puisqu’il sagit d’une onde

plane progressive, le vecteur de Poynting est directement relié au champ électrique par :

Π = 4ε0cE20 cos2

(ϕ1 − ϕ2

2

)cos2

[ω0

c(z − ct) +

ϕ1 + ϕ2

2

]. (10.8)

Le vecteur de Poynting moyen (sur une période) est donc

〈Π〉 = 4 cos2(ϕ1 − ϕ2

2

)ε0cE

20

2. (10.9)

AInsi, alors que les champs électriques des deux ondes s’additionnent, cela n’est pas lecas pour l’énergie transportée : il s’agit du phénomène d’interférences.

Nous distinguons 3 cas :

Les deux ondes sont en phase : ϕ1 = ϕ2 + 2nπ

〈Π〉 = 4ε0cE

20

2. (10.10)

La puissance transportée est quatre fois la puissance d’une des ondes, c’est à dire ledouble de la somme des puissances des deux ondes. On parle d’interférences construc-tives.

Les deux ondes sont en opposition de phase ϕ1 = −ϕ2 + 2nπ :

〈Π〉 = 0. (10.11)

Les deux ondes se compensent, il s’agit d’interférences destructives.

J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.3

10.2. Battements entre deux ondes 97

Les deux ondes sont en quadrature ϕ1 = ϕ2 + π2 + nπ :

〈Π〉 = 2ε0cE

20

2. (10.12)

La puissance est bien égale à la somme des puissances des deux ondes. Cela est général,quand deux ondes de même pulsation sont en quadrature de phase, leurs puissancess’ajoutent (en valeur moyenne), même si leurs amplitudes diffèrent.

Si ω1 6= ω2 on a un phénomène de battement.

Le champ électrique apparait comme une onde de pulsation ω1+ω22 qui est modulée à

la pulsation |ω1−ω2|2 . Pour alleger les formules, nous suppeserons que l’origine des temps

est choisie à un instant où les deux ondes sont en phase soit (et nous supposerons desurcroit que cette phase est nulle)

~E (~r, t) = 2E0 cos[ω1 + ω2

2c(z − ct)

]cos[ω1 − ω2

2c(z − ct)

]~ux (10.13)

On peut interpréter ces battements en considérant que la phase d’une onde dérive parrapport à celle de l’autre onde en écrivant :

~E (~r, t) = E0

(cos[ω1

(zc− t)]

+ cos[ω1

(zc− t)

+ φ2 (z, t)])~ux (10.14)

φ2 (z, t) = (ω2 − ω1)(zc− t). (10.15)

Cette écriture n’a réellement de sens que lorsque la diférence de fréquence est trés petite.Dans cette situation, le temps que la phase met pour évoluer

(2π

|ω2−ω1|

)est beaucoup plus

grand que la période 2πω1

de l’onde. On oscille alors périodiquement entre une situationou les deux ondes sont en phase et où elles interfèrent constructivement à une situationou elles sont en opposition de phase et où elles interfèrent destructivement.

Pour déterminer le vecteur de Poynting, il est préférable de ne pas factoriser :

Π = ε0c∣∣∣ ~E2∣∣∣ = ε0cE

20

(cos[ω1

c(z − ct)

]+ cos

[ω2

c(z − ct)

])2(10.16)

= ε0cE20

(cos2

[ω1

c(z − ct)

]+ cos2

[ω2

c(z − ct)

]+ cos

[ω1 + ω2

2c(z − ct)

]+ω1 − ω2

2c(z − ct)

)(10.17)

Le vecteur de Poynting moyen est

〈Π〉 = 2ε0cE20 . (10.18)

Lorsque l’on superpose deux ondes de pulsations différentes, leurs puissances moyenness’ajoutent.

Notes de cours version 0.3 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty


On peut être plus précis et discuter de ce qui se passe en fonction de la durée pendantlaquelle on cherche à mesurer la puissance de l’onde. En effet, si les deux ondes ontpresque la même pulsation ω0, l’un des termes obtenus dans le vecteur de Poyntingoscille avec un période 2π

|ω2−ω1| . Par conséquent, si l’on réalise une mesure sur un tempsbeaucoup plus court que cette période (mais toujours beaucoup plus long que la périodede l’onde), le terme d’interférence ne se moyenne pas à zéro.

10.3. Polarisation

On suppose maintenant les pulsations des deux ondes identiques, de même que leurdirection et sens de propagation.

10.3.1. Supperposition de deux polarisations linéaires

Les ondes sont polarisées linéairement et les polarisations sont orthogonales.~E1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux (10.19)~E2 (~r, t) = E2 cos (kz − ωt+ ϕ2) ~uy. (10.20)

Comme dans le premier cas, la somme de ces deux ondes ne dépend que de (z − ct) . Ils’agit par conséquent d’une onde plane progressive et il suffit d’étudier l’évolution duchamp élecrique en un point.

De manière générale, la polarisation obtenue est une polarisation elliptique contenuedans le rectangle défini par −E1 < x < E1 et −E2 < y < E2 . La nature exacte de lapolarisation dépend de la phase relative entre les deux ondes

Ondes en phase : ϕ2 − ϕ1 = 0 : Les deux ondes sont en phase, le champ électriques’écrit :

~E1 (~r, t) = cos (kz − ωt+ ϕ1) [E1~ux + E2~uy] (10.21)Les coordonnées du champ électrique vérifie l’équation

Ex

E1− Ey

E2= 0 (10.22)

Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire, elle estselon la première diagonale du rectangle.

Ondes en opposition de phase ϕ2 − ϕ1 = π : Les deux ondes sont en opposition dephase, le champ électrique s’écrit :

~E1 (~r, t) = cos (kz − ωt+ ϕ1) [E1~ux − E2~uy] (10.23)

Les coordonnées du champ électrique vérifie l’équationEx

E1+Ey

E2= 0 (10.24)

Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation est linéaire elle estselon la seconde diagonale du rectangle.


10.3. Polarisation 99

Ondes en quadrature ϕ2 − ϕ1 = π/2 Les deux ondes sont en quadrature, le champélectrique s’écrit :

~E1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux + E2 cos(kz − ωt+ ϕ1 +

π

2

)~uy (10.25)

= E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux − E2 sin (kz − ωt+ ϕ1) ~uy (10.26)

Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .L’équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est(

Ex

E1

)2

+(Ey

E2

)2

= 1 (10.27)

La composante du champ selon Oy est en retard par rapport à cellequi est selon Ox,autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique. La polarisation estelliptique gauche. Si les amplitudes E1 et E2 sont égales, la polarisation est circulaire.

~E1 (~r, t) = E0 (cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux − sin (kz − ωt+ ϕ1) ~uy) (10.28)

Le module du champ élelectrique reste constant au cours du temps. Le champ electriqueparcours un cercle :

E2x + E2

y = E20 (10.29)

Ondes en quadrature ϕ2 − ϕ1 = −π/2

Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s’écrit :

~E1 (~r, t) = E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux + E2 cos(kz − ωt+ ϕ1 +

π

2

)~uy (10.30)

= E1 cos (kz − ωt+ ϕ1) ~ux + E2 sin (kz − ωt+ ϕ1) ~uy (10.31)

Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axes Ox et Oy .L’équation vérifiée par les coordonnées du champ électrique est(

Ex

E1

)2

+(Ey

E2

)2

= 1 (10.32)

C’est la même équation que dans le cas qui précède, mais l’ellipse est parcourue dansl’autre sens. La composante du champ selon Oy est en avance par rapport à cellequi estselon Ox, autrement dit l’ellipse est parcourue selon le sens horaire. La polarisation estelliptique droite. Si les amplitudes E1 et E2 sont égales, la polarisation est circulaire.

Energie

Nous avons une onde plane progressive, le vecteur de Poynting est donc

Π = ε0c∣∣∣ ~E1 + ~E2

∣∣∣2 (10.33)

= ε0c

(∣∣∣ ~E1

∣∣∣2 +∣∣∣ ~E1

∣∣∣2 + 2 ~E1 · ~E2

)(10.34)



Puisque les deux polarisations sont orthogonales, le terme croisé est nul. Il n’y a pasd’interférence et l’intensité du faisceau est la somme des intensités des deux faisceauxincidents. Ce résultat ne dépent pas de la phase relative des deux faisceaux.

10.3.2. Polarisation circulaire

Somme de deux ondes circulaires

Nous considérons maintenant deux polarisations circulaires de même amplitude, maisde sens inverse. Pour simplifier les calculs, nous nous plaçons à l’origine et nous prenonsla phase de la première onde égale à zero soit :

~E1 (t) = E0 [cos (ωt) ~ux + sin (ωt) ~uy] (10.35)~E2 (t) = E0 [cos (ωt+ ϕ) ~ux − sin (ωt+ ϕ) ~uy] . (10.36)

La somme de ces deux polarisations est :

~E (t) = E0 ([cos (ωt) + cos (ωt+ ϕ)] ~ux + [sin (ωt)− sin (ωt+ ϕ)] ~uy) (10.37)

= 2E0

[cos(ωt+

ϕ

2

)cos

ϕ

2~ux − cos

(ωt+

ϕ

2

)sin

ϕ

2~uy

](10.38)

= 2E0 cos(ωt+

ϕ

2

) [cos

ϕ

2~ux − sin

ϕ

2~uy

](10.39)

La somme de deux polarisations circulaires de sens opposé et de même pulsation est unepolarisation linéaire dont l’orientation dépend du déphasage entre les deux ondes.

Notation complexe

La circulaire gauche est

~Eg (t) = E0 [cos (kz − ωt) ~ux − sin (kz − ωt) ~uy] (10.40)

= E0<[ei(kz−ωt) ~ux + iei(kz−ωt) ~uy

]. (10.41)

Par conséquent :

~Eg (t) = E0ei(kz−ωt) (~ux + i ~uy) (10.42)

La circulaire droite est~Ed (t) = E0 (~ux − i ~uy) (10.43)

10.3.3. Polariseurs

Polariseur parfait

Un polariseur parfait projette le champ électrique de l’onde sur une direction particu-lière ~n appelée ”axe du polariseur”. L’onde en sortie est

~E′ (t) =(~E0 (t) · ~n

)~n (10.44)


10.4. Interférences 101

Dans le cas ou la polarisation incidente est linéaire et fait un angle θ avec l’axe dupolariseur, l’amplitude du champ électrique est multipliée par le facteur cos θ et doncl’intensité est multiplié par le caré de ce cosinus. C’est la loi de Malus.

I1 = I cos2 θ (10.45)

La partie non transmise de la lumière est absorbée par le polariseur. Si l’axe du polariseurest orthogonal avec la polarisation incidente, aucune lumière n’est transmise.

Séparateur de polarisation

Un séparateur de polarisation est un dispositif optique qui sépare la lumière incidenteen deux composantes de polarisation orthogonales. Si l’on envoie une polarisation linéairesur un tel dispositif, on peut appliquer la loi de Malus à chacune des sorties, les intensitésde ces deux sorties sont alors :

I1 = I0 cos2 θ (10.46)

I2 = I0 sin2 θ (10.47)

la somme des deux intensités est bien l’intensité initiale, autrement dit le séparateur depolarisation répartit la lumière entre les deux sorties.

Polariseurs imparfaits

La reflexion de la lumière sur un dioptre ou la diffusion par des molécules polarise enpartie la lumière.

10.3.4. Lumière naturelle

Une lumière parfaitement monochromatique est polarisée. Par contre, dès que l’onajoute des ondes de fréquence différentes, la situation est analogue à celle des battements :l’état de polarisation évolue au cours du temps et si on regarde sur une durée longuedevant ce temps d’évolution, on voit une lumière qui peut être ”non polarisée”.

La lumière des sources à incandescence ou à décharge, de même que la lumière solairene sont pas polarisées.

La lumière diffusée par le ciel est polarisée. La lumière d’un laser est en général pola-risée linéairement.

10.4. Interférences

10.4.1. Superposition de deux ondes

Nous sommes maintenant parés pour étudier la supperposition de deux ondes planes

~E1 (~r, t) = E1 cos(~k1 · ~r − ω1t+ ϕ1

)~u1 (10.48)

~E2 (~r, t) = E2 cos(~k2 · ~r − ω2t+ ϕ2

)~u2 (10.49)



Nous savons que :– si les deux ondes ont des fréquences différentes, il n’y a pas d’interférences (on a

éventuellement des battements).– si les deux ondes ont des polarisations orthogonales, leurs intensités s’ajoutent et il

n’y a pas d’interférences.Nous supposerons donc dans la suite que les deux ondes ont même fréquence et même

polarisation. Par contre, nous ne supposerons pas qu’elles sont planes et nous écrirons

~E1 (~r, t) = E1 cos (ϕ1 (~r)− ωt) ~u (10.50)~E2 (~r, t) = E2 cos (ϕ2 (~r)− ωt) ~u (10.51)

ϕ1 (~r) et ϕ2 (~r) sont les phases de chacune des ondes. Pour une onde plane

ϕi (~r) = ~ki · ~r (10.52)

Pour une onde sphériqueϕi (~r) = kri (10.53)

où ri est la distance du point consiréré à la source de l’onde i.

10.4.2. Amplitude du champ électrique

Pour ce calcul il est beaucoup plus simple de travailler en notation complexe.

~E (~r, t) = E1 (~r) ei(ϕ1(~r)−ωt)~u+ E2 (~r) ei(ϕ2(~r)−ωt)~u (10.54)

=(E1 (~r) eiϕ1(~r) + E2 (~r) eiϕ2(~r)

)e−iωt.~u (10.55)

Plutot que de s’embarasser en permanence avec les facteurs numériques du vecteur dePoynting moyen, on utilise l’intensité du faisceau lumineux défini comme la moyennetemporelle du carré du champ électrique :

I =12

∣∣∣E1 (~r) eiϕ1(~r)~u+ E2 (~r) eiϕ2(~r)∣∣∣2 (10.56)

=12

(|E1 (~r)|2 + |E2 (~r)|2 + 2<

(E1 (~r)E2 (~r) ei(ϕ1(~r)−ϕ2(~r))

))2(10.57)

= I1 + I2 + 2√I1I2 cos (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r)) (10.58)

En chaque point de l’espace on retrouve un résultat analogue à ce que l’on avait trouvépour deux ondes planes de même direction et de même pulsation. L’intensité n’est pas lasomme des intensités des deux ondes : il y a des interférences. Le fait que ces interférencessoit constructives ou destructives dépend de la différence de phase des deux ondes. Cettedifférence de phase dépend de la position du point étudié.

Dans le cas ou les amplitudes des deux ondes sont les mêmes, l’intensité est

I = 2I0 (1 + cos (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r))) (10.59)

= 4I0 cos2 (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r)) (10.60)



Si les amplitudes sont différentes le résultat s’écrit

I = (I1 + I2) (1 + C cos (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r))) (10.61)

C =2√I1I2

I1 + I2(10.62)

Il n’y a pas d’interférences destructrices totales. Le coefficient C est appelé contraste ouvisibilité des interférences.

10.4.3. Propriétés générales des interférences entre deux ondes

Reprenons l’expression générale que nous avons obtenue :

I = (I1 + I2) (1 + C cos (ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r))) (10.63)

C =2√I1I2

I1 + I2(10.64)

Le phénomène d’interférence est associé à la différence ϕ1 (~r)−ϕ2 (~r) entre les phasesdes deux ondes. Quelle que soit l’amplitude des deux ondes, c’est cette différence dephase qui détermine la position des maxima et des minima d’intensité. Toute étude del’interférence entre deux ondes commence donc impérativement par la détermination dela différence de phase. Il est alors souvent très utile de déterminer la position des maximaet minima d’intensité.

L’amplitude des ondes détermine le contraste des interférences. Il détermine l’enve-loppe des oscillation spatiale de l’intensité lumineuse due à la différence de phase.

10.4.4. Addition d’ondes planes

Nous analysons les interférences de deux ondes planes de même amplitude dont lesdirection de propagation font un angle 2θ.

Surfaces d’intensité maximale

Nous considérons une situation ou les deux vecteurs d’ondes sont dans le plan yOz

−→k 1 = k (sin θ ~uy + cos θ ~uz) (10.65)−→k 2 = k (− sin θ ~uy + cos θ ~uz) (10.66)

On en déduit les phases des deux ondes

ϕ1 (x, y, z) = k sin θ y + k cos θ z + φ1 (10.67)ϕ2 (x, y, z) = −k sin θ y + k cos θ z + φ2 (10.68)

où φ1 et φ2 sont les phases des deux ondes à l’origine. L’intensité est

I (x, y, z) = 4I1 cos2(ky sin θ +

ϕ1 − ϕ2

2

)



Les surfaces d’intensité maximale (appelées franges brillantes) sont les surfaces pourlesquelles l’argument du cosinus est égal à mπ où m est entier c’est à dire

y =λ

2 sin θ

(m+

ϕ2 − ϕ1

2π

)Ce sont des plans parallèles à xOz, c’est à dire au plan bissecteur des vecteurs

−→k 1 et

−→k 2.

Ces plans sont équidistants : la distance i entre ces plans correspond à un accroissementde m égal à 1, soit

i =λ

2 sin θLorsqu’on introduit un écran parallèle à xOy par exemple, on observe donc une alter-nance de franges linéaires brillantes et de franges linéaires sombres. La distance i entrefranges brillantes (ou sombres) est appelée ”interfrange”. i peut être beaucoup plus grandque λ, et donc facilement observable à l’oeil, si θ est petit. Par exemple : ∆y ≈ 1mm siθ ≈ 10−3rd et λ = 1µm.

De telles interférences sont utilisées pour impressionner des surfaces sensibles afin defabriquer des réseaux. Ce type d’interférence est aussi utilisé dans les techniques de vélo-cimétries. Une particule en mouvement dans une zone ou interfèrent deux ondes planespasse successivement dans des maxima et minima d’intensité lumineuse. Une mesurede la fréquence du clignottement de la lumière qu’elle diffuse permet de déterminer savitesse.

10.4.5. Addition d’ondes sphériques

Cette situation correspond à deux antennes mises côte à côte sur l’axe Oz et distantesde a. Ces dipôles sont pacés de part et d’autre de l’origine aux points ~a1 = −a

2~uz et~a2 = a

2~uz. On ne prejugera pas de l’orientation de ces antennes, la seule hypothèseet que leurs directions sont parallèles. On indiquera par α l’angle entre la directiond’observation et l’axe de l’antenne (qui ne sera pas confondu avec l’angle θ que fait lerayon vecteur ~r avec l’axe Oz) . Les champs électriques de ces deux antennes sont :

~E1 = − ω2

4πε0c2p1 sinα1

ei(kr1−ωt)

r1~uα1 (10.69)

~E2 = − ω2

4πε0c2p2 sinα2

ei(kr2−ωt)

r2~uα2 (10.70)

avecri = |~r − ~ai| (10.71)

Lorsque l’on se trouve loin des sources, on peut trouver une approximation de ri :

r1 =

√x2 + y2 +

(z +

a

2

)2=

√x2 + y2 + z2 + az +

a2

4(10.72)

= r

√1 +

az

r2+

a2

4r2' r +

az

2r+ .. (10.73)



Quels facteurs diffèrent entre les deux ondes ?– L’amplitude qui décroit en 1

r . Par conséquent la différence des amplitudes décroiten 1

r2 . L’amplitude intervient uniquement dans le contraste des interférences, ellene joue aucun rôle dans leur existance. Dans notre cas, le contraste est quasiment1 des que l’on est loin des sources.

– La polarisation. L’angle entre les deux polarisations est le même que celui qui existeentre les deux rayons vecteurs, cet angle tend vers zéro des que l’on s’éloigne.

– On notera que le facteur sinα associé au diagramme de rayonnement est le mêmepour les deux ondes des que l’on est assez loin.

– La différence de phase qui intervient dans les interférences

ϕ1 (~r)− ϕ2 (~r) = (kr1 + φ1)− (kr2 + φ2) (10.74)

' ay

r+ (φ1 − φ2) = a cos θ (~r, ~uz) (10.75)

cette différence de phase ne tend pas vers zero ou vers une constante quand ons’éloigne de l’origine. L’intensité est donc

I (~r) = I0 (~r) cos2(k (r1 − r2)

2+φ1 − φ2

2

)(10.76)

I0 (~r) =1r2

ω4

32π2ε20c4|p1|2 sin2 α (~r, ~p0) (10.77)

Lieux des interférences constructrices

Les surfaces d’intensité maximales sont les lieux où les ondes provenant des deuxsources arrivent en phase.

Fig. 10.1.: Deux sources de rayonnementsont placées côte à côte. Elles émettent enphase un rayonnement monochromatique.Les deux familles de cercles concentriquesreprésentées sur le schéma correspondentchacun à l’ensemble des points distant dechacune des sources d’un nombre entier delongueurs d’ondes. Ces points oscillent donctous en phase. A l’intersection de ces fa-milles de cercles, les interférences sont doncconstructives. Tous ces points se trouventsur une famille d’hyperboles dont les foyerssont les deux sources.

Dans l’espace, les interférences sont constructives quand les deux ondes arrivent enphase, c’est à dire lorsque la différence des distances r1 et r2 qui séparent le point



d’observation de chacune des deux sources est un multiple de la longueur d’onde

|r1 − r2| = pλ

où p est un entier relatif. Ces surfaces sont des hyperboloïdes de révolution.

Fig. 10.2.: Les points de l’espace oùles interférences sont constructivessont des hyperboloides de révolu-tion dont les foyer sont les deuxpoints sources

Pour un point situé sur la droite reliant les deux sources (abscisse z, et se trouvantentre les sources la différence des distance qui le sépare de chacune des sources est :

|r1 − r2| =∣∣∣∣∣∣z +

a

2

∣∣∣− ∣∣∣z − a

2

∣∣∣∣∣∣ = 2z

les nappes d’intensité maximale coupent donc le segment reliant les deux sources auxpoints d’ordonnée

z =mλ

2+ λ

(φ1 − φ2)4π

.

Surfaces d’intensité maximale

Lorsque l’on n’est pas très éloigné des sources, la différence d’intensité entre les champsprovenant des deux sources peut être notable. Le contraste des interférences n’est doncpas l’unité. Toutefois, les points où les interférences sont constructives correspondentaux "crêtes" d’intensité : voir la figure suivante

Diagramme de rayonnement A grande distance on peut faire un développement

r1 ' r +az

2r+ .. (10.78)

par conséquentr1 − r2 =

az

r= a cos θ (10.79)



Fig. 10.3.: Les zones de même teinte cor-respondent aux points pour lesquels lemodule du champ électrique est comprisentre deux valeurs. La zone est d’autantplus sombre que le champ électriqueest intense. Nous pouvons constater queles "crêtes" de la surface ou l’altitudecorrespond à l’amplitude du champ (etdont nous voyons ici les courbes de ni-veau) sont les hyperboles correspondantaux interférences constructives.

Soit une intensité

I (r, θ) = I0 (~r) cos2(ka

2sin(π

2− θ)

+φ1 − φ2

2

). (10.80)

A grande distance, comme attendu pour raisons énergétiques, l’intensité décroit en 1r .

A chaque hyperboloide correspond un lobe d’émission.

Fig. 10.4.: Diagramme de rayonne-ment en trois dimension de deux di-pôles verticaux placés côte à côte.

Les maxima des lobes correspondent aux angles θm qui vérifient

πa

λsin(π

2− θ)

+(φ1 − φ2

2

)= mπ

ou encoresin(π

2− θ)

= mλ

a− φ1 − φ2

2πλ

aPour les lobes dont les directions sont proches du plan équatorial (θ proche de π

2 ) l’écartendre deux lobes est

∆θ =λ

a



A grande distance, on peut chercher à déterminer les zones pour lesquelles le champélectrique (ou le vecteur de Poynting) est supérieur à une valeur donnée. Ces zones sonthomothétique du diagramme de rayonnement.

Fig. 10.5.: En grisé : représentationà grande échelle des zones pour les-quelles le champ électrique est su-périeur à une valeur donnée. Entrait plein : diagramme de rayon-nement du système dilaté. Ce dia-gramme de rayonnement corres-pond à l’ensemble des points quireçoivent une même puissance del’antenne composite.

Image sur un écran

Après avoir observé la position des interférences dans l’espace, nous pouvons essayerde les oserver sur un écran.

Plan perpendiculaire à l’axe Ox. L’écran est le plan perpendiculaire à l’axe Ox situéà une distance D de l’origine. Nous considérons les points proches de l’axe 0x (y ,z << r). r ≈ D, distance au plan d’observation. que fait la droite qui joint l’origine au pointd’observation avec le plan équatorial ( plan xOy ) est

(π2 − θ

)= z

D . Les franges brillantessont alors données par

z =λD

a

(m+

ϕ2 − ϕ1

2π

)Elles sont, comme dans le cas des ondes planes, situées dans des plans parallèles auplan médiateur de O1O2. L’interfrange i est la séparation entre deux plans d’intensitémaximale m et m+ 1, soit i = λD

a .

Plan perpendicualire à l’axe Oz x,y << z = D. Dans ce cas, r = z√

1 + x2+y2

z2 , donc1r ≈

1z −

x2+y2

2z3 . D’où

r1 − r2 ≈ a

(1− x2 + y2

2z2

)



Les franges brillantes ont pour équation

x2 + y2

2z2= 1− λ

a

(m+

ϕ2 − ϕ1

2π

)Dans un plan parallèle à xOz situé à une distance y = D de O, les franges brillantes sontdes cercles dont le centre est sur l’axe O1O2 et de rayon R =

√x2 + y2 donné par

R = D

√2(

1− λ

a

(m+

ϕ2 − ϕ1

2π

))On obtient des ”anneaux ” alternativement brillants et sombres. La dernière formulemontre que ces anneaux ne sont pas équidistants : Les anneaux se resserrent lorsque lerayon augmente.


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